Моделирование поверхностей экспериментального происхождения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.12, кандидат технических наук Симандуев, Симанду Хияевич

• Симандуев, Симанду Хияевич
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Симандуев, Симанду Хияевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ЗАДАЧИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ

1.1. Интерполяция и геометрическое интерполирование. Функционалы метрики и формы

1.2. Моделирование выпуклой кривой в базисе тригонометрических функций.

1.2.1. Решение двумерной задачи линейного программирования на носителях метрики и формы

1.2.2. Решение общей задачи линейного программирования на носителях метрики и формы

1.3« Динамическая линеаризация ограничений и принципы декомпозиции в задаче геометрической аппроксимации

1.4. Моделирование замкнутых кривых.

1.5. Выводы к первой главе

2. СОСТАВЛЯЮЩИЕ КАРКАСНОЙ СЕТИ ПОВЕРХНОСТИ.

2.1. Кривые со знакоопределенными вторыми производными . ^

2.1.1. Моделирование глобально выпуклого полинома с помощью квазилинейного функционала метрики

2.1.2. Построение выпуклой кривой, вторая производная которой задана произведением квадратных трехчленов

2.2. Моделирование плоской кривой в базисе полиномов Бернштейна . ^

2.3. Выводы ко второй главе.

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ . 78 3.1. Многочленное представление функциональной поверхности ^0 3.1.1. Поиск оптимального многочлена на гиперповерхностях . ^

3.1,2. Решение системы линейных уравнений с функциональной матрицей

3.2. Поверхность как решение уравнения в частных производных.

3.3. Синтезирование уравнения поверхности по кривым в ее плоских сечениях.

3.4. Выводы к третьей главе

4. ПОСТРОЕНИЕ ОБВОДОВ И ПОВЕРХНОСТЕЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ

ДЕТАЛЕЙ. III

4.1. Общее описание программ моделирования. III

4.1.1. Программы моделирования кривых в базисе тригонометрических функций .III

4.1.2. Программы моделирования кривых в базисе полиномов Бернштейна.

4.2. Контур юбки поршня дизеля.

4.3. Моделирование поверхности ветрового стекла автомобиля

4.4. Крыша кабины автомобиля.

4.5. Методика материального моделирования технической формы

4.6. Выводы к четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование поверхностей экспериментального происхождения»

Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года" предусматривают обеспечение дальнейшего экономического прогресса общества, глубокие качественные сдвиги в материально-технической базе на основе ускорения научно-технического прогресса, интенсификации общественного производства, повышения его эффективности С 61 ] .

Особое место КПСС отводит развитию науки и техники, которое всемерно должно быть подчинено решению важнейших проблем дальнейшего прогресса советского общества, ускорению перевода народного хозяйства страны по всем отраслям на путь интенсификации.

Намеченные партией ускоренные темпы роста промышленности, освоение в короткие сроки большого количества новых изделий, высокие требования, предъявляемые к технико-экономическим показателям работы предприятий, необходимо ведут к коренному изменению системы технической подготовки, организации и управления производством.

Расширять автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением электронно-вычислительной техники" - одна из основных задач, поставленных ХХУ1 съездом КПСС, поскольку рост автоматизации производства, создание систем управления, базирующихся на использовании новейших вычислительных средств, являются важнейшими особенностями современной научно-технической революции.

Разработка и внедрение различных автоматизированных систем подготовки производства, систем автоматизированного проектирования (САПР) тесно связаны с фундаментальными научными исследованиями. Именно поэтому необходимо сосредоточить усилия на развитии математической теории, повышении эффективности ее использования в прикладных задачах, совершенствовании вычислительной техники, её элементной базы и математического обеспечения ei].

Автоматизация технической подготовки производства с использованием вычислительных средств тесно связана с обработкой геометрической информации, присутствующей на всех этапах проектирования - от ввода данных в графической форме до вывода результатов проектирования в виде рисунков, чертежей, графиков, карт, диаграмм, управляющих программ для станков с ЧПУ. В настоящее время практически сформировалась новая ветвь прикладной математики - машинная графика, целью которой является создание технических и программных средств графического общения человека и ЭВМ. Одной из основ, на которой строятся теория и практика автоматизированного проектирования, является новая ветвь прикладной геометрии - вычислительная геометрия [ 2б].

В развитие вычислительной геометрии и решение вопросов по практическому использованию её теории для создания САПР значительный вклад внесли советские ученые: Котов И.И., Рыжов H.H., Четверухин Н.Ф., Фролов С.А., Стародетко Е.А., Осипов В.А., Михайленко В.Е., Завьялов Ю.С., Горелик А.Г., Полозов B.C., Си-дорук P.M., Белякова Л.Б.; а также зарубежные авторы: Сазер-ленд А., Форрест А., Куне С., Райзенфельд Р., Ньюмен У., Принс М.Д., Роджерс Д., Гилой В., Бониц П., Пратт М., Безье Р., Фокс А. и другие.

