Математическое моделирование отрыва турбулентного пограничного слоя при обтекании летательных аппаратов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Терехин, Александр Александрович

• Терехин, Александр Александрович
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Терехин, Александр Александрович

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1 Численные методы моделирования внешнего обтекания.

1.2 Методы определения параметров пограничного слоя.

1.3 Выводы.

2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПИСАНИЯ ВНЕШНЕГО ОБТЕКАНИЯ КОРПУСОВ И ЭЛЕМЕНТОВ РАКЕТ.

2.1 Модель течения, основанная на уравнениях Навье-Стокса.

2.2 Модель течения, основанная на уравнениях Рейнольдса.

2.3 Двухпараметрическая модель турбулентности.

2.4 Модель невязкого газа.

2.5 Модель турбулентного погранично слоя.

3 АНАЛИЗ ПРИМЕНЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО АНАЛОГА МОДЕЛИ НЕВЯЗКОГО ГАЗА ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТУРБУЛЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ.

3.1 Расчет распределения давления по поверхности элементов ЛА при использовании уравнений Эйлера.

3.1.1 Двумерное обтекание профилей RAE 2822, NACA 0012 и МВВ-АЗ.

3.1.2 Трёхмерное обтекание тел вращения конус - цилиндр, оживало -цилиндр.

3.2 Расчёт силового воздействия потока на элементы ЛА с помощью уравнений Эйлера.

3.2.1 Двумерное обтекание профилей RAE 2822, NACA 0012 и МВВ-АЗ.

3.2.2 Трёхмерное обтекание тел вращения оживало-цилиндр.

3.3 Выводы.

4 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОТРЫВА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ СОВМЕСТНОГО ПРИМЕНЕНИЯ С УРАВНЕНИЯМИ ЭЙЛЕРА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ

АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК.

4.1 Двумерное обтекание профилей RAE 2822, NACA 0012 и МВВ-АЗ.

4.2 Трёхмерное обтекание тел вращения конус - цилиндр, оживало -цилиндр.

4.3 Математическая модель отрыва пограничного слоя.

5 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ ВНЕШНЕГО ОБТЕКАНИЯ, ОСНОВАННОГО НА УРАВНЕНИЯХ ЭЙЛЕРА И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОТРЫВА

5.1 Расчёт ромбовидных крыльев конечного размаха.

5.2 Определение аэродинамических характеристик корпуса летательного аппарата.

5.3 Формулировка метода математического моделирования внешнего обтекания летательных аппаратов с использованием уравнений Эйлера и математической модели отрыва пограничного слоя.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование отрыва турбулентного пограничного слоя при обтекании летательных аппаратов»

Проектирование современной ракетной техники является сложным многоэтапным процессом. Важную роль в проектировании играет исследование аэродинамики JIA, целью которого является определение аэродинамических характеристик (подъёмной силы, силы сопротивления, положения центра давления и др.) влияющих на корпус и его элементы, необходимых для проведения прочностных расчетов и вычисления параметров системы управления. Турбулентные течения занимают особое место при проведении численного моделирования внешнего обтекания при расчете аэродинамических характеристик, в связи с необходимостью анализа условий полета, связанных с отрывом потока от корпуса ракеты или её оперения. Численные методы решения задач газовой динамики активно развиваются, это обусловлено их широким применением за счет роста мощности компьютеров. Одна из основных проблем, стоящих на пути вычислительной аэрогидродинамики - это моделирование турбулентных течений. В настоящее время для решения этой проблемы применяются следующие основные методы [2, 89]:

- метод, основанный на осреднении по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (RANS), замкнутых с помощью алгебраических или дифференциальных моделей турбулентности;

- метод моделирования крупных вихрей (LES), базирующийся на решении нестационарных уравнений Навье-Стокса с моделированием влияния вихрей подсеточного масштаба;

- метод моделирования отсоединённых вихрей (DES), который является комбинацией двух предыдущих методов. В зоне внешнего «гладкого» течения используется метод RANS, а в зоне отрыва потока с крупными вихрями - LES;

- метод прямого численного моделирования (DNS), основанный на решении нестационарных уравнений Навье-Стокса без каких либо замыкающих соотношений.

