Исследование перспективных схем интегрирования уравнений Эйлера для трансзвуковых чисел Маха в задачах аэроупругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.03, кандидат технических наук Азаров, Александр Юрьевич

• Азаров, Александр Юрьевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Азаров, Александр Юрьевич

Введение

1. Теория. Расчетные схемы

1.1. Постановка задачи.

1.2. Метод Годунова.

1.2.1. Распад разрыва на грани.

1.2.2. Ограничение на шаг по времени.

1.2.3. Граничные условия

1.3. Схема Родионова.

1.3.1. Расчет градиентов

1.3.2. Предиктор. Оценка величины £/4+т.

1.3.3. Корректор.

1.3.4. Граничные условия

1.4. Построение сеток.

1.4.1. Трансфинитная интерполяция.

1.4.2. Задание наклона линий сетки на границе

1.4.3. Аппроксимирующие функции (интерполянты)

2. Реализация расчетного метода

2.1. Расчет сетки в блоке

2.1.1. Расчет координат узлов грани блока.

2.1.2. Расчет координат узлов ребра блока.

2.1.3. Учет движения сетки.

2.2. Расчет течения в блоке.

2.2.1. Метод Родионова.

2.2.2. Граничные условия

2.3. Объединение блоков сетки.

3. Результаты численных исследований

3.1. Модификация программы

3.1.1. Уточненный вариант

3.1.2. Параллельная обработка

3.2. Результаты и их интерпретация

4. Расчеты стационарного обтекания

4.1. Крыло RAE101A.

4.1.1. Мелкая сетка.

4.1.2. Грубая сетка.

4.2. Горизонтальное оперение AGARD SMP

5. Расчет нестационарного обтекания Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование перспективных схем интегрирования уравнений Эйлера для трансзвуковых чисел Маха в задачах аэроупругости»

Нестационарные явления аэроупругости (такие, как флаттер, бафтинг) во многом задают ограничения на возможности летательного аппарата. В то же время одним из наиболее сложных для изучения режимов полета современного летательного аппарата является трансзвуковой диапазон скоростей. В нем зачастую возникает наибольшая опасность флаттера. Изучение явлений аэроупругости в трансзвуковом диапазоне скоростей полета связано со сложностями как в экспериментальной, так и в теоретической областях. Экспериментальное исследование крайне осложнено из-за их высокой стоимости — проектирование и изготовление дорогостоящей динамически-подобной модели летательного аппарата для флаттерных испытаний в аэродинамических трубах (АДТ) требует времени и значительных средств. Также дорог и сам пуск в АДТ. Эти два основных фактора значительно снижают возможности экспериментального исследования ЛА и сводят их в основном к "доводочным" исследованиям для подтверждения уже предсказанных расчетными методами результатов.

Актуальность

Несмотря на интенсивное развитие вычислительных методов аэродинамики и постоянное совершенствование вычислительной техники, позволяющее решать все более сложные задачи, до сих пор значительные усилия направлены на создание надежных и быстрых расчетных методов аэроупругости для трансзвукового диапазона скоростей. Авиационная промышленность остро нуждается в таком инструменте, тем более что расчетные режимы полета современных пассажирских самолетов большой вместимости все ближе подходят к скорости звука. Препятствий на пути создания универсального и удобного инструмента много. Физическая картина трансзвукового потока сама по себе достаточно сложна — из-за возникновения в потоке сверхзвуковых областей, и, как следствие, газодинамических разрывов (волн разрежения и слабых ударных волн) на их границах. Эта сложность многократно возраг стает в нестационарной задаче, где каждое из различных явлений, таких как поле течения невязкого газа, скачки уплотнения и вязкий пограничный слой, обладает собственными характерными временами. Все они взаимодействуют между собой и нередко (а иногда и обязательно) требуют особого учета в математической модели. Специфика задач аэроупругости также диктует свои требования. Так, для типичной задачи определения границы флаттера должно быть проведено множество расчетов при различных значениях числа Маха, угла атаки, форм и частот колебаний, различных вариантах внешней нагрузки. Также, расчеты при малых частотах требуют большого времени, потому что для установления периодического поведения течения требуется, как правило, некоторое количество циклов, слабо зависящее от частоты.

