Геометрические оценки в полиноминальной интерполяции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Невский, Михаил Викторович

• Невский, Михаил Викторович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Невский, Михаил Викторович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Базисные многочлены Лагранжа и геометрические характеристики

тг-мерного симплекса

§1.1. Базисные многочлены n-мерного симплекса

§ 1.2. Свойства оссвых диаметров симплекса

§1.3. Величина f (С; S)

§ 1.4. Величина а(С: S) и равенство а(5) — Y11 /di(S)

§ 1.5. Второе доказательство равенства «(S1) — 1 /di{S)

§1.6. Следствия

§ 1.7. О гипотезе Лассака для выпуклого тела

§1.8. Величина f3(S)

§ 1.9. Вычисление центра гомотетии симплекса,

поглощающего Qn

§1.10. Вычисление максимального в симплексе отрезка

данного направления

Глава 2. Линейная интерполяция на n-мерном кубе

§2.1. Задача линейной интерполяции на Qn

§2.2. Соотношение между ||Р|| и ^(б1)

§ 2.3. Редукция в задаче о минимальном проекторе

§2.4. Точные значения вп и для п = 1, 2

§2.5. Точные значения 9$ и

Глава 3. Соотношения вп х п1/2 и х п

§3.1. Симплексы максимального объёма в Qn и оценки для vn

§3.2. Соотношение х п

§3.3. Многочлены Лежандра и мера множества Е1

§ 3.4. Неравенство 9„ > сп1?2

§3.5. Верхние оценки ||Р|| в случае vol(S) = ип

§3.6. Соотношение 9п х п1/2

§3.7. О выполнении равенства £п = (вп — 1) + 1

§3.8. Примеры

§3.9. Улучшение оценок 0п для конкретных п

§3.10. Замечания

Глава 4. Минимальная линейная интерполяция и ортогональное проектирование

§4.1. Норма ортогонального проектора

§4.2. Эйлеровы числа, /^-сплайны, слои и сечения куба

§4.3. Оценки ||Я|| через эйлеровы числа

§4.4. Соотношение ||//|| х вп

§4.5. Вычисление \\Н\\ с помощью однократного интеграла

§4.6. О некоторых свойствах центрального сечения Qn

Глава 5. Полиномиальная интерполяция

общего вида

§5.1. Интерполяция функций из С(П)

§5.2. Оценки нормы проектора Р : С {О.) —>• Щ (Rn)

§5.3. Общий случай

§ 5.4. Примеры

§5.5. Оценки нормы проектора через осевые диаметры

§5.6. Интерполяция с помощью пространства J

Глава 6. Оценки констант эквивалентности

для некоторых норм алгебраических многочленов

§6.1. Эквивалентные нормы на пространствах многочленов

§6.2. Точные значения <5(1, к) и оценки 7(1, к)

§6.3. Точные значения д(п,а) и оценки 7(71, а). д(п, к).

7{п,к)

§6.4. Точные значения 7(7-г, 1), 6(п. 1) и оценки 7(71, 2),

5(щ2)

§ 6.5. Оценки констант через собственные значения

§ 6.6. Оценки констант r¡n

Список литературы

Список основных обозначений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические оценки в полиноминальной интерполяции»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Диссертация написана на основе результатов автора, полученных приблизительно в течение последних двенадцати лет. Предметом наших рассмотрений являются вопросы, связанные с полиномиальной интерполяцией функций многих переменных и применением в этой области некоторых геометрических методов.

Интерполяция представляет собой один из старейших методов аппроксимации функций. Достаточно сказать, что наиболее известная интерполяционная формула была открыта Лагранжем [ТО] в 1Т95 г., а интерполяционная формула Ньютона была описана ещё раньше (соответствующая работа "Метод разностей" опубликована в 1Т36 г.). Теории интерполяции и интерполяционным методам посвящена обширная литература (см., например, [6], [8], [9], [4Т], [48], [51] и др.). Имеющая богатую историю, полиномиальная интерполяция и смежные методы (например, сплайн-интерполяция, интерполяция рациональными функциями) эффективно применяется и в наши дни. Следует также учесть п широкое применение в этих областях и компьютерных методов. Поэтому вопросы теоретического исследования в данной области остаются актуальными.

Как и анализ в целом, теория приближения тесно связана с геометрией. Многие фундаментальные результаты теории приближения имеют по своей сути геометрический характер. Не случайно один из параграфов замечательного обзора В. М. Тихомирова по теории аппроксимации [54] так и называется: "Теория приближений и геометрия" . Использование геометрических характеристик выпуклых тел в конечномерных пространствах в исследованиях Ю. А. Брудно-го, Е.Д. Глускина, B.C. Кашина, C.B. Стечкпна, В.М. Тихомирова и их учеников и др. математиков существенно способствавало развитию теории аппроксимации. Этим актуальным вопросам посвящена и настоящая диссертация.

Что касается интерполяции, то здесь геометрические конструк-

цпп возникают сразу с заданием набора узлов интерполяции. В частности, при интерполяции функции п переменных с помощью пространства многочленов степени < 1 узлы интерполяции являются вершинами п-мерного симплекса. Оказывается возможным получить оценки для нормы интерполяционного проектора через геометрические характеристики соответствующего ему симплекса. Здесь находят своп приложения некоторые новые свойства, например, соотношения для осевых диаметров симплекса. Этот подход переносится и на интерполяцию с помощью более широких пространств многочленов.

Следует также отметить, что применяемые геометрические характеристики (осевые диаметры, минимальные коэффициенты гомотетии и др.) имеют и другие важные, не связанные с интерполяцией, приложения в современной математике. Таким образом, тематика нашего исследования является весьма актуальной.

Цель работы. С помощью геометрических конструкций и методов получить новые оценки для проекторов, связанных с полиномиальной интерполяцией функций многих переменных. Для этого ввести в рассмотрение подходящие геометрические характеристики множеств в г?-мерном пространстве. Исследовать свойства этих характеристик. Доказать неравенства, оценивающие нормы интерполяционных проекторов через геометрические характеристики. Получить результаты о минимальной величине нормы проектора. Указать другие приложения введённых характеристик.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Ниже отмечаются как эти результаты, так и положения, выносимые на защиту.

