Метод Lp-оценок и его использование в геодезических уравнительных вычислениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.24.01, кандидат технических наук Волжанин, Сергей Дмитриевич

• Волжанин, Сергей Дмитриевич
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Волжанин, Сергей Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ УРАВНИВАНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

ИЗМЕРЕНИЙ.

1.1. Основные причины появления новых методов уравнительных вычислений в геодезии . д

1.2. Гарантированный подход к проблеме уравнивания .ц

1.3. Вероятностный подход к проблеме уравнивания

ГЛАВА П. ТЕОРЕТИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА ЬР- ОЦЕНОК В ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ УРАВНИТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ.

2.1. р - распределение и его частные случаи.

2.2. Параметры и моменты р - распределения

2.3. Определение параметров - распределения по эмпирическим данным.

2.3.1. Определение параметров Хс и Ар по эмпирической выборке.

2.3.2. Определение параметра р

2.4. Эмпирическое определение закона распределения невязок в сетях триангуляции

2.4.1. Краткая характеристика исследуемых сетей триангуляции.

2.4.2. Статистический анализ и определение закона распределения невязок треугольников.

2.5. Вероятностное обоснование метода р -оценок.

ГЛАВА Ш. УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ МЕТОДОМ

1>р- ОЦЕНОК. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОЛУЧАЕМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

3.1. Общая постановка задачи.

3.1.1. Итерационный метод наименьших квадратов: параметрический способ уравнивания

3.1.2. Итерационный метод наименьших квадратов: коррелатный способ уравнивания

3.1.3. Алгоритмы оо - оценок (метод равномерных приближений)

3.1.4. Алгоритмы 1 " оценок (метод наименьших модулей).

3.2. Оценка точности результатов уравнивания методом Iж р — оценок

3.3. Сравнение результатов уравнивания геодезических сетей методом 1-1 р - оценок при различных значениях параметра р

3.3.1. Сравнение результатов уравнивания по методу равномерных приближений и МНК одной сети трилатерации.

3.3.2. Сравнение результатов уравнивания методом I— р - оценок модельной сети трилатерации с ошибками измерений, имеющими I—р - распределение

3.3.3. Пример комплексной математической обработки геодезической сети методом

ЬР - оценок.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод Lp-оценок и его использование в геодезических уравнительных вычислениях»

Пристальный интерес, проявляемый специалистами в области обработки измерений к новым результатам теории оценивания вызван резким увеличением количественной информации, получаемой при обработке научных опытов, геодезических, астрономических,космических наблюдений. Развитие новых методов вычислительной и прикладной математики, кибернетики, внедрение в повседневную практику высокопроизводительных вычислительных комплексов на базе ЭВМ позволяет с успехом использовать новейшие теоретические результаты, связанные с определением ряда параметров математических моделей по измерительным данным характеристик реальных явлений. Многообразие методов обработки открыло широкие практические возможности построения математических моделей с оптимальными свойствами.

Классические работы по теории метода наименьших квадратов, выполненные на протяжении 150 лет плеядой выдающихся математиков, таких как К.Ф.Гаусс, А.Лежандр, А.А.Марков, Р.Фишер, П.Л.Чебншев, А.Н.Колмогоров и многими другими, органически вошли в современную теорию оценивания, которая стала сейчас весьма плодотворно развиваемой ветвью математики, глубоко связанной с рядом прикладных дисциплин.

В настоящее время в геодезических и геолого-геофизических науках достигнуто существенное продвижение в направлении устранения наметившегося разрыва между новыми методами теории оценок и реально используемыми приемами обработки измерительной информации. Внедрение методов теории оптимальных линейных оценок, взгляд на целый ряд вопросов с точки зрения теории случайных процессов, позволили получить существенно новые результаты в физической геодезии, при обработке спутниковой орбитальной информации и т.п.

Исследованию возможности применения новых методов обработки измерений в геодезии и посвящена настоящая работа. В диссертации конкретно решались следующие задачи:

- выполнение сравнительного анализа новых нетрадиционных методов уравнивания с целью выбора оптимального принципа уравнивания геодезических измерений;

- исследование вероятностных условий обоснованного применения выбранного метода уравнивания;

- анализ существующих алгоритмов метода и их практическая реализация при уравнивании геодезических сетей;

- определение оценки точности, получаемых из уравнивания результатов.

