Методика решения задач сверхзвуковой газовой динамики на основе неявной TVD схемы и адаптивно-встраивающихся сеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Хисматуллина, Наиля Абдулхаевна

• Хисматуллина, Наиля Абдулхаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хисматуллина, Наиля Абдулхаевна

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ.

§ 1.1 Исходные уравнения.

§ 1.2 Численная аппроксимация.

§ 1.3 Линеаризация конечно-разностных уравнений.

§ 1.4 Решение системы линейных алгебраических уравнений.

§ 1.5 Численное исследование влияния входных параметров алгоритма СМЯЕЗ на его сходимость.

§ 1.6 Выводы.

Глава 2. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ.

§ 2.1 Алгоритм решения по неявной схеме.

§ 2.2 Стратегии комбинирования неявных и явных методов. . бб

§ 2.3 Способы упаковки матриц.

§ 2.4 Приемы ускорения вычислений.

§ 2.5 Выводы.

Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНО

СТИ МЕТОДИКИ И КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ.

§ 3.1 Тестовые расчеты.

§ 3.2 Исследование эффективности предложенной методики на модельных примерах.

§ 3.3 Численное исследование точности схемы ТУБ на газодинамических особенностях.

§ 3.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика решения задач сверхзвуковой газовой динамики на основе неявной TVD схемы и адаптивно-встраивающихся сеток»

Актуальность. Одной из главных задач вычислительной газовой динамики была и остается проблема уменьшения затрат компьютерных ресурсов, т. е. процессорного времени и машинной памяти. Эта проблема не теряет своей актуальности с совершенствованием вычислительной техники, так как потребности практики опережают рост возможностей компьютеров.

Для сверхзвуковой аэродинамики характерны течения со сложной разномасштабной структурой потока. Его характеристики могут различаться между собой на порядки. Для адекватного отражения физической картины течения при нахождении численного решения необходимо уметь учитывать указанные особенности, чтобы не потерять информацию, поступающую в расчетную область от мелкомасштабных структур.

Получение численного решения уравнений газовой динамики заданной точности с воспроизведением тонких структур газового потока (ударные волны, контактные разрывы и др.) всегда остается актуальной проблемой и ограничивается главным образом возможностями вычислительной техники. Для сверхзвукового обтекания конструкций сложной геометрии характерно многократное взаимодействие скачков, что приводит к сложной структуре течения. В таких задачах получение искомого решения, как правило, требует больших затрат компьютерных ресурсов, так как для адекватного-отраже ния особенностей потока необходимо проводить разбиение расчетной области на большое число ячеек. В практически важных задачах попытки достичь заданной точности только за счет увеличения числа ячеек приводят к таким потребностям памяти и времени счета, которые являются предельными даже для самых мощных из современных компьютеров. Поэтому разработка методов и методик, позволяющих решать сложные задачи газовой динамики на имеющихся компьютерах средней мощности, является актуальной.

Настоящая работа посвящена созданию эффективной методики и комплекса программ расчета двумерных задач газовой динамики с особенностями типа ударных волн, контактных разрывов в областях с криволинейными границами в рамках модели Эйлера. Примером таких задач является задача о торможении сверхзвукового потока газа в воздухозаборнике прямоточного двигателя сверхзвукового самолета.

Взаимодействие ударных волн приводит к сложной картине течения, поэтому в настоящей работе для интегрирования системы дифференциальных уравнений Эйлера применяется сквозной метод. При этом уравнения Эйлера записываются в дивергентной форме [1]. Для расчетов скачков уплотнения или любых других разрывов никаких специальных мер не принимается, так что они получаются как часть решения всей задачи. Рассчитанные таким образом скачки «размазываются» на несколько ячеек сетки. В этом смысле метод сквозного счета оказывается менее точным по сравнению со схемами выделения скачков. Однако реализация схем выделения скачков зачастую оказывается затруднительной. Поэтому простота метода сквозного счета оказывается решающим фактором для его выбора при решении сложных задач, хотя схемы выделения скачков могут дать и более точные результаты.

Эффективность алгоритмов решения уравнений газовой динамики методом сквозного интегрирования существенно зависит от: 1) типа (явная или неявная) конечно-разностной схемы; 2) порядка (низкий или высокий) аппроксимации; 3) способа адаптации (динамически или нет) разностных сеток.

Рассмотрим эти и некоторые другие, используемые в настоящей работе, аспекты построения численных методов более подробно.

Явные и неявные конечно-разностные схемы.

Для численного решения газодинамических задач широко применяются как явные, так и неявные конечно-разностные схемы. Как указано в работе [34], явные и неявные разностные схемы являются равноправными элементами численного алгоритма, и выбор между ними входит в задачу его оптимизации.

Достоинствами явных методов являются простота программной реализации, приемлемые потребности машинной памяти, удовлетворительное качество результатов [10, 69, 71] и др. Однако затраты процессорного времени при использовании явных схем для расчетов достаточно больших областей, особенно в задачах с разномасштабной структурой потока, могут достигать порядка десятков часов. Поэтому в тех случаях, когда требуются многопараметрические расчеты, их проведение становится затруднительным.

При исследовании устойчивости явных схем используется условие Куранта, которое в одномерном случае имеет вид

Ах и<1 или АЬ<-¡-г, (0.1) где V = (а + |и|)Д£/Дя - параметр, называемый числом Куранта [1, 79], а = ("ур/р) - скорость звука.

При применении неравномерной сетки для обеспечения устойчивости явной схемы условие Куранта должно соблюдаться во всех точках сетки. Другими словами, шаг по времени определяется размерами самой мелкой ячейки. Именно по этой причине вычисление решения для больших областей с неравномерной сеткой по явной схеме может потребовать чрезмерных затрат машинного времени.

Альтернативой для явных схем являются неяьные методы. Различные особенности применения неявных методов для решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса рассмотрены в [29, 30, 32, 34, 35, 54, 57, 72, 78, 83, 91, 92, 96, 111, 112, 113] и др.

Преимущество, которое дают неявные методы, заключается в том, что выбор временного шага в них не ограничен условием Куранта (0.1). При использовании неявных методов расчет на сетке даже с очень мелким шагом по пространству возможен с достаточно крупным шагом по времени [2], что, с точки зрения точности, зачастую оказывается вполне возможным. В неявных схемах At либо совсем не зависит от Ах, либо такая зависимость имеется, но более слабая, чем условие (0.1).

Основным недостатком неявных схем является то, что их применение приводит к необходимости решения систем нелинейных алгебраических уравнений, решение которых, в свою очередь, порождает ряд дополнительных проблем. Например, возникает необходимость хранения матриц, для которых требуемый объем памяти может превысить ресурсы компьютера.