Интенсивное развитие прикладной геометрии поверхностей на базе ЭВМ привело в последние 20 лет к внедрению её методов в практик работы конструкторских и технологических бюро различных отраслей промышленности. Теория геометрического моделирования играет существенную роль в разработке современных методов конструирования технических форм. Геометрические методы моделирования-являются тем инвариантом, который всегда присутствует при разработке и создании САПР.

Само появление и развитие вычислительной геометрии связано с возникновением таких геометрических задач, решение которых не может быть получено с помощью традиционных методов классической геометрии. Одной из таких задач является задача конструирования геометрического объекта, заданного на некотором дискретном множестве. Для кривой таким множеством чаще всего является точечный базис, для поверхности - точки и кривые.

Конструктора при проектировании главным образом интересует не степень приближения исходного дискретного множества, а наперед заданные свойства кривой или поверхности, определяющие внешний вид [24^ . Хотя по существу такая задача может быть отнесена к классической задаче интерполяции, которая представляется частным случаем задачи аппроксимации, однако требования, предъявляемые к геометрическим свойствам, приводят к модификации методов классической интерполяции и аппроксимации. В настоящее время разработано значительное количество методик конструирования технических форм и используются различные математические методы моделирования кривых и поверхностей: сплайн-функции [3, 34, 117, 141, 156 ] , многочленное представление поверхности [57 , 58, 109] , В-сплайны Шенберга [95, 159], интегральные сплайны [42], рациональные кубические полиномы [38, 118, 143], каркасные методы [44 , 64 , 71, 72] , многочлены Безье [145, 148], кривые и поверхности второго порядка[2, 83] , геометрическое интерполирование[101, 103 ], геометрическая аппроксимация [102, 104], дифференциальные уравнения.

В промышленности используются различные методы математического моделирования поверхностей, основанные на интерполировании сплайнами подмножеств точечного базиса. Интерполяционная кривая не отражает никаких структурных особенностей конструируемых обводов, может иметь неожиданные и нежелательные всплески и перегибы. Математическая модель, построенная на основе интерполяционных сплайнов, привлекает простотой нахождения и легкостью стыковки, но обладает рядом существенных недостатков. Из-за наличия в кусочно-аналитической модели большого числа зависимых параметров учет некоторых критериев эстетичности затрудняется. К таким критериям следует отнести выпуклость, плавность изменения радиусов кривизны и т.п. [ 74, 128] .

Аналитическая поверхность, описываемая единой формулой, однозначно определяется своими независимыми коэффициентами. Поскольку методы математического анализа, аналитической и дифференциальной геометрии в полном объеме применимы к аналитическим поверхностям, решение различных задач на таких поверхностях значительно упрощается. О каждой точке поверхности и о ней самой в целом можно получить исчерпывающую информацию. Требования выпуклости или вогнутости»закономерности изменения кривизны получают строгий математический смысл.

Как показали многочисленные исследования [б9, 73, 81, 87, 1451, проводимые у нас в стране и за рубежом, наиболее удобным представлением технической формы в системах автоматизированного проектирования является математическая модель с параметрическим заданием: ^ = х(Ь)у - пространственная кривая с параметром t ; ОС = Л (и ,1т) ; £ =1(и.)1г)

- поверхность с параметрами Ц, 1Г . Задача параметрического представления кривых и поверхностей опирается на решение задачи математического моделирования кривых и поверхностей экспериментального происхождения функционального типа: ^ - ^С^О

- уравнение кривой, Ъ - {-(Х^) ~ уравнение поверхности. Имея аппарат для моделирования кривых и поверхностей функционального типа, соответствующим подбором параметров можно построить модель сложной технической формы. Принципиальная схема построения математической модели кривых и поверхностей экспериментального происхождения представлена на рис.1, где, наряду с различными формами их представления, показано место математического моделирования, а также других средств. Отметим, что для оценки качества модели, полученной на каком-либо шаге проектирования, может быть использован как визуальный контроль, так и анализ с помощью функционалов метрики и формы. Представленная на рис Л схема учитывает конструирование геометрического объекта с участием человека (интерактивный режим) и в автоматическом режиме.

Особенно эффективно использование функционалов в схеме с автоматическим проектированием кривых и поверхностей. Общая теория функционалов изложена в [ 60 ] . Однако для применения функционалов метрики и формы необходимо воспользоваться методами декомпозиции [12] , один из которых для задач геометрического моделирования предложен Е.А.Стародетко. Принципы декомпозиции, изложенные в [l05], привлекают доступностью использования по некоторой разработанной схеме функционалов метрики и формы [ 107].