1. Доказаны новые свойства ?г-мерных выпуклых тел, в первую очередь симплексов. Указанные свойства применяются в диссертации как для оценок интерполяционных проекторов, так и для доказательства новых теорем о выпуклых телах. Для этой цели введены и исследованы некоторые геометрические характеристики выпуклых

тел. При изучении свойств п-мерных симплексов применяется в том числе и теоретико-функциональный подход, при котором свойства симплексов формулируются и доказываются с применением базисных многочленов Лагранжа Xj (барицентрических координат).

Получены новые формулы для осевых диаметров (1,(3) симплекса 3 через коэффициенты соответствующих многочленов

где А_у(х) = + ... + 1П]ХП + 1п+Доказаны также обобщения для вычисления длины и концов максимального отрезка из 3 любого заданного направления.

Обозначим через а(С\]С2) минимальное о > 0, для которого С\ принадлежит трансляту аСч\ здесь С\, С2 — выпуклые тела. Доказано, что для выпуклого тела С и невырожденного симплекса 3 в М'г выполняется равенство

В случае С = := [0,1]п оно эквивалентно следующему новому свойству симплекса 5:

Соотношение а(С}п\3) = ^/^г(^) доказано в диссертации

двумя способами. При реализации одного из подходов установлено новое неравенство а(С}п;С) < ^-/^(С) для осевых диаметров

произвольного выпуклого тела С С

2. Установлена продуктивность указанных выше соотношений для получения новых результатов и для доказательства новыми способами ранеее известных теорем о выпуклых телах.

Например, доказано, что если п-мерный симплекс содержит С}п, то для некоторого г этот симплекс содержит отрезок длины, п,

= ^ тах(-А,(.т)) + 1. ¿=1

параллельный оси х\. Если в симплекс S можно вписать гпранслят

п

Qn, то 1 /wi{S) — 1- Здесь W((S) есть ширина S в направлении i-й

г=1

координатной оси. Эти свойства симплекса являются новыми. С помощью указанного подхода даны новые короткие доказательства ряда известных утверждений. Как пример, приведём следующий результат Лассака (1999). Если симплекс S С Qn имеет максимальный возмоэ1сный объём, то все осевые диаметры di(S) равны 1.

Этот материал дополняет приложения введённых геометрических харакрестик к вопросам полиномиальной интерполяции.

3. Доказаны новые неравенства, оценивающие нормы интерполяционных проекторов через геометрические характеристики множеств. Например, для интерполяционного проектора Р из C(Qn) на пространство ГЦ (М") алгебраических многочленов от п переменных степени < 1 и симплекса S с вершинами в узлах интерполяции выполняются соотношения

^ ОИ! -1) +1 < i(S) < ^ (ИрН - i) +1.

Здесь ||Р|| — норма Р как оператора из C(Qn) в C(Qn), Ç(S) := min{cr > 1 : Qn С <75}. Исследованы случаи достижения равенств в этих неравенствах. Введём следующую геометрическую характеристику куба Qn:

:= min{^(5') : S — n-мерный симплекс, S С Qn, vol(5) Ф 0}.

Обозначим через вп величину минимальной нормы ||Р|| при условии, что все узлы интерполяции принадлежат Qn. Тогда

Доказано, что хотя бы при п > 57 правое неравенство является строгим.

Аналоги этих соотношений установлены и для интерполяции с помощью пространств многочленов, более широких, чем ГЦ (Rn).

4. Для п = 1, 2, 3; 7 найдены точные значения 9п и дано описание интерполяционных проекторов с минимальной нормой. Для п — 2 и случая, когда п + 1 есть число Адамара (т. е. существует матрица Адамара порядка ть + 1) найдены точные значения

5. Установлены точные порядки асимптотики по п величины 9п. Предложен подход, при котором существенно используется следующее новое свойство классических стандартизованных многочленов Лежандра Фп. Для 7 > 1 положим

п п

Епп:={хе Rn: |1 - ]Г + Ы < 7}-

г=1 г= 1

Доказано, что mesn(En~f) = Фг,(7)/п\. С помощью этого равенства получена оценка

* (') ■

где ип — максимальная величина объёма n-мерного симплекса, содержащегося в Qn. Отсюда выводится, что вТ1 > сп1//2. Доказано, что если Р* — интерполяционный проектор, узлы которого находятся в вершинах симплекса максимального объёма в Qn, то

||Р*|| < min (п + 1, i^Vn + 2 + 1

Таким образом, 9п х п1^2 и одновременно ||Р*|| х 9п.

Установлено, что п < < (n2 — 3)/(п — 1), откуда £„ х щ если п + 1 — число Адамара, то £п = п. Для симплекса максимального объёма в Qn доказана эквивалентность £(5*) х Таким образом, доказано, что проектор Р* является почти-минимальным, в смысле определения 9п, а значение £(S*) является почти-минимальным в смысле определения

Получен ряд общих оценок 9п и а также ряд их оценок для конкретных п.

7. Обозначим через II ортогональный проектор из С((}„,) на пространство многочленов степени < 1. Доказано, что норма Н как оператора из С{С^п) в С((]„) удовлетворяет соотношению ||Я|| х вп. Таким образом, в этой ситуации минимальный по норме интерполяционный проектор асимптотически эквивалентен ортогональному проект,ору. Наши результаты также означают, что с константами, не зависящими от п, выполняются неравенства С\ ||Р*|| < ||7/|| < С2\\Р*\\, где Р* — интерполяционный проектор на ГЦ (М") с узлами в вершинах симплекса максимального объёма в п.

Оценка ||Н\\ > сп1/2 получается двумя способами — с использованием эйлеровых чисел и центральных Р-сплайнов. Для этой цели применяются как известные, так и новые свойства этих объектов. В частности, доказаны новые рекуррентные соотношения для эйлеровых чисел.

