Разработка и исследование численных схем высокого порядка точности для решения уравнений газовой динамики на неструктурированных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Ляпунов, Сергей Владимирович

• Ляпунов, Сергей Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ляпунов, Сергей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА I: ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РЕШЕНИЮ ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

1.1. Общая теория метода Галеркина с разрывными функциями для решения одномерных законов сохранения

1.2. Одномерное уравнение конвекции 21 1.2.1 Постановка задачи 21 1.2.2. Модельная задача и анализ порядка численной ошибки

1.3. Одномерное уравнение теплопроводности 25 1.3.1 Постановка задачи 25 1.3.2. Модельная задача и анализ порядка численной ошибки

1.4. Уравнение Бюргерса с вязкостью 28 1.4.1 Точное решение уравнения Бюргерса 28 1.4.2. Анализ порядка численной ошибки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование численных схем высокого порядка точности для решения уравнений газовой динамики на неструктурированных сетках»

Течения невязких и вязких газов описываются, соответственно, системами уравнений Эйлера и Навье-Стокса. Эти системы уравнений представляют собой законы сохранения массы, импульса и энергии. Аналитическое решение этих уравнений возможно лишь в небольшом числе случаев, как правило, далеких от практики. Единственным общим средством решения этих уравнений являются численные методы. Эта область аэродинамики и прикладной математики столь обширна, что выделяется в отдельную ветвь науки, которая называется "вычислительная аэродинамика" (в англоязычной литературе - CFD - Computational Fluid Dynamics).

Разработка методов вычислительной аэродинамики сталкивается с рядом принципиальных проблем. Основные источники этих проблем проистекают из двух физических явлений. Первое — возможное формирование разрывов непрерывности параметров течения (скачков уплотнения) — присуще как невязким, так и вязким течениям. Протяженность скачков уплотнения является величиной порядка длины свободного пробега молекул и поэтому, в рамках модели сплошной среды, скачки уплотнения представляют собой поверхность разрыва непрерывности параметров течения. Другой формой поверхностей разрыва являются контактные разрывы. Очевидно, что непосредственное описание поверхностей разрыва с помощью уравнений движения в дифференциальной форме невозможно (поскольку на поверхностях разрыва производные не определены) и основой для разработки численных методов становятся интегральные формы законов сохранения, которые занимают главенствующее положение в современных численных схемах решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса. Наличие разрывов в решении приводит к тому, что некоторые "естественные" подходы к построению численной схемы приводят к нефизичным осцилляциям решения вблизи скачков уплотнения, которые, кроме всего прочего, могут послужить источником так называемой нелинейной неустойчивости численных методов, не позволяющей получить численное решение.

Вторая крупная проблема построения численных схем имеет чисто вязкое происхождение. При больших числах Рейнольдса, представляющих интерес с точки зрения практической аэродинамики, вблизи поверхности обтекаемого тела и в следе за ним образуются пограничные слои - области с большими градиентами параметров течения. Поперечные размеры этой области тем меньше, чем больше число Рейнольдса. Получение решения в этих областях с достаточной точностью с помощью численных (сеточных) методов требует существенного сгущения расчетной сетки и различных величин шага сетки в продольном и поперечном направлениях (более половины общего числа ячеек сетки может лежать в пограничном слое). Отношение этих шагов может достигать величин 105 - 10б. Это делает ячейки сетки сильно вытянутыми, что обычно ухудшает свойства систем дискретных уравнений, решаемых на ЭВМ, в частности, замедляет скорость сходимости итерационных процедур решения этих уравнений. Дополнительно проблема осложняется тем, что положение вязких следов и областей отрыва потока заранее неизвестно и необходимо либо априорно предполагать положение областей сгущения сетки, что может приводить к избыточному количеству ячеек, либо использовать какие-либо процедуры адаптации сеток к решению, что само по себе является непростой задачей.

Еще одной принципиальной проблемой, возникающей при расчете вязких течений, является моделирование турбулентности. Эта проблема не представляет проблему собственно численных методов вычислительной аэродинамики, поскольку ее решение требует разработки физических моделей турбулентных течений.

Разработка алгоритма численного решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса сталкивается с рядом других принципиальных проблем. Упомянем некоторые из них. Это постановка граничных условий на конечном расстоянии от обтекаемых тел, правильно моделирующая течение в неограниченной области, обеспечение малого производства энтропии в невязких течениях, что может вызвать нефизичные отрывы потока, малость дополнительных слагаемых с искусственной вязкостью по сравнению с физической вязкостью и целый ряд других.

Большая часть упомянутых проблем в настоящее время нашла то или иное решение. За последние 25-30 лет в области разработки и применения численных методов решения уравнений газовой динамики был достигнут колоссальный прогресс. Обзоры успехов и проблем в области вычислительной аэродинамики можно найти в многочисленных публикациях (см., например Sloof, Schmidt, 1994; LeVeque, 1992; Fletcher, 1988; Куликовский, Погорелов, Семенов , 2001; Роуч, 1980). Автор диссертации в течение ряда лет также работал в данной области и полученные им результаты опубликованы, в частности, в работах (Брутян, Ляпунов, 1981, Владимирова, Вышинский, Ляпунов, Серебрийский, 1985, Волков, Ляпунов, 1993, Волков, Ляпунов, Храбров, 2003, Ляпунов, 1991, 1993, Lyapunov, Wolkov, 1994, 1996а,б, 1997а,б, Lyapunov, 1990, 1992).

Несмотря на обилие работ в данной области, можно сформулировать некоторый "стандартный" подход к формированию численной схемы решения уравнений газовой динамики, как наиболее часто используемый большинством авторов для практических расчетов (разумеется, каждая конкретная работа может обладать и некоторой спецификой). Основные элементы такого подхода следующие:

• Для дискретизации законов сохранения используются разностные сетки. При описании течений в областях достаточно сложной геометрии применяются либо блочно-структурированные сетки, либо (все более популярные в последнее время) неструктурированные сетки. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен ниже.

• При рассмотрении стационарных течений используется метод установления, т.е. численная схема формируется на основе рассмотрения нестационарных уравнений газовой динамики. Стационарное решение (если оно существует) получается, как предельное решение при больших значениях времени.

• Используется полудискретный подход к аппроксимации уравнений газовой динамики. Это означает, что уравнения аппроксимируются на данной сетке в пространстве и сводятся к системе обыкновнных дифференциальных уравнений по времени.

• При аппроксимации на пространственной сетке в дискретных выражениях явно или неявно присутствуют слагаемые, называемые "искусственная (схемная) вязкость", которые обеспечивают устойчивость схемы. В идеальном случае эти слагаемые должны быть минимально возможными для обеспечения устойчивости. Наиболее популярными способами внесения таких слагаемых являются явный подход для центральноразностных схем (Jameson, Schmidt, Türkei, 1981; Türkei, 1988) и неявный подход с использованием схем с разностями против потока (Годунов, 1959; Steger, Warming, 1981; Van Leer, 1982; Roe, 1981).

