Моделирование, визуализация и анализ объемных тел на основе радиальных базисных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат технических наук Кононыхин, Андрей Александрович

• Кононыхин, Андрей Александрович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кононыхин, Андрей Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ, ВИЗУАЛИЗАЦИИ И

АНАЛИЗА ОБЪЁМНЫХ ТЕЛ.

1. ^Моделирование явными функциями.

1.2. Моделирование параметрическими функциями.

1.3. Моделирование суперповерхностями второго порядка.

1.^Моделирование полигональными сетками.

1.5. Моделирование неявными функциями.

1.6. Выводы по методам моделирования.

1.7.0бзор методов моделирования неявными функциями.

1.7.1. Моделирование функциями знаковых расстояний.

1.7.2Моделирование скользящими наименьшими квадратами.

1.7.3.Моделирование Радиальными Базисными Функциями.

1.7.3.1.Моделирование с использованием нормалей.

1.7.3.2.Моделирование с использованием несущей функции

1.7.4.Выводы по методам моделирования неявными функциями .48 1 ^.Вычислительная сложность моделирования Радиальными Базисными Функциями и методы её оптимизации.

1.8.1.Метод «Быстрых Вычислений».

1.8.2.Метод компактных носителей.

1.8.3.Многоуровневые методы.

1.8.4.Иерархический метод разбиения единицы.

1.8.5.Выводы по методам оптимизации вычислительной сложности.

1.9.Визуализация объёмных тел, заданных Радиальными Базисными Функциями.

1.10. Анализ объёмных тел, заданных Радиальными Базисными Функциями. Классификация объёмных тел.

1.11. Применения RBF-моделей объёмных тел.

1.12 .Выводы по главе.

Глава 2. МЕТОД RBF-МОДЕЛИРОБАНИЯ НА ОСНОВЕ ЛОКАЛЬНОГО МОРФИНГА С ПРИМЕНЕНИЕМ АДАПТИВНОЙ

ДЕЦИМАЦИИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2.0писание метода.

2.3.Структурирование исходных данных в бинарном дереве.

2.4.Адаптивная децимация.

2.5.Получение локальной RBF-модели.

2.6.Морфинг объёмных тел.

2.7. Получение глобальной RBF-модели методом локального морфинга.

2.8.Получение верхних оценок вычислительной сложности.

2.9.Выводы по главе.

Глава 3. АНАЛИЗ ОБЪЁМНЫХ ТЕЛ, ЗАДАННЫХ RBF-МОДЕЛЯМИ

3.1.Краткое описание методов.

3.2.Вычисление площади поверхности объёмного тела.

3.3. Вычисление объёма, координат центра масс и моментов инерции тела.

3.4.Построение и анализ сечений объёмного тела.

3.5.Вычисление меры схожести объёмных тел и её применение в задачах классификации.

3.6.Выводы по главе.

Глава 4. РЕАЛИЗАЦИЯ, ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ

ИССЛЕДОВАНИЯ И ИСПЫТАНИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ

4.1.Программная реализация разработанных методов.

4.2.Вычислительный эксперимент по выяснению влияния параметров и оценке сложности алгоритмов RBF-моделирования, RBF-вычисления.

4.3.Промышленное применение разработанных методов в области ультразвукового контроля прокатных валков.

4.4.Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование, визуализация и анализ объемных тел на основе радиальных базисных функций»

Достижения последних лет в области измерительной техники обусловили появление цифровых устройств, способных с высокой точностью получать информацию об объёмных телах произвольной формы. Модели объёмных тел, основанные на данных, полученных от измерительных устройств, широко применяются в астрономии, медицине, геологии и многих других областях. Особую актуальность моделирование объёмных тел имеет в области ультразвуковой дефектоскопии массивных металлических изделий (валков, оправок, и т.п.) [18]. Целью моделирования является визуализация и анализ внутренних технологических объёмных дефектов (полостей, раковин, каверн), имеющих, в общем случае, произвольную форму. Своевременное и достоверное выявление и исследование дефектов в прокатных валках (основных деталях прокатного стана) позволяет определить и вывести из работы бракованные валки. Это предотвращает аварийные остановки прокатного стана, следствием которых, помимо экономических потерь, могут быть и человеческие жертвы.

Настоящая работа в её теоретической части посвящена решению актуальной задачи развития методов моделирования объёмных тел, а в прикладной - реализации этих методов для промышленного использования. Объёмным телом будем называть замкнутую геометрическую фигуру в трёхмерном Евклидовом пространстве, имеющую произвольную форму. Современные технические системы сбора информации об объёмных телах, такие как: лазерные установки [55], механические зондирующие устройства, ультразвуковые сканеры [18] и системы стереоскопического компьютерного зрения, - получают множество точек в трехмерном пространстве, принадлежащих поверхности исследуемого объёмного тела (см. рисунок 1). Такое множество точек назовём исходным, а заданное им объёмное тело -точечно-заданным. а) (б)

Рис. 1. (а) - точечно-заданный объёмный дефект, полученный в результате сканирования валка прокатного стана ультразвуковой системой; (б) - точечно-заданная копия головы человека, полученная системой лазерного сканирования

Визуализацией объемного тела называется изображение его поверхности на устройстве вывода (дисплее компьютера) (см. рисунок 2). Наиболее распространённым типом визуализации является триангуляция -построение сетки из треугольников, повторяющей форму поверхности объёмного тела.

