Прямые и гибридные методы в задачах аэроакустики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Карабасов, Сергей Александрович

• Карабасов, Сергей Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Карабасов, Сергей Александрович

Введение.

Глава 1: Использование гибридного метода для моделирования шума от лопастей вертолёта в режиме скоростного полёта.

Введение.

1.1 Основные понятия теоретической акустики: пульсирующая сфера, функция Грина, акустическая аналогия и точечные источники.

1.2 Интегральные методы для расчёта звукового сигнала в дальнем поле источника.

1.3 Определяющие уравнения для нахождения источника.

1.3.1 Модель движения лопасти винта вертолёта и обтекающего её воздушного потока.

1.3.2 Модель обтекания лопасти винта воздушным потоком.

1.4 Численное решение уравнений Эйлера в неинерциальной системе координат.

1.4.1 Метод апроксимации уравнений Эйлера.

1.4.2 Метод согласованной аппроксимации источника неинерциальных сил на неоднородной сетке.

1.4.3 Разностные граничные условия.

1.5 Тестирование основных составляющих трёхмерного метода расчета обтекания лопасти в плоской постановке.

1.5.1 Тестирование метода расчёта источника во вращающейся системе координат: сравнение с аналитическим решением.

1.5.2 Тестирование численных безотражающих граничных условий: сравнение с эталонным решением на большой сетке.

1.6 Трёхмерные расчеты: сравнение с экспериментами и результатами других расчётов

1.6.1 Винт в режиме стационарного вращения.

1.6.2 Ненагруженный винт в поступательном однородном потоке в режиме равномерного вращения.

1.6.3 Нагруженный винт с учетом трёхмерного вращения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые и гибридные методы в задачах аэроакустики»

2.1 Основные уравнения согласованной декомпозиции уравнений Навье-Стокса на линейный перенос и нелинейный акустический источник.76

2.2 Подходы к моделированию линейного звукопереноса через неоднородное поле С1руи.84

2.2.1 Осесимметричная постановка сопряжённой задачи.84

2.2.2 Сведение задачи к решению обыкновенного дифференциального уравнения в случае локально-параллельного поля струи.88

2.3 Метод решения линеаризованных уравнений Эйлера и его валидация.92

2.4 Поиск частного решения линеаризованных уравнений Эйлера, удовлетворяющего заданному физическому ограничению, выбор предобуславливателя и сравнение численного решения с эталонным решением.100

2.5 Пример акустического расчета осесимметричной изотермической струи, сравнение с данными эксперимента JEAN.109

2.5.1 Детали использовавшихся методов для расчёта струи и обработки данных.109

2.5.2. Моделирование акустического источника.118

2.5.3. Результаты акустического моделирования.124

2 5.4. Проверка чувствительности результатов к отдельным компонентам модели. 127

2.6 Пример моделирования шума струи из шевронного сопла SMC006, сравнение с экспериментом SHJAR и другим акустическим расчётом.133

2.6.1. Шевронные сопла: введение.133

2.6.2. Детали использовавшегося метода для расчёта струи и обработки данных.134

2.6.3. Адаптация гибридной акустической модели для шевронного сопла и результаты ' акустических расчётов.139

Основные результаты Главы 2.149

Глава 3: Схема Кабаре для решения задач аэроакустики.152

Введение.152

3.1 Схема Кабаре в форме предиктор-корректор: обзор теоретических результатов в одномерном случае.155

3.1.1 Линейный перенос в одномерном случае.155

3.1.2 Одномерные уравнения Эйлера.161

3.1.3 Обобщение схемы Кабаре на многомерный случай.170

3.1.4 Обобщение на двумерные уравнения Эйлера в случае криволинейных координат .173

3.2 Примеры тестовых расчётов.179

3.2.1 Одномерные тесты.179

3.2.2 Расчёт обтекания двумерных препятствий и переноса акустических волн и вихрей.186

Основные выводы Главы 3.194

Глава 4: Рассеянье акустических волн изолированным вихрем.196

Введение.196

4.1 Изэнтропический вихрь нулевой циркуляции в коробке.197

4.2 Рассеянье плоской звуковой волны на гладком вихре постоянной циркуляции.199

4.2.1 Случай средних акустических волн, Х~2.5Ь.200

4.2.2 Случай коротких акустических волн, Я=0.036Ь.202

4.3 Рассеянье звуковой волны от точечного источника на вихре Ранкина.206

4.3.1 Нерезонансное рассеянье.211

4.3.2 Резонансное рассеянье.213

Основные выводы Главы 4.218

Заключение.221

Список литературы.224

Введение

Аэроакустика - раздел механики жидкости и газа, изучающий генерацию и распространение звука, возникающего при истечении воздушного потока и его взаимодействии с твердыми границами, например, лопастями вентилятора компрессора или подвески двигателя к крылу самолёта (пилона). Задача оптимизации аэроакустических характеристик различных конструкций является особенно острой для авиационной промышленности в связи с ужесточением контроля за уровнем шума в зоне аэропортов в большинстве стран Европы и Америки. Актуальность проблемы снижения шума в будущем будет нарастать и далее в связи с прогнозируемым увеличением воздушных перевозок к 2020 году в два раза. По сравнению с классической газовой динамикой акустические задачи отличаются повышенной степенью сложности. Одна из проблем при их решении заключается в большом разбросе характерных масштабов, возникающих в задачах, связанных с генерацией и переносом звука [1]. Характерный размер акустических волн в воздухе на несколько порядков превышает размер аэродинамических пульсаций, отвечающих за перенос наибольшей механической энергии. Другая сложность - в том, что во многих случаях аэродинамические пульсации обладают низким акустическим КПД. Например, акустическая энергия турбулентой струи составляет всего лишь порядка одной миллионной кинетической энергии струи на выходе из сопла. Вследствие такого значительного разброса в характерных масштабах корректный расчёт акустического поля наряду с аэродинамикой представляется очень сложным для численного моделирования.