Целесообразность и необходимость постановки указанных исследований диктуется выявленными при детальном статистическом анализе негауссовскими законами распределения ошибок измерений в геодезических сетях. Оптимальность /в вероятностном смысле/ оценок зависит от соответствия выбранного метода уравнивания эмпирическому распределению ошибок измерений. Поэтому возникла необходимость проанализировать основные подходы развиваемые в современной теории оценок, и попытаться применить подходящий оптимальный метод обработки, каковым и стал метод [>.р - оценок, для уравнивания геодезических измерений.

В работе изучались теоретико-вероятностные предпосылки обоснованного применения метода - оценок. С этой целью исследовалась возможность представления эмпирического распределения ошибок измерений обобщенным модельным распределением, связанным с оптимальным методом уравнивания геодезических построений, который выбирался с учетом результатов исследования статистических свойств ошибок измерений.

Решение задачи уравнивания в такой постановке позволило получать оптимальные в смысле метода максимального правдоподобия Фишера результаты для широкого класса распределений ошибок измерений.

Важным моментом исследований было сравнительное изучение алгоритмов уравнивания геодезических сетей методом 1-*р - оценок при различных значениях параметра р . Б диссертации учтен богатый опыт, накопленный при реализации алгоритмов решения несовместных систем линейных уравнений методами наименьших модулей и равномерных приближений. При уравнивании геодезических сетей коррелатным способом возникла необходимость модифицировать существующий алгоритм итерационного метода наименьших квадратов,что позволило, в конечном итоге, использовать его для уравнивания геодезических построений как условным, так и параметрическим способами метода 1~>>р - оценок.

Одной из главных задач работы была разработка вопросов оценки точности параметров, получаемых при уравнивании методом 1».р-оценок. На основании свойств оценок ММП Фишера были получены результаты, позволившие вычислять среднеквадратические ошибки искомых величин.

В итоге была предложена и апробирована на ряде геодезических сетей комплексная методика обработки измерений, включающая:

- предварительный статистический анализ ошибок измерений;

- уравнивание измерений оптимальным методом 1—^р - оценок;

- оценку точности искомых величин.

Композиционная структура предлагаемой работы следующая. Текстовая часть работы состоит из введения, трех глав, включающих 22 параграфа и заключения. В первой и третьей главе помещены разделы, в которых приводится обзор новых методов теории оценивания и алгоритмы метода 1*р- оценок. Во всех остальных разделах работы даны самостоятельные исследования диссертанта.

В текстовой части работы имеется Х5 таблиц и 15 рисунv ков. В пяти приложениях представлены результаты исследований в таблицах и приведены распечатки составленных программ. Список литературы содержит 101 название, из них 48 на иностранных языках. Общий объем диссертации с приложениями составляет 188 страниц, основной текст диссертации изложен на 105 страницах.

Автор считает приятным долгом выразить благодарность доктору технических наук, профессору Г.А.Мещерякову за внимание и постоянную поддержку к исследованиям по диссертационной работе, а также А.Н.Колеснику, В.А.Виленскому и С.И.Пузанову за любезное разрешение использовать предоставленные ими материалы.

Заключение диссертации по теме «Геодезия», Волжанин, Сергей Дмитриевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе конкретно сделано следующее.

1. Выполнен критический обзор нетрадиционных методов уравнивания измерений, появившихся в 60-70 годах. Даны конкретные рекомендации по их возможному использованию в геодезии.

2. Исследован р - закон распределения случайных величин; вычислены его моменты до четвертого включительно. Обсуждены возможности определения параметров [, р ~ распределения по экспериментальным данным. Практически, на примере невязок треугольников триангуляции 2-го класса, показана возможность сглаживания эмпирического распределения р - распределением. Полученные при этом значения величины р отличны от 2.

