Разработка квазиньютоновской технологии численного анализа уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса для исследования сверхзвуковых отрывных течений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Егоров, Иван Владимирович

• Егоров, Иван Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Егоров, Иван Владимирович

Оглавление.

Введение.

Глава I. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА И РЕЙ-НОЛЬДСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СВЕРХЗВУКОВЫМ ТЕЧЕНИЯМ ГАЗА.

1.1. Постановка задачи.

1.1.1. Дифференциальные уравнения Навье-Стокса.

1.1.2. Граничные и начальные условия.

1.2. Осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса.

1.3. Моделирование течений реального газа.

1.4. Аппроксимация уравнений.

1.5. Решение нелинейных сеточных уравнений.

1.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений.,.

1.6.1. Прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

1.6.2. Итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

1.6.3. Ускорение сходимости с помощью переобусловливания.

1.7. Об эффективности численного решения сеточных уравнений.

1.8. Построение расчетной сетки.

1.9. Разработка комплекса универсальных программ.

1.10. Исследование сходимости расчетных данных.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка квазиньютоновской технологии численного анализа уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса для исследования сверхзвуковых отрывных течений»

При движении тел в несжимаемой и сжимаемой жидкостях или при течении несжимаемой и сжимаемой жидкости в различных технических устройствах реализуется сложная структура поля течения. При этом в большинстве случаев течение сплошной среды сопровождается отрывом и присоединением потока, которые оказывают огромное влияние на аэродинамические характеристики движущегося тела или технического устройства. Явления отрыва и присоединения потока имеют сложную природу, зависят от множества факторов, и изучение закономерностей их развития представляет собой одну из важнейших фундаментальных проблем современной аэрогидродинамики.

Для изучения этих сложных фундаментальных проблем имеются два пути - экспериментальный и теоретический.

Экспериментальный подход к изучению закономерностей движения жидкостей и газов зародился на заре человечества и прошел большой путь развития вместе с эволюцией человеческого общества. Сначала это был натурный эксперимент, затем стали создаваться специальные аэрогидродинамические установки и соответствующая измерительная техника. С развитием техники и возрастанием скоростей движения жидких и газообразных сред усложняется экспериментальная база, возрастают материальные затраты на получение требуемой информации и, следовательно, происходит значительное удорожание каждой экспериментальной точки.

Теоретическое научно обоснованное направление начало формироваться в XVII веке, когда благодаря трудам Галилея Г., Ньютона И. и других ученых были сформулированы основные законы механики.

В XVIII в. в работах Эйлера Л., 1755 в рамках механики сплошной среды были получены уравнения динамики идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости, получившие название уравнений Эйлера, а в XIX в. в работах Навье, 1826, Пуассона, 1831, Сен-Венана, 1843 и Стокса, 1847 - уравнения динамики вязкой несжимаемой и сжимаемой жидкости, которые получили название уравнений Навье - Стокса. В конце XIX в. Рейнольде О. доказал экспериментально существование турбулентного режима течения жидкости (1883) и предложил подход к изучению этих сложных течений (1895), основанный на разложение гидродинамических переменных на осредненную и пульсационную составляющие; для описания осредненного течения им были получены уравнения, названные его именем - уравнения Рейнольдса или осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье - Стокса.

Как экспериментальный, так и теоретический пути исследования являются основой нашего понимания закономерностей течения жидкой и газообразной среды и особенностей теплообмена и, взаимодействуя друг с другом, позволяют успешно решать прикладные задачи.

Во-первых, в аэродинамическом эксперименте добывается очень важный, но ограниченный объем данных по распределению газодинамических переменных по обтекаемым поверхностям модели (преимущественно распределения коэффициентов давления и теплопередачи) и в некоторых сечениях поля течения (например, профили полного давления в выходном сечении канала), а также некоторая информация по визуализации картины течения (теплеровские снимки, спектры предельных линий тока), которая дает общее представление о структуре поля течения. Этой информации часто бывает недостаточно для выявления "тонкой" структуры поля течения, связанной с полями газодинамических переменных. Вычислительная аэродинамика поставляет подобного рода информацию, содействуя анализу экспериментального материала и пониманию аэродинамики исследуемого течения.

Во-вторых, в аэродинамическом эксперименте проводится частичное моделирование натурных условий, преимущественно по числам Маха и Рейнольдса, другие же параметры набегающего потока не моделируются, например, такой важный параметр как степень турбулентности, который оказывает сильное влияние на положение точки ламинарно-турбулентного перехода и, следовательно, на структуру поля течения и аэродинамические характеристики исследуемого тела. Это частичное моделирование обуславливает проблему переноса экспериментальных трубных данных на натурные условия. Здесь на помощь приходит вычислительная аэродинамика, которая позволяет проанализировать роль немоделируемых параметров и осуществить рациональную процедуру переноса данных трубного эксперимента на натурные условия.

В-третьих, в аэродинамическом эксперименте в большинстве случаев не фиксируется процесс выхода на стационарный режим течения. В то же время он важен для понимания процесса запуска, хотя он и краткотечен, связанного с перестройкой поля течения и перераспределением газодинамических переменных. Вычислительная аэродинамика позволяет смоделировать этот нестационарный процесс и исследовать все аэродинамические особенности этого нестационарного течения.