Анализом объёмного тела называется нахождение его количественных и качественных характеристик. Классом объёмных тел называется множество объёмных тел, сгруппированных по определенным признакам сходства. Классификацией называется автоматическое отнесение объёмного тела к тому или иному классу. Анализом объёмного тела является, например, определение объёма, площади поверхности, моментов инерции, геометрических характеристик сечений. Отдельной задачей анализа является определение классификация объёмных тел. Примером классификации является автоматическое определение типа объёмного дефекта (графитовое включение, расслоение, раковина, и т.д.), обнаруженного внутри металлического изделия ультразвуковым сканером. а) (б)

Рис. 2. (а) - визуализация объёмного дефекта валка прокатного стана; б) - визуализация копии головы человека

Решение задач визуализации и анализа непосредственно на основе точечного задания имеет ряд недостатков, почти исключающих прямое использование точечно-заданных объёмных тел для решения большинства практических задач. К числу таких недостатков относятся:

1. Точечное задание является дискретным, поэтому для анализа объёмного тела не применимы классические методы дифференциального и интегрального исчисления. Например, невозможно вычислить объём тела путём интегрирования.

2. В результате работы системы сканирования объёмного тела возможно появление плохо отсканированных участков - пробелов в исходном множестве, восполнение которых не обеспечивается точечным заданием.

3. Построение триангуляции, вершинами которой являются точки исходного множества, представляет собой вычислительно сложную задачу с неоднозначным решением.

4. В случае применения увеличивающего масштабирования к точечно-заданному объёмному телу плотность точек уменьшается, что приводит к понижению качества изображения.

Для того чтобы избежать указанных недостатков, переходят к аналитическому описанию объёмного тела, называемого его моделью. Модель объёмного тела может быть задана как формулой (или формулами), так и вычислительной процедурой. Процесс построения модели объёмного тела назовём моделированием.

На сегодняшний день известно большое количество методов моделирования объёмных тел [41]: явными функциями, параметрическими функциями, суперповерхностями второго порядка, полигональными сетками и неявными функциями. На основании исследования и сравнения вышеперечисленных методов, подробно описанных в Главе 1 настоящей работы, показано, что наиболее удобным методом моделирования точечно-заданных объёмных тел является использование неявных функций [17].

Для того чтобы сформулировать особенности метода моделирования неявными функциями, введём ряд понятий и определений. Функция / называется задающей, если она определяет скалярное поле в трёхмерном Евклидовом пространстве, т.е. каждой точке из области определения функции /ставит в соответствие действительное число d = f(x,y,z). Задающая функция обладает следующими свойствами:

1) f(x,y,z) = 0 для любой точки с координатами (x,y,z), лежащей на поверхности объёмного тела;

2) f(x,y,z) = d < О для любой точки с координатами (x,y,z), лежащей внутри объёмного тела;

3) f(x,y,z) =d> 0 для любой точки с координатами (x,y,z), лежащей вне объёмного тела;

4) абсолютное значение d характеризует удаленность точки с координатами (x,y,z) в трехмерном пространстве от поверхности объёмного тела.

Функция f(x,y,z) = 0 называется неявной функцией, а геометрическое место точек S = { (x,y,z)\ f(x,y,z) = 0 } - неявной поверхностью. Объёмное тело, поверхность которого задаётся неявной функцией, назовём неявным объёмным телом. Важным свойством функции / является знак её значения, позволяющий классифицировать все точки трёхмерного пространства на лежащие внутри и вне объёмного тела. Это свойство позволяет использовать численные методы дифференциального и интегрального исчисления для анализа объёмного тела. Например, вычисление объёма тела заключается в интегрировании единичной функции по области f(x,y,z) > 0.

Моделирование точечно-заданного объёмного тела неявной функцией заключается в интерполяции точек исходного множества функцией f(x,y,z) = 0. Задача интерполяции в таком виде является некорректной, так как существует бесконечное количество поверхностей, которым могут принадлежать точки исходного множества. В Главе 1 настоящей работы рассматриваются несколько различных типов неявных функций. Однако для выбора наиболее адекватной неявной функции, интерполирующей точки исходного множества, было предложено [53] наложить на неё ограничение максимальной плавности, достигаемое за счёт минимизации функционала, представляющего собой энергию изгиба. Функции, одновременно удовлетворяющие требованию принадлежности точек исходного множества поверхности объёмного тела и ограничению максимальной плавности, называются Радиальными Базисными Функциями («Radial Basis Function, RBFv> [53]):

N M где N - количество точек исходного множества; Л,- - коэффициенты интерполяции; базисная функция (р(г) = г2™'11п(г), в случае, если 2т > tut -четное, <р(г) = г2"1"' в противном случае; / — размерность пространства (равна 3 для трёхмерного пространства); т - целое положительное число; || || -Евклидова норма в / - мерном пространстве; М - количество членов полинома степени, как минимум (2m-t) /2, в случае если t - чётное, и степени, как минимум, (2m-t+l) / 2, в противном случае; Cj -полиномиальные коэффициенты; gj- полиномиальный базис.

