Развитие геометрических методов и алгоритмов многомерной интерполяции в точечном исчислении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Селезнёв Игорь Витальевич

• Селезнёв Игорь Витальевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Селезнёв Игорь Витальевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ НА ИХ ОСНОВЕ

1.1. Анализ существующих подходов к реализации многомерной интерполяции

1.2. Анализ программных продуктов моделирования многофакторных процессов

1.3. Анализ существующих подходов к сравнению многомерных геометрических объектов

1.4. Анализ методов оптимизации многофакторных процессов и явлений в задачах строительного материаловедения

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ НАПЕРЁД ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

2.1. Метод моделирования дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе кривых Безье

2.2. Адаптация алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, к исходным экспериментально-статистическим данным

2.3. Пример моделирования адаптивной дуги кривой 2-го порядка, проходящей через 3 наперёд заданные точки

2.4. Пример моделирования отсека поверхности отклика с помощью адаптивных алгебраических кривых

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА3. РАЗРАБОТКА ИНСТРУМЕНТОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ

ВАРИАТИВНЫХ ТОЧЕЧНЫХ АЛГОРИТМОВ

3.1. Классификация геометрических интерполянтов по принципам формирования геометрической схемы моделирования процесса

3.2. Построение вариативных геометрических моделей с помощью квадратного геометрического интерполянта

3.3. Построение вариативных геометрических моделей с помощью прямоугольного геометрического интерполянта

3.4. Построение вариативных геометрических моделей с помощью смешанного геометрического интерполянта

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 4. ПРИНЦИПЫ СРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

4.1. Критерий оценки сходства многомерных геометрических объектов

4.2. Сравнение кривых линий в двумерном пространстве

4.3. Сравнение отсеков поверхностей в трёхмерном пространстве

4.4. Усреднение геометрических объектов многомерного пространства, проходящих через наперёд заданные точки

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 5. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОГО МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ

5.1. Теоретическое обоснование подхода поиска оптимальных решений

5.2. Оптимизация физико-механических свойств композиционных строительных материалов

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Акты внедрения результатов исследований

Приложение Б. Листинг программы для определения точечных уравнений кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе кривых Безье

Приложение В. Листинг программы для сравнения кривых линий

Приложение Г. Листинг программы для сравнения отсеков поверхностей

Приложение Д. Листинг программы построения усреднённой поверхности отклика

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие геометрических методов и алгоритмов многомерной интерполяции в точечном исчислении»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Моделирование многофакторных процессов является важным аспектом многих научных исследований, основной инструментарий которых включает методы многомерной интерполяции и аппроксимации. Важность развития таких инструментов как многомерная интерполяция и аппроксимация подчёркивает тот факт, что они используются практически в любой отрасли знаний для моделирования, обработки, анализа и оптимизации экспериментально-статистических данных; для численного решения дифференциальных уравнений и их систем; для решения задач твердотельного моделирования с последующей практической реализация с помощью специальных материалов и нанотехнологий; как инструмент научного обоснования принятия решений во многих отраслях науки и техники. Выбор интерполяционных или аппроксимационных методов напрямую зависит от конкретных условий задачи и зачастую носит субъективный характер. Например, выбор аппроксимирующей функции чаще всего опирается исключительно на личный опыт исследователя, что не всегда позволяет обеспечить оптимальное решение той или иной прикладной задачи моделирования. Критерием правильного выбора, как аппроксимирующей функции в частности, так и метода моделирования в целом, принято считать точность полученной модели. Эта же проблема остаётся и в случае применения интерполяционных методов, для которых как выбор интерполянта, так и метода интерполяции, опирается на субъективное мнение исследователя и не всегда носит научно обоснованный характер. Кроме того, большинство исследователей, не ставят перед собой задачи получения наиболее качественной модели и, достигнув определённого уровня точности, прекращают дальнейшие исследования, используя полученный критерий точности в качестве обоснования выбора метода моделирования. Следует учесть, что задача выбора оптимальной модели и оценка полученных результатов значительно усложняется с обобщением любых методов

моделирования на многомерное пространство и её решение невозможно без использования современных компьютерных технологий и программных средств.

Активным направлением развития теории многомерной интерполяции, позволяющим получить качественные результаты, обеспечивающие обобщение на многомерное пространство, является геометрическое моделирование многофакторных процессов и явлений в виде геометрических объектов многомерного аффинного пространства, обладающих наперёд заданными свойствами. На этой основе Конопацким Е.В. была разработана геометрическая теория многомерной интерполяции, в соответствии с которой для определения моделей многофакторных процессов используются специальные геометрические интерполянты - геометрические объекты многомерного аффинного пространства, проходящие через наперёд заданные точки, координаты которых соответствуют исходной экспериментально-статистической информации.

Вместе с тем, логическим завершением этапа моделирования многофакторных процессов является анализ полученных результатов и оптимизация исследуемого процесса, в том числе и в строительной отрасли. Важность решения оптимизационных задач строительного материаловедения подчеркивается практической востребованностью, которая представлена большим массивом теоретических и прикладных исследований. При этом чаще всего решение задач оптимизации сводится к определению экстремальных значений математической модели процесса. В этом случае общий подход к решению оптимизационных задач включает определение математической модели процесса, выбор функции цели, а также влияющих на неё факторов, и поиск экстремальных значений целевой функции в заданном диапазоне значений математическими или вычислительными методами.

Степень разработанности темы. Среди интерполяционных методов можно выделить три большие группы, основанные на использовании непрерывных, кусочных и дискретных функций. К интерполяции на основе

непрерывных функций можно отнести всевозможные полиномы (Лагранжа, Ньютона, Эрмита и т.п.). Например, А.С. Коротин и Е.В. Попов (2019) использовали полином Лагранжа и интерполяционную функцию IDW (англ. Inverse Distance Weighting) для увеличения точности сглаживания (устранения артефактов) при построении цифровых моделей рельефа местности.

Также к интерполяции на основе непрерывных функций относится геометрическая теория многомерной интерполяции, рассмотренная в работах Е.В. Конопацкого (2020), краеугольным камнем которой является возможность обобщения на многомерное пространство за счёт использования математического аппарата «Точечное исчисление», разработанного И.Г. Балюбой под руководством Найдыша В.М. (1995). Примерами эффективного использования геометрической теории многомерной интерполяции для решения инженерных задач, как на основе непрерывных, так и на основе кусочных функций являются работы: А.И. Бумага (2016) посвящённые геометрическому моделированию физико-механических свойств композиционных строительных материалов в БН-исчислении, О.С. Воронова (2020) вычислительные алгоритмы и программные средства геометрического моделирования многофакторных тепломассообменных процессов, А.А. Крысько (2016) геометрическое и компьютерное моделирование эксплуатируемых конструкций тонкостенных оболочек инженерных сооружений с учётом несовершенств геометрической формы, О.А. Чернышева (2019) вычислительные алгоритмы и компьютерные средства моделирования нерегулярной топографической поверхности.

Кусочные функции, учитывая их универсальность по отношению к количеству исходных данных и отсутствие незапланированных осцилляций, получили более широкое распространение с развитием современной компьютерной техники. Среди современных инструментов интерполяции на основе кусочных функций можно встретить: интерполяцию функций обобщённо-полиномиальными сплайнами, построенными на базе гладких чебышёвских систем В.Б. Демидович (2016); интерполяцию двоичными

базисными сплайнами С.Ф. Лукомский (2018); интерполяцию параболическими В.А. Потехин (2016) и кубическими сплайнами М.С. Петров и А.В. Зотов (2017).

Геометрическим аналогом сплайн интерполяции является построение одномерных и многомерных обводов различного порядка гладкости. В работах Е.В. Буняев, О.А. Графский, А.А. Панченко (2018) и О.А. Графский, Е.Р. Спивак, В.В. Суриц (2018), где рассматривается возможность геометрического моделирования обвода параболами и дугами коник соответственно с применением математического аппарата матричной алгебры и пакета программирования Maple.

С развитием компьютерных технологий геометрического моделирования появился новый вид интерполяции, основанный на использовании дискретных функций. Большой вклад в развитие вариативного дискретного геометрического моделирования внесла Мелитопольская школа прикладной геометрии: В.М. Найдыш, А.В. Найдыш, В.М. Верещага, Д.В. Спиринцев и др. Их трудами были разработаны различные геометрические и вычислительные алгоритмы моделирования дискретно представленных кривых и дискретно представленных поверхностей.

Из последних работ в области дискретной геометрии можно выделить новый метод функционально-воксельного моделирования геометрических объектов, описанного авторами А.А. Сычева, А.В. Толок и Н.Б. Толок (2020) потенциал которого позволяет создавать инструменты дискретной интерполяции. Так в работе авторы А.В. Толок и Н.Б. Толок (2019) используют билинейную интерполяцию значений компонентов усредненной нормали в узлах триангулированной геодезической сети для построения функционально-воксельной модели рельефа местности.

Объект исследования - геометрические модели многофакторных процессов.

Предмет исследования - метод многомерной интерполяции, как инструмент поиска оптимальных геометрических моделей многофакторных процессов.

Целью исследования является развитие геометрической теории многомерной интерполяции на основе точечного исчисления.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:

1. Усовершенствовать метод моделирования дуг алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе кривых Безье.

2. Систематизировать и исследовать вариативные точечные алгоритмы геометрического моделирования многофакторных процессов с помощью многомерной интерполяции.

3. Разработать метод сравнения геометрических объектов, который позволяет численно оценить степень совпадения геометрических объектов с учётом обобщения на многомерное пространство.

4. Разработать способ построения усреднённой поверхности отклика и его обобщение на многомерное пространство.

5. Предложить геометрический подход к поиску оптимальных решений и реализовать его на примере решения инженерных задач строительного материаловедения.

Методы исследования. Решение поставленных в работе задач представляет собой дальнейшее развитие геометрической теории многомерной интерполяции, теоретические основы которой опираются на геометрические алгоритмы формообразования геометрических объектов многомерного аффинного пространства с их аналитическим описанием в рамках математического аппарата «Точечное исчисление», основанного на аффинных инвариантах, что позволяет аналитически представить любой геометрический объект в виде совокупности проекций на оси глобальной системы координат. Также используются идеи и методы начертательной, аналитической и аффинной геометрии. Сравнение геометрических объектов в

виде дискретных точечных множеств выполнено с помощью статистических критериев. Вычислительные эксперименты и визуализация геометрических моделей реализованы в системе компьютерной алгебры Maple.