В-четвертых, при моделировании исследуемого течения методами вычислительной аэродинамики используется некоторая математическая модель с рядом параметров. Сопоставление расчетных данных с экспериментальными позволяет судить об адекватности используемой модели физической реальности. Если наблюдаются заметные расхождение между ними, то анализ причин этого расхождения позволяет, с одной стороны, уточнить параметры математической модели, а с другой стороны, установить качество экспериментального материала.

В-пятых, предварительная оценка готовящегося эксперимента методами вычислительной аэродинамики позволяет рационально выбрать геометрические размеры модели и условия проведения эксперимента. Это понижает вероятность брака в эксперименте и содействует снижению материальных затрат при проведении эксперимента.

Таким образом, вычислительное сопровождение аэродинамического эксперимента должно быть обязательным элементом в процессе подготовки, проведения и анализа результатов аэродинамического эксперимента. Это взаимно обогащающий процесс, который служит обоснованию достоверности получаемого материала, расширению и углублению наших знаний в области внешней и внутренней аэродинамики.

Из-за сложной математической природы уравнений динамики вязкой несжимаемой и сжимаемой жидкости для исследования отрывных течений при сверх- и гиперзвуковых скоростях применяются различные подходы, которые можно подразделить на три группы: приближенные, асимптотические и численные. Выбор подхода к решению задачи во многом определяется уровнем развития вычислительной техники.

Приближенные подходы разрабатывались преимущественно к течениям газа при больших числах Рейнольдса. Они, как правило, являются полуэмпирическими и вклювключают в себя методы, основанные на использовании двухслойной схемы течения и уравнений пограничного слоя в интегральной форме, моделировании течения в отрывной зоне с использованием различных упрощающих предположений и т.п. Эти методы позволяют проводить инженерные оценки аэродинамических и геометрических характеристик замкнутых отрывных зон и тем самым помогают решать прикладные задачи. Одним из недостатков приближенных методов, как отмечалось Ней-ландом В.Я. [1974], является то, что в них не предполагается какой-либо процесс уточнения результата или какого-либо предельного перехода, при совершении которого результат стремится к точному решению. При этом остается неясной их связь с решениями уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса. Различные приближенные подходы, а также результаты расчетных и экспериментальных исследований отрывных течения обсуждаются в монографиях [Чжен Я., 1972; Гогиш Л.В, Степанов Г.Ю, 1979]

Для изучения предельной (число Ле -» со) структуры поля течения как при наличии отрыва, так и при его отсутствии широко используются различные асимптотические методы (см. например [Ван-Дайк М, 1967]). В частности, в аэрогидродинамике при исследовании вязких течений большое распространение получил метод сращиваемых внешних и внутренних асимптотических разложений. Согласно этому методу в областях с различными масштабами координат и газодинамических переменных строятся дополнительные асимптотические разложения, которые затем асимптотически сращиваются между собой на основе того или иного принципа сращивания. При этом во всех случаях исходной является краевая задача для уравнений Навье-Стокса с «естественными» граничными условиями на поверхности тела и в набегающем потоке в предположении, что стационарное решение задачи существует. Отметим, что классическая теория Прандтля, которая была предложена им на основе физических соображений, является ярким примером применения асимптотического подхода. На основе этого подхода разными авторами исследованы самые разнообразные аэрогидродинамические задачи; изложение некоторых из них можно найти в монографиях [Ней-ланд В.Я., 1974; Сычев В.В., Сычев Вик.В., Рубан А.И., Королев Г.Н., 1987; Башкин В.А., Дудин Г.Н., 2000]. Асимптотические подходы используются также для анализа турбулентных течений жидкости и газа.

Методы численного интегрирования полных уравнений Навье-Стокса или уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях в принципе позволяют рассматривать сверхзвуковые течения вязкого газа в самом широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи и в этом смысле являются универсальным инструментом исследования. Вместе с тем для* получения результатов высокого качества и относительно дешевых по стоимости необходимо преодолеть ряд трудностей, связанных с разработкой эффективного численного алгоритма, построением расчетной сетки и т.п. В частности, большие затруднения имеют место при изучении течений при больших числах Рейнольдса, когда происходит разделение поля течения на ряд характерных областей различного масштаба. Здесь для успешного решения задачи очень полезной оказывается информация, следуемая как из эксперимента, так и асимптотического анализа газодинамических задач.

Численное решение газодинамических задач на основе полных уравнений Навье -Стокса или Рейнольдса является одним из основных направлений развития вычислительной аэродинамики. Однако широкое применение подобных расчетов в научных и промышленных целях до сих пор сдерживается высокой стоимостью, связанной с необходимыми для их выполнения огромными затратами вычислительных ресурсов. По этой причине поиск экономичных численных методов наряду с совершенствованием вычислительной техники является необходимым условием развития вычислительной аэродинамики. Различные проблемы численного анализа рассмотрены в монографиях [Белоцерковский О.М., 1984; МарчукГ.И., 1980 и другие].

К настоящему времени разработано много различных подходов к численному решению уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса. Среди них - метод, основанный на неявной конечно-разностной схеме Бима и Ворминга [Beam R., Warming R.F., 1978] и его дальнейшая модификация [Steger J.L., 1978; Hollanders К, Devezeaux de Lavergne D., 1987]. В этой схеме вводятся нефизические сглаживающие члены, содержащие вторые и четвертые производные от зависимых переменных и служащие для подавления осцилляций сеточных функций. Оригинальный подход к'аппроксимации уравнений Навье - Стокса предложен в работах Толстыха А.И. [см., например, Толстых А.И., 1981]. Он основан на применении разностной схемы третьего порядка точности на компактном шаблоне. Однако эти и многие другие методы не гарантируют от осцилляций сеточных функций в областях резкого изменения газодинамических величин.

