Математическое моделирование взаимодействия газовых пузырьков в жидкости в акустическом поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Давлетшин, Анас Ильгизович

• Давлетшин, Анас Ильгизович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Давлетшин, Анас Ильгизович

Введение.

I. Модели и методы расчета взаимодействия пузырьков в интенсивных акустических полях: краткий обзор

§1. Динамика отдельных пузырьков.

§2. Характерные особенности взаимодействия пузырьков в интенсивных акустических полях.

§3. Модели и методы расчета взаимодействия сферических пузырьков

§4. Модели и методы расчета взаимодействия слабонесферических пузырьков.

§5. Модели и методы расчета взаимодействия сильнонесферических пузырьков.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование взаимодействия газовых пузырьков в жидкости в акустическом поле»

Актуальность работы. Физические свойства жидкостей с пузырьками, происходящие в них химические превращения, биологические процессы и т.д. в значительной степени зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. Интенсивность такого взаимодействия увеличивается в акустических полях, где давление жидкости является переменным, вследствие чего пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания. В результате взаимодействия радиальные колебания отдельных пузырьков могут усиливаться или ослабляться, пузырьки могут удаляться друг от друга или сближаться, формировать устойчивые структуры (связанные пары, кластеры, стримеры) и т.д. Сближение пузырьков может приводить к их столкновению с образованием в жидкости новых более крупных газовых включений. Из-за отталкивания пузырьки могут удаляться так далеко, что их последующее взаимодействие становится несущественным. Другим результатом взаимного влияния пузырьков может быть формирование из них кластеров, которые ведут себя как единое целое (как совокупность "связанных" пузырьков). Такие кластеры в последующем могут либо перемещаться в акустическом поле, либо фиксироваться в его определенных местах (например, в пучностях или узлах).

Существующие в настоящее время математические модели и методы расчета задач взаимодействия пузырьков можно условно разбить на три группы. К первой относятся подходы, в которых уравнения взаимодействия представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка относительно радиусов взаимодействующих пузырьков, пространственных координат их центров и, в случае несферических пузырьков, амплитуд отклонения формы пузырьков от сферической в виде отдельных сферических гармоник. Решение здесь, как правило, находится численно с применением какого-либо варианта метода Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования по времени. Вторую группу составляют различные варианты метода граничных элементов. Третью группу образуют методы прямого численного моделирования: метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Модели и методы расчета первой группы имеют более долгую историю. С их применения фактически и началось теоретическое изучение взаимодействия пузырьков, тогда как модели и методы второй и третьей групп стали использоваться значительно позже (с 1970-х годов). Несмотря на это модели и методы расчета первой группы продолжают активно развиваться и применяться, что обусловлено их высокой экономичностью и развитием быстродействия вычислительной техники. Во многих случаях такие модели оптимально подходят и для изучения задач взаимодействия слабонесфери-ческих пузырьков в сильных акустических полях. Вместе с тем, их применение в существующем виде ограничено, в основном, из-за относительно небольшой точности описания взаимодействия близко расположенных пузырьков.

В качестве меры близости взаимодействия пузырьков принято считать безразмерный параметр д — тах[(Щ + Rj)/dij] < 1 - максимальное по всем парам взаимодействующих пузырьков отношение суммы их радиусов к расстоянию между их центрами, где Ri, Rj - радиусы пузырьков, dij - расстояние между их центрами (i ф j), i,j — 1,2К - общее количество взаимодействующих пузырьков. К настоящему времени в рамках подходов первой группы наиболее развитыми являются модели и методы исследования «дальнего» взаимодействия, когда расстояние между пузырьками относительно велико (когда 5 < 0.1). Изучение дальнего взаимодействия было начато еще на рубеже 19 и 20 веков (Бьеркнесами). С тех пор получено много теоретических и экспериментальных результатов. Теоретические исследования проводились, в основном, с применением математических моделей, имеющих относительно д второй порядок точности. Однако такой точности может быть и недостаточно для адекватного описания наблюдаемых экспериментально кластеров и стримеров, поскольку расстояния между пузырьками в этих структурах могут быть меньше тех, что характерны для дальнего взаимодействия. Сравнительно недавно были разработаны модели, имеющие относительно 6 третий и четвертый порядки точности. Однако и их точности может быть недостаточно, поскольку необходимо иметь в виду, что для контроля достоверности результатов решение 71-го порядка точности нужно сравнивать с решением (п + 1)-го порядка, так как лишь их близость позволяет сделать заключение о достоверности решения гг-го порядка. Поэтому, строго говоря, модели четвертого порядка точности позволяют получить правильное решение лишь с третьим порядком, третьего - со вторым и т.д.