Выражение (1) назовём RBF-моделью, а моделирование объёмных тел при помощи этого выражения - RBF-моделированием. Классический метод RBF-моделирования заключается в интерполяции точек исходного множества RBF-моделью. Для RBF-моделирования точечно-заданного объёмного тела, исходный набор которого содержит N точек, требуется решить систему из (N+M) линейных уравнений [8]. Верхняя оценка вычислительной сложности решения такой системы составляет 0(N3) [61]. Назовём эту оценку вычислительной сложности сложностью RBF-моделирования. Вычисление значения RBF-модели в какой-либо точке пространства назовём RBF-вычислением. Для выполнения RBF-вычисления в какой-либо точке пространства, требуется порядка 0(N) вычислительных операций. Верхнюю оценку сложности RBF-вычисления назовём сложностью RBF-вычисления.

Современные технические системы сканирования объёмных тел производят исходные множества, состоящие из десятков и сотен тысяч точек. При сканировании с высоким разрешением крупногабаритных объёмных тел количество точек исходного множества может достигать миллиона. Согласно указанным оценкам вычислительной сложности, даже при количестве точек, равном десяткам тысяч, время работы алгоритмов RBF-моделирования и RBF-вычисления становится неприемлемым. Например, при ультразвуковом сканировании валков прокатных станов для выявления и анализа внутренних дефектов время моделирования, визуализации и анализа не должно превышать нескольких минут. Это связано с ограничением времени пребывания валка на технологическом участке сканирования и как можно более быстрым вводом валка в производственный процесс. Объёмный дефект, обнаруженный ультразвуковым сканером, может задаваться исходным множеством, содержащим до двухсот тысяч точек. В этом случае классические методы RBF-моделирования и RBF-вычисления неэффективны по причине большого времени работы реализующих их программ (т.к. решение системы, состоящей из 200 000 линейных уравнений, занимает тысячи часов на современных персональных ЭВМ). В работе Р. Шабака [81] была предложена классификация методов интерполяции поверхностей по их теоретическим оценкам вычислительной сложности, ставшая общепринятой: метод считается вычислительно-эффективным, если его сложность RBF-моделирования составляет 0(N logN), а сложность RBF-вычисления -0(logN). Поэтому актуальна разработка нового эффективного метода RBF-моделирования, отличающегося от известных методов, имеющих указанные оценки, их практическим уменьшением.

Практическое уменьшение времени работы программы, осуществляющей RBF-моделирование и RBF-вычисление, можно достичь за счёт сокращения количества точек исходного множества N. Во многих возникающих на практике задачах исходное множество избыточно, так как содержит большое количество точек, удаление которых практически не скажется на свойствах RBF-модели. Поэтому помимо разработки теоретически эффективных методов RBF-моделирования и RBF-вычисления, актуально создание метода, производящего адаптивную децимацию исходного множества - удаление наименее информативных для RBF-моделирования точек.

Актуальность темы в научном аспекте определяется:

• необходимостью разработки вычислительно-эффективных методов RBF-моделирования и RBF-вычисления точечно-заданного объёмного тела, исходное множество которого содержит десятки и сотни тысяч точек;

• необходимостью разработки и исследования эффективности методов анализа объёмных тел, заданных RBF-моделями.

Актуальность темы в прикладном аспекте определяется необходимостью создания программных продуктов, реализующих методы RBF-моделирования, визуализации и анализа точечно-заданных объёмных тел, содержащих большое число (десятки и сотни тысяч) точек, используя современные настольные вычислительные системы класса ПК. В частности, актуально решение задачи ультразвуковой дефектоскопии массивных металлических изделий по компьютерному моделированию, визуализации и анализу объёмных дефектов на основе данных ультразвукового сканирования.

Объектом исследования является моделирование, визуализация и анализ объёмных тел.

Предметом исследования являются оптимизированные по вычислительной сложности моделирование, визуализация и анализ объёмных тел на основе Радиальных Базисных Функций при условии, что объёмное тело может быть задано десятками и сотнями тысяч точек.

Цель работы - разработка вычислительно-эффективных методов моделирования, визуализации и анализа объёмных тел с использованием Радиальных Базисных Функций, позволяющих решать практические задачи большой размерности, в частности в области ультразвуковой дефектоскопии массивных металлических изделий.

Задачи исследования.

1. Осуществить сравнительный анализ методов моделирования точечно-заданных объёмных тел, включая классический метод RBF-моделирования. Рассмотреть и выделить недостатки в существующих на сегодняшний день подходах к уменьшению сложностей RBF-моделирования и RBF-вычисления.

2. Разработать новые вычислительно-эффективные методы RBF-моделирования и RBF-вычисления, получить теоретические оценки их вычислительной сложности. Разработать и исследовать новый метод адаптивной децимации исходного множества точек.