К наиболее надежному классу разностных схем для решения уравнений Эйлера методом сквозного счета относится монотонная схема Годунова С.К, 1959. Применение ее для решения уравнений Навье - Стокса долго сдерживалось невысокой точностью (первым порядком аппроксимации). В 80-е годы были созданы эффективные разностные схемы, сохраняющие свойство монотонности при повышении порядка аппроксимации [Федоренко Р.П., 1962; Колган В.П., 1972; Гущин В.А., Щенников В.В., 1974; Чакраварти С.Р., Жем К.Й., 1987] и получившие название TVD [Chakravarthy S.R., Osker S., 1983; Harten A., 1983]. Это позволило существенно расширить класс решаемых задач в рамках уравнений Эйлера, а также распространить их на решение задач газовой динамики с учетом вязкости и теплопроводности. Например, в работе [Иванов М.Я., Крупа ВТ., Нигматуллин Р.З., 1989] с применением такой схемы получены результаты численного моделирования околозвуковых режимов обтекания в рамках уравнений Навье-Стокса, в [Копченое В.И., Ласкин H.H., 1996] предлагается дальнейшее развитие этой схемы для решения параболизованных уравнений Навье -Стокса, в [Fedorova N.N., Fedorchenko I.A., Schulein E., 2001] подобная разностная схема использована для решения задачи взаимодействия ударной волны с турбулентным пограничным слоем.

В большинстве работ по численному решению уравнений Навье-Стокса основное внимание уделяется построению разностных схем и изучению их свойств. Меньше внимания уделяется методам решения сеточных уравнений, получаемых в результате аппроксимации дифференциальных уравнений. С вычислительной точки зрения наиболее трудоемкой частью алгоритмов решения полных уравнений газовой динамики является итерационный процесс получения стационарного решения. Эта трудоемкость в явных методах установления связана с ограничением на временной шаг по числу Куранта, в неявных методах - с выполнением матричных операций. Для неявных методов чаще других используются различные варианты метода приближенной факторизации и метод Гаусса - Зейделя, опирающийся на диагональное доминирование линейного оператора. Большое распространение получили неявные схемы переменных направлений [Douglas J., Gunn J.E., 1964]. Дальнейшим развитием этого направления явились неявные разностные схемы, основанные на линеаризации уравнений для приращений искомых функций и приближенной факторизации (расщепления) [Белоцеркоеский О.М., Гущин В.А., ¡Ценников В.В., 1975; Ковеня В.М., Яненко H.H., 1981; Толстых А.И., 1981]. Наиболее законченным в математическом смысле можно считать применение неявных разностных схем с последующей линеаризацией и решением системы сеточных уравнений по методу Ньютона [Егоров И.В., Зайцев O.J1 1991].

При исследовании сверх- и гиперзвуковых течений в ряде случаев необходимо учитывать влияние реальных свойств газа на аэродинамические характеристики. К таким задачам, в частности, относится расчет поля течения около летательного аппарата, движущегося в атмосфере Земли с гиперзвуковой скоростью. Отличительной особенностью численного моделирования течения газа с неравновесными физико-химическими процессами является повышенная жесткость системы уравнений. Поэтому для ее решения необходимо применять неявные разностные схемы. В работе [Park С., Yoon S., 1991], например, предлагается вариант неявной разностной схемы, для которой вязкие члены и источник в уравнениях движения аппроксимируются по неявному слою, а конвективные - с использованием явного слоя. Использование такого подхода может привести к замедлению сходимости итерационного процесса. С этой точки зрения близкой к оптимальной можно считать методику неявных разностных схем с последующей линеаризацией и совместным решением нелинейных сеточных уравнений методом Ньютона [Егоров И.В., Иванов Д.В., 1997].

Значительные проблемы при численном решении задач внутренней и внешней аэродинамики обусловлены необходимостью построения расчетной сетки в сложных областях. Большинство известных в настоящее время методов построения регулярных расчетных сеток можно отнести к трем основным группам: алгебраические, дифференциальные и интегральные методы [Лисейкин В.Д., 1996]. Все эти методы имеют свои достоинства и недостатки. В частности, алгебраические методы обладают высокой производительностью и простотой в реализации, но содержат большое число свободных параметров, что затрудняет формализацию алгоритма. Дифференциальные методы, основанные на решении уравнений в частных производных или минимизации некоторых функционалов, легче формализуются, но не обладают уже такой скоростью счета из-за необходимости решения больших систем нелинейных конечно-разностных уравнений. К третьей группе относятся методы, основанные на решении интегрального уравнения для некоторой функции, область определения ^которой имеет размерность на единицу меньшую, чем размерность расчетной области. Полученные с помощью этих алгоритмов сетки также обладают достаточной степенью гладкости и ортогональностью.