Спецификой методов математического моделирования, использующихся в инженерных задачах, является необходимость получения решения, которое должно быть не только в пределах допустимой точности, но и допускать однозначную интерпретацию для последующего улучшения технических, в частности, акустических характеристик изделия. В идеале, время получения такого решения также должно быть достаточно коротким для того, чтобы такое решение могло быть использовано при конструировании нового изделия, например, узла двигательной установки до начала ключевых стендовых испытаний. В этой ситуации особую важность приобретают гибридные подходы математического моделирования, основанные на декомпозиции модели на блоки, для решения каждого из которых применяются оптимальные подходы. Акустическая аналогия является примером подхода, который может позволить получить решение задачи из первых принципов, т.е. без использования «подгоночных» параметров по результатам акустических измерений в дальнем поле. Впервые предложенный в работах Лайтхилла [2] метод акустической аналогии в дальнейшем получил развитие в работах Лиллея [3], Ффокса Вильямса[4], Рибнера[4], Мани[5], Дауллинг[7], Голдстейна[8] и др.

В рамках подхода акустической аналогии полная нелинейная задача, описываемая в рамках уравнений Навье-Стокса, разбивается на задачу о нахождении нелинейного акустического источника и на линейную задачу расчета звукопереноса этого источника. Таким образом, в рамках этого подхода предпринимается попытка в нелинейной задаче выделить простую связь: «причина - следствие» (источник звука - акустические характеристики в точке наблюдения). В общем случае разбиение уравнений Навье-Стокса на нелинейный источник и линейный перенос может осуществляться не единственным способом. Единственность достигается при нахождении «эффективного источника», который в рамках акустической аналогии выражается в виде свёртки нелинейного источника с функцией Грина и который однозначно характеризует акустическое поле в точке наблюдателя.

Преимущество разбиения задачи на нелинейную и линейную часть для аэроакустики заключается в том, что в точке наблюдения, где требуется найти решение, задача описывается линейными уравнениями. При таком разбиении оказывается, что для расчета звука дальнего поля достаточно сквозного решения нелинейных уравнений внутри «ближней» области, а решение в «дальней» области может быть получено с помощью интегральных методов решения. Использование гибридных методов решения может приводить к значительной экономии вычислительных ресурсов. Несмотря на широкое использование методов на основе акустической аналогии, основной проблемой при их использовании продолжает оставаться проблема согласования отдельных составляющих гибридной модели, а именно, согласование решения ближнего поля с решением линейной задачи звукопереноса. В настоящей работе разработаны две новые гибридные модели для двух типов задач: моделирование шума, возникающего при взаимодействии набегающего потока с движущимися, аэродинамически нагруженными поверхностями, и шума, возникающего в процессе перемешивания потока внутри турбулентой струи.

В первой задаче за основу берется классическая интегральная акустическая модель Ффокса Вильямса - Хокингса (ФВ-Х) [6] с проницаемыми поверхностями, сформулированная в виде решения типа запаздывающего потенциала. В рамках модели ФВ-Х сигнал дальнего поля получен интегрированием численного решения на контрольной поверхности вокруг лопасти несущего винта вертолета. Сам акустический метод ФВ-Х является относительно стандартным [9,12,13,14], его реализация на новизну в настоящей диссертации не претендует.

Для расчета нестационарного потока, обтекающего лопасть, разработан трёхмерный метод решения уравнений Эйлера в координатах движущейся лопасти на структурированных сетках третьего порядка аппроксимации по пространству и по времени. За основу метода взята известная явная сеточно-характеристическая схема Роу [15] и метод Колгана-ван Лира (МАСЛ) [16,17] для увеличения порядка аппроксимации по пространству, а также метод Рунге-Кутта третьего порядка по времени. Для этой схемы разработан новый метод согласования численного решения с решением в неинерционной системе координат вдали от лопасти [18]. Новый метод уже на очень грубых сетках в районе положения контрольных поверхностей интегрирования в методе ФВ-Х позволяет существенно уменьшить чувствительность решения гибридной модели к численным параметрам, таким как выбор поверхности. Последнее является необходимым требованием для анализа влияния различных компонент физической модели на суммарный вклад в шум дальнего поля [19].

В задаче моделирования шума дальнего поля турбулентной струи, наоборот, за основу была взята современная версия акустической аналогий, предложенная Голдстейном [9]. В отличие от предыдущих вариантов акустической аналогии, в формулировке Голдстейна используется полное решение линеаризованных уравнений Эйлера, позволяющее наиболее полно описывать особенности линейного переноса пульсаций по неоднородному фону. В частности, по сравнению с методом ФВ-Х подход Голдстейна представляется менее чувствительным к численным эффектам обработки нелинейного решения при получении эффективного акустического источника.

В настоящей работе впервые формулировка Голдстейна полностью реализована с учётом численного решения линеаризованных уравнений Эйлера без каких-либо упрощений и статистической модели нелинейного источника, которая была получена на основе численного моделирования турбулентности. Для решения линеаризованных уравнений Эйлера в частотной области был разработан новый итерационный алгоритм с использованием двойного итерационного шага для подавления паразитной неустойчивости слоя смешения [21].

Модель нелинейного источника основана на гауссовом распределении корреляционных функций пульсаций скорости, все масштабы которых брались из прямого численного моделирования. Отсутствие «подгоночных» параметров является существенным отличием данной модели по сравнению с предыдущими работами, основанными на статистическом описании турбулентного источника, включал работы

Тама и Орио [22] и Морриса и Фарассата [23]. Для определения корреляционных 8 масштабов был использован новый гибридный подход на основе использования (1) стационарного решения уравнений, усреднённых по Рейнольдсу (RANS) и (2) нестационарного решения, полученного по методу крупных вихрей (LES). В рамках этого подхода корреляционные масштабы, полученные по методу RANS, корректировались по решению LES в ряде точек наиболее активной зоны смешения струи. Использование гибридного подхода приводит к существенной экономии вычислительных ресурсов при вычислении поля распределения пространственно-временных корреляционных коэффициентов решения LES. Сами методы получения решений RANS и LES [24] были получены в результате совместных работ в университетах Лафборо и Кембриджа и на защиту не выносятся.

