Анализ влияния и учет ошибок округления при уравнивании и оценке точности геодезических сетей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.24.01, кандидат технических наук Синякина, Наталья Васильевна

• Синякина, Наталья Васильевна
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Синякина, Наталья Васильевна

Введение . 4

Глава I. Анализ методов уравнивания геодезических сетей.

1.1. Задачи и методы уравнивания геодезических сетей . Ь

1.2. Особенности итерационных методов уравнивания. 12

1.3. Уравнивание геодезических сетей прямыми методами линейной алгебры . 18

1.4. Постановка основных задач исследований . 2о

Глава П. Исследования по оценке влияния ошибок округления на результаты уравнивания геодезических сетей.

ПЛ. Классификация ошибок округления, возникающих при решении численных задач на ЭВМ . 31

П.2. Влияние ошибок округления на точность вычислений в зависимости от выбора системы счисления . 37

П.З. Методы оценки точности вычислений на ЭВМ . 43

П.4. Оценки ошибок округлений для вычислений с плавающей запятой. 51

П.5. Теория возмущений для оценки влияния ошибок округления на точность решения нормальных уравнений . 54

П.6. Исследование числа верных знаков для коэффициентов и свободных членов уравнений поправок. 61-

Глава Ш. Влияние обусловленности систем нормальных уравнений на точность решения геодезических задач.

ШЛ. Обусловленность системы нормальных уравнений при уравнивании геодезических сетей .66

Ш.2. Алгоритм и программа исследования влияния ошибок округления коэффициентов и свободных членов уравнений поправок при уравнивании плановых геодезических сетей параметрическим способом.68

Ш.З. Влияние величин ошибок округления свободных членов и коэффициентов уравнений поправок на точность решения при уравнивании геодезических сетей.73

Ш.4. Зависимость числа обусловленности нормальных уравнений от формы геодезической сети .81

Ш.5. Предрасчет числа обусловленности системы нормальных уравнений при уравнивании свободных геодезических сетей .97

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ влияния и учет ошибок округления при уравнивании и оценке точности геодезических сетей»

Решения ХХУ и ХХУ1 съездов КПСС направлены на дальнейшее развитие научных работ по совершенствованию и эффективному использованию в народном хозяйстве электронной и вычислительной техники, повышению качества и внедрению в производство теоретических и экспериментальных исследований в области математики, радиотехники, астрономии и других наук.

Советская геодезия развивается на высоком научном уровне, на новейшей технической базе, удовлетворяя запросы всех отраслей народного хозяйства СССР. В стране проводится большая работа по внедрению и эффективному использованию ЭВМ в производстве. Так, например, только за период с 1976-80 годы мощность парка ЭВМ в геодезических предприятиях возросла в десять раз. В связи с этим значительно повышается роль научных исследований, направленных на разработку, совершенствование и внедрение математического и информационного обеспечения ЭВМ с целью обоснованного предъявления требований к точности вычислений. Геодезические задачи характеризуются очень высокой точностью расчетов, поэтому при математической обработке результатов измерений необходимо следить за сохранением точности вычислений на всех этапах.

Современная теория математической обработки геодезических сетей базируется на прочном теоретическом фундаменте. Значительный вклад в его развитие внесли профессора Большаков В.Д. Виз-гин A.A., Кемниц Ю.В., Коробков С.А., Маркузе Ю.И., Ларченко Е.Г., Нейман Ю.М., Попов В.В., Проворов K.JI., Сазонов А.З. и многие другие известные советские геодезисты. Основным математическим аппаратом этой теории служат теория вероятностей и линейная алгебра.

За последнее время в СССР и за рубежом опубликовано много работ, касающихся проблемы точности решения систем линейных алгебраических уравнений и влиянию ошибок округления в прямых и итерационных методах. Возросший интерес к этому вопросу объясняется тем, что при вычислениях на ЭВМ возникают ошибки округления в арифметических операциях из-за ограничения разрядной сетки. Системы уравнений, которые приходится решать при уравнивании геодезических сетей, как правило, являются приближенными, так как элементы матриц коэффициентов и свободные члены известны лишь с некоторой конечной точностью. Даже в случае математически точного задания исходных данных ошибки в них почти всегда появляются за счет округления чисел при вводе в ЭВМ.