Другим недостатком известных моделей первой группы является то, что пузырьки в них, как правило, считаются сферическими. Вместе с тем, результатом взаимодействия может быть не только указанное выше сближение и удаление пузырьков или формирование из них связанного кластера, но и деформация пузырьков. Большие деформации пузырьков могут привести к их разрушению. При разрушении каких-либо пузырьков в группе свойства всей группы могут существенно измениться. Поэтому деформацию пузырьков следует учитывать, иначе полученные теоретические предсказания их поведения могут оказаться далекими от действительности.

Таким образом, построение относящихся к первой группе математических моделей взаимодействия близко расположенных друг к другу пузырьков («близкого» взаимодействия) в акустическом поле с учетом деформаций их поверхностей в силу их высокой экономичности является весьма актуальным.

Цель работы. Целью работы является построение, верификация и апробация математических моделей взаимодействия близко расположенных друг к другу газовых пузырьков в жидкости в акустическом поле с учетом малых деформаций их поверхностей.

Научная новизна работы. Научная новизна диссертации состоит в следующем.

1. Разработаны математические модели близкого взаимодействия слабонесферических пузырьков в виде систем ОДУ второго порядка относительно радиусов пузырьков, координат их центров и амплитуд отклонений их формы от сферической и первого порядка для температур газа в пузырьках с учетом влияния вязкости и сжимаемости жидкости, теплообмена между жидкостью и пузырьками.

2. Предложена методика численного решения соответствующих задач, включающая метод последовательных приближений для решения систем линейных уравнений относительно коэффициентов представления потенциала скорости в виде ряда по полиномам Лежандра и метод Дормана-Принса для решения систем ОДУ.

3. Обнаружены режимы взаимодействия пузырьков, при которых их радиальные колебания, пространственные перемещения и деформации не зависят от предыстории взаимодействия. Выявлено, что при дорезонансном возбуждении радиальные колебания взаимодействующих пузырьков и их пространственные перемещения могут быть слабо зависящими от деформаций пузырьков. Показана возможность взаимодействия несферических пузырьков с образованием связанных пар и троек.

Научная и практическая ценность работы. Предложенные в работе математические модели и метод расчета динамики пузырьков могут быть использованы для проведения детальных исследований радиальных колебаний, пространственных перемещений и малых деформаций близко расположенных друг к другу пузырьков. Они могут применяться также для оценки влияния друг на друга пузырьков в кластере. Их можно применять при планировании экспериментальных исследований взаимодействия пузырьков, для изучения циклических нагрузок при кавитационном воздействии на жесткие стенки. Предложенные математические модели и метод расчета можно использовать для получения эталонных решений при тестировании более сложных методов расчета взаимодействия пузырьков (конечных элементов или конечных разностей).

Достоверность результатов работы. Достоверность результатов диссертации обеспечивается корректностью постановки задачи, согласованием результатов расчетов с экспериментальными данными, численными решениями других авторов, численными решениями, полученными автором с применением других математических моделей.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных школах и семинарах:

- Научная конференция «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» (Зеленодольск, 2006);

- Российская конференция «Механика и химическая физика сплошных сред» (Бирск, 2007);

- VI Молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007);

- Всероссийский семинар, посвященный столетию Аминова М.Ш. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2008);

- XXVIII и XXIX научные конференции молодых ученых и специалистов ТГГПУ (Казань, 2008, 2009);

- Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2008);

- VI Всероссийская школа-семинар молодых ученых и специалистов акад. РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008);

- Всероссийский семинар, посвященный столетию Кузьмина П.А. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2008);

- VII Молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2008» (Казань, 2008);

- Российский симпозиум "Динамика многофазных сред", посвященный 50-летию чл.-корр. РАН Д.А. Губайдуллина (с участием академика РАН Р.И. Нигматулина) (Казань, 2008);

- Итоговые научные конференции Учреждения Российской академии наук Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН за 2007, 2008 г.