Большинство расчетных методов определения нестационарных аэродинаг мических нагрузок на трансзвуке обладают рядом недостатков. Как правило, затраты времени на создание расчетной сетки для сложной области достаг точно велики. Точность расчетных методов существенно различается даже в случае решения одной системы уравнений и может зависеть от навыков и опыта исследователя в подборе различных параметров. Расчетная трансзвуковая аэродинамика чувствительна к ошибкам в алгоритмах и их реализаг ции, что может приводить к неизбежным ошибкам в решении. Значительную трудность представляют потери в точности, обусловленные такими особенностями расчетной нестационарной аэродинамики, как отражения волн, распространяющихся от тела, на внешних границах и даже на границах различных по размеру ячеек.

Методы решения

Распространены два подхода интеграции нестационарной трансзвуковой аэродинамики в задачу аэроупругости: решение во временной и частотной областях. При решении проблемы во временной области аэродинамический расчет связан с моделью конструкции и вычисления ведутся совместно. Таким образом, вся система ведет себя во времени свободно до тех пор, пока не возникнет флаттер. Наиболее широко распространен подход, в котором конструкция и поток газа моделируются раздельно и связываются после граничными условиями, зависящими от времени. Учитывая различные уравнения для описания двух сред, расчет временных шагов проводится последовательно и это запаздывание может оказывать влияние на решение поставленной задачи.

Методы, работающие в частотной области, основаны на уравнении колебаний в потоке для линейной системы. Тогда, решая проблему собственных значений для выбранных значений скорости, критерием возникновения флаттера будет появление собственного числа с отрицательным демпфированием. Но расчет трансзвукового обтекания крыла представляет собой нелинейную задачу и результаты расчета зависят как от деформации поверхности, так и от амплитуды колебаний. Поэтому, для применения методов, работающих в частотной области, требуется некоторая линеаризация аэродинамической модели.

Для расчета нестационарного обтекания тел в трансзвуковом потоке применяются различные математические модели (уравнения для полного потенциала; теория потенциала малых возмущений; уравнения Эйлера; уравнения Навье-Стокса) и многочисленные численные схемы их интегрирования.

В России, в ЦАГИ в течение длительного времени развивается и используется программное обеспечение для расчета трансзвукового флаттера [1]. Уравнения флаттера решаются в частотной области с помощью программы КС-2, в которой конструкция моделируется набором тонких, плоских упругих поверхностей, которые могут быть расположены в пространстве произвольным образом. Предложено два способа линеаризации аэродинамических характеристик. Впервые предложенный В.Г. Буньковым подход, получивший название гипотезы одномерной стационарности (ГОС), предполагает, что аэродинамические нагрузки вычисляются для некоторых стационарных положений угла атаки и используются при расчете на флаттер. В настоящее время применяется новый метод, в основу которого положена гипотеза одномерной динамичности (ГОД) [2]. Из распределения давления, полученного из расчета обтекания крыла, колеблющегося с заданной частотой и формой, выделяются коэффициенты основной гармоники разложения Фурье. Далее по гипотезе одномерной динамичности определяется давление, зависящее от комплексных компонент разложения Фурье и комплексного угла атаки. Таким образом может быть организован итерационный процесс, в котором по нелинейной трансзвуковой теории рассчитываются аэродинамические коэффициенты, дающие основу для вычисления формы и частоты флаттера. После этого полученные форма и частота могут быть использованы для новой итерации — аэродинамического расчета. Для расчета аэродинамических характеристик С.И. Кузьминой была разработана программа интегрирования нестационарных уравнений Эйлера по методу Годунова [3]. Особенностью программы является простая сетка, состоящая практически во всей расчетной области из параллелепипедов, с дробными ячейками на передней и задней кромках крыла.

За рубежом, благодаря значительному выигрышу по времени в сравнении с другими моделями, для большинства практических расчетов нашли применение различные методы интегрирования потенциала малых возмущений. Здесь можно отметить вклад Дж. Батины, как имеющий наиболее заметную историю, отраженную в опубликованных работах. Для интегрирования уравнения потенциала малых возмущений применяется неявный алгоритм с впервые примененным расщеплением разностного оператора методом приближенной факторизации [4]. В дальнейшем метод был развит для учета вихревых и энтропийных эффектов в потенциальной модели, необходимые формулы коррекции и исследование их влияния на точность счета представлены в работе [5]. Появление итерационных методов для решения больших разреженных систем линейных уравнений стимулировало применение метода итераций Ньютона к системе сеточных уравнений для потенциала [6,7].