Таким образом, явные методы являются экономичными с точки зрения потребностей машинной памяти и неэкономичными с точки зрения затрат машинного времени. В свою очередь, неявные методы более эффективны в смысле временных затрат, но могут потребовать чрезмерного объема машинной памяти. Поэтому актуальной задачей является создание эффективной методики на основе неявных методов, которая позволяла бы получить решение за приемлемое время при приемлемых потребностях машинной памяти.

Следует отметить, что неявные схемы не во всех случаях оказываются более экономичными. Например, при решении нестационарных задач для бы-стропротскающих процессов требование ти'шосги может привести к более жесткому ограничению на шаг по времени, чем условие Куранта (0.1). В таком случае более целесообразным является применение явных схем. С точки зрения преимуществ явных схем в сравнении с неявными в работе [34] отмечается также, что для неявных разностных схем расщепления сложной является реализация краевых условий.

В работе [71] вывод о предпочтительности явной схемы для расчета вязких турбулентных течений обосновывается ссылкой на [106], где для явной и неявной разностных схем приведено сопоставление точности и времени, необходимого для получения решения на примере пограничного слоя на плоской пластине и слоя смешения. Модели турбулентности и расчетные сетки одинаковы. В результате такого сопоставления в [71] сделаны следующие выводы:

1. Амплитудные ошибки, порождаемые неявной схемой, больше аналогичных ошибок явной схемы. Отличие увеличивается при увеличении шага по времени. Поэтому качество решения по неявной схеме хуже, чем при расчете по явной схеме. Это приводит к проблемам со сходимостью решения по неявной схеме, особенно в случае сложной структуры рассчитываемого течения.

2. Сходимость решения по явной схеме может быть значительно ускоре на за счет применения локального шага по времени. Применение локального шага по времени приводит к нефизическому описанию нестационарного процесса, но в глобальном смысле. Развитие процесса в каждой ячейке в любой момент времени описывается корректно.

3. Тестовые расчеты по явной и неявной схемам дали близкие результаты, которые находятся в хорошем соответствии с теоретическими результатами. Требуемое время расчета для обоил методов одинаковое. Ко в случае неявной схемы при расчете двумерных течений потребности в виртуальной памяти в 18 раз больше, чем для явной схемы. Для трехмерных расчетов это отличие будет еще более сильным.

4. Реальная продуктивность и надежность неявных схем такова, что декларируемые числа Куранта порядка миллиона могут достигаться лишь после «подготовки», т. е. шагов по явной схеме или неявной схеме с малыми числами Куранта.»

Поэтому в [71] предлагается использовать явные схемы и метод ускоренного распространения возмущений.

Для преодоления недостатков и эффективного использования достоинств как явных, так и неявных методов некоторые авторы, например [21, 77, 40], применяют параллельно оба этих подхода. При этом одни чередуют вычисления по явным и неявным схемам, другие используют разложение оператора на явную и неявную части. Следует отметить, что описанные в цитируемых работах явно-неявные методы применимы лишь для областей, покрытых регулярными сетками.

Для повышения эффективности вычислительных алгоритмов в литературе авторами использовались и другие способы организации вычислений многосеточные методы, различные способы факторизации матрицы системы линейных уравнений и т. д.) в рамках только явных или неявных схем [5, 22, 25,39, 41, 64] и др.

Схемы высокого порядка аппроксимации.

Как известно, одна из основных особенностей газовой динамики связана с возможностью образования разрывов (скачков) точного решения даже в том случае, когда начальные данные представляют собой гладкие функции. Эта особенность накладывает на разностные методы специфические требования, так что эффективность того или иного метода численного решения задач газовой динамики во многом определяется тем, насколько эффективной в нем оказывается организация расчета скачков.

При сквозном интегрировании уравнений газовой динамики для улавливания скачков в разностную схему вносят явную или неявную «искусственную» вязкость [53]. Преимуществом такого подхода является простота, однако при этом остаются существенные недостатки: а) зона перехода, связывающая состояние среды по обе стороны разрыва занимает достаточно большое число сеточных узлов (4-10 в зависимости от конечно-разностной схемы и интенсивности разрыва). Если скачком является контактный разрыв, то ширина зоны перехода обычно растет со временем пропорционально величине где п - число временных шагов, г - точность схемы [82]; б) в зоне перехода численное решение не всегда является монотонным.

Для преодоления недостатков типа (а) можно использовать разностные схемы высокого порядка аппроксимации. Их можно получить различными способами. Среди схем высокого порядка аппроксимации наиболее широко применяются схемы с многоточечными шаблонами [8, 23, 26, 83, 107], компактные разностные схемы [60, 61], схемы, полученные с использованием различных форм дифференциальных уравнений и их следствий [20, 63].

Классические схемы второго порядка аппроксимации типа Лакса—Вен-дроффа [101] на адаптивно-встраивающихся сетках, как правило, приводят к немонотонным решениям в зонах скачков газодинамических переменных и требуют тщательного подбора диссипативных членов для подавления нефизических осцилляций. Этих недостатков, вне зависимости от порядка точности, лишены схемы, обладающие свойством TVD (Total Variation Diminishing) [83, 111]. В настоящее время TVD схемы получили широкое применение.

В основу метода TVD положен принцип невозрастания полной вариации решения. Полная вариация сеточной функции qn оо

TV(q?) = £ |q?+l-q?\, j——ОО согласно принципу TVD, должна удовлетворять условию

ZV(qn+1) < TV(qre), где верхние индексы п и п + 1 обозначают номера двух последовательных временных слоев tn и tn+\. Для обеспечения выполнения принципа невозрастания полной вариации решения применяется нелинейная функция ограничения [10]. Обычный путь получения схем более высокого порядка аппроксимации состоит во введении «антидиффузионных потоков», обеспечивающих выполнение условия TVD. Подобные схемы обладают некоторыми преимуществами по сравнению со многими традиционными схемами с «искусственной» вязкостью. Они не приводят к образованию нефизических осцилляций в областях разрывов и имеют высокие разрешающие свойства: зоны перехода в области скачков узки и составляют не более 2-4 ячеек., В настоящей работе применяется алгоритм интегрирования, разработанный в [83] на основе схемы Хартена второго порядка аппроксимации по пространству в областях гладкого изменения решений.