3. Выполнен обзор алгоритмов, реализующих общую задачу уравнивания методом и р - оценок и его конкретные случаи при р = I и ©о . Разработан алгоритм уравнивания геодезических измерений методом [»р - оценок при коррелатном способе уравнивания. Доведена до практической реализации задача уравнивания геодезических сетей методом р - оценок.

4. Разработаны вопросы оценки точности уравненных методом р - оценок величин. Получены соотношения, позволяющие вычислить среднеквадратические ошибки уравненных величин оптимальными и квазиоптимальными методами р - оценок при - распределении ошибок измерений.

5. На ряде реальных и модельных геодезических сетей проведена апробация рекомендованных алгоритмов уравнивания; выполнено сравнение результатов уравнивания и оценки точности при различных случаях метода 1—~ оценок. Приведен пример комплексной математической обработки реальной геодезической сети триангуляции 2-го класса методом р - оценок.

6. Методами имитационного моделирования с использованием метода Монте-Карло выполнено сравнение результатов априорной и апостериорной оценки точности уравненных методом L»"p - оценок величин.

По основным алгоритмам уравнивания и для предварительной статистической обработки измерений составлены комплексы программ, реализованные в операционной системе ОС ЕС на языках программирования ФОРТРАН и АССЕМБЛЕР: ГЕОСЕТ и СТАТИСТИКА. Листинги программ приведены в приложении 4.

Выполненные в диссертации исследования позволили прийти к таким основным результатам, выводам и рекомендациям.

1. Проведенный сравнительный анализ новых методов уравнивания показал, что метод Lip - оценок можно рекомендовать для получения оптимальных (в смысле метода максимального правдоподобия Фишера) результатов при решении геодезических уравнительных задач.

2. Для эффективного применения метода Lp - оценок рекомендуется выполнять предварительный статистический анализ, из которого необходимо определить основной параметр р Lp - закона распределения ошибок измерений.

Устойчивое определение параметра р может быть выполнено в зависимости от объемов исходной выборки одним из следующих метол дов оценивания: методом моментов, методом минимума , методом наименьших квадратов.

3. Результаты экспериментального определения параметра р на примере ряда сетей триангуляции 2-го класса, указывают на статистическую неоднородность невязок треугольников. Величинар для отдельных регионов исследованных сетей колеблется от 1,6 до 3.3.

4. Исследование алгоритмов метода L*.p - оценок показало

-Нецелесообразность использования для геодезических уравнительных вычислений итерационного метода наименьших квадратов Флетчера, Гранта и Хебдена для коррелатного и параметрического способов уравнивания. При уравнивании по методу наименьших модулей и равномерными приближениями эффективно использовать алгоритмы, основанные на методах линейного программирования.

5. Использование метода Lxp - оценок в сочетании с предварительным статистическим анализом может быть рекомендовано при уравнивании измерений, отягощенных ошибками с симметричной функцией распределения, отличной от нормального закона и допускающей описание ее функцией Lp - типа.

6. При перенаблюдениях углов в триангуляции с целью устранения невязок треугольников больших допустимого значения наблюдается изменение параметра р , закона распределения ошибок измерений.

Выбирая параметр р метода L»p ~ оценок в соответствии с выявленным эмпирическим законом распределения ошибок, можно получать максимально правдоподобные результаты уравнивания не прибегая к перенаблюдениям полевых измерений.

Обсуждаемые в работе методы и результаты применения нетрадиционного принципа уравнивания - метода L-x р - оценок - дают возможность решать широкий круг уравнительных задач. Поэтому они могут быть использованы для целого ряда работ в области астрономии, геофизики, геодезии и исследования космического пространства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Волжанин, Сергей Дмитриевич, 1984 год

1. АЛЕКСАНДРЕНКО В.Л. Программа построения взвешенно-полиномиального чебышевского приближения по методу повышающего действия. В сб.: Алгоритмические языки и программирование.Киев, 1967, вып. I, с.104-122.

2. АХИЕЗЕР Н.й. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. - 407 с.

3. БОЛОТИН А.И. Об одном способе определения минимума суммы абсолютных величин, зависящих линейно от ряда аргументов. -Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1965, вып.4, с.15-22.