Поэтому анализ и учет влияния ошибок округления имеет важное практическое значение, причем одной из задач является со вершенствование методики расчета точности результатов уравнивания и оценки точности вычислений на ЭВМ. Известно, что одной из характеристик точности решения систем линейных уравнений шляется ее обусловленность. Пока нет достаточно удобного способа получения надежной информации о погрешности вычисленного решения, связанного с обусловленностью систем линейных уравнений, возникающих при уравнивании геодезических сетей.

Основные задачи диссертационной работы заключаются в следующем:

- установить практическую целесообразность метода решения линейных уравнений и возможность для выявления ошибок округления;

- оценить погрешность округления коэффициентов и свободных членов уравнений поправок на точность решения геодезических задач;

- использовать число обусловленности систем нормальных уравнений геодезических сетей для анализа влияния ошибок округления;

- разработать методику расчета точности вычислений с учетом влияния ошибок округления;

- получить формулы, удобные для практического использования предрасчета обусловленности систем нормальных уравнений.

В первой главе рассматриваются задачи и методы уравнивания геодезических сетей. На основе анализа процесса вычислений в итерационных и прямых методах выявлена природа ошибок округления и влияние их на точность решения систем линейных уравнений. Предлагается для исследования влияния ошибок округления при уравнивании геодезических сетей использовать прямые методы.

Во второй главе приводится классификация ошибок округления, возникающих при решении численных задач на ЭВМ. Выполнен обзор существующих методов оценки точности вычислений на ЭВМ.

Для анализа влияния ошибок округления на точность решения линейных уравнений используется теория эквивалентных возмущений. На основе этой теории делается вывод, что точность решения системы зависит от ее обусловленности и числа значащих цифр в элементах матрицы коэффициентах и свободных членах. Применительно к геодезическим построениям это связано с геометрией сети и точностью определения коэффициентов и свободных членов уравнений поправок.

В третьей главе составлена алгоритмическая программа для исследования влияния ошибок округления коэффициентов и свободных членов уравнений поправок при уравнивании плановых геодезических сетей параметрическим способом. Выполнены исследования влияния формы и методов построения геодезических сетей на обусловленность нормальных уравнений. Выявлена зависимость числа обусловленности нормальных уравнений от геометрических качеств сети, количества определяемых пунктов и метода построения.

Обоснована методика оценки точности вычислений с учетом числа обусловленности системы нормальных уравнений. Выведены формулы предрасчета числа обусловленности для сплошных свободных сетей, построенных методами триангуляции, трилатерации и линейно-угловыми измерениями.

Заключение диссертации по теме «Геодезия», Синякина, Наталья Васильевна

Основные результаты теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором диссертационной работы, заключаются в следующем.

1. Для выявления наиболее эффективного метода решения линейных систем уравнений, возникающих при обработке больших геодезических сетей, выполнен анализ влияния ошибок округления в итерационных и прямых методах. Это позволило достаточно объективно использовать для программы исследований прямые методы решения линейных уравнений.

2. Выполнен анализ влияния ошибок округления на точность вычислений в зависимости от выбора системы счисления и конечной разрядной сетки ЭВМ. Величина погрешности вычисления зависит от конкретной реализации операции округления и от принятом формы представления чисел. Показано, что существующие методы оценки точности вычислений на ЭВМ для выявления влияния ошибок округления на точность решения не приемлемы. Получены оценки ошибок округлений для вычислений с плавающей запятой для отдельных арифметических операций над числами и матрицами.

3. На основе экспериментальных исследований установлено действительное число значащих цифр в коэффициентах и свободных членах уравнений поправок. Определено, что величина округления свободных членов оказывает основное влияние на погрешность решения. Использование всей разрядной сетки ЭВМ при уравнивании плановых геодезических сетей не повышает точности вычислений. Составлена алгоритмическая программа для ЭВМ правильного округления числа до заданного разряда, позволяющая производить вычисления с различной точностью исходных данных.

4. На основе теории эквивалентного возмущения оценивается влияние ошибок округления исходных данных на погрешность решения. Откуда следует, что наилучшей характеристикой влияния ошибок округления является обусловленность системы.

5. В целях полного анализа влияния ошибок округления свободных членов и коэффициентов нормальных уравнений на результаты уравнивания произвольных по построению плановых геодезических сетей составлена программа для ЭВМ ЕС на языке Фортран. Одним из определяемых параметров программы является число обусловленности нормальных уравнений, а также погрешность решения, вызванная ошибками округления исходных данных, что позволило при анализе обнаружить их прямую зависимость.