8. Получены оценки для проекторов при интерполяции функций из С(Г2), — замкнутое ограниченное подмножество К", с помощью многочленов из пространств, более широких, чем П1 (К71). Каждое такое пространство П размерности с/ > п + 1 есть линейная оболочка линейно независимых мономов ц>\(х),..., При этом предполагается, что ф\{х) = 1, <¿>2(я-') = ..., (рп+1(х) = хп. Важные частные случаи П = Щ (К") — пространство многочленов общей степени < к (к е М) и П = Па (М'7) — пространство многочленов степени < оц по Х\ (а е

Для изучения этого общего случая в диссертации применяется подход, при котором задача сводится к интерполяции линейными функциями от <1 — 1 переменного (в пространстве коэффициентов многочленов из П) па множестве Т(0) С Здесь отображение

Т : М" имеет вид

у = Т(х) := ... , щ{х)) = хп, <рп+1(ж), • • •, 4>й(х))-

При реализации этого подхода удаётся доказать некоторые аналоги оценок, полученных ранее для интерполяции с помощью Пх (М'г).

Пусть ||Р||п обозначает норму Р как оператора из С (О.) в С(П);

для согласования с предыдущим считаем ||Р|| := ||Р||д„- Через (9,((П;П) обозначим минимальную величину нормы \\Р\\п интерполяционного проектора Р : С(£1) —> Г! при условии, что узлы интерполяции принадлежат Q. Для невырожденного симплекса S С Ш'1 положим S) := min{<j > 1 : Ü С (тб"}. Пусть

£п{П) := min S) : ver(S) С fi, vol(5) ± 0} ,

■— ^ii(Qn)- Здесь ver(5) есть совокупность вершин S. Для проектора Р : С(Г2) П с узлами х^ установлены соотношения

\ + ¿гт) (||Р|Ь "1} +1 - mn)] s)-í(||Р|>" " 1} +

где S — (d — 1)-мернып симплекс с вершинами Т (х^) . Доказаны аналогичные неравенства, оценивающие через £f¿_i(T(í2)).

Получен ряд верхних и нижних оценок чисел 0„(П; Q). Для оценивания ||Р||п и 0)г(П; Г2) применяются в том числе и осевые диаметры симплексов. Указанные оценки в ряде частных случаев проиллюстрированы примерами.

9. Найдены точные значения, а также доказаны оценки констант, стоящих в неравенствах для некоторых эквивалентных норм на пространствах алгебраических многочленов. Эти результаты частично применяются для оценивания интерполяционных проекторов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут иметь теоретические приложения в теории приближения функций, теории интерполирования, геометрии выпуклых тел, а также теоретические и практические приложения в вычислительной математике.

Методология и методы исследования. Применяются методы математического анализа, функционального анализа, теории приближения функций, геометрии выпуклых тел, линейной алгебры, комбинаторики. Кроме того, в диссертации разработаны собственные методы исследования свойств геометрических характеристик и получения связанных с ними оценок для интерполяционных проекторов.

Степень достоверности и апробация результатов. Все основные результаты работы были опубликованы в рецензируемых научных журналах. В диссертации они приводятся с доказательствами.

Результаты диссертации заслушивались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:

— Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, семинар под руководством профессора Ю. А. Б рудного и профессора Н. Я. Кругляка (1989-1995);

— Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, семинар под руководством профессора С. А. Кащенко и профессора С. Д. Глызипа (2011, 2012);

— Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, Международная научно-исследовательская лаборатория "Дискретная и вычислительная геометрия" им. Б. II. Делоне, семинар под руководством профессора Г. Эдельсбруннера (2012, 2013);

— Воронежского государственного университета, семинар под руководством профессора И. Я. Новикова (2014);

— Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, семинар под руководством профессора В. М. Тихомирова и профессора Г. Г. Магарил-Ильяева (2014).

Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

— Всероссийской научной конференции, посвящённой 200-летию Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова (Ярославль, 2003 г.) (|16|);

— 3-ей международной научной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвящённой 85-летию Л. Д. Кудрявцева (Москва, 2008 г.) ([25]);

— международной научной конференции, посвящённой памяти профессора А. Ю. Левина (Ярославль, ЯрГУ им. П. Г. Демидова, 2008 г.) (126));

— международной научно-образовательной конференции "Пау-

ка в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования" (Москва, РУДН, 2009)

(|31|);

— международной научной конференции "Теория приближений" (Санкт-Петербург, 6-8 мая 2010) ([33]);

— международной научной конференции International Conference "Approximation theory and Applications. In memory of N. P. Kornei-chuk" (Dnepropetrovsk, Ukraine, 2008) ([34]);

— международной научной конференции "Моделирование и анализ информационных систем" , посвящённой 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского государственного университета (Ярославль, ЯрГУ им. П. Г. Демидова, 2012) ([41]);

— международной научной конференции International Topological Conference "AlexandrofF Readings" (Moscow, Lomonosov Moscow State University, May 21-25, 2012)([77j);

— международной научной конференции Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A. D. Alexandrov (Yaroslavl, P. G. Demidov Yaroslavl State University, August 13-18, 2012) ([78], [62]);

— - международной научной конференции Yaroslavl International Conference "Geometry, Topology, and Applications" dedicated to the 70th birthday of N. P. Dolbilin (Yaroslavl, P. G. Demidov Yaroslavl State University, September 23-27, 2013) ([79], [65]).

По материалам диссертации были написаны обзорные статьи для юбилейных сборников "Математика в Ярославском университете" к 25-летию (2001), 30-летпю (2006) и 35-летию (2011) математического факультета ЯрГУ им. П. Г. Демидова ([И], [21] и |37]).

Основные публикации по теме диссертации.

1. Невский М. В. Оценки для минимальной нормы проектора при линейной интерполяции по вершинам n-мерного куба // Моде л. и анализ информ. систем. 2003. Т. 10, № 1. С. 9-19.

2. Невский М. В. О минимальной норме проектора в одной задаче интерполяции функций п переменных // Математика. Материалы Всероссийской научной конф., поев. 200-летию Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова. Ярославль, 2003. С. 265-269.