Наиболее близкие к реальности результаты могут быть получены при внесении минимальных допущений в исходную математическую модель и численный алгоритм решения. В этом смысле наиболее привлекательным является последний метод DNS. По словам Белоцерковского Ю. М.: «.пройдет еще много времени (при существующих темпах развития вычислительной техники), прежде чем станет возможным решение задач с реальной геометрией и числами Рейнольдса с разрешением на сетке всех вихрей до Колмогоровского масштаба включительно.» [5]. Эта мысль актуальна и по сей день, что подтверждается в работах [6, 13, 41, 42, 86, 89]. Например, методы требующие меньших вычислительных затрат (по сравнению с DNS) LES и особенно DES уже сейчас доступны для решения на современных суперкомпьютерах и больших кластерах. Но при их использовании сразу же возникают проблемы. Решение двумерных задач, например, профиля крыла RAE 2822 или NACA 0012 с удовлетворением размерности сетки расчётной области и шага по времени [67] (данные методы относятся к методам нестационарной аэродинамики) требуют не менее 2,0 ГБ оперативной памяти во время подготовки численной модели. Для проведения самого расчёта с использованием кластерной системы, основанной на 10 узлах вычислительного кластера Infinity Южно-Уральского государственного университета, необходимо не менее 3 суток вычислительного времени. При этом обязательна работа по предварительным расчётам с использованием метода RANS, так как предсказать все трудности, которые могут возникнуть при использовании LES или DES, достаточно сложно. В силу сложности постановки вычислительного процесса и больших затрат времени на проведение самого расчета данные методы не могут быть использованы в практике решения инженерных многопараметрических задач, да и сама такая вычислительная техника не является распространенной и недоступна для широкого круга специалистов. Численное решение уравнений Рейнольдса (при использовании RANS моделей) для моделирования обтекания вязкой жидкостью корпусов и элементов ракет с реальными геометрическими размерами оказывается весьма трудоёмким, прежде всего из-за сложности организации неравномерной адаптивной расчётной сетки в рассматриваемой области течения [6]. При неортогональных сетках в многомерных случаях использование обобщённых координат приводит к появлению дополнительных членов в ошибке аппроксимации дифференциальных уравнений, описывающих движение газа. При быстро растущих сетках и отклонениях от ортогональности более 45° в численном решении появляются дополнительные ошибки, влияющие на общую точность решения [41, 42].

Также известно, что численное моделирование течений при больших числах Рейнольдса может быть выполнено на модели идеальной жидкости [6]. Применение уравнений невязкого газа не требует малых размеров ячеек на поверхности рассматриваемого объекта, а это значительно улучшает устойчивость, сходимость и снижает затраты на подготовку численной модели. Уравнения невязкого газа лишены дополнительных параметров, связанных с турбулентностью, что делает их малочувствительными к граничным условиям, что так же немаловажно при подготовке численной модели.

При анализе режимов обтекания К. Флетчер [41] предложил разбить задачи связанные с аэродинамикой на четыре класса:

1. задачи, связанные с простой геометрией и простыми физическими условиями (продольное обтекание пластины без отрыва потока);

2. задачи, связанные с простой геометрией и сложными физическими условиями (отрыв ПС вследствие взаимодействия скачка уплотнения при обтекании цилиндра с конической «юбкой»);

3. задачи, связанные со сложной геометрией и простыми физическими условиями (безотрывное обтекание корпуса крылатой ракеты);

4. задачи, связанные со сложной геометрией и сложными физическими условиями (обтекание корпуса крылатой ракеты с наличием отрывных зон, влияющих на общую аэродинамику).