Существующие автоматизированные системы проектирования, черчения и подготовки производства, такие, как ГРАФОР, ОГРА 120 , ГРАФИК [l40], СИРИУС,PIGRA,CADEР , Ш1-КФ[2б], APT и его модификации [54], СПД ЧПУ [7б], АСППо[б2]с языком из серии Ин-канэл [l08, 114, 115] , ФИАЛКА [55] , обладая в совокупности широкими возможностями, не предполагают получать такие кривые и поверхности, которые одновременно отвечали бы требованиям приближения к исходно^ точечному базису и требованиям, предъявляемым к их геометрическим свойствам, каковыми могут быть выпуклость, вогнутость, наличие точки перегиба и седловой точки, участки определенного подъема и плавность изменения кривизны. вход ) ОПИСАНИЕ СВОЙСТВ ТЕХНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

-------^МЕРИТЕЛЬНАЯ МАШИНА

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

2 =

-Щ)

Х = Я(и]Хг) н.-1(а,1г)

МЕТОДЫ

МАШИННОЙ

ГРАФИКИ

ОЦЕНКА \ 1КАЧЕСТВА Т

ВИЗУАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ

ТЕХНИЧЕСКИЕ СЩСШ ВЫХОД ^

РисЛ. Принципиальная схема построения математической модели технической формы

Целью настоящей работы являются разработка и исследование математических методов конструирования кривых и поверхностей экспериментального происхождения в системах геометрического моделирования. Опираясь на разработанный математический аппарат, определить области приложения и способы применения его на примерах конструирования реальных машиностроительных деталей, сформулировать рекомеццации по использованию методов моделирования применительно к различным классам геометрических объектов экспериментального происхождения.

Решение задачи построения математической модели точечно заданного геометрического объекта позволяет использовать в САПР способы конструирования кривых и поверхностей, определенных своими точечными базисами, с наперед заданными геометрическими свойствами. Использование принципа декомпозиции и различного сочетания функционалов метрики и формы позволило получить новые методы геометрической аппроксимации, которые могут быть сведены к общей задаче математического программирования [ 36, 41, 77, 123, 127]. Линеаризация ограничений в задаче программирования, использование методов оптимизации, переход к задаче линейного программирования делают эти методы конструктивными.

Техническая форма разбивается на участки гладкости, которые, в свою очередь, представляются алгебраическими функциями. Поэтому наряду с аналитической [4, 79] и дифференциальной [б8, 84, 116] геометрией, математическим [ш] и функциональным [ 21, 43, 122] анализом для оценки качества моделируемых кривых и поверхностей мы пользовались методами линейной алгебры £ 22]и аппаратом алгебраической геометрии [13б]. Кроме того, для решения частных прикладных задач применены методы численного анализа, теории оптимизации, математической физики.

Основные новые научные результаты, полученные в настоящей работе, заключаются в следующем.

1. Сформулированы принципы перехода от задачи геометрической аппроксимации к общей задаче математического программирования.

2. Разработан алгоритм моделирования лекальных кривых в базисе тригонометрических функций.

3. С помощью знакоопределенных квадратных трехчленов разработан метод построения точечно заданной выпуклой на отрезке плоской кривой функционального типа.

4. Разработан метод моделирования глобально выпуклого полинома заданной степени по точечному базису кривой с помощью квазилинейного функционала метрики.

5. Формализация классического метода последовательных приближений разработки кузовной поверхности [. 14, 31, 74] в сочетании с использованием каркасных методов [90, 913 привела к разработке методики построения лекальной поверхности общего вида, заданной на дискретном множестве, как суперпозиции методов моделирования кривых. Методика предполагает использование методов конструирования кривых функционального типа и кривых более общего вида, моделируемых в параметрической форме.

6. Для параметрического представления разработан декомпозиционный метод, допускающий управление формой моделируемой кривой с помощью билинейного функционала.

7. Разработан алгоритм построения замкнутой интерполяционной кривой с управлением гладкости в точке стыковки.

8. Построен итерационный алгоритм моделирования кривых в базисе полиномов Бернштейна. Исходный точечный базис, определяющий моделируемую кривую, может быть произвольным. Итерационность исключает необходимость участия человека в процессе конструирования.

9. Определена связь задачи геометрического моделирования лекальной поверхности с решением уравнения в частных производных.

По полученным результатам исследований разработан ряд алгоритмов и программ на языке Ф0РТРАН-1У. Эти подпрограммы легко могут быть включены в любую открытую систему автоматизированного проектирования, а при разработке комплексных систем они могут служить основой для организации подсистемы геометрического проектирования кузовных поверхностей.

Методика моделирования лекальных поверхностей, алгоритмы и программы опробованы на реальных машиностроительных деталях.

На защиту выносятся:

- применение билинейного функционала формы для моделирования кривой с заданным направлением вьп^клости;

- алгоритм моделирования лекальной кривой в базисе тригонометрических функций;

- алгоритм моделирования выпуклых полиномиальных кривых со знакопостоянной второй производной;

- методика моделирования лекальной поверхности по плоским сечениям на основе методов моделирования точечно заданных кривых.