3. Невский М. В. Геометрические методы в задаче о минимальном проекторе // Модел. и анализ информ. систем. 2006. Т. 13, № 2. С. 16-29.

4. Невский М. В. Минимальные проекторы и максимальные симплексы // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, Л'2 1. С. 3-10.

5. Невский М. В. Ортогональное проектирование и минимальная линейная интерполяция на п-мерном кубе // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 8-28.

6. Невский М. В. О минимальной норме проектора при линейной интерполяции на п-мерном кубе // Тез. докл. 3-ей междунар. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования" , поев. 85-летию Л. Д. Кудрявцева. М.: МФТИ, 2008. С. 162-164.

7. Невский М. В. О минимальной норме интерполяционного проектора // Математика, кибернетика, информатика: тр. междунар. научной конф., поев, памяти профессора А.Ю. Левина. Ярославль: ЯрГУ, 2008. С. 137-144.

8. Невский М. В. Неравенства для норм интерполяционных проекторов // Модел. и анализ информ. систем. 2008. Т. 15, К0 3. С. 28-37.

9. Невский М. В. О константах эквивалентности для некоторых норм на пространствах алгебраических многочленов // Модел. и анализ информ. систем. 2008. Т. 15, № 4. С. 65-80.

10. Невский М. В. Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора // Модел. и анализ информ. систем. 2009. Т. 16, № 1. С. 24-43.

11. Невский М.В. О соотношениях для минимальной нормы интерполяционного проектора // Тез. докл. междунар. научно-образовательной конференции "Наука в вузах: математика, физика, инфор-

матика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования" . М.: РУДН, 2009. С. 290-292.

12. Невский М. В. Об одном свойстве n-мерного симплекса // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 4. С. 580-593. (Английский перевод: Nevskii M.V. // Math. Notes. 2010. V. 87, № 4. P. 543-555.)

13. Невский M. В. Геометрические неравенства для нормы интерполяционного проектора // Теория приближений: тез. докл. между-нар. конф. (Санкт-Петербург, 6-8 мая 2010 г.) / МММ им. Эйлера. СПб.: ВВМ, 2010. С. 77-79.

14. Невский М. В. Оценки для нормы интерполяционного проектора // International conference "Approximation theory and Applications. In memory of N.P. Korneichuk" . Abstracts. June, 10-14, 2010. Dnepropetrovsk, Ukraine. P. 67-68.

15. Невский M. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 142-148.

16. Невский М. В. О геометрических характеристиках п-мерного симплекса // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 2. С. 52-64.

17. Невский М. В. Об осевых диаметрах выпуклого тела // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 313-315. (Английский перевод: Nevskii M.V. // Math. Notes. 2011. V. 90, № 2. P. 295-298.)

18. Невский M. В. О гипотезе Лассака для выпуклого тела // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 3. С. 5-11.

19. Невский М. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции: монография / Яросл. гос. ун-т им. Г1. Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2012. 218 с.

20. Невский М. В. О некоторых результатах по геометрии выпуклых тел и их приложениях // Тр. междунар. научной конф., поев. 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники. Яросл. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. Ярославль, 2012. С. 170-172.

21. Невский М. В. О некоторых результатах по геометрии выпук-

лых тел и их приложениях // Модел. и анализ информ. систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 113-123.

22. Невский М. В. О минимальном положительном гомотетиче-ском образе симплекса, содержащем выпуклое тело // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 3. С. 448-456. (Английский перевод: Nevskii М. V. // Math. Notes. 2013. V. 93, № 3-4. P. 470-478.)

23. Невский М. В. Об одной задаче для симплекса и куба в!" // Модел. и анализ информ. систем. 2013. Т. 20, № 3. С. 77-85. (Английский перевод: Nevskii M.V. // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. V. 48, № 7. P. 521-527.)

24. Невский M. В. Вычисление максимального в симплексе отрезка данного направления // Фундамент, и прикладная математика. 2013. Т. 18, № 2. С. 147-152. (Английский перевод: Nevskii М. V. // Journal of Math. Sciences. 2014. V. 203, № 6. P. 851-854.)

25. Nevskii M. Properties of axial diameters of a simplex // Discrete Comput, Geom. 2011. V. 46, № 2. P. 301-312.

26. Nevskii M. On some property of axial diameters of a simplex // International Topological Conference "Alexandroff Readings" . Moscow, May 21-25, 2012. Abstracts. Lomonosov Moscow State University, 2012. P. 52.

27. Nevskii M. On homothetic copy of a simplex which contains a convex body // Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A.D. Alexandrov. August 13-18, 2012. Abstracts. P. G. Demidov Yaroslavl State University, 2012. P. 63-65.

28. Nevskii M. On a longest segment of given direction in a simplex // Yaroslavl International Conference "Geometry, Topology, and Applications" dedicated to the 70th birthday of N. P. Dolbilin. September 23-27, 2013. Abstracts. P. G. Demidov Yaroslavl State University, 2013. P.92-95.

Основное содержание работы. Перейдём к обзору содержания диссертации. Сначала остановимся на основных обозначениях.

Всюду далее п G N. Элемент х Е Ш'г будем записывать в виде х = (.7;ь... , хп). Через \\х\\ обозначается евклидова норма х.

Положим <5П := [0,1]п.

Пусть С — выпуклое тело в М". т. е. компактное выпуклое подмножество Кп с непустой внутренностью. Через а С обозначим результат гомотетии С относительно центра тяжести с коэффициентом а. Символ уо1(С) обозначает объём С. Если С — выпуклый многогранник, то уег(С) есть совокупность вершин С. Под транслятом понимается результат параллельного переноса. Будем говорить, что п-мерный симплекс 5 описан вокруг выпуклого тела С, если С с 5 и каждая (п — 1)-мерная грань 5 содержит точку С. Примем по определению, что выпуклый многогранник вписан в С, если любая его вершина принадлежит границе С.