В настоящее время вычислительная техника находится на уровне, когда можно рассчитывать все четыре группы, но последняя группа требует мощных кластерных систем и сложных математических подходов. Что же касается задач с простыми физическими условиями, то для них нецелесообразно использовать сложные подходы моделирования вязкой жидкости и желательно использовать более простые методы решения. Остаётся открытым вопрос - как выявить класс задач, имеющих простые физические условия без использования сложных математических моделей, чтобы сократить время решения задачи? Данный вопрос относится к рациональному использованию ЭВМ, что напрямую влияет на время проектирования ДА. Основная проблема, которая при этом появляется — надёжно выявить класс течений, для которых можно использовать упрощённые уравнения, например, уравнения Эйлера.

Задачи, связанные со сложными физическими условиями обтекания, успешно решаются современной и широко используемой математической моделью описания турбулентных течений k-ш SST. Она относится к моделям типа RANS. Её преимущества по сравнению с другими полуэмпирическими подходами замыкания уравнений Рейнольдса отмечают многие авторы [2, 17, 65, 69]. Данная модель применяется для численного моделирования течений, не имеющих крупномасштабных вихревых структур [17], и описывает большой класс течений стационарной аэродинамики. Течения с наличием крупномасштабных вихревых структур характеризуется своей нестационарностью, и для их численного моделирования рекомендуется использовать модели типа DES и LES [2, 17, 65, 69, 89]. В работе k-co SST модель используется для уточнения характеристик пограничного слоя во время анализа внешнего обтекания профилей крыльев и корпусов ракет.

Возвращаясь к вопросу определения АДХ и сил воздействия среды на корпус и элементы ракеты, необходимо отметить, что, несмотря на большие возможности вычислительной техники, очень важной задачей остаётся повышения эффективности использования ресурсов ЭВМ для решения задач, имеющих большую размерность и многопараметричность. Размерность задачи наиболее часто связана с большими числами Рейнольдса, которые заставляют проводить сильное измельчение области пограничного слоя, увеличивая количество контрольных объёмов в расчётной сетке. Под многопараметричностью в данной работе понимается многообразие всевозможных условий обтекания, зависящих от чисел Маха, углов атаки, чисел Рейнольдса, а так же разнообразие связанное и с геометрией. Наиболее ярким примером многопараметричности для ракетной техники, является задача, связанная с выявлением оптимальной геометрии крыла конечного размаха в определённом диапазоне изменения внешних параметров обтекания. Для решения данной задачи очень важным может стать переход от сложных систем моделирования течения газа к уравнениям Эйлера.

Из выше проведенного анализа проблем постановки вычислительного эксперимента целью работы является создание метода математического моделирования внешнего обтекания летательных аппаратов, основанного на выявлении сложных физических особенностей пристеночного течения при использовании уравнений невязкого газа и аналитических зависимостей теории пограничного слоя.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести анализ режимов обтекания, для которых допустимо применение уравнений Эйлера.

2. Провести анализ существующих полуэмпирических методов описания турбулентного пограничного слоя, позволяющих выявить границы применения уравнений Эйлера и отвечающих требованиям совместного решения при проведении расчётов.

3. Разработать математическую модель отрыва пограничного слоя, отвечающую требованиям эффективного применения совместно с системой уравнений Эйлера.

4. Разработать метод математического моделирования с использованием модели отрыва пограничного слоя и уравнений Эйлера для определения аэродинамических характеристик летательных аппаратов.

5. Провести численное тестирование разработанного математического метода моделирования внешнего обтекания и предложенной математической модели отрыва пограничного слоя. Установить эффект применения уравнений Эйлера и математической модели отрыва при определении аэродинамических характеристик летательного аппарата на примере корпуса и крыла конечного размаха.