3. Разработать новые методы анализа объёмных тел, заданных RBF-моделью, исследовать их вычислительную сложность. Разработать метод вычисления меры схожести объёмных тел, исследовать его вычислительную сложность для применения в задачах классификации.

4. Разработать программное обеспечение, реализующее предложенные в работе методы.

5. Провести вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных в работе методов и выявляющие практические тенденции роста времени выполнения программ, в зависимости от количества точек исходного множества.

6. Внедрить и апробировать разработанные методы и программное обеспечение в области ультразвуковой дефектоскопии массивных металлических изделий (валков прокатных станов).

Методы исследования.

Исследования в области моделирования объёмных тел, на которых базируется настоящая работа, известны по трудам российских (B.JL Рвачёв, В.В. Савченко, А.А. Пасько) и зарубежных (Дж. Карр, М. Алекса, Ю. Отаке, П. Рютер) учёных. При решении поставленных задач использовались методы математического моделирования, теории функций многих переменных, линейной алгебры, аналитической и вычислительной геометрии, теории вероятности и математической статистики, теории исследования операций и глобальной оптимизации, методы объектно-ориентированного программирования и разработки интеллектуальных систем.

Научная новизна.

В процессе проведения исследований были получены новые научные результаты теоретического и прикладного характера.

1. Разработаны новые эффективные методы RBF-моделирования и RBF-вычисления, теоретические оценки вычислительной сложности которых составляют 0(N logN) и 0(logN) соответственно. Практические тенденции роста времени работы предложенных алгоритмов для рассматриваемого класса задач составляют 0(N) и 0(1) для RBF-моделирования и RBF-вычисления соответственно.

2. Разработан новый метод адаптивной децимации, сокращающий количество точек исходного множества и существенно (до 1.5 раз) уменьшающий время работы алгоритма RBF-вычисления.

3. Разработаны новые методы анализа объёмных тел, заданных RBF-моделями, исследована их вычислительная сложность. Предложены методы вычисления площади поверхности, объёма, координат центра масс, моментов инерции объёмных тел. Разработан метод получения и исследования сечений. Предложена новая мера схожести объёмных тел, исследована её вычислительная эффективность, предложен метод её использования для решения задач классификации.

4. Впервые решена важная прикладная задача ультразвуковой дефектоскопии массивных металлических изделий по моделированию, визуализации и анализу внутренних объёмных технологических дефектов.

Практическая ценность работы.

В результате проведенного исследования разработано математическое и программное обеспечение, реализующее методы RBF-моделирования, визуализации и анализа объёмных тел, заданных исходным множеством, содержащем десятки и сотни тысяч точек. Применение созданного программного обеспечения позволило исследовать свойства объёмных дефектов произвольной формы в ультразвуковой дефектоскопии массивных металлических изделий. Универсальность предложенных решений позволяет использовать их и в других областях применения.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Новый вычислительно-эффективный метод RBF-моделирования.

2. Методика анализа объёмных тел.

3. Программная реализация предложенных методов и их применение в области дефектоскопии прокатных валков.

Реализация и внедрение результатов работы.

1. Результаты работы реализованы в аппаратно-программном комплексе «Валок-5», произведенным в ООО «Демас» по заказу ОАО «Северсталь» в 2004-2005 гг. Внедрение результатов подтверждается соответствующими актами.

2. В Лаборатории Автоматизации Неразрушающего Контроля ОАО НПО «ЦНИИТМАШ» создан автоматизированный стенд для проведения полунатурных испытаний по ультразвуковому сканированию тел вращения, программная часть которого реализует предложенные в работе методы.

3. Теоретические результаты работы реализованы в МГТУ им. Н.Э. Баумана на кафедре ИУ-3 в виде материалов лекций учебного курса «Обработка изображений в информационных системах».

Апробация работы.

1. Результаты работы были представлены на стенде ООО «Демас» (Demas Ltd.) и в соответствующем стендовом докладе на международной выставке «Металлургия и материалы», проходившей с 28 сентября по 02 октября 2005 года в г. Стамбул, Турция.

2. Методы и алгоритмы, предлагаемые в работе, были отражены в выступлении на научно-технической конференции "Томография", состоявшейся в Москве 22 марта 2005 года.

3. Ключевые идеи работы были изложены в докладе на международном симпозиуме «Образование через науку», проходившем в МГТУ им. Н.Э. Баумана с 17 по 19 мая 2005 года.

4. На международной конференции-выставке по неразрушающему контролю и технической диагностики ECNDT-2006, проходившей с 25 по 29 сентября 2006 года в г. Берлин, Германия, был сделан секционный доклад, отражающий основное содержание работы.