Теоретически доказано, что повышенный порядок аппроксимации ТУБ схемы обеспечивается на гладких функциях, т. е. в тех случаях, когда можно использовать разложение решения в ряд Тейлора [51], [56]. Вместе с тем, на газодинамических особенностях: скачках уплотнения, контактных разрывах - эти схемы не дают столь же высокой точности численного решения. В работах [28], [43], [46], [73] показано, что сквозной счет снижает порядок аппроксимации за разрывом до первого. Часто является полезным более тщательное определение порядка точности численного решения. Это важно, например, для построения адаптивных сеток, обеспечивающих равномерно низкий уровень вычислительной погрешности по всей расчетной области. В соответствии с рекомендациями и пожеланиями, которые обсуждаются в [33], в настоящей работе приводится численное исследование точности решения, полученного на основе схемы ТУБ первого и второго порядков аппроксимации. При этом находится зависимость нормы ошибки от изменения шага разностной сетки. Для определения точности численного решения рассматриваются нестационарная одномерная задача о столкновении двух ударных волн разной интенсивности [76], одномерная задача о распаде разрыва и двумерная задача о внутреннем течении сверхзвукового потока газа с формированием наклонного скачка уплотнения и волны разрежения, взаимодействующих между собой [28].

Граничные условия.

Вопросам аппроксимации граничных условий неявным,методом посвящены работы [4, 68, 49, 72, 78, 105, 81, 75]. В настоящей работе для аппроксимации граничных условий используется следующий способ [4].

Чтобы не нарушать единообразия вычислений и не применять особых формул для граничных ячеек, вдоль всех границ вводятся слои фиктивных ячеек, расположенных вне расчетной области. В эти ячейки засылаются параметры потока из смежных ячеек, расположенных внутри расчетной области. Введение фиктивных ячеек позволяет осуществлять сквозной расчет всех ячеек области по единому алгоритму. Число слоев фиктивных ячеек определяется порядком разностной схемы (для схемы первого порядка - один слой, для схемы второго порядка - два и т.п.). Для используемой в настоящей работе конечно-разностной схемы ТУБ второго порядка аппроксимации требуется два слоя фиктивных ячеек вдоль каждой границы расчетной области. На рис. 0.1 показаны фиктивные ячейки, прилегающие к каждой границе, и внутренние приграничные ячейки. Пусть К и Ь - максимальное число ячеек вдоль координат х и у соответственно. Тогда общее число ячеек конечно-разностной сетки К х Ь. Внутренних ячеек меньше. Если координаты центра рассматриваемой ячейки обозначить через к, то 3 < к < К — 2, 3 <1 < Ь — 2.

Следует различать два рода границ: твердая граница (или ось симметрии) и «открытая» граница расчетной области [4].

На твердых стенках нормальная компонента скорости обращается в нуль, что выражает условие непротекания. Для численной реализации этого условия нормальная к границе компонента скорости в фиктивной ячейке прини

3,L-2)

3,3)

К-2Х-2У

1=1 i=l 3 к

Рис. 0.1. Фиктивные граничные и приграничные ячейки расчетной, области. мается равной по величине, но противоположной по знаку нормальной компоненте скорости соседней приграничной ячейки расчетной области. Другая компонента скорости, как и все другие параметры потока, в фиктивных ячейках полагаются равными их значениям в соответствующих приграничных ячейках расчетной области.

Через «открытые» границы области газ может втекать или вытекать, так что на них должны быть обеспечены условия непрерывности движения. Если газ втекает в прямоугольную расчетную область, покрытую прямоугольной сеткой, с левой стороны, то на левой границе задаются параметры набегающего потока: щ,1 = Uoo, vkj = Vco, pkj = poo, Pk,i = Poo, к = 1,2; 1 < I < L. (0.2)

Если через остальные «открытые» границы области газ вытекает, то на них проводится экстраполяция параметров потока «изнутри», т. е. в фиктивный слой переносятся значения параметров из ближайших к границе слоев. Например, при экстраполяции нулевого порядка имеем:

Uk,l = UjK-2,h Vk,l=VK-2,h Pk,l = PK-2,h Pk,l=PK-2,h к = К-1,К; 1 < I < L.

0.3)

Динамически адаптивные сетки

При описании применения динамически адаптивных сеток будем следовать работам [10, 11, 13]. Методы динамически адаптивных сеток представляют собой один из наиболее эффективных подходов для повышения точности численного решения в расчетных областях для задач с разномасштабной структурой потока. Основная идея методов динамически адаптивных сеток состоит в уменьшении размеров ячеек в тех зонах расчетной области, в которых возникают большие ошибки численного решения [37]. Ошибка численного решения представляет собой разность точного и численного решения в некоторой норме. Так как в большинстве задач искомое решение неизвестно, то невозможно заранее определить и ошибку численного решения. Наибольшие ошибки возникают в областях быстрого изменения газодинамических функций [58, 66]. Поэтому градиент газодинамических функций можно использовать в алгоритме адаптации сетки в качестве параметра для определения областей сгущения или разрежения узлов с целью обеспечения равномерно низкого уровня ошибки во всей расчетной области. Ясно, что более плотное расположение узлов сетки в областях с большими градиентами может обеспечить понижение уровня ошибки численного решения.

Адаптивные сетки по способу подстраивания под особенности решения можно разделить на два класса: адаптивно-подвижные и адаптивно-встраивающиеся [11, 7].

Адаптивно-подвижные сетки состоят из фиксированного числа узлов с фиксированным порядком нумерации, которые по ходу решения перераспределяются из своего начального положения, собираясь в зонах с большими градиентами газодинамических переменных. Такой способ адаптации привлекает своей простотой и возможностью использования практически любой существующей программой при ее незначительных изменениях. Недостатком адаптивно-подвижных сеток является конкурентная борьба различных зон за приобретение дополнительных ячеек из фиксированного набора. Это часто приводит к большим искажениям ячеек и, как следствие, к потере точности решения в целом. В настоящей работе используются адаптивно-встраивающиеся сетки, поэтому рассмотрим их более подробно.

Адаптивно-встраивающиеся сетки.

Адаптивно-встраивающиеся сетки предполагают «встраивание» дополнительных ячеек в те зоны расчетной области, где имеют место значительные изменения параметров газового потока [37]. Такой подход позволяет строить сетки с равномерным распределением градиентов параметров газового потока (можно условно говорить о равномерной ошибке численного решения) во всей расчетной области. В отличие от методов подвижных сеток методы адаптивно-встраивающихся сеток несопоставимо более сложны с точки зрения алгоритмизации и программирования, так как структура получающейся сетки не является однородной. Более того, при решении нестационарных задач структура сетки может меняться во времени. В настоящей работе используется «встраивание» дополнительных ячеек в те зоны расчетной области, где перепад плотности превышает заранее заданный уровень. Градиент плотности, а не давления выбран постольку, поскольку на контактных разрывах давление непрерывно.