4. БОЛОТИН А.И. Свойства поправок при уравнивании наблюдений методом наименьших модулей. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1977, вып. 2, с.21-26.

5. ВЕНТЦЕЛЬ Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука,1964,- 576с.

6. ВИДУЕВ Н.Г., КОНДРА Г.С. Вероятностно-статистический анализ погрешностей измерений. М.: Недра, 1969. - 320с.

7. ВОЙТЫШЕК Л.В. Отыскание наилучшего в смысле Чебышева решения несовместной системы линейных алгебраических уравнений.

8. АрИкасв. mat ивб, п, № з, с.232-237.

9. ВОЛЖАНИН С.Д. Об опыте исследования уравнивания геодезической сети по методу равномерных приближений. В сб.: Геодезия, картография и аэрофотосъемка. Львов: Вшца школа при Львов, ун-те, 1982, вып. 36, с.19-24.

10. ВОЛЖАНИН С.Д. Исследование закона распределения ошибок измерений в геодезических построениях. Львов.политехи, ин-т.

11. Львов, 1984, II с. (Рукопись депон. в УкрНИИНТИ 5 апреля 1984 г., № 619 Ук-Д84.).

12. ВОЛЖАНИН С.Д. Оценка точности результатов уравнивания методом L. р оценок. - Львов, политехи, ин-т. Львов, 1984, 9 е. (рукопись депон. в УкрНИИНТИ 6 апреля 1984 г., № 622 Ук-Д84.).

13. ГАВРИЛШ В.Т., РЕМЕЗ Е.Я. О принципе равномерного приближения в применении к обработке результатов измерений,условных в особенности. Киев, 1969. - 28с. (Препринт ИМ АН УССР).

14. ГАЛУШКИН А.И. и др. Основы кибернетики. М.: Высшая школа, 1974. - 416с.

15. ДЕМИДЕНКО Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981. - 302с.

16. ДЖОНСОН Н., ЛИОН Ф. Статистика и планирование эксперимента в науке и технике. М.: Мир, 1980. - 610с.

17. ЕНПОВ А.А. Стабильные методы оценки параметров.- Автоматика и телемеханика, 1978, Р 8, с.66-101.

18. ЗУХОВИЦКИЙ С.И. О новой численной схеме алгорифма для чебы-шевского приближения несовместной системы линейных уравнений. Докл. АН СССР, 1961, 139, № 3, с.534-537.

19. ЗУХОВИЦКИЙ. С.И., АВДЕЕВА Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1964. - 348с.

20. Инструкция о построении государственной геодезической сети СССР. М.: Недра, 1966. - 341с.

21. КЕМНИЦ Ю.В. Математическая обработка зависимых результатов измерений. М.: Недра, 1970. - 189с.

22. КЕМНИЦ Ю.В., ВЛАСОВ В.Д. Теория и методы математической обработки результатов геодезических измерений. Итоги науки и техники. Геодезия и аэросъемка, т.14, М., ВИНИТИ, 1978, с.6-77.

23. КОВТУН Н.Г. Уравнивание триангуляции методом чебышевских приближений. В сб.: Инженерная геодезия, 1979, вып. 22, с.72-74.

24. КОЛЛАТЦ JI., КРАБС В. Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения. М.: Наука, 1978. - 272с.

25. КОРОЛШ B.C. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. Киев: Наукова думка,1978. -582с.

26. КРАМЕР Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.- 648с.

27. КУТИЛИН Б.И., ХЕФЕЦ Б.Л. Алгоритм решения задачи чебышевско-го приближения несовместной системы нелинейных уравнений с применением симплекс метода. Киев, 1979. - 25с. (Препринт УкрФАП № 4647).

28. МАРКОВ A.A. Закон больших чисел и способ наименьших квадратов. В кн.: Марков A.A. Избр. труды. М.: АН СССР, 1951,с.633-651.

29. МЕЩЕРЯКОВ Г.А., ВОЛЖАНИН С.Д. О выводе параметров общеземного эллипсоида по спутниковой информации с использованием метода Lp- оценок. В сб.: Использование наблюдений ИСЗ для геодезии и геофизики. Тез. докл. Международной конф. Суздаль, 1982, с.14-15.

