Моделирование и обработка числовых данных с помощью унифицированной технологии построения интерполяционных сплайнов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Дорофеев, Алексей Анатольевич

• Дорофеев, Алексей Анатольевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Дорофеев, Алексей Анатольевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ, МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВЫХ МОДЕЛЕЙ И ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ, СОДЕРЖАЩИХ СПЛАЙНЫ

1.1. Сплайны как универсальный метод моделирования числовых данных

1.2. САПР и ГИС как основные применения сплайнов в вычислительных приложениях

1.2.1. САПР как прикладная сфера использования интерполяционных сплайнов

1.2.2. ГИС как прикладная сфера использования интерполяционных сплайнов

1.3. Объектно-ориентированная реализация общей задачи сплайновой

интерполяции

Выводы по главе 1

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ПРИ РАЗРАБОТКЕ МЕТОДИЧЕСКИХ ОСНОВ ОБОБЩЁННОЙ ОБЪЕКТНО-

ОРИЕНТИРОВАННОЙ ТЕХНОЛОГИИ ПОСТРОЕНИЯ СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ

2.1. Унифицированный подход к моделированию интерполяционными сплайн-функциями, заданными на линейных оболочках

2.2. Построение сетки узлов склеивания как задача моделирования, решаемая на предварительном этапе сплайновой интерполяции

2.3. Построение биортогонального базиса как основной методический этап технологии моделирования обобщёнными сплайнами

2.4. Построение и решение систем линейных уравнений как основной методический этап технологии моделирования обобщёнными сплайнами

2.5. Интерполяция при решении практических задач и Ь-сплайны как обобщённый метод моделирования

2.5.1. Интерполяция данных об изменении свойств титана при нагревании

2.5.2. Интерполяция данных о режиме биений при вынужденных колебаниях вблизи резонанса и при резонансе

2.5.3. Интерполяция образующей сечения замкнутой ёмкости цилиндрической

формы с эллиптическими днищами

Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ИХ МОДИФИКАЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ОСНОВНЫХ МЕТОДИЧЕСКИХ БЛОКОВ ОБОБЩЁННОЙ ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ ТЕХНОЛОГИИ

ПОСТРОЕНИЯ СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ

3.1. Методы решения задачи построения сетки узлов склеивания, не совпадающих с точками исходных данных

3.1.1. Решение задачи построения сетки узлов склеивания с помощью генетического алгоритма

3.1.2. Решение задачи построения сетки узлов склеивания с помощью аналитического метода

3.2. Модификации алгоритма вычисления производных высоких порядков в условиях объектно-ориентированного подхода

3.3. Методы объектно-ориентированной реализации основных этапов технологии построения обобщённого одномерного сплайна. Качественные тесты

3.4. Метод последовательных Ь-сплайновых приближений

3.5. Адаптация классов для работы с большими числами к выполнению расчётов сплайновых моделей с экспоненциальными функциональными

составляющими

Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ СТРУКТУРНЫХ КОМПОНЕНТ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА «МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ СПЛАЙНОВ»

4.1. Архитектура программного комплекса «Моделирование и обработка данных с помощью интерполяционных сплайнов»

4.2. Реализация технологии построения интерполяционных сплайнов, заданных на линейных оболочках

4.2.1. Класс производных высших порядков сложных функций

4.2.2. Классы, реализующие построение интервальных представлений сплайновых моделей

4.3. Реализация методов расчёта сетки узлов склеивания для построения сплайн-функций

4.3.1. Классы для поддержки процедур случайного выбора в схеме генетического алгоритма

4.3.2. Модуль, реализующий аналитический метод построения сеток узлов склеивания сплайн-функций

4.4. Класс больших рациональных чисел

4.5. Основные компоненты интерфейса программного комплекса

Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Табличные и графические материалы по результатам решения прикладных задач с помощью программного комплекса «Моделирование и

обработка числовых данных с помощью интерполяционных сплайнов»

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Листинг и результаты работы программ тестирования основных классов программного комплекса «Моделирование и обработка

числовых данных с помощью интерполяционных сплайнов»

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. иМЬ-диаграммы структуры и основных классов программного комплекса «Моделирование и обработка числовых данных с помощью интерполяционных сплайнов»

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Визуализация результатов работы программного комплекса «Моделирование и обработка числовых данных с помощью интерполяционных

сплайнов» в графическом редакторе

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Методические пояснения к модификациям графического

редактора и списки входных параметров

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Копии свидетельств о регистрации программ и сертификатов

об участии в конференциях

ПРИЛОЖЕНИЕ 7. Документы, подтверждающие внедрение разработок автора

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и обработка числовых данных с помощью унифицированной технологии построения интерполяционных сплайнов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Сплайны широко применяются в теории приближения благодаря хорошим аппроксимативным свойствам, универсальности и обеспечивают простоту реализации вычислительных алгоритмов, полученных на их основе. Потенциальные возможности сплайнов значительно шире, чем просто описание некоторых кривых. Сплайно-вые методы эффективно используются при моделировании большого количества различных процессов реального мира. К настоящему времени имеется большое количество теоретических разработок в этой области, предложены различные методы и алгоритмы построения сплайнов и разработаны многочисленные подсистемы машинной графики и геометрического моделирования, занимающие центральное место в машиностроительных САПР. Конструирование изделий с помощью САПР-К (CAD) проводится в интерактивном режиме при оперировании геометрическими моделями, важной составной частью которых является описание поверхностей; наиболее популярны описания неплоских поверхностей кубическими уравнениями в форме Безье или B-сплайнов. В архитектуре и математическом обеспечении современных САПР-Т (CAM) и систем ЧПУ заложены методы сплайновой интерполяции, разработка которых основана на применении алгоритмов, учитывающих особенности программирования сложных поверхностей, принципы разработки программного обеспечения станков и конфигурацию систем ЧПУ. Актуальность задачи поиска эффективных методов моделирования сплайн-функциями и разработки соответствующих алгоритмов подтверждается фактом проведения с 1998 г. российских и международных конференций по методам сплайн-функций, в том числе конференция «Методы сплайн-функций», по-свящённая 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова (31 января - 2 февраля 2011 г.), на которой было представлено 54 доклада.

Выбор математического метода является типичной проблемой, с которой периодически сталкиваются все пользователи прикладных пакетов моделирования. Это объясняет существование огромного количества работ по тематике математического моделирования, разработке новых методов, вариаций и модификаций существующих, а также неослабевающий интерес исследователей к этой задаче. Можно констатировать, что на сегодняшний день отсутствуют общепризнанные и неоспоримые критерии выбора того или иного метода моделирования для решения конкретной прикладной задачи, и продолжение исследований этом направлении по-прежнему стоит в повестке дня. Всё сказанное выше касается, в частности, сплайновых методов моделирования.

Проблеме практического использования сплайновых методов интерполяции посвящены сотни фундаментальных монографий и учебных пособий (Дж. Алберг, В. Нильсон, Дж. Уолш, К. де Бор, Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л., Василенко В.А. и др.), а также диссертационных исследований в России (Иванченко А.Н., Романовский Л.М., Мирошниченко П.В., Орлов С.Е., Богданов В.В., Крымова Е.А., Плавник А.Г., Ромакина О.М., Макаров А.А. и др.) и за рубе-

жом (G. Muntingh, B.T.T. Yeo, A.P. Sibileau и др.). Количество публикаций в периодических изданиях и трудах конференций по данной тематике исчисляется тысячами. Для решения прикладных задач моделирования предлагается использовать как классические методы, так и специализированные для решения того или иного типа задач.