• Первые используемые численные схемы обеспечивали первый порядок аппроксимации уравнений на гладких решениях (напр. Годунов, 1959). Такие схемы обладали избыточными диссипативными свойствами и слишком сильно размазывали разрывы решения (скачки уплотнения). В дальнейшем наиболее популярными стали схемы, обеспечивающие второй порядок аппроксимации на гладких решениях (Lax, Wendroff, 1964; Колган, 1972, Родионов, 1987).

• Для численных схем второго порядка точности и выше, в отличие от схем первого порядка, характерны нефизичные осцилляции на разрывах. Для их устранения требуется в окрестности разрывов переходить к монотонным схемам первого порядка точности, т.е. схемы должны иметь переменный порядок точности. Схемы такого типа получили название "схемы высокого разрешения" (high resolution schemes, Harten, 1983; Yee, 1989). Обычно это обеспечивается путем ограничения производных при реконструкции решения (limiters).

Пространственная сетка, используемая для дискретизации задачи, представляет собой систему областей, называемых обычно ячейками, которые покрывают всю область и не пересекаются, Иногда понятие сетки формулируется другим образом (например, система точек — узлов сетки или сетка с перекрывающимися элементами), однако в данной работе будут рассматриваться сетки в указанной выше формулировке. Обычно ячейки сетки представляют собой многоугольники в плоском случае (далее именуемом 20) и многогранники в пространственном случае (30).

Сетки подразделяются на структурированные и неструктурированные. Структурированные сетки - это такие сетки, когда к каждому внутреннему узлу сетки примыкает фиксированное число ячеек. Типичным является использование гексагональных ячеек в пространственном случае (ЗБ) и четырехугольных ячеек в плоском случае (20). Большим удобством таких структурированных сеток является способ хранения и адресации данных, ассоциированных с ячейками - многомерные массивы (трехиндексные в пространственном случае и двухиндексные - в плоском). Матрицы дискретных алгебраических уравнений при этом являются тоже структурированными - ленточными.

Неструктурированные сетки - это сетки, в которых число ячеек, примыкающих к различным внутренним узлам, может быть разным. Формы ячеек таких сеток также могут быть различными (треугольники, четырехугольники в 20, тетраэдры, призмы, гексаэдры в ЗБ). Простейшими неструктурированными сетками с точки зрения их генерации и использования являются сетки с ячейками в виде симплексов (треугольники в 20 и тетраэдры в 30).

Структурированные и неструктурированные сетки имеют свои преимущества и недостатки. Неструктурированные сетки требуют хранения информации о связях (соседях ячеек, гранях ребрах и вершинах ячеек) и использования специальных процедур доступа к этой информации. С этой точки зрения они менее эффективны, чем структурированные сетки, Обычно считается, что «накладные расходы» при использовании неструктурированных сеток по памяти и быстродействию составляют 20-40%. С другой стороны, генерация структурированной сетки около тел сложной геометрии — весьма непростая задача. Обычным способом решения этой задачи является применение блочно-структурированных сеток, когда область вне тела разбивается на блоки простой топологии, внутри каждого блока генерируется структурированная сетка, и (желательно) узлы сеток внутри блоков «сшиваются» на границах блоков. Для тел сложной геометрии разбиение области на блоки в значительной мере является искусством и требует обычно довольно много времени. Генерация неструктурированных сеток в меньшей степени опирается на искусство вычислителя, и эта процедура может быть более формализована.

К сетке предъявляется целый ряд требований. Перечислим некоторые из них. Количество ячеек (узлов) сетки при заданной точности результата должно быть минимальным, поскольку увеличение числа ячеек приводит к увеличению числа неизвестных (часто называемых степенями свободы) и к увеличению затрат времени ЭВМ, необходимых для получения решения. Уровень точности численного решения с помощью той или иной схемы определяется размерами ячеек и характеристиками решения в рассматриваемой области. В областях с большими градиентами решения требуются ячейки меньших размеров и наоборот. Часто положение областей с большими градиентами решения заранее неизвестно. Примером может служить положение вязких следов за телами, обтекаемыми вязким потоком при больших числах Рейнольдса. В связи с этим, весьма актуальной задачей является адаптация сетки к решению, т.е. сгущение сетки в областях с высокими градиентами решения и разрежение сетки в областях, где решение меняется мало. Неструктурированные сетки представляются весьма перспективными и вызывают большой интерес именно с точки зрения построения адаптивных сеток около тел сложной геометрии. Причина заключается в том, что добавление и удаление узлов (ячеек) в неструктурированную сетку может осуществляться с помощью локальных операций, т.е. требовать перестроения сетки в небольших областях, в то время как адаптация структурированных сеток требует перестроения сетки, по крайней мере, внутри данного блока.

Другим требованием к сетке является ее способность «разрешать» особенности решения, Примером может быть описание течения в пограничных слоях, где обычно решение быстро изменяется поперек пограничного слоя и медленно в перпендикулярных направлениях. В связи с этим, ячейки в пограничных слоях должны быть сильно сжаты в направлении быстрого изменения решения. Обычно наличие таких вытянутых ячеек затрудняет получение численного решения - замедляет скорость сходимости итерационных процедур.

Существует три основных способа получения дискретных уравнений по пространству. Это метод конечных разностей, метод конечного объема и метод конечного элемента. Нередко, в простейших случаях, все методы приводят к одинаковым дискретным схемам. Однако, в более сложных случаях, при описании решений в областях сложной формы, для формулировки схем высокого порядка точности, применение каждого из этих подходов имеет свою специфику и реализация какой-либо задачи с помощью одного из этих подходов может быть проще, чем с помощью какого либо другого.

Метод конечных разностей использует запись дифференциальных операторов в дифференциальных уравнениях с помощью конечноразностных выражений. Последующий анализ численной схемы проводится с помощью разложения разностных уравнений в ряд Тейлора. Этот подход предполагает дифференцируемость решения необходимое число раз и, вообще говоря, неприменим к разрывным решениям (по крайней мере, требует отдельного анализа). Обычно уравнения записываются в некой криволинейной системе координат. Данный подход по существу непригоден для работы с неструктурированными сетками, где узлы сетки не лежат на координатных линиях какой-либо координатной системы. В настоящее время этот подход практически не используется при работе с областями сложной геометрии.