В настоящей работе построение адаптивно-встраивающихся сеток осуществляется следующим образом. Первоначально расчет производится на гру/ бой сетке. Ячейки этой начальной сетки называются ячейками первого уровня, а сама сетка - сеткой первого уровня. Затем строится новая сетка, некоторые ячейки которой являются более мелкими. Расположение узлов в ней учитывает особенности течения, найденные на грубой сетке. Новые, более мелкие ячейки этой новой сетки называются ячейками второго уровня. Ячейки второго уровня создаются путем разбиения на четыре части ячеек сетки первого уровня. Делается это лишь там, где требуется повысить точность вычислений. Аналогичным образом над ячейками второго уровня могут быть созданы ячейки более высокого третьего уровня и т. д. Уровень сетки определяется уровнем самой мелкой ее ячейки. На рис. 0.2 показаны ячейки трех последовательных уровней щ — 2, щ — 1 и щ. Ячейки, над которыми создаются новые, называются закрытыми, а все остальные - открытыми. Расчет газодинамических переменных осуществляется только в открытых ячейках. Поэтому открытые ячейки называются еще расчетными.

Для проведения расчетов на адаптивно-встраивающихся сетках требуется специальная организация структуры данных [11]. Так, при записи конечно-разностной схемы, используемой в настоящей работе, в ячейке с координатами (к,1) используются значения газодинамических переменных в виде компонент вектора в восьми прилегающих ячейках, составляющих шаблон схемы. Ячейки обычной регулярной сетки располагаются упорядочение с простыми отношениями связи, позволяющими легко организовать выборку необходимой информации из любой ячейки шаблона. Для адаптивно-встраивающихся сеток, которые не являются регулярными, отношения связи между ячейками становятся более сложными: каждая из сторон рассматриваемой ячейки может граничить с различным числом ячеек разных уровней.

В нестационарных задачах это окружение может меняться: ячейки могут то уничтожаться, то создаваться в соответствии с выбранным критерием.

Так как конечно-разностная схема ТУБ, применяемая в настоящей работе для численного решения уравнений Эйлера, использует шаблон, состоящий из 9 ячеек, то при создании новых ячеек любого уровня для каждой из них формируется соответствующее

1 ГЦ

• ф ф

Щ - ф 2 щ - 2 окружение из ячеек своего уровня. Не все ячейки, со

Рис. 0.2. Ячейки трех ставляющие шаблон, являются расчетными. Некотоуровней рые из них используются как вспомогательные и называются фиктивными. На рис. 0.2 фиктивные ячейки, расположенные в ячейках низших уровней, помечены буквой «ф». Такие ячейки необходимы для обеспечения сквозного счета без выделения приграничных. В фиктивных ячейках газодинамические переменные определяются как /г- = /с, где индексом с обозначены переменные той ячейки меньшего уровня, в которой находится ьая. Над каждой ячейкой могут создаваться только по четыре ячейки более высокого уровня. Уничтожаться (объединяться) могут также только группы из четырех ячеек, расположенных над одной и той же ячейкой низшего уровня, при условии, что каждая из них удовлетворяет выбранному критерию уничтожения.

Для продолжения счета параметры течения /г- переносятся с грубой сетки на мелкую, после чего продолжается интегрирование уравнений. При создании группы из четырех ячеек более высокого уровня переменные в них определяются с помощью простейшей интерполяции нулевого порядка = 1 < { < 4, где гх - номер ячейки, которая указанным образом делится на 4 новые. При уничтожении группы из четырех ячеек переменные

Рис. 0.3. Решение задачи о сверхзвуковом потоке невязкого газа в канале с переменным сечением в виде изолиний функции плотности в заменяющей их ячейке низшего уровня с номером гх находятся из соотношений 4 fix —

2=1 где Si - площадь г-й ячейки, 4

Six = ^ ] S{. г=1

Процесс измельчения сетки может быть повторен несколько раз, при этом построение все более мелких ячеек проводится до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность решения. На рис. 0.3 в виде изолиний плотности представлено решение задачи о сверхзвуковом потоке невязкого газа в канале с переменным сечением на адаптивно-встраивающейся сетке третьего уровня. Это решение и сетка получены с помощью алгоритмов, используемых в настоящей работе. Видно, что самые мелкие ячейки сетки располагаются именно там, где решение меняется наиболее сильно. Равномерная сетка, обеспечивающая получение решения такой же точности, имела бы в 20-30 раз большее число узлов, так что расчеты на ней потребовали бы значительно больших вычислительных затрат.

Адаптивные сетки позволяют рассчитывать поле течения во всей области с одинаковой точностью. Методы динамически адаптивных сеток представля ют собой один из наиболее эффективных подходов для численного решения задач газовой динамики в расчетных областях с разномасштабной структурой потока.

Методы линеаризации систем нелинейных алгебраических уравнений.

Обычно для решения системы нелинейных алгебраических уравнений, полученной в результате конечно-разностной аппроксимации уравнений Эйлера, применяется ее линеаризация. От выбранного метода линеаризации во многом зависят свойства матрицы системы линейных алгебраических уравнений, а следовательно, и методы решения этой системы. Различные способы линеаризации (метод запаздывающих коэффициентов, метод простой итерационной замены коэффициентов, линеаризация по Ньютону или квазилинеаризация, метод экстраполяции коэффициентов), а также рекомендации по их применению приведены в [1, 110, 111]. Используемая в настоящей работе линеаризация основана на методе Ньютона. В случае применения регулярной сетки матрица линеаризованной системы является блочно-пятидиагональной с размером блоков 4 х 4, а в случае нерегулярной сетки - разреженной матрицей с нерегулярной структурой.

Методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений.

Проблема решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка - классическая задача вычислительной математики, сохраняющая свою актуальность на любом уровне развития компьютерных технологий.