Количество публикаций в периодических изданиях и трудах конференций по данной тематике исчисляется тысячами. Для решения прикладных задач моделирования предлагают использовать как классические методы (кубические, полиномиальные сплайны и различные их модификации), так и специализированные для решения того или иного типа задач (локально-аппроксимационные сплайны, нелокальная сплайновая интерполяция, минимальные сплайны лагранжева типа и т.д..) При этом рассматриваются такие теоретические и практические задачи, как математическое моделирование потоков данных, задачи геометрического моделирования, моделирование сигналов систем с нестационарными возмущениями, задачи картирования свойств геологических объектов, задача статического изгиба тонких пластинок из изотропного идеально упругого материала, моделирование скользящего контакта для геометрически абсолютно плоских лучей и др.

Отсутствие универсальных критериев выбора того или иного сплайнового метода для решения каждой конкретной прикладной задачи, имеющих высокую степень математической строгости и учитывающих последующую компьютерную реализацию, делает актуальной задачу разработки системы с максимальным охватом теоретически возможных конструкций, получаемых в результате моделирования методами сплайн-функций, а также реализующей максимально унифицированный подход к построению сплайн-функций с учётом сегодняшних реалий их применения на практике - объектно-ориентированные языки программирования, использование шаблонных конструкций. Заслуживает внимания идея обобщения различных методов и алгоритмов при построении общей схемы моделирования сплайн-функциями. Как показал обзор публикаций, наиболее естественным способом обобщения является выделение трёх основных стадий, являющихся общими при построении различных сплайн-функций: подготовка исходных данных для моделирования - задание недостающих условий, построение интерполяционной сетки; выбор базиса - набора линейно независимых функций для построения линейной оболочки; непосредственное построение сплайновой модели - вычисление значений коэффициентов для отрезков, получение расчётных формул сплайн-функции.

В постоянном развитии находится рынок систем автоматизированного проектирования и геоинформационных систем. В России и странах СНГ наиболее широко распространён программный пакет AutoCAD, разработанный компанией Autodesk более 20 лет назад. Дальнейшим развитием линейки продуктов Autodesk являются приложение Autodesk Architectural Desktop для архитектурно-строительного проектирования, программа Autodesk Building Systems для проектирования внутренних инженерных сетей и многие другие разработки. Геоинформационная система ArcGIS компании ESRI (США) лидирует на мировом рын-

ке ГИС, в том числе в сегменте муниципальных и государственных ГИС. Верхние строчки мировых рейтингов занимают такие отечественные и зарубежные разработки в области САПР, как ArchiCAD (Graphisoft, Nemetschek, Германия), ArCon «Архитектура и дизайн» (Еврософт, Россия), ArfaCAD (Россия), Appplan (Nemetschek, Германия), и ГИС - GRASS GIS (U.S. Army Corps of Engineers, США), gvSIG (gvSIG Association), QGIS (QGIS Development Team).

Всё это свидетельствует об актуальности проведения теоретических и прикладных исследований по тематике сплайновых методов моделирования, а также построению эффективных компьютерных реализаций разрабатываемых методов и алгоритмов.

Объектом исследования диссертационной работы являются методы сплайн-функций, их применение для обработки числовых данных.

Предметом исследования являются математические модели, методы и алгоритмы построения сплайн-функций, а также программные комплексы, использующие методы сплайн-функций для построения математических моделей.

Целью диссертационной работы является исследование математических моделей, построенных на основе сплайновых методов, программных модулей и комплексов, содержащих реализацию сплайнов, и создание обобщённой системы сплайнового моделирования, позволяющей усовершенствовать прикладные исследования посредством разработки расширяемых пакетов с возможностью выполнения содержательного анализа, а также пополнения библиотеки сплайновых методов с учётом практических требований к построению математических и компьютерных моделей.

Задачи диссертационной работы:

1. Выполнить содержательный анализ и систематизацию методов сплайн-функций; выявить методические особенности и свойства, являющиеся общими для существующего многообразия сплайновых методов. Разработать унифицированную методику, учитывающую смысловую общность основных алгоритмических этапов, выполняемых при построении сплайн-функций.

2. Выполнить формализацию основных алгоритмических этапов, составляющих процесс построения сплайн-функций; для каждого этапа определить арсенал используемых математических методов, реализующих этот этап, и обосновать необходимость разработки или модификации используемых методов для обеспечения корректности работы технологии, основанной на унифицированной методике построения сплайн-функций.

3. Реализовать математические методы, выполняемые на каждом из этапов обобщённой технологии построения сплайн-функций, с использованием основных принципов объектно-ориентированного программирования. С помощью качественных тестов показать корректность работы программных модулей, реализующих последовательные этапы моделирования.

4. Реализовать методы построения сплайновых приближений с использованием ручного управления параметрами для реализации возможности расчёта сплайновых моделей, а также корректировки числовых и функциональных пара-

метров пользователем в интерактивном режиме, и автоматического управления параметрами для реализации возможности решения задач построения гладких сплайновых приближений с заданной точностью средствами обобщённой технологии построения сплайн-функций с программным расчётом значений числовых параметров.

5. Разработать общую структуру вычислительного ядра программного комплекса моделирования обобщёнными сплайнами - иерархию классов, реализующих основные этапы технологии построения сплайн-функций, а также ряд вспомогательных классов для обеспечения работоспособности вычислительного ядра, и реализовать с использованием парадигм обобщённого и объектно -ориентированного программирования.

6. Разработать и реализовать интерфейс программного комплекса моделирования обобщёнными сплайнами, позволяющий организовать интерактивное взаимодействие с пользователем посредством формирования списков для выбора значений числовых и функциональных параметров сплайнов из списка возможных значений, а также визуализации результатов выполнения последовательных этапов построения сплайн-функций, позволяющей выполнять пользовательскую оценку и планировать дальнейшие манипуляции с параметрами сплайн-функций с целью улучшения качественных свойств модели.

7. Разработать общую структуру программного комплекса моделирования обобщёнными сплайнами с организацией взаимодействия вычислительного ядра и интерфейса и реализовать посредством написания системных процедур, выполняющих обмен параметрами с проверкой корректности построения передаваемого набора.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные и практические результаты:

в области математического моделирования:

- впервые формализация задачи построения интерполяционных сплайнов выполнена с выделением трёх основных этапов, повторяющихся для существующего многообразия сплайн-функций: построение сетки узлов склеивания сплайна, построение базисного набора линейно независимых функций, составление решающей системы уравнений и нахождение коэффициентов интервальных представлений сплайн-функции, что позволило систематизировать подходы к рассмотрению каждой из локальных задач, последовательно решаемых на каждом этапе;

- предложен и реализован с использованием средств объектно-ориентированного программирования общий конструктивный подход, позволяющий получать экономичные интервальные представления интерполяционных сплайнов в форме разложения по специальным образом конструируемым функциям, образующим биортогональный базис по отношению к заданному набору линейно независимых функционалов;

- впервые для расчёта узлов склеивания сплайн-функции в нетривиальном случае использования базисов нечётной размерности для моделирования точеч-

ных исходных данных решена задача оптимизации с системой уравнений, определяющих условия единства биортогонального базиса на всём отрезке интерполяции, и ограничениями, обеспечивающими принадлежность узлов склеивания соответствующим интервалам между точками исходных данных; введён в рассмотрение дополнительный параметр, определяющий положение узлов склеивания относительно точек исходных данных;