Метод конечного объема является в настоящее время наиболее распространенным. Он основан на интегральном представлении законов сохранения и, поэтому, применим к построению разрывных решений. В соответствии с этим подходом, неизвестными величинами являются средние значения физических переменных внутри ячеек. Решение в каждой ячейке реконструируется с использованием указанных неизвестных средних значений, и дискретные уравнения получаются путем записи законов сохранения для каждой ячейки для реконструированного решения. Поскольку на границах между ячейками реконструкция решения является разрывной, для описания потоков используются точные или приближенные методы решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. Простейшим случаем реализации такой схемы является кусочно-постоянная реконструкция, что обеспечивает первый порядок схемы по пространству (Годунов, 1957, 1959). Схема второго порядка получается при кусочно-линейной реконструкции (Колган, 1972, Родионов, 1987). Как было указано выше, схемы высокого порядка могут приводить к нефизичным осцилляциям численного решения. Т.н. монотонные схемы свободны от этого недостатка. В работе (Годунов, 1959) доказано, что не существует монотонной линейной схемы порядка точности выше первого. Монотонизация схем высокого порядка (или обеспечение свойства TVD — невозрастания полной вариации) осуществляется обычно путем введения ограничителей на градиенты реконструкции решения в ячейках. Впервые эта процедура при моделировании двумерных течений была предложена в работе (Колган, 1972). Схемы такого типа, называемые в зарубежной литературе MUSCL - (аббревиатура от слов «монотонные ориентированные схемы для законов сохранения») были подробно рассмотрены в работах (van Leer, 1973, 1974, 1977а, 19776, 1979). По существу этот подход представляет собой способ уменьшения порядка точности схемы до первого в областях разрывов решения. Еще более высокий порядок точности получается при реконструкции решения с помощью полиномов второго (Collela, Woodward, 1984) и более высоких порядков в т.н. схемах ENO (Harten et al, 1987, Harten, Osher, 1987).

Третий способ дискретизации законов сохранения возможен с помощью методов конечного элемента. В соответствии с ним, численное решение аппроксимируется линейной комбинацией непрерывных функций (или имеющих требуемый порядок гладкости, в соответствии с порядком рассматриваемых уравнений) с неизвестными коэффициентами, т.е. решение принадлежит линейному подпространству т.н. базисных функций. Обычно базисные функции имеют компактный носитель, т.е. они равны нулю вне ограниченной области, состоящей из одной или нескольких ячеек и представляющей собой собственно конечный элемент. В большинстве методов конечного элемента в качестве базисных функций используются полиномы от координат. Далее возможны различные способы получения уравнений для определения коэффициентов при базисных функциях. Одним из таких часто используемых методов является метод Галеркина, который также называют методом Бубнова-Галеркина (Михлин, Смолицкий, 1965). В соответствии с ним дискретные уравнения представляют собой условия ортогональности невязки базисным функциям в функциональном пространстве Ьг, записанные в т.н. слабой или галеркинской формулировке, получаемой интегрированием указанного условия ортогональности по частям. При этом требования к гладкости базисных функций являются минимальными. Если невязка аппроксимируется также с помощью базисных функций, то такой подход называют собственно методом Галеркина. Если для аппроксимации невязки используется другое подпространство функций, то говорят о методе Петрова-Галеркина.

Классический метод Галеркина достаточно хорошо математически обоснован и широко применяется для решения эллиптических и параболических задач. Применение его к гиперболическим задачам, к которым, в частности, относятся уравнения Эйлера динамики идеального газа, сталкивается с определенными трудностями, такими как неустойчивость итерационных процедур решения задач с начальными данными. Источник этих трудностей заключается в том, что дискретные уравнения, получаемые с помощью метода Галеркина, являются «центрированными», т.е. они не учитывают скорость и направление распространения физических возмущений в гиперболических задачах. Иными словами, в метод необходимо добавить диссипативные члены, аналогично тому, как это было описано выше для конечно-разностных и конечно-объемных методов. Имеются различные способы добавления диссипативных членов в конечноэлементные методы. Одним из таких методов является т.н. метод SUPG (аббревиатура от английского названия Streamline Upwind Petrov-Galerkin - метод Петрова-Галеркина с несимметрией вдоль линий тока). Этот метод также иногда называют SD — Streamline Diffusion - метод с диффузией вдоль линий тока. Этот метод был предложен в работе (Hughes, Brooks 1979) для решения линейных задач конвекции-диффузии и в дальнейшем был развит и применен для решения более сложных уравнений вплоть до уравнений Навье-Стокса. Обзор вопроса и обширный список ссылок можно найти в (Johnson, 1992). По существу, это классический метод Галеркина с непрерывными базисными функциями, в котором пробные функции - функции, на которые скалярно умножаются уравнения движения для получения дискретных уравнений — отличаются от базисных функций, используемых для аппроксимации невязки на величину аддитивных слагаемых, обеспечивающих необходимую диссипацию.

Альтернативный подход к адаптации методов конечного элемента к гиперболическим задачам заключается в использовании базисных функций, заданных внутри конечного элемента и терпящих разрыв на его границе (т.н. несогласованные элементы). Диссипация в этом методе вводится в точности в соответствии с рецептами схем типа Годунова - путем решения задачи Римана о распаде разрыва на границе элемента. По существу такой метод представляет собой симбиоз методов конечного элемента и конечного объема. Данный подход в англоязычной литературе получил название DG (Discontinuous Galerkin - метод Галеркина с разрывными функциями). В дальнейшем оба названия — метод DG и метод Галеркина с разрывными функциями будут использоваться как синонимы. Впервые этот метод был предложен в работе (Reed, Hill . 1973) для решения уравнения переноса нейтронов. Дальнейшие многочисленные исследования были посвящены анализу математических аспектов метода, таких как скорость сходимости и пр. (LeSaint, Raviart, 1974, Johnson, Pitkaranta, 1986), а также развитию метода (Cockburn, Shu, 1989, Cockburn, Lin, Shu, 1989, Cockburn, Hou, Shu, 1990, Cockburn, Shu, 1998) и применению его к решению более сложных уравнений, таких как уравнения Эйлера (Bassi, Rebay 1997а) и Навье-Стокса (Bassi, Rebay 1997b, Warburton, Lomtev, Kirby, Karniadakis 1998, Lomtev, Karniadakis 1997).

Преимущества метода Галеркина с разрывными функциями заключаются в следующем.

• Данный метод легко адаптируется к неструктурированным сеткам и, следовательно, удобен для работы с областями сложной геометрии.

• Порядок точности метода зависит от максимальной степени полиномов базисных функций, использующихся для аппроксимации решения. Метод может быть сформулирован формальным образом для произвольного порядка точности на гладких решениях путем расширения подпространства базисных функций и увеличения максимального порядка полиномов. • Метод обладает большой гибкостью, поскольку порядок базисных функций может меняться от элемента к элементу, что важно с точки зрения адаптации метода к решению.