Научная новизна полученных результатов:

1. Получила дальнейшее развитие геометрическая теория многомерной интерполяции в части усовершенствования метода моделирования дуг алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе кривых Безье, названных в работе адаптивными. Суть усовершенствования заключается в том, что вместо равномерного распределения значений параметра при определении точечного уравнения дуги кривой, используется неравномерное распределение, которое адаптируется к исходным данным моделирования.

2. Предложена классификация геометрических интерполянтов по способу формирования дерева геометрической модели процесса, используя которую исследованы вариативные точечные алгоритмы геометрического моделирования многофакторных процессов, полученных с помощью многомерной интерполяции.

3. Разработан метод сравнения геометрических объектов, который позволяет численно оценить степень их совпадения с учётом обобщения на многомерное пространство. Предложенный метод включает два этапа, первый из которых заключается в дискретизации многомерных геометрических объектов, а второй - в сравнении полученных дискретных точечных множеств с помощью статистических критериев, таких как коэффициент детерминации и коэффициент корреляции Пирсона.

4. Разработан способ построения усреднённой поверхности отклика, который позволяет не только определить геометрический интерполянт, несущий в себе информацию о нескольких вариациях геометрической модели процесса и при этом также проходить через исходные точки, являющиеся узлами интерполяции, но и уменьшить, а в некоторых случаях полностью исключить, влияние незапланированных осцилляций.

5. Предложен геометрический подход к поиску оптимальных решений, основанный на гипотезе о том, что оптимальным является решение, при котором геометрические объекты, характеризующие различные свойства исследуемого процесса наиболее близко приближаются друг к другу. На основе предложенного подхода проведены два вычислительных эксперимента по поиску оптимального состава и концентрации добавок для достижения наилучших физико-механических свойств композиционных строительных материалов.

Практическая ценность результатов исследований заключается в решении методами геометрического моделирования ряда инженерных задач строительного материаловедения. В частности, выполнена оптимизация:

- состава комбинированного заполнителя из отходов промышленности для достижения наилучших физико-механических свойств мелкозернистого бетона;

- концентрации добавок ЛСТ и №ОН для достижения наилучших эксплуатационных свойств газобетона.

Предложенный подход к сравнению многомерных геометрических объектов, который используется в работе для оценки вариативных геометрических моделей многофакторных процессов и явлений, полученных с помощью многомерной интерполяции. Вместе с тем, предложенный подход может быть эффективно использован для экспертной оценки степени сходства объектов, процессов и явлений во многих отраслях науки и техники, а именно экспертного анализа биометрических данных и идентификации личности, диагностики болезней различной этимологии, распознавания рукописного и печатного текста, акустических и радиосигналов.

Результаты диссертационной работы внедрены на следующих предприятиях, что подтверждается актами о внедрении:

- в АО «Комбинат крупнопанельного домостроения» для оптимизации физико-механических свойств и составов композиционных строительных материалов;

- в ООО «Донспецпром» в виде математических моделей, вычислительных алгоритмов и компьютерных программ с целью обеспечения оптимального проектирования составов композиционных строительных материалов.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечивается корректным использованием методов обобщения и аналогии, а также математического аппарата точечного исчисления, который основан на инвариантах аффинной геометрии и позволяет моделировать геометрические объекты непосредственно в том пространстве, в котором они находятся. При использовании метода многомерной интерполяции корректность аналитического описания моделей геометрических объектов подтверждается вычислительными экспериментами. Числовая оценка степени сходства геометрических объектов подтверждается визуализацией их компьютерных моделей в системе компьютерной алгебры Maple.

Апробация результатов диссертации. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: VI Республиканской конференции молодых ученых, аспирантов, студентов «Научно-технические достижения студентов, аспирантов, молодых ученых строительно-архитектурной отрасли» (г. Макеевка, 2021); XV Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (г. Омск, 2021); Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон» (2021-2023); XI Международном научном форуме молодых ученых, студентов и школьников «Потенциал интеллектуально одаренной молодёжи - развитию науки и образования» (г. Астрахань, 2022); 5-й Международной научно-практической конференции «Методология безопасности среды жизнедеятельности» (г. Симферополь, 2022).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Способ моделирования адаптивных дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе кривых Безье.

2. Метод сравнения геометрических объектов, который позволяет численно оценить степень совпадения геометрических объектов с учётом обобщения на многомерное пространство.

3. Способ построения усреднённой поверхности отклика, который позволяет определить геометрический интерполянт, несущий в себе информацию о нескольких вариациях геометрической модели и при этом также проходить через наперёд заданные точки.

4. Подход к поиску оптимальных решений, основанный на гипотезе о том, что оптимальным является решение, при котором геометрические объекты, характеризующие различные свойства исследуемого процесса наиболее близко приближаются друг к другу.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 8 работ, в том числе 4, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных ВАК РФ (категория К2), 2 - в изданиях, индексируемых в наукометрической базе Scopus, 2 - в сборниках научных трудов и конференций. В совместных статьях вклад соавторов ограничивался постановкой задачи и анализом полученных результатов. Все инструменты геометрического моделирования, направленные на развитие геометрической теории многомерной интерполяции, а также геометрические модели, полученные в результате вычислительных экспериментов, разработаны автором лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав с выводами, заключения и списка использованной литературы. Общий объём составляет 130 страниц текста, 24 рисунка, 7 таблиц. Библиографический список включает 150 наименования, в том числе 25 иностранных.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ НА ИХ ОСНОВЕ

1.1. Анализ существующих подходов к реализации многомерной

интерполяции

В инженерной практике часто возникает необходимость аналитического описания много факторных процессов на основе экспериментально -статистических данных и последующего их анализа. Основными инструментами моделирования многофакторных процессов являются многомерная интерполяция и аппроксимация. Интерполяцию можно считать частным случаем аппроксимации, при котором некоторой функцией определяется геометрический объект инцидентный дискретному множеству точек, координаты которых соответствуют исходным экспериментально-статистическим или другим данным. Обратным по отношению к интерполяции является термин - дискретизация, под которым понимается определение дискретного множества точек на основе известной функции.

Многомерная интерполяция нашла широкое применение в различных отраслях науки и техники. Примерами её эффективного использования могут служить: планирование сложных вычислительных экспериментов с суперкомпьютерными двойниками [96]; построение экономической блочной модели месторождения рудного сырья на основе дискретной интерполяции значений проб по методу естественных соседей NN10 с визуализацией в виде многокомпонентной геовоксельной модели с изоповерхностями оболочек [26]; численное интегрирование для ограниченной области с использованием граничных интегральных уравнений и полигармонической функции [141]; интерполяционная модель ионосферных задержек, способная обеспечить точность определения наклонных ПЭС 0,02 ТЕСи относительно соответствующих наклонных ПЭС, вычисленных с помощью современных

трехмерных моделей ионосферы [25]; интерполяция многомерных сигналов для использования в составе дифференциальных методов компрессии, основанных на эффективном кодировании квантованных разностей между исходными и интерполирующими значениями отсчётов при последовательной развёртке сигнала [74]; визуализация в медицине [143]; обучение представлению в автокодерах [130]; ценообразование многомерных американских опционов [131] и т.д.

Среди интерполяционных методов можно выделить три большие группы, основанные на использовании непрерывных, кусочных и дискретных функций. К интерполяции на основе непрерывных функций можно отнести всевозможные полиномы (Лагранжа, Ньютона, Эрмита и т.п.). Преимущества интерполяции на основе непрерывных функций наглядно проявляются в процессе оптимизации, полученных на их основе математических моделей, реализация которой возможна методами математического анализа и без привлечения значительных вычислительных ресурсов. Недостаток использования непрерывных функций вообще, и полиномиальных в частности, заключается в возможности появления неконтролируемых осцилляций при увеличении порядка полинома, что значительно ограничивает спектр возможного их использования для моделирования многофакторных процессов и явлений. Другим недостатком является сложность обобщения на многомерное пространство. Для некоторых из них (например, для полинома Лагранжа) такое обобщение существует [89], и основано на реализации метода наименьших квадратов [33, 58], использование которого для небольшой модели приводит к необходимости составления и решения определителей высокого порядка. Также возможно совместное использование полиномиальных коэффициентов Лагранжа и интерполяционной функции IDW (англ. Inverse Distance Weighting, рус. Обратное Взвешенное Расстояние) [68], что позволило увеличить точность сглаживания (устранение артефактов) при построении цифровых моделей рельефа местности.

Другим примером реализации многомерной интерполяции на основе непрерывных функций является использование теории случайных функций [10, 11]. Такой подход предусматривает использование функции, связывающей значения обучающей выборки на входе и на выходе:

/(X) = дхкг (х - х) + д2кг (х - х2) +... + (х - хк). С1.1)

По мнению автора [10] такой подход гарантирует получение оптимального результата моделирования с точки зрения рассматриваемого математического аппарата, но вместе с тем он также приводит к необходимости составления и решения системы алгебраических уравнений к-го порядка для определения коэффициентов д, д2, ..., д в уравнении (1.1). Кроме того, такой подход предусматривает использование специальной калибровки, которая оценивается с помощью дисперсии, что усложняет вычислительный алгоритм его программной реализации.

В работах [4, 5, 80] интерполяция используется как инструмент моделирования не только поверхностей, но и геометрических тел. В частности, в работах [5, 80] рассматривается метод построения модели трехмерных параметрических твердых тел и их описание с помощью обобщенной линейной интерполяции, а в работе [4] - рассматривается метод построения модели трехмерных параметрических рациональных тел и их описание с помощью обобщенной интерполяции Безье.

Также к интерполяции на основе непрерывных функций относится геометрическая теория многомерной интерполяции [57, 59, 133], краеугольным камнем которой является возможность обобщения на многомерное пространство за счёт использования математического аппарата «Точечное исчисление» [6, 7, 8]. Также в основу геометрической теории многомерной интерполяции входит, так называемое, дерево геометрической модели процесса - геометрическая схема моделирования многомерного объекта, инцидентного наперёд заданным точкам, координаты которой соответствуют исходной экспериментально-статистической информации.

Аналитическое описание такого многомерного геометрического объекта реализовано с помощью специальных кривых, проходящих через наперёд заданные точки, полученные путём алгебраических преобразований на основе кривых Безье [61]. Кроме того, аналитическая и компьютерная реализация геометрической теории многомерной интерполяции возможна с помощью кусочных функций, что было показано на примере использования алгебраических кривых для моделирования многофакторных процессов на основе многомерных обводов [63]. Другими примерами эффективного использования геометрической теории многомерной интерполяции для решения инженерных задач, как на основе непрерывных, так и на основе кусочных функций являются работы [22, 31, 70, 111]. Также на основе геометрической теории многомерной интерполяции реализовано твердотельное моделирование геометрических объектов в точечном исчислении [137, 138, 144].