Объектами исследования в данной работе являются отрывные течения и методы их моделирования. Метод исследования заключается в сравнении упрощенного подхода вычисления АДХ с более сложными вычислительными методами и в выявлении положительных и отрицательных эффектов. Оценка результатов и точность моделирования проводится путём их сравнения с результатами физического эксперимента.

Для компенсации недостающей информации экспериментальных данных о состоянии пограничного слоя использована современная модель турбулентности k-co SST. Данная модель хорошо моделирует отрывные пристеночные течения и широко используется в инженерной практике. Разработанная методика вычисления АДХ JIA позволяет значительно сократить время расчёта, трудоёмкость подготовки численной модели, увеличить устойчивость и уменьшить время сходимости численного решения.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

- разработана математическая модель, определяющая отрыв турбулентного пограничного слоя при совместном решении с уравнениями Эйлера, отличающаяся от известных тем, что определяющие параметры выделены в явной форме.

- определены границы применения уравнений невязкого газа при расчёте аэродинамических характеристик летательных аппаратов;

- разработан метод математического моделирования внешнего обтекания летательных аппаратов с использованием уравнений Эйлера и разработанной математической модели отрыва пограничного слоя;

- проведено численное тестирование математического метода моделирования внешнего обтекания и предложенной модели отрыва пограничного слоя при использовании уравнений Эйлера для определения аэродинамических характеристик летательного аппарата.

Основные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносятся:

- математическая модель отрыва пограничного слоя, позволяющая прогнозировать отрыв турбулентного пограничного слоя на основе потенциального обтекания, определяющие параметры которой выражены в явном виде;

- результаты численного моделирования внешнего обтекания корпусов и элементов летательного аппарата при использовании математической модели отрыва пограничного слоя и уравнений невязкого газа;

- метод математического моделирования внешнего обтекания с использованием математической модели отрыва пограничного слоя и уравнений Эйлера для определения аэродинамических характеристик летательного аппарата, позволяющего значительно экономить время проведения численного эксперимента.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что предложенная математическая модель отрыва описывает отрыв турбулентного пограничного слоя и его параметры при совместном использовании с уравнениями Эйлера.

Что касается практической значимости полученных результатов, то результаты настоящей работы могут найти широкое применение в области численного моделирования многопараметрических задач стационарной и нестационарной аэрогидродинамики JIA. За счёт существенного сокращения ресурса ЭВМ предлагаемый подход позволяет значительно увеличить размерность моделируемой задачи при использовании современных многоядерных персональных вычислительных машин. Разработанная математическая модель описания отрыва позволяет определять параметры турбулентного пограничного слоя, что дает возможность успешно применять её в предварительных расчетах численного моделирования внешних и внутренних течений.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель и поставлены задачи диссертационной работы.

В первой главе проводится обзор литературы по современным методам описания движения вязкого газа. В данной главе выделяется проблема, связанная с отрывными течениями, и её роль в определении АДХ ракетной техники. Проводится анализ методов, описывающих состояние пограничного слоя на основе потенциального обтекания. Делаются выводы о полноте решения поставленных задач на текущее время, формулируются задачи с учетом современного развития науки в данном направлении.

Во второй главе рассматриваются дифференциальные математические модели описания внешнего обтекания. Излагается теоретическая основа использованных численных методов для проведения исследований. Выделяются особенности моделирования пристеночных течений и предельный переход от уравнений вязкого газа к невязкому.

В третьей главе анализируются течения на примере обтекания крыловых профилей RAE 2822, NACA 0012, МВВ-АЗ и тел вращения конус-цилиндр и оживало-цилиндр, для которых можно применять уравнения невязкого газа при определении их АДХ.

В четвертой главе рассматривается возможность применения полуэмпирических зависимостей описания ТПС для анализа определения отрыва ТПС с поверхности исследуемого объекта. Входными параметрами для полуэмпирических выражений являются полученные решения задач потенциального обтекания профилей и корпусов с использованием уравнений Эйлера. Предлагается математическая модель описания турбулентного пограничного слоя для выявления области отрыва.