30. МЕЩЕРЯКОВ Г.А., ВОЛЖАНИН С.Д. Использование метода L р -оценок при определении параметров общеземного эллипсоида. -В сб.: Геодезия, картография и аэрофотосъемка. Львов: Вища школа при Львов, ун-те, 1983, вып. 38, с.76-81.

31. МЕЩЕРЯКОВ Г. А., ВОЛЖАНИН С.Д., КИРИЧУК В.В. Об уравнивании геодезических измерений с учетом закона распределения ошибок.- Геодезия, и картография, 1984, № 2, с.9-11.

32. МАРКУЗЕ Ю.И. Уравнивание и оценка точности плановых геодезических сетей. М.: Недра, 1982. 192с.

33. МОНИН И.И. Е^циный алгоритм составления условных уравнений в геодезических сетях. Львов: Вшца школа при Львов, ун-те,1980, вып. 35, с.75-84.

34. МОРИТЦ Г. Современная физическая геодезия. М.: Недра,1983.- 392с.

35. МУДРОВ В.И., КУНКО В.Л. Методы обработки измерений. М.: Радио и связь, 1983. - 304с.

36. ПЕТРОВИЧ М.Л. Регрессионный анализ и его математическое обеспечение на ЕС ЭВМ. М.: Финансы и статистика,1982.-200с.

37. ПРОБОРОВ К.Л. О точности сплошных сетей триангуляции. М.: Изд-во геодезической литературы, 1956. - 164с.

38. ПРОХОРОВ Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятностей и ее применения. 1956, № I, с.177-238.

39. ПРУДНИКОВ А.П., БРЫЧКОВ Ю.А., МАРИЧЕВ О.Н. Интегралы и ряды.- М.: Наука, 1981. 800с.

40. РЕМЕЗ Е.Я. Основы численных методов чебышевских приближений.- Киев: Наукова думка, 1969. 624с.

41. СКШЛЬ В.А. Применение метода чебышевских приближений при уравновешивании геодезических сетей. В сб.: Геодезия, картография и аэрофотосъемка. Львов: Вшца школа при Львов.ун-те, 1975, вып. 21, с.47-54.

42. СКШЛЬ В.А. О составлении уравнений поправок при уравнивании методом чебышевских приближений. В сб.: Геодезия, картография и аэрофотосъемка. Львов: Вшца школа при Львов.ун-те, 1975, вып. 22, с.65-69.

43. СКШЛЬ В.А. К вопросу об обосновании использования метода чебышевского приближения при обработке геодезических измерений. В сб.: Геодезия, картография и аэрофотосъемка. Львов: Вшца школа при Львов, ун-те, 1976, вып. 24, с.107-110.- но

44. СКРЫЛЬ В.А. О применении метода чебышевских приближений для уравнительных вычислений. Проблемы мат.обраб.геод.сетей. Материалы всес.конф., Новосибирск, 1977. Новосибирск, 1979, с.37-41.

45. СМОЛЯК С.А., ТИТАРЕНКО Б.П. Устойчивые методы оценивания. -М.: Статистика, 1980. 208с.

46. СУХОВ А.Н. Статистические закономерности невязок триангуляции 1-го и 2-го класса. В сб.: Геодезия, картография и аэрофотосъемка. Львов: Вица школа при Львов, ун^те, 1972, вып. 16, с.95-99.

47. ТИМОВ Хр. Чебышевско решение на несъвместни линейни системи от условии уравнения с неизвестни. Известия на ГУГК,София, 1969, № I, с.16-19.

48. ТИМОВ Хр. Чебишевско изравняване на резултати от преки из-мервания на една и съща величина. Известия на ГУГК. София, 1969, № 2, с.16-20.

49. ТРЕНОГИН В.А. Функциональный анализ. М.: Наука,1980.-496с.

50. УСПЕНСКИЙ А.К. Решение уравнений погрешностей по способу наименьшего предельного уклонения. В сб.: Сборник статей по геодезии. ГУГК. М.: Геодезиздат, 1953, вып. 4, с.69-83.