Кусочные функции, учитывая их универсальность по отношению к количеству исходных данных и отсутствие незапланированных осцилляций, получили более широкое распространение с развитием современной компьютерной техники. Среди современных инструментов интерполяции на основе кусочных функций можно встретить: интерполяцию функций обобщённо-полиномиальными сплайнами, построенными на базе гладких чебышёвских систем [42]; интерполяцию двоичными базисными сплайнами [73]; интерполяцию параболическими [95] и кубическими сплайнами [94, 123]. В работе [91] авторы подробно исследуют аспекты получения сегментов дробно-рациональных кривых Безье в направлении стыковки их по второму порядку гладкости с целью получения сплайна Безье. Применяется математический метод, основанный на аналитическом представлении дробно-рациональных сегментов Безье 2-го порядка с использованием аппарата математического анализа и дифференциального исчисления. Рассмотрены численные примеры получения незамкнутого и замкнутого сплайна Безье.

Также сплайны широко используются в компьютерной графике и системах автоматизированного проектирования [18, 37, 49, 98, 107, 110].

Геометрическим аналогом сплайн интерполяции является построение одномерных и многомерных обводов различного порядка гладкости [50, 51, 52, 56, 84]. В работах [24, 39] рассматривается возможность геометрического моделирования обвода параболами и дугами коник соответственно с применением математического аппарата матричной алгебры и пакета программирования Maple. В отличие от сплайнов в основу построения обводов положены геометрические алгоритмы, что делает их более универсальным инструментом, использующим потенциал конструктивных инструментов геометрического моделирования. Вместе с тем, использование кусочных функций для интерполяции также обладает определёнными недостатками, основным из которых является зависимость от регулярных многомерных сетей. Для использования сплайн интерполяции на нерегулярных сетях приходится выполнять дополнительную операцию, которая заключается в генерации недостающих узлов интерполяции путём перепараметризации на основе имеющихся данных. При многократном повторении такой подход может служить источником накопления погрешностей интерполяции, что не может позитивно сказаться на качестве итоговой модели процесса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Селезнёв Игорь Витальевич, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алешин, Н.А. Сети радиальных базисных функций / Н.А. Алешин // European Scientific Conference: сборник статей XIX Международной научно-практической конференции, Пенза, 07 марта 2020 года. - Пенза: "Наука и Просвещение" (ИП Гуляев Г.Ю.), 2020. - С. 11-13.

2. Аль-Шамси, Х.А. Модифицированные неавтоклавные газобетоны на основе смесей низкой водопотребности: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.05 / Х.А. Аль-Шамси. - Макеевка, 1999. - 116 с.

3. Анализ возможности совершенствования статистической интерполяции в программе "Призма-м" системы СКАЛА-микро / И.С. Якунин, В.В. Постников, С.И. Александров, И.В. Ожегин // Атомная энергия. - 2013. -Т. 114, № 6. - С. 303-308.

4. Аюшеев, Т.В. Моделирование параметрических рациональных тел с использованием обобщенной интерполяции Безье / Т.В. Аюшеев, Р.Н. Булычев // Вестник бурятского государственного университета. Математика, информатика. - 2018. - № 1. - С. 83-94. - DOI: 10.18101/23045728-2018-1-83-94.

5. Аюшеев, Т.В. Моделирование параметрических твердых тел с применением обобщенной линейной интерполяции / Т.В. Аюшеев, Р.Н. Булычев // Графикон'2016: Труды 26-й Международной научной конференции, Нижний Новгород, 19-23 сентября 2016 года. - Нижний Новгород: Автономная некоммерческая организация "Институт физико-технической информатики", 2016. - С. 72-76.

6. Балюба, И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. - Макеевка, 1995. - 227 с.

7. Балюба, И.Г. Точечное исчисление. Историческая справка и основополагающие определения / И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий // Физико-техническая информатика (CPT2020): Материалы 8-ой Международной

конференции, Пущино, Московская обл., 09-13 ноября 2020 года. - Нижний Новгород: АНО "НИЦФТИ". 2020. - С. 321-327. - DOI: 10.30987/conferencearticle_5fd755c0adb1d9.27038265.

8. Балюба, И.Г. Точечное исчисление: учебно-методическое пособие / И.Г. Балюба, Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага. - Макеевка: ДОННАСА, 2020. -244 с.

9. Батюков, А.А. Визуализация многомерных поверхностей и их экстремумов / А.А. Батюков, Е.В. Попов, Н.Ю. Фогт // Труды Международной конференции по компьютерной графике и зрению "Графикон". - 2020. - №2 30. - С. 28-39. - DOI: 10.51130/graphicon-2020-1-28-39.

10. Бахвалов, Ю.Н. Метод машинного обучения на основе алгоритма многомерной интерполяции и аппроксимации случайных функций / Ю.Н. Бахвалов, Л.Л. Малыгин, П.С. Черкасс // Вестник Череповецкого государственного университета. - 2012. - № 2-2(39). - С. 7-10.

11. Бахвалов, Ю.Н. Метод многомерной интерполяции и аппроксимации и его приложения / Ю.Н. Бахвалов. - М.: Спутник+, 2007. -108 с.

12. Бахтеев, Д.В. Компьютерное зрение и распознавание образов в криминалистике / Д.В. Бахтеев // Российское право: образование, практика, наука, 2019. - № 3(111). - С. 66-74. - DOI: 10.34076/2410-2709-2019-3-66-74.

13. Бежаев, А.Ю. Сплайн-интерполяция многомерных данных большого объема / А.Ю. Бежаев // Сибирский журнал вычислительной математики. - Новосибирск, 2003. - Т. 6. - №3. - С.249-261.

14. Бездитный, А.А. Вариативное дискретное геометрическое моделирование на основе геометрических соотношений в точечном исчислении Балюбы-Найдыша: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / А.В. Бездитный. - Мелитополь, 2012. - 191 с.

15. Белоглазов, Д.А. Особенности нейросетевых решений, достоинства и недостатки, перспективы применения / Д.А. Белоглазов // Известия ЮФУ. Технические науки, 2008. - № 7(84). - С. 105-110.

16. Беляев, М.Г. Аппроксимация многомерных зависимостей по структурированным выборкам / М.Г. Беляев // Искусственный интеллект и принятие решений, 2013. - № 3. - С. 24-39.

17. Блинов, А.О. Многомерная аппроксимация в задачах моделирования и оптимизации / А.О. Блинов, В.П. Фраленко // Автомат. и телемех., 2009. - № 4. - С.98-109.

18. Бородянский, Ю.М. Разработка алгоритмов построения сплайнов на основе дельта-преобразований второго порядка для интерполяции кривых и поверхностей в компьютерной графике: дис. ... канд. наук: 05.13.17 и 05.13.18 / Бородянский Ю.М. - Таганрог, 2003. - 211 с.

19. Брагин, А.Д. Распознавание моторных образов на электроэнцефалограммах с применением свёрточных нейронных сетей / А.Д. Брагин, В.Г. Спицын // Компьютерная оптика, 2020. - Т. 44. - № 3. -С. 482-489. - DOI: 10.18287/2412-6179-Ш-669.

20. Брусникин, В.М. Геометрическое моделирование линейных обводов кузовных поверхностей методов дискретной интерполяции: автореф. дис. ... канд. наук: 05.01.01 / Брусникин В.М. - Киев, 1993. - 24 с.

21. Бумага, А.И. Геометрические алгоритмы моделирования и оптимизации физико-механических свойств и составов композиционных строительных материалов / А.И. Бумага // Строительство и техногенная безопасность, 2019. - № 16 (68). - С. 27-34.

22. Бумага, А.И. Геометрическое моделирование физико-механических свойств композиционных строительных материалов в БН-исчислении: дис. ... канд. техн. наук.: 05.23.05 и 05.01.01. / А.И. Бумага. - Макеевка, 2016. - 164 с.

23. Бумага, А.1. Точкове рiвняння дуги параболи другого порядку / А.1. Бумага // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. Мiжвiдомчий науково-техшчний збiрник. - К.: КНУБА, 2012. - Вып.90. - С. 49-52.

24. Буняева, Е.В. Интерполяция параболами с применением информационных технологий / Е.В. Буняева, О.А. Графский, А.А. Панченко // Естественные и технические науки. - 2018. - № 3(117). - С. 137-140.

25. Валиханов, М.М. Высокоточная модель ионосферной задержки сигналов ГНСС на основе многомерной свободной интерполяции / М.М. Валиханов, В.В. Денисенко, С.П. Царев // Успехи современной радиоэлектроники. - 2018. - № 12. - С. 90-94. - DOI: 10.18127/j20700784-201812-18.

26. Васильев, П.В. Формирование экономической геовоксельной модели недропользования на основе многомерной интерполяции / П.В. Васильев, Д.А. Игнатов // Инновационные технологии, экономика и менеджмент в промышленности: Сборник научных статей по итогам V международной научной конференции, Волгоград, 20-21 мая 2021 года. -Волгоград: Общество с ограниченной ответственностью "КОНВЕРТ", 2021. -С. 111-117.

27. Введение в математический аппарат БН-исчисление / А.И. Бумага, Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, О.А. Чернышева // Материалы VII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации». - Пермь: ПНИПУ, 2017. - Вып. 4. - С. 76-82.

28. Верещага, В.М. Геометрическое моделирование кривых линий методами дискретной интерполяции // В.М. Верещага. - Харьков: Полиграфист, 1995. - 170 с.

29. Волков, В.Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространства и ее приложения: автореф. дис. д-ра техн. наук / В.Я. Волков. - М.: МАИ, 1983. - 27 с.

30. Волченко, Е.Ю. Использование математических методов и компьютерных моделей для оптимизации составов композиционных материалов / Е.Ю. Волченко // Вестник Волжского института экономики, педагогики и права, 2015. - № 1. - С. 11-16.

31. Воронова, О.С. Вычислительные алгоритмы и программные средства геометрического моделирования многофакторных тепломассообменных процессов: дис. ... канд. техн. наук.: 05.13.18. /

О.С. Воронова. - Донецк, 2020. - 190 с.

32. Воронова, О.С. Конструирование составных поверхностей отклика применительно к моделированию зависимости физических параметров хладагента / О.С. Воронова // Проблемы искусственного интеллекта, 2019. -№ 1(12). - С. 52-63.

33. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. - М.: АСТ, 2003. - 991 с.

34. Геометрическое моделирование адаптивных алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки / Е.В. Конопацкий, И.В. Селезнев, О.А. Чернышева [и др.] // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2021. - Т. 18. - № 9(207). - С. 26-34. - DOI: 10.14489^12021.09^.026-034.

35. Геометрическое моделирование и оптимизация физико-механических свойств дегтеполимербетона / Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага, О.С. Воронова, А.А. Крысько // Методология безопасности среды жизнедеятельности: Программа и тезисы IV Крымской Международной научно-практической конференции, Симферополь-Судак, 25-29 сентября 2017 года. - Симферополь-Судак: Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского, 2017. - С. 45.

36. Геометрическое моделирование многофакторных процессов на основе вариативных точечных алгоритмов / Е.В. Конопацкий, И.В. Селезнев, М.В. Лагунова, А.А. Бездитный // Вестник компьютерных и информационных технологий. - 2021. - Т. 18. - № 6(204). - С. 29-38. - DOI: 10.14489^12021.06^.029-038.

37. Голованов, Н.Н. Геометрическое моделирование / Н.Н. Голованов. - М.: ИНФРА-М, 2019. - 400 с.

38. Горягин, Б.Ф. Проведение дуги параболы 3-го и 4-го порядка через заданные точки // Б.Ф. Горягин, Е.В. Конопацкий. - Труды VII Международной научно-практической конференции «Геометрическое моделирование и компьютерный дизайн», Одесса, 21-23 апреля 2010. -

Одесса, 2010. - Вып. 85. - Т. 2. - С.25-28.

39. Графский, О.А. Интерполяция дугами коник с применением информационных технологий / О.А. Графский, Е.Р. Спивак, В.В. Суриц // Естественные и технические науки. - 2018. - № 4(118). - С. 307-310.

40. Грудинин, С.Н. Методы сравнения сложных геометрических объектов / С.Н. Грудинин, В.Д. Фроловский // В сб.: Наука технологии инновации. Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. - Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2013. - С. 189-192.

41. Грудинин, С.Н. Сравнение трехмерных объектов. Критерии оценки сходства / С.Н. Грудинин // Молодой ученый, 2011. - Т.1. - №5(28). - С.42-44.

42. Демидович, В.Б. Об интерполяции функций обобщённо -полиномиальными сплайнами, построенными на базе гладких чебышёвских систем / В.Б. Демидович // Труды научно-исследовательского института системных исследований Российской академии наук. - 2016. - Т. 6, № 2. -С. 129-142.

43. Дилигенская, А.Н. Прикладные аспекты минимаксной оптимизации в обратных задачах технологической теплофизики / А.Н. Дилигенская, А.В. Самокиш // Системный синтез и прикладная синергетика: сборник научных работ X Всероссийской научной конференции, пос. Нижний Архыз, 28 сентября - 02 октября 2021 года. - Ростов-на-Дону, Таганрог: Южный федеральный университет, 2021. - С. 342-347. - Б01: 10.18522/ву8вуп-2021-58.

44. Дроговоз, П.А. Подход к созданию гибридной рекомендательной системы для поддержки принятия решений по управлению проектами на основе нейросетевого картирования и когнитивной визуализации показателей освоенного объема / П.А. Дроговоз, В.А. Шиболденков, Д.А. Коренькова // Экономика и предпринимательство, 2019. - № 9(110). - С. 1212-1217.

45. Дюкина, Т.О. Модифицированный коэффициент корреляции / Т.О. Дюкина // Аналитика и управление данными в областях с интенсивным использованием данных (Москва, 10-13 октября 2017 г.): Сб. науч. тр. XIX

Межд. конф. DAMDID. - Москва: ФИЦ "Информатика и управление" РАН, 2017. - С. 174-179.

46. Егорова, В.П. Особенности нейросетевых решений, достоинства и недостатки, перспективы применения / В.П. Егорова, О.С. Олиферова, М.А. Горькавый // Молодежь и наука: актуальные проблемы фундаментальных и прикладных исследований (Комсомольск-на-Амуре, 0610 апреля 2020 г.): Материалы III Всерос. нац. научной конф. студ., асп. и молодых ученых. - Комсомольск-на-Амуре: КнАГУ, 2020. - С. 218-221.

47. Ефимов, Г.Б. Из истории развития и применения компьютерной алгебры в Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша / Г.Б. Ефимов, Е.Ю. Зуева, И.Б. Щенков // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2003. - № 27. - С. 1-20.

48. Ефимов, Г.Б. История использования аналитических вычислений в задачах механики / Г.Б. Ефимов, М.В. Грошева, В.А. Самсонов. - М.: Издание ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005. - 87 с.

49. Жиглатый, А.А. О двумерном сплайне второго порядка для компьютерной графики / А.А. Жиглатый // Информационные технологии, системный анализ и управление (итсаиу-2012): Сборник трудов X Всероссийской научной конференции молодых ученых аспирантов и студентов, Таганрог, 06-07 декабря 2012 года / Южный федеральный университет. Том 1. - Таганрог: Южный федеральный университет, 2012. -С. 103-108.

50. Иванов, Г.С. Геометрическое обеспечение построения гладких сопряжений из отсеков конических поверхностей второго порядка / Г.С. Иванов, Б.Г. Жирных // Инженерный вестник. - 2015. - № 6. - С. 20.

51. Иванов, Г.С. Конструирование одномерных обводов, принадлежащих поверхностям, путем их отображения на плоскость / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. Общество с ограниченной ответственностью «Научно-издательский центр ИНФРА-М», 2018. - Т.6. - №. 1. - С. 3-9. DOI: 10.12737/ article 5ad07ed61bc114.52669586.

52. Кадуков, Е.П. Метод распознавания вида модуляции спектрально-эффективных радиосигналов на основе классификации образов радиосигналов в пространстве параметров фазовых диаграмм по критерию минимума евклидового расстояния / Е.П. Кадуков, И.К. Утимишева // Журнал радиоэлектроники, 2020. - № 11. - С. 11. - DOI: 10.30898/16841719.2020.11.12.

53. Квасов, Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б.И. Квасов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 360 с.

54. Киселева, А.Ю. Решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг с помощью методов многокритериальной оптимизации / А.Ю. Киселева // Корпоративные финансы. - 2007. - Т. 1, № 1. - С. 64-77.

55. Конопацкий, Е.В. Аппроксимация геометрических объектов многомерного пространства с помощью дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки / Е.В. Конопацкий, С.И. Ротков // Труды Международной конференции по компьютерной графике и зрению "Графикон". - 2019. - № 29. - С. 191-195. - DOI: 10.30987/graphicon-2019-1-191-195.

56. Конопацкий, Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через к наперед заданных точек / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика, 2018. - № 3. - С.20-32. -DOI: 10.12737/article_5bc457ece18491.72807735.

57. Конопацкий, Е.В. Геометрическая теория многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Автоматизация и моделирование в проектировании и управлении. - Брянск: БГТУ, 2020. - № 1(07). - С. 9-16. -DOI: 10.30987/2658-6436-2020-1-9-16.

58. Конопацкий, Е.В. Геометрический смысл метода наименьших квадратов / Е.В. Конопацкий // Вестник компьютерных и информационных технологий, 2019. - № 9. - С.11-18. - DOI: 10.14489/vkit.2019.09.pp.011-018.

59. Конопацкий, Е.В. Геометрическое моделирование многофакторных процессов на основе точечного исчисления: дис. д-ра техн. наук: 05.01.01 /

Е.В. Конопацкий. - Нижний Новгород, 2020. - 307 с.

60. Конопацкий, Е.В. Компьютерное моделирование напряжённо-деформированного состояния эксплуатируемого резервуара для хранения нефтепродуктов / Е.В. Конопацкий, О.А. Шевчук, А.А. Крысько // ЮжноСибирский научный вестник. - 2022. - № 2(42). - С. 71-76. - DOI: 10.25699/SSSB.2022.42.2.004.

61. Конопацкий, Е.В. Моделирование дуг кривых, проходящих через наперед заданные точки / Е.В. Конопацкий // Вестник компьютерных и информационных технологий, 2019. - № 2. - С. 30-36. - DOI: 10.14489^12019.02^.030-036.

62. Конопацкий, Е.В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных процессов многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия, 2019. - Т.10. - № 2. - С. 77-86.

63. Конопацкий, Е.В. Принципы моделирования многофакторных процессов с большим количеством исходных данных / Е.В. Конопацкий // Информационные технологии в проектировании и производстве, 2018. - № 4(172). - С.20-25.

64. Конопацкий, Е.В. Принципы построения компьютерных моделей многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия: методы и технологии разработки информационно-вычислительных систем (ПИИВС-2018): Сборник научных трудов II Международной научно-практической конференции, Донецк, 14-15 ноября 2018 года. - Донецк: ДОННТУ, 2018. - С. 309-318.

65. Конопацкий, Е.В. Точечные инструменты геометрического моделирования, инвариантные относительно параллельного проецирования / Е.В. Конопацкий, А.А. Бездитный // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9. - № 4. - С. 11-21. - DOI: 10.12737/2308-4898-2022-9-4-11-21.

66. Конопацький, С.В. Геометричне моделювання алгебра1чних кривих та !х використання при конструюванш поверхонь у точковому численш Балюби-Найдиша: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. / С.В. Конопацький. -

Мелитополь, 2012. - 164 с.

67. Короев, Ю.И. Начертательная геометрия / Ю.И. Короев. - М.: КноРус., 2015. - 422 с.

68. Коротин, А.С. Реконструкция местности на основе откорректированных цифровых моделей рельефа / А.С. Коротин, Е.В. Попов // Проблемы машиноведения: Материалы III Международной научно-технической конференции. В 2-х частях, Омск, 23-24 апреля 2019 года / Научный редактор П.Д. Балакин. Том Часть II. - Омск: Омский государственный технический университет, 2019. - С. 283-289.

69. Коротков, А.А. Применение языка программирования Python при решении задач интерполяции / А.А. Коротков, И.В. Бородин // Проблемы повышения эффективности научной работы в оборонно-промышленном комплексе России: Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции, Знаменск, 15-16 апреля 2021 года / Астраханский государственный университет. - Астрахань: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Астраханский государственный университет», 2021. - С. 80-83.

70. Крысько, А.А. Геометрическое и компьютерное моделирование эксплуатируемых конструкций тонкостенных оболочек инженерных сооружений с учётом несовершенств геометрической формы: дис. ... канд. техн. наук.: 05.23.01 и 05.01.01. / А.А. Крысько. - Макеевка, 2016. - 191 с.