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено автором в семи работах, среди которых статьи и материалы конференций. Ключевые идеи, касающиеся методов моделирования объёмных тел в работах, написанных в соавторстве, принадлежат автору настоящей диссертации.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, занимающих 165 страниц текста, в том числе 49 рисунков на 44 страницах, 10 таблиц на 10 страницах, список использованной литературы из 91 наименования на 10 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Кононыхин, Андрей Александрович

ВЫВОДЫ

Сформулируем выводы по результатам выполненной работы:

1. Полученные теоретические оценки сложностей RBF-моделирования и RBF-вычисления и улучшающие их экспериментальные результаты позволяют применять Радиальные Базисные Функции для моделирования, визуализации и анализа объёмных тел, заданных сотнями тысяч точек.

2. Методы RBF-моделирования, RBF-вычисления и реализующее их программное обеспечение рассчитаны на случай произвольной размерности исходных данных. Это позволяет моделировать не только объёмные тела, но и произвольные скалярные поля в многомерных пространствах по результатам точечных измерений.

3. Применение результатов работы в области моделирования, визуализации и анализа объёмных технологических дефектов валков прокатных станов позволило избегать эксплуатации валков с опасными дефектами и продлять ресурс бездефектных валков. Это привело к сокращению непроизводительных простоев прокатной линии, уменьшению убытков металлургического предприятия и уменьшению рисков травматизма обслуживающего персонала вследствие существенного уменьшения вероятности разрушения валка в процессе работы.

4. Предложенные RBF-модели объёмных тел позволяют проводить математическое моделирование дефектных массивных металлических изделий для исследования их прочности и отработки технологий повышения качества на основе проведения лишь компьютерных экспериментов, не прибегая к натурному моделированию.

В дальнейшем планируется провести исследования и адаптировать результаты работы для использования в стереометрических системах компьютерного зрения, в биометрических системах идентификации человека.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведения теоретических и экспериментальных исследований была достигнута цель работы, выполнены все поставленные задачи. Основными результатами работы являются:

1. Проведен сравнительный анализ методов моделирования, визуализации и анализа точечно-заданных объёмных тел по предложенным в работе критериям. На основе результатов сравнительного анализа выявлены недостатки существующих методов, обоснована необходимость создания новых вычислительно-эффективных методов RBF-моделирования.

2. Разработаны новые методы и вычислительно-эффективные алгоритмы RBF-моделирования и RBF-вычисления. Получены верхние теоретические оценки вычислительной сложности разработанных методов, составляющие 0(N logN) для алгоритма RBF-моделирования и 0(logN) для алгоритма RBF-вычисления, притом, что известные оценки классических алгоритмов составляют, соответственно, 0(N3) и 0(N).

3. Предложен новый метод адаптивной децимации, позволяющий устранить избыточные точки исходного множества и приводящий к существенному уменьшению времени работы алгоритма RBF-вычисления (примерно в 1.5 раза). Применение метода не увеличивает полученной теоретической оценки сложности RBF-моделирования.

4. Разработана новая методика анализа объёмных тел, заданных RBF-моделями, включающая эффективные алгоритмы, имеющие низкую вычислительную сложность, по сравнению с известными. Предложены алгоритмы вычисления площади поверхности, объёма, координат центра масс и моментов инерции, имеющие низкую у оценку вычислительной сложности 0(п logN), по сравнению с оценкой тривиальных алгоритмов - 0(п3 N). Новые алгоритмы вычисления геометрических характеристик сечений имеют низкую оценку вычислительной сложности 0(п logN), по сравнению с у оценкой тривиальных алгоритмов - 0(п N). Предложена новая вычислительно-эффективная мера схожести объёмных тел для её применения в задачах классификации. Оценка вычислительной сложности новой меры схожести составляет 0(N logN), в отличие от оценки известной - 0(N2).

5. Проведены вычислительные эксперименты, в результате которых выявлены оптимальные параметры работы алгоритмов RBF-моделирования и RBF-вычисления в реальных условиях (о=5%, Novimin = 30, Novimax = 50, Nt = 30.60). Установлено, что при оптимальных параметрах сложность RBF-моделирования составляет приблизительно 0(N), а сложность RBF-вычисления - 0(1), что существенно ниже полученных теоретических оценок.

6. Разработано универсальное программное обеспечение, позволяющее применять предложенные в работе алгоритмы и методы в разнообразных предметных областях.

7. На основе разработанных методов, алгоритмов и программного обеспечения впервые решена актуальная задача ультразвуковой дефектоскопии по компьютерному моделированию, визуализации и анализу объёмных технологических дефектов в валках прокатных станов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кононыхин, Андрей Александрович, 2007 год

1. Аджиев В., Пасько А., Савченко В., Сурнн А. Моделирование форм с использованием вещественных функций // Открытые системы. - 1996. -№05. -С. 14-18

2. А.В. Аттетков, С.В. Галкин, B.C. Зарубин. Методы оптимизации М.: МГТУ, 2003. - 440 с.

3. Берёзкин Е.Н. Курс теоретической механики М.: МГУ, 1974. - 641 с.

4. Будагьянц Н.А, Карский В.Е. Литые прокатные валки. М.: Металлургия, 1995.-368 с.

5. Р.К. Вафин, A.M. Покровский, В.Г. Лешковцев. Прочность термообрабатываемых прокатных валков М.: МГТУ, 2004. - 264 с.

6. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке / Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 511 с.

7. Джорж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений / Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 333 с.

8. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. Численные методы и программное обеспечение / Пер. с англ. под ред. Х.Д. Икрамова. М.: Мир, 1998. -575 с. ISBN 5030024328.

9. Кононыхин А.А. Методика распознавания объёмных тел, заданных точками поверхности с использованием функций радиального базиса // ОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРЕЗ НАУКУ. Сборник докладов международного симпозиума. М.: МГТУ, 2006. - С. 366-373. ISBN 5-7038-2715-9

10. Кононыхин А.А., Самедов Я.Ю. Трёхмерное моделирование дефектных областей по данным ультразвукового контроля // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2006. - №6, том 72. - С. 31-34.

11. Краснов М. OpenGL. Графика в проектах DELPHI СПб.: BHV, 2004. -352 с.

12. Лешковцев В.Г., Покровский A.M. Расчёт закалочных напряжений в стальных деталях с учётом упруговязкопластических свойств и изменения фазового состава // Известия АН. Механика твёрдого тела. -1999.-№ 2.-С. 101-107.

13. Никольский С.М. Курс математического анализа М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.-592 с.

14. Оноприйко М.Д. Реконструкция поверхностей геометрических моделей, представленных дискретным множеством цифровых данных: Дис. канд. техн. наук. Н. Новгород, 2003. - 124 с.

15. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах- М.: Высшая школа, 2005. 544 с.

16. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения Киев: Наук, думка, 1982. - 552 с.

17. Самедов Я.Ю. Установки неразрушающего контроля валков прокатных станов // В мире неразрушающего контроля. 2004. - № 3. - С. 20 - 23.

18. Самедов Я.Ю., Кононыхин А.А. Трехмерная визуализация результатов ультразвукового контроля // Тезисы научно-технической конференции "Томография" (Москва, 22 марта 2005г.). М, 2005. - С. 8.

19. Самедов Я.Ю., Щербинский В.Г., Ромашов В.П., Кононыхин А.А., Кутянин В.В. Неразрушающий контроль прокатных валков // Труды шестого конгресса прокатчиков (Липецк, 18-21 октября 2005г.).- Липецк, 2005. -С. 505-507.

20. Сенин М.А., Кожекин Н.Е., Савченко В.В. Деформация поверхностей на основе функций радиального базиса с компактным носителем // Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ». 2004. - С. 19821981.

21. Скворцов А.В. Триангуляция Делоне и ее применение. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 2002. - 128 с.

22. Тахаутдинов Р.С., Салганик В.М., Фиркович А.Ю. Производство и эксплуатация валков на металлургическом предприятии / Т. 2. -Магнитогорск: Изд-во МГТУ им. Г.И. Носова, 1999. - 174 с.

23. Третьяков А.В. Валки обжимных, сортовых и листовых станов. М.: Интермет инжиниринг, 1999. - 80 с.

24. Шипачев B.C. Высшая математика. М: Высшая школа, 2007. - 479 с. ISBN 5-06-003959-5

25. Шлее М. Qt. Профессиональное программирование на С++. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 544 с.

26. Щербинский В. Г. Технология ультразвукового контроля сварных соединений. 2-е изд., испр - М.: Тиссо, 2005. - 326 с. ISBN 5-81220256-7.

27. Щербинский В. Г., Самедов Я. Ю., Артемьев С. А. Автоматизированные установки контроля валков прокатных станов // Металлург. 2003. - № 6. - С. 45-48.

28. Adzhiev V. Cartwright R., Fausett E. HyperFun project: a framework fortcollaborative multidimensional FRep modeling // Implicit Surfaces '99, Eurographics/ACM SIGGRAPH Workshop. 1999. - pp. 59-69.

29. Alexa M., Behr J., Cohen-Or D., Fleishman S., Levin D., Silva C.T. Computing and rendering point set surfaces // IEEE Transactions on Computer Graphics and Visualization. 2002. - # 8(4). - pp. 3-15.

30. Amenta N., Bern M., Kamvysselis M. A new Voronoi-based surface reconstruction algorithm // In Proceedings of ACM Siggraph. 1998. - pp. 415-421.

31. Arun K.S., Huang T.S., Blostein S.D. Least square fitting of two 3-d point sets // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1987. #9(5).-pp. 698-700.

32. Baxter B. THE INTERPOLATION THEORY OF RADIAL BASIS FUNCTIONS: Trinity College, A dissertation presented in fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy. Cambridge University, 1992.-134 p.

33. Beatson R.K., Light W.A., Billings S. Fast Solution of the Radial Basis Function Interpolation Equations: Domain decomposition methods // SIAM

34. J.Sci. Comput. -2000. vol.22, No.5. - pp. 1717-1740.

35. Besl P.J. The Freeform Surface Matching Problem // In H. Freeman, editor, Machine vision for ThreeDimensional Scenes. Academic Press, 1990. - pp. 25-71.

36. Besl P.J., McKay N.D. A Method for Registration of 3-D Shapes // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1992. - vol. 14, issue 2. - pp. 239 - 256.