6. Проведены исследования зависимости числа обусловленности нормальных уравнений для сплошных свободных геодезических сетей от геометрии фигур и формы сети в целом. Составлены таблицы и построены графики, позволяющие судить о факторах, влияющих на число обусловленности. а) С улучшением формы сети уменьшается число обусловленности нормальных уравнений. Однако, уменьшение происходит не пропорционально для сетей с разной формой треугольников. б) При ухудшении формы треугольников влияние формы сети на число обусловленности становится существенным для триангуляции и трилатерации, а для линейно-угловых сетей форма треугольников мало влияет. Для линейно-угловых сетей изменение формы сети играет большую роль на уменьшение обусловленности, чем изменение формы треугольников. в) При плохой форме треугольников улучшение формы сети приводит к резкому изменению числа обусловленности. г) С изменением величины связующего угла от 60° до 20° обусловленность системы нормальных уравнений увеличивается для линейно-угловой сети в 2,4 раза, для триангуляции в 26,7 раз и для трилатерации в 12,4. При этом установлено, что данные коэффициенты остаются постоянными при различном числе определяемых пунктов сети.

7. Предложена методика предрасчета числа обусловленности и прогноза точности решения систем нормальных уравнений при уравнивании сплошных сетей, содержащих произвольное число определяемых цунктов.

8. По результатам выполненного эксперимента получены формулы, удобные для практического вычисления числа обусловленности в сплошных свободных сетях, построенных различными способами, так как число обусловленности системы нормальных уравнений пря

Ъиела. мо пропорционально квадратур/определяемых пунктов.

Теоретические положения диссертации использовались в учебном процессе на кафедре высшей геодезии и ВЦ НИИГАиК. Результаты исследований и методы предрасчета числа обусловленности для оценки влияния ошибок округления внедрены на предприятии ГУПС. Экономический эффект от внедрения по одному предприятию в год составляет 5 тыс.рублей.

- но

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Синякина, Наталья Васильевна, 1984 год

1. Балашов А.И., Назаров A.C. К вопросу о выборе алгоритма уравнивания геодезических сетей на ЭВМ. Науч.тр. ОиСХИ, Моек, 1975, т.132, с 11-14.

2. Балашов А.И., Шиатко A.C. К вопросу обусловленности матриц нормальных уравнений, получаемых при математической обработке геодезических сетей. Науч.тр. ОмСХИ, Омск, 1973, т.107, с 84-88.

3. Бахвалов Н.С. К вопросу о гипотезе независимости ошибок округления при численном интегрировании. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964, т,4, № 3, с 399-404.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., Наука, 1975, 632 с.

5. Безменов И.В. Распределение ошибок округления при умножении и делении двух чисел с фиксированной запятой. Кандидатская диссертация. М., 1978 , 147 с.

6. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М., Наука, 1983 , 336 с.

7. Березин И.С., Жидков И.П. Методы вычислений . М., Наука, 1966, 464 с.

8. Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений. М., Недра, 1983, 224 с.

9. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. М., Недра, 1977, 398 с.

10. Большаков В.Д., Бывшев В.А., Нейман Ю.М. 0 решении плохо обусловленных систем нормальных уравнений. Геодезия и картография, 1978, * 10, с 20-23.

11. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И.Развитие теории математической обработки геодезических измерений в СССР. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1973, № 4, с 11-18.

12. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Городская полигонометрия. М., Недра, 1979, 304 с.

13. Вергасов В.А., Журкин И.Г., Нейман D.M. и др. Вычислительная математика М., Недра, 1976, 232 с.

14. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. М., Наука, 1966, 248 с.

15. Воеводин В.В, Ошибки округлений в алгебраических процессах. М.: Изд-во МГУ, 1968, 124 с.

16. Воеводин В.В. Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры. М., Изд-во МГУ, 1969, 140 с.

17. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М., Наука, 1977, 301 с.

18. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М., Наука, 1984, 320 с.

19. Гайдаев П.А., Машимов U.M. Уравнивание заполняющей триангуляции на Электронно-вычислительных машинах. Геодезия и картография, 1965, № II, с 8-14.

20. Гантмахер Ф.Ф. Теория матриц. М., Наука, 1967, 578 с.