Все большее распространение получают методы решения уравнений Эйлера. Они естественным образом позволяют учесть энтропийные эффекты, возникающие на скачках уплотнения. В работе [8] применена однородная сетка с кубическими дробными ячейками. Так как сетка неподвижна, при движении тело занимает целиком либо частично некоторые ячейки, освобождая другие. Для интегрирования уравнений Эйлера применяется схема второго порядка аппроксимации на основе работы Ван Леера [9], которая, в свою очередь, базируется на методе Годунова [3]. В работе [10] был предложен метод малых возмущений в уравнениях Эйлера для расчета нестационарных нагрузок, призванный ускорить получение решения при сохранении необходимой точности.

Уравнения Навье-Стокса до сих пор остаются чрезмерно дорогими по времени счета и публикации, посвященные их применению в аэроупругости, немногочисленны. Так, в [11] было представлено исследование нелинейных колебаний крыла при числах Маха 0.8 и 1.14. Эта работа также примечательна тем, что расчеты аэродинамики и деформации конструкции проводились на нескольких компьютерах параллельно.

В 1991 году профессором калифорнийского технологического университета О. Бендиксеном [12] был предложен новый метод в области вычислительной аэроупругости. Бендиксен предложил описывать поведение конструкции и потока одной системой интегральных уравнений сохранения Эйлера^Лагранжа, находивших узкое применение и ранее [13]. Это позволяет трактовать всю аэроупругую систему, как одну динамическую задачу во временной области и использовать один алгоритм численного интегрирования для всех ячеек сетки, покрывающей как расчетную область потока, так и конструкцию. После опубликования работы [12] метод получил развитие и применение в [14-16]. В последнее время растет количество публикаций, посвященных применению уравнений Эйлера-Лагранжа в вычислительных задачах аэроупругости [17, 18].

Представлено в диссертации

В диссертации представлен метод расчета аэродинамических нагрузок в трансзвуковом диапазоне скоростей. Теоретическую основу составляют методы Годунова [3] и Родионова [19] интегрирования уравнений Эйлера. В работе предложена методика разбиения расчетной области на блоки, имеющие форму параллелепипеда в индексном пространстве, и расчет сетки в блоках производится независимо. Расчет сетки в блоке, имеющем сложную пространственную форму осуществляется методом трансфинитной интерполяции [20-23].

Соискателем разработаны алгоритмы и создана программа для расчетов стационарного и нестационарного обтекания тела или конфигурации тел сжимаемым невязким потоком газа на расчетной сетке, состоящей из криволинейных шестигранных блоков по расчетному методу второго порядка аппроксимации Родионова, либо методу Годунова первого порядка аппроксимации. Лично соискателем получены результаты расчетов по методам Родионова и Годунова стационарного обтекания крыла RAE101A для числа Маха 0.8 под углом атаки 2° и числа Маха 0.9 под углом атаки 0°, стационарного и нестационарного обтекания горизонтального оперения AGARD SMP для расчетного случая M = 0.95, а = 0.4° (для нестационарного случая движение крыла описывалось периодическим изменением угла атаки около положения 0.4° с амплитудой 0.4° и приведенной частотой 0.583). Выполнено сравнительное исследование точности и сходимости новых алгоритмов для стандартных тестовых конфигураций.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается сравнением с результатами, полученными с помощью расчетной программы С.И. Кузьминой [2] и эспери-ментальными и теоретическими данными работы [24].

Диссертация является продолжением работы [25] по созданию программы для расчета аэродинамических нагрузок в трансзвуковом диапазоне чисел Маха для применения в задачах аэроупругости. Результаты исследований докладывались на конференциях молодых специалистов МФТИ 1996 г. [26] и 1997 г. [27]. Результаты работы, проведенной в целях сравнения характеристик методов первого (схема Годунова) и второго (схема Родионова) порядков аппроксимации были доложены на конференции "Современные проблемы аэрокосмической науки" в 1998 г. [28].

Выносится на защиту

На защиту выносится разработанный метод расчета аэродинамических нагрузок в трансзвуковом диапазоне скоростей для применения в задачах аэроупругости.

