Разработка способа оценки точности неизвестных в методе наименьших квадратов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.32, кандидат технических наук Лабутин, Вадим Олегович

• Лабутин, Вадим Олегович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Лабутин, Вадим Олегович

Введение.

1. Развитие и современное состояние способов уравнивания геодезических сетей и оценки точности.

1.1. История развития точности измерений.

1.2. Распределение ошибок измерений.

1.3. Средняя квадратическая ошибка.

1.4. Эллипс ошибок.!.

1.5. Уравнивание геодезических сетей.

1.6. Априорная оценка точности.

1.7. Современные компьютерные программы для уравнивания сетей.

2. Теоретические основы уравнивания и оценки точности.

2.1. Уравнивание нелинейных уравнений на ЭВМ.

2.2. Оценка точности неизвестных.

3. Построение эллипсов ошибок.

3.1. Общие положения.

3.2. Способ нахождения эллипса ошибок.

3.3. Расчёт элементов эллипса ошибок.

3.4. Графическое представление эллипсов ошибок.

3.5. Эллипсоид ошибок.

4. Анализ выполненных исследований.

4.1. Математическое моделирование.

4.2. Решение сети треугольников.

4.3. Решение полигонометрических ходов.

4.4. Решение плановых угловых засечек.

4.5. Решение пространственных угловых засечек.

5. Поисковый метод для решения других задач.

5.1. Поиск грубых ошибок измерений.^.

5.2. Нахождение элементов ковариационной матрицы.

5.3. Сравнение разных способов нахождения эллипса ошибок.

5.4. Учёт ошибок исходных данных.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка способа оценки точности неизвестных в методе наименьших квадратов»

Измерения являются важной составной частью геодезических работ. Из измерений получают количественную информацию о различных объектах, подлежащих изучению. Любые измерения сопровождаются ошибками. Абсолютно точных измерений нет. Поэтому всегда возникает вопрос: какова точность данных измерений? Вопрос о точности измерений и ответ на этот вопрос является началом и концом всех точных геодезических измерений [27].

Историческое развитие геодезической науки связано с именами таких великих учёных, как К.Гаусс, Ф.Гельмерт, Л.Крюгер, П.Лапласс, А.Лежандр. В нашей стране геодезическая наука получила дальнейшее развитие благодаря работам таких видных учёных, как В.Д.Большаков, П.А.Гайдаев, А.А.Изотов, Ф.Н.Красовский, Ю.В.Линник, А.И.Мазмишвили, К.Л.Проворов, Н.А.Урмаев, А.С.Чеботарёв и многие другие. О них упоминается в [12; 33; 34; 54; 65; 66; 72; 73].

В наши дни современное развитие науки и техники создаёт предпосылки для дальнейшего совершенствования способов обработки геодезических измерений и оценки точности. Использование современных ЭВМ позволяют решить некоторые геодезические задачи более строго по сравнению с традиционными способами их решения. К ним можно отнести прямой поисковый способ нахождения неизвестных по методу наименьших квадратов, когда ЭВМ последовательно многократно изменяет неизвестные до тех пор, пока не будет получен минимум целевой функции. Этой функцией может быть не только минимум суммы квадратов уклонений измерений от их вычисленных значений, но и минимум суммы модулей уклонений, или промежуточные решения между суммами квадратов и суммой модулей.

Уравнивание измерений на ЭВМ путём подбора неизвестных обладает большей наглядностью и возможностью проанализировать строгость уравнивания по сравнению со многими компьютерными программами уравнивания, основанными на традиционных способах. Некоторые из них дают несколько различающиеся результаты, особенно для сложных сетей. Расхождения трудно объяснить и практически невозможно установить, какая программа даёт более строгий результат.

Поисковый метод уже может конкурировать с традиционными способами уравнивания. Чем лучше компьютер, чем выше его быстродействие, тем предпочтительней использование поискового метода. Однако в поисковом методе не составляются нормальные уравнения, да и нет необходимости приводить исходные уравнения к линейному виду, что нужно для оценки точности традиционным способом. Нужен другой способ оценки точности, более совместимый с поисковым методом уравнивания.