21. Герасименко М.Д. О свойствах нормальных матриц двух способов уравнивания при составлении исходных уравнений поправок по единому алгоритму. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1981, * 4, с 14-19.

22. Герасименко М.Д. Проектирование и обработка измерений с применением собственных значений матриц. Изд-во Дальневосточного университета, Владивосток, 1983, 220 с.

23. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Наука, Новосибирск, 1980, 177 с.

24. Голубев B.B. К вопросу оценки точности геодезических вычислений на ЭВМ. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1978, № 2, с 20-24.

25. Голубев В.В. Применение малых ЭВМ для решения геодезических задач. М., Недра, 1979, 129 с.

26. Гордеев A.B. Влияние ошибок округления на точность решения систем линейных уравнений по способу последовательных приближений.

27. Тр. МИИЗ, М., 1963, вып.19.

28. Гордеев A.B. Геометрические качества геодезической сети и обусловленность матрицы нормальных уравнений. Тр.МИИЗ, М., 1976, вып.65. с 50-54.

29. Гордеев A.B. 0 точности решения системы линейных уравнений по способу квадратных корней. Тр.МИИЗ, М., 1964, вып.22, с 51-56.

30. Гордонова В.И. Оценки ошибок округления при решении системы условных уравнений. Журнал вычислительной математики я математической физики. 1969, т 9, № 4, с 775-782.

31. Гринберг Г.М. Исследования по уравниванию и оценке точности астрономо-геодезической сети. Геодезия и картография, 1972, № 5, с 28-83.

32. Гринберг Г.М. Деформации геодезических сетей, связанные с потерей точности при их математической обработке. В сб: Проблемы математической обработки геодезических сетей. Материалы Всесоюзной конференции, Новосибирск, 1979, с 51-55.

33. Ефимов Г.Н. Решение больших систем линейных уравнений. В сб. Проблемы математической обработки геодезических сетей. Материалы Всесоюзной конференции, Новосибирск, 1979, с 41-46.

34. Ефимов Г.Н. Вопросы программирования геодезических задач. В сб. Проблемы математической обработки геодезических сетей. Материалы Всесоюзной конференции, Новосибирск, 1979, с 106-109.

35. Зенкин О.В. Некоторые замечания об устойчивости итерационныхпроцессов. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964, т.4, * 4, с 745-748.

36. Зкмовнов В.Н. Способ наименьших квадратов в приложении к ■ измерениям, сопровождающимся постоянными погрешностями. М., Геодезиздат, 1960, 138 с.

37. Иванова М.М. Исследование собственных чисел матриц для оценки точности плановых геодезических сетей. Науч.тр.ОмСХИ,

38. Омск, 1975, т.132, с 66-68.

39. Кемниц С.В. 0 потере статистической информации при оценке точности геодезических опорных сетей. Геодезия и картография. 1972, № 10, с 25-29.

40. Кемниц Ю.В. Теория и методы математической обработки результатов геодезических измерений. Итоги науки и техники. ВИНИТИ сер. Геодезия и аэрофотосъемка, 1978, № 14, 62 с.

41. Ким Г. О распределении ошибок округления итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Изд-во МГУ, 1969, 88 с.

42. Ким Г. О статистическом исследовани ошибок округлений некоторых алгебраических преобразований. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1969, т.9, № 3, с 232-236.

43. Клюев В.В., Коковкин-Щербак Н.И. О минимизации числа арифметических операций при решении линейных алгебраических систем уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965, т.5, » I, с 21-33.

44. Конусов В.Г. Управление точностью геодезических сетей в процессе измерений и математической обработки геодезических сетей. Материалы Всесоюзной конференции, Новосибирск, 1979, с 55-58.

45. Коробков С.А. Приложение теории графов к вопросам анализа геодезических сетей. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1965, № 2, с 19-34.

46. Коробков С А. Теория графов в геодезии. М., Недра, 1976, 151 с.

47. Коробков С.А. Выбор системы нормальных уравнений по наилучшему показателю обусловленности матрицы системы. Межвуз. сб. Совершенствование технологии маркшейдерских геодезических работ. Л.,1980, с 11-13.

48. Коробков С.А., Гельфанд Р.Ё., Богомолова Е.С. Выбор дерева геодезической сети, приводящего к матрице нормальной системыс лучшей обусловленностью. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка,1981, » 6, с 7-12.