Разработанные алгоритмы и программы, а также методика моделирования поверхности внедрены на ряде предприятий /Запорожский автомобильный завод "Комцунар", Павловский машиностроительный завод "Восход", НЙИУавтопром и другие/. Общий экономический эффект от внедрения разработок составил 91.9 тыс.руб.

Отдельные разделы и работа в целом докладывались и обсуждались в НИИУавтопроме, на конференции "Состояние и перспективы разработки АСУ ТП в приборостроении и машиностроении" в г.Севастополе, на У1 объединенном семинаре "Системные исследования в программировании жизненных циклов объектов новой техники" в г.Калининграде, на научном совете по проблеме "Автоматизация проектно-конструкторских работ" ИТК АН БССР, на семинаре "Прикладная геометрия и инженерная графика" КИСИ, на семинарах кафедры графики ГИСИ им.В.П.Чкалова, на всесоюзном семинаре-совещании "Автоматизация программирования обработки деталей на станках с ЧПУ с использованием ЭВМ третьего поколения" в г.Горьком, на Горьковском автозаводе.

По теме диссертации опубликовано II работ.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Основное содержание работы изложено на 117 страницах машинописного текста. Работа содержит 27 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 161 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системы автоматизации проектирования (по отраслям)», Симандуев, Симанду Хияевич

4.5. Выводы к четвертой главе.

1. Конструктивность разработанных нами методов моделирования точечно заданной кривой в базисе полиномов Бернштейна и моделирования выпуклой кривой в базисе тригонометрических функций подтверждается реализацией этих алгоритмов в виде программного комплекса на ФОРТРАНЕ.

2. Применение описанных пакетов программ к моделированию реальных машиностроительных деталей позволило сформулировать практические рекомендации по использованию этих пакетов для построения математических моделей кривых, заданных своими точечными базисами.

3. Использование методики моделирования точечно заданной поверхности по сечениям является естественным и новым шагом по пути широко используемого метода построения каркасной сети в качестве модели поверхности. Опробование методики произведено на конкретном примере выпуклой поверхности с использованием описанных программ моделирования кривых. Это показало перспективность использования методики с другими сочетаниями алгоритмов построения кривых по заданным точкам.

4. Принципы, заложенные в математическом моделировании уравнения лекальной поверхности по ее плоским сечениям, составляют основу разработки методики материального моделирования технических форм с помощью плоских лекал.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена разработке методов и алгоритмов математического моделирования кривых и поверхностей экспериментального происхождения в системах геометрического проектирования, Разработанные алгоритмы позволили предложить методы для решения задач, которые возникают при автоматизированном проектировании технической формы, обладающей наперед заданными геометрическими свойствами. В работе рассмотрены следующие вопросы:

1. Для разработки конструктивных алгоритмов моделирования лекальных кривых и поверхностей сформулированы принципы перехода от задачи геометрической аппроксимации к задаче математического программирования.

2. Разработан алгоритм моделирования точечно заданных кривых в базисе тригонометрических функций с использованием квазилинейных функционалов.

3. С помощью знакоопределенных квадратных трехчленов разработан метод построения лекальной полиномиальной кривой функционального типа, выпуклой на заданном отрезке.

4. Разработан метод моделирования глобально выпуклого полинома заданной степени, приближающего точечный базис плоской кривой, с помощью квазилинейного функционала метрики.

5. Предложена методика моделирования лекальной поверхности общего вида, позволяющая использовать в суперпозиции различные методы моделирования точечно заданных кривых. Представление математической модели поверхности зависит от представлений уравнений моделируемых линий, т.е. соответствующих методов моделирования кривых.

6. С использованием билинейного функционала формы для параметрического представления уравнения кривой разработан декомпозиционный метод, допускающий управление формой моделируемой кривой.

7. Разработан алгоритм моделирования замкнутой интерполяционной кривой с помощью обобщенных тригонометрических полиномов. Исследована возможность управления степенью гладкости кривой в точке стыковки.

8. Для произвольного точечного базиса разработан итерационный алгоритм моделирования кривой с помощью полиномов Бернштейна.

9. Исследован метод многочленного представления лекальной поверхности функционального типа.

10. Определена связь задачи геометрического моделирования поверхности, заданной точками и линиями границы, с численным решением квазилинейного уравнения в частных производных с краевыми условиями.

11. Показано использование отдельных программно реализованных методов на примерах моделирования конкретных деталей автомобиля.

12. Предложена методика материального моделирования технической формы с помощью плоских лекал, которые имеют известные уравнения и обладают заданными свойствами.

Решение всех этих задач позволяет расширить возможности проектировщиков новых систем автоматизированного проектирования при разработке блока "геометрия". Полученные реализации в виде пакетов программ могут быть использованы автономно отдельными конструкторами и подключены к действующим автоматизированным системам с целью расширения классов конструируемых геометрических объектов, определяющих внешний вид новых изделий.

Дальнейшим этапом в области использования математических моделей технических форм может быть разработка "гибких" ключевых /базисных/ элементов, позволяющих пользователю моделировать объект путем склеивания имеющихся геометрических элементов - гладкость в местах склеивания должна обуславливаться гибкостью.