Диссертационная работа связана с актуальным направлением вычислительной аэродинамики - численным моделированием на основе уравнений динамики вязкого газа - и ставит следующие цели:

• Разработка нового эффективного подхода к численному моделированию задач внешней и внутренней аэродинамики на основе нестационарных двух- и трехмерных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса;

• Реализация численного метода в комплексе универсальных программ, позволяющих осуществлять:

- быструю постановку задачи на ЭВМ,

- перенастройку различных этапов численного алгоритма,

- эффективное использование программ исследователями, не имеющими специальной подготовки в области численных методов;

• Исследование структуры поля течения с замкнутыми отрывными зонами и аэродинамических характеристик некоторых тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком вязкого газа, применительно к задачам внешней и внутренней аэродинамики.

Она состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 121 наименование.

Во введении освещена роль вычисленной аэродинамики на современном этапе научных исследований, сформулирована цель диссертационной работы и приведена краткая аннотация ее глав.

Первая глава посвящена описанию постановки задачи по трехмерным течениям вязкого газа и численному моделированию на основе уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности.

Во второй главе изложенный метод численного анализа применен для исследования сверхзвукового обтекания кругового цилиндра. Проведена верификация численного моделирования путем сопоставления результатов расчетов с экспериментальными данными. Проанализирован расчетный материал, полученный в широком диапазоне определяющих параметров задачи. В частности, установлено, что при малых и умеренных числах Рейнольдса решение задачи не единственно. Изучено зарождение и развитие отрывного течения в ближнем следе за цилиндром по мере увеличения числа Рейнольдса, а также поведение местных и суммарных аэродинамических характеристик цилиндра в зависимости от определяющих параметров подобия. - •

Третья глава посвящена изучению обтекания сферы сверхзвуковым потоком газа в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса, сопоставлению расчетных и экспериментальных данных по коэффициенту аэродинамического сопротивления при транс- и сверхзвуковых скоростях. На основании систематических расчетов установлено влияние пространственности течения (явления растекания) на зарождение и развитие отрывного течения в ближнем следе, на теплообмен и на поведение местных и суммарных аэродинамических характеристик.

В четвертой главе рассмотрено обтекание сверхзвуковым потоком плоских (пластина) и осесимметричных (сферически затупленные круговые конуса) тел с узкой выемкой на лобовой поверхности, обтекание которых происходит с отрывом потока. Рассмотрены параметры подобия исследуемой задачи. На частных примерах проведено сопоставление расчетных и экспериментальных данных по теплообмену. Выполнены расчеты в некотором диапазоне изменения параметров подобия, которые позволяют изучить особенности обтекания узкой выемки и закономерности теплообмена на обтекаемых поверхностях. В частности показано, что характер квазиневязкого течения над узкой выемкой оказывает существенное влияние на температуру восстановления в ней.

В пятой главе изучаются структура поля течения и аэродинамические характеристики простейшего нерегулируемого гиперзвукового воздухозаборника в зависимости

20 от определяющих параметров подобия. При этом на расчетом режиме работы воздухозаборника исследовано влияние числа Рейнольдса, а влияние нерасчетности по числу Маха изучено при фиксированных числах Рейнольдса.

Шестая глава посвящена моделированию обтекания острых круговых конусов, установленных в сверхзвуковом потоке под малыми и умеренными углами атаки. Результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными.

В заключении кратко сформулированы основные выводы, вытекающие из опыта практического применения разработанного метода численного моделирования вязких сверхзвуковых отрывных течений.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Егоров, Иван Владимирович

323 Выводы

1. С помощью квазиньютоновской итерационной процедуры разработан эффективный подход к численному моделированию сверхзвуковых отрывных течений на основе нестационарных двух- и трехмерных уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности.

2. Численный метод реализован в комплексе универсальных программ, позволяющих осуществлять: а) быструю постановку задачи на ЭВМ, б) перенастройку различных этапов численного алгоритма, в) эффективное использование программ исследователями, не имеющими специальной подготовки в области численных методов

3. Исследованы структура поля течения с замкнутыми отрывными зонами и аэродинамические характеристики некоторых тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком вязкого газа, применительно к задачам внешней (круговой цилиндр, сфера, острый круговой конус, плоская пластина и осесимметричное тело с узкой выемкой на их поверхности) и внутренней (простейший гиперзвуковой воздухозаборник на расчетном и нерасчетном режимах работы) аэродинамики.

4. Многочисленные сопоставления расчетных и экспериментальных данных по местным и суммарным аэродинамическим характеристикам исследованных тел при сверхзвуковых скоростях показали их хорошее согласование между собой и

324 позволяют сделать вывод о корректности численного моделирования и достоверности получаемых результатов.

5. Систематические расчеты по отрывному обтеканию различных тел сверхзвуковым потоком в широком диапазоне параметров подобия задачи, в первую очередь числа Рейнольдса, позволили установить ряд новых результатов: неединственность решения задачи по сверхзвуковому обтеканию кругового цилиндра при малых и умеренных числах Рейнольдса (Ые < 1000), связанная с разной структурой ближнего следа; тепловой поток в задней критической точке при больших числах Рейнольдса (Яе >106) может превышать его значение в передней критической точке; два типа распределения температуры восстановления по стенкам выемки при изменении температурного фактора внешней поверхности осесиммет-ричного тела (американский зонд); два решения для течения в глубокой выемке С на поверхности осесимметричного тела (европейский зонд), которые отличаются структурой поля течения в выемке.