Независимо от конкретной формулировки гибридного подхода, точность акустического расчёта критическим образом зависит от точности численного решения нелинейных уравнений в ближней зоне акустического источника. В этой связи, для решения аэроакустических задач актульным является использование численных методов повышенной точности. Известным недостатком классических конечно-разностных методов для уравнения переноса в эйлеровых переменных являются большие диссипативные и дисперсионные ошибки [25,26,27]. Одним из часто используемых подходов по улучшению диссипативных и дисперсионных свойств классических схем является использование центральных конечно-разностных схем повышенного порядка аппроксимации. В таких подходах за основу берутся уравнения переноса, записанные в неконсервативной форме, и проводится оптимизация коэффициентов разностного шаблона уравнений линейного переноса для достижения минимальной дисперсионной ошибки при заданном порядке аппроксимации [28,29,30]. Оптимизированные конечно-разностные схемы были разработаны как способ перенесения замечательных свойств спектральных методов в пространственно-временную область для снятия проблем, возникающих при постановке граничных условий в областях конечного размера.

Оптимизированные конечно-разностные схемы эффективны для задач линейного переноса на слабо неоднородных сетках и хорошо разрешенных градиентах среднего поля: уже четвёртого порядка схемы демонстрируют рекордную точность при переносе быстро осциллирующих, но гладких решений. К другому классу методов относятся так называемые методы высокого разрешения, которые основаны на решении уравнений переноса в консервативной форме. Основы построения этих методов были заложены в работах Тихонова и Самарского [31], где для улучшения разностных свойств используются формулы высокого порядка аналитического восполнения (реконструкции) функции потоков или переменных [16,32,33,34]. Для борьбы с паразитными осцилляциями, возникающими при наличии плохо разрешенных градиентов, в решении используются нелинейные ТВД- ограничители потоков. Схемы ТВД второго-третьего порядка хорошо зарекомендовали себя при расчете ударных волн. Однако для задач, связанных с линейным переносом, они оказываются слишком диссипативными. В схемах ТВД/ТВБ повышенного (начиная с пятого) порядка аппроксимации, сочетающих конечно-элементные методы высокого порядка с Римановскими солверами (Разрывный Галёркин)

35] и использующих вместо лимитерной фунцкции переменный шаблон (ЕНО/ВЕНО)

36], этот недостаток практически устранен.

Несмотря на успехи методов повышенного порядка аппроксимации для решения уравнений переноса, возможности схем второго порядка аппроксимации в этом направлении представляются далеко не исчерпаными. Главными достоинствами таких методов является компактность вычислительного шаблона, простота реализации, робастность при обобщении на неоднородные сетки и в режимах больших градиентов решения, а также естественная согласованность граничных условий с сеточным шаблоном, использующимся внутри области. Поэтому улучшение диссипативных и дисперсионных свойств решений, не выходя за пределы класса методов второго порядка, представляется самостоятельной актуальной задачей. Примером перспективного метода второго порядка является схема Кабаре, определенная на компактном постоянном шаблоне и обладающая улучшенными диссипативными и дисперсионными свойствами. Эта схема была предложена Азерлисом [37] и, независимо, в работах Самарского и Головизнина [38,39].

В рамках настоящей диссертации в схему Кабаре внесен существенный новый элемент - консервативный алгоритм нелинейной коррекции [40] на основе принципа максимума, и представлена его' модификация для задач аэроакустики, позволяющая переносить пульсации решения без затухания на грубых сетках [41]. Получено обобщение метода Кабаре в многомерном случае и для системы уравнений Эйлера на криволинейных сетках. Эффективность новой вычислительной методики на основе Кабаре продемонстрирована на тестовых задачах вычислительной аэроакустики и для серии численных экспериментов по рассеянью акустических волн на плоских вихрях [42,43]. Последняя задача представляет особенный интерес с точки зрения теории рассеянья звуковых волн на гидродинамических неоднородностях потока. В частности, эта задача является базовой для понимания взаимодействия звуковых волн с завихренными течениями, включая турбулентные. В случаях, когда турбулентность может быть представлена распределениями локализованных вихрей (подход Крейчнана-Татарского), звуковое поле, рассеянное таким течением, представляет собой суперпозицию рассеянных полей от каждого вихря [44]. Для сравнения в ряде случаев приведены результаты расчёта по схеме Роу-МАСЛ, использованной в трёхмерных расчётах в главе 1 и 2.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Карабасов, Сергей Александрович

Основные выводы Гпавы 4

1. Проведена серия расчётов по методу Кабаре для решения задач по рассеянью акустических волн на вихрях. Показано, что в отличие от стандартных методов типа схемы Роу МАСЛ третьего порядка, схема Кабаре выдерживает тесты по сохранению стационарного решения вихря на долгих временах расчёта.

2. Проведено сравнение решения полученного с использованием метода Кабаре с эталонным решением, полученным в литературе с использованием компактных разностей шестого порядка. Продемонстрировано хорошее согласие с эталонным решением. Получены решения высокочастотной задачи рассеянья акустических волн на гладких вихрях. Продемонстрирована слабая чувствительность решения к грубости сетки.

Проведено прямое сравнение численного решения уравнений Эйлера с полуаналитическими решениями, полученными в литературе с помощью методов геометрической оптики.