Формализация эвристических методов инженерных расчетов при разработке сложных технических форм, основанная на получении новых функционалов метрики и формы и различном их сочетании, позволит создать новые конструктивные, реализуемые на ЭВМ алгоритмы, а значит еще более раскрепостить дизайнеров и инженеров в их творческой деятельности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Симандуев, Симанду Хияевич, 1984 год

1. Автоматизация проектно-конструкторских работ и технологической подготовки производства в машиностроении/ Под ред.О.И.Се-менкова. Минск: Вышейш. школа, 1976. Т. I. 351 с.

2. Акимова И.Н. Аппроксимация гладкой функции, заданной таблично или графически, кусками поверхностей второго порядка. Труды института МАИ. М., 1972, вып. 250, с. 12-21*

3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения.- М.:Мир, 1972. 316 с.

4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979. - 511 с.

5. Антонов Е.К. Кинематическая поверхность в образовании формы автомобильных кузовов. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будивельник, 1965, вып. 3, с. 87 - 90.

6. Астафьев Н.Н. 0 методе линеаризации в выпуклом программировании. В кн.: Математические методы в некоторых задачах оптимального планирования. Свердловск, 1971, вып. 3, с. 3 - 18.

7. Баженский Ю.М., Сластин Ю.В. Ключевые методы в теории сплайнов. Труды института МАИ, М., 1975, вып. 331, с. 54 - 57.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы. М,: Наука, 1975. Т. I 631 с.

9. Белицкая Н.В. Принципы самоорганизации и теория математического программирования в подсистемах воспроизведения обводо-образующих поверхностей на станках с ЧПУ. Автореф. дис. . канд. техн. наук. Киев, 1981. - 21 с.

10. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. -400 с.

11. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. - 184 с.

12. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л., Темам Р. Методы декомпозиции,децентрализации, координации и их приложения, В кн.: Математические методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд - ние, 1975, с. 144 - 274.

13. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том I. М.: Наука, 1966. - 572 с.

14. Билецкий В.Т. К автоматизации разработки кузовной поверхности. Труды института, Горький, 1978, вып. I ОНТЭИ НИИУавто-црома, с. 63 - 72.

15. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408 с.

16. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973. - 446 с.

17. Болтянский В.Г., Солтан П.С. Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств. Кишинев; ШТИИНЦА, 1978. -279 с.

18. Васильев $.11. Лекции по методам экстремальных задач. -М.: Изд-во МГУ, 1974. 374 с.

19. Вопросы программного управления металлорежущими станками. Сб.статей/ Пер. с англ. под ред.А.М.Дорошкевича. М.: ИЛ, 1959. - 234 с.

20. Вопросы теории приближения функций и ее приложений/ Отв.ред. В.К.Дзядык. Киев: ИМ АН УССР, 1976. - 206 с.

21. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. - 415 с.

22. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.; Л.: ГИТТЛ, 1951. - 252 с.

23. Гельфонд А.О. Исчисления конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 376 с.

24. Гилой В. Интерактивная машинная графика. М.: Мир, 1981. -384 с.

25. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1970. - 118 с.

26. Горелик А.Г. Автоматизация инженерно-графических работ с помощью ЭВМ. Минск: Вышейш. школа, 1980. - 206 с.

27. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. М.: Мир, 1972. - 311 с.

28. Демидович Б.П., Марон H.A. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. - 664 с.

29. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. - 368 с.

30. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М,: Наука, 1977. - 511 с.

31. Долматовский Ю.А. Основы конструирования автомобильных кузовов. М.: Машгиз, 1962. - 319 с.

32. Завьялов Ю.С. Интерполирование кубическими многозвенниками (сплайнами). В кн.: Вычислительные системы. Новосибирск, 1970, вып. 38, с. 23 - 73.

33. Завьялов Ю.С. Экстремальное свойство кубических многозвенни-ков (сплайнов) и задача сглаживания. В кн.: Вычислительные системы. Новосибирск, 1970, вып.42, с. 109 - 158.

34. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В .Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

35. Загускин В.Л. Численные методы решения плохо обусловленных задач. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1976. 187 с.

36. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход.- М.: Сов.радио, 1973. 311 с.

37. Зенер К. Геометрическое программирование и техническое проектирование. М.: Мир, 1973. - III с.

38. Имамов А. Приближенное решение задачи сглаживания. В кн.: Вычислительные системы, Новосибирск, 1975, вып. 65, с. 74- 82.

39. Исаев В.К., Шустова Л.И. Алгоритмы и программы интерполяции функций одной, двух и трех переменных с помощью локальной сплайн-функции пятой степени. Тр. ЦАГИ, M., 1980, вып.2071, с. 42 - 62.

40. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

41. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980. - 256 с.