Остановимся подробнее на двух последних аспектах. Если ошибка численного решения равна О(Ик), где к — шаг сетки, то число к называется порядком ошибки. Очевидно, что, начиная с некоторого числа неизвестных дискретной задачи, схемы высокого порядка будут обеспечивать меньшую ошибку решения, по сравнению со схемами низкого порядка, что делает такие схемы весьма привлекательными. Исследованию схем высокого порядка точности, в частности, посвящены работы (Толстых, 1990, 2000, То1з1укЬ, Ырауэкп, 1998). В схемах конечного объема повышение порядка обеспечивается повышением порядка полиномиальной аппроксимации решения внутри конечного объема. Поскольку в схемах конечного объема неизвестными являются средние значения решения внутри конечных объемов, повышение порядка аппроксимации требует расширения шаблона (например, в двумерных задачах на треугольных конечных объемах линейная аппроксимация требует шаблона из трех элементов, в качестве которых можно использовать соседние элементы, а для квадратичной аппроксимации требуется шаблон из шести элементов). Выбор шаблона в схеме конечного объема высокого порядка не очевиден и не однозначен, особенно на неструктурированных сетках. В схеме БО коэффициенты полиномиальной аппроксимации решения внутри элемента являются неизвестными, и формулировка дискретной задачи определения этих коэффициентов не требует определения какого-либо шаблона. В записи дискретных уравнений в невязком случае участвуют только элементы, соседние с данным элементом, а в вязком случае — также и соседи второго порядка (соседи соседей). Подробнее этот вопрос рассмотрен в содержании диссертации на конкретных примерах.

Выше была указана важность адаптации сетки к решению. Это означает, что сетка должна содержать большее количество элементов меньшего размера в областях сильного изменения решения и меньшее количество узлов в областях, где решение меняется слабо. Важна и форма ячеек, в частности в пограничных слоях ячейки должны быть вытянуты' вдоль слоев. Операции адаптации сетки путем сгущения и разрежения ячеек в англоязычной литературе получили название Ь-гейпетеп1. Возможен и другой способ адаптации, когда при неизменной сетке в зависимости от характера решения меняется порядок точности численной схемы. Такой способ адаптации называется p-refinement. Наконец, возможно и сочетание этих способов (hp-refinement).

Метод DG обеспечивает широкие возможности с точки зрения адаптации к решению, Поскольку, как было указано выше, порядок точности схемы может меняться от элемента к элементу, p-refinement может быть реализован достаточно просто. Кроме того, в рамках этого метода могут использоваться базисные функции, отражающие характер решения, что также может повышать точность при неизменных затратах времени ЭВМ.

Актуальность данной диссертационной работы определяется потребностью создания высокоэффективных численных методов решения уравнений газовой динамики, позволяющих получать решение задач обтекания конфигураций сложной геометрии с высокой точностью при минимальных затратах памяти и времени работы ЭВМ.

Цель диссертации состоит в теоретической и методической разработке процедур ускорения расчета и повышения точности получаемых результатов путем адаптации не только расчетной сетки, но и локального порядка точности численной схемы при численном решении уравнений газовой динамики - уравнений Эйлера (невязкий случай) и уравнений Навье-Стокса (вязкий случай). Данные подходы основаны на модификации метода Галеркина с разрывными функциями (DG - Discontinuous Galerkin в англоязычной литературе), который является комбинацией метода конечного элемента и метода конечного объема типа метода Годунова. Особое внимание уделяется анализу порядка точности получаемых схем, выявлению их преимуществ по сравнению со стандартными схемами типа Годунова. Рассмотрены также возможности, которые обеспечивает схема DG с точки зрения адаптации к решению на неструктурированных сетках. Приведены результаты исследований на примерах одномерных и двумерных задач. Выбор этих задач в значительной степени обусловлен интересом к анализу порядка ошибки численного решения, что требует знания точного решения.

Практическая значимость работы состоит в разработке принципов адаптации неструктурированных сеток и порядка точности численной схемы к решению. Проведены методические исследования, включающие решения модельных задач, уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса, демонстрирующие эффективность данных подходов с точки зрения повышения точности численных решений. Разработана научно-методическая основа для реализации предложенных подходов в промышленных программах решения уравнений газовой динамики. Ряд подходов реализован в виде вычислительных программ, которые используются для проведения расчетных исследований обтекания различных элементов самолетов (крыловые профили, взлетно-посадочная механизация) при выполнении НИР ЦАГИ по контрактам с Роспромом и при проведении инициативных исследований.

Научная новизна работы заключается в разработке и исследовании новых подходов к созданию эффективных численных схем решения уравнений газовой динамики, в том числе на неструктурированных сетках, обеспечивающих высокую точность решения при умеренных затратах ресурсов ЭВМ и широкие возможности адаптации к решению, не только путем адаптации сетки, но и путем локального изменения порядка точности численной схемы.

Содержание диссертации изложено в пяти главах.

В первой главе приведены результаты применения метода Галеркина с разрывными функциями к решению одномерных модельных линейных и нелинейных задач. Рассмотрены линейное уравнение конвекции (переноса), теплопроводности, нелинейное уравнение Бюргерса. Исследован порядок ошибки схемы БЭ в зависимости от порядка базисных полиномов.

Во второй главе рассматриваются вопросы применения схемы Бв к решению модельной линейной двумерной задачи конвекции-диффузии, моделирующей криволинейный слой смешения в вязкой жидкости. Проведен анализ порядка ошибки численного решения, показаны преимущества схем высокого порядка точности, продемонстрированы дополнительные возможности, которые обеспечивает схема Бв в результате локального выбора базисных функций.

В третьей главе исследуются особенности применения метода Галеркина с разрывными функциями к решению уравнений Эйлера. На примере обтекания цилиндра показана необходимость применения параметрических конечных элементов с криволинейными границами, проведено сравнение метода БО с типовым методом конечного объема, проведен анализ порядка ошибки, иллюстрируются возможности применения метода БО совместно с методикой адаптации сетки к решению на примерах обтекания биплана Буземана и околозвукового обтекания профиля.

В четвертой главе даны примеры применения метода Бв к решению уравнений Навье-Стокса. Рассмотрены задачи ламинарного обтекания пластинки, кругового цилиндра и профиля при малых числах Рейнольдса.

Наконец, в пятой главе приведены примеры применения метода БО к решеншо уравнений Рейнольдса, описывающих турбулентное течение, с моделью турбулентности Спаларта-Алмараса (8ра1аг1:, АПтагаэ, 1992). Приведены примеры расчета турбулентного обтекания пластинки, кругового цилиндра и профиля при больших числах Рейнольдса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах (Sakovich, Sorokin, Wolkov, Lyapunov, 1998, Волков, Сорокин, Сакович, Лифшиц, Ляпунов, 1998, Волков, Ляпунов, 1999, 2000а,б, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006а,б, Lyapunov, Wolkov, 2000, Petrovskaya, Wolkov, Lyapunov, 2006a,б, Wolkov, Lyapunov, 2000).