Обзор работы

В первой главе описаны теоретические основы — методы интегрирования уравнений Эйлера и алгоритмы построения сеток. Вторая глава подробно описывает созданную расчетную программу, методику разбиения на блоки, расчет сетки и течения в блоках и стыковку блоков для образования одной расчетной области. Глава 3 посвящена описанию и результатам предварительных расчетов, проведенных с помощью модифицированной автором расчетной программы С.И. Кузьминой. Эта работа была проведена в целях сравнения характеристик методов первого (схема Годунова) и второго (схема Родионова) порядков аппроксимации и доложена на конференции "Современные проблемы аэрокосмической науки" в 1998 г. [28]. В следующей, 4 главе приведены результаты расчетов стационарного обтекания по программе автора и их сравнение с программой С.И. Кузьминой, а также экспериментальными и теоретическими результатами. В главе 5 представлены результаты расчета нестационарного обтекания горизонтального оперения AGARD SMP.

Заключение диссертации по теме «Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов», Азаров, Александр Юрьевич

Выводы

1) Разработаны алгоритмы и создано программное обеспечение для расчетов стационарного и нестационарного обтекания тела или конфигурации тел сжимаемым невязким потоком газа на расчетной сетке, состоящей из криволинейных шестигранных блоков. Расчет течения в блоках производится независимо, с передачей от блока к блоку лишь граничных данных. Для расчета используется расчетный метод Родионова интегрирования уравнений Эйлера второго порядка аппроксимации либо схема Годунова первого порядка аппроксимации. Для расчета сетки в блоках применен метод трансфинитной интерполяции, а для аппроксимации поверхностей используются пространственные сплайн-функции.

2) Выполнено сравнительное исследование точности и сходимости новых алгоритмов для стандартных тестовых конфигураций. Проведено сравнение результатов расчетов стационарного обтекания крыла RAE101A и горизонтального хвостового оперения AGARD SMP с программой TRAN С.И. Кузьминой [2] и зарубежными экспериментальными и расчетными данными. Также даны графики сравнения интегральных характеристик обтекания, важных для задач аэроупругости — распределений аэродинамических силы, момента и положения центра давления по размаху крыла.

3) Проведены расчеты нестационарного обтекания горизонтального оперения AGARD SMP по схеме Родионова и дано сравнение результатов с программой TRAN и зарубежными расчетными данными.

4) Показано, что метод Родионова второго порядка аппроксимации с большей точностью отслеживает слабые скачки уплотнения, которые возникают на трансзвуке, нежели схема Годунова первого порядка аппроксимации.

5) На основании полученных результатов можно сделать вывод, что разработанный метод позволяет с большей точностью определить аэродинамические нагрузки на конструкцию, в особенности обусловленные слабой ударной волной, и может быть использован для расчетов в задачах аэроупругости.

6) Время, затрачиваемое на шаг по времени в одной ячейке сетки у разработанной программы приблизительно в 5 раз больше, чем у программы [2]. Причиной этому — общая трактовка ячейки сетки и метод более высокого порядка, требующий большего числа операций. Для сравнения, метод Годунова, реализованный в рамках разработанной программы, затрачивает приблизительно в 2.5 раза больше времени, чем метод [2].

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Азаров, Александр Юрьевич, 1999 год

1. S. Kouzmina, V. Mosunov, and P. Karkle. 1.erative method for transonic flutter calculation. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97], pages 433-440.

2. С.И. Кузьмина. Расчетные исследования трансзвукового флаттера самолета. Ученые записки ЦАГИ, 20(6), 1989.

3. С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Москва, Наука, 1975.

4. John Т. Batina. Efficient algorithm for solution of the unsteady transonic small-disturbance equation. Journal of Aircraft, 25(7):598-605, 1988.

5. John T. Batina. Unsteady transonic small-disturbance theory including entropy and vorticity effects. Journal of Aircraft, 26(6):531-538, 1989.

6. A.M. Wissink, A.S. Lyrintzis, and A.T. Chronopoulos. High performance computing techniques for solving the transonic small disturbance equation. AIAA Paper 95-0576, 1995.

7. Yang, D.M. Causon, D.M. Ingram, and R. Saunders. A Cartesian cut cell method for unsteady flows involving freely moving bodies. In the 20th ICAS Congress 96].

8. Bram van Leer. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel to Godunov's method. Journal of Computational Physics, 32(1):101—136, 1979.

9. Erich Kreiselmaier and Boris Laschka. Small disturbance Euler equations (SDEE) an efficient and accurate tool for unsteady load predictions at all Mach numbers. In the 21st ICAS Congress 98].