Для компактного множества £1 С М" через С(П) обозначается совокупность непрерывных функций / : С(Г2) Ч 1 с равномерной нормой ||/||с(П) := тах,;б0 |/(х-)|.

Если к £ Z+, то есть пространство многочленов от п пере-

менных общей степени < к. Таким образом, под Пх (Мп) понимается линейная оболочка 1,.тх, ..., хп. Для а С через Па,(М'г) обозначается пространство многочленов от п переменных векторной степени < а, то есть степени < аг по Х{.

Пусть Ь н М — функции натурального аргумента п. Запись Ь х М означает, что существуют константы су^сч > 0, не зависящие от п, с которыми выполняется с\М{п) < Ь{п) < С2М(п).

Глава 1 написана по материалам статей [30], [32], [38], [39], [43|, [44], [45], [76] и монографии [40]. Часть из полученных в этой главе геометрических результатов используется в дальнейшем для оценок интерполяционных проекторов. Однако, как представляется автору, эта глава, помимо прикладного аспекта, имеет и самостоятельное значение. В ней вводятся и исследуются некоторые геометрические характеристики выпуклых тел, и в первую очередь симплексов.

Пусть .9 — невырожденный симплекс в Мп с вершинами х^ =

(х^ :... . хп ) , 1 < ] < п + 1. Рассмотрим невырожденную матрицу

л 1

\ 4"... 4'+1) 1,

Пусть Д := det(A). Обозначим через Аj(x) определитель, который получается из А заменой ^'-й строки па строку (^1,... ,хп, 1). Многочлены Aj(x)/A из П^М") обладают свойством Xj (х^) = б1-, где д!- — символ Кронекера. Коэффициенты А.,- составляют j-й столбец А-1. В дальнейшем полагаем А"1 = Тем самым,

Л?'Сг) ~ + • • • + 1пУ-Еп + ¿11+1,3-

Любой многочлен р £ П^М") удовлетворяет равенству

п+1

рм = (У'О хЛх)>

7 = 1

представляющему собой аналог классической интерполяционной формулы Лагранжа. Поэтому в дальнейшем А^, . . . , Ап-|_1 мы называем базисными многочленами Лагранжа, соответствующими симплексу Числа А^х), ..., Ап+1(х) являются барицентрическими координатами х е К" относительно симплекса В §1.1 отмечаются начальные свойства многочленов Xj и коэффициентов а в следующих параграфах первой главы устанавливаются их более тонкие свойства.

Мы начнём с описания теорем об осевых диаметрах симплекса.

Для выпуклого тела С С К'1 обозначим через (11(С) максимальную длину отрезка, содержащегося в С и параллельного оси х¿. Величину ¿/¿(С) будем называть 1-м осевым диаметром С. Понятие осевого, или аксиального, диаметра было введено Скоттом [82], [83].

Далее первый номер утверждения есть его порядковый номер во введении; в скобках указан номер утверждения в основном тексте диссертации. Справедлива следующая теорема [32].

А :=

( т(0

(2)

X

1

т(1) •ьп

(2) /у» 4 '

Хп

Теорема 1 (1.2.1). Пусть 1 < г < п. Для 1-го осевого диаметра 5 верно равенство

В Б существует ровно один отрезок длины £¿¿(5), параллельный оси Центр этого отрезка совпадает с точкой

Каждая (п — I)-мерная грань S содержит по крайней мере один из концов указанного отрезка. Сумма размерностей двух минимальных по включению граней S, содержащих концы отрезка, не превосходит п — 1.

Доказательство теоремы 1 использует операцию с выпуклыми телами, введённую Радзишевски [80]. Из свойств и (1) вытекает, что величина l/di(S) равна сумме положительных элементов г-й строки А"1 и одновременно равна сумме модулей отрицательных элементов этой строки.

Следствие 1 (1.2.2). Для любого ненулевого n-мерного вектора v симплекс S содержит единственный отрезок максимальной длины, параллельный v. Каждой (п — 1 )-мерной грани S принадлежит хотя бы один из концов этого отрезка. Сумма размерностей двух минимальных по включению граней S, содержащих концы отрезка, не превосходит п — 1. Объём S ровно в п раз меньше произведения длины указанного отрезка и (п — 1 )-меры проекции S па (п — 1)-мерную гиперплоскость, ортогональную v.

Ниже мы дополним результат следствия 1, указав явные формулы для вычисления максимального в симплексе отрезка данного направления.

В § 1.3 вводится величина £(С; S) min{<r > 1 : С С crS1}. Полагаем Ç(S) := £(Qn; S). Ясно, что равенство £(С; S) = 1 эквивалентно включению С С S.

(1)

>=1 £ 1Ы

k=1

Теорема 2 (1.3.2). Пусть S — невырожденный симплекс, С — выпуклое тело в К'\ Предположим, что С <£_ S. Тогда

£(С; S) = (п + 1) max max(—Л^(х)) + 1.

l<fc<7l+l XGC

Равенство maxi—Ai(x)) = ... — max(-An+i(x)) эквивалентно mo-xeC xec

му, что симплекс £(S)S описан вокруг С.

Теорема 2 доказана в [40] по методу, изложенному в [76] для случая С = Qn.

Для выпуклых тел С\,Сч С R" обозначим через а(С\]С2) минимальное о > 0, для которого С1 принадлежит трансляту а С2- Положим а(С) := a{Qn, С).

Теорема 3 (1.4.1). Пусть С — выпуклое тело, S — невырожг-денный симплекс в М'\ Тогда

п+1

a(C;S) = ^тах(-А,(х)) + 1. (2)

з=1 XG

В случае С — Qn (2) эквивалентно равенству

(3)

Теорема 3 доказана автором в [43]; равенство (3) установлено им ранее в [76]. Отметим возможность вычисления a(S) через коэффициенты lij многочленов Aj.

Следствие 2 (1.4.2). Справедливо равенство

71, Л.+ 1 i-Л 3=1

Из свойств lij и (4) вытекает, что величина a(S) равна сумме положительных элементов верхних п строк матрицы А' 1 и одновременно равна сумме модулей отрицательных элементов этих строк.