71. Лебедев, В.А. Особенности вычислительной и программной реализации дискретной интерполяции на основе углов сгущения / В.А. Лебедев, А.В. Найдыш, Н.А. Рубцов // Вестник Херсонского национального технического университета. - 2016. - № 3(58). - С. 510-513.

72. Ли, В. Г. Способ дискретной интерполяции пространственных кривых проективными преобразованиями / В. Г. Ли, С. А. Дорошенко // Наука и современность. - 2015. - № 35. - С. 129-132.

73. Лукомский, С.Ф. Интерполяция двоичными базисными сплайнами / С.Ф. Лукомский // Современные проблемы теории функций и их

приложения: Материалы 19-й международной Саратовской зимней школы, посвященной 90-летию со дня рождения академика П. Л. Ульянова, Саратов, 29 января - 02 2018 года. - Саратов: ООО "Издательство "Научная книга", 2018. - С. 188-190.

74. Максимов, А.И. Дифференциальный метод компрессии многомерных сигналов на основе адаптированного алгоритма параметризованной интерполяции / А.И. Максимов, М.В. Гашников // Информационные технологии и нанотехнологии (ИТНТ-2020): Сборник трудов по материалам VI Международной конференции и молодежной школы. В 4-х томах, Самара, 26-29 мая 2020 года / Под редакцией В.В. Мясникова. Том 2. - Самара: Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 2020. - С. 98-105.

75. Математическое моделирование эффективного состава асфальтобетона с применением отхода сталелитейного производства / К.Ю. Тюрюханов, К.Г. Пугин, О.А. Федосеева, Д.А. Агапитов // Транспортные сооружения, 2018. - Т. 5. - № 3. - С. 11. - DOI: 10.15862/12SATS318.

76. Матыева, А.К. Оптимизация состава и свойств сырьевых компонентов в производстве модифицированного арболита из местного сырья / А.К. Матыева // Вестник Сибирского государственного автомобильно-дорожного университета, 2019. - Т. 16. - № 3(67). - С. 352-365.

77. Многокритериальная оптимизация состава и свойств активированных известково-кремнеземистых композитов / Е.С. Шинкевич, Е.М. Чернышов, Е.С. Луцкин, А.Б. Тымняк // Сухие строительные смеси. -2013. - № 2. - С. 33-37.

78. Многокритериальная оптимизация составов серных композитов, стойких к коррозии / М.А. Назаров, К.С. Краева, А.А. Кривошеева, И.Ю. Шитова // Молодежный научный вестник. - 2018. - № 2(27). - С. 142146.

79. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция / Н.М. Добровольский, А.Р. Есаян, О.В. Андреева, Н.В. Зайцева // Чебышевский

сборник, 2004. - Т.5. - Вып. 1. - С.122-143.

80. Моделирование тел со сферическими порами методом обобщенной линейной интерполяции / Т.Ц. Дамдинова, Т.В. Аюшеев, С.М. Бальжинимаева, А.А. Абатнин // Программные системы и вычислительные методы. - 2022. - № 2. - С. 42-51. - DOI: 10.7256/24540714.2022.2.38262.

81. Морозов, А.Ю. Параллельный алгоритм адаптивной интерполяции на основе разреженных сеток для моделирования динамических систем с интервальными параметрами / А.Ю. Морозов // Программная инженерия. -2021. - Т. 12. - № 8. - С. 395-403. - DOI: 10.17875/prin.12.395-403.

82. Мущанов, В.Ф. Уточнённая оценка совместной работы тонколистовой мембранной обшивки с подкрепляющим элементом / В.Ф. Мущанов, В.А. Шпиньков // Металлические конструкции, 2018. - Т. 24. - № 3. - С. 133-141.

83. Мущанов, В.Ф. Учет совместной работы тонколистовой мембраны с подкрепляющими элементами стабилизирующей системы / В.Ф. Мущанов,

B.А. Шпиньков // Металлические конструкции, 2016. - Т. 22. - № 2. - С. 7989.

84. Мясоедова, Т.М. Построение обводов второго порядка гладкости из дуг кривых 2-го порядка / Т.М. Мясоедова // Россия молодая: передовые технологии - в промышленность. - 2019. - № 1. - С. 212-215. - DOI: 10.25206/2310-4597-2019-1-212-215.

85. Найдыш, А.В. Геометрическое моделирование ДПК с прямолинейными участками методом дискретной интерполяции на основе углов сгущения / А.В. Найдыш, Л.Е. Никифорова, Д.В. Спиринцев // Вестник Херсонского национального технического университета. - 2014. - № 3(50). -

C. 598-600.

86. Найдыш, А.В. Дискретная интерполяция пространственых дискретно представленных кривых с использованием угловых параметров / А.В. Найдыш, Д.В. Спиринцев // Науковий вюник тавршського державного

агротехнолопчного ушверситету. - 2011. - № 1-1. - С. 107-113.

87. Найдыш, В.М. Дискретная интерполяция табличных функций /

B.М. Найдыш // Прикладная геометрия и инженерная графика. - К.: Будiвельник, 1989. - Вып. 48. - С. 19-21.

88. Никулин, С.А. Противокоррозионная защита нефтегазопроводов на базе внедрения самодиагностики: дис. ... д-ра техн. наук: 2.2.8. /

C.А. Никулин. - Нижний Новгород, 2022. - 315 с.

89. Обобщенная многомерная интерполяция методом наименьших квадратов / Д.А. Мустафина, А.Е. Буракова, А.И. Мустафин, А.С. Александрова // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. - 2018. - № 27. - С. 30-48.

90. Особенности программирования с применением библиотек Scipy, №тру на отечественной аппаратно-программной платформе Эльбрус / А.А. Петров, В.В. Белоусов, О.Н. Масина, О.В. Дружинина // Системы управления, сложные системы: моделирование, устойчивость, стабилизация, интеллектуальные технологии: материалы VI Международной научно -практической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А. А. Шестакова, Елец, 16-17 сентября 2020 года / Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина. - Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2020. - С. 273-276.

91. Панчук, К.Л. Описание дискретно заданного плоского контура составной линией из дробно-рациональных кривых Безье второго порядка / К.Л. Панчук, Т.М. Мясоедова // Программные системы и вычислительные методы. - 2019. - № 3. - С. 49-60. - DOI: 10.7256/2454-0714.2019.3.30637.

92. Пахнутов, И.А. Многомерная интерполяция / И.А. Пахнутов // Интерактивная наука, 2017. - № 5(15). - С. 83-87.

93. Петров, И.Б. Библиотека методов интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках / И.Б. Петров, А.В. Фаворская // Информационные технологии. - 2011. - № 9. - С. 30-32.

94. Петров, М.С. Обработка данных моделирования интерполяцией кубическими сплайнами / М.С. Петров, А.В. Зотов // Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук: Материалы III научно-практической всероссийской конференции (школы-семинара) молодых ученых, Тольятти, 24-25 апреля 2017 года. - Тольятти: Издатель Качалин Александр Васильевич, 2017. -С. 462-465.

95. Потехин, В.А. Аппроксимация и интерполяция динамических рядов параболическими сплайнами / В.А. Потехин // Электронные средства и системы управления. Материалы докладов Международной научно-практической конференции. - 2016. - № 1-2. - С. 20-23.

96. Применение методов многомерной интерполяции при планировании сложных вычислительных экспериментов с суперкомпьютерными двойниками / Е.В. Глазунова, А.А. Деулин, М.С. Куликов, Н.В. Старостин // Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии: Труды XX Международной конференции, Нижний Новгород, 23-27 ноября 2020 года / под ред. проф. В.П. Гергеля. -Нижний Новгород: Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2020. - С. 116-119.

97. Приступа, А.В. Применение графической библиотеки GDI+ для решения задач аппроксимации и интерполяции / А.В. Приступа // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: материалы Десятой российской конференции с международным участием, пос. Катунь, 09-11 июня 2014 года / Министерство образования и науки Российской Федерации, Томский государственный университет, Горно-Алтайский государственный университет, Институт оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН. - пос. Катунь: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский Томский государственный университет, 2014. - С. 77-78.

98. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адамс. - М.: Мир, 2001. - 605 с.

99. Ромм, Я.Е. О библиотеке стандартных программ вычисления функций на основе кусочной интерполяции / Я.Е. Ромм, Г.А. Джанунц, Н.А. Медведкин // Современные наукоемкие технологии. - 2022. - № 11. - С. 57-70. - DOI: 10.17513/snt.39397.

100. Саадалов, Т. Методика расчета коэффициента корреляции Фехнера и Пирсона, и их области применения / Т. Саадалов, Р. Мырзаибраимов, Ж. Д. Абдуллаева // Бюллетень науки и практики. - 2021. - Т. 7. - № 10. - С. 270276. - DOI: 10.33619/2414-2948/71/31.

101. Субботин, Ю.Н. Аппроксимация производных функции при интерполяции Лагранжа на симплексах малых размерностей / Ю.Н. Субботин, Н. В. Байдакова // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. -2021. - Т. 312. - С. 272-281. - DOI: 10.4213/tm4154.

102. Сычева, А.А. Функционально-воксельное моделирование кривых Безье / А.А. Сычева // Геометрия и графика. - 2021. - Т. 9, № 4. - С. 63-72. -DOI: 10.12737/2308-4898-2022-9-4-63-72.

103. Толок, А.В. Построение функционально-воксельной модели рельефа методом билинейной интерполяции триангулированной сетки / А.В. Толок, Н.Б. Толок // XIII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2019: Сборник трудов XIII Всероссийского совещания по проблемам управления ВСПУ-2019, Москва, 17-20 июня 2019 года / Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. - Москва: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2019. - С. 3191-3196. - DOI: 10.25728/vspu.2019.3191.

104. Толчин С.М. Мелкозернистые бетоны на комбинированных заполнителях из отходов промышленности: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.05 / С.М. Толчин. - Макеевка, 1997. - 101 с.

105. Тюрюханов, К.Ю. Математическое моделирование физико-механических характеристик асфальтобетона с использованием отработанной

формовочной смеси / К.Ю. Тюрюханов, К.Г. Пугин // Транспорт. Транспортные сооружения. Экология, 2019. - № 1. - С. 54-61. - DOI: 10.15593/24111678/2019.01.07.

106. Федин, И.А. Интеллектуальные методы обработки информации: алгоритмы распознавания образов / И.А. Федин, В.А. Серов // Тенденции развития науки и образования. - 2020. - № 58-2. - С. 37-46. - DOI: 10.18411/^-02-2020-27.