37. Bloomenthal J. An implicit surface polygonizer // In Heckbert, P., ed., Graphics Gems IV. Academic Press, 1994. - pp. 324-349.

38. Bloomenthal J. Polygonization of implicit surfaces // Computer Aided Geometric Design. -1988. #5(4), Nov. - pp. 341- 355.

39. Bloomenthal J., Wyvill B. Introduction to implicit surfaces. San Francisco, С A, USA: Morgan Kaufmann Publishers Inc, 1997. - 400 p.

40. Campbell R. Recognition of free-form 3d objects in range data using global and local features: Ph.D. dissertation thesis. Ohio State University, 2001. -235 p.

41. Campbell R., Flynn P. A Survey of Free-form Object Representation and Recognition Techniques // Computer Vision and Image Understanding. -2001. — # 81(2).-pp. 166-210.

42. Reconstruction and representation of 3D objects with radial basis functions / Carr J., Beatson R., Cherrie J., Mitchell Т., Fright W., McCallum В., Evans T.R. // Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series. 2001. -pp. 67-76.

43. Carr J.C., Fright W.R., Beatson R.K. Surface interpolation with radial basis functions for medical imaging // IEEE Trans. Medical Imaging. 1997. -#16(1).-pp. 96-107.

44. Chapman P., Stevens P., Wills D., Brookes G. Seabed visualization // In Proceedings of Visualization'98. IEEE Computer Society Press, 1998. -pp. 479-481. ISBN: 0-8186-9176-X

45. Chetverikov D., Stepanov D., Krsek P. Robust Euclidean alignment of 3D point sets: the trimmed iterative closest point algorithm // IMAGE AND VISION COMPUTING. 2005. - Vol. 23, issue 3. - pp. 299-309.

46. Cowan E.J., Beatson R.K, Fright W.R., McLennan T.J., Mitchell T.J. Rapid Geological Modelling // Applied Structural Geology for Mineral Exploration and Mining International Symposium (Kalgoorlie, WA, Australia, September 2002).-2002.-pp. 23-25.

47. Dierckx P. Curve and Surface Fitting with Splines. New York: Oxford Science, 1995.-304 p.

48. Eberly D. Polyhedral Mass Properties (Revisited): Technical Report / Magic Software Inc. (January 25,2003). 2003. - 6 p. (http://www.geometrictools.com/).

49. Erikson C. Morphing Three Dimensional Polyhedral Objects: Oberlin College Honors Paper. 1994. - 13 p.

50. Ervin S.M., Hasbrouck H.H. LANDSCAPE MODELING: Digital Techniques for Landscape Visualization. McGraw-Hill Professional, 2001. - 352 p. ISBN: 0-07-135745-9.

51. Farin G. Curves and Surfaces For CAGD, A Practical Guide. 5th ed. -Morgan-Kaufmann, 2002.-499 p. ISBN 1-55860-737-4

52. Girosi F., Jones M., Poggio Т., Priors, Stabilizers, and Basis Functions: From Regularization to Radial, Tensor, and Additive Splines // MIT AI Lab Memo. 1993.-# 1430 (June, 1993).-27p.

53. Greengard L., Rokhlin V. A fast algorithm for particle simulations // J. Comput.Phys. 1987. - #73. - pp. 325-348.

54. Harrison J.A., Nixon M.A., Fright W.R., Snape L. Use of hand-held laser scanning in the assessment of facial swelling: a preliminary study // British Journal of Oral and Maxillofacial Surgery. 2004. - #42, - pp. 8 - 17.

55. Hoppe H., DeRose Т., Duchamp Т., McDonald J., Stuetzle W. Surface Reconstruction from Unorganized Points // Computer Graphics (SIGGRAPH •92 Proceedings). -1992. Vol. 26, #2 (July 1992). -pp. 71-78.

56. Horn B.K.P. Closed-form solution of absolute orientation using unit quaternions // Journal of the Optical Society of America A, 1987. - #4(4, April 1987).-pp. 629-642.

57. Jolliffe I. Principle Component Analysis. 2nd ed. - Springer, 2002. - 502 p. ISBN-13:978-0387954424

58. Koivunen V., Bajcsy R. Spline representations in 3-D vision // Object Representation in Computer Vision, (M. Hebert, J. Ponce, T. Boult, and A. Gross Eds.).-Berlin: Springer-Verlag, 1995. -pp. 177-190.

59. Kojekine N., Hagiwara I., Savchenko V. Software Tools Using CSRBFs for Processing Scattered Data // International journal "Computers & Graphics". -Elsevier Science. #27/2 (2003). - pp. 309-317.

60. Krishnamurthy V., Levoy M. Fitting smooth surfaces to dense polygon meshes // in Proceedings of SIGGRAPH '96 (New Orleans, Louisiana, August 1996).- 1996. -pp.313-324.

61. Kwang-Ho В., Lichti Derek D. Automated Registration of Unorganised Point Clouds from Terrestrial Laser Scanners // INTERNATIONAL ARCHIVES OF PHOTOGRAMMETRY REMOTE SENSING AND SPATIAL INFORMATION SCIENCES. 2004. -Vol. 35, Part 5. - pp. 222-227.