В пятой главе проводится общая оценка применения предложенной математической модели при решении задачи определения АДХ ромбовидных крыльев и корпуса ракеты, предлагается схема использования предложенной математической модели. Формулируется метод математического моделирования внешнего обтекания летательных аппаратов, основанного на уравнениях невязкого газа и разработанной математической модели, описывающей отрыв пограничного слоя.

В главе "Выводы" подводятся основные заключения по всем главам.

В главе "Заключение" рассматриваются поставленные задачи, и оценивается полнота их решения.

В главе "Литература" приведены используемые источники.

В главе "Приложение" приведены геометрические обводы корпуса, для которого проводилась апробация.

Публикации.

Результаты работы отражены в 15 публикациях, из них 4 в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и заключения, списка использованной литературы (92 наименование). Работа содержит 129 страниц и 131 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Терехин, Александр Александрович

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как отмечалось во вводной части диссертационной работы, эффективное применение современных моделей, описывающих турбулентные течения для многопараметрических задач, не представляется возможным из-за требуемого времени вычислений. Поэтому в главе 1 был проведен обзор существующих методов и подходов, описывающих турбулентные течения. Из рассмотренных в главе 2 дифференциальных математических моделей, применяемых для определения АДХ ракет, наиболее экономичной является модель на основе уравнений Эйлера. За счет отсутствия вязкостных слагаемых использование уравнений невязкого газа позволяет существенно сократить время решения задач внешней аэродинамики. Проведенные в главе 3 тестовые расчёты обтеканий профилей крыльев и тел вращения с применением данных уравнений показали хорошее совпадение полученных АДХ с экспериментальными данными для безотрывных течений (максимальное расхождение которых не превышало 10%). Выявление безотрывных течений проводится путем определения наличия отрыва пограничного слоя с помощью разработанной в главе 4 математической модели отрыва. Данная модель основана на обобщении и дополнении существующих уравнений теории пограничного слоя. Модель отрыва отвечает требованиям совместного применения с уравнениями Эйлера и не влечет увеличения вычислительного времени. За критерий, характеризующий отрыв пограничного слоя, выбран коэффициент поверхностного трения. Условием отрыва является обращение коэффициента в ноль. В тестовых расчетах обтеканий профилей крыльев и тел вращения модель отрыва достоверно определила отрывы пограничного слоя. Использование уравнений Эйлера в отдельности от математической модели отрыва влечет к получению недостоверных результатов численного моделирования. Появление коэффициента поверхностного трения в расчетах, основанных на уравнениях Эйлера, позволяет использовать результаты вычислений для отрывных течений в качестве предварительных данных. Это добавляет универсальности и эффективности применения предложенных уравнений.

Для совместного использование уравнений Эйлера и математической модели отрыва для определения АДХ ДА разработан метод математического моделирования. Проведенное в главе 5 тестирование показало, что методика математического моделирования с использованием математической модели отрыва пограничного слоя и уравнениями Эйлера уменьшает время проведения расчетов внешнего обтекания минимум в 2 раза и снижает потребную оперативную память ЭВМ примерно в 10 раз. Для смешанных случаев обтекания, когда имеются течения с отрывами и без отрыва пограничного слоя, время расчетов уменьшается примерно в 4 раза. При этом необходимо отметить, что верхняя граница увеличения производительности зависит от типов течений и характера многопараметричности решаемой задачи.