В традиционной оценке точности, вследствие линеаризации исходных уравнений, уравненное значение одного неизвестного всегда находится в середине доверительного интервала. Для двух плановых координат одного пункта доверительные интервалы заменяются эллипсом ошибок (доверительная область), в центре которого находятся уравненные значения. В центре эллипсоида доверительной области находятся три уравненные пространственные координаты. Однако в общем случае для нелинейных уравнений такой симметрии может не быть. Для одного неизвестного средние квадрати-ческие ошибки в сторону увеличения и в сторону уменьшения неизвестного могут быть разными. Для двух и трёх неизвестных форма доверительной области может быть более сложной по сравнению с эллипсом и эллипсоидом. Это может иметь место, когда величины неизвестных соизмеримы с ошибками их нахождения, когда схема геодезической сети весьма далека от оптимальной, когда вероятность доверительной области близка к единице, и в некоторых других случаях. Есть задачи, в которых, при какой то доверительной вероятности и выше её, доверительная область вытягиваются с одной стороны в бесконечность.

В этой связи следует отметить заметный вклад в совершенствование теории математической обработки измерений, отражённый в работах Ю.И. Маркузе [43; 44; 45] и В.И. Мицкевича [49; 50; 51]. Ещё в 1980 году В.И. Мицкевич опубликовал статью [48] о поисковом методе оценки точности, основанный на нелинейном программировании и определении эллипса ошибок по изолиниям целевой функции.

Оценку точности тоже можно выполнять поисковым методом практически одновременно с уравниванием. Однако в отличие от уравнивания поисковым методом, когда минимум целевой функции отыскивается один раз, в поисковом методе оценки точности нахождение минимума нужно выполнять многократно. Кроме того, уравнивание поисковым методом очевидно и наглядно, чего нельзя сказать об оценке точности поисковым методом. Возможно, поэтому в современных учебниках по геодезии и нормативных документах нет рекомендаций об использовании поискового метода. Хотя, частично, исключением может служить Пособие [45].

Автор диссертации считает, что поисковый метод не заслуживает такого к нему отношения, и должен найти более широкое применение.

Поэтому рассмотренные в диссертации нетрадиционные способы уравнивания и оценки точности с использованием всех возможностей современных ЭВМ являются достаточно актуальной задачей.

Основной целью работы являются исследования и совершенствование методов оценки точности при обработке геодезических измерений на основе использования ЭВМ.

Задачами, решаемыми в диссертации, являются следующие.

1. Теоретические исследования поискового метода для решения конкретных геодезических задач.

2. Сравнение поискового метода с традиционными методами.

3. Разработка алгоритма оценки точности одного, двух и трёх неизвестных с помощью ЭВМ.

4. Математическое моделирование теоретических исследований.

5. Решение задач уравнивания и оценки точности различных геодезических построений.

Предметом исследования является математическая обработка геодезических измерений.

Объектом исследования является поисковый метод уравнивания неизвестных и оценки точности с использованием ЭВМ.

Научная новизна содержится в следующем:

1. Разработаны алгоритмы оценки точности поисковым методом для решения геодезических задач на ЭВМ.

2. Установлена зависимость веса неизвестного и доверительной области от производных целевой функции.

3. Сформулированы задачи параллельного и последовательного сложения эллипсов ошибок и рассмотрены пути их решения.

4. Представлена наглядная геометрическая интерпретация поискового метода оценки точности для одного и двух коррелированных между собой неизвестных.

5. Обоснована возможность практического использования пространственной обратной угловой засечки по двум опорным пунктам.

6. Выведены формулы расчёта элементов ковариационной матрицы поисковым методом.

Методы исследования, применяемые в работе, - это анализ, обоснование, математическое моделирование, примеры решения задач и выводы.

Практическая ценность вытекает из актуальности проблемы и заключается в возможности использования результатов исследования на практике.

По теме диссертации опубликовано 6 статей. Основные положения работы автор дважды докладывал на кафедре Кадастра и геоинженерии Кубанского государственного технологического университета, дважды на конференциях в Ростовском государственном строительном университете.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Геодезия», Лабутин, Вадим Олегович

Результаты работы внедрены в учебный процесс по дисциплине Геодезия на кафедре Кадастра и геоинженерии Кубанского государственного технологического университета, в ООО ИИП «Топостройпроект» и ООО «Геопро-ектстрой» при выполнении геодезических работ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итогом выполненной работы являются следующие результаты.

1. Проведено теоретическое исследование поискового метода решения геодезических задач и сравнение его с традиционными методами.

2. Разработана геометрическая интерпретация поискового метода оценки точности для одного и двух коррелированных между собой неизвестных.

3. Выполнено сравнение оценки точности положения пункта из уравнивания по средним квадратическим ошибкам отдельно по каждой оси и с помощью эллипса ошибок.

4. Выведена формула для нахождения доверительного интервала на основе использования поискового метода.

5. Сформулированы задачи параллельного и последовательного сложения эллипсов ошибок и рассмотрены пути их решения.