Результаты работы обсуждались на на 6-ой международной конференции по генерации сеток для вычислительной аэродинамики (1998), 16-м Конгрессе Международной ассоциации математического и компьютерного моделирования IMACS (2000), 3-ей Европейской конференции по механике жидкости EUROMECH (1997), 5-ой Российско-Китайской конференции по аэродинамике и механике полета (1997), Международных Конгрессах по авиационным наукам ICAS (1990, 1992, 1996), школах-семинарах «Аэродинамика летательных аппаратов (1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007), Международной конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники (2000), франко-российском семинаре ONERA-ЦАГИ (2002) и др.

В данную диссертацию включены исследования, поддержанные РФФИ (Проекты № 98-01-00032-а, 1998, №00-01-00070-а, 2000, №02-01 -00124-а, 2002, №03-01-00236-а, 2003, №06-01-00283-а, 2006).

Исследования проблем, рассмотренных в диссертации, проводились в тесном контакте с рядом научных сотрудников НИО-2 ЦАРИ: В.С.Саковичем, А.М.Сорокиным, Н.А.Владимировой, Ю.Б.Лифшицем. Автор выражает им благодарность за помощь и ценные обсуждения. Автор считает своим долгом выразить благодарность профессору Г.А.Павловцу за постоянную поддержку и внимание к данной работе. Особую глубокую благодарность автор выражает научному сотруднику НИО-2 ЦАГИ А.В.Волкову, в совместной тесной работе с которым были получены основные результаты, изложенные в диссертации.

Исследованные в ходе работы численные методы реализованы в виде вычислительных программ и используются для проведения расчетных исследований обтекания различных элементов самолетов (крыловые профили, взлетно-посадочная механизация). Сами методы прошли тщательное тестирование путем сравнения результатов расчетов с результатами других авторов. Автор надеется, что рассмотренные подходы могут послужить основой для разработки эффективных численных методов и программ расчета вязких трехмерных течений около тел сложной геометрии.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А Матрица системы линейных уравнений а Скорость звука

С Симметричная блочно-диагональная матрица в уравнении (3.4)

С, cu, С\2, С21, С22 Диссипативная матрица и ее элементы сьь Cb2> Cvb Cwi, cW2, cw3, а, Полуэмпирические константы в модели турбулентности к, Г],щ Спаларта-Алмараса

Cf Коэффициент сопротивления трения

CFL Число Куранта

Ср Коэффициент давления

Сх Коэффициент аэродинамического сопротивления

Схр Коэффициент сопротивления давления

Су Коэффициент подъемной силы

D Слагаемое, связанное с диссипацией турбулентной вязкости в модели турбулентности Спаларта-Алмараса d Расстояние до поверхности обтекаемого тела в пограничном слое е Полная энергия единицы массы

Е Удельная внутренняя энергия e¡ Длина i-ой стороны элемента (треугольника)

F Вектор невязких потоков в уравнениях Эйлера f Вектор правых частей системы линейных уравнений f(u) Функция невязкого потока в одномерном уравнении конвекциидиффузии f,g; fj,gj Составляющие вектора невязкого потока в уравнениях Эйлера и

Навье-Стокса

F¡ Вектор невязких потоков в уравнениях Навье-Стокса

Fv Вектор вязких потоков в уравнениях Навье-Стокса fv,gv Составляющие вектора вязкого потока в уравнениях Навье

Стокса fvi, fV2, fw, S, г Вспомогательные функции в модели турбулентности Спаларта

Алмараса h Шаг сетки по пространству h Полная энтальпия единицы массы hu, hq Функции невязких потоков величин и и q в уравнении конвекции-диффузии huq, hqq Функции вязких потоков величин и и q в уравнении конвекциидиффузии

Ij Интервалы разбиения отрезка в одномерной задаче

J Матрица Якоби невязки системы дискретных уравнений

К Число базисных функций

L Невязка m Размерность подпространства Крылова

М Матрица предобуславливателя для системы линейных уравнений М Число Маха

N Число интервалов (элементов) сетки в одномерном уравнении п Вектор единичной нормали к ребру элемента

N Размерность системы линейных уравнений р давление

Р Слагаемое, связанное с производством турбулентной вязкости в модели турбулентности Спаларта-Алмараса Давление торможения Полином Лежандра степени / Число Прандтля Турбулентное число Прандтля

Коэффициенты разложения вспомогательной функции д по базисным функциям Компоненты вектора теплового потока Вспомогательная переменная в одномерном уравнении конвекции-диффузии (уравнение (1.2)) Модуль скорости

Вектор невязки системы линейных уравнений Число Рейнольдса

Вектор невязки системы дискретных уравнений Число Рейнольдса по координате х Площадь ячейки

Вспомогательный вектор градиентов консервативных переменных при решении уравнений Навье-Стокса Источниковый член, соответствующий модели турбулентности Спаларта-Алмараса в уравнениях Рейнольдса Координаты прямоугольной декартовой системы координат, повернутой относительно системы координат (х,у) на угол 0 Коэффициенты разложения вспомогательных функции ях и по базисным функциям

Матрица собственных векторов якобиана вектора потоков в уравнениях Эйлера

Температура

Время

Собственные вектора якобиана вектора потоков в уравнениях Эйлера (столбцы матрицы Т)

Неизвестная функция в одномерном и двумерном уравнениях конвекции-диффузии

Вектор консервативных переменных в уравнениях Эйлера

Скорость, нормальная к разрыву (границе элемента)

Коэффициенты разложения решения и по базисным функциям

Скорость набегающего потока

Компоненты вектора скорости

Базисные и пробные функции в методе Галеркина

Вектора подпространства Крылова

Вектор характеристических переменных \у=Т"1и

Вектор неизвестных системы линейных уравнений

Декартовы ортогональные координаты

Вектор поправки к решению системы линейных уравнений

Вспомогательная переменная в уравнении Спаларта — Алмараса, определяющая величину турбулентной вязкости

Компоненты тензора вязких напряжений

Коэффициент диффузии в уравнении конвекции-диффузии, коэффициент (динамической) вязкости в уравнениях Навье

Стокса

Угол атаки

Плотность у отношение удельных теплоемкостей у Вспомогательная переменная в уравнении Спаларта - Алмараса.