Заключение

Результаты проведенных исследования показали, что метод численного анализа нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса, разработанный применитель

322 но к обтеканию осесимметричных тел сверхзвуковым потоком, обеспечивает в целом хорошее качество получаемого расчетного материала: результаты численного моделирования в качественном и количественном отношении согласуются с экспериментальными данными. Вместе с тем расчеты показали, что необходима доработка численного алгоритма для повышения точности получаемого решения при малых углах атаки, когда интенсивность поперечного течения мала по сравнению с продольным течением.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Егоров, Иван Владимирович, 2002 год

1. Бабаев И.Ю., Башкин В.А., 1992. Расчет обтекания лобовой поверхности скользящего кругового цилиндра сверхзвуковым потоком совершенного газа // Ученые записки ЦАГИ. Т. XXIII. № 1. С. 9-19.

2. Бабаев К.Ю., Башкин В.А., Егоров КВ., 1994. Численное решение уравнений Навье-Стокса с использованием итерационных методов вариационного типа // Ж. вы-числ. математики и мат. физики. Т. 34. № 11. С. 1693-1703.

3. Бабенко К.К., Воскресенский Г.П., Любимов А.Н., Русанов В.В., 1964. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом // М., «Наука».

4. Бабенко К.К., 1970. Об асимптотическом поведении вихря вдали от тела при обтекании его плоским потоком вязкой жидкости // ПММ. Т. 34. Вып. 5. С. 911-925.

5. Башкин В.А., Бабаев К.Ю., Егоров КВ., 1993. Расчет обтекания цилиндрического тела на основе уравнений Навье-Стокса//Труды ЦАГИ. Вып. 2514. С. 23-68

6. Башкин В.А., Солодкин Е.Е., 1961. Об определении коэффициента теплопередачи // ПМТФ. № 3. С. 16-24. '

7. Башкин В.А., 1967. Ламинарный пограничный слой на бесконечно длинных эллиптических цилиндрах при произвольном угле скольжения // Известия АН СССР. МЖГ. № 5. С. 76-82.

8. Башкин В.А., 1984. Треугольные крылья в гиперзвуковом потоке // М.: Машиностроение, 1984,136 с.

9. Башкин В.А., Егоров КВ., Егорова М.В., 1993. Обтекание кругового цилиндра сверхзвуковым потоком совершенного газа // Известия РАН. МЖГ. № 6. С. 107 115.

10. Башкин В.А., Егоров КВ., Егорова М.В., 1994. Влияние температурного фактора на аэродинамические характеристики кругового цилиндра в сверхзвуковом потоке совершенного газа // Известия РАН. МЖГ. № 3. С. 156 162.

11. Башкин В.А., Егоров КВ., Кванов Д.В., 1996. Расчет сверхзвукового течения совершенного газа в гиперзвуковом воздухозаборнике //Известия РАН. Механика жидкости и газа. № 5. С. 191-200.

12. Башкин В.А., Егоров КВ., Иванов Д.В., 1997.а. Исследование характеристик гиперзвукового воздухозаборника на расчетном режиме при умеренных числах Рей-нольдса // Ученые записки ЦАГИ. Т. 28. № 2. С. 68-81.

13. Башкин В.А., Егоров КВ., Иванов Д.В., 1997.6. Влияние высоты "горла" на аэродинамические характеристики гиперзвукового воздухозаборника на расчетном режиме // Ученые записки ЦАГИ. Т. 28. № 3-4. С. 128-143.

14. Башкин В.А., Егоров КВ., Иванов Д.В., 1997.В. Применение метода Ньютона к расчету внутренних сверхзвуковых отрывных течений // ПМТФ. № 1. С. 30-42.

15. Башкин В.А., Егоров КВ., Кванов Д.В., 1998. Торможение сверхзвукового потока в плоских и осесимметричных каналах // Известия РАН. МЖГ. № 2. С. 143- 152.

16. Башкин В.А., Егоров КВ., Егорова М.В., Кванов Д.В., 1998. Зарождение и развитие отрывного течения за круговым цилиндром в сверхзвуковом потоке // Известия РАН. МЖГ. № 6. С. 27-36.

17. Башкин В.А., Егоров КВ., Кванов Д.В., 1999.а. Интегральные аэродинамические характеристики простейшего гиперзвукового воздухозаборника на расчетном режиме//Ученые записки ЦАГИ. Т. 30. № 1-2. С. 88-108.

18. Башкин В.А., Егоров КВ., Иванов Д.В., 1999.6. Простейший гиперзвуковой воздухозаборник на нерасчетных режимах работы // Ученые записки ЦАГИ. Т. 30. № 3-4. С. 78-89.

19. Башкин В.А., Дудин Г.Н., 2000. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа // М.: Наука. Физматлит. 288 с.

20. Башкин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., Скуратов A.C., 2000. Осесимметричное затупленное тело с узкой выемкой на лобовой поверхности в гиперзвуковом потоке совершенного газа // Известия РАН. МЖГ. № 1. С. 117-124.

21. Башкин В.А., Булдаков Е.В., Егоров КВ., Иванов Д.В., 2000. Моделирование теплопередачи на боковых стенках узкой выемки на поверхности плоской пластины при сверхзвуковых скоростях//Ученые записки ЦАГИ. Т. 31. № 1-2. С. 119-131.

22. Башкин В. А., Егоров КВ., Егорова М.В., Иванов Д. В., 2000.а. Ламинарно-турбулентное обтекание кругового цилиндра сверхзвуковым потоком газа // Известия РАН. МЖГ. №5. С. 31-43.