51. УСПЕНСКИЙ А.К. Решение условных уравнений по способу наименьшего предельного уклонения. В сб.: Сборник статей по геодезии. ГУГК. М.: Геодезиздат, 1953, вып. 5, с.27-43.

52. ШЕФФЕ Г. Дисперсионный анализ. М.: Наука, 1980. - 512с.

53. ФОРСАЙТ Д., МАЛЬКОЛЬМ М., МОУЛЕР Г. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280с.

54. ЭЛЬЯСБЕРГ П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 416с.

55. ЭЛЬЯСБЕРГ П.Е. Измерительная информация: сколько ее нужно? как ее обрабатывать. М.: Наука, 1983. - 207с.

56. ЮРШАНСКИЙ З.М. Некоторые вопросы расширения многообразия и унификации алгоритмов уравнительных вычислений в связи с применением ЭВМ. Проблемы мат. обраб. геод. сетей. Материалы всес. конф., Новосибирск, 1977. Новосибирск, 1979, с.22-27.

57. ABDELMALEK N.N. An efficient method for the discrete linear L,f approximation problem. Math. Comput., 1975, 131, N 29, s. 844-850.

58. ANDREWS D.F. A robust method for multiple linear regression. Теchnometries, 1974, N 16, s. 523-531.

59. BRRODALE I., ROBERTS F.D.K. An improved algorithm for discrete L,, approximation. SIAM, Journal of Numer Analysis, 4 1974, Ю, N5, s, 839-848.

60. BRANHAM R.L. Alternatives to least-squares. The Astronomical Journal, 1982, 87, N 6, s. 928-937.

61. EDGEWORTH F.Y. A new method for reducing observations relating to several quantities. Phil. Mag. 5-th Ser. 1887, 24, s. 222r-224.

62. EHRNSPERGER W., KOK J.J., van MIERLO S. Status and provisional eresults of the 1981 adjustment of the United European Levelling Network. UELN-73. - Verroff. Dtech. geod. K0m-mis. Bayer. Akad. Wiss, 1982, В, N 258/2, S. 25-50.

63. FLETCHER R., GRANT J.A., HEBDEN M.D. '¿'he calculation of linear best L approximations. - Computer Journal, 1971,1. N 3, s. 276-279.

64. FLETCHER R., GRANT J.A., HEBDEN M.D. Linear minimax approximation as the limit of best L approximation. - SIAM J.г

65. Numer. Anal., 1974, II, N I, s. 123-136.

66. FUCHS H. Contributions to the adjustment by Minimizing the Sum of absolute residuals. Manuscripta geodaetica, 1982, 7, s. 151-207.

67. FUCHS H. Adjustment by minimizing the sum of absolute residuals. Veröff. Dtsch. geod. Kommis. Bayer Akad. Wiss., 1982, B, 258/5, S. 29-48.

68. GAUSS K.P. Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. Hamburg, 1809. - В кн.: К.Ф. Гаусс. Избранные геодезические сочинения. Т. I, М.: Геодез-издат, 1957, с. 89-109.

69. GAUSS К.F. Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxial. 1821. В кн.: К.Ф. Гаусс. Избранные геодезические сочинения. Т. I, М.: Геодезиздат, 1957, с. 17-56.

70. GLEINSVIK P. Zur Leistungsfähigkeit der Methode der kleinsten Quadrate bei Ausgleichung nicht-normalverteilter Beobachtungen. Theoretische Untersuchungen. ZfV. 1971, N 8f S. 224-233.

71. GLEINSVIK P. Zur Leistungsfähigkeit der Methode der kleinsten Quadrate bei der Ausgleichung nicht-normalverteilter Beobachtungen. Experimentelle Prüfung. ZfV, 1972, N 9, S. 385-393.

72. GOEDSEELS P.J.E. Theorie des erreurs d*observation. 3-me ed. Louvain. Paris, 1909.

73. HARTER H.L. The method of least-squares and some alternatives. Int. Statist.' Rev. 1974, 42, s. 147-174, 235-264,282.