в области численных методов:

- предложен обобщённый метод вычисления производных высоких порядков от сложных функций, поволяющий наряду со значением функции в некоторой точке возвращать также значения её производных в этой же точке в виде числового массива; определён оптимальный алгоритм для программной реализации вычисления массива значений производных; разработан шаблонный класс DerivHЮrd с возможностью вычисления производных высоких порядков, рассматривающий вещественные и комплексные функции как объекты, содержащие представление значений функции и производных в виде единого числового массива;

- впервые для решения задачи нахождения узлов склеивания в нетривиальном случае предложено использовать генетический алгоритм - эвристический алгоритм поиска, используемый для решения задач оптимизации и моделирования с использованием методов естественной эволюции;

- впервые задача построения сплайнового приближения, удовлетворяющего заданным критериям точности и гладкости, решена с использованием механизма автоматического управления параметрами функций, образующих базисы семейств L-сплайнов; установлена корреляционная зависимость между линейной комбинацией контрольных функций и величиной отклонения L-сплайнового приближения от исходной модели; разработан итерационный метод вычисления значений численных параметров сплайна на основе решения корреляционной СЛУ и сравнительного анализа последовательных L-сплайновых приближений;

в области комплексов программ:

- предложена оригинальная структура инструментального программного комплекса «Моделирование и обработка числовых данных с помощью интерполяционных сплайнов», обладающая значительными преимуществами перед специализированными программными пакетами моделирования и позволяющая проводить научные исследования с содержательным анализом различных сплайно-вых методов, в том числе традиционно не используемых для решения определённого типа практических задач моделирования;

- разработано оригинальное вычислительное ядро программного комплекса с использованием парадигмы объектно-ориентированного программирования, содержащее программную реализацию основных методических этапов построения сплайновых моделей в виде иерархии классов, включая шаблоны;

- выполнена программная реализация интерфейсной части программного комплекса, включая парсер выражений, позволяющий генерировать древовидные структуры для организации вычислений с использованием объектов класса произ-

водных высоких порядков DerivHЮrd, и графический редактор с возможностью результатов выполнения последовательных этапов построения сплайн-функций.

Теоретическая значимость диссертационной работы:

- разработана унифицированная методика, учитывающая смысловую общность основных алгоритмических этапов построения сплайн-функций и позволяющая усовершенствовать прикладные исследования в области сплайново-го моделирования.

- выполнен анализ способов размещения узлов склеивания сплайна, используемых при построении интерполяционной сетки, установлена невозможность корректного использования стандартных способов расстановки узлов в общем случае; сформулирована задача оптимизации для расчёта узлов склеивания в нетривиальном случае.

- использование значений функции и её производных в узлах сетки в качестве функционалов, участвующих в построении интервальных представлений сплайна, упростило выполнение процедуры склеивания соседних фрагментов сплайна, а также позволило непосредственно использовать интерполяционные условия в качестве коэффициентов сплайна.

- разработан алгоритм вычисления производных высоких порядков от сложных функций, учитывающий возможность представления расчётных формул для производных аналитических функций в терминах полных полиномов Белла, а также специфику детерминантного представления полного полинома Белла и являющийся оптимальным по времени, требуемому для расчёта.

- показано, что использование генетического алгоритма в структуре обобщённой технологии сплайнового моделирования оправдано с вычислительной точки зрения, так как позволило без существенных затрат времени получить решение задачи, удовлетворяющее условиям единства биортогонального базиса на всём отрезке интерполяции.

Практическая значимость диссертационной работы:

- унификация алгоритмической составляющей позволила снизить требования к квалификации конечного пользователя - исследователя, моделиста - в области теории сплайнов, используя набор базисных функций в качестве единого «хранилища» всей информации о применяемом методе, включая набор числовых параметров, а также конструктивные особенности метода;

- применение класса производных высоких порядков DerivHiOrd позволило повысить степень автоматизации и оптимизировать реализацию вычислительных этапов технологии сплайнового моделирования, включая построение биортого-нального базиса, решающей СЛУ, вычисление значений интерполирующей функции и производных на основе интервальных представлений;

- использование вычислительного ядра при разработке программных комплексов моделирования, имеющих практическое применение, позволило усовершенствовать реализацию сплайновых методов, а также создавать расширяемые системы моделирования с возможностью пополнения методической библиотеки

разрабатываемого ПО посредством соотнесения новых сплайновых методов с соответствующими наборами базисных функций;

- результаты диссертационной работы используются в работе АО (бывш. ФГУП) ВНИГРИуголь при разработке структуры и содержания цифровых геологических моделей угольных объектов и программных средств моделирования, ООО МИП «Композитспецмаш» при решении задач интерполирования профилей днищ оболочек вращения, образованных намоткой;

- результаты диссертационной работы могут быть использованы в учебном процессе ЮРГПУ (НПИ) имени М.И. Платова при реализации магистерских и бакалаврских программ в дисциплинах «Программное обеспечение систем автоматизированного проектирования», «Объектно-ориентированный анализ и программирование», «Структуры и алгоритмы компьютерной обработки данных», «Планирование и обработка результатов вычислительного эксперимента», «Современные методологии разработки программного обеспечения».

Методология и методы исследования. Для решения поставленных в работе задач использованы методы математического и компьютерного моделирования, линейной алгебры, вычислительной математики и компьютерной графики, реализующие различные стадии многоэтапного процесса построения интерполяционных сплайнов: обобщённые методы вычисления производных высоких порядков на основе формул Фаа-ди-Бруно для построения биортогонального базиса сплайна; алгоритмы решения СЛУ специального вида с привлечением соответствующих численных методов для расчёта биортогональных базисных коэффициентов сплайна; модификация генетического алгоритма с репродукцией со случайной маской для вычисления положения узлов склеивания; корреляционный анализ отклонений параметрических сплайнов для прогнозирования оптимального значения параметра при построении сплайновых моделей, удовлетворяющих заданным критериям точности и гладкости; метод БВЕ для быстрого вычисления экспоненциальных функций с большими значениями показателя; язык C++ как средство реализации вычислительного ядра программного комплекса с организацией иерархической структуры классов на основе концепции обобщённого программирования. Визуализация результатов моделирования выполняется посредством пар-синга формульных представлений базисных функций и организации межязыково-го обмена численной информацией между вычислительным ядром и графическим Java-редактором.

Положения, выносимые на защиту.

1. Предложен общий конструктивный подход, отличающийся от существующих использованием формы разложения сплайна по функциям, образующим биортогональный базис, что позволяет непосредственно использовать интерполяционные условия в качестве коэффициентов сплайна и таким образом управлять формой сплайна посредством изменения базисных коэффициентов на основе дополнительной информации о моделируемой функции (соответствует области исследования 2 паспорта специальности - Развитие качественных и приближённых аналитических методов исследования математических моделей).

2. Предложен способ выбора узлов склеивания сплайн-функций, отличающийся от известных способов систематическим подходом, который заключается в решении системы уравнений и ограничений, обеспечивающих принадлежность узлов склеивания соответствующим интервалам и одинаковость относительного расположения узлов склеивания относительно точек исходных данных, что позволяет упростить задачу интерполяции за счет сохранения единства биортого-нального базиса на всём отрезке интерполяции (соответствует области исследования 2 паспорта специальности - Развитие качественных и приближённых аналитических методов исследования математических моделей).