10. Reid B. Melville and Raymond E. Gordnier. Non-linear fluid and structures interaction simulation. In CEAS/AIAA/ICASE/NASA Langley International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 99], pages 735-746.

11. Oddvar O. Bendiksen. A new approach to computational aeroelasticity. In the 32nd AIAA Conference 95], pages 1712-1727.

12. J. Donea, S. Giuliani, and J.R Halleux. An arbitrary Lagrangian-Eulerian finite element method for transient dynamic fluid-structure interactions. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 33:689-723, 1982.

13. Oddvar 0. Bendiksen and Guang-Yaw Hwang. Nonlinear flutter calculations for transonic wings. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97].

14. Gerd Britten, Josef Ballmann, and D. Nellessen. Numerical simulation of aerodynamic response of an elastic wing in transonic flow. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97].

15. Oddvar O. Bendiksen. Nonunique solutions in transonic aeroelasticity. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97].

16. Avril K. Slone, Koulis Pericleous, Chris Bailey, and Mark Cross. Dynamic fluid-structure interactions using finite volume unstructured mesh procedures. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97].

17. Jean-Pierre Grisval, Claire Sauvignet, and Zdenek Johan. Aeroelasticity calculations using a finite element method. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97].

18. А.В. Родионов. Повышение порядка аппроксимации схемы С.К. Годунова. Журнал вычислительной математики и математической физики, 27(12):1853—1860, 1987.

19. А.П. Аралов, A.M. Сорокин. Построение расчетных сеток для крыла и фюзеляжа методом трансфинитной интерполяции.

20. W.J. Gordon and С.A. Hall. Construction of curvilinear coordinate systems and application to mesh generation. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 7(4), 1973.

21. L.E. Eriksson. Practical three-dimensional mesh generation using transfinite interpolation. SI AM Journal on Scientific and Statistical Computing, 6(3), 1985.

22. A. Rizzi and L.E. Eriksson. Transfinite mesh generation and damped Euler equation algorithm for transonic flow around wing-body configuration. In the 5th AIAA CFD Conference 92].

23. P.A. Newman and E.B. Klunker. Computation of transonic flow about finite lifting wings. AIAA Journal, 10(7), 1972.

24. А.Ю. Азаров. Расчет трансзвукового обтекания профиля в задаче о флаттере по теории потенциала малых возмущений с использованием метода итераций Ньютона. Дипломная работа, Московский Физико-Технический Институт, 1996.

25. А.Ю. Азаров. Расчет трансзвукового обтекания профиля в задаче о флаттере. Тезисы докладов научной конференции МФТИ. Типография НИЧ МФТИ, Ноябрь 1996.

26. А.Ю. Азаров. О представлении конструкции JIA и потока единой динамической системой. Тезисы докладов научной конференции МФТИ. Типография НИЧ МФТИ, Ноябрь 1997.

27. Phillip Collela and Paul R. Woodward. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations. Journal of Computational Physics, 54(1):174-201, 1984.

28. В.П. Колган. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. Ученые записки ЦАГИ, 111(6) :68-77, 1972.

29. В.И. Копченов, А.Н. Крайко. Монотонная разностная схема второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Журнал вычислительной математики и математической физики, 23(4):848-859, 1983.

30. А.Н. Ганжело. Расчет плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений невязкого газа методом сквозного счета второго порядка точности. Ученые записки ЦАГИ, XVII(2):27-32, 1986.

31. A.B. Родионов. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для сквозного расчета неравновесных течений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 27(4):585-593, 1987.

32. Matania Ben-Artzi and Jozeph Falcovitz. A second-order Godunov-type scheme for compressible fluid dynamics. Journal of Computational Physics, 55(1):1—32, 1984.

33. C.B. Михайлов, H.С. Яцкевич. Расчет пространственного обтекания заостренных тел на режимах с отошедшей ударной волной. Ученые записки ЦАГИ, ХХП(6):27-36, 1991.

34. Н.И. Тилляева. Обобщение модифицированной схемы С.К. Годунова на произвольные нерегулярные сетки. Ученые записки ЦАГИ, XVII(2):18-26, 1986.

35. D. Mavriplis and A. Jameson. Multigrid solution of the two-dimensional Euler equations on unstructured triangular meshes. AIAA Paper 87-0353,1987.