23. Башкин В.А., Егоров И.В., Егорова М.В., Иванов Д.В., 2000.6. Развитие структуры поля течения около кругового цилиндра при наличии ламинарно-турбулентного перехода//ТВТ. Т. 38. № 5. С. 759-768.

24. Башкин В.А., Егоров КВ., Егорова М.В., Иванов Д.В., 2000.В. Изотермический круговой цилиндр в сверхзвуковом потоке совершенного газа // Ученые записки ЦАГИ. Т. 31. №3-4. С. 23-30.

25. Башкин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., 2001. Структура поля течения и аэродинамические характеристики гиперзвукового воздухозаборника в диапазоне чисел Re=104 -107 // Ученые записки ЦАГИ. Т. 32. № 1-2. С. 34-47.

26. Башкин В.А., Ваганов A.B., Егоров И.В., Иванов Д.В., 2001. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по обтеканию кругового цилиндра сверхзвуковым потоком // (направлена в Изв. РАН МЖГ).

27. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В., 1975. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 15. № 1. С. 200-207.

28. Белоцерковский О.М., 1984. Численное моделирование в механике сплошных сред // М.: Наука. С. 520.

29. Боровой В.Я. (1983). Течение газа и теплообмен в зонах взаимодействия ударных волн с пограничным слоем. М.: «Машиностроение», 144 с.

30. Бородин А.И., Казаков В.Ю., Пейгин C.B., 1996. Моделирование многокомпонентных химически неравновесных течений в рамках модели параболизованного пространственного вязкого ударного слоя // Математическое моделирование. Т. 8. № 10. С. 3-14.

31. Ван-Дайк М., 1967. Методы возмущений в механике жидкости // М., Мир.

32. Внуков А.Е., 1991. Построение расчетных сеток около аэродинамических профилей на основе дискретного преобразования Кристоффеля Шварца // М., Препринт ЦАГИ; №35. С. 1-15.

33. Гиневский A.C., Иоселевич В.А., Колесников A.B., Лапин Ю.В., Пипиленко В.Н., Секун-дов А.Н., 1978. Методы расчета турбулентного пограничного слоя // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М., Москва. С. 155-304.

34. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р., 1961. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Изд-во иностр. лит.

35. Гогиш Л.В, Степанов Г.Ю, 1979. Турбулентные отрывные течения // М.: Наука. С. 368.

36. Годунов С.К., 1959. Конечно-разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений газовой динамики//Мат. сб. Т. 47. С. 271-291.

37. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я.,Крайко А.Н., Прокопов Г.П., 1976. Численное решение многомерных задач газовой динамики // М.: Наука. С. 400.

38. Головачев Ю.П, Попов Ф.Д., 1972. Расчет сверхзвукового обтекания затупленных тел вязким газом при больших числах Рейнольдса // Ж. вычисл. математики и мат. физики. Т. 12. № 5. С. 1292-1303.

39. Гончарук П. Д., Гурылев В. Г., 1974. Исследование течения в горле воздухозаборника на больших сверхзвуковых скоростях потока при числах М, больших расчетного // Ученые записки ЦАГИ. Т. 5. № 1.

40. Гурылев В.Г., Иванюшкин А.К., Пиотрович Е.В., 1973. Экспериментальное исследование влияния числа ReL на запуск воздухозаборников при больших сверхзвуковых скоростях потока // Ученые записки ЦАГИ. Т. 4. № 1. С. 33-44.

41. Гущин В.А., Щенников В.В., 1974. Об одной монотонной разностной схеме второго порядка точности // Ж. вычисл. математики и мат. физики. Т. 14. № 3. С. 789-792.

42. Егоров И.В., Зайцев О.Л., 1991. Об одном подходе к численному решению двумерных уравнений Навье Стокса методом сквозного счета // Ж. вычисл. математики и мат. физики. Т. 31. № 2. С. 286-299.

43. Егоров КВ., 1992. К вопросу о влиянии реальных свойств воздуха на интегральные аэродинамические характеристики // Известия АН СССР. МЖГ. № 4. С. 156 164.

44. Егоров КВ., Никольский B.C., 1996. Вязкие гиперзвуковые течения для различных аэрофизических моделей // Известия РАН. МЖГ. № 4. С. 151 161.

45. Егоров КВ., Никольский B.C., 1997. Роль колебательно-диссоциационного взаимодействия при гиперзвуковом обтекании// Известия РАН. МЖГ. № 3. С. 150-163.

46. Егоров КВ., Кванов Д.В., 1997. Моделирование внутренних отрывных течений с учетом химической неравновесности // Ж. вычисл. матем. и мамем. физ. Т. 37. № 6. С. 751-758.

47. Егоров К.В., Жесткое Б.Е., Иванов Д. В., 1998. Моделирование химически неравновесных течений в соплах // Ученые записки ЦАГИ. 1998. № 1-2.

48. Егоров И.В., Иванов Д.В., 1998. Применение метода Ньютона при моделировании нестационарных отрывных течений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 38. № 3. С. 506-511.

49. Иванов М.Я., Крупа В.Г., Нигматуллин Р.З., 1989. Неявная схема С.К. Годунова повышенной точности для интегрирования уравнений уравнений Навье Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 29. № 6. С. 888 - 901.

50. Каримов Т.Х., 1983. О некоторых итерационных методах решения нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве // Докл. АН СССР. Т. 269. № 5. С. 1038 -1046.