3. Предложен метод одновременного вычисления производных высоких порядков от сложных функций и выбран эффективный алгоритм для объектно-ориентированной программной реализации метода, отличающийся от существующих использованием общих формул вычисления производных высоких порядков и реализованный в виде шаблонного класса, позволяющего вместе со значением функции в некоторой точке возвращать также значения её производных до заданного порядка в этой же точке в виде числового массива (соответствует области исследования 3 паспорта специальности - Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий).

4. Выполнена реализация построения математических моделей с помощью метода последовательных L-сплайновых приближений, отличающаяся от существующих возможностью автоматического поиска значений параметров интерполяционного сплайна, удовлетворяющих заданным критериям точности, что позволило исключить необходимость ручного подбора параметров при решении задач построения математических моделей с заданной точностью (соответствует области исследования 3 паспорта специальности - Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий).

5. Предложена оригинальная структура инструментального программного комплекса «Моделирование и обработка числовых данных с помощью интерполяционных сплайнов», позволяющая проводить научные исследования с содержательным анализом различных сплайновых методов, в том числе традиционно не используемых для решения определённого типа практических задач моделирования (соответствует области исследования 4 паспорта специальности - Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента).

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается:

- их соответствием аналитическим решениям, а также общенаучным представлениям в области сплайнового моделирования;

- использованием математического аппарата в соответствии с основными положениями теории математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и теории алгоритмов;

- логическим соответствием моделей, полученных с помощью разработанного программного обеспечения, известной физической интерпретации моделируемых объектов, а также их сопоставлением с результатами, полученными с помощью наиболее эффективных и широко используемых современных алгоритмов и специализированных пакетов программ для математического моделирования, включая САПР и ГИС: AutoCAD, ArcGIS, Maple и т.д.

Апробация полученных результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. IV конференция молодых учёных «Геоинформационные технологии и космический мониторинг» (НИИ механики и прикладной математики ЮФУ им. И.И. Воровича, Ростов-на-Дону, 2011).

2. Международная молодёжная конференция «Академические фундаментальные исследования молодых учёных России и Германии в условиях глобального мира и новой культуры научных публикаций» (ЮРГТУ (НПИ), Новочеркасск, 2012).

3. II Международная научная конференция преподавателей, аспирантов, магистров и студентов вузов «Наука. Образование. Культура. Вклад молодых исследователей» (ЮРГТУ (НПИ), Новочеркасск, 2013).

4. VII Международная научная конференция «Вулканизм, биосфера и экологические проблемы» (Институт вулканологии и сейсмологии ДВО РАН, Майкоп-Туапсе, 2013).

5. XIII Всероссийское угольное совещание «Основные направления геологоразведочных и научно-исследовательских работ на твёрдые горючие ископаемые в современных экономических условиях» (ВНИГРИуголь, Ростов-на-Дону, 2014).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дорофеев, Алексей Анатольевич, 2016 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Уравнения теплопроводности и диффузии // Сопротивление материалов URL: http ://sopromat2012. ru/M265/Lecture 14.pdf (дата обращения: 18.11.2016).

2. Панкратова Н.Д., Заводник В.В., Козакул А.В., Кравченко В.П. Математическое моделирование процессов диффузии в органических средах // Систем. до^дж. та тформ. технологи. - 2002. - № 4. - С. 43-51.

3. Прохождение электромагнитных волн через границы раздела различных сред // Neo-Хаос. Диагноз: МИФИст - вся правда о МИФИ URL: http://neo-chaos.narod.ru/useful/emc/environment interfaces.pdf (дата обращения: 18.11.2016).

4. Schoenberg, I.J., 1946. Contributions to the Problem of Approximation of Equidistant Data by Analytic Functions. Quart. Appl. Math, 4: 45-99, 112-141.

5. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. - Теория сплайнов и её приложения: Пер. с англ. - М.: Мир, 1972. - 319 с.

6. De Boor, C., 1978. A practical Guide to Splines. N.Y.: etc.: Springer-Verl. - 392 p.

7. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1985. - 304 с., ил.

8. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

9. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы, Новосибирск, 1983.

10. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1976, 248 с.

11. Корнейчук, Н. П., Бабенко, В. Ф., Лигун, А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / отв. ред. А. И. Степанец; ред. С. Д. Кошис, О. Д. Мельник, АН Украины, Ин-т математики. - К.: Наукова думка, 1992. - 304 с.

12. Späth, H., 1995. One Dimensional spline Interpolation Algoithms. Wellsley, Mass a-chusetts: A.K. Peters. - 404 p.

13. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984. - 356 с.

14. Константинов А.Р. и др. Применение сплайнов и метода остаточных отклонений в гидрометеорологии. Гидрологические ресурсы Продовольственной программы. Сборник научных трудов (межвузовский). - Л., изд. ЛПИ, 1984, вып. 86, с. 159. (ЛГМИ).

15. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 360 с.

16. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Минимальные сплайны и их приложения. Учебник. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. - 364 с.

17. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 208 с.

18. Медведев Н.В. Применение сплайнов в теории приближений. Учебное пособие. - Чебоксары: Чувашский государственный университет, 1977. - 68 с.

19. Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных. - Л.: Наука, 1991 г., 125 стр.

20. Демьянович Ю.К. Всплески и минимальные сплайны. Курс лекций. - СПб.: Санкт-Петербургский гос. ун-т, 2003. - 203 с.

21. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. - М: Машиностроение, 1985. - 224 с.

22. Попов Б.А. Равномерное приближение сплайнами. - Киев: Наукова думка, 1989. - 272 с.

23. Романовский Л.М. Двумерные модели цифровых сигналов на базе адаптивных сплайн-всплесков: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 05.13.18. - Санкт-Петербург, 2015. - 119 с.: ил.

24. Демьянович Ю.К., Романовский Л.М. Сплайн-всплесковое укрупнение аппроксимаций курантова типа. Численные методы и вопросы организации вычислений. XXVI, Зап. научн. сем. ПОМИ, 419, ПОМИ, СПб, 2013, с. 77-110.

25. Демьянович Ю.К., Романовский Л.М. Локальное укрупнение триангуляции и двумерные сплайн-всплески. СПИС0К-2012: Материалы всероссийской научной конференции по проблемам информатики,Санкт-Петербург, ВВМ, 2012, с. 117182.

26. Мирошниченко П.В. Автоматизация проектирования процесса намотки авиационных конструкций на основе применения локально-аппроксимационных сплайнов: диссертация ... кандидата технических наук: 05.13.12. - Москва, 2014. - 119 с.: ил.

27. Битюков Ю.И., Денискин Ю.И., Мирошниченко П.В. Применение сплайнов на равномерной сетке в задаче твердотельного моделирования //Труды МАИ [Электронный ресурс]: науч. журн. / Моск. Авиационный ин-т (гос.техн. университет) «МАИ». - Электрон. журн. - Москва: МАИ, 2011 - вып.44. - Режим доступа к журн.: http://www.mai.ru. - Загл. С титул. экрана. - № гос. регистрации 019163.

28. Орлов С.Е. Аппроксимационная сплайновая фильтрация сигналов систем с нестационарными возмущениями: диссертация ... кандидата технических наук: 05.13.01. - Москва, 2014. - 145 с.: ил.

29. Гетманов В.Г., Орлов С.Е. Применение аппроксимационных сплайнов для цифровой фильтрации звуковых сигналов.// Радиотехника. 2010. №3. С.32-38.