107. Фокс, А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. / А. Фокс, М. Пратт. - М.: Мир, 1982. - 304 с.

108. Харитонов, А.М. Развитие методов оптимизации составов многокомпонентных строительных композитов / А.М. Харитонов // Фундаментальные исследования, 2015. - № 11-3. - С. 520-523.

109. Хачатуров, Р.В. Обобщенный метод множества эквивалентности для решения задач многокритериальной оптимизации / Р.В. Хачатуров // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. - 2020. -№ 1. - С. 109-118. - DOI: 10.31857/S000233881906009X.

110. Чекалин, А.А. Алгоритмы компьютерной графики на основе интегродифференциальных сплайнов / А.А. Чекалин // Проблемы управления, обработки и передачи информации (УОПИ-2018): Сборник трудов VI Международной научной конференции, посвященной 85-летию Ю.А. Гагарина, Саратов, 15-17 декабря 2018 года / Под редакцией А.А. Львова, М.С. Светлова. - Саратов: Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., 2019. - С. 440-446.

111. Чернышева, О.А. Вычислительные алгоритмы и компьютерные средства моделирования нерегулярной топографической поверхности: дис. . канд. техн. наук.: 05.13.18. / О.А. Чернышева. - Донецк, 2019. - 150 с.

112. Чижик, М.А. Алгоритмы конструирования графических оптимизационных моделей многофакторных процессов / М.А. Чижик, К.С. Яковенко, В.Я. Волков // Омский научный вестник. - Омск: ОмГТУ, 2012.

- №1(107) - С. 17-20.

113. Чижик, М.А. Графические оптимизационные модели многопараметрических технологических процессов легкой промышленности / М.А. Чижик, В.Я. Волков // Инженерный вестник Дона. - 2012. - № 3(21). -С. 87-94.

114. Чижик, М.А. Применение методов инженерной геометрии для решения задач оптимизации многофакторных процессов / М.А. Чижик,

B.Я. Волков, Е.Я. Сурженко // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2012. - Т. 18, № 4. - С. 840-848.

115. Чижик, М.А. Программное обеспечение для построения графических оптимизационных моделей Многофакторных процессов / М.А. Чижик, В.Я. Волков, Е.Я. Сурженко // Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. - 2012. - № 5(27). -

C. 95-101.

116. Шабалин, А.С. Сравнение двух методов распознавания образов геометрических фигур / А.С. Шабалин, И.И. Рахматуллов, Н.А. Полянин // Ученые записки УлГУ. Серия: Математика и информационные технологии. -2021. - № 2. - С. 82-89.

117. Шапович, Е.Г. Методы распознавания отпечатков пальцев и реализация на высокоуровневом языке программирования с# / Е.Г. Шапович, А.В. Шах // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика, 2019. - Т. 7. - № 1(44). - С. 477-480.

118. Ширяева, Е.В. Инновационные технологии распознавания образов на основе нейронных сетей в сельском хозяйстве / Е.В. Ширяева // Развитие АПК на основе принципов рационального природопользования и применения конвергентных технологий (Волгоград, 30 января - 01 февраля 2019 г.): материалы Межд. научно-практ. конф., проведенной в рамках Межд. научно-практ. форума. - Волгоград: ВГАУ. 2019. - С. 459-464.

119. Шитова, М. В. Методика и программа МаЙаЬ аппроксимации и интерполяции многомерных данных / М. В. Шитова, С. М. Кривель // Вестник

Иркутского университета. - 2019. - № 22. - С. 75-76.

120. Шурыгина, А.А. Автоматизированное распознавание картографических образов населённых пунктов / А.А. Шурыгина // Теоретические и прикладные проблемы географической науки: демографический, социальный, правовой, экономический и экологический аспекты (Воронеж, 12-16 ноября 2019 г.): материалы межд. научно-практ. конф. - Воронеж: ВГПУ, 2019. - С. 253-258.

121. Шустов, В.В. К решению интерполяционной задачи Эрмита для функции многих переменных / В.В. Шустов // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 20-й международной Саратовской зимней школы, Саратов, 28 января - 01 октября 2020 года / Редколлегия: А.П. Хромов (гл. редактор), Б.С. Кашин (зам. гл. редактора), Ю.С. Крусс (отв. секретарь) [и др.]. - Саратов: Издательство "Научная книга", 2020. - С. 463466.

122. Шустов, В.В. Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции / В.В. Шустов // Молодой учёный. - Чита: Издательство Молодой учёный, 2010. - №8(19)/2010. - Т.1. - С. 17-20.

123. Шутяева, О.И. Интерполяция экспериментальных данных с помощью кубических сплайнов / О.И. Шутяева, А.В. Кузько // Молодежь и XXI век - 2019 : материалы IX Международной молодежной научной конференции, Курск, 21-22 февраля 2019 года. Том 5. - Курск: Закрытое акционерное общество "Университетская книга", 2019. - С. 70-73.

124. Юдин, О.А. Интерполяция NURBS-кривыми в многомерном пространстве / О.А. Юдин // Научные труды Винницкого национального технического университета, 2008. - № 4. - С. 13.

125. Юдина, А.О. Компьютерное моделирование в строительном материаловедении / А.О. Юдина, Е.К. Грачева // Современные проблемы материаловедения: Сборник научных трудов III Всероссийской (национальной) научно-практической конференции, посвященной памяти д.т.н., профессора, академика Российской академии архитектуры и

строительных наук Е.М. Чернышова, Липецк, 18 февраля 2022 года. - Липецк: Липецкий государственный технический университет, 2022. - С. 180-185.

126. An approach to comparing multidimensional geometric objects / I.V. Seleznev [et al.] // Proceedings of the 31st International Conference on Computer Graphics and Vision (GraphiCon 2021) Nizhny Novgorod, Russia, September 27-30, 2021. - Vol. 3027. - pp. 682-688. - DOI: 10.20948/graphicon-2021-3027-682-688.

127. Balandin, D.V. Multicriteria minimax problems: localization of the Pareto set and suboptimal control design / D.V. Balandin, R.S. Biryukov, M.M. Kogan // Automation and Remote Control. - 2021. - Vol. 82. - No. 8. - pp. 1321-1337. - DOI: 10.1134/S0005117921080026.

128. Efrat, A. Curve matching, time warping, and light fields: New algorithms for computing similarity between curves / A. Efrat, Q. Fan, S. Venkatasubramanian // J. Mathematic Imaging and Vision, 2007. - No. 27. - pp. 203-216. - DOI: 10.1007/s 10851 -006-0647-0.

129. Gladin, E.L. Variance reduction for minimax problems with a small dimension of one of the variables / E.L. Gladin, E.D. Borodich // Computer Research and Modeling. - 2022. - Vol. 14. - No 2. - pp. 257-275. - DOI: 10.20537/20767633-2022-14-2-257-275.

130. Improving representation learning in autoencoders via multidimensional interpolation and dual regularizations / S. Qian [et al.] // Twenty-Eighth International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI-19), August 2019. - pp. 32683274. - DOI: 10.24963/ijcai.2019/453.

131. Kargin, V. Lattice Option Pricing By Multidimensional Interpolation / V. Kargin // Mathematical Finance, 2005. - Vol. 15(4). - pp. 635-647. - DOI: 10.2139/ssrn.367340.

132. Koledina, K.F. Solving the problem of multi-criteria optimization of the synthesis reaction of benzylalkyl esters by the method of "ideal" point and lexicographic ordering / K.F. Koledina, A.A. Alexandrova // Computational Mathematics and Information Technologies. - 2022. - Vol. 1, No. 1. - pp. 12-19. -

DOI: 10.23947/2587-8999-2022-1-1-12-19.

133. Konopatskiy, E.V. Geometric modeling of multifactor processes and phenomena by the multidimensional parabolic interpolation method / E.V. Konopatskiy, A.A. Bezditnyi // IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1441 (2020) - pp. 012063. - DOI: 10.1088/1742-6596/1441/1/012063.

134. Konopatskiy, E.V. Geometric approach to finding the best possible solutions based on composition optimization of the mixed aggregate of fine-grained concrete / E.V. Konopatskiy, A.I. Bumaga, A.A. Bezditnyi // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering: 2020 International Conference on Construction, Architecture and Technosphere Safety, ICCATS 2020, Sochi, 06-12 September 2020. - pp. 032031. - DOI: 10.1088/1757-899X/962/3/032031.

135. Konopatskiy, E.V. Modeling ofthe Stress-Strain State of Steel Tank with Geometric Imperfections / E.V. Konopatskiy, O.A. Shevchuk, A.A. Krysko // Construction of Unique Buildings and Structures. - 2022. - No 2(100). - pp. 10001. - DOI: 10.4123/CUBS.100.1.

136. Konopatskiy, E.V. Application of mixed geometric interpolants for modeling the strength characteristics of steel fiber concrete / E.V. Konopatskiy, A.A. Bezditnyi. - IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1546 (2020) -pp. 012037. - DOI: 10.1088/1742-6596/1546/1/012037.

137. Konopatskiy, E.V. Solid modeling of geometric objects in point calculus / E.V. Konopatskiy, A.A. Bezditnyi // CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the 31st International Conference on Computer Graphics and Vision (GraphiCon 2021) Nizhny Novgorod, Russia, September 27-30, 2021. - Vol. 3027. - pp. 666672. - DOI: 10.20948/graphicon-2021-3027-666-672.

138. Konopatskiy, E.V. The Problem of Visualizing Solid Models as a Three-Parameter Point Set / E.V. Konopatskiy, A.A. Bezditnyi // Scientific Visualization, 2022. - Vol. 14. - No. 2. - pp. 49-61. - DOI: 10.26583/sv.14.2.05.

139. Müller, M. Dynamic Time Warping. Dynamic Time Warping. In: Information Retrieval for Music and Motion / M. Müller. - Springer, Berlin, Heidelberg, 2007. - DOI: 10.1007/978-3-540-74048-3_4.

140. Michael Thomas Flanagan's Java Scientific Library. Точка доступа: https://www.ee.ucLac.uk/~mflanaga/java/ (дата обращения: 03.03.2023).

141. Ochiai, Y. Multidimensional numerical integration for meshless BEM / Y. Ochiai // Engineering Analysis with Boundary Elements, 2003. - Vol. 27(3). -pp. 241-249. - DOI: 10.1016/s0955-7997(02)00112-1.