51. Ковеня В.М., Яненко H.H., 1981. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

52. Коган М.Н., 1967. Динамика разреженного газа // М.: Наука.

53. Колган В.П., 1972. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. Т. 3. № 6. С. 68 77.

54. Копченое В.И., Ласкин И.Н., 1996. Об одной конечно-разностной схеме для численного решения параболизованных уравнений Навье Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 36. № 2. С. 126 - 137.

55. Красильщиков А.П., Подобии В.П., 1968. Экспериментальное исследование аэродинамических характеристик шара в свободном полете до чисел М ~ 15 // МЖГ. №4.

56. Лисейкин В.Д., 1996. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // Ж. вычисл. матем. и мамем. физ. Т. 36. № 1. С. 3-41.

57. Лойцянский Л.Г., 1973. Механика жидкости и газа // М.: Наука., 848 с.

58. Любимов А.Н., Русанов В.В, 1970. Течение газа около тупых тел // М.: Наука.

59. Марчук Г.И., 1980. Методы вычислительной математики // М.: Наука.

60. Мишин Г.И., 1961. Исследование коэффициента сопротивления сферы при сверхзвуковых скоростях в газах с различным отношением удельных теплоемкостей // ЖТФ.Т. 31. Вып. 4.

61. Мэрти B.C., Роуз В.К., 1978. Детальные измерения аэродинамических характеристик кругового цилиндра при поперечном обтекании // Ракетная техника и космонавтика. Т. 16. № 6. С. 8-11.

62. Нейланд В.Я., 1974. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых тече-ний.//Труды ЦАГИ. Вып. 1529.

63. Нейланд В.Я., 1981. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа // Успехи механики. Т. 4. Вып. 2.

64. Николаев A.B., 1970. Течение на входном участке канала сверхзвукового диффузора при отрыве пограничного слоя головной волной // Ученые записки ЦАГИ. Т. 1. №1.

65. Павлов Б.М., 1971. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вязкого газа // Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 4. М.: МГУ.

66. Самарский A.A., Николаев Е.С., 1994. Методы решения сеточных уравнений // М.: Наука, 1978.

67. Сборник, 1964. Материалы к расчету коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи // Труды ЦАГИ. Вып. 937.

68. Седов Л.И., 1966. Методы подобия и размерности в механике // Физматгиз, Москва.

69. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королев Г.Л., 1987. Асимптотическая теория отрывных течений // М.: Наука. С. 256.

70. Толстых А.И., 1981. О неявных схемах повышенной точности для систем уравнений // Т. 21. №2. С. 339-354.

71. Федоренко Р.П., 1962. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 2. № 6. С. 1122-1128.

72. Хейз У.Д., Пробстин П.Ф., 1962. Теория гиперзвуковых течений // М.: Изд. иностр. лит.

73. Чакраварти С.Р., Жем К.Й., 1987. Расчет трехмерных сверхзвуковых течений с дозвуковыми зонами на основе уравнений Эйлера // Аэрокосмическая техника. №11. С. 22-35.

74. Чен Ю.Ю., 1969. Экспериментальное исследование кругового конуса, установленного под углом атаки, в гиперзвуковом потоке // Ракетная техника и космонавтика. Т. 7. № 10. С. 255-256.

75. Чжен П., 1972. Отрывные течения // М.: Мир. Т. 1-3.

76. ШлихтингГ.1974. Теория пограничного слоя // М.: Наука. С. 712.

77. Babikov Р.Е., Yegorov I.V., 1988. On one version of the adaptive grid generation to solve evolution problems I I Proc. Soviet Union-Japan SCFD. Khabarovsk, 1988. V. 2. P. 222 -227.

78. BejanA., 1984. Convection heat transfer // Wiley, 477 p.

79. BeamR., Warming R.F., 1978. An implicit factored scheme for the compressible Navier-Stokes equations // AIAA Journal. V. 16. P.393-402.

80. Borovoi V.Ya., Brazhko W.N., Maikapar G.I., 1990. Leeward separated supersonic flows // Separated flows and jets. IUTAM Sympos. Novosibirsk, USSR 1990. Berlin; Heidelberg: Spriger-Verlag, 1991. P. 311-317.

81. Chakravarthy S.R., Osher S., 1983. High resolution applications of the Osher upwind scheme for the Euler equations // AIAA Paper, 83-1943. P. 363-372.

82. Chang C.-C., Lei S.-Y., 1996. On the Sources of Aerodynamic Forces: Steady Flow Around a Cylinder or Sphere // Proc. Roy. Soc. London. A. V. 452. N 1954. P. 2369-2395.

83. Charters A.C., Thomas R.N., 1945. The aerodynamic performance of small spheres from subsonic to high supersonic velocities // J. Aero. Sci. 12. N 4. P. 468-476.

84. Coakley T.J., Huang P. G. , 1993. Turbulence modeling for high speed flows // AIAA Paper, 92-0436.

85. Crocco L., 1946. Lo strato limite laminare nei gas // Mon. Sci. Aero. Roma.

86. Douglas J., Gunn J.E., 1964. A general formulation of alternating direction implicit methods. Part 1. Parabolic and hyperbolic problems // Numer. Math. V. 6. N 5. P. 428-453.