30. В.В. Буров, В.Г. Гетманов, С.Е. Орлов, В.В. Петроневич. Метод цифровой фильтрации последовательностей экспериментальных данных с использованием аппроксимационных сплайновых функций.// Автометрия. 2011. №1. С.37-49.

31. Гетманов В.Г., Модяев А.Д., Орлов С.Е., Попов О.Б. Алгоритм преобразования частоты дискретизации звуковых сигналов на основе аппроксимационных ортогональных сплайнов.// Информационно-измерительные и управляющие системы. 2011.№10. С.45-53.

32. Богданов В.В. Изогеометрическая интерполяция нелокальными кубическими сплайнами и их обобщениями: диссертация . кандидата физико-математических наук: 01.01.07. - Новосибирск, 2014. - 113 с.: ил.

33. Богданов В.В., Волков Ю.С. Выбор параметров обобщенных кубических сплайнов при выпуклой интерполяции // Сиб. журн. вычисл. математики. - 2006. -Т.9, №1. - С.5-22.

34. Богданов В.В. Достаточные условия комонотонной интерполяции кубически-

ми сплайнами класса C2 // Мат. труды. - 2011. - Т.14, №2. - С. 3-13.

35. Богданов В.В. Достаточные условия неотрицательности решения системы уравнений с нестрого якобиевой матрицей // Сиб. матем. журн. - 2013. - Т. 54, № 3. - С.544-550.

36. Крымова Е.А. Сплайны в задачах интерполяции и регрессионного анализа га-уссовских процессов и гладких функций: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 05.13.17. - Москва, 2013. - 97 с.: ил.

37. Голубев Г.К., Крымова Е.А. Splines and stationary Gaussian processes // Информационные технологии и системы - 2012 (ИТиС 2012): сб. трудов конференции. ИППИ РАН, 2012. С. 145-150.

38. Плавник А.Г. Картирование свойств геологических объектов на основе сплайн-аппроксимационного подхода: диссертация . доктора технических наук: 05.13.18. - Новосибирск, 2013. - 248 с.: ил.

39. Плавник, А.Г. Обобщенная сплайн-аппроксимационная постановка задачи картирования свойств геологических объектов / А.Г. Плавник // Геология и геофизика. - 2010. - Т. 51, № 7. - С. 1027-1037.

40. Плавник, А.Г. Оценка устойчивости решения задачи картирования в рамках сплайн-аппроксимационного подхода / А.Г. Плавник // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. - 2010. - № 9. - С. 20-27.

41. Плавник, А.Г. К оценке достоверности картирования свойств геологических объектов в рамках сплайн-аппроксимационного подхода / А.Г. Плавник, А.Н. Сидоров // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - Т. XV, № 1 (49). - С. 66-76.

42. Ромакина О.М. Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статики и динамики тонких пластин при произвольных граничных условиях: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 01.02.04. - Саратов, 2012. - 124 с.: ил.

43. Ромакина О.М. Метод сплайн-коллокации и его модификация в задачах статического изгиба тонкой ортотропной прямоугольной пластинки / О.М. Ромакина, Ю.В. Шевцова // Изв. Сарат. Ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010, т. 10 вып. 1 С. 78-82.

44. Ромакина О.М. Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах о колебаниях тонкой прямоугольной вязкоупругой пластинки // П.Ф. Недорезов, О.М. Ромакина, Р.А. Сафонов // Изв. Сарат. Ун-та. Нов. сер., 2010, т.10. Сер. Математика. Механика. Информатика, выпуск 3. С. 59-64.

45. Макаров А.А. Теория минимальных сплайн-всплесков и ее приложения.: диссертация ... доктора физико-математических наук: 05.13.18, 01.01.07. - Санкт-Петербург, 2012. - 349 с.: ил.

46. Макаров А.А. О построении сплайнов максимальной гладкости // Проблемы матем. анализа. 2011. Вып. 60. С. 25-38. (J. Math. Sci. 178 (2011),

no. 6, 589-604).

47. Макаров А.А. Алгоритмы вэйвлетного уточнения пространств сплайнов первого порядка // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 19. С. 203-220.

48. Макаров А.А. Матрицы добавления и удаления узлов для неполиномиальных сплайнов // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. С. 74-86.

49. Muntingh, G., 2010. Topics in Polynomial Interpolation Theory, PhD thesis, Centre of Mathematics for Applications University of Oslo, Oslo.

50. G. Muntingh and M.S. Floater, Divided differences of univariate implicit functions, available at http : //folk.uio. no/michaelf/papers/ddimplicit.pdf

51. A162326 - The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Date Views 29.11.2016 http://oeis.org/A162326.

52. Runge, C., 1901. Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten. Zeitschrift für Mathematik und Physik, 46: pp. 224-243.

53. Yeo, B.T.T., 2010. Learning Task-Optimal Image Registration with Applications in Localizing Structure and Function in the Cerebral Cortex, PhD thesis, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge.

54. Ibanez, L., M. Audette, B.T.T. Yeo and P. Golland, 2009. Rotational Registration of Spherical Surfaces Represented as QuadEdge Meshes. Insight Journal, 1. Date Views 29.11.2016 http://www.insight-journal.org/browse/publication/645.

55. Ibanez, L., M. Audette, B.T.T. Yeo and P. Golland, 2009. Spherical Demons Registration of Spherical Surfaces. Insight Journal, 2. Date Views 29.11.2016 http://www.insight-journal.org/browse/publication/687.

56. Ibanez, L., B.T.T. Yeo and P. Golland, 2009. Iterative Smoothing of Field Data in Spherical Meshes. Insight Journal, 2. Date Views 29.11.2016 http://www.insight-j ournal .org/browse/publication/662.

57. Popoviciu, T., 1940. Introduction à la théorie des différences divisées. Bull. Math. Soc. Roumaine des Sciences, 42(1): pp. 65-78.

58. Sibileau, A.P., 2011. Conservative time integration on beams under contact constrains using B-Spline interpolation, Master's thesis, Universitat Polite'cnica de Catalunya, Barcelona.

59. A. Sibileau and J. Mun~oz. Conservative time integration on beams under contact constrains using B-Spline interpolation. In MULTI-BODY DYNAMICS ECCOMAS Thematic Conference, Brussels, July 2011.

60. Dudziak, W., 2007. Presentation and Analysis of a Multi-Dimensional Interpolation Function for Non-Uniform Data: Microsphere Projection, Master's thesis, The Graduate Faculty of The University of Akron, Akron.

61. Owens, B.C., 2009. Implementation of B-Splines in a Conventional Finite Element Framework, Master's thesis, Texas A&M University, College Station.

62. Levien, R.L., 2009. From Spiral to Spline: Optimal Techniques in Interactive Curve Design, PhD thesis, University of California, Berkeley.

63. Хаимович И.Н., Клентак Л.С. Усовершенствование методов сглаживания сложных поверхностей с использованием интепроляционных сплайнов // Фундаментальные исследования. Технические науки. 2013. №10. С. 2634-2638.

64. Волков Ю.С. Вполне неотрицательные матрицы в методах построения интерполяционных сплайнов нечетной степени // Математические труды, 2004, том 7, № 2. С. 3-34.

65. Артёмов А.В., Щербачёв П.В., Тарасов О.И. Применение B-сплайнов для построения бокового полуспирального подвода насоса // Электронный научно-технический журнал «Инженерный вестник». ФГБОУ ВПО МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014, №12. С. 10-17.