36. Paulus Maria de Zeeuw. Acceleration of Iterative Methods by Coarse Grid Corrections. PhD thesis, Universiteit van Amsterdam, 1997.

37. W. Kyle Anderson. Grid generation and flow solution method for Euler equations on unstructured grids. NASA TM-4295, April 1992.

38. J.F. Thompson, Z.U.A. Warsi, and C.W. Mastin. Boundary fitted coordinate systems for numerical solution of partial differential equations: A review. Journal of Computational Physics, 47(1): 1-107, 1982.

39. K.D. Lee. 3-D transonic flow computations using grid systems with block structure. In the 5th AIAA CFD Conference 92].

40. A.M. Сорокин. Построение расчетных сеток с помощью эллиптических уравнений в областях с криволинейными границами.

41. Software Infrastructure Group, Center for Computational Sciences and Engineering, Lawrence Berkley Lab. BoxLib, 1998.1. BoxLib library manual.http: //www.nersc.gov/research/CCSE/software/software.html).

42. W.H. Vandevender and K.H. Haskell. The SLATEC mathematical subroutine library. SIGNUM Newsletter, 17(3):16-21, September 1982.

43. Carl de Boor. Package for calculating with B-splines. SIAM Journal on Numerical Analysis, 14(3):441-472, June 1977.

44. M.J. Knott. Transonic aeroelastic calculations in both the time and frequency domains. AGARD Report, CP-507, 1992.

45. P.JI. Бисплингхофф, X. Эшли, P.JI. Халфмэн. Аэроупругость. Издательство иностранной литературы, Москва, 1958.

46. John Т. Batina, Robert Bennett, D.A. Seidel, H.J. Cunningham, and S.R. Bland. Recent advances in transonic aeroelasticity. Computers and Structures, 30:29-37, 1988.

47. Oddvar O. Bendiksen and Konsen. Transonic flutter analysis using the Euler equations. AIAA Paper 87-9011-CP, April 1987.

48. Raush, John T. Batina, and Yang. Euler flutter analysis of airfoils using unstructured dynamic meshes. Journal of Aircraft, 27(5):436-443, 1990.

49. Y. Saad and M.H. Schultz. GMRES: A generalized minimum residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7, 1986.

50. F. Shakib, Tomas J.K. Hughes, and Zdenek Johan. A multi-element group preconditioned GMRES algorithm for nonsymmetric systems arising in finite element analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 75, 1989.

51. Abimael F.D. Loula, Tomas J.K. Hughes, Leopoldo P. Franca, and Isidoro Miranda. Mixed Petrov-Galerkin methods for the Timoshenko beam problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 63:133-154,1987.

52. John T. Batina. Unstructured-grid methods development — lessons learned. Journal of Computational Physics, l(3):285-294, October 1992.

53. John T. Batina and Yang. Application of transonic codes to aeroelastic modeling of airfoils including active controls. Journal of Aircraft, 21(8), 1984.

54. John T. Batina. Unsteady transonic algorithm improvements for realistic aircraft applications. Journal of Aircraft, 26(2):131-139, February 1989.

55. Charles A. Lamah and Wesley L. Harris. On unsteady nonlinear transonic flows at arbitrary reduced frequency. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97].

56. P.C. Chen and I. Jadic. Transformation of displacements and loads data between CFD and CSD modules by a BEM solver. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97].

57. P.P. Friedmann. The renaissance of aeroelasticity and its future. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97].

58. P.P. Ghinelli and P. Mantegazza. A new unstructured finite element approach for unsteady full potential flows. In Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 97].

59. A. Jameson, Schmidt, and Turkel. Numerical solutions of the Euler equations by finite volume methods using Runge-Kutta time stepping scheme. AIAA Paper 81-1259, 1981.

60. Zdenek Johan, Tomas J.K. Hughes, and F. Shakib. A globally convergent matrix-free algorithm for implicit time-marching schemes arising in finite element analysis in fluids. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 87:281-304, 1991.

61. Tomas J.K. Hughes, Michael Mallet, and Akira Mizukami. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: II. Beyond SUPG. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 54:341-355, 1986.

62. A. Jameson and T.J. Baker. Multigrid solution of the Euler equations for aircraft configurations. AIAA Paper 84-0093, 1984.