3. Проведен расчёт рассеянья волны от точечного источника на вихре Ранкина для резонансного и нерезонансного случая. Для нерезонансного рассеянья проведено сравнение численного решения с асимптотическим решением дальнего поля. В частности, получено хорошее согласие с аналитическими решениями для длинноволнового рассеянья под малыми углами. Для резонансного случая получена оценка угловой частоты, соответствующая разлёту рассеянных волн на больших расстояниях от центра вихря. Эта оценка находится в хорошем соответствии с теоретической моделью на основе подхода Лайтхилла. Показано, что определённые из результатов расчёта масштабные законы изменения амплитуды рассеянья волны относительно числа Маха вихря находятся в хорошем согласии с предсказаниями линейной теории. Впервые с помощью численного моделирования из первых приципов подтверждена применимость линейной модели для описания резонансного рассеянья акустических волн на вихре Ранкина.

4. Проведен расчёт рассеянья волны от точечного источника на вихре Ранкина для нерезонансного случая. Показано, что полученное численное решение находится в хорошем согласии с аналитическими решениями для длинноволнового рассеянья под малыми углами.

5. Проведен расчёт рассеянья волны от точечного источника на вихре Ранкина для резонансного случая. Получена оценка угловой частоты, соответствующая разлёту рассеянных волн на больших расстояниях от центра вихря. Эта оценка находится в хорошем соответствии с теоретической моделью на основе подхода Лайтхилла. Показано, что определённые из результатов расчёта масштабные законы изменения амплитуды рассеянья волны относительно числа Маха вихря находятся в хорошем согласии с предсказаниями линейной теории. Впервые с помощью численного моделирования из первых приципов получено подтверждение применимости линейной модели для описания резонансного рассеянья акустических волн на вихре Ранкина.

Заключение

1. Разработана новая самосогласованная трёхмерная конечно- разностная модель расчета нестационарных ударных волн, возникающих на конце лопасти винта в режиме зависания и прямолинейного полета вертолета. В рамках классического подхода акустической аналогии на основе метода Ффокс Вильямса-Хокингса новая модель использована для расчета аэродинамических характеристик лопасти винта и шума дальнего поля. Новая модель позволяет включать основные элементы движения винта: циклическое изменение угла атаки лопасти при вращении, циклические изменение плоскости вращения всей лопасти вследствие воздействия динамической нагрузки. Валидация новой модели проведена для расчета аэродинамических характеристик на лопасти винта. В частности показано, что распределение подъёмной силы и коэффициента давления находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными и расчетами по более полным аэродинамическим моделям винта. Показано, что результаты расчетов по новой модели находятся в хорошем соответствии с имеющимися экспериментальными данными, включая европейскую базу данных эксперимента HELISHAPE'95.

2. Разработана новая технология расчета шума турбулентной струи на основе формулировки акустической аналогии Голдстейна и использования метода моделирования крупных вихрей (LES). В рамках этой модели решение LES использовалось для калибровки решения по более грубой модели на основе уравнений Навье-Стокса, усредненных по Рейнольдсу (RANS) со станадартной к-г моделью турбулентности. Для переноса использовано численное решение линеаризованных уравнений Эйлера. Получена новая акустическая модель, которая не содержит настроечных параметров и позволяет обнаруживать зоны эффективного акустического источника в струе. Результаты расчета с использованием новой модели находятся в хорошем соответствии с данными измерений для круглой изотермической струи (эксперимент JEAN) и струи из шевронного сопла (эксперимент SHJAR).

3. Разработан новый эффективный итерационный метод для решения линеаризованных уравнений Эйлера в спектральной области при сильно неоднородных средних полях скорости. Отличительной чертой нового метода является исключение паразитной сдвиговой неустойчивости, возникающей при больших градиентах среднего поля. Эффективность нового подхода продемонстрирована с помощью спектрального анализа собственных частот для задач переноса звука в параллельном слое смешения и при численном решении тестовых задач по рассеянью звука в неоднородном поле. Новый метод решения линеаризованных уравнений Эйлера использован для расчёта функции Грина при решении задачи моделирования шума трёхмерной дозвуковой турбулентной струи.

4. Расчетным путем показано, что методы второго порядка аппроксимации на основе метода Кабаре позволяют получать решения в рамках допустимой точности на грубых сетках для широкого класса задач вычислительной аэроакустики. В рамках нового метода разработан алгоритм консервативной нелинейной коррекции схемы Кабаре, приводящий к монотонизации решения на основе принципа максимума. Предложена модификация алгоритма, позволяющая переносить коротковолновые возмущения на большие расстояния без затухания. Предложено обобщение схемы Кабаре на двумерный случай на структурированных криволинейных декартовых сетках. Продемонстрирована их эффективность по сравнению со стандартными методами, включая метод на основе схемы Роу-МАСЛ третьего порядка аппроксимации. Особое внимание при тестировании уделено классу задач, являющихся традиционно сложными для консервативных разностных методов: перенос малых акустичеких возмущений, перенос вихревых возмущений, взаимодействие вихрей и ударных волн, рассеянье акустических волн на вихрях. Для широкового круга задач в плоской постановке приведено сравнение с известными решениями, полученными на основе компактных схем шестого порядка аппроксимации и на основе методов геометрической акустики.

5. Проведен расчёт рассеянья волны от точечного источника на вихре Ранкина для нерезонансного и резонансного случая. Показано, что полученное численное решение для нерезонансного рассеянья находится в хорошем согласии с аналитическими решениями для длинноволнового рассеянья под малыми углами. Для резонансного рассеянья показано, что угловая частота, соответствующая разлёту рассеянных волн на больших расстояниях от центра вихря, в численном решении находится в хорошем соответствии с теоретической моделью на основе подхода Лайтхилла. Определённые из результатов численного расчёта масштабные законы изменения амплитуды рассеяннной волны относительно числа Маха вихря находятся в хорошем согласии с предсказаниями линейной теории. Таким образом, впервые с помощью прямого численного решения уравнений Эйлера получено подтверждение применимости линейной модели для описания резонансного рассеянья акустических волн на вихре Ранкина.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Карабасов, Сергей Александрович, 2009 год

1. Colonius, Т. and Lele, S.K., Computational aeroacoustics: progress on nonlinear problems of sound generation. Progress in Aerospace sciences 40 (2004), pp. 345-416.