66. Гданский Н.И., Карпов А.В., Бугаенко А.А. Алгоритм построения кубических интерполяционных сплайнов в задачах управления работой приводов с прогнозированием динамики нагрузки // Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», Северо-Кавказский научный центр высшей школы Южного федерального университета, 2012, №3. С. 270-276.

67. Маринин В. И., Князев Д. Н., Субботина Е. А. Интерполяция сплайнами 7-го порядка с дефектом 4 [Текст] // Технические науки в России и за рубежом: материалы IV междунар. науч. конф. (г. Москва, январь 2015 г.). - М.: Буки-Веди, 2015. - С. 125-131.

68. Федосова А.Н., Силаев Д.А. Решение задач теории упругости с применением S-сплайнов // Вестник МГСУ. Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве. 2013. №10. С. 75-84.

69. Узденова Ф.М. Сплайн-прогнозирование поведения регионального предпринимателя в реалиях российской экономики // Современные проблемы науки и образования. Экономические науки. - 2013. - №1.

70. Кузнецов Ю.Н., Стадник Д.А., Стадник Н.М. Повышение качества 3D моделирования угольных месторождений на основе использования теории сплайнов // Журнал "Горная Промышленность" №6 (94) 2010, стр.60.

71. Матрохин С.А., Сергиенко В.В., Агишева Д.К., Матвеева Т.А. Построение кусочно-квадратичной сплайн-интерполяции // Международный студенческий научный вестник. Физико-математические науки - 2015. - № 3 (часть 4) - С. 509510.

72. Черепахина А.А. Применение сглаживающего кубического сплайна для аппроксимации температурных полей при решении обратной задачи теплопроводности // Научный электронный архив. URL: http://econf.rae.ru/article/4813 (дата обращения: 15.06.2016).

73. Howe, C.J., S.R. Cole, D.J. Westreich, S. Greenland, S. Napravnik and J.J.Jr. Eron, 2011. Splines for trend analysis and continuous confounder control. NIH Public Access. Author Manuscript, November; 22(6) (Epidemiology): 874-875.

74. Newson, R.B., 2012. Sensible parameters for univariate and multivariate splines. The Stata Journal, Number 3(12): pp. 479-504.

75. Beatson, R.K. and N. Dyn, 1996. Multiquadric B-splines. Journal of approximation theory, 87: pp. 1-24.

76. Yoshida, T. and K. Naito, 2014. Asymptotics for penalised splines in generalised additive models. Journal of Nonparametric Statistics, 26(2): pp. 269-289.

77. Hammi, H., El. Ouafi and N. Barka, 2016. Study of Frequency Effects on Hardness Profile of Spline Shaft Heat-Treated by Induction. Journal of Materials Science and Chemical Engineering, 4: 1-9.

78. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 стр.

79. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970. - 664 с.

80. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. -М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. - 432 с.

81. Шикин Е.В., Плис Л.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996 г.

82. Ильин М.Е. Аппроксимация и интерполяция. Методы и приложения. Учебное пособие. Рязань, 2010. - 56 с.

83. Schweikert, D.G., 1966. An interpolation curve using a spline in tension. J. of Math. and Phys., 45(3): pp. 312-317.

84. Keys, R., 1981. Cubic convolution interpolation for digital image processing. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 29(6): pp. 1153-1160.

85. Малюх В.Н. Введение в современные САПР: Курс лекций. - М.: ДМК Пресс, 2010. - 192 с.

86. Системы автоматизированного проектирования (САПР) // Главная СФ Сам-ГТУ URL: http://sstu.syzran.ru/epa/docs/ITiOvNGO/3.1.pdf (дата обращения: 18.11.2016).

87. Farin, G., J. Hoschek and M.-S. Kim, 2002. Handbook of computer aided geometric design [electronic resource]. Elsevier.

88. Farin, G., 2002. Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide. MorganKaufmann.

89. Bozdoc, M., 2003. The History of CAD [electronic resource].

90. Норенков И.П. Автоматизированное проектирование - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 188 с.

91. Э. Финкельштейн. AutoCAD 2008 и AutoCAD LT 2008. Библия пользователя -М.: «Диалектика», 2007.

92. Д. Харрингтон. Внутренний мир Autodesk AutoCAD 2005/2006/2007. - М.: «Вильямс», 2006.

93. Зуев С.А., Полещук Н.Н. САПР на базе AutoCAD - как это делается. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004 - 1168 с.: ил.

94. Control random number generation - MATLAB rng // MathWorks - MATLAB and Simulink for Technical Computing URL: http://www.mathworks.com/hel p/matl ab/ref/rn g. html ? searchHighl i ght=twi ster&req uest edDomain=www.mathworks.com&requestedDomain=www.mathworks.com (дата обращения: 18.11.2016).

95. Маров М. Н. Энциклопедия 3ds Max 6. - СПб.: Питер, 2006. - 1292 с.: ил.

96. Зеньковский В.А. Cinema 4D. Практическое руководство. Солон-Пресс, 2008. - 376 с.

97. Ганеев Р.М. 3D-моделирование персонажей в Maya. - М.: Горячая линия - Телеком, 2012. - 284 с.

98. Петелин А. SketchUp - просто 3D! Учебник-справочник Google SketchUp v. 8.0 Pro (в 2-х книгах). Интернет-издание, 2012. - 340 с.: ил.

99. Журкин И.Г., Шайтура С.В. Геоинформационные системы. - Москва: Кудиц-пресс, 2009. - 272 с.

100. ESRI ArcGIS 9 Spatial Analyst. Руководство пользователя. Официальный перевод ESRI от Data+, 2004. - 216 с.

101. Байков В., Бакиров Н., Яковлев А. Математическая геология. Том I. - 1-е изд. -Ижевск: «Институт компьютерных исследований», 2012. - С. 227.

102. ESRI ArcGIS 9 Geostatistical Analyst. Руководство пользователя. Официальный перевод ESRI от Data+, 2004. - 285 с.

103. Абрамовиц М., Стиган И. (ред.) Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Пер. с англ. Диткина В.А., Кар-мазиной Л.Н. - М.: Наука, 1979.

104. Силкин К.Ю. Геоинформационная система Golden Software Surfer 8. Учебно-методическое пособие для вузов. Воронежский государственный университет, 2008. - 66 с.

105. Программный комплекс ОКАР «Обработка, корреляция, аппроксимация, распознавание». ВНИГРИуголь, Журбицкий Б.И., Жбанков Г.А., свидетельство ФАИС №2013617557 от 20.08.2013г.

106. Богачёва Л.Д., Виницкий А.Е., Журбицкий Б.И. Моделирование поисково-разведочного процесса на угольном месторождении с использованием автоматизированной системы оперативного управления (АСОУ-ТГИ). Геология угольных месторождений: межвузовский научно-тематический сборник. Екатеринбург, 1999, вып. 9, сс. 364-375.

107. Bogacheva L., Vinitsky A., Zhurbitsky B., Dorofeyev A. Geological search and exploration process modeling using a computer-aided operating control system / L. Bogacheva, A. Vinitsky, B. Zhurbitsky, A. Dorofeyev // Академические фундаментальные исследования молодых учёных России и Германии в условиях глобального мира и новой культуры научных публикаций: материалы международной молодёжной конференции, г. Новочеркасск, 4-5 октября 2012 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЛИК, 2012. - С. 144-146.