142. Pamucar, D.S. Multiple-criteria model for optimal anti tank ground missile weapon system procurement / D.S. Pamucar, S.R. Dimitrijevic // Military Technical Courier. - 2021. - Vol. 69, No. 4. - pp. 792-827. - DOI: 10.5937/vojtehg69-32117.

143. Pan, X. A Novel Approach for Multidimensional Interpolation / X. Pan // Signal Processing Letters, IEEE, 1999. - Vol. 6 (2). - pp. 38-40. - DOI: 10.1109/97.739011.

144. Principles of solid modelling in point calculus / E.V. Konopatskiy, A.A. Bezditnyi, M.V. Lagunova, A.V. Naidysh. - IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1901 (2021) - pp. 012063. - DOI: 10.1088/17426596/1901/1/012063.

145. Recognition and inhibition of SARS-CoV-2 by humoral innate immunity pattern recognition molecules / M. Stravalaci [et al.] // Nature Immunology. 2022. -Vol. 23. - No 2. - pp. 275-286. - DOI: 10.1038/s41590-021-01114-w.

146. Recognition and sensing of organic compounds using analytical methods, chemical sensors, and pattern recognition approaches / S.K. Jha, R.D.S. Yadava, K. Hayashi, N. Patel // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 2019. - Vol. 185. - pp. 18-31. - DOI: 10.1016/j.chemolab.2018.12.008.

147. Tolok, A. Construction of the functional voxel model for a spline curve / A. Tolok, N. Tolok, A. Sycheva // CEUR Workshop Proceedings: 30, Saint Petersburg, 22-25 сентября 2020 года. - Saint Petersburg, 2020. - DOI: 10.51130/graphicon-2020-2-3-52.

148. Visualization and analysis of molecular potential energy surface (PES) and its minima / E. Popov, A. Batiukov, N. Vogt [et al.] // Multi Conference on Computer Science and Information Systems, MCCSIS 2019 - Proceedings of the

International Conferences on Interfaces and Human Computer Interaction 2019, Game and Entertainment Technologies 2019 and Computer Graphics, Visualization, Computer Vision and Image Processing 2019: 13, Porto, 16-18 июля 2019 года. -Porto, 2019. - pp. 411-415. - DOI: 10.33965/cgv2019_201906c059.

149. Visualization of Multidimensional Hypersurface Extrema by Lumigraph / E. Popov, T. Popova, A. Batiukov, N. Vogt // Scientific Visualization. - 2020. -Vol. 12, No. 2. - pp. 1-8. - DOI: 10.26583/sv.12.2.01.

150. Zheng, M. An approach of probability based multi-objective optimization considering robustness for material engineering / M. Zheng, H. Teng, Yi. Wang // Military Technical Courier. - 2022. - Vol. 70, No. 2. - pp. 283-296. -DOI: 10.5937/vojtehg70-35795.

Приложение А. Акты внедрения результатов исследований

ККпД

АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО «КОМБИНАТ КРУПНОПАНЕЛЬНОГО ДОМОСТРОЕНИЯ»

344016, г. Ростов-на-Дону, пер.1-й Машиностроительный, 5. Тел.: [phone]

Электронная почта: [e-mail]. сайт www.kkpd.ru

« //» УС 2022 г.

В специализированный совет по защите диссертаций

СПРАВКА

о внедрении результатов исследований диссертационной работы Селезнёва И.В.,

представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 2.5.1 Инженерная геометрия и компьютерная графика. Цифровая поддержка жизненного цикла изделия

Настоящая справка выдана ассистенту кафедры «Специализированные информационные технологии и системы» ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры» Селезнёву И.В. о том, что результаты его научно-исследовательской работы рассмотрены и приняты к внедрению в АО «Комбинат крупнопанельного домостроения» для оптимизации физико-механических свойств и составов композиционных строительных материалов.

Исследования Селезнёва И.В. обеспечили возможность оптимального проектирования составов комбинированного заполнителя из отходов промышленности и различных добавок, обеспечивающих требуемую прочность бетона при меньшей плотности, что позволяет получить более качественные эксплуатационные характеристики бетона и железобетонных изделий, облегчает вес конструкции.

Главный инженер АО «ККПД»

Е.А. Павлов

Приложение Б. Листинг программы для определения точечных уравнений кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на

е := е + ед[/]:

5:= {}: БА: = {}: БЫ := {}: Юг 1 !Тот 0 1о п do

5:= ¿иМФ

&4:= БА и{А[г + 1]}:

5ми{м[| + 1]}:

od:

Я:= solve(S, БА); assign(R); соПес^е, БЫ);

основе кривых Безье

restart; п:= 5; е:= 0;

Юг 1 !гот 0 1о п do

Приложение В. Листинг программы для сравнения кривых линий

restart; with(p/ots); ё := 8.440; п := 10; Юг ] !гош 0 1о п do х[] + 1] := ё*уп;

W[j + 1] := 7.67393071081329* 10А(-6)*х[] + 1]л6 - 0.000237654974337586*х[] + 1]л5 + 0.00279437778747944*х[] + 1]А4 - 0.0153425855185250*x[j + 1]А3 + 0.0385018512004803*x[j + 1]л2 - 0.0342866852583844*x[j + 1]; w[j + 1] := 0.004 + 7.67393071081329*10А(-6)*x[j + 1]А6 -0.000237654974337586*х[] + 1]А5 + 0.00279437778747944*x[j + 1]А4 -0.0153425855185250*x[j + 1^3 + 0.0385018512004803*x[j + 1^2 -0.0342866852583844*x[j + 1]; е^ do;

БЯ := suш(W[k], к = 1 .. п + 1)/(п + 1); Б := 8иш(^[к] - W[k])А2, к = 1 .. п + 1);

:= 8иш((ЗЯ - W[k])л2, к = 1 .. п + 1); Я2 := 1 - Б/81; еуа/ДК2);

Мх := 8иш^[к], к = 1 .. п + 1)/(п + 1);

Му := suш(w[k], к = 1 .. п + 1)/(п + 1);

ёху := suш((W[k] - Mx)*(w[k] - Му), к = 1 .. п + 1);

ёх2 := suш((W[k] - Мх^2, к = 1 .. п + 1);

ёу2 := suш((w[k] - Му)А2, к = 1 .. п + 1);

Яху := ёху/Бдг1(ёх2*ёу2);

Я := ^(К2*Кху);

W := 7.67393071081329*10А(-6)*хА6 - 0.000237654974337586*хА5 + 0.00279437778747944*хА4 - 0.0153425855185250*хА3 +

0.0385018512004803*хА2 - 0.0342866852583844*х;

w := 0.004 + 7.67393071081329*^(-6^6 - 0.000237б5497433758б*xЛ5 + 0.00279437778747944*xЛ4 - 0.0153425855185250*xЛ3 +

0.0385018512004803*xЛ2 - 0.0342866852583844*x; c1 :=plot(W, x = 0 .. d, color = red); c2 :=plot(w, x = 0 .. d, color = blue); display(c1, c2);

Приложение Г. Листинг программы для сравнения отсеков

поверхностей

restart; m := 2; n := 2; for i to m do

for j to n do u[i, j] := (i - 1)/(m - 1); v[i, j] := (j - 1)/(n - 1); Z1[i, j] := (-37.35*(u[i, j] - 1)A6*v[i, j]A6 + (170.1 - 1093.725*u[i, j]A5 + 2697.75*u[i, j]A4 - 3548.25*u[i, j]A3 + 2624.625*u[i, j]A2 - 1035.225*u[i, j] + 184.725*u[i, j]A6)*v[i, j]A5 + (-302.6 - 4627.1*u[i, j]A4 + 6461.9*u[i, j]A3 - 4904.85*u[i, j]A2 + 1920.95*u[i, j] -247.05*u[i, j]A6 + 1698.75*u[i, j]A5)*v[i, j]A4 + (99.225*u[i, j]A6 -1025.325000*u[i, j]A5 + 3525.175000*u[i, j]A4 + 254.3 - 5670.125*u[i, j]A3 + 4624.2*u[i, j]A2 - 1807.45*u[i, j])*v[i, j]A3 + (198.45*u[i, j]A5 - 1156.95*u[i, j]A4 -88.05 + 2436.15*u[i, j]A3 - 2283.3*u[i, j]A2 + 893.7*u[i, j])*v[i, j]A2 + (121.275*u[i, j]A4 - 446.625*u[i, j]A3 + 545.475*u[i, j]A2 - 217.325*u[i, j] - 2.8)*v[i, j] + 6.4 + 22.05*u[i, j]A3 - 45.9*u[i, j]A2 + 21.25*u[i, j])/(u[i, j]*v[i, j] - v[i, j] + 1.000000001)A3; Z2[i, j] := (-168.075*v[i, j]A3 + 350.325*v[i, j]A2 - 204.75*v[i, j] + 22.05)*u[i, j]A3 + (336.150*v[i, j]A3 - 670.95*v[i, j]A2 + 382.95*v[i, j] - 45.9)*u[i, j]A2 + (-205.425*v[i, j]A3 + 378.675*v[i, j]A2 - 194.6*v[i, j] + 21.25)*u[i, j] + 37.35*v[i, j]A3 - 58.05*v[i, j]A2 + 16.4*v[i, j] + 6.4; end do; end do;

Определяем суммы исходных данных для расчёта среднеарифметического x := 0; y := 0; for i to m do

for j to n do x := x + Z1[i, j]; y := y + Z2[i, j]; end do; end do;

x; y;

Определяем среднеарифметическое Mx := x/(m*n); My := y/(m*n);

Определяем суммы для расчёта коэффициента коррелляции Пирсона Бху := 0; Бх2 := 0; Бу2 := 0; Юг 1 Ю т do

Юг) Ю п do Бху := Бху + (71[1, ]] - Мх)*(72[1, ]] - Му); Бх2 := Бх2 + (71[1, ]] -Мх)А2; Бу2 := Бу2 + (72[1, ]] - Му)А2; end do; end do;

Определяем коэффициент корреляции Пирсона Яху := Бху/Бдг1(8х2 * Бу2);

Приложение Д. Листинг программы построения усреднённой

поверхности отклика

restart; with(p/ots)::

х1:=ха1*((1-и)А3-2.5*и*(1-и)А2+(1-и)*иА2)+ха2*(9*и*(1-и)А2-4.5*(1-

и)*иА2)+ха3*(-4.5*и*(1-и)А2+9*(1-и)*иА2)+ха4*(и*(1-и)А2-2.5*(1-и)*иА2+иА3);