2. Lighthill MJ. "On sound generated aerodynamically, I: general theory". Proceedings of the Royal Society A221, 1952, pp. 564-587.

3. Lilley, G. M. 1958 On the Noise from air jets. Aeronaut. Res. Council Rep. Mem. 20, 376.

4. Ffowcs Williams, J. E„ "The noise from turbulence convected at high speed" Phil Trans Roy Soc. Lond. 255, 1963, pp 469-503.

5. Ribner, H. S.1964 The generation of sound by turbulent jets. In Advances in Applied Mechanics, vol. 8, pp. 108-182.

6. Mani, R., "The influence of jet flow on jet noise," Parts 1 and 2. J. Fluid Mech., 73, 1976, pp 753-793.

7. Ffowcs Williams, J.E. and Hawkings, D.L. "Sound generated by turbulence and surfaces in arbitrary motion", Philosophical Transactions of the Royal Society A264, 1969, pp. 321-342.

8. Dowling, A. P., Ffowcs Williams, J. E., and Goldstein, M. E., "Sound production in a moving stream". Phil Trans. Roy. Soc. Lond., A 288, 1978, pp 321-349.

9. Goldstein, M.E., "A generalized acoustic analogy," J. Fluid Mech., 488, 2003 pp 315333.

10. Фелсен JI. и Маркувиц Н., Излучение и рассеяние волн, Издательство "Мир", Москва 1978, том 1.

11. Гутин Л., О звуковом поле вращающегося винта, Журнал технической физики, 6, 1939, стр. 889-909.

12. Brentner, K.S., Lyrintzus, A.A., and Koutsavdis, E.K. "Comparison of Computational Aeroacoutics Prediction Methods for Transonic Rotor Noise". Journal of Aircraft, Vol.34, No.4, 1997, pp. 531-538.

13. Roe P.L. Characteristic based schemes for the Euler equations . Annual. Rev. Fluid. Mech. 1986. V.18. pp.337-365.

14. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. Уч.зап. ЦАГИ, 1972, т.З, N6, с.68-77.

15. Van Leer В., Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel to Godunov's method, J. Comput. Phys., 32 (1979), pp. 101-136.

16. Карабасов С.А. Использование гибридного метода для моделирования шума от высокоскоростных лопастей вертолета, Матем. моделирование, 2006, 18:2, 3-23.

17. Morgans, A.S., Karabasov, S.A., Dowling, А.Р. and Hynes, T.P. "Transonic Helicopter Noise", AIAA Journal 2005, 0001-1452 vol.43 no.7,pp. 1512-152.

18. Карабасов, С.А. Моделирование звукопереноса в неоднородном поле турбулентной струи, Математическое моделирование, 2007,19:8, 66-74.

19. Tam, C.K.W., and Auriault, L., "Jet mixing noise from fine scale turbulence," AIAA Journal, 206, No. 2, 1999, pp 145-153.

20. Morris, P.J., and Farassat, F., "Acoustic analogy and alternative theories for jet noise prediction," AIAA Journal, 40, 2002, pp 671-680

21. Page, G. J., Li, Q„ and McGuirk, J. J., "LES of impinging jet flows relevant to vertical landing aircraft," A1AA-2005-5226, 23rd AIAA Applied Aerodynamics Conf., Toronto, Canada, June 2005.

22. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений, М. Наука, 1978.

23. Самарский А.А. Введение в численные методы, Москва, Наука, 1987.

24. Hirsch С. Numerical Computation of Internal and External Flows. The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics, 2nd Edition, John Wiley&Sons, Ltd 2007.

25. Толстых А.И. О методе численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса, Докл. АН СССР. 1973. Т. 210. № 1. С. 48-51.

26. Lele, S.K., Compact finite-difference scheme with spectral-like resolution, J.Comput. Physics, 103 (1992), 16-42.

27. Tam, C.K.W. and Webb. J.C., Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics, J.Comput. Physics, 107 (1993), 262-281.

28. Тихонов A.H., Самарский А.А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов. ДАН СССР. 1954. т.99. N1 с.27-30.

29. Boris, J.P., Book, D.L., and Hain, К., Flux-corrected transport: Generalization of the method, J. Comput. Phys, 31,(1975), 335-350.

30. Harten, A., Engqist, В., Osher, S., and Chakravarthy, S. Uniformly High Order Accurate Essentially Non-Oscillatiry Schemes III, J. Comput. Phys, 71, (1987), pp. 231-303.

31. Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа. Математическое моделирование. 1989. т.1, N5. с.95-120.

32. Cockburn В and Shu CW: Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated ProblemSi Journal of Scientific Computing, 16(3): 173-261, Sept 2001.

33. Liu, X.D., Osher, S., and Chan, Т., Weighted essentially non-oscillatory schemes, J.Сотр. Phys, 115 (1994), 200-212.

34. Iserles, A., Generalized Leapfrog Methods, IMA Journal of Numerical Analysis, 6 (1986), 3, pp. 381-392.

35. Самарский A.A., Головизнин, B.M., Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной, Матем. моделирование, 1998, 10:1, 86-100.

36. Самарский А.А., Головизнин, В.М., Некоторые свойства разностной схемы "кабаре", Матем. моделирование, 1998, 10:1, 101-116.

37. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Нелинейная коррекция схемы Кабаре, Матем. моделирование, 1998, 10:12, 107-123.