Ключевое соотношение (3) доказано в диссертации двумя способами. Первый подход, применённый при доказательстве теоремы 3, существенно использует выражение осевых диаметров ¿¿(Б) через коэффициенты многочленов А¿; этот путь описан в §1.4. В §1.5 равенство (3) доказывается вторым, более геометричным способом. На этом пути сначала даётся прямое доказательство следующей теоремы.

Теорема 4 (1.5.1). Пусть V С М'1 невыроэюденный параллелепипед, рёбра которого задаются линейно независимыми векторам,и г/1), ..., г)('1\ Обозначим через а^ длину у(г\ Пусть 3 - п-мерный симплекс, — максимальная длина отрезка из 3, параллельного

п

Если V с Б, то £ а?;/^- < 1.

7 = 1

п

Из теоремы 4 выводится, что о;(5) > £ Х/й^З). Противополож-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Невский, Михаил Викторович, 2015 год

Список литературы

1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979.

2. Верже М. Геометрия. Т. 1. М.: Мир, 1984. 560 с.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 368 с.

4. Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967. 232 с.

5. Бронштейн Е. М. Аппроксимация выпуклых множеств многогранниками // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 22. С. 5-37.

6. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехиздат, 1954. 328 с.

7. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. М.: Наука, 1971. 96 с.

8. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 184 с.

9. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985. 304 с.

10. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512 с.

11. Иродова И. П., Невский М. В. Диадические пространства Бесова и другие вопросы теории приближения // Математика в Ярославском университете. К 25-летию математического факультета. Ярославль, 2001. С. 115-131.

12. Невский М.В., Иродова И. П. Некоторые вопросы теории приближения функций: учебное пособие. Ярославль: ЯрГУ, 1999. 94 с.

13. Невский М. В. Лекции по алгебре: учебное пособие. Ярославль: ЯрГУ, 2002. 265 с.

14. Невский М. В. Об одной задаче, связанной с линейной интерполяцией на п-мерном кубе // Ярославль, 2003. 12 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 29.01.03, № 172-В2003.

15. Невский М. В. Оценки для минимальной нормы проектора при линейной интерполяции по вершинам п-мерного куба // Модел. и анализ информ. систем. 2003. Т. 10, № 1. С. 9-19.

16. Невский М. В. О минимальной норме проектора в одной задаче интерполяции функций п переменных // Математика. Материалы Всероссийской научной конф., поев. 200-летию Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова. Ярославль, 2003. С. 265-269.

17. Невский М. В. О константах в неравенствах для эквивалентных норм некоторых многочленов от п переменных. Ярославль, 2005. 16 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 28.02.05, № 274-В2005.

18. Невский М. В. Об интерполяции функций п переменных с помощью линейных комбинаций (г < ]). Ярославль, 2005. 12 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 28.02.05, № 275-В2005.

19. Невский М. В. О минимальных проекторах при линейной интерполяции на квадрате и на кубе. Ярославль, 2006. 23 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 13.06.06, № 786-В2006.

20. Невский М. В. Геометрические конструкции в задаче об оптимальной линейной интерполяции на п-мерном кубе. Ярославль,

2006. 21 с. Рукопись представлена Яросл. гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 13.06.06, № 785-В2006.

21. Невский М. В. Неравенства для норм проекторов при интерполяции по вершинам п-мерного куба // Математика в Ярославском университете. К 30-летию математического факультета. Ярославль, 2006. С. 308-330.

22. Невский М. В. Геометрические методы в задаче о минимальном проекторе // Модел. и анализ информ. систем. 2006. Т. 13, № 2. С. 16-29.

23. Невский М. В. Минимальные проекторы и максимальные симплексы // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, № 1. С. 3-10.

24. Невский М. В. Ортогональное проектирование и минимальная линейная интерполяция на п-мерном кубе // Модел. и анализ информ. систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 8-28.

25. Невский М. В. О минимальной норме проектора при линейной интерполяции на п-мсрном кубе // Тез. докл. 3-ей между-нар. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования" , поев. 85-летию Л. Д. Кудрявцева. М.: МФТИ, 2008. С. 162-164.

26. Невский М. В. О минимальной норме интерполяционного проектора // Математика, кибернетика, информатика: тр. междунар. научной конф., поев, памяти профессора А. Ю. Левина. Ярославль: ЯрГУ, 2008. С. 137-144.

27. Невский М. В. Неравенства для норм интерполяционных проекторов // Модел. и анализ информ. систем. 2008. Т. 15, № 3. С. 28-37.

28. Невский М. В. О константах эквивалентности для некоторых норм на пространствах алгебраических многочленов // Модел. и анализ информ. систем. 2008. Т. 15, № 4. С. 65-80.

29. Невский М. В., Хлесткова И. В. К вопросу о минимальной линейной интерполяции // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 9. Ярославль, 2008. С. 31-37.

30. Невский М. В. Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора // Модел. и анализ информ. систем. 2009. Т. 16, № 1. С. 24-43.

31. Невский М. В. О соотношениях для минимальной нормы интерполяционного проектора // Тез. докл. междунар. научно-образовательной конф. "Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования" . М.: РУДН, 2009. С. 290-292.

32. Невский М. В. Об одном свойстве n-мерного симплекса // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 4. С. 580-593. (Английский перевод: Nevskii М. V. // Math. Notes. 2010. V. 87, № 4. P. 543-555.)

33. Невский М. В. Геометрические неравенства для нормы интерполяционного проектора // Теория приближений: тез. докл. междунар. конф. (Санкт-Петербург, 6-8 мая 2010 г.) / ММИ им. Эйлера. СПб.: ВВМ, 2010. С. 77-79.

34. Невский М. В. Оценки для нормы интерполяционного проектора // International conference "Approximation theory and Applications. In memory of N. P. Korneichuk". Abstracts. June, 10-14, 2010. Dnepropetrovsk, Ukraine. P. 67-68.

35. Невский M. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 142-148.

36. Невский М. В. О геометрических характеристиках п-мерного симплекса // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 2. С. 52-64.