87. Fedorova N.N., Fedorchenko I.A., Schulein E., 2001. Experimental and numerical study of oblique shock wave / turbulent boundary layer interection at M=5 // Computational Fluid dynamics Journal. V. 10. N 3. P. 376-381.

88. FerriA., 1942. Influenza del Numero di Reynolds ai Grandi Numeri di Mach // Atti di Gui-donia. N 67-68-69.

89. George A., 1973. Nested dissection of a regular finite element mesh // SIAM J. Numer. Ana-lys. V. 10. N2. P. 347-358.

90. Gorelov V.A., Gladyshev M.K., Kireev A.Y., et al., 1998. Experimental and Numerical Study of Nonequilibrium Ultraviolet NO and N2+ Emission in Shock Layer. Journal of Ther-mophysics and Heat Transfer. 1998. V. 12. N 2. P. 172-179.

91. Gowen F.E., Perkins E. W., 1953. Drag of Circular Cylinders for a Wide Range of Reynolds Numbers and Mach Numbers // NACA Technical Note 2960. P. 26.

92. Haas B.L., Venkatapathy E., 1995. Mars Pathfinder Computations Including Base-Heating Predictions // 30th AIAA Thermophysics Conf., San Diego, AIAA 95-2086. P. 1-8

93. Harten A., 1983. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Journal Computational Physics. V. 49. P. 357-372.

94. Hodges A. J., 1957. The drag coefficient of very high velocity spheres // J. Aero. Sci. 24. N 10. P. 468-476.

95. Kang S.W., Jones W.L., Dunn M.G., 1973. Theoretical and measured electron-density distributions at high altitudes // AIAA J. V. 11. N 2. P.141-149.

96. Mace J.L., Hankey W.L., 1984. Review of Inlet/Airframe Integration Using Navier-Stokes Computational Fluid Dynamics // Numerical Methods for Engine-Airframe Integration, Progress in Astronautics and Aeronautics. V. 102. P. 481-502.

97. Macha J.M., 1977. Drag of Circular Cylinders at Transonic Mach Numbers // Journal of Aircraft. V. 14. № 6. P. 605-607.

98. Marvin J.G., Coakley T.J., 1990. Turbulence Modeling for Hypersonic Flows // The third joint joint Europe / US short course in hypersonics. At the RWTH Aachen University of Technology D - 5100 Aachen, FRG.

99. Mason E.A., Saxena S.C., 1958. Approximate formula for the thermal conductivity of gas mixtures. Phys. Fluids. V. 1. N 5. P. 361- 369.

100. Matt H., 1942. Hochgeschwindigkeitsmessungen an Rund- und Profilstangen verschiedener Durchmesser // Vortrag am 29.10.1942 zur Hochgeschwindigkeitstagung Berlin.

101. Matt H., 1943. Luftwiderstandsmessungen an Rundstangen verschiedener Durchmesser bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten // Deutsche Luftfahrtforschung. Forschungsbericht № 1825. S. 33.

102. Murthy V.S., Rose W.C., 1977. Form Drag, Skin Friction and Vortex Shedding Frequencies for Subsonic and Transonic Gross Flows on Circular Cylinder // AIAA Paper, 77-687.

103. Park C., Yoon S., 1991. Fully coupled implicit method for thermochemical nonequilibrium air at suborbital flight speeds // J. Spacecraft. V. 28. N 1. P. 31-39.

104. Pfeifer H., 1962. Stroemungsuntersuchungen an Kreiszylindern bei hohen Geschwindigkeiten // Forschungsberichte des Landes Nordrhein-Westfalen. № 1062. S. 73.

105. Roe P.L, 1981. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference scheme // J. Comput. Phys. V. 43. P. 357-372.

106. Saad F., Shultz M.H., 1986. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Scient. And Statist. Comput. V. 7. N 3. P. 856869.

107. Shang I.S., 1984. Numerical Solutions of the Compressible Navier-Stokes Equations // Numerical Methods for Engine-Airframe Integration, Progress in Astronautics and Aeronautics. V. 102. P. 86-123.

108. Steger J.L., 1978. Implicit finite-difference simulation of flow about arbitrary two-dimensional geometries//AIAA Journal. V. 16. P. 679-686.

109. Tirsky G.A., 1993. Up-to-date gasdynamic models of hypersonic aerodynamic and heat transfer with real gas properties //Annual Revue Fluid Mechanic. V. 25. P. 151-181.

110. Wilke S., 1950. A viscosity equation for gas mixture // J. Chem. Phys. V. 18, N 4. P. 517519.

111. Yegorov I., Zaitsev O., 1993. Development of efficient algorithms for computational fluid dynamic problems // Proc. 5th Intern. Symp. Computational Fluid Dynamics. Japan, Sendai, V. 3. P. 393 400.

112. Yegorov I., 1996. The Numerical Simulation of Vibration-Dissociation Interaction Overflow //AIAAPaper, 96-1894. P. 1-11.

113. Yegorov I., Bashkin V., Buldakov E., Ivanov D., 1998. "Hypersonic Flow over Flat Plate and Mars Pathfinder with Gaps on its Surfaces // 21st International Simposium on Space Technology and Science Sonic City, Omiya, Japan, May 24-31.

114. Zhang J., Dalton C., 1998. A three-dimensional simulation of a steady approach flow past a circular cylinder at low Reynolds number // Int. J. Numer. Meth. Fluids. V.26. № 6. P. 1003-1022.s, a. 23§«1G9$c8.