6. Разработан алгоритм построения эллипсов ошибок для плановых геодезических сетей с использованием ЭВМ.

7. Выполнено математическое моделирование различных схем геодезических измерений, уравнивания и оценки точности. Проведен анализ точности некоторых геодезических построений.

8. На основе поискового метода проанализированы задачи:

- пространственной обратной угловой засечки по двум пунктам;

- поиска грубых ошибок измерений;

- нахождения ковариационной матрицы;

- учёта ошибок исходных данных.

9. Составлены компьютерные программы для решения геодезических задач поисковым методом.

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в следующих статьях:

1. Желтко СЛ., Лабутин В.О. Об оценке точности неизвестных при решении нелинейных уравнений по методу наименьших квадратов / Труды Международного форума по проблемам науки, техники и образования. Том 2./ Под редакцией В.П.Савиных и др., - М.:Акад. Наук о Земле, 2001. Стр. 118119.

2. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О., Желтко С.Ч. О построении эллипсов ошибок в плановой геодезической сети. Труды Международного Форума по проблемам науки, техники и образования. Том 3. / Под ред. В.П.Савиных, В.В.Вишневского. - М.: АН о Земле, 2002. - 154 с. 2 с.

3. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О., Периков Е.Н. Об использовании ЭВМ для обработки геодезических измерений. Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 18.04.03, № 797-гд 2003 Деп. 5 с.

4. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О. Об уравнивании измерений и оценке точности приближениями на ЭВМ. Прикладная геодезия: Сборник научных трудов. - Ростов н/Д: Рост. гос. строй, ун-т, 2004. — 76 е.: ил.

5. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О. Анализ пространственной угловой обратной засечки по двум точкам. Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, №1192-В2005 5 с.

6. Лабутин В.О. Сложение эллипсов ошибок. Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, №1193-В2005 5 с.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Лабутин, Вадим Олегович, 2006 год

1. Абу Дака Имад (Сирия), Мицкевич В.И. Оценка точности пространственных засечек методами нелинейного программирования // Геодезия и картография. 1994. - №1. - С. 22 - 24.

2. Большаков В.Д., Бывшев В.А., Нейман Ю.М. О решении плохо обусловленных систем нормальных уравнений // Геодезия и картография. 1978. -№10.-С. 20-23.

3. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. М.: Недра, 1977. - 367 с.

4. Васильков Д.М., Пигин А.П. Об-уравнивании инженерно-геодезических сетей планово-высотной опоры в системе CREDODAT // Автоматизированные технологии изысканий и проектирования. 2000. - №1. - с. 44.

5. Ватутин В.А., Телевинова Т.М., Чистяков В.П. Вероятностные методы в физичсеких иссследованиях. М.: Наука, 1985. - 208 с.

6. Венецкий И.Г., Кильдишев Г.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Статистика, 1975. - 264 с.

7. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983.

8. Вершинин В.И. Влияние ошибок весов измерений на результаты уравнивания и оценку точности // Геодезия и картография. 2000. - №3. - С. 1722.

9. Воеводин В.В. , Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М. : Наука, 1984.-318 с.

10. Волков А.Е. Об уравнивании трилатерации поисковым методом. // Геодезия и картография. 1993. - №2. - С. 13-14.

11. Гаусс К.Ф. Избранные геодезические сочинения. Т.1. М.: Изд-во геодез.лит., 1957.- 152 с.

12. Геодезия: Учебное пособие для землеустроительных факультетов сельскохозяйственных вузов / Маслов А.В., Ларченко Е.Г., Гордеев А.В., Александров Н.Н. М.: Геодезиздат, 1958.- 510 с.

13. Гордеев Ю.А. Обобщение приемов оценки точности положения пунктов плановых опорных сетей .- Л.: Мор.трансп., 1959.- 131 с.

14. Гринберг Г.М. Математическая обработка городских геодезических сетей. -М.: Недра , 1992.-192 е.: ил.

15. Гуткин В.Л., Еремин В.В. Вычисление координат и высот пунктов геодезического съемочного обоснования. М.: Недра, 1991. - 144 е.: ил.

16. Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений. М.: Недра, 1972.-214 с.

17. Дъяков Б.Н. Геодезия. Общий курс: Учебное пособие для вузов. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1993. - 171 с.

18. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.-М.: Наука, 1971. -43 с.

19. Желтко Ч.Н. Значимость и весомость измерений в методе наименьших квадратов // Геодезия и фотограмметрия. Ростов н/Д: Рост.инж.-строит.ин-т, 1990. -С. 128 - 136.

20. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О., Желтко С.Ч. О построении эллипсов ошибок в плановой геодезической сети. Труды Международного Форума по проблемам науки, техники и образования. Том 3. / Под ред. В.П.Савиных, В.В.Вишневского. -М.: АН о Земле, 2002. 154 с.

21. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О., Периков Е.Н. Об использовании ЭВМ для обработки геодезических измерений. Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 18.04.03, № 797-гд 2003 Деп.

22. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О. Анализ пространственной угловой обратной засечки по двум точкам. Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, №1192-В2005 5 с.

23. Журкин И.Г., Нейман Ю.М. Методы вычислений в геодезии. М.: Недра, 1988.- 304 с.

24. Зимин В.М. О сопоставлении результатов оценки точности угловых измерений в триангуляции // Геодезия и картография. 2002. - №8. - С. 916.

25. Зимин В.М. Об оценке точности угловых измерений в сети триангуляции // Геодезия и картография. 2001. - № 9. - С. 18-21; № 10. - С. 15-20; № 11.-С. 20-24.

26. Иордан В. Руководство по геодезии. Т. 1.- М.: Геодезиздат, 1939. 692 с.

27. Киселев М.И., Лукьянов В.Ф. Лабораторный практикум по геодезии: Учеб. пособие для техникумов. М.: Стройиздат, 1987.- 208 с.:ил.

28. Клименко А.В. Анализ некоторых результатов определения размеров Земли в античное время // Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъемка. -1978. -№1.- С. 147-152.

29. Конусов В.Г. О применении эллипса ошибок при разбивочных работах. -М.: Известия вузов. Строительство и архитектура. 1968г. №8.

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.

31. Красовский Ф.Н. Избранные сочинения, т.Ш. М.: Геоиздат, 1955.

32. Куштин И.Ф. Геодезия. Учебно-практическое пособие. М.: «Издательство ПРИОР», 2001,- 448 с.

33. Куштин И.Ф. Куштин В.И. Инженерная геодезия. Учебик. Ростов-на Дону.: «Издательство ФЕНИКС», 2002,- 416 с.

34. Лабутин В.О. Сложение эллипсов ошибок. Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, №1193-В2005 5 с.

35. Магуськин Б.Ф. О вероятнейшей оценке математического ожидания // Геодезия и фотограмметрия в горном деле. Свердловск, 1978. - №5. - С. 3-13.

36. Магуськин Б.Ф. Еще раз о вероятнейшей оценке математического ожидания в многомерном случае // Геодезия и фотограмметрия в горном деле. Свердловск, 1982. - №9. с. 3-17.

37. Магуськин Б.Ф. Об одном принципе обработки наблюдений // Геодезия и картография. 1985. - №9. - С. 16-18.

38. Магуськин Б.Ф. Уточнение метода наименьших квадратов для случая непосредственных измерений одной величины // Геодезия и картография. 1987. - №Ю. - С. 28-29.

39. Магуськин Б.Ф. Уточнение формул метода наименьших квадратов для непосредственнных измерений одной величины // Геодезия и картография. 1993. - №4. - С. 10-12.

40. Магуськин Б.Ф. Исследование формул уточненного метода наименьших квадратов // Геодезия и картография. 1994. - №1. - С. 7-9.

41. Мазмишвили А.И. Способ наименьших квадратов М.: Недра, 1968. -438 с.

42. Маркузе Ю.И. Алгоритмы уравнивания геодезических сетей на ЭВМ. -М.: Недра, 1989.

43. Маркузе Ю.И. Рекуррентное и регуляризованное уравнивание как задача уравнивания с приближенными весами измерений //Изв. вузов. Серр. Геодезия и аэрофотосъемка. 1988. - №6. - С. 3-15.

44. Марукзе Ю.М. Основы уравнительных вычислений: Учебное пособие для вузов. М.: Недра, 1990. - 240 с.

45. Маслов А.В., Гладилина Е.Ф., Костык В.А. Геодезия : Учебник для техникумов." М.: Недра, 1986. 416 е., ил.

46. Мещеряков Г.А., Волжанин С.Д., Киричук В.В. Об уравнивании геодезических измерений с учетом закона распределения ошибок // Геодезия и картография. 1984. - №2. - С. 9-11.

47. Мицкевич В.И. Об оценке точности при определении положения пункта из решения системы нелинейных уравнений // Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъёмка. 1980. - № 5. - С. 21-25.

48. Мицкевич В.И., Хасан Ахмад Али (Сирия). Исследование сходимости при вычислении координат способом линеаризованных интераций // Геодезия и картография. 1994. - №6. - С. 14-16.