37. Невский М. В. Геометрические неравенства для интерполяционных проекторов // Математика в Ярославском университете. К 35-летию математического факультета. Ярославль, 2011. С. 143-154.

38. Невский М. В. Об осевых диаметрах выпуклого тела // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 313-315. (Английский перевод: Nevskii М. V. // Math. Notes. 2011. V. 90, № 2. P. 295-298.)

39. Невский М. В. О гипотезе Лассака для выпуклого тела // Модел. и анализ информ. систем. 2011. Т. 18, № 3. С. 5-11.

40. Невский М. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции: монография / Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2012. 218 с.

41. Невский М. В. О некоторых результатах по геометрии выпуклых тел и их приложениях // Тр. междунар. научной конф., поев. 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники. Яросл. гос. ун-т им. П.Г. Демидова. Ярославль, 2012. С. 170-172.

42. Невский М. В. О некоторых результатах по геометрии выпуклых тел и их приложениях // Модел. и анализ информ. систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 113-123.

43. Невский М. В. О минимальном положительном гомотетическом образе симплекса, содержащем выпуклое тело // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 3. С. 448-456. (Английский перевод: Nevskii M.V. Ц Math. Notes. 2013. V. 93, № 3-4. P. 470-478.)

44. Невский М. В. Об одной задаче для симплекса и куба в 1" // Модел. и анализ информ. систем. 2013. Т. 20, № 3. С. 77-85.

(Английский перевод: Nevskii M. V. // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. V. 48, № 7. P. 521-527.)

45. Невский M. В. Вычисление максимального в симплексе отрезка данного направления // Фундамент, и прикладная математика. 2013. Т. 18, № 2. С. 147-152. (Английский перевод: Nevskii M. V. // Journal of Math. Sciences. 2014. V. 203, № 6. P. 851-854.)

46. Никольский С. M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с.

47. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983. 384 с.

48. Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2001. 336 с.

49. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.

50. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1962. 500 с.

51. Стечкин С. Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

52. Тараканов В. Е. Комбинаторные задачи и (0,1)-матрицы. М.: Наука, 1985. 192 с.

53. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 624 с.

54. Тихомиров В. М. Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М., 1987. С. 103-260.

55. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970. 800 с.

56. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 424 с.

57. В alia М. Y. Approximation of convex bodies by parallelotopes. International Centre for Theoretical Physics. Internal report IC/87/310. Trieste, 1987. 5 p.

58. Butzer P. L. Observations on the history of central Б-splines // Archive for History of Exact Scicnces. 1988. V. 39, № 2. P. 137156.

59. Clements G. F.} Lindstrom B. A sequence of (±1) determinants with large values // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. V. 16. P. 548550.

60. Comtet L. Permutations by number of rises; Eulerian numbers // Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. Dordrecht, Netherlands: Reidel. 1974. P. 51, 240-246.

61. Curry H. В., Schoenberg I. J. On Polya distribution functions. The fundamental spline functions and their limits //J. dAnalyse Math. 1966. V. 17. P. 71-107.

62. Dolbilin N., Edelsbrunner H.Jvanov A., Musin O., Nevskii M. Yaroslavl International Conference on Discrete Geometry (dedicated to the centenary of A. D. Aleksandrov) // Модел. и анализ информ. систем. 2012. Т. 19, № 6. С. 92-100.

63. Ehrenborg R., Readdy М.} Steingrimsson Е. Mixed volumes and slices of the cube // Journal of Combinatorial Theory. Series A. 1998. V. 81. P. 121-126.

64. Fejes Toth L. Regular figures. Macmillan/Pcrgamon, New York, 1964.

65. Garber A., Edelsbrunner H., Ivanov A., Musin O., Nevskii M. Yaroslavl International Conference "Geometry, Topology, and

Applications"// Модел. и анализ информ. систем. 2013. Т. 20, № 6. С. 95-102.

66. Graham R. L., Knuth D. Е., Patashnik О. Concrete mathematics: A foundation for computer science. Reading, MA: Addison-Wesley. 1994.

67. Hadamard J. Résolution d'une question relativ aux déterminants // Bull. Sci. Math. 1893. V. 28. P. 240-246.

68. Hudelson M., Klee V., barman D. Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem // Linear Algebra Appl. 1996. V. 241-243. P. 519-598.

69. Jonsson A. Markov's inequality and local polynomial approximation // Funct. Spaces Appl. Lund, 1986. P. 303-316.

70. Lagrange J. L. Leçons élémentaires sur les mathématiques // Oeuvres. V. 7. 1795. P. 286.

71. de La,place M. Oeuvres complètes. V. 7. Réédite par Gauthier-Villars. Paris, 1886.

72. Lassak M. Approximation of convex bodies by rectangles // Geom. Dedic. 1993. V. 47. P. 111-117.

73. Lassak M. Relationships between widths of a convex body and of an inscribed parallelotope // Bull. Austral. Math. Soc. 2001. V. 63. P. 133-140.

74. Lassak M. Parallelotopes of maximum volume in a simplex // Discrete Comput. Geom. 1999. V. 21. P. 449-462.

75. Martini H. Some characterizing properties of the simplex // Geom. Dedic. 1989. V. 29. P. 1-6.

76. Nevskii M. Properties of axial diameters of a simplex // Discrete Comput. Geom. 2011. V. 46, № 2. P. 301-312.

77. Nevskii M. On some property of axial diameters of a simplex // International Topological Conference "Alexandroff Readings". Moscow, May 21-25, 2012. Abstracts. Lomonosov Moscow State University, 2012. P. 52.

78. Nevskii M. On homothetic copy of a simplex which contains a convex body // Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A. D. Alexandrov. August 13-18, 2012. Abstracts. P. G. Demidov Yaroslavl State University, 2012. P. 63-65.

79. Nevskii M. On a longest segment of given direction in a simplex // Yaroslavl International Conference "Geometry, Topology, and Applications "dedicated to the 70th birthday of N.P. Dolbilin. September 23-27, 2013. Abstracts. P. G. Demidov Yaroslavl State University, 2013. P. 92-95.