Особое место здесь занимают системы с разреженными матрицами специаль ной структуры, возникающие из сеточных аппроксимаций многомерных краевых задач. Они предъявляют особо жесткие требования к быстродействию и оперативной памяти компьютеров, а также используемым вычислительным алгоритмам.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений вида

Ах = b (0.4) на практике, как правило, используются итерационные методы такие, как метод Гаусса-Зейделя, метод последовательной верхней релаксации SOR, метод переменных направлений ADI, методы минимизации и т.д. [1, 31, 42]. Применение всех перечисленных методов ограничивается свойствами матрицы А рассматриваемой системы. Например, метод Гаусса-Зейделя применим лишь тогда, когда матрица системы обладает свойством диагонального преобладания или является М-матрицей [42]. Матрица А =■ (аг-,у)?1)П называется М-матрицей, если она обладает следующими четырьмя свойствами:

1) ai:i > 0 для i = 1,2,. ,гг;

2) di,j < 0 для i ф j, i,j = 1,2,., n;

3) А - невырожденная матрица;

4) А-1 > 0, т. е. все элементы обратной матрицы неотрицательны. Методы минимизации требуют симметричности и положительной определенности матрицы. Метод ADI можно использовать только для матриц с регулярной структурой. Однако матрица системы, полученной в результате линеаризации нелинейной системы конечно-разностных уравнений на неструктурированной сетке, в общем случае не обладает ни одним из перечисленных свойств, поэтому для системы линейных алгебраических уравнений, необхои " димость решения которой возникает в настоящей работе, вышеописанные методы не подходят. Практически все современные методы решения систем вида (0.4) с несимметричной матрицей А относятся к методам подпространств Крылова [31].

Определение. Пусть А - невырожденная матрица, Рп(А) - множество всех многочленов до п-го порядка включительно, а Го - некоторый ненулевой вектор. Тогда тг-мерным подпространством Крылова, порождаемым Го и А, называется множество векторов

С„(г0, А) = Ф(А)г0, Ф(А) Е Рп-х(А).

Классом итерационных методов подпространств Крылова называется такой класс, в котором все последовательные приближения хп к точному решению А-1Ь при выбранном начальном векторе хо ищутся в виде

Хп £ /С°(г0, А) = е х0 + /С„(г0, А)},

Го — Ь — Ахо, л = 1,2,

Целью алгоритмов из этого класса является выбор на каждой итерации многочлена Ф(А) так, чтобы вектор гп был наименьшим в той или иной норме.

К классу итерационных методов подпространств Крылова относится и метод обобщенной минимизации невязки СМЫЕЗ, предложенный и исследованный Саадом и Шульцем [103]. Этот метод используется в настоящей работе. Описание метода ОМПЕБ и его модификаций имеются в [17, 31, 78, 79, 94,103, 104]. Его эффективность по сравнению с рядом других методов показана в [93,100]. Алгоритм метода СМЛЕЗ основан на ортогонализационном процессе В. Арнольди и модифицированной процедуре Грама-Шмидта [31, 104], с помощью которых строится ортонормированный базис подпространства Крылова.

Для повышения эффективности метода GMRES часто применяется так называемое предобуславливание. Оно заключается в том, что исходная система (0.4) заменяется системой вида

L1AU1y = L-1b

J i л m yv.uj

Ux = y, а затем система (0.5) решается методом GMRES.

Матрицы L и U называются соответственно левым и правым предобуслав-ливателями. Они подбираются так, чтобы свойства матрицы системы (0.5) были лучше, чем свойства матрицы А. Различные предобуславливатели для уравнений Эйлера и Навье-Стокса описаны в [93, 103, 104, 108] и др. К сожалению, не существует способа, позволяющего заранее прогнозировать, насколько удачным окажется тот или иной предобуславливатель. Как подчеркивается в [103], «нахождение хорошего предобуславливателя для решения данной разреженной линейной системы часто представляется комбинацией искусства и науки».

Целью диссертационной работы является создание в рамках модели Эйлера и метода установления экономичной методики, алгоритма и комплекса программ численного решения двумерных стационарных задач газовой динамики при наличии различных особенностей (интенсивных ударных волн, контактных разрывов) на основе неявного TVD метода повышенного порядка аппроксимации на адаптивно-встраивающихся сетках в областях с криволинейными границами.

Научная новизна заключается в том, что в работе

1. В рамках модели Эйлера и метода установления разработана новая методика решения стационарных задач газовой динамики с особенностями на основе комбинирования неявной и явной ТУБ схем повышенного порядка аппроксимации на адаптивно-встраивающихся сетках в областях с криволинейными границами. Предложены три стратегии комбинирования вычислений по неявным и явным схемам. Созданы алгоритм и комплекс программ, реализующие предложенную методику.

2. Проведено численное исследование эффективности предложенной методики на модельных задачах. Установлено, что реализованные в методике стратегии комбинирования неявных и явных схем позволяют сократить время получения численного решения заданной точности в 5.5 - 11 раз по сравнению с расчетами по чисто явной схеме.

3. Проведено численное исследование влияния входных параметров алгоритма ОМРЖЗ решения систем линейных алгебраических уравнений на его сходимость. Определены оптимальные значения этих параметров, что позволяет повысить эффективность предложенной методики и сократить затраты компьютерных ресурсов.

4. Проведено численное исследование точности широко используемых явных ТУБ схем первого и второго порядка аппроксимации на газодинамических особенностях (скачки уплотнения, тангенциальные разрывы, волны разрежения) в одно- и двумерных задачах. Установлено, что для рассмотренных схем точность численного решения на всех газодинамических особенностях уменьшается в два и более раза. При этом точность схем второго порядка аппроксимации остается выше по сравнению со схемами первого пбрядка.

Научная и практическая ценность работы.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при изучении невязких стационарных уравнений газовой динамики. Разработанная методика реализована в виде комплекса программ и пригодна для исследования широкого класса задач сверхзвуковой аэродинамики.

Многие блоки программного комплекса, связанные с упаковкой больших матриц и обработкой упакованных массивов, решением систем линейных алгебраических уравнений высоких порядков, представляют самостоятельный интерес и могут независимо использоваться в других программах.

Работа выполнена в лаборатории вычислительной динамики сплошной среды Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН и кафедре вычислительной математики Казанского государственного педагогического университета. Ряд результатов диссертационной работы получен в рамках проектов, финансировавшихся РФФИ (гранты N 98-01-00257 и 01-01-00171) по темам «Численное моделирование внутренних отрывных течений вязкого газа на динамически адаптивных сетках», «Разработка и применение трехмерных адаптивно-подвижных и адаптивно-встраивающихся сеток для внутренних задач газодинамики и теплообмена».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

- Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и их приложения» (г. Казань,1999 г.);

- XIII Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», посвященной памяти Константина Ивановича Бабенко. (г. Пущино^ 2000 г.);

- IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология.» (г. Чебоксары, 2001 г.);

- Международной конференции «Математическое моделирование-2001 (ММ-2001)» (г. Самара, 2001 г.);

- Республиканской научно-практической конференции «Интеллектуальные системы и информационные технологии» (г. Казань, 2001 г.);

- научных семинарах Института механики и машиностроения КНЦ РАН в 2001 г.

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них 1 статья [14], 2 опубликованных доклада [16, 17], 3 тезисов докладов [15, 18, 67]. Работы [15, 16, 17, 18] выполнены совместно с Гильмановым А.Н., [14] - Гильмановым А.Н., Пановой А.М. и Гусевой Т.С.