49. Красикова М.В. К вопросу о выборе эффективного метода решения систем линейных уравнений большого порядка. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1969, № 3, 57-62 с.

50. Ларченко Б.Г. Рациональная методика решения систем линейных уравнений на вычислительных машинах с уточнением и оценкой неизвестных. Тр.МИНЗ, 1963, вып. 19, с 3-12.

51. Ларченко Е.Г., Двоскин В.А. Об электорнных цифровых вычислительных машинах и эффективности их применения. Геодезия и картография. 1970, * 6, с 26-30.

52. Ларченко Е.Г., Гончаров В.А., Конов В.И. 0 возможностях ЭВМ единой системы для обработки геодезической информации. Геодезия и картография, 1973, »II, с 4-9.

53. Ларченко Н.Е. 0 критериях обусловленности матриц и точности решения систем нормальных уравнений. Т.МИИЗ, 1964, вып.22, с 57-65.

54. Литвинов Б.А. Основы уравнительных вычислений и оценки точности результатов измерений и уравнивания. Н., Недра; 1979, 104 с.

55. Лукашенко В.А. Исследование точности вычислений при математической обработке результатов геодезических измерений. Диссертация, М., 1981, 136 с.

56. Лукашенко В.А. Соотношение между средней квадратической ошибкой измерений и числом значащих цифр в отсчетах. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1980, № 3, с 59-62.

57. Маркузе Ю.И. К вопросу об оценке неустранимой погрешности решения линейных систем. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1969,4, с 34-39.

58. Маркузе Ю.И. Уравнительные вычисления в геодезии. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1971, № 6, с 28-34.

59. Маркузе Ю.И. Алгоритм уравнивания комбинированных геодезических сетей. М., Недра, 1972, 152 с.

60. Маркузе Ю.И. Уравнивание и оценка точности плановых геодезических сетей. М., Недра, 1982, с 191.

61. Мак-Кракен Д и Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. М., Мир, 1977, 584 с.

62. Машимов М.М. Уравнивание геодезических сетей.М., Недра, 1979, 368 с.

63. Мицкевич В.И., Синякина Н.В. Алгоритм и программа исследования влияния ошибок округления коэффициентов и свободных членов уравнений поправок при уравнивании плановых геодезических сетей. Деп. ВИНИТИ № 4475-84, 1984, 16 с.

64. Мохов Ю.В. Потеря точности ори решении систем нормальных уравнений методом Гаусса и Холецкого. Диссертация. М., 1964, 168 с.

65. Нещадимов Л.С. Влияние ошибок округления на величину последнего неизвестного при решении нормальных уравнений. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. I960, № 4, с 38-41.

66. Ope 0. Теория графов. М., Наука, 1980, 334 с.

67. Проворов К.Л. О точности сплошных сетей триангуляции. М., Геодезиздат, 1956, 164 с.

68. Проворов К.Л. Расчет оптимальных параметров геодезических сетей и универсальная программа уравнивания. В сб. Проблемы математической обработки геодезических сетей. Материалы Всесоюзной конференции. Новосибирск, 1979, с I13-117.

69. Портнов A.M. Анализ устойчивости решения систем нормальных уравнений различной обусловленности при наличии ошибок в элементах матриц системы и свободных членах. Деп. ВИНИТИ № 1505-80, 1980 , 8 с.

70. Реминский A.A. Влияние погрешности матрицы коэффициентов системы нормальных уравнений на точность ее решения. Т.Харьковского сель-хоз. института, Харьков, 1973, № 181, с 98-103.

71. Сазонов А.З. Об ошибках округления при решении систем нормальных уравнений методом исключения и методом квадратных корней. Тр. ВДИИГАиК, I960, вып. 135, с 28-33.

72. Сазонов А.З. К теории уравнивания астрономо-геодезической сети. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка,1970, № б, с 6-9.

73. Сазонов А.З. Уравнивание уравненного. Геодезия и картография. 1972, № 7, с 6-10.

74. Сазонов А.З. Состояние и развитие математической обработки результатов измерений. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка , 1982, № 6, с II0-II4.

75. Синякина Н.В. К вопросу о точности инженерно-геодезических сетей. Межвузовский сб.научн.тр. Совершенствование методов инженерно-геодезических работ. Новосибирск. 1981, с III—114.

76. Синякина Н.В. Влияние ошибок округления при уравнивании геодезических сетей численными методами линейной алгебры. Научно-технический реферативный сборник. ЦНИИГАиК. М., 1983, »103, с 19-20.