80. Radziszevjski K. Sur une probleme extremal relatif aux figures inscrites et circonscrites aux fiures convexcs // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1952. V. 6. P. 5-18.

81. Rivlin T. J. Chebyshev polynomials. From approximation theory to algebra and number theory. New York: Wiley Interscience, 1990. 249 p.

82. Scott P.R. Lattices and convex sets in space // Quart. J. Math. Oxford (2). 1985. V. 36. P. 359-362.

83. Scott P.R. Properties of axial diameters // Bull. Austral. Math. Soc. 1989. V. 39. P. 329-333.

84. Slepian D. The content of some extreme simplices // Pacific. J. Math. 1969. V. 31. P. 795-808.

85. Sommerfeld A. Eine besonders anschauliche Ableitung des Gaussischen Fehlergesetzes // "Festschrift Ludwig Boltzmann

gewidmet zum 60. Geburstage, 20. Februar, 1904." Barth, Leipzig, 1904. P. 848-859.

86. Stanley R. P. Eulerian partitions of a unit hypercube // In: "Higher Combinatorics. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Berlin, West Germany, September 1-10, 1976." Reidel, Dordrecht/Boston, 1977. P. 49.

87. Ziegler G. Lectures on 0/1-polytopes // In: Proc. DMV-Seminars "Polytopes: Combinatoric and Computation", Birkhäuser, 2000. P. 1-44.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

п — натуральное число

Мп — действительное п-мерное арифметическое пространство

ех,... ,еп — канонический базис Жп

е — п-мерный вектор (1,..., 1) или число 2.71828 ...

\ 1/2

С Х1 у

— п-мерный единичный куб [0,1]?г С — выпуклое тело в М.п, т. е. компактное выпуклое подмножество

Мп с непустой внутренностью оС — результат гомотетии С относительно центра тяжести

с коэффициентом а Сх,а — результат гомотетии С относительно точки х

с коэффициентом сг; если х — центр тяжести С, то Сх;(7 = аС т^(С) — совокупность внутренних точек С уо1(С) — объём С

уег(С) — совокупность вершин выпуклого многогранника С [х,у] — отрезок с концами в точках х, у (ху) — прямая, проходящая через точки х, у Б — невырожденный симплекс в Мп

А — матрица вершин симплекса, матрица узлов интерполяционного проектора

\j — базисные многочлены Лагранжа, соответствующие 5 /у — коэффициетны многочленов А^-

«¿г (С) — г-й осевой диаметр С, т.е. длина максимального отрезка

из С, параллельного г-й координатной оси (Г(Б) — максимальная длина отрезка из 5, параллельного ненулевому вектору V

(С) — максимальная длина отрезка из С, параллельного г-му ребру параллелепипеда V 5) — минимальное сг > 1 такое, что С сгБ

№) := 5)

a(Ci] C2) — минимальное и > 0 такое, что С\ принадлежит

трансляту 0С2 а(С) := a(Qn;C)

Wi(C) — г-я ширина С, т.е. ширина С в направлении г-й

координатной оси ß(S) — максимальное а > О, для которого транслят crS1

принадлежит Qn С (О) — пространство непрерывных функций / : —> R

с нормой ||/||с(П) := max^eQ\f(x)\ П^.(МП) — пространство многочленов от п переменных степени < к (.к G Z+)

П1 (R") — линейная оболочка 1, х\, ..., хп

nfV(Rn) — пространство многочленов от п переменных степени < оц

по Xi (а € Z") Р — интерполяционный проектор по узлам х^ ||P||n — норма Р как оператора из С(П) в С(П) \\Р\\ \\p\\Qn

вп — минимальная величина нормы интерполяционного проектора Р : C(Qn) —Пх (Шп) при условии, что узлы интерполяции принадлежат Qn £п — минимальна величина £(S), где S С невырожденный

n-мерный симплекс (а/6)-матрица — матрица, каждый элемент которой равен а или b hn — величина максимального определителя (0/1)-матрицы порядка п

дп — величина максимального определителя (—1/1)-матрицы

порядка п Нп — матрица Адамара порядка п ип — величина максимального объема симплекса,

принадлежащего Qn L(n) х M(n) — запись означает, что существуют ci, с2 > О, не зависящие от п. для которых с\М(п) < L(n) < с2М(п) — стандартизованный многочленом Лежандра степени п

E,hl — подмножество Rn, задаваемое неравенством

п п

|l-2>i| + £W<7 (7>1)

г=1 г=1

Н — ортогональный проектор из C(Qn) на Tli (Rn) Ап,к — эйлеровы числа

п

Тп к — слой Qn, задаваемый неравенствами к — I < ^ Xi < к

i=1

{1<к< га)

п

Gn,u — сечение Qn гиперплоскостью ^ хг- = и (и £ R)

¿=1

s(n,u) — (п — 1)-мерная мера Gn^u Вп — центральный ß-сплайн порядка п

— Ьп — запись означает, что lim an/bn = 1

П—¥ ОО

П — допустимое пространство алгебраических многочленов,

П = Hn((/?i, ...,ipd) (d > п + 1) 0Д(П; П) — минимальная величина нормы

интерполяционного проектора Р : C(Q) —> П при условии, что узлы интерполяции принадлежат Q вп{П) := еп (П1 (Rn);0) Оп &n(Qn)

— минимальная величина S), S — невырожденный n-мерный симплекс, ver(S) С £1 £n(Qn)

Т — соответствующее П отображение из Rn в R^-1,

Т(х) := {tp2(x), ■ ■ • ,<А*(я))

К(Щ — выпуклая оболочка множества ver(Qd_i) f]T(Qn) w(n) — максимальная величина det А при условии

принадлежности узлов интерполяции кубу Qn Хп — линейная оболочка 1 , Х{, XjXj

(г < з)

7(п,к), 7(n,a), 6(п,к), 6(п,а) и г)п — минимальные константы, стоящие в неравенствах для эквивалентных норм алгебраических многочленов