62. Lorensen W.E., Cline H.E. Marching Cubes: A High Resolution 3D Surface Construction Algorithm // Computer Graphics. 1987. - vol. 21, #3. - pp. 163-169.

63. Madsen K., Nielsen H.B., Tingleff O. METHODS FOR NON-LINEAR LEAST SQUARES PROBLEMS. 2nd ed. // Lecture Notes, Informatics and Mathematical Modelling Technical University of Denmark. - 2004. - 57 p.

64. Mirtich B. Fast and accurate computation of polyhedral mass properties // Journal of Graphics Tools. 1996. - #1(2). - pp. 31-50.

65. Mitra N. J., Gelfand N., Pottmann H., Guibas L. Registration of Point Cloud Data from a Geometric Optimization Perspective // Eurographics Symposium on Geometry Processing. 2004. - pp. 23-32.

66. Neumaier A. Complete Search in Continuous Global Optimization and Constraint Satisfaction // in: Acta Numerica 2004 (A. Iserles, ed.). -Cambridge University Press, 2004. pp. 271- 369.

67. Ning P., Bloomenthal J. An evaluation of implicit surface tillers // Comput. Graphics Appl. -1993. -#13. pp. 33-41.

68. Ohtake Y., Belyaev A. G., Seidel H. P. A multi-scale approach to 3d scattered data interpolation with compactly supported basis functions // In Shape Modeling International (Seoul, Korea, May 2003). 2003. - pp. 153-161.

69. Ohtake Y., Belyaev A.G., Seidel H.-P. Multi-scale and adaptive CS-RBFs for shape reconstruction from cloud of points // In MINGLE workshop on Multiresolution in Geometric Modelling (Cambridge, UK, September 2003). -2003.-pp. 337-348.

70. Pasko A., Adzhiev V., Sourin A., Savchenko V. Function representation in geometric modeling: concepts, implementation and applications // The Visual Computer. 1995. -#11(8). -pp. 429 - 446.

71. Pauly M., Gross M., Kobbelt L. P. Efficient simplification of pointsampled surfaces // In Proceedings of the conference on Visualization '02. IEEE Computer Society. - 2002. - pp. 163-170.

72. Pentland A. P. Perceptual organization and the representation of natural form // Artif. Intell. 1986. - #28. - pp. 293-331.

73. Reuter P. Reconstruction and rendering of Implicit Surfaces from Large Unorganized Point Sets: Ph.D. dissertation thesis. Bordeaux University, 2003.-167 p.

74. Samedov Y., Kononykhin A. Inner Defects Visualization Based on Ultrasonic Scanning // ECNDT-2006 Proceedings, Topic Fr.2.3.2 (Berlin, September 25-29,2006).-2006.-7 p.

75. Savchenko V. STAR Report: Application of Radial Basis Functions for CAD and CG // Proceedings 14th International Conference on Computer Graphics and Vision (Graphicon04, Sept. 2004). 2004. - pp. 16-23.

76. Savchenko V.V., Pasko A.A., Okunev O.G., Kunii T.L. Function representation of solids reconstructed from scattered surface points and contours // Computer Graphics Forum (October, 1995). 1995. - pp. 181188.

77. Schaback R. Remarks on Meshless Local Construction of Surfaces // invited survey, The mathematics of surfaces IX (eds: R. Cipolla et. al.) Proceedings of the Ninth IMA Conference on the Mathematics of Surfaces. -Springer, 2000.-26 p.

78. Schneider P.J., Eberly D. Geometric Tools for Computer Graphics. NY, USA: Elsevier Science Inc, 2002. - 1056 p. - ISBN: 1558605940.

79. Sedgewick R. Algorithms. Addison-Wesley, 1983. - 551 p.

80. Shaffer E., Garland M. Efficient adaptive simplification of massive meshes // In Visualization'01 Conference Proceedings.-2001.-pp. 127-134.

81. Smith L.I. A tutorial on Principal Components Analysis. 2002. - 26 p.

82. Solina F., Bajcsy R. Recovery of parametric models from range images: The case for superquadrics with global deformations // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1990. -#12. - pp. 131-147.

83. Tobor I., Reuter P., Schlick C. Efficient reconstruction of large scattered geometric datasets using the partition of unity and radial basis functions // Journal of WSCG. 2004. - 9 p.

84. Turk G., O'Brien J.F. Variational Implicit Surfaces // Tech Report GIT-GVU-99-15, Georgia Institute of Technology. 1999. - 9 p.

85. Walker M.W., Shao L., Volz R.A. Estimating 3-d location parameters using dual number quaternions // CVGIP: Image Understanding. 1991. - # 54. -pp. 358-367.

86. Wendland H. On the smoothness of positive definite and radial functions // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1999. - #101. - pp. 177-188.

87. Wendland H. Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial basis functions of minimal degree // Advances in Computational Mathematics. 1995. - #4. - pp. 389-396.