42. Ковалев В .А., Шилова Г.И., Шуваев H .А. Построение математической поверхности, заданной приближенными значениями на дискретном множестве точек. Деп. в ВИНИТИ, № 1080 - 80.

43. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 543 с.

44. Котов И.И. Алгоритмы конструирования каркасных поверхностей. М.: МАИ, 1975. - 62 с.

45. Котов И.И. Образование поверхностей мгновенными преобразованиями производящих. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, Киев: Будивельник, 1969, вып. 9, с. 3-6.

46. Котов И.И. Основные понятия, определения и задача прикладной геометрии поверхностей. сб.: Прикладная геометрия поверхностей, М.: МАИ, 1964. с.

47. Котов И.И. Прикладная геометрия и автоматическое воспроизведение поверхности. Тр. института. - М.: МАИ, 1971, вып. 231, с. 3 - 5.

48. Котов И.И., Полозов B.C., Широкова Л.В. Алгоритмы машинной графики. М.: Машиностроение, 1977. - 231 с.

49. Котов Ю.В. К вопросу конструирования сложных форм автомобильных кузовов. Тр.НАМИ, M., 1972, вып. 137, с. 76 - 95.

50. Кунцман Ш. Численные методы. М.: Наука, 1979. « 160 с.51. курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T. I М.: Наука, 1967. - 704 с.

51. Нурганников В.С., Павлов А.В. Об одном способе конструирования криволинейных поверхностей. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, Киев: Будивельник, 1968, вып.7, с. 102-104.

52. Ланс Дж.Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин.- М., ИЛ, 1962. 208 с.

53. Лесли У .X. Использование станков с программным управлением: Справочное пособие. М.: Машиностроение, 1976. - 421 с.

54. Лихачев Ю.Н., Будеков О.А., Симаццуев С.Х. Аналитическое описание чертежей деталей, изготовляемых на станках с ЧПУ. Горький: ГИСИ им.В.П.Чкалова, 1983. - 27 с.

55. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975.57. Маневич В.А., Маневич М.А. К математическому моделированиюповерхности детали кузова. Автомобильная промышленность,1976, № 3, с. 27-28.

56. Маневич В «А., Маневич М.А. 0 математическом моделировании поверхности деталей кузова автомобиля. Автомобильная промышленность, 1973, № 5, с. 12 - 13.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,1977. 455 с.

58. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. В кн.: Математические методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд - ние, 1975,с. 4 143.

59. Материалы ХХУ1 съезда КПСС. М.: Политиздат, 1982. - 223 с.

60. Методика автоматизированной подготовки управляющих программ для станков с ЧПУ. Горький:НИИУавтопром, 1977. -164 с.

61. Микеладзе Ш.Е. 0 разложении определителя, элементами которого служат полиномы. Прикладная математика и механика,1948, № 12, вый.2, с. 219 222.

62. Михайленко В.Е. О задании поверхностей непрерывным каркасом из плоских алгебраических кривых. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, Киев, 1970, вып.II, с. 18 - 26.

63. Монж Г. Приложение анализа к геометрии. М.; Л.: ОНТИ, 1936.

64. Моцкус И.Б. Многоэкстремальные задачи в проектировании. -М.: Наука, 1967. 215 с.

65. Нивергельт Ю., Фаррар Дж., Рейнгодц Э. Машинный подход к решению математических задач. М.: Мир, 1977. - 351 с.

66. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М,: Физматгиз, 1958. 224 с.

67. Ньюмен У., Спрул Р. Основы интерактивной машинной графики.-М.: Мир, 1976. 574 с.

68. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 558 с.

69. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. М.: Машиностроение, 1979. - 237 с.

70. Осипов В.А. Непрерывно-каркасные поверхности как результат комплекса мгновенных преобразований. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев, Будивельник, 1973, вып. 16, с. 32 - 36.

71. Осипов В.А. "САПР Геометрия" подсистема инженерно-геометрических расчетов в автоматизированном производстве изделий машиностроения. - В кн.: Теория автоматизированного проектирования. Харьков, 1979, № I, с. 30 - 40.

72. Павловский Я. Автомобильные кузова. М.: Машиностроение, 1977. - 544

73. Питум A.C., Симандуев С.Х., Беляк И.Л. Организация диалога пользователь-система на мини-ЭВМ цри создании кузова автомобиля. Тр.института, Горький, 1980, вып.1 ОНТЭИ НИИУавто-пром, с. 79 - 87.

74. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 376 с.

75. Поликарпова Ю.В. Аппроксимация плоских кривых с применением суперпозиции S -функций и алгебраического полинома. Тр. МАИ. М., 1978, вып. 466, с. 35 - 37.

76. Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1973.752 с.

77. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф. М.: Мир, 1980. -608 с.

78. Принс М.Д. Машинная графика и автоматизация проектирования. М.: Сов.радио, 1975. - 232 с.

79. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1980. 320 с.

80. Рабинский Е.Б. Аппроксимация функций 1фивыми 2-го порядка для построения плоских обводов. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будивельник, 1972, вып.15, с. 34 - 35.

81. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.; Л.: ГОНТИ 1939. - 240 с.

82. Рейнов М.Н. и др. Судостроительные расчеты на электронных вычислительных машинах. Л.: Судостроение, 1964, № 4,с. 10 14.

83. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. Киев: Наук, думка, 1969. - 624 с.

84. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики.- М.: Машиностроение, 1980. 240 с.

85. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966. -319 с.

86. Рыжов H.H. Алгоритмизация вывода уравнений линейчатых поверхностей с учетом наперед заданных условий. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика. - Киев: Будивельник, 1972, вып. 14, с. 3 - 8.

87. Рыжов H.H. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей. Труды УДН им.П.Лумумбы, том 26, - М., 1967, вып.3, с. 3 17.

88. Рыжов H.H. 0 теории каркаса. Труды УДН им.П.Лумумбы, том 2,- М., 1963, вып.1, с. 9 19.

89. Рыжов H.H. Параметризация поверхностей. Труды УДН им.П.Лумумбы, том 26, - М., 1967, вып.З, с. 18-21.

90. Рыжов H.H. Сопровождающий трехгранник линии топографической поверхности. Труды УДН им.П.Лумумбы, том 2, - М., 1963, вып.1, с. 20 - 36.

91. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. -244 с.

92. Семенков О.И., Васильев В .П. Разработка и исследование математической модели поверхности на базе кубических сплайнов Шенберга. Известия АН БССР, сер. физико-техн. наук, 1981,4, с. 90 97.

93. Симандуев С.Х. Автоматизированное программирование для станков с ЧПУ в подсистеме изготовления кузовных штампов. Тезисы доклада на конференции "Состояние и перспективы разработки АСУ ТП в приборостроении и машиностроении", Севастополь, 1979. - 3 с.

94. Симандуев С.Х. К вопросу о построении функционалов для управления формой обводов кузовных поверхностей. Тр.института. Горький, 1980, вып.1 ОНТЭИ НИИУавтопрома, с. 69 - 72.

95. Симандуев С.Х. Принципы построения выпуклого полинома с помощью штрафных функций. Тр.института. Горький, 1977, вып.2 ОНТЭИ НИИУавтопрома, с. 109 - 112.

96. Симандуев С.Х. Управление формой параметрически заданной поверхности. Тр.института, Горький, 1979, вып.1 ОНТЭИ НИИУавтопрома, с. 23 - 30.

97. Симандуев С.Х., Усов Б.А. Алгоритм моделирования кривых в базисе полиномов Бернштейна: Рекомендации по работе с материалами 0Ш1. Горький: НИИУавтопром, 1982, вып.38. - 9 с.

98. Стародетко Е.А. Аппарат математического моделирования обводов кузовных поверхностей. Тр.института. Горький, 1973, вып.1 ОНТЭИ НИИУавтопрома, с. 62 - 72.

99. Стародетко Е.А. Геометрическая аппроксимация. Тр.института. Горький, 1976, вып.1. ОНТЭИ НИИУавтопрома, с. 80 - 87.

100. Стародетко Е.А. Геометрическое интерполирование. Дис. . д-ра техн. наук М.: МТИПП, 1974. - 186 с.

101. Стародетко Е.А. Геометрическое интерполирование и аппроксимация. В кн.: Автоматизация процессов проектирования. Минск: ИТК АН БССР, 1978, вып.З, с, 3 - 15.

102. Стародетко Е.А. Динамическая линеаризация ограничений в задаче геометрической аппроксимации. Известия АН БССР, № 3, Минск, 1979, с. 90 - 93.

103. Стародетко Е.А.ИНКАНЭЛ-2А язык для описания плоских деталей. - Труды института. Горький, 1970, вып.2 ОНТЭИ ГПКТИ, с. 3 - 21.

104. Стародетко Е.А. Оптимизация формы и метрики лекальных кривых и поверхностей. В кн.: Теория и методы автоматизациипроектирования. Минск: НТК АН БССР, 1980, вып.4, с. 3-7.

105. Стародетко Е.А., Наздрачева B.C. Автоматизированная система обработки геометрической информации на базе языка ИНКАНЭЛ-2А.- Труды института. М., 1970, вып.1 НИИУавтопрома,с. 48 54.

106. Стародетко Е.А., Селибовский М.А. Математическое моделирование кузовных поверхностей на основе принципов нелинейного программирования. Труды института. Горький, 1975, вып.1 ОНТЭИ НИИУавтопрома, с. 3 - 7.

107. НО. Стародетко Е.А., Симандуев С.Х. Моделирование глобальновыпуклого полинома с помощью квазилинейного функционала метрики. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будивельник, 1983, вып.36, с. 17 - 18.

108. Стародетко Е.А., Симандуев С.Х. Управление формой лекальных кривых в базисе тригонометрических функций. В кн.: Автоматизация технической подготовки производства. Минск: ИТК АН БССР, 1982, вып.З, с. 9 - 17.