63. Neal Т. Prink and Paresh Parikh. A fast upwind solver for the Euler equations on three-dimensional unstructured meshes. AIAA Paper 91-0102, 1991.

64. Neal T. Prink, Shahyar Pirzadeh, and Paresh Parikh. An unstructured-grid software system for solving complex aerodynamic problems. NASA CP-3291, May 1995.

65. David Nixon. A method for the rapid prediction of unsteady loads over wings at transonic speeds. In the 21st ICAS Congress 98].

66. J.A. Gear, E. Ly, and N.J.T. Phillips. A time marching, type-dependent, finite difference algorithm for the modified transonic small disturbance equation. In the 21st ICAS Congress 98].

67. A. Verhoff. Efficiency improvement of CFD codes using analytical far-field boundary conditions. In the 21st ICAS Congress 98].

68. C.B. Михайлов. Замечание об устойчивости нелинейной схемы расчета движения ударной волны. Журнал вычислительной математики и математической физики, 23(5):1199-1204, 1983.

69. Дж. Коул, JI. Кук. Трансзвуковая аэродинамика. "Мир", Москва, 1989.

70. С.И. Кузьмина. Исследование колебаний профиля в трансзвуковом потоке газа. Труды ЦАГИ, 1862, 1977.

71. С.И. Кузьмина. Расчет обтекания колеблющегося профиля трансзвуковым потоком газа. Ученые записки ЦАГИ, 6(3), 1975.

72. С.И. Кузьмина. Численное исследование автоколебаний профиля с элероном в трансзвуковом потоке. Труды ЦАГИ, 2281, 1985.

73. Ю.И. Агеев, В.В. Назаренко, Т.П. Невежина. Экспериментальные исследования установившихся автоколебаний элерона в околозвуковом потоке. Ученые записки ЦАГИ, 5(3), 1974.

74. М. Giles, М. Drela, and W.T. Thompkins. Newton solution of direct and inverse transonic Euler equations. In the 7th AIAA CFD Conference 93].

75. P.M. Goorjian, M.E. Meagher, and R. Van Buskirk. Monotone switches in implicit algorithms for potential equations applied to transonic flows. AIAA Journal, 23(4), 1985.

76. Ю.П. Нуштаев. Аэродинамические характеристики профиля в трансзвуковом потоке газа с учетом упругости конструкции. Ученые записки ЦАГИ, XI(2), 1980.

77. A.M. Сорокин. Построение расчетных сеток для задач плоских трансзвуковых течений. Ученые записки ЦАГИ, XVII(3), 1986.

78. B.J. McCartin. Applications of exponential splines in computational fluid dynamics. In the 5th AIAA CFD Conference 92].

79. A. Jameson. Multigrid algorithms for compressible flow calculations. In Lecture Notes in Mathematics, volume 1228. 1986.

80. P.L. Roe. Characteristic ba&<?d schemes for the Euler equations. In Annual Review of Fluid Mechanics, volume 18. 1986.

81. K. Kusunose, D.L. Marcum, and И.С. Chen. Transonic analysis for complex airplane configurations. AIAA Report 87-1196, 1987.

82. J. Flores, T.L. Hoist, D. Kwak, and D.M. Batiste. A new consistent spatial differencing scheme for transonic full-potential equation. AIAA Journal, 8(22), 1984.

83. T.A. Gr0nland, P. Eliasson, and J. Nordstrom. Accuracy of unsteady transonic flow computations. In the 21st ICAS Congress 98].

84. W.G. Habashi. Advances in computational transonics. Recent advances in numerical methods in fluids, 4, 1985.

85. American Institute of Aeronautics and Astronautics. The 5th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, Palo-Alto, California, USA, 1981.

86. American Institute of Aeronautics and Astronautics. The 7th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, 1985.

87. American Institute of Aeronautics and Astronautics. The 8th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, 1987.

88. American Institute of Aeronautics and Astronautics. The 32nd AIAA Conference, Baltimore, April 1991.

89. International Council of the Aeronautical Sciences (ICAS). The 20th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences, September 1996.

90. Internaional Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics, Rome, Italy, June 17-20 1997.

91. International Council of the Aeronautical Sciences (ICAS). The 21st ICAS Congress, Melbourne, Australia, September 13-18 1998.

92. CEAS/AIAA/ICASE/NASA Langley International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics, Williamsburg, Virginia, USA, June 1999.