Вклад соавторов заключается в следующем.

Гильманову А.Н. принадлежат постановка рассмотренных в цитируемых работах задач, разработка методики численного решения уравнений Навье-Стокса, сочетающей явную ТУБ схему второго порядка аппроксимации и динамически адаптивные сетки, программная реализация алгоритмов построения динамически адаптивно-встраивающихся сеток и интегрирования уравнений Навье-Стокса по явной схеме Т\Ч), анализ и обсуждение полученных результатов.

Пановой А.М. принадлежит расчет торможения сверхзвукового потока газа в псевдоскачке, а Гусевой Т.С. — расчет торможения сверхзвукового потока газа в плоском канале при теплообмене через боковые стенки.

Автору принадлежат разработка методики и программного комплекса для численного решения уравнений Эйлера на основе неявных схем на динамически адаптивно-встраивающихся сетках, включающей комбинирование неявных и явных конечно-разностных схем, программная реализация алгоритма формирования линеаризованной системы алгебраических уравнений, порождаемых неявной схемой, алгоритмов выполнения различных матричных операций для разреженных матриц в упакованном формате, алгоритма ОМПЕБ, проведение расчетов и анализ полученных результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, изложенных на 134 листах машинописного текста, включая рисунки и список использованной литературы из 113 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Хисматуллина, Наиля Абдулхаевна

§3.4 Выводы.

По итогам третьей главы можно сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. На тестовых задачах о стационарном скачке уплотнения в системе координат, связанной с фронтом волны, об обтекании угла сжатия сверхзвуковым потоком идеального газа и о течении Прадтля-Майера продемонстрирована работоспособность предлагаемой в настоящей работе методики расчета стационарных задач сверхзвуковой газовой динамики и реализующего ее комплекса программ. Относительная погрешность приближенного решения по сравнению с эталонным во всех решенных задачах не превышает 1.5%.

2. Эффективность предлагаемой методики показана на модельных задачах о сверхзвуковом течении газа в канале переменного сечения и о торможении сверхзвукового потока в воздухозаборнике. Проведенные расчеты показали, что по сравнению с использованием чисто явной схемы эта методика позволяет сократить процессорное время от 5.5 до 11 раз при сохранении качества численного решения.

3. Проведенное численное исследование точности явной схемы TVD второго и схемы типа «upwind» первого порядка аппроксимации на газодинамических особенностях показывает, что для рассмотренных схем точность численного решения на всех газодинамических особенностях во всех рассмотренных задачах уменьшаются в два и более раза, но несмотря на это, применение схем второго порядка аппроксимации является более предпочтительным по сравнению со схемами первого порядка аппроксимации из-за большей относительной точности и меньшей диффузионности численного решения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

По итогам выполнения исследований можно сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. В рамках модели Эйлера и метода установления разработаны новая эффективная методика и комплекс программ для решения стационарных двумерных задач газовой динамики с особенностями типа ударных волн, контактных разрывов в областях с криволинейными границами. Эффективность методики достигается за счет применения неявной ТУВ схемы повышенного порядка аппроксимации, динамически адаптивно-встраивающихся сеток, линеаризации на основе метода Ньютона, использования экономичных алгоритмов формирования системы линейных алгебраических уравнений при расчетах на регулярных и нерегулярных сетках, алгоритма обобщенной минимизации невязки (СМЕЕБ) с предобуславливанием для решения систем линейных уравнений, различных способов упаковки разреженных матриц. Для сочетания преимуществ явной и неявной схем предложены и реализованы три стратегии их совместного применения.

2. Проведено численное исследование эффективности (экономичности в смысле затрат процессорного времени) предложенной методики на модельных задачах о торможении сверхзвукового потока невязкого газа в канале переменного сечения и воздухозаборнике. При этом результаты расчетов по явной схеме используются в качестве эталонного решения. Установлено, что

113

-114предложенная методика позволяет снизить затраты процессорного времени от 5.5 до И раз.

3. Проведено численное исследование влияния входных параметров алгоритма СМКЕБ на его сходимость. Выявлены оптимальные значения этих параметров, позволяющие повысить эффективность предложенной методики.

4. Выполнено численное исследование точности используемой в методике мвной схемы ТУС и схемы первого порядка аппроксимации на скачках уплотнения, тангенциальных разрывах и волнах разрежения. Рассмотрены одномерные и двумерные задачи. Установлено, что для обеих схем точность численного решения на всех газодинамических особенностях уменьшается в два и более раза. При этом точность схемы второго порядка аппроксимации остается выше по сравнению со схемами первого порядка. Поэтому схемы повышенного порядка аппроксимации предпочтительнее не только в гладких областях решения, но и в окрестностях слабых и сильных разрывов газодинамических функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хисматуллина, Наиля Абдулхаевна, 2002 год

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен: В 2-х т. М.: Мир, 1990.- Т.1 392 с.1. Т.2 728 392 с.

2. Башкин В. А., Егоров И. В., Иванов Д. В. Применение метода Ньютона к расчету внутренних сверхзвуковых отрывных течений// Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т.38. N1. С. 30-42.

3. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений: В 2-х т. М.: Физмат-гиз, 1962.- Т.1 632 с. Т.2. 640 с.

4. Белоцерковский О. М. Вычислительный эксперимент: прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Больцмана// Численные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1981. С. 348-396.

5. Буратинский Э. К., Кофи Д. А. Расчет обтекания решеток профилей на основе численного решения уравнений Эйлера с помощью неявной схемы Ьи// Аэрокосмич. техника. 1986. N7. С. 38-48.

6. Величко С. А., ЛифшицЮ. Б., Нейланд В. М., Солнцев И. А., СорокинА. М. Численное моделирование трансзвукового обтекания профиля крыла- 121в аэродинамической трубе// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. N10. С.1518-1537.

7. Ворожцов Е. В., Яненко Н. Н. Методы локализации особенностей при численном решении задч газодинамики. Новосибирск: Наука, 1985. 224 с.

8. Вязников К., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа// Мат. моделирование. 1989. Т.1. N5.1. С. 83-104.

9. Гаранжа В. А., Коныпин В. Н. Численные алгоритмы для течения вязкой жидкости, основанные на консрвативных компактных схемах высокого порядка аппроксимации//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1999. Т.39. N8. С. 1378-1392.

10. Гильманов А. Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Наука, 2000. 248 с.

11. Гильманов А. Н. Численное моделирование обтекания потоком газа жестких и деформируемых тел// Дисс. на соискание уч. степ. д. ф.-м. н. Казань, 1996. 304 с.