109. Стародетко Е.А., Симандуев С.Х., Салазкина Е.В. Моделирование выпуклой кривой в базисе тригонометрических функций: Рекомендации по работе с материалами ОЗДП. Горький: НИЙУ-автопром, 1983, вып.44. - 9 с.

110. Стародетко Е.А., Шмелева З.П. Базовый транслятор геометрического языка Инканэл-ЗА. Труды института, Горький, 1973, вып.1 ОНТЭИ НИИУавтопрома, с. 41 - 50.

111. Стародетко Е.А., Шмелева З.П. Геометрический язык Инканэл-2Б.- Труды института, Горький, 1971, вып.2 ОНТЭИ НИИУавтопрома, с. 114 130.

112. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970. - 412 с.

113. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. «и М.: Наука, 1976. 248 с.

114. Суслин В.П. Сглаживающая аппроксимация кубическими сплайнами. В кн.: Автоматизация процессов проектирования. Минск: НТК АН БССР, 1980, вып.З, с. 3 - 10.

115. Суслин В.П. Сглаживающая аппроксимация поверхностей бикубическими сплайнами. В кн.: Автоматизация процессов проектирования. Минск: ИТК АН БССР, 1980, с. II - 19.

116. Тодорой Д.Н., Ромашек Л.И., Перетятков С.М. Языки машинной графики. Кишинев: Картя Молдовеняска, 1980. 251 с.

117. Трайнев В.А., Яковенко Е.Г. Экономические вопросы автоматизации подготовки производства в машиностроении. Минск: "Вьппейшая школа", 1976. - 141 с.

118. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

119. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстренна. М.; Наука, 1967.267 с.

120. Уокер Б.С., Гурд Дж.Р., Дроник Е.А. Интерактивная машинная графика. М.: Машиностроение, 1980. - 171 с.

121. Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: ИЛ, 1952.

122. Фаддев Д.К., Фадцева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, I960. - 656 с.

123. Фиакко А., Мак-Коршк Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. - 240 с.

124. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982.- 304 с.

125. Форсайт Дж.Э., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

126. Фролов С.А. Автоматизация процесса графического решения задач. Минск: Вышейш« школа, 1980. - 256 с.

127. Хемминг Р.В. Численные методы. Для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972. - 400 с.

128. Химмельблау Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975. 534 с.

129. Черных Н.И. Приближение полиномами и сплайнами. Автореф. диссерт. на соиек.уч.степ. д.ф.-м.н. - М., 1980. - 34 с.

130. Четверухин Н.Ф. 0 некоторых вопросах многомерной геометрии. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев; Будивельник, 1970, вып.10, с. 10 - 12.

131. Четверухин Н.Ф. Прикладная геометрия и некоторые вопросы ее развития. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будивельник, 1969, вып.8, с. 3 - 6.

132. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972. - 567 с.

133. Шнейдерман Я.Н. Математическое моделирование обводов деталей сложной формы с использованием свойств типа выпуклое-ти. Труды института. Горький, 1979, вып.1 0НТЭИ НИЙУав-топрома, с. 31 - 39.

134. Шоке Г. Геометрия. М.: Мир, 1970. - 239 с.

135. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. - 424 с.

136. Якунин В.И., Овласюк Д.И., Размадзе О.Г. Краткий обзор геометрических языков. Труды института, М.: МИ, 1977, вып. 414, с. 7 - 9.

137. Mc.Allister D.F., Passow E., Roulier J.A. Algorithms for Computing Shape Preserving Spline Interpolation to> Data.-Mathematics of Computation, vol. 31,Ho 139, July 1977, p. 717 -725*

138. Restrictions on Derivatives.- Journal of Approximation Theory, No 28, 1980, p. 227-237.151» Hull G.A», Taylor G.O» Restricted Range Adaptive Curve

139. Passov E., Roulier J.A. Monotone and Convex Spline Interpolation.- SIAM J. Numer. Anal., vol.14, No 5, October 1977, p. 904-909.157« Phillips Gr.M., Taylor P.J. Approximation of Convex Data. BIT, 10, 1970, p. 324-332.

140. Richard W.D. An Introduction to Numerical Methods and Optimization Technique. New York, Oxford, 1978«

141. Semenkov 0., Vasiljev V. An application of the B-Spline Technique for Sculptured Surface Modelling.- J.Computers in Industry, vol.3, No 1,2, March, June, 1982,AmsterdamsNorth Holland Publishing Company, p. 31-35.

142. Sutherland I.E. Sketchpads a Man-Machine Graphical Communication System.- Proc. SJCC, 1963, Spartan Books, Baltimore, Md# p. 329»161 • Torsti tf«J*, Aurela A.M. A Past Quadratiq programming

143. Methods for Solving Illconditioned Systems of Equations.«-Journal of Math. Anal, and Appl., vol. 38, No 1, 1972, p. 193-204.