49. Мицкевич В.И., Ялтыхов В.В. Уравнивание и оценка точности геодезических засечек под различными критериями оптимальности решения // Геодезия и картография. 1994. - №7. - С. 14-16.

50. Мицкевич В.И. Математическая обработка геодезических построений методами нелинейного программирования / Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук. Санкт-Петербург. 2004. - 29 с.

51. Мурзинцев П.П. Предвычисление точности угловых измерений по заданным параметрам эллипса ошибок. Новосибирск: Межвузовский сборник «Исследования по совершенствованию математической обработки инженерно-геодезических сетей», 1987.

52. Папазов М.Г., Могильный С.Г. Теория ошибок и способов наименьших квадратов. М.: Недра, 1968. - 302 с.

53. Проворов K.JI. О точности сплошных сетей триангуляции. М.: Геоиз-дат, 1956. - 163 с.

54. Растригин J1.A. Статистические методы поиска.- М.: Наука, 1968.-376 с.

55. Ратынский М.В. Ортогонгализация взамен нормальных уравнений // Геодезия и картография. 1994. - №11. - С. 21-24.

56. Селиханович В.Г. Геодезия: Учебник для вузов, М.: Недра, 1981.-544 с.

57. Скейвалас И.М. Обобщенная оценка точности результатов уравнивания // Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъмка. 1984. - №2. - С. 13-17.

58. Скейвалас И.М. Математическая обработка результатов геодезических измерений. М.: Недра, 1991. - 160 с.

59. Солодов А.Я. О распределении случайной ошибки измерений // Геодезия и картография. 1998. - №1. - С. 22-27.

60. Солодов А.Я. О распределении случайной ошибки измерений плагового положения точки // Геодезия и картография. 2001. - №12 . - С. 16-20.

61. Справочник геодезиста / Под. ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. М.: Недра, 1966.-984 с.

62. Справочник геодезиста: в 2-х книгах. Кн.1 / Под. ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1985. - 455 с.

63. Справочник геодезиста: в 2-х книгах. Кн.2 / Под. ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1985. - 440 е., ил.

64. Тамутис З.П. Проектирование инженерных геодезических сетей . М.: Недра, 1990.-138 е.: ил.

65. Тетерин Г.Н. Периодизация истории геодезии / Итоги XVIII научнотехнической конференции СГГА, 1994 г.: / Межвузовский сборник. Новосибирск, 1995. - С. 31-37.

66. Тетерин Г.Н. О точности геодезических измерений (исторический аспект, тенденции развития) // Геодезия и картография. 1997. - № 8. -С. 49-53.

67. Тищенко А.П. Об одном способе улучшения обусловленности матриц нормальных уравнений // Изв. Вузов . Сер. Геодезия и аэрофотосъемка.-1961.- №5. С.37-46.

68. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-534 с.

69. Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей. М.: Геоиздат, 1958. - 608 с.

70. Шеховцов Г.А. Оценка точности положения геодезических пунктов. -М.: Недра, 1992. 255 е.: ил.

71. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1962. 344 с.

72. Яковлев Н.В. Высшая геодезия: Учебник для вузов. М.: Недра, 1989. -445 е.: ил.

73. Ярмоленко А.С. Минимаксное оценивание и устойчивость при математической обработке геодезических измерений / Горки: БСХА, 1988.-92 с.

74. Ярмоленко А.С. Алгоритм устойчивого способа уравнивания измерений и минимаксное оценивание/Горки: БСХА, 1989. 180 с.

75. Ярмоленко А.С. Устойчивое оценивание параметра положения в одномерном случае // Геодезия и картография, 1993. №4. - С. 6-10.

76. Ярмоленко А.С. Минимаксное оценивание параметра положения в одномерном случае // Геодезия и картография, 1993. №6. - С. 5-9.

77. Ярмоленко А.С. Энтропийный анализ распределения ошибок геодезических измерений // Геодезия и картография, 1997. №3. - С. 17-20.

78. Bjerhammar: Application of Calculus of Matrices Method of Least Squares, with Special References Geodetic Calculations. Trans of the Royal Just of Tehnology. Stockholm, Sweden. N 49.

79. Drake J. Taschenbuch fur Vermessungsingenieure. 6., verbesserte Aufl. Berlin, VEB Vlg.f. Bauwesen, 1975. s.352.

80. HuberPJ. Robust statistics. N.Y., Willey, 1981. - p. 303

81. Reissmann G. Die Ausgleichungsrechnung. Grandlagen und Anwendungen in der Geodasie. 2. Aufl. Berlin, VEB. Vlg. Bauwesen, - 1968. - s. 318.