V Коэффициент молекулярной кинематической вязкости

Параметрические координаты а,р,к Степень полинома

61 Толщина вытеснения пограничного слоя а,/, Р,/ Параметры схемы Рунге-Кутта

Лк Собственные значения матрицы Якоби вектора потоков в уравнениях Эйлера Шаг по времени

V, Коэффициент турбулентной кинематической вязкости

Коэффициент (динамической) турбулентной вязкости в уравнениях Навье-Стокса <|Хз Составляющие вектора единичной нормали к ребру элемента

Нижние индексы:

Производная по времени х,у Производные по координатам к Сеточные функции

О Начальные значения г, у Номер интервала сетки л'Л Положение разрыва функции с Координаты центра тяжести элемента оо условия в набегающем потоке;

К, Ь Значения на границе ячейки (где функция терпит разрыв) слева и справа boundary Значения на непротекаемой границе Верхние индексы:

А Численные значения потоков " Значения на границе ячейки (где функция терпит разрыв) слева и справа

Номер базисной функции тонн Точное решение

Осреднение по Роу п Номер итерации по времени

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ляпунов, Сергей Владимирович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. На основе перспективного метода дискретизации законов сохранения- метода Галеркина с разрывными функциями - предложен новый подход к решению уравнений газовой динамики- уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса. Отличительными чертами данного подхода являются:

- возможность построения схем произвольного порядка точности унифицированным образом;

- удобство работы с неструктурированными сетками;

- широкие возможности адаптации схемы к сетке и/или решению путем локального повышения порядка точности в «проблемных» областях («плохие» ячейки, области больших градиентов и т.п.);

- адаптация путем локальной модификации набора базисных функций;

- автоматическая адаптация сетки к решению.

Центральным отличием предлагаемого подхода от других способов численного решения уравнений газовой динамики является возможность адаптации схемы к решению путем локального изменения порядка точности численной схемы.

2. На ряде примеров решений модельных уравнений, уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса показаны преимущества адаптивных схем высокого порядка, позволяющие уменьшить время расчета при заданной точности в несколько раз по сравнению с классическими методами типа метода Годунова. Продемонстрировано успешное применение процедуры автоматической адаптации неструктурированной сетки к решению, обеспечившее высокое разрешение различных особенностей течения (область диффузорного отрыва, головная ударная волна, локальные особенности обтекания многоэлементных профилей)

3. Метод описан, протестирован на многочисленных примерах и подготовлен к практическому применению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО ГЛАВЕ V

В данной главе изложена теория метода Галеркина с разрывными функциями (ОС) применительно к решению уравнений Рейнольдса, описывающих турбулентное течение вязкого газа, с моделью турбулентности Спаларта-Алмараса. Рассмотрены примеры турбулентного обтекания плоской пластины, кругового цилиндра, трехэлементного профиля МСБ с предкрылком и закрылком при малых дозвуковых числах Маха и профиля ЯАЕ2822 при трансзвуковом обтекании с местной сверхзвуковой зоной. Расчет обтекания профиля МСБ был проведен с применением процедуры автоматической адаптации неструктурированной сетки к решению. Получены следующие результаты:

Результаты расчетов турбулентного вязкого обтекания плоской пластины при числах f\ 7

Рейнольдса Re=10 -10 хорошо согласуются с эмпирическими данными Никурадзе, как по профилю скорости, так и по величине коэффициента местного трения. Ошибка в последнем случае составляет около 1%.

Результаты расчета распределения коэффициента давления при турбулентном обтекании кругового цилиндра при числе Рейнольдса Re=3.6-106 удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными Achenbach. Результаты расчета турбулентного трансзвукового обтекания профиля RAE2822 на типовых режимах, используемых для верификации численных методов (CASE-6 и CASE-10) также удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными по характеру распределения давления и положению скачка уплотнения.

Применение схемы повышенного порядка в области пограничного слоя при расчете обтекания профиля RAE2822 (CASE-6) обеспечивает получение решения с достаточной точностью на довольно грубой сетке при меньшем числе неизвестных задачи, чем в случае решения этой же задачи с использованием схемы второго порядка при сравнимой точности решения. Этот пример свидетельствует о высоких потенциальных возможностях рассматриваемой схемы с точки зрения адаптации к решению путем изменения порядка точности (p-refmement).

Результаты расчета обтекания профиля MCD также удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Воспроизведены такие тонкие особенности течения как малая сверхзвуковая зона на предкрылке и скачок уплотнения, профили скорости в сливающихся пограничных слоях. Высокая точность обеспечена применением адаптации неструктурированной расчетной сетки к решению, что позволило автоматически построить сетку необходимого качества.

Приведенный пример расчета трехмерного турбулентного обтекания крыла демонстрирует возможность расчета пространственных течений с помощью рассматриваемого метода.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ляпунов, Сергей Владимирович, 2008 год

1. М.А.Брутян, С.В.Ляпунов. О второй вариации функционала Рябушинского. ДАН СССР, т.258, №4, 1981

2. Н.А.Владимирова, В.В.Вышинский, С.В.Ляпунов, Я.М.Серебрийский Об ускорении сходимости методов расчета плоского и пространственного трансзвукового обтекания тел в неограниченном потоке. Ученые записки ЦАГИ, т. 16, №4, 1985

3. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Метод расчета трансзвукового вязкого обтекания профиля с учетом изменения энтропии на скачках уплотнения. Ученые записки ЦАГИ, t.XXIV, №1, 1993

4. А.В.Волков, В.С.Сакович, А.М.Сорокин, Ю.Б.Лифшиц, С.В.Ляпунов. Применение неструктурированных сеток в вычислительной аэродинамике. Материалы IX школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", ЦАГИ, 1998.

5. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Применение ориентированных схем второго порядка для решения двумерных уравнений Эйлера на неструктурированных сетках. Материалы X школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", ЦАГИ, 1999.

6. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Исследование схемы аппроксимации высокого порядка уравнений газовой динамики. Материалы XI школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", ЦАГИ, 2000.

7. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Исследование схемы аппроксимации высокого порядка уравнений газовой динамики. Современные проблемы аэрокосмической науки и техники. Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов, 2000.

8. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Применение схемы высокого порядка точности для решения двумерных уравнений Эйлера и Навье-Стокса на неструктурированных сетках. Материалы XII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", ЦАГИ, 2001.

9. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Численный метод высокого порядка точности для решения системы уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса. Материалы XIII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", ЦАГИ, 2002.

10. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Разработка новой монотонной схемы высокого порядка точности на компактном шаблоне для решения уравнений Эйлера и

11. Навье-Стокса. Материалы XVI школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", ЦАГИ, 2003.

12. А.В.Волков, С.В.Ляпунов, А.Н.Храбров. Влияние установившегося вращения на аэродинамические характеристики профиля при наличии отрыва потока. Ученые записки ЦАГИ, t.XXXIV, №3-4,2003

13. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Применение метода конечных элементов к расчету вязких турбулентных течений на неструктурированных адаптивных сетках. Материалы XV школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", ЦАГИ, 2004.

14. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Разработка новой монотонной схемы высокого порядка точности на компактном шаблоне для решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса. Материалы XVI школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", ЦАГИ, 2005.

15. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. О решении акустической задачи методом Галеркина с разрывными базисными функциями. Материалы XVII школы-семинара "Аэродинамика летательных аппаратов", ЦАГИ, 2006.

16. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Исследование эффективности использования численных схем высокого порядка точности для решения уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса на неструктурированных адаптивных сетках. ЖВМиМФ, т.46, №10, 1894-1907, 2006.

17. А.В.Волков, С.В.Ляпунов. Применение конечноэлементного метода Галеркина с разрывными базисными функциями к решению уравнений Рейнольдса на неструктурированных сетках. Ученые записки ЦАГИ, t.XXXVIII, №3-4,2007.

18. С.К.Годунов. Разностный метод расчета ударных волн. Успехи мат.наук, 12, №1(73), 176-177.

19. С.К.Годунов. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Математический сборник, т.47(89), №3, 1959.

20. В.П.Колган. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. Уч. Зап. ЦАГИ, 3, №6, 68-72, 1972.

21. А.Г.Куликовский, Н.В.Погорелов, А.Ю.Семенов. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. ФИЗМАТЛИТ, 2001.

22. С.В.Ляпунов. Неплоские крылья минимального индуктивного сопротивления. Изв.РАН, МЖГ, №2,1993

23. С.В.Ляпунов. Ускоренный метод решения уравнений Эйлера в задаче о трансзвуковом обтекании профиля. Мат.моделирование, N4, 1991

24. Э.Митчелл, Р.Уэйт. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, М., "Мир", 1981.

25. С.Г.Михлин, Х.Л.Смолицкий. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М., Наука, 1965

26. А.В.Родионов. Повышение порядка аппроксимации схемы С.К.Годунова. ЖВМиМФ, 27, №12, 1853-1860, 1987.

27. П.Роуч. Вычислительная гидродинамика. М., Мир, 1980.

28. А.И.Толстых. О построении схем заданного порядка с линейными комбинациями операторов. ЖВМиМФ, 40, №8, 1206-1220, 2000

29. Г.Шлихтинг. Теория пограничного слоя. М., Наука, 1974.

30. E.Achenbach. Distribution of Local Pressure and Skin Friction Around a Circular Cylinder in Cross-Flow up to Re=5*106. J. Fluid Mech., Vol. 34, part 4, 1968.

31. Test Cases for Inviscid Flowfield Methods, AGARD AR-211, June, 1986.

32. H.L.Atkins, C.W.Shu. Quadrature-free implementation of Discontinuous Galerkin methods for hyperbolic equations, Technical Report 96-51, ICASE, 1996,

33. T.J.Barth. Aspects of Unstructured Grids and Finite-Volume Solvers for the Euler and Navier-Stokes Equations. Special Course on Unstructured Grid Methods for Advection Dominated Flows, AGARD-R-787, 1992, pp.6-1 6-61

34. F.Bassi, S.Rebay. High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Solution of the 2D Euler Equations. J. of Сотр. Phys. 138, 251-285, 1997

35. F.Bassi, S.Rebay. High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations. J. of Сотр. Phys. 131, 267-279, 1997

36. V.D.Chin, D.W.Peters, F.W.Spaid, RJ.McGhee. Flowfield Measurements About A Multi-Element Airfoil At High Reynolds Numbers. AIAA-93-3137.

37. B.Cockburn, C.W.Shu. TVB Runge-Kutta Local Projection Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Scalar Conservation Laws II: General Framework. Math. Сотр. 52:411-435,1989.

38. D.Cockburn, C.W.Shu. The Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Conservation Laws V: Multidimensional Systems, J. Сотр. Phys., 141:199-224, 1998e

39. D.Cockburn, C.W.Shu. TVB Runge-Kutta Local Projection Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Scalar Conservation Laws II: General Framework, Math. Comp., 52:411-435, 1989

40. D.Cockburn, S.Hou, C.W.Shu. TVB Runge-Kutta Local Projection Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Conservation Laws IV: The Multidimensional Case, Math. Comp., 54:545-581, 1990

41. D.Cockburn, S.Y.Lin, C.W.Shu. TVB Runge-Kutta Local Projection Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Conservation Laws III: One Dimensional Systems, J. Comp. Phys., 84:90-113, 1989

42. P.Collela, P.Woodward. The Piecewise-parabolic Method (PPM) for Gasdynamic Equations. J.Comput.Phys. 54, pp. 174-201, 1984.

43. Computational Aerodynamics based on the Euler Equations. Ed. by J.F.Sloof, W.Schmidt, AGARD-AG-325, 1994.

44. P.H.Cook, M.A.McDonald, M.C.P.Firmin. Aerofoil RAE 2822 Pressure distributions, and boundary layer and wake measurements. AGARD-AR-138, 1979.

45. M.Coutanceau, R.Bouard, Experimental Determination of the Viscous Flow in a Wake of a Circular Cylinder in Uniform Translation. Part I. Steady Flow. J.Fluid Mech. 79 pp.231-256,1977.

46. C.A.J.Fletcher. Computational Techniques for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, 1988.

47. A.Harten, B.Engquist, S.Osher, S.Chakravarthy. Uniformly High Order Accurate Essentially Nonoscillatory Schemes III, J.Comput.Phys. 71, pp.231-303, 1987

48. A.Harten, S.Osher. Uniformly High Order Accurate Nonoscillatory Schemes I, SLAM J.Num.Anal. 24, pp.279-309, 1987

49. A.Harten. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. J. Comp. Phys., 49, No.3, 357-393, 1983.

50. G.Hauke, T.J.R.Hughes. A Comparative Study of Different Sets of Variables for Solving Compressible and Incompressible Flows. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 153,1-44, 1998.

51. T.J.R Hughes, F.Brooks. A Multidimensional Upwind Scheme with no Crosswind Diffusion, AMD vol 34, Finite Element Methods for Convection Dominated Flows, ed. T.J.R.Hughes, ASME New York, 1979

52. A.Jameson, W.Schmidt, E.Turkel. Numerical Solution of the Euler Equations by Finite-Volume Methods Using Runge-Kutta Time-Stepping Schemes. AIAA 811259,1981.

53. C.Johnson, J.Pitkaranta. An Analysis of the Discontinuous Galerkin Method for a Scalar Hyperbolic Equation. Math. Comp., 46:1-26, 1986

54. C.Johnson. Finite Element Methods for Flow Problems. In Special Course on Unstructured Grid Methods for Advection Dominated Flows, AGARD-R-787, 1992

55. P.D.Lax, B.Wenroff. Difference Schemes for Hyperbolic Equations with High Order of Accuracy, Comm. Pure Appl. Math., 17,No.3, 381-398, 1964.

56. P.LeSaint, P.A.Raviart. On a Finite Element Method for Solving the Neutron Transport Equation, C. de Boor, editor, Mathematical Aspects of Final Elements in Partial Differential Equations, pp. 89-145, Academic Press, 1974

57. RJ.LeVeque. Numerical methods for Conservation Laws. Lectures in Mathemetics, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1992.