108. Программный комплекс ГЕОРЕСУРСуголь «Моделирование угольной залежи, подсчет и классификация запасов/ресурсов углей». ВНИГРИуголь, гос. рег. ФГУ ФИПС №2011611668 от 14.03.2011 г.

109. Фролов В.Н., Дорофеев А.А. Структурное моделирование угольных пластов средствами геоинформационных систем / В.Н. Фролов, А.А. Дорофеев // IV конференция «Геоинформационные технологии и космический мониторинг» (6-8 сентября 2011 г.). Ростов-на-Дону: Издательство Южного Федерального университета, 2011. - С. 239-241.

110. Тарасов А.Б., Дорофеев А.А. Оптимизация сети бурения на угольных месторождениях с использованием компьютерного моделирования в среде ArcGIS 9.3 / А.Б. Тарасов, А.А. Дорофеев // VII Международная научная конференция «Вулканизм, биосфера и экологические проблемы». Сборник материалов. - Майкоп: Изд-во АГУ, 2013. - С. 157-159.

111. Дорофеев А.А. Оптимизация сети бурения с использованием компьютерного моделирования / А.А. Дорофеев // Наука. Образование. Культура. Вклад молодых исследователей: материалы II Междунар. науч. конф., препод., аспирантов, магистров и студентов вузов / Под ред. Л.Н. Соколовой; Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2013. - С. 104-108.

112. Дорофеев А.А. Тарасов А.Б. Методика, технология и результаты моделирования поверхности фундамента региона Южно-Якутского угольного бассейна /

А.А. Дорофеев, А.Б. Тарасов // XIII Всероссийское угольное совещание «Основные направления геологоразведочных и научно-исследовательских работ на твёрдые горючие ископаемые в современных экономических условиях». Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону: ВНИГРИуголь, 2014. - С. 255-258.

113. Микерова В.Н., Дорофеев А.А., Тарасов А.Б., Фоменко Л.Н. Многовариантное компьютерное моделирование поверхности фундамента Южно-Якутского угольного бассейна // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2016. №1. С. 90-94.

114. Виницкий А.Е., Журбицкий Б.И., Тарасов А.Б., Дорофеев А.А. О соотношении извлекаемых и оставляемых в недрах запасов угольных месторождений / А.Е. Виницкий, Б.И. Журбицкий, А.Б. Тарасов, А.А. Дорофеев // Минеральные ресурсы России. Экономика и управление. - 2012. - №5. - С. 34-38.

115. Колесников А.П. Методы численного анализа, изложенные на языке формул и алгоритмическом языке C#. Изд. стереотип. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. - 416 с.

116. Hewitt, E. and R.E. Hewitt, 1979. An episode in Fourier analysis. Archive for History of Exact Sciences, 21(2): pp. 129-160.

117. Алексейчик В.В., Иванченко А.Н. О технике построения сплайн-функций, заданных на линейных оболочках // Системы управления технологическими процессами: Межвуз.сб./Новочерк. политехн. ин-т - Новочеркасск: НПИ, 1986. - С. 53-66.

118. Демина А.Ф. Моделирование гладких неполиномиальных сплайнов: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 05.13.18. - Санкт-Петербург, 2007. - 153 с.: ил. РГБ ОД, 61 07-1/11.

119. Волков Ю.С. Хорошо обусловленные методы построения сплайнов высоких степеней и сходимость процессов интерполяции: диссертация ... доктора физико -математических наук: 01.01.07. - Новосибирск, 2006 - 198 c.: 71 07-1/22.

120. Роженко Александр Иосифович. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.07. - Новосибирск, 2003. - 231 с.: ил. РГБ ОД, 71:05-1/136.

121. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. - изд. 2-е, испр. и доп. -М.: ФАЗИС, 1997.

122. Тимошевская Н.Е. О нумерации перестановок и сочетаний для организации параллельных вычислений в задачах проектирования управляющих систем. - Известия Томского политехнического университета. 2004. Т. 307. № 6. - С. 18-20.

123. Feehan, P.M.N., 2013. Maximum Principles for Boundary-Degenerate Second Order Linear Elliptic Differential Operators. Communications in Partial Differential Equations, 38(11): pp. 1863-1935.

124. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. - М.: Машиностроение, 1968, 764 с.

125. Иванченко А.Н., Алексейчик В.В., Ершов В.К. Сплайновые приближения программных движений динамических систем // Системы управления технологическими процессами: Межвуз.сб./Новочерк. политехн. ин-т - Новочеркасск: НПИ, 1983. - С. 87-93.

126. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - 5-е изд. - М.: Физматлит, 2004. - 560 с.

127. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: учеб. для вузов - 4-е изд. - М., Наука, Физматлит, 1999. - 296 с.

128. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. - 2-е изд. - М., 2008.

129. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. - М.: Высшая школа, 2000.

130. Иванченко А.Н., Дорофеев А.А. Объектно-ориентированный подход к построению сплайн-функций, заданных на линейных оболочках // Изв. вузов Сев. -Кавк. регион. Техн. науки. 2015. №1. С. 11-18.

131. Усов А.Г. Основные положения курса теоретической механики. Опорный конспект лекций для студентов групп 2-МД-5,6. СПбГУ технологии и дизайна, СПб, 2008.

132. Метод намотки // Сам мастер! Все о стекломатериалах. URL: http://sammas.ru/sposoby-formovaniya/namotka.html (дата обращения: 18.11.2016).

133. Тракимус Ю.В. Основы вариационного исчисления в примерах и задачах: Учеб. пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. - 48 с.

134. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд., исправл. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 488 с.

135. Интерполирование сплайнами // Прикладная и инженерная математика URL: http://www.simumath.net/library/book.html?code=Interpol splines (дата обращения: 18.11.2016).

136. Курейчик В.В., Курейчик В.М., Родзин С.И. Теория эволюционных вычислений. - М.: Физматлит, 2012. - 260 с.

137. Whitley, D., 1994. A Genetic Algorithm Tutorial. Statistics and Computing, 4: pp. 65-85.

138. Matsumoto, M. and T. Nishimura, 1998. Mersenne twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator. ACM Trans. on Modeling and Computer Simulations, 8(1): pp. 3-30.

139. Matsumoto, M. and Y. Kurita, 1992. Twisted GFSR generators. ACM Trans. on Modeling and Computer Simulations, 2(3): pp. 179-194.

140. Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji; Hagita, Mariko; Saito, Mutsuo (2005). «Cryptographic Mersenne Twister and Fubuki Stream/Block Cipher».

141. Nishimura, T., 2000. Tables of 64-bit Mersenne twisters. ACM Trans. on Modeling and Computer Simulations, 10(4): pp. 248-357.

142. boost/random/mersenne_twister.hpp - 1.49.0 // Boost C++ Libraries URL: http://www.boost.org/doc/libs/1 49 0/boost/random/mersenne twister.hpp (дата обращения: 18.11.2016).

143. Changes to GLib: GLib Reference Manual // GNOME Developer Center URL: https://developer.gnome.org/glib/stable/glib-changes.html (дата обращения: 18.11.2016).

144. Generate pseudo-random numbers - Python v2.6.8 documentation // Overview -Python 3.5.2 documentation URL: https: //docs.python.org/release/2.6.8/library/random.html (дата обращения: 18.11.2016).

145. Class: Random (Ruby 1.9.3) // Ruby-Doc.org: Documenting the Ruby Language URL: http : //ruby- doc.org/core-1.9.3/Random.html (дата обращения: 18.11.2016).