38. Karabasov S.A. and Goloviznin V.M. "Compact Accurately Boundary Adjusting highREsolution Technique for Fluid Dynamics", J. Comput.Phys.,228 (2009) 7426-7451.

39. Colonius T„ Lele S.K., and Moin P., "The scattering of sound waves by a vortex: numerical simulations and analytical solutions", J Fluid Mech (1994), 260, pp 271-298.

40. Belyaev, I.V. and Kopiev, V.F. New approach to the problem of long-wave sound scattering by Rankine vortex, J.Acoust.Soc.Am.2008, V123, N 5, Pt 2 of 2, p. 3845.

41. Kreichnan, R.H., "The scattering of sound in a turbulent medium". J, Acoust. Soc. Am. 25, 1953, pp. 1096-1104.

42. Brentner K.S. and Farassat, F. "Analytical Comparison of the Acoustic Analogy and Kirchhoff Formulation for Moving Surfaces". AIAA Journal, Vol. 36, No. 8, 1998, pp. 1379-1386

43. Baeder, J.D. "Euler Solutions to Nonlinear Acoustics of Non-Lifting Rotor Blades", International Technical Specialists Meetings on Rotorcraft Acoustics and Rotor Fluid Dynamics, Philadelphia, PA, USA, 1991.

44. Howe M.S., Theory of Vortex Sound /Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press, 2003

45. Grace S.M. "Fundamentals of Aeroacoustics", Advances in Aeroacoustics and Applications, von Karman Institute for Fluid Dynamics Lecture Series, 2004-05.

46. Соболев, С.Л. Уравнения математической физики, Наука, Москва, 1966.

47. Farassat, F. and Mayers, M.K. "Extension of Kirchhoffs Formula to Radiation from Moving Surfaces". Journal of Sound Vibration, 1997, 123(3), pp. 451-460.

48. Lyrintzis, A.S. "Review: The Use of Kirchhoffs Method in Computational Aeroacoutics", ASME Journal of Fluids Engineering, Vol. 116, December 1994, pp. 665676

49. Lyrintzis, A.S. and Xue, Y. "Versatile Kirchhoff Code for Aeroacoutic Predictions". AIAA Journal. Vol. 35, No.l, 1997

50. Padfield, G.D. Helicopter flight dynamics, Blackwell Science, 1996

51. Hirsh, C., "Numerical computation of internal and external flows", V2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, 1990 John Wiley & Sons Ltd.

52. Karabasov, S.A. and Hynes, T.P. "A Method for Solving Compressible Flow Equations in an Unsteady Free Steam", Proc. IMechE 2006, Vol. 220 Part C:J. Mechanical Engineering Science, N.2, pp. 185-202

53. Allen, C.B., The reduction of numerical entropy generated by unsteady shockwaves, Preprint from The Aeronautical Journal of the Royal Aeronautical Society, 1997.

54. Goloviznin V.M., Hynes T.P., and Karabasov S.A., CABARET finite-difference schemes for the one-dimensional Euler equations. Mathematical Modelling and Analysis, V.6, N.2 (2001), pp. 210-220.

55. Krame, E., Hertel, J. and Wagner, S. Euler procedure for calculation of the steady rotor flow with emphasis on wake evolution, AIAA 90-3007-CP, 1990.

56. Zhong, B. and Qin, N., "Non-inertial multiblock Navier-Stokes calculation for hovering rotor flow fields using relative velocity approach", The Aeronautical Journal, July 2001, pp 379-389.

57. Abalakin, I., Dervieux, A. and Kozubskaya, T., "On Computational Efficiency of Euler Based Models in Free Flow AeroAcoustics", 6-th CEAS-ASC Workshop: From CFD to CAA, November 2002, NTUA Athens, Greece.

58. Chorin, A.J., "Numerical solutions of the Navier-Stokes equation", Math. Comp., 22, (1968), pp.745-762

59. Karabasov, S.A. and Hynes, T.P., "Open Boundary Conditions of Predictor-Corrector type for external flows". AIAA-2002-2442, 2002.

60. Thompson, K.W. Time dependent boundary conditions for hyperbolic systems, II. Journal of Computational Physics, 89, pp. 439-461, 1990.

61. Giles, M.B., "Nonreflecting Boundary Conditions for Euler Equations Calculations", AIAA Journal, Vol. 28, No. 12, pp2050-2058.

62. Rowley, C.W. and Colonius, T., "Discretely Nonreflecting Boundary Conditions for Linear Hyperbolic Systems", Journal of Computational Physics, 157, pp. 500-538, 2000.

63. Tarn, C.K.W. and,Webb, J.C, "Dispersion-Relation-Preserving finite difference schemes for computational acoustics". Journal of Computational Physics, 48,1982, pp. 182-199.

64. Tam, C.K.W. and Dong, Z. "Radiation and outflow boundary conditions for direct computation of acoustic and flow disturbances in a non-uniform mean flow", Journal of Computational Acoustics, 4, 1996, pp. 175-201.

65. Hu, F.Q. "On Absorbing Boundary Conditions for Linearized Euler Equations by a Perfectly Matched Layer", Journal of Computational Physics, 129, 1996, pp. 201-219.

66. Hu, F.Q. "A Stable Perfectly Matched Layer for Linearized Euler Equations in Unsplit Physical Variables", Journal of Computational Physics, 173, 2001, pp. 455-480

67. Shaw S.T. and Qin N., "Unsteady flow around helicopter rotor blade sections in forward flight", The Aeronautical Journal of the Royal Aeronatical Society, pp. 35-44, 1999

68. Van Dyke, M,, Perturbation Methods in Fluid Mechanics, The Parabolic Press, 1975.

69. Chen, C.L., McCroskey, W J„ and Obayashi, S., "Numerical Solution of Forward-Flight Rotor Flow Using an Upwind Method", J. Aircraft, 1991, V.28, pp.374-380.