Работа в целом была заслушена на Семинаре Учреждения Российской академии наук Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН под руководством член-корреспондента РАН Д.А. Губайдуллина.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 статей и 2 тезисов. Основное содержание диссертации отражено в работах [2-4,6,7,9-11]. Большинство работ выполнено в соавторстве с научным руководителем д.ф.-м.н., профессором А.А Аганиным. Вклад научного руководителя в публикациях заключается в постановке задач, в разработке математических моделей и методов расчета, анализе полученных результатов. Вклад автора диссертации состоит в участии в разработке математических моделей и методов расчета, написании и тестировании программ, проведении расчетов и анализе полученных результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, содержащих 26 параграфов, и, заключения. Изложена на 160 страницах, включающих 31 рисунок и список литературы из 167 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Давлетшин, Анас Ильгизович

Заключение

1. Разработана математическая модель близкого взаимодействия слабо-несферических пузырьков с учетом влияния вязкости и сжимаемости жидкости, теплообмена между жидкостью и пузырьками. Это - система ОДУ второго порядка относительно радиусов пузырьков, координат их центров и амплитуд отклонений их формы от сферической и первого порядка для температур газа в пузырьках. В нее также входят явно не выраженные коэффициенты разложения потенциала скорости по полиномам Лежандра. В отличие от существующих моделей она имеет произвольный порядок точности относительно 5 (отношения суммы радиусов двух пузырьков к расстоянию между их центрами).

2. Получены уравнения взаимодействия: (а) одного слабонесферическо-го пузырька с плоской жесткой стенкой, более двух (б, в) сферических и (г) слабонесферических пузырьков между собой, имеющие по 5 четвертый (а), пятый (б), произвольный (в) и четвертый (г) порядки точности. Эти уравнения либо точнее известных (б, в), либо более удобны для анализа и применения (а, г).

3. Предложена методика численного решения задач взаимодействия в рамках разработанных моделей, включающая метод последовательных приближений для решения систем линейных уравнений относительно коэффициентов представления потенциала скорости в виде ряда по полиномам Лежандра и метод Дормана-Принса для решения системы ОДУ.

4. Обнаружены режимы взаимодействия пузырьков, при которых их радиальные колебания, пространственные перемещения и деформации не зависят от предыстории взаимодействия.

5. Выявлено, что при дорезонансном возбуждении радиальные колебания взаимодействующих пузырьков и их пространственные перемещения могут быть слабо зависящими от деформаций пузырьков, что объясняется кратковременностью проявления немалых деформаций и малыми радиусами, при которых они возникают.

6. Установлена возможность взаимодействия несферических пузырьков с образованием связанных пар и троек. Показано, что с увеличением числа пузырьков возрастает зависимость сценариев их взаимодействия от их начального положения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Давлетшин, Анас Ильгизович, 2010 год

1. Аганин А.А. Устойчивость сильного сжатия сферического пузырька / А.А.Аганин, Т.С.Гусева, М.А.Ильгамов и др. // Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. Сб. Санктпетербургский государственный университет. Санкт-Петербург, 2002. С. 7-13.

2. Аганин А.А. Динамика двух газовых пузырьков в жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук. Сблрник докладов научной конференции. Казань, 2006. С. 75-77.

3. Аганин А.А. Взаимодействие сферических газовых пузырьков в жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин, В.Г.Малахов // Труды ИМех УНЦ РАН. Вып. 5. Уфа, 2007. С. 66-72.

4. Аганин А.А. Взаимодействие сферических газовых пузырьков в вязкой жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 36. Казань, 2007. С. 3-5.

5. Аганин А.А. Взаимодействие двух сферических газовых пузырьков в несжимаемой жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Материалы VII Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 2008. С. 8-9.

6. Аганин А.А. Математическая модель динамики двух сферических пузырьков / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной конференции. Т. 3. Уфа, 2008. С. 61-65.

7. Аганин А.А. Алгоритм решения задач взаимодействия пузырьков / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: Материалы докладов. Казань, 2008. С. 109-112.

8. Аганин А.А. Динамика газовых пузырьков в жидкости с малыми деформациями их поверхностей / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Труды Мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 37. Казань, 2008. С. 7-10.

9. Аганин А.А. Моделирование взаимодействия газовых пузырьков в жидкости с учетом их малой несферичности / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 6. С. 89-102.