Таким образом, подводя итог проведенных исследований, выделим основные этапы работы:

1. проведен анализ режимов обтекания, для которых допустимо применение уравнений Эйлера;

2. проведен анализ существующих полуэмпирических методов описания турбулентного пограничного слоя, позволяющих выявить границы применения уравнений Эйлера и отвечающих требованиям совместного решения при проведении расчётов;

3. разработана математическая модель отрыва пограничного слоя, отвечающая требованиям эффективного применения совместно с системой уравнений Эйлера;

4. разработан метод математического моделирования с использованием модели отрыва пограничного слоя и уравнений Эйлера для определения аэродинамических характеристик летательных аппаратов;

5. проведено тестирование предложенной математической модели отрыва пограничного слоя и метода математического моделирования с использованием модели отрыва и уравнений Эйлера. Установлен эффект применения уравнений

Эйлера и математической модели отрыва при определении аэродинамических характеристик летательного аппарата на примере корпуса крылатой ракеты и крыла конечного размаха.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Терехин, Александр Александрович, 2009 год

1. Артонкин В. Г. Труды центрального Аэрогидродинамического института имени проф. Жуковского (ЦАГИ). М.: издательство отдела НАГИ, 1972. 92с.

2. Белов И. А. Моделирование турбулентных течений: учебное пособие. СПб.: Балт.гос.техн. ун-т., 2001. 108 с.

3. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 704 с.

4. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 520 с.

5. Белоцерковский О. М., Опарин А. М. Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу. М.: Наука, 2001. 223 с.

6. Белоцерковский С. М. Трёхмерное отрывное обтекание тел произвольной формы. М.: ЦАГИ, 2000. 267 с.

7. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. 184 с.

8. Гинзбург И. П. Аэрогазодинамика. М.: Высшая школа, 1966. 404 с.

9. Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Турбулентные отрывные течения. М.: Наука, 1979. 368с.

10. Комментарии специалистов ЕМТ P. ANSYS Solutions. 2005. №1(1). С. 37-38.

11. Корнилов В. И. Пространственные пристенные турбулентные течения в угловых конфигурациях. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 2000. 399 с.

12. Краснов Н. Ф. Аэродинамика ракет. М.: Высшая школа, 1968. 764 с.

13. Липанов А. М., Кисаров Ю. Ф., Ключников И. Г. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. 523 с.

14. Липанов А. М., Бобрышев В. М., Аиев А. В. Численный эксперимент в теории РДТТ. М.: Наука, 1994. 550 с.

15. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

16. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

17. Метод моделирования отсоединенных вихрей для расчета отрывных турбулентных течений: предпосылки, основная идея и примеры применения / М.Х. Стрелец и др. // Научно технические ведомости, 2004. №2.

18. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965. 570 с.

19. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоиздат, 1984. 152 с.

20. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 552 с.

21. Самойлович Г.С. Гидрогазодинамика: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности «Турбостроение». М.: Машиностроение, 1990.384 с.

22. Тарас А. Е. Атомный подводный флот 1955-2005. М.: ACT, 2006. 216 с.

23. Терехин А. А., Сидельников Р. В., Рандина Т. В. Определение касательных напряжений при малых числах Рейнольдса // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Машиностроение. 2005. №14 (54). Вып. 7. С. 44-46.

24. Терехин А.А. Оптимизация расчётного алгоритма метода крупных частиц для исследования течений в зонах больших градиентов параметров: пояснительная записка к дипломному проекту по специальности: 1306. Челябинск, 2004. 180 с.

25. Терехин А. А. Разработка программного средства для исследования аэродинамических характеристик летательного аппарата в специальных условиях / Сборник рефератов научно-исследовательских работ студентов. Челябинск: ЮурГУ, 2003. С. 152.

26. Терехин А. А. Разработка программного средства решающего задачи газодинамического управления летательных аппаратов / Сборник рефератов научно-исследовательских работ аспирантов. Челябинск: ЮурГУ, 2004. С. 160-161.

27. Терехин А. А., Сидельников Р. В., Павлюк Ю. С. Численное моделирование обтекания профилей крыла с использованием уравнений невязкого газа // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2009. №1. С. 72-74.

28. Терехин А. А., Сидельников Р. В., Терехина Т. В. Численный анализ влияния поверхностного трения на аэродинамические характеристики // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Машиностроение. 2008. №10 (110). Вып. 11. С. 45-48.

29. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. Т.1. 504 с.

30. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.* Мир, 1991. Т.2. 552 с.

31. Фрик П. Г. Турбулентность: подходы и модели. М.: Наука, 2003. 292 с.

32. Хемш М., Нилсен Дж. Аэродинамика ракет. М.: Мир, 1989. Т.1. 324 с.

33. Хемш М., Нилсен Дж. Аэродинамика ракет. М.: Мир, 1989. Т.2. 435 с.

34. Холст Т. Л. Подведение итогов деятельности рабочей группы по расчёту вязкого трансзвукового обтекания профиля // Аэрокосмическая техника. 1989. №11. С.78-98.

35. Чжен П. Отрывные течения. М.: Мир, 1973. Т.1. 299 с.

36. Чжен П. Отрывные течения. М.: Мир, 1973. Т.2. 280 с.

37. Чжен П. Отрывные течения. М.: Мир, 1973. Т.З. 335 с.

38. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974. 712 с.

39. Anderson J. D. Computional fluid dynamics: the basics with applications.-McGraw-Hill, 1995. 547 p.

40. Batchelor G. K. On steady laminar flow with closed stream lines at large reynolds numbers // Fluid Mech. 1956. Vol. 1. p. 177.

41. Bucciantini G., Oggiano M.S., Onorato M. Super critical airfoil МВВ-АЗ surface pressure distributions, wake and boundary condition measurements // AGARD Report AR. 1979. No. 138.

42. Chung T. J. Computional fluid dynamics. Cambridge University Press, 2002. 1012 p.

43. Cook P. H., McDonald M. A., Firmin M. C. P. Aerofoil RAE 2822 Pressure Distributions, and Boundary Layer and Wake Measurements. Experimental Data Base for Computer Program Assessment // AGARD Report AR. 1979. No. 138.

44. Dimmock N. A. Some further jet flap experiments // NGTE Memo. 1956. № M255.

45. Doenhoff A. E. A preliminary investigation of boundary layer transition along a flat plate with adverse pressure gradient // NACA. 1938. TN 639.

46. Doenhoff A. E. Tetervin N. Determination of general relations for the behavior of turbulent boundary layers // NACA. 1923. Rep. 772.

47. El Tahry S.H. K-e equation for compressible reciprocating engine flows // AIAA J. Energy, 7. 1983. No. 4. P. 345-353.

48. Ferziger J. H., Milovan P. Computional methods for fluid Dynamics. Springer, 2002. 423 p.

49. Garner H. C. The development of turbulent boundary layers // ARC. 1944. RM 2133.

50. Gauld E. E. An experimental investigation of regions of separated laminar flow//NACA. 1955. TN 3505.

51. Gruschwitz E. Die turbulente reibungsschicht in ebener stromung bei druckabfall und druckanstieg // Ing. Arch. 1931. Vol. 2. P. 321-346.

52. Hartmann K. 1.5 D ogive circular cylinder body, L/D = 21.5 // AGARD Report AR. 1979. No. 138.

53. Lien S. F., Kalitzin G, Durbin P. RANS modeling for compressible and transitional flows // Center for Turbulence Research Proceedings of the Summer Program. 1998. P. 267-286.

54. Ludwieg H., Ludwieg H, Tillmann W. Untersuchungen iiber die wandschub-spannung in turbulenten reibungsschichten // NACA. 1950. TM 1285.

55. Lyons D.C., Peltier L. J., Zajaczkowski F. J., Paterson E. G. Assessment of DES models for separeted flow from a hump in a turbulent boundary layer // Proceedings of the 5th Joint ASME/JSME Fluid Engineering Conference. San Diego, CA, USA, №2. 2007.

56. McCullough G. B. Gault D. E. Examples of three representative types ofairfoil section stall at low speed //NACA. 1951. TN 2502.