12. Гильманов А. Н. Локально-характеристический подход в разностной схеме повышенного порядка аппроксимации//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2000. Т.40. N4. С. 557-561.

13. Гильманов А. Н., Хисматуллина Н. А. Неявная схема для модели вязкого теплопроводного газа// Интеллектуальные системы и информационные технологии: Труды республиканской научно-практической конференции 30 октября 1 ноября 2001 г. Казань, 2001. С. 236.

14. Гильманов А. Н., Хисматуллина Н. А. Неявное решение уравнения Эйлера на динамически адаптивно-встраивающихся сетках// Математическое моделирование (ММ-2001). Труды Международной конференции. Самара, 2001. С. 93-95.

15. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

16. Груднитткий В. Т., Прохорчук Ю. А. Один прием построения разностных схем с произвольным порядком аппроксимации для дифференциальных уравнений в частных производных// ДАН СССР. 1977. Т.224. N6. С. 1249-1252.

17. Гупта Р. Н., Гноффо П. А., Маккормак Р. В. Расчет вязкого течения в ударном слое явно-неявным методом// Аэрокосмич. техника. 1986. N2. С. 105-117.

18. Джеймсон А., Юнь С. Решение уравнений Эйлера с помощью многосеточного метода и неявных схем// Аэрокосмич. техника. 1987. N6. С. 85-94.

19. Диянкова Е. В., Широковская О. С. Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса// Мат. моделирование. 1994. Т.6. N2. С. 113-122.

20. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983. 200 с.

21. Задорин А. И., Игнатьев В. Н. О численном решении уравнения с малым параметром при старшей производной// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23. N3. С. 620-628.

22. Иванов М.Я., Крайко А. Н. Об аппроксимации разрывных решений при использовании разностных схем сквозного счета. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. N3. С. 780-783.

23. Иванов М. Я., Крупа В. Г. Неявный нефакторизованный метод расчета турбулентных течений вязкого теплопроводного газа в решетках турбо-машин//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1991. Т. 31. N5. С. 754-766.

24. Йи Г. С., Хартен А. Неявные схемы TVD для гиперболических систем уравнений, записанных в консервативной форме относительно системы криволинейных, координат//Аэрокосмич. техника. 1987. N11. С. 11-21.

25. Ильин В. П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Физматлит, 1995. 288 с.

26. Казье Ф., Деконинк Г., Хирш Ч. Класс бидиагональных схем для решения уравнений Эйлера// Аэрокосмич. техника. 1985. Т.З. N8. С. 55-64.

27. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

28. Крупа. В.Г. О построении разностных схем повышенного порядка точности для гиперболических уравнений// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38. N.1. С.85-98.

29. Кэллиндерис Я. Дж., Бэрон Дж. Р. Применение адаптивных методов для решения уравнений Навье-Стокса// Аэрокосмич. техника. 1989. Т. 7. N10. С.122-132

30. Лапин А. В. Введение в теорию вариационных неравенств. Казань, изд-во Казан, ун-та, 1981. 122 с.

31. Лера А. Неявные схемы второго порядка точности для уравнений Эйлера// Аэрокосмич. техника. 1986. N7. С. 13-23.

32. Маккормак Р. У. Численный метод решения уравнений вязких сжимаемых течений// Аэрокосмич. техника. 1983. N4. С. 114-123.

33. Наполитано М., Уолтере Р. У. Блочный метод релаксаций Гаусса-Зайделя по линиям для решения разностных аналогов (в дельта-форме) уравнений Навье-Стокса// Аэрокосмич. техника. 1987. N2. С. 173-181.

34. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. 367 с.

35. Остапенко В. В. О конечно-разностной аппроксимации условий Гюго-нио на фронте ударной волны, распространяющейся с переменной скоростью//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1998. Т.38. N8. С. 1355-1367.

36. Остапенко В. В. О сильной монотонности разностных схем для систем сохранения//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1999. Т.39. N10. С. 1687-1704.

37. Остапенко В.В. О сходимости на ударной волне разностных схем сквозного счета инвариантных относительно преобразования подобия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т.26. N.11. С.1661-1678.

38. Остапенко В. В. О сходимости разностных схем за фронтом нестационарной ударной волны// Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1997. Т.37. N10. С. 1201-1212.

39. Остапенко В. В. Разностная схема повышенного порядка сходимости на нестационарной ударной волне // Сибирский ж. вычисл. матем. 1999. Т.2. N1. С.47-56.

40. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. 410 с.

41. Рай M. М., Шоссе Д. С. Новые неявные схемы аппроксимации граничных условий, теория и приложения//Аэрокосмич. техника. 1985. Т.З. N2. С. 123-131.

42. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. М.: Мир, 1980, 480 с.

43. Пинчуков В.И. О построении монотонных схем типа предикторкорректор произвольного порядка аппроксимации // Матем. моделирование. 1991. Т.З N9. С. 95-103.

44. Похилко В.И., Тишкин В.Ф. Однородный алгоритм расчета разрывных решений на адаптивных сетках// Матем. моделирование. 1994. Т.6. N11. С. 25 40.

45. Рнхтмайер Р.; Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972, 418 с.

46. Росляков Г. С., Федоренко В. В. Полностью неявные методы расчета пространственных течений газа в соплах//Мат. моделирование. 2000. Т.12. N4. С. 83-104.

47. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

48. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений // Докл. АН СССР. 1968. Т.180. N6. С.1303-1305.

49. Сакович B.C. Решение уравнений Эйлера на неструктурированных сетках при помощи многосеточного метода//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1994. Т.34. N12. С. 1867-1883.

50. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

51. Толстых А. И. О методе численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса// ДАН СССР. 1983. Т.210. N2. С.48-51.

52. Толстых А.И. О сгущении узлов разностных сеток в процессе решения и применении схем повышенной точности при численном исследовании течений вязкого газа// Журн. вычисл. матем. 1978. Т.18. N1. С.139-153.

53. Тушева А. А., Шокин Ю. Н., Яненко Н. Н. О построении разностных схем повышенного порядка аппроксимации на основе дифференциальных следствий// Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1975. С.184-191.

54. Уорном С. Ф., Хафез М. М. Неявная консервативная схема численного решния уравнений Эйлера// Аэрокосмич. техника. 1987. N7. С. 48-58.

55. Федорова Н. Н., Борисов А. В. Расчет турбулентных отрывных течений на основе метода повышенного порядка аппроксимации// Теплофизика и аэромеханика. 1995. Т.2. N3. С. 253-269.

56. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т. М.: Мир, 1991.- Т. 1. 532 с. Т. 2. 552 с.

57. Шенг Дж. С. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа// Аэрокосмич. техника. 1986. Т.4. N2. С. 65-92.

58. ТТТкадов В. Я. Запрянов 3. Д. Течения вязкой жидкости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 200 с.

59. Яцкевич Н. С. Методика ускорения расчета вязких турбулентных течений в рамках явной годуноподобной схемы//Мат. моделирование. 2001. Т.13. N7. С. 121-127.

60. Beam R. М., Warning R. F. Ail Implicit Factored Scheme for the Compressible Navier-Stokes Equations// AIAA J. 1978. V.16. N4. P. 393402.

61. Casper J., Carpenter M.N. Computational Consideration for the Simulations of Shock-Induced Sound // SIAM J. Sci.Comput. 1998. V.19. N1. P. 813-838.

62. Collins J. P., Colella P., Glaz H. M. An Implicit-Explicit Eulerian Godunov Scheme for Compressible Flow// J. Comput. Phys. Vol.116. N2. 1995. P. 195-211.

63. Grasso F., Marini M. Lower Upper Implicit Total Variation Diminishing Solution of Viscous Hypersonic Flows// AIAA J. 1992. Vol.30. N9. P. 21842185.

64. Gustafsson B., Nordstrom J. Boundary Conditions for the Navier-Stoke's Equations at an Artifical Boundary Intersecting a Solid Boundary// The Aeronautical Research Institute of Sweeden, Stockholm, 1990. 10 p.

65. Harten A. On a Class of High Resolution Total-Variation-Stable Finite-Difference Scemes// SIAM J. Num. Anal. 1984. Vol. 21. P.1-23.

66. Harten A. On the Symmetric Form of Systems of Conservation Laws with Entropy// J. Comp. Phys. 1983. Vol. 49. N1. P. 151-164.

67. Harten A. Preliminary Results on the Extention of ENO Schemes to Two-Dimensional Problems// Proceedings of the Intern. Conf. on Hyperbolic Problems, 1986.

68. Harten A., Engquist B., Osher S, Chacravarthy S. R. Some Results on Uniformly High Order Accuracy Essentially Non-Oscillatory Schemes// J. of Appl. Num. Math. 1986. Vol. 2. P. 347-367.

69. Harten A. , Engquist B., Osher S, Chacravarthy S. R. Uniformly High Order Accurate Essentially Noil-Oscillatory Schemes,III// J. Comp. Phys. 1987. Vol. 71. N2. P. 231-303.

70. Harten A., Human J. M. A Self-Adjusting Grid for the Computation of Weak Solution of Hyperbolic Conservation Laws// J. Comp. Phys. 1983. Vol. 50. P. 235-269.

71. Hassan 0., Morgan R., Peraire J. An Implicit/Explicit Scheme for Compressible Viscous High Speed Flows// Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 1989. Vol. 76. N3. P. 245-258.

72. Hwang C. J., Lui J. L. Locally Implicit Total-Variation- Diminishing Schemeson Unstructured Triangular Meshes// AIAA J. 1992. Vol.29. N10. P. 16191626.

73. Hwang C. J., Lui J. L. Locally Implicit Hibrid Algorithm for Steady and Unsteady Viscous Flows// AIAA J. 1992. Vol.30. N5. P. 1228-1236.

74. Lee S., Dulikravich G. S. Distributed Minimal Residual (DMR) Method for Acceleration of Iterative Algorithms// Comput. Methods Appl. Mech.Engrg. 1991. V.86. N2. P. 245-262.

75. MacCormack R. W., Caudler G. V. The Solution of the Navier-Stokes Equations Using Gauss-Seidel Line Relaxation// Computers&Fluids, V.17, N1, 1989. P. 135-150.

76. Lawrence S. L., Tannehill J. C., Chaussee D. S. Application of the Implicit MacCormack Scheme to the Parabolised Navier-Stokes Equations// AIAA J. 1984. V. 22. N12. P. 1755-1763.

77. Michl T., Wagner S. Towards an Efficient Modular Parallel Navier-Stokes Solver// Computational Fluid Dynamics'94// Proceedings of the Second European Computational Fluid Dynamics Conference 5-8 September 1994, Stuttgart, Germany. P. 449-454.

78. Munz C. D. On the Numerical Dissipation of High Resolution Schemesfor Hyperbolic Conservation Laws. // J. Cornput. Pliys. 1988. V.77. N.l. P. 18-39.

79. Pervaiz M. M., Baron J. R. Spatiotemporal Adaption Algorithm for Two-Dimensional Reacting Flows// AIAA J. Vol. 27. N10. P. 1368-1376.

80. Roe P. L. Approximate Rieman Solvers, Parameter Vector and Difference Schemes// J. Comput. Pliys. 1981. V. 43. N2. P. 357-372.

81. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1996. 447 p.

82. Shakib F., Hughes T. J. R., Johan Z. A Multi-Element Group Preconditioned GMRES Algorithm for Nonsymmetric Systems Arising in Finite Element Analysis// Comput. Methods Appl. Mech.Engrg. 1989. V. 75. P. 415-456.

83. Warming R., Kutler P., Lomax H. Second and Third Order Noncentered Schemes for Nonlinear Hyperbolic Equations// AIAA J. 1973. Vol. 11. N2. P.189-196.

84. Xu X., Richards B. E. Numerical Advances in Newton Solvers for Navier-Stokes Equations// Computational Fluid Dynamics'94// Proceedings of the Second European Computational Fluid Dynamics Conference 5-8 September 1994, Stuttgart, Germany. P. 363-369.

85. Yee H. C. Construction of Explicit and Implicit Symmetric TVD Schemes and Their Applications// J. Comp. Pliys. 1987. Vol. 68. Nl.P.151-179.

86. Yee H. C. Linearized Form of Implicit TVD Schemes for the Multidimentional Euler and Navier-Stokes Equation// Int. J. on Comp. and Math, with Appl.1986. V. 12A. N4/5. P. 413-432.

87. Yee H. C., Klopfer G.H., Montagne J.-L. High-Resolution Shock-Capturing Schemes for Inviscid and Viscous Hypersonic Flows// J. Comput. Phys. 1990. N88. P. 31-61.

88. Yee H. C., Shinn J. L. Semi-Implicit and Fully Implicit Shock-Capturing Methods for Nonequilibrium Flows// AIAA J. 1989. N3. P. 299-307.

89. Yungster S. Numerical Study of Shock-Wave/Boundary Layer Interactions in Premixed Combustible Gases// AIAA J. 1992. V. 30. N10. P. 2379-2387.