146. CRAN Task View: Probability Distributions // The Comprehensive R Archive Network URL: https://cran.r-project.org/web/views/Distributions.html (дата обращения: 18.11.2016).

147. PHP: mt_srand - Manual // PHP: Hypertext Preprocessor URL: http : //php. net/manual/en/function.mt- srand.php (дата обращения: 18.11.2016).

148. Function Random // Home - AutoIt URL: https://www.autoitscript.com/autoit3/docs/functions/Random.htm (дата обращения: 18.11.2016).

149. Шипачёв B.C. Основы высшей математики: Учеб. пособие для втузов / Под ред. акад. А.Н. Тихонова. - 2-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 1994. - 479 с.: ил.

150. Comtet, L., 1974. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. Boston: D. Reidel. - 343 p.

151. Платонов М.Л. Комбинаторные числа класса отображений и их приложения. М.: Наука, 1979.

152. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.

153. Жуков В.Д. Производящий определитель // Асимптотические и перечислительные задачи комбинаторного анализа. Красноярск: изд-во Краснояр. Гос. Унта, 1976. - С. 47-58.

154. Кузьмин О.В., Леонова О.В. О полиномах Тушара. // Асимптотические и перечислительные задачи комбинаторного анализа. - Иркутск: Иркут. ун-т, 1997. -С. 101-109.

155. Крамер Г. Математические методы статистики. - 2-е изд. - М.: Мир, 1975. -648 с.

156. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М., «Сов. радио», 1978, 376 с.

157. Дорофеев А.А. Набор классов для вычисления производных высших порядков сложных функций (DerivHiOrd)/ А.А. Дорофеев//Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Рег. №2014616948, от 08.07.14 г.

158. Кнут Д.Э. Искусство программирования, том 4, А. Комбинаторные алгоритмы, часть 1 // Пер. с англ. - М.: ООО "И.Д. Вильямс", 2013. - 960 с.

159. Корнеев П.К. Вычисление определителей почти треугольных матриц при помощи цепных дробей // Вестник Ставропольского государственного университета, 43/2005 - С.63-65.

160. Иванченко А.Н., Дорофеев А.А. Объектно-ориентированный подход к вычислению производных высоких порядков // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2014. №1. С. 9-14.

161. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука. Гл. ред. ф.-м. лит. 1984. - 320 с.

162. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. - М.: Мир, 1976. - 648 с.

163. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 572 с.

164. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

165. Тан К.Ш., Стиб В.-Х., Харди И. Символьный C++: Введение в компьютерную алгебру с использованием объектно-ориентированного программирования // Пер. со 2-го англ. изд. - М.: Мир, 2001. - 622 с., ил.

166. Е. А. Карацуба. Быстрое вычисление трансцендентных функций. Проблемы передачи информации, т. 27, №4 (1991).

167. Lozier, D.W. and F.W.J. Olver, 1994. Numerical Evaluation of Special Functions. Mathematics of Computation 1943-1993: A Half-Century of Computational Mathematics, W.Gautschi, eds., Proc. Sympos, 48 (Applied Mathematics, AMS).

168. Дьяконов В.П. Энциклопедия компьютерной алгебры. - М.: ДМК-Пресс, 2009. - 1264 c.

169. Дьяконов В.П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчётах. - М.: ДМК-Пресс, 2011. - 800 c.

170. Кирсанов М.Н. Maple и Maplet. Решения задач механики. - СПб.: Издательство «Лань», 2012. - 512 с.

171. Таранчук В.Б. Основные функции систем компьютерной алгебры. - Минск: БГУ, 2013. - 59 с.

172. Enns, R.H. and G.C. McGuire, 2000. Nonlinear Physics With Maple for Scientists and Engineers. Birkhauser Basel, Springer Science+Business Media New York.

173. Davis, J.H., 2001. Differential Equations With Maple: An Interactive Approach. Birkhauser Basel, Springer Science+Business Media New York.

174. Vivaldi, F., 2001. Experimental Mathematics with Maple. Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 240 p.

175. Дорофеев А.А. Обобщённая объектно-ориентированная технология построения сплайн-функций / А.А. Дорофеев // Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики: материалы 15-й Междунар. науч.-практ конф., г. Новочеркасск, 26 сент. 2014 г. / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ) имени М.И. Платова. - Новочеркасск: ЮРГПУ (НПИ), 2014. - С. 60-64.

176. Дорофеев А.А. Построение математических моделей с помощью обобщённых сплайн-функций / А.А. Дорофеев // Новые задачи технических наук и пути их решения: сборник статей Международной научно-практической конференции (10 декабря 2015 г., г. Челябинск). / в 2 ч. Ч.1 - Уфа: АЭТЕРНА, 2015. - С. 85-88.

177. C++ парсер // Alexey Slovesnov homepage URL: http://slovesnov.users.sourceforge.net/index.php?parser,russian#cpp (дата обращения: 18.11.2016).

178. Построитель графиков // Alexey Slovesnov homepage URL: http://slovesnov.users.sourceforge.net/index.php?graph,russian (дата обращения: 18.11.2016).

179. Ларман, Крэг. Применение UML и шаблонов проектирования. 2-е издание: пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. - 624 с.: ил. - Парал. тит. англ.

180. Буч Г., Якобсон А., Рамбо Дж. UML. Классика CS / С. Орлов. - 2-е изд. -СПб.: Питер, 2006. - 736 с.

181. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.

182. Дорофеев А.А. Инструментальный программный комплекс исследования свойств биортогональных базисов интерполяционных сплайнов (SplineBase)/ А.А. Дорофеев//Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Рег. №2014660876, от 17.10.14 г.

183. Дональд Э. Кнут. Глава 3. Случайные числа // Искусство программирования = The Art of Computer Programming. - 3-е изд. - М.: Вильямс, 2000. - Т.2. Получисленные алгоритмы. - 832 с.

184. std::mersenne_twister_engine - cppreference.com // cppreference.com URL: http : //en.cppreference .com/w/cpp/numeric/random/mersenne twister engine (дата обращения: 18.11.2016).

185. Коутинхо С. Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA. - М.: Постмаркет, 2001. - 328 с.

186. C++ Excel Library to read/write xls/xlsx files - LibXL URL: http : //www.libxl .com/ (дата обращения: 18.11.2016).

187. Java парсер // Alexey Slovesnov homepage URL: http://slovesnov.users.sourceforge.net/index.php?parser,russian#cpp (дата обращения: 18.11.2016).

188. Вызов функций на языке С и С++ из Java // Dein Browser ist veraltet. Führe eine Aktualisierung aus. - YouTube URL: https://www.youtube.com/watch?v=66xC Wa-lKg (дата обращения: 18.11.2016).

189. Иванченко А.Н. Алгоритмизация обработки геометрической и управляющей информации в системе автоматизированного программирования намоточных станков на основе методов сплайн-функций»: диссертация ... кандидата технических наук: 05.13.06. - Новочеркасск, 1982. - 215 с.

190. Дорофеев А.А. Тарасов А.Б. Технология оперативного управления процессом геологоразведочных работ путём имитационного моделирования, подсчёта и оценки запасов/ресурсов углей с использованием ГИС / А.А. Дорофеев, А.Б. Тарасов // VIII Международная научная конференция «Вулканизм, биосфера и экологические проблемы». Сборник материалов. - Майкоп: Изд-во «Магарин О.Г.», 2016. - С. 247-249.

191. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1990. - 544 с.: ил.