74. HARTER H.L. The method of least-squares and some alternatives. Int. Statist. Rev. 1975, 43, s. 1-44, 125-190, 273-278,269.272.

75. HARTER H.L. The method of least-squares and some alternatives. Int. Statist. Rev. 1976, 44, s. II3-I59.

76. HEINDL G., REINHART E. Adjustment by the Principle of Minimal Maximum Error. Veröff. Dtsch. Geod. Kommis., 1975» 213, s. 33-43.

77. HEINDL G., REINHART E. Ausgleichung im Sinne minimaler Maximalfehler. Veröff. Dtsch. geod. Kommis., 1976, A, S. 8437 p.

78. HEINDL G., REINHART E. A General Method for the computation of MINIMAI-Errors. Boll, di geod. e sei. affini. 1976,1. 3, s. 269-279.

79. HEINDL G., REINHART E. Experiences with a non-statistical method of detecting outliers. veroff. Dtsch. geod. Kommis., 1982, B, S. 19-28.

80. HOGAN W.W. Norm minimizing estimation and unbiasedness. -Econometrica, 1976, 44, N 3, p. 6II-6I4.

81. HÜBER P.J. Robust estimation of a location parameter. Ann. Math. Stat. 1964, 35, p. 73-101.

82. JAECKEL LiA. Robust estimates of location: Symmetry and asymmetric contamination. Ann. Math. Statist. 1971, 42, p. 1020-1034.

83. KADAJ R. Rozwiniecie koncepcji niestandartowej metody esti-macji. Geod. i kart. 1980, 29, N 3-4, s. 185-195.84.' KADAJ R. Wyrownanie z observacjami obstajacymi. Rrz. geod. 1980, 52, N II, s. 371-375.

84. KANEFSKI M.T., THOMAS J.B. Oil polarity detecting schemes with non-Gaussian inputs. J. Franklin Inst. 1965, 280, p. 120-138.

85. KRARUP T., JUHL J., KUBIK K. Götterdämmerung over least squares adjustment. In: Int. Arch. Photogramm. 14-th Cong.

86. Hamburg, 1980, 23, B 3, S. 369-378.

87. LAPLACE P.S. Traité de mécanique céleste. Paris", 1799, II,3 839 p.

88. LEGENDRE A. Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes. Paris, 1805.

89. LINDER B.U. Ein Verfahren zur automatisierten Aufstellung von Bedingungsgleichungen in Schleifennetzen. ZfV, 1983» 4, S. 160-166.

90. MERLE G., SPÄTH H. Computational experiences with discrete k approximation. Computing, 1974, N 12, p. 315-321.

91. MILLER J.H., THOMAS J.B. Detectors for discrete-time signals in non-Gaussian noise. 3EEE Trans, Inform. Theory, 1972, 18, p. 241-250.

92. MISES R. On the aeympotic distribution of differentiable statistical functions. Ann. Math. Statist. 1974, 18, p. 309348.

93. MURAI S., MATSUOKA R., SHIBASAKI R. Comparisons between least square method and least absolute value method in adjustment of error. CflCHH coKype to pHMOia caHcmy. - J. Jap. Soc. Photogramm. 1981, 20, NI, p. 4-8.

94. NARULA S.C., WELLINGTON J.P. An algorithm for the minimum sum of weighted absolute errors regression. Communications in Statistics, 1977, B 6(4), p. 341-352.

95. Mathematics, 1978, N 690. 128 p.

96. STIEPEL E. Über diskrete und lineare Tschebyscheff Approximationen. - Num. Math. 1956, I, N I, S. 1-28.

97. STIEPEL E. Note on Jordan elimination, linear programming and Tschebyscheff approximation Num. Math. I960, 2, N I, p. I-I7. 1

98. VUKOTIC N. Izravnavanje po metodi najmanje sume apsolutnih popravaka Il|vt| « min. Geod. list, 1981, 10-12, s. 288294.

99. VUKOTIC N. Izravnaje po metodi optimiranja donje i gornjegranice nepoznatih. Geod. list, 1982, N 4-6, s. 98-110.