57. Menter F. R. Two-equation eddy viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA J. 1994. 32, № 1. P. 1299-1310.

58. Norris L. H., Reynolds W.C. Turbulent channel flow with a moving wavy boundary // Department of Mechanical Engineering, Stanford University, USA. 1975. Report No. FM-10.

59. Norbury J. F., Crabtree L. F. A simplified model of the Incompressible flow past two-dimensional aerofoils with a long bubble type and flow separation // RAE Tech. Note Aero. 1955. Vol. 2352.

60. Owen P. R., Klanfer L. On the laminar boundary layer separation from the leading edge of a thin airfoil // RAE Rept Aero. 1953. Vol. 2508. P. 220.

61. Pressure distribution dat for a 100 cone-cylinder at zero incidence in the mach number range 0.91 to 1.22 / The high speed aerodynamics laboratory NAE/NRC // AGARD Report AR. 1979. No. 138.

62. Reynolds O. On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A. 1895. Vol. 186. P. 123-161.

63. Rodi W. Influence of buoyancy and rotation on equations for turbulent length scale // Proc. 2nd Symp. on Turbulent Shear Flows. 1979.

64. Rotta J. Beitrag zur berechnung der turbulenten grenzschichten // NACA. 1950. TM 1344.

65. Rotta J. Schubspannungsverteilung und energiedissipation bei turbulenten grenzschichten // Ing. 1952. Arch. 20. P. 195-207.

66. Solver Theory Guide. ANSYS CFX. ANSYS, Inc., 2006. 312 p.

67. Squire H. В., Young A. D. The calculation of profile drag of airflow // ARC. 1938. Vol. 1838. RM.

68. Squire H. B. Note on the motion inside a region of recirculation (Cavity Flow) // Roy. Aeronaut. 1956. Soc, 60. P. 203 205.

69. Tani I. Note on the interplay between the laminar separation and the transition from laminar to turbulent of the boundary layer (in Japanese) // Soc. Aero. Sci. Japan. 1957. Vol. 6. P. 122-134.

70. Thibert J. J., Grandjacques M., Ohman L. H. NACA 0012 Airfoil. Experimental Data Base for Computer Program Assessment // AGARD Report AR. 1979. No. 138.

71. Truckenbrodt E. Ein Quadraturverfahren zur Berechnung der laminaren und tur-bulenten Reibungsschicht bei ebener und rotationssymmetrischer Stromung // Ing. 1952. Vol. 228. Arch. 20. P. 211.

72. Truckenbrodt E. Ein quadraturverfahren zur berechnung der laminaren und tur-bulenten reibungsschicht bei ebener und rotationssymmetrischer stromung // Ing. 1952. Arch. 20. P. 211-228.

73. Versteeg H. K., Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics the finite volume method. Longman Group Ltd, 1995. 257 p.

74. Wesseling P. Principles of computational fluid dynamics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001. 644 p.

75. Wieghardt K., Tillmann W. Zur turbulenten reibungsschicht bei drack-druckanstieg // UM 6617. 1941.

76. Wieghardt K., Tillmann W. Zur turbulenten reibungsschicht bei druck-druckanstieg//UM. 1941. Vol. 6617.

77. Wilcox David C. Turbulence Modeling for CFD. DCW Industries, 1994. 460 p.

78. Wolfstein M. The velocity and temperature distribution in one-dimensional flow with turbulence augmentation and pressure gradient // Int. J. Heat Mass Transfer. 1969. Vol.12. P. 301-318.

79. Yakhot V., Orszag S. A., Thangam S. Development of turbulence models for shear flows by a double expansion technique // Phys. Fluids. 1992. No. 7. P. 1510-1520.

80. Yakhot V., Orszag S. A. Renormalization group analysis of turbulence I: Basic theory // J. Scientific Computing. 1986. Vol 1. P. 1-51.