10. Аганин А.А. Уточненная модель взаимодействия сферических газовых пузырьков в жидкости / А.А.Аганин, А.И.Давлетшин // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 9. С. 89-98.

11. Аганин А.А. Простейшая модель вязкости в динамике жидкости с цилиндрической полостью / А.А.Аганин, М.А.Ильгамов // Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. Сб. Санктпетер-бургский гос. университет. Санкт-Петербург, 2002. С. 14-20.

12. Аганин А.А. Нелинейные несферические колебания пузырька газа при периодическом изменении давления окружающей жидкости / А.А.Аганин, М.А.Ильгамов, Л.А.Косолапова, В.Г.Малахов // Теплофизика и аэромеханика. 2008. Т. 15. JY2 3. С. 521-533.

13. Аганин А.А. Моделирование сильного сжатия газовой полости в жидкости / А.А.Аганин, М.А.Ильгамов, Т.Ф.Халитова // Математическое моделирование. 2008. Т. 20. № 11. С. 89-103.

14. Воинов О.В. Динамика капиллярных волн на пузыре при нелинейных пульсациях в жидкости малой вязкости / О.В.Воинов // ПМТФ. 1994а. Т. 3. С. 87-97.

15. Воинов О.В. О времени жизни симметрично пульсирующего пузыря / О.В.Воинов // ПМТФ. 1994b. Т. 3. С. 97-101.

16. Воинов О.В. О схеме захлопывания кавитационного пузырька около стенки и образования кумулятивной струйки / О.В.Воинов, В.В.Воинов // ДАН СССР. 1976. Т. 227. № 1. С. 63-66.

17. Воинов О.В. Численный метод расчета нестационарных движений идеальной несжимаемой жидкости со свободными поверхностями / О.В.Воинов, В.В.Воинов // ДАН СССР. 1975. Т. 221. № 3. С. 559-562.

18. Воинов О.В. Уравнения Лагранжа для системы пузырей изменяющихся радиусов в жидкости малой вязкости / О.В.Воинов, А.М.Головин // МЖГ. 1970. № 3. С. 117-123.

19. Воинов О.В. Об устойчивости поверхности газового пузыря пульсирующего в жидкости / О.В.Воинов, В.В.Перепелкин // ПМТФ. 1989. Т. 3. С. 76-83.

20. Воинов О.В. Движение пузырей в жидкости / О.В.Воинов, А.Г.Петров // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. 1976. Т. 10. Р. 86-147.

21. Воронин Д.В. Вторичные акустические волны в полидисперсной пузырьковой среде / Д.В.Воронин, Г.Н.Санкин, В.С.Тесленко и др. // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 1. С. 22-32.

22. Заболотская Е.А. Взаимодействие газовых пузырьков в поле звуковой волны / Е.А.Заболотская // Акуст. журнал. 1984. Т. 30. Вып. 5. С. 618623.

23. Завтрак С.Т. К вопросу о силе взаимодействия Бьеркнеса двух газовых пузырьков в поле звуковой волны / С.Т.Завтрак // Акуст. журнал. 1987. Т. 33. № 2. С. 240-245.

24. Закиров К.Р. Числениое моделирование роста и схлопывания пузырьков в сжимаемой жидкости : дис. . канд. физ.-мат. наук / К.Р.Закиров ; Институт механики Уфимского научного центра РАН. -Уфа, 2005. 104 с.

25. Ильгамов М.А. Модели динамики несферического пузырька с учетом вязкости жидкости / М.А.Ильгамов, А.А.Аганин, Л.А.Косолапова и др. // Труды 16-сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. Т. 16. Казань, 2002. С. 192-201.

26. Ильгамов М.А. Исследование эволюции формы пузырька газа в жидкости по уточненной модели / М.А.Ильгамов, Т.Ф.Халитова, Н.А.Хисматуллина // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной конф. Т. 3. Уфа, 2008. С. 119-122.

27. Кнэпп Р. Кавитация / Р.Кнэпп, Дж.Дейли, Ф.Хэммит. М. : Мир, 1974. - 678 с.

28. Кобелев Ю.А. Эффект самопросветления для акустических волн в жидкости с пузырьками газа / Ю.А.Кобелев, Л.А.Островский, А.М.Сутин // Письма в ЖТФ. 1979. Т. 30. Вып. 7. С. 423-425.