77. Синякина Н.В. Влияние ошибок округления при решении геодезических задач методами линейной алгебры. Изв.вузов Геодезия и аэрофотосъемка. 1984, № 4, с 51-53.

78. Синякина Н.В. Оценка точности уравнивания геодезических сетейс учетом влияния ошибок округления. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1984, № 5, с 33-35.

79. Соренков З.И., Телига А.И. Шаталов A.C. Точность вычислительных устройств и алгоритмов. М., Машиностроение, 1976, 200 с.

80. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М., Мир, 1980, 454 с.

81. Тамутис З.П. Влияние геометрии сети на точность функции уравновешенных величин. Науч.Тр. Лит. ССР. Строительство и архитектура. Вильнюс. 1968, т.7, с 5-8.

82. Тамутис З.П. Оптимальные методы проектирования геодезических сетей. М., Недра, 1979, 133 с.

83. Тихонов А.Н., Большаков В.Д., Бывшев В.А. и др. 0 вариационном методе регуляризации при уравнивании свободных геодезических сетей.

84. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1978, № 3, с 3-10.

85. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука¿1979, 285 с.

86. Тищенко А.П. Геометрическое содержание схемы Холецкого и оценки обусловленности. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1969,5, с 59-63.

87. Тищенко А.П. Обусловленность матриц нормальных уравнений геодезических сетей. Диссертация. М., 1962, 138 с.

88. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. М., Наука, 1970, 564 с.

89. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы Линейной алгебры. М., Л., Физматгиз, 1963, 736 с.

90. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. О естественных нормах для оценивания и решения конечной вычислительной задачи. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1969, т 9, с 3-12.

91. Фаддеева В.Н. Кузнецов Ю.А. и др. Вычислительные методы линейной алгебры. Библиографический указатель. 1828 1974. Новосибирск. Наука 1976, 182 с.

92. Форсайт Дж, Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М., Мир. 1969, 168 с.

93. Форсайт Дж, Мальком М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М., Мир, 1980, 280 с.

94. Ханмов З.С. К теории единого алгоритма уравнивания. Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1977, № 6, с 3-12.

95. Хубларова С.Л. Оценка обусловленности систем нормальных уравнений. Тр.ЦНИИГАиК. М., I960, вып. 135, с 75-84.

96. Хемминг Р.В. Численные методы. М., Наука, 1972, 400 с.91 ^¿Иглаги- ¿¿/¿я? /¿ru¿¿¿¿¿¿

97. Г&гу ^иЪъ/gá c/W "/tf/4JJ, л/ó~./>/&áf¿1. Mûju&t/l; c7¿U¿z¿?é¿¿рг i ¿f/O, и^Л ¿é^u^UhJtZ^Tí

98. O. jé ¿Usa- ¿ ¿Laig/o, ¿rf ¿?¿m a. te s s^llëïidt a ¿¿¿ya ¿s ¿¿ ^¿¿^ ¿ ¿¿¿/ ¿¿¿a&zetfe.0/. сJ/, & T^suzfz'ea/ ¿¿ла ¿f&f ^w/'eJzc ^¿¿¿z/zûvj ¿г/^^¿Äye-n Jsj¿m /¿У^Т /6/>.sé&ms û^па^ткл^ . „ сf^zf*04. jfuxuyô Tot ¿ел.tÀmJ. „ ^ггю? "1. UP , £ />.

99. Qb-Utéemi û^ /z/Z&t ¿¿¿^¿¿tOUC/¿/id fypS,' /туЛО/ />

100. JleÁm-i// -J^e -¿z/z? 7z¿¿/7z&u¿¿/ü.

101. Ttimo teut-^œ^a^f. „ geœœ? ¡/¿/¿/¿¿¿¿s ¿л*sog. ximz/d, $ /£¿>fe /Ле /z/7¿¿&¿¿zú/z¿ ¿>f ^1. S ; J /¿Ç- SO.

102. SÍ O. ¿//¿fiZ^/c-oé $ /€¿1 /ai7íe.7t.&ot/ Л /¿/te re -fe ¿//с /z^^tf'te z^e1. To<¿ú/¿¿ e/i gâwtyôesz&L ion- jbat. ¿/¿ /77£TTZû-d/ztf^J ûatteg.1. G-Wx/esifae, , s