70. Samanta, A., Freund, J.B., Wei, M. and Lele, S.K. Robustness of Acoustic Analogies for Predicting Mixing-Layer Noise, AIAA Journal, Vol. 44, No. 11, November 2006, pp. 2780-2786.

71. Shur, M.L., Spalart P.R., Strelets, M.Kh. "Noise prediction for increasingly complex jets. Part I: Methods and tests." International Journal of Aeroacoustics, 4, 3-4, 2005, pp.213246.

72. Tam, C.K.W., and Auriault, L., "Mean flow refraction effects on sound radiated from localized sources in a jet," J, Fluid Mech., 370, 1998, pp. 149-174.

73. Power, O., Kerherve, F., Fitzpatrick, J., and Jordan, P., "Measurements of turbulence statistics in high subsonic jets", AIAA-2004-3021, 10th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Manchester, UK, June 2004.

74. Argawal, A., Morris P.J., and Mani, R., "Sound propagation in non-uniform flows: Suppression of instability waves," AIAA Journal, 42, 2004, pp 80-88.

75. Karabasov, S. A. and Hynes, T. P., "Adjoint Linearized Euler solver in the frequency domain for jet noise modelling," AIAA-2006-2673 12th AIAA/CEAS Cambridge, Massachusetts, 2006

76. Bechara, W., Lafon, P., Bailly, C„ and Candel, S. M., "Application of a k-e turbulence model to the prediction of noise for simple and coaxial free jets", J. Acoust. Soc. Am. 97, 1995, pp 3518-3531.

77. Afsar, M.Z., Dowling, A.P., and Karabasov, S.A., "Jet noise in the zone of silence," AIAA-2007-3606, 13th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Rome, Italy, May 2007.

78. Bridges, J., Brown, C., 2004. Parametric testing of chevrons on single flow hot jets. AIAA-2004-2824, 10th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Manchester, UK, June 2004.

79. Saad,Y, "SPARSKIT: A basic tool-kit for sparse matrix computations", URL: http://www-users.cs.umn.edu/~saad/software/SPARSKIT/sparskit.html

80. Denton, J.D. and Xu, L. "The effects of lean and sweep on transonic fan performance". AS ME TURBO EXPO 2002, June, 2002, paper GT-2002-303327.

81. Fletcher, C.A.J. "Computational techniques for fluid dynamics", V I, Springer-Verlag, 2nd Edition, 1991.

82. Tarn, С. K. W. and Burton, D. E. "Sound generated by instability waves of supersonic flows. Part 1. Two-dimensional mixing layers". J. Fluid Mech., 138, 1984, pp. 249-272.

83. Копьёв В.Ф., Чернышев C.A. «Об учёте вязких эффектов при описании волн неустойчивости в сверхзвуковых струях», МЖГ, 5, 2009, 165-179.

84. Lehoucq, R. В., Sorensen, D. С. and Yang, С. "ARPACK Users' Guide: Solution of Large-Scale Eigenvalue Problems with Implicitly Restarted Arnoldi Methods". SIAM, Phildelphia, 1998.

85. ERCOFTAC Special Interest Group on Quality and Trust in industrial CFD, Best Practice Guidelines 1999.

86. Pokora, C. and McGuirk, J J. "Spatio-Temporal Turbulence Correlations Using HighSpeed PIV in an Axisymmetric Jet", AIAA-2008-3028, 14th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Vancouver, British Columbia, May 5-7,2008.

87. Harper-Bourne, M., "Jet noise turbulence measurements", AIAA-2003-3214, 9th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, 2003.

88. Xia, H., Tucker, P. G. and Eastwood, S. Jet flow LES of conceptual nozzles for acoustics predictions, 46th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, Nevada, 7-10th Jan 2008, Paper No. AIAA-2008-0010, 2008.

89. Tarn, C.K.W., Viswanathan, K„ Ahuja, K.K. and Panda, J., "The sources of jet noise: experimental evidence", Journal of Fluid Mechanics, 615, 2008, pp. 253-992.

90. Kraichnan, R, H., "Pressure field within homogeneous anisotropic turbulence", Journal of the Acoustical Society of America, 28, 1956, pp. 64-72.

91. Goldstein, M. E. and Rosenbaum, B., "Effect of anisotropic turbulence on aerodynamic noise", Journal of the Acoustical Society of America, 54, 1973, pp. 630-645.

92. Goldstein, M. E., and Leib, S. J., "The aeroacoustics of slowly diverging supersonics jets", Journal of Fluid Mechanics, 600, 2008, pp. 291-337.

93. Saiyed, N., Mikkelsen K.L., Bridges, J., 2000. Acoustics and thrust of separate-flow exhaust nozzles with mixing devices for high-bypass-ratio engines, NASA7TM 2000209948.

94. Kenzakowski, D.C„ Shipman, J., Dash, S.M., 2000. Study of three-stream laboratory jets with passive mixing enhancements for noise reduction, AIAA Paper 2000-0129.

95. Shur, M.L., Spalart, P.R., Strelets, M.K., 2005. Noise prediction for increasingly complex jets. Part ii: Applications. International Journal of Aeroacoustics 4 (34),247-266.

96. Birch, S.F., Lyubimov, D.A., Maslov, V.P., Secundov, A.N., 2006. Noise prediction for chevron nozzle flows. In: 12th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, May 2006, AIAA Paper 2006-2600.

97. Xia, H., Tucker, P.G., Eastwood S., Large-eddy simulations of chevron jet flows with noise predictions, International Journal of Heat and Fluid Flow (2009) doi: 10.1016/j.ijheatfluidflow.2009.05.002.

98. Spalart, P.R., Allmaras, S.R., 1992. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows. AIAA Paper 92-0439, January 1992.

99. Grinstein, F.F., Fureby, C., 2002. Recent progress on miles for high Reynolds number flows. ASME Journal of Fluids Engineering 124 (December), 848-861.

100. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М. Наука. 1975.

101. Годунов, С.К. Разностная схема для численного расчёта разрывных решений уравнений гидродинамики, Мат.Сб., 47(1959), стр. 271-306.

102. Colella Р. , Woodward P.R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations . J. Comput. Physics. 1984. V. 54. pp. 174-201.

103. Никишин В.В., Попов И.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы трехмерной газовой динамики для задач о развитии неустойчивости Рихтмайера Мешкова. Математическое моделирование, т. 7, № 5, 1995 г.

104. Головизнин, V.M., Карабасов, С. А., Кобринский, И.М. Балансно-характеристич^ские схемы с разделенными консервативными и потоковыми переменными, Матем. моделирование, 2003, 15:9,29-48.

105. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Балансно-характеристические схемы на кусочно-постоянных начальных данных. Прыжковый перенос, Матем. моделирование, 2003, 15:10,71-83.

106. Roe, P.L. Linear bicharacteristic schemes without dissipation, SISC, 1998, 19, pp. 1405-1427.

107. Tran, Q.H. and Scheurer, B. "High-Order Monotonicity-Preserving Compact Schemes for Linear Scalar Advection on 2-D Irregular Meshes", J. Сотр. Phys. 2002, Vol. 175, Issue 2, pp. 454 486.

108. Kim S., High-order upwind leapfrog methods for multidimensional acoustic equations, Int J. Numer. Mech. Fluids, 44 (2004), pp. 505-523.

109. Головизнин B.M., Карабасов C.A., Суходулов Д.А., Вариационный подход к получению разностной схемы с пространственно расщепленной временной производной для уравнения Кортвега-де Вриза, Матем. моделирование, 2000, 12:4, 105-116.

110. Goloviznin V.M., Hynes Т.Р., and Karabasov S.A., CABARET finite-difference schemes for the one-dimensional Euler equations. Mathematical Modelling and Analysis, V.6, N.2 (2001), pp. 210-220.

111. Головизнин B.M., Балансно-характеристический метод численного решения одномерных уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных, Матем. моделирование, 2006, 18:11, 14-30.

112. Goloviznin, V.M., Semenov, V.N., Korortkin, I.A., and Karabasov, S.A., A novel computational method for modelling stochastic advection in heterogeneous media. Transport in Porous Media, Springer Netherlands, 2007, 66(3), pp. 439-456.

113. Karabasov, S.A., Berloff, P.S., and Goloviznin V.M. CABARET in the Ocean Gyres, J. Ocean Model., 30 (2009), pp. 155-168.

114. Karabasov, S.A. and Goloviznin, V.M. New Efficient High-Resolution Method for Nonlinear Problems in Aeroacoustics, AIAA Journal, 2007, vol. 45, no. 12, pp. 2861 -2871.

115. Keller, H.B. Computational fluid dynamics, AMS Bookstore, 1978.

116. Остапенко B.B. О монотонности балансно-характеристической схемы, Мат.Моделирование, 21 (2009), стр. 29-42.

117. Того Е. Rieman solvers and numerical methods for fluid dynamics. Berlin, Heidelberg: Springer, 1997.

118. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, J. Comput. Phys., 77 (1988), pp. 439-471.

119. Titarev V.A., Того E.F., WENO schemes based on upwind and centred TVD fluxes, Comput. Fluids, 34 (2005), pp. 705-720.

120. Zhou, Y.C. and Wei G.W., High-resolution conjugate filters for the simulation of flows, J. Сотр. Phys, 189, No 1, 2003, 159-179.

121. Hixon, R. "Evaluation of a high-accuracy MacCormack-type scheme using benchmark problems", NASA Contractor Report 202324, ICOMP-97-03.

122. Kopiev V.F. and Chernyshev S.A. "Vortex ring eigen-oscillation as a source of sound", 1997, J Fluid Mech. 341,19-57.

123. Crighton D.G. Goals for computational acoustics // Computational Acoustics: Algorithms and Applications (ed. D.Lee, R.L. Sternberg and M.H.Shultz), Elsevier, 1988.

124. Kinsler, L.E., Frey, A.R., Coppensand, A.B., Sanders, J.V. Fundamentals of acoustics, Wiley and Sons Inc. (2000).

125. Georges, T.M. Acoustic ray paths through a model vortex with a viscous core, J.Acoust.Soc. of America, Vol. 51, No. 1 (Part 2) pp. 206-209 (1972).

126. Tucker, P.G. and Karabasov, S.A. Unstructured Grid Solution Approach for Eikonal Equation with Acoustics in Mind, International Journal of Aeroacoustics, vol 8 (6), 2009, pp.535-554.

127. Howe, M.S., "The generation of sound by aerodynamic sources in an inhomogeneous steady flow", J. Fluid Mech., Vol 67, No. 3, 1975, pp. 597-610.

128. Broadbent, E. G. and Moore, D. W., "Acoustic Destabilization of Vortices", Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A., 1979, pp. 290-353.

129. Tucker, P.G. and Karabasov, S.A. Unstructured Grid Solution Approach for Eikonal Equation with Acoustics in Mind, International Journal of Aeroacoustics, vol 8 (6), 2009, pp.535-554.

130. Howe M.S., Theory of Vortex Sound /Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press, 2003.

131. Karabasov S.A., Kopiev V.F. and Goloviznin V.M. "On a Classical Problem of Acoustic Wave Scattering by a Free Vortex: Numerical Modelling", AIAA paper 20093234, Miami, 15th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Miami, FL, 11-13 May 2009.

132. O'Shea S. Sound scattering by a potential vortex, J. Sound Vib. 1975. V.43. pp.109-116.

133. Reinschke J., Mohring W., Obermeier F. Scattering of sound waves by a cylindrical vortex: a semi-analytical theory, J. Fluid Mech. 1997. V.333. pp. 273-300.