58. Lomtev, G.E.Karniadakis. Simulations of Viscous Supersonic Flows on Unstructured hp-meshes. AIAA-97-0754, 1997.

59. S.V.Lyapunov, A.V.Wolkov. Application of Discontinuous Galerkin finite element method to the solution of partial differential equations. Part I. 2D scalar conservation laws. 16th IMACS World Congress. Lausanne-Switzerland. August 21-25, 2000.

60. S.V.Lyapunov, A.V.Wolkov Application of Viscous-Inviscid Interaction Methods for a Separated Flow Calculation About Airfoils and High-Lift Systems. ICAS Proceedings, ICAS-96-1.10.2,1996

61. S.V.Lyapunov, A.V.Wolkov. A separated flow calculation about airfoils and high-lift systems on basis of viscous-inviscid interaction methods. EUROMECH, 3rd European Fluid Mechanics Conf., 1997

62. S.V.Lyapunov, A.V.Wolkov. Application of the Viscous-Invisid Interaction Model to Calculation of Two-Dimensional Separated Flows. TsAGI Journal, vol.2,1,1996

63. S.V.Lyapunov, A.V.Wolkov. Calculation of separated flows about airfoils and high-lift systems using viscous-inviscid interaction approach. Proc. Of the 5th russian-chinise simposium on aerodynamics and flight dynamics, 1997

64. S.V.Lyapunov, A.V.Wolkov. Numerical Prediction of Transonic Viscous Separated Flow Past an Airfoil. Theoretical and Computational Fluid Dynamics, vol.6, №1, 1994

65. S.V.Lyapunov. Accelerated Method of the Euler Equation Solution in Transonic Airfoil Flow Problem. ICAS Proceedings, ICAS-92-4.2.3,1992

66. S.V.Lyapunov. Convergence acceleration and wave drag determination in transonic airfoil calculations. ICAS Proc. \ ICAS-90-6.9.2, 1990

67. L.Martinelly. Calculations of Viscous Flows with a Multigrid Method. PhD Thesis, Dept. of Mechanical and Aerospace Engineering, Princeton University, 1987.

68. D.J.Mavriplis, A.Jameson. Multigrid Solution of the Navier-Stokes Equations on Triangular Meshes. AIAA J., 28, No.8,1415,1990.

69. N.B.Petrovskaya, A.V.Wolkov, S.V.Lyapunov. Modification of basis functions in high order discontinuous Galerkin schemes for advection equations. University of Birmingham, School of mathematics, Preprint 2006/26, 2006.

70. N.B.Petrovskaya, A.V.Wolkov, S.V.Lyapunov. Modification of basis functions in high order discontinuous Galerkin schemes for advection equations. Applied Mathemetical Modelling, Elsevier, 2006.

71. W.H.Reed, T.R.Hill. Triangular Mesh Methods for the Neutron Transport Equation. TR LA-UR-73-479, Los Alamos Scientific Laboratory, 1973

72. P.Roe. Approximate Riemann Solvers, Parametric Vectors and Difference Schemes. J. of Comp. Phys., vol.43, pp.357-372, 1981.

73. Y.Saad, M.H.Schultz. GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Systems. SIAM J.Stat.Comput. vol.7, No.3, 1986.

74. Y.Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, Boston, 1996.

75. V.S.Sakovich, A.M.Sorokin, A.V.Wolkov, S.V.Lyapunov. Anisotropic unstructured grid generation for 3D flow simulation problems. 6th Int. Conf. on numerical grid generation in computational fluid simulation, 1998.

76. F.W.Spaid, F.T.Lynch. High Reynolds Number, Multi-Element Airfoil Flowfield Measurements. AIAA-96-0682.

77. P.R.Spalart, S.R.Allmaras. A One-Equation Turbulent Model for Aerodynamic Flows. AIAA-92-0439.

78. J.L. Steger, R.F. Wanning. Flux Vector Splitting of the Invicsid Gasdynamic Equations with Application to Finite-Difference Methods, J.Comp.Phys, vol.40, pp.263-293, April, 1981.

79. A.I.Tolstykh, M.V.Lipavskii. On performance of methods with third- and fifth-order compact upwind differencing. J.Comp.Phys., 140, №2,205-232, 1998.

80. E.Turkel. Improving the Accuracy of Central Difference Schemes. In 11th International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, SpringerVerlag, Lecture Notes in Physics, vol.323, pp.586-591, 1988.

81. C.P.van Dam. The aerodynamic design of multi-element high-lift systems for transport airplanes. Progress in Aerospace Sciences 38 (2002) 101-144.

82. B. van Leer. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme I, The Quest of Monotonicity, Lect.Notes.Phys. 18, pp.163-168,1973.

83. B. van Leer. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme II, Monotonicity and Conservation combinrd in a Second Order Scheme, J.Comput.Phys. 14, pp.361-370, 1974

84. B. van Leer. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme III, Upstream-Centered Finite-Difference Schemes for Ideal Compressible Flow, J.Comput.Phys. 23, pp.263-275, 1977

85. B. van Leer. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme IV, A New Approach to Numerical Convection, J.Comput.Phys. 23, pp.276-299, 1977

86. B. van Leer. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme V, A Second Order Sequel to Godunov's Method, J.Comput.Phys. 32, pp.101-136, 1979

87. B.van Leer. Flux Vector Splitting for the Euler Equations. Lecture Notes in Physics, vol. 170, pp.501-512, 1982.

88. C.P.van Dam. The aerodynamic design of multi-element high-lifit systems for transport airplanes. Progress in Aerospace Sciences 38 (2002) 101-144.

89. N.A.Vladimirova, V.V.Vyshinsky, S.V.Lyapunov, Ya.M.Serebriisky Convergence acceleration of computational methods for two- and three-dimensional flows about bodies. Fluid Mechanics, v.2, 1986

90. T.C.Warburton, I.Lomtev, R.M.Kirby, G.E.Karniadakis. A Discontinuous Galerkin Method for the Navier-Stokes Equations in Hybrid Grids. In M.Hafez and J.C.Heirich, ed., 10th Interantional Conference on Finite Elements in Fluids, Tucson, 1998.

91. L.Wigton, N.Yu, D.Young. GMRES Acceleration of Computational Fluid Dynamic Codes, AIAA 85-1494, 1985.

92. H.C.Yee. A Class of High-Resolution Explicit and Implicit Shock-Capturing Method, von Karman Institute Lecture Series 1989-04 (NASA TM-101088), 1989.

93. R.J.Zwaan, LANN wing, Pitching Oscillation, AGARD Report 702, Compendium of Unsteady Aerodynamic Measurements Addendum No 1, Data Set 9, May 1985