у1:=уа1*((1-и)А3-2.5*и*(1-и)А2+(1-и)*иА2)+уа2*(9*и*(1-и)А2-4.5*(1-

и)*иА2)+уа3*(-4.5*и*(1-и)А2+9*(1-и)*иА2)+уа4*(и*(1-и)А2-2.5*(1-и)*иА2+иА3);

71:=7а1*((1-и)А3-2.5*и*(1-и)А2+(1-и)*иА2)+7а2*(9*и*(1-и)А2-4.5*(1-

и)*иА2)+7а3*(-4.5*и*(1-и)А2+9*(1-и)*иА2)+7а4*(и*(1-и)А2-2.5*(1-и)*иА2+иА3);

х2:=хЬ1*(1-и)*(1-2*и)+4*хЬ2*и*(1-и)+хЬ3*и*(2*и-1);

у2:=уЬ1*(1-и)*(1-2*и)+4*уЬ2*и*(1-и)+уЬ3*и*(2*и-1);

72:=7Ь1*(1-и)*(1-2*и)+4*7Ь2*и*(1-и)+7Ь3*и*(2*и-1);

х3: =хс 1*(1 -и)+хс2*и;

у3: =ус 1*(1 -и)+ус2*и;

73: =7с 1*(1 -и)+7с2*и;

х4:=хё1: у4:=уё1: 74:=7ё1:

х:=х1*((1-у)А3-2.5*у*(1-у)А2+(1-у)*уА2)+х2*(9*у*(1-у)А2-4.5*(1-

у)*уА2)+х3*(-4.5*у*(1-у)А2+9*(1-у)*уА2)+х4*(у*(1-у)А2-2.5*(1-у)*уА2+уА3);

у:=у1*((1-у)А3-2.5*у*(1-у)А2+(1-у)*уА2)+у2*(9*у*(1-у)А2-4.5*(1-

у)*уА2)+у3*(-4.5*у*(1-у)А2+9*(1-у)*уА2)+у4*(у*(1-у)А2-2.5*(1-у)*уА2+уА3);

7:=71*((1-у)А3-2.5*у*(1-у)А2+(1-у)*уА2)+72*(9*у*(1-у)А2-4.5*(1-у)*уА2)+73*(-

4.5*у*(1-у)А2+9*(1-у)*уА2)+74*(у*(1-у)А2-2.5*(1-у)*уА2+уА3);

ха1:=0;хЬ1:=0;хс1:=0;хё1:=0;

ха2 :=100/3 ;хЬ2 :=100/3 ;хс2 :=100/3;

ха3: =200/3;хЬ3: =200/3; ха4:=100;

уа1:=0;уЬ1:=100/3 ;ус1:=200/3;уё1:=100;

уа2:=0 ;уЬ2 :=100/3 ;ус2: =200/3;

уа3:=0;уЬ3:=100/3; уа4:=0;

za1:=6.4;zb1:=6.8;zc1:=2.6;zd1:=2.1; za2:=9.2;zb2:=4.1;zc2:=2.3; za3:=6.7;zb3:=2.9; za4:=3.8; x:=smplify(x); y:=simplify(y); z:=simplify(z); s 1: =plot3d([x,y,z],v=0.. 1 ,u=0 ..1);

p1: =pointplot3d([xa1, ya1, za1], symbolsize = 30, color = black):

p2: =pointplot3d([xa2, ya2, za2], symbolsize = 30, color = black):

p3: =pointplot3d([xa3, ya3, za3], symbolsize = 30, color = black):

p4: =pointplot3d([xa4, ya4, za4], symbolsize = 30, color = black):

p5: =pointplot3d([xb 1, yb1, zb1], symbolsize = 30, color = black):

p6: =pointplot3d([xb2, yb2, zb2], symbolsize = 30, color = black):

p7: =pointplot3d([xb3, yb3, zb3], symbolsize = 30, color = black):

p8: =pointplot3d([xc1, yc1, zc1], symbolsize = 30, color = black):

p9: =pointplot3d([xc2, yc2, zc2], symbolsize = 30, color = black):

p10:=pointplot3d([xd1, yd1, zd1], symbolsize = 30, color = black): x111: =xa1 *((1 -v)A3 -2.5*v*(1 -v)A2+( 1 -v)*vA2)+xb 1*(9*v*(1 -v)A2-4.5*(1-v)*vA2)+xc1*(-4.5*v*(1-v)A2+9*(1-v)*vA2)+xd1*(v*(1-v)A2-2.5*(1-v)*vA2+vA3);

y111:=ya1*((1-v)A3-2.5*v*(1-v)A2+(1-v)*vA2)+yb1*(9*v*(1-v)A2-4.5*(1-

v)*vA2)+yc1*(-4.5*v*(1-v)A2+9*(1-v)*vA2)+yd1*(v*(1-v)A2-2.5*(1-

v)*vA2+vA3);

z111:=za1*((1-v)A3-2.5*v*(1-v)A2+(1-v)*vA2)+zb1*(9*v*(1-v)A2-4.5*(1-

v)*vA2)+zc1*(-4.5*v*(1-v)A2+9*(1-v)*vA2)+zd1*(v*(1-v)A2-2.5*(1-v)*vA2+vA3);

x222: =xa2 *(1-v)*(1 -2*v)+4*xb2*v*(1 -v)+xc2*v* (2*v-1);

y222:=ya2*(1-v)*(1 -2*v)+4*yb2*v*(1 -v)+yc2*v* (2*v-1);

z222: =za2 *(1-v)*(1-2 *v)+4 * zb2*v* (1 -v)+zc2*v* (2*v-1);

x333: =xa3 *(1 -v)+xb3 *v;

y333:=ya3*(1 -v)+yb3 *v;

z333:=za3*(1-v)+zb3*v;

x444:=xa4: y444:=ya4: z444:=za4:

x22:=x111*((1-u)л3-2.5*u*(1-u)л2+(1-u)*uл2)+x222*(9*u*(1-u)л2-4.5*(1-

u)*uЛ2)+x333*(-4.5*u*(1-u)Л2+9*(1-u)*uЛ2)+x444*(u*(1-u)Л2-2.5*(1-

u)*^2+^3);

y22:=y111*((1-u)л3-2.5*u*(1-u)л2+(1-u)*uл2)+y222*(9*u*(1-u)л2-4.5*(1-

u)*uЛ2)+y333*(-4.5*u*(1-u)Л2+9*(1-u)*uЛ2)+y444*(u*(1-u)Л2-2.5*(1-

u)*^2+^3);

z22:=z111*((1-u)л3-2.5*u*(1-u)л2+(1-u)*uл2)+z222*(9*u*(1-u)л2-4.5*(1-

u)*uЛ2)+z333*(-4.5*u*(1-u)Л2+9*(1-u)*uЛ2)+z444*(u*(1-u)Л2-2.5*(1-

u)*^2+^3);

x22:= simplify(x22); y22:=simplify(y22); z22:=simplify(z22); s2:=plot3d([x22,y22,z22],v=0..1,u=0..1, color=green); display([s1,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10]); x33:=(x+x22)/2; y33:=(y+y22)/2; z33:=(z+z22)/2; s3:=plot3d([x33,y33,z33],v=0.. 1 ,u=0.. 1, color=grey);

x1111:=xа4*((1-v)л3-2.5*v*(1-v)л2+(1-v)*vл2)+xb3*(9*v*(1-v)л2-4.5*(1-

v)*vЛ2)+xc2*(-4.5*v*(1-v)Л2+9*(1-v)*vЛ2)+xd1*(v*(1-v)Л2-2.5*(1-

v)*vЛ2+vЛ3);

y1111:=ya4*((1-v)л3-2.5*v*(1-v)л2+(1-v)*vл2)+yb3*(9*v*(1-v)л2-4.5*(1-

v)*vЛ2)+yc2*(-4.5*v*(1-v)Л2+9*(1-v)*vЛ2)+yd1*(v*(1-v)Л2-2.5*(1-

v)*vЛ2+vЛ3);

z1111:=za4*((1-v)л3-2.5*v*(1-v)л2+(1-v)*vл2)+zb3*(9*v*(1-v)л2-4.5*(1-

v)*vЛ2)+zc2*(-4.5*v*(1-v)Л2+9*(1-v)*vЛ2)+zd1*(v*(1-v)Л2-2.5*(1-v)*vЛ2+vЛ3);

x2222: =xa3 *(1-v)*(1 -2*v)+4*xb2*v*( 1 -v)+xc 1*v*(2*v-1);

y2222:=ya3*(1-v)*(1 -2*v)+4*yb2*v*( 1 -v)+yc 1*v*(2*v-1);

z2222: =za3 *(1-v)*(1-2 *v)+4 * zb2*v*( 1 -v)+zc1*v*(2*v-1);

x3333:=xa2*(1-v)+xb1*v;

y3333:=ya2*(1-v)+yb1*v;

z3333:=za2*(1 -v)+zb 1 *v;

x4444:=xa1: y4444:=ya1: z4444:=za1:

x44:=x1111*((1-u)л3-2.5*u*(1-u)л2+(1-u)*uл2)+x2222*(9*u*(1-u)л2-4.5*(1-

u)*uЛ2)+x3333*(-4.5*u*(1-u)Л2+9*(1-u)*uЛ2)+x4444*(u*(1-u)Л2-2.5*(1-

u)*^2+^3);

y44:=y1111*((1-u)л3-2.5*u*(1-u)л2+(1-u)*uл2)+y2222*(9*u*(1-u)л2-4.5*(1-

u)*uЛ2)+y3333*(-4.5*u*(1-u)Л2+9*(1-u)*uЛ2)+y4444*(u*(1-u)Л2-2.5*(1-

u)*^2+^3);

z44:=z1111*((1-u)л3-2.5*u*(1-u)л2+(1-u)*uл2)+z2222*(9*u*(1-u)л2-4.5*(1-

u)*uЛ2)+z3333*(-4.5*u*(1-u)Л2+9*(1-u)*uЛ2)+z4444*(u*(1-u)Л2-2.5*(1-

u)*^2+^3);

x44:= simplify(x44); y44:=simplify(y44); z44:=simplify(z44);

s4:=plot3d([x44,y44,z44],v=0.. 1 ,u=0.. 1, color=blue);

display([s 1,s2,s3 ,s4, p 1 ,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p 10]);

x55:=(x+x22+x44)/3; y55:=(y+y22+y44)/3; z55:=(z+z22+z44)/3;

s5:=plot3d([x55,y55,z55],v=0.. 1 ,u=0.. 1, color=grey);

R2: =solve({x22=X2,y22=Y2}, {u,v}); assign(R2);

u; v;

z22:=simplify(z22);