29. Косолапова Л.А. Исследование эволюции формы пузырька газа в жидкости по уточненной модели / Л.А.Косолапова, В.Г.Малахов // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной конференции. Т. 3. Уфа, 2008. С. 119-122.

30. Кузнецов Г.Н. Взаимодействие пульсирующих пузырьков в вязкой жидкости / Г.Н.Кузнецов, И.Е.Щукин // Акуст. журнал. 1972. Т. 18. С. 565-570.

31. Ламб Г. Гидродинамика / Г.Ламб. М., Л. : Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1947. - 929 с.

32. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика / В.Г.Левич. М. : Физматгиз, 1959. - 699 с.

33. Маргулис М.А. Сонолюминесценции / М.А.Маргулис // Успехи физ. наук. Обзоры актуальных проблем. 2000. Т. 170. № 3. С. 263-287.

34. Маргулис И.М. Динамика взаимодействия пузырьков в кавитацион-ном облаке / И.М.Маргулис, М.А.Маргулис // ЖФХ. 2004. Т. 78. № 7. С. 1326-1337.

35. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1 / Р.И.Нигматулин. М. : Наука, 1987. - 464 с.

36. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И.Нигматулин. М. : Наука, 1978. - 336 с.

37. Перник А.Д. Проблемы кавитации / А.Д.Перник. Л. : Судпромгиз, 1963. - 336 с.

38. Рождественский В.В. Кавитация / В.В.Рождественский. Л. : Судостроение, 1977. - 248 с.

39. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э.Хайрер, С.Нерсетт, Г.Виннер. М.: Мир, 1990. -512 с.

40. Халитова Т.Ф. Численное моделирование сильного сжатия кавитаци-онного пузырька: дис. канд. физ.-мат. наук / Т.Ф.Халитова; Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН. -Казань, 2009. 120 с.

41. Afanasiev К.Е. Numerical investigation of three-dimensional bubble dynamics / K.E.Afanasiev, I.V.Grigorieva // Journal of Engineering Mathematics. 2006. V. 55. № 1-4. P. 65-80.

42. Akhatov I. Towards a theory of self-organization phenomena in bubble-liquid mixtures / I.Akhatov, U.Parlitz, W.Lauterborn // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. № 5. P. 4990-5003.

43. Asaki T.J. Equilibrium shape of an acoustically levitated bubble driven above resonance / T.J.Asaki, P.L.Marston // JASA. 1995. V. 97. P. 21382143.

44. Barber B.P. Defining the unknowns of sonoluminescence / B.P.Barber, R.A.Hiller, R.Lofstedt et al. // Phys. Rep. 1997. V. 281. P. 65-143.

45. Batchelor G.K. Transport properties of two-phase materials with random structure / G.K.Batchelor // Ann. Rev. Fluid Mech. 1974. V. 6. P.227-255.

46. Benjamin T.B. Hamiltonian theory for motions of bubbles in an infinite liquid / T.B.Benjamin // J. Fluid Mech. 1987. V. 181. P. 349-379.

47. Benjamin T.B. Note on shape oscillations of bubbles / T.B.Benjamin // J. Fluid. Mech. 1989. V. 203. P. 419-424.

48. Benjamin T.B. Self-propulsion of asymmetrically vibrating bubbles / T.B.Benjamin, A.T.Ellis // J. Fluid. Mech. 1990. V. 212. P. 65-80.

49. Benjamin T.B. The collapse of cavitation bubbles and the pressures thereby produced against solid boundaries / T.B.Benjamin, A.T.Ellis // Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1966. V. 260. № 1110. P. 221-240.

50. Best J.P. The formation of toroidal bubbles upon the collapse of transient cavities / J.P.Best // J. Fluid. Mech. 1993. V. 251. P. 79-107.

51. Bevir M.K. Numerical solution of incompressible bubble collapse with jetting / M.K.Bevir, P.J.Fielding // Moving boundary problems in heat flow and diffusion. Oxford, 1974.

52. Birkhoff G. Note on Taylor instability / G.Birkhoff // Quart. Appl. Math. 1954. V. 12. № 3. P. 306-309.

53. Birkhoff G. Stability of spherical bubbles / G.Birkhoff // Quart. Appl. Math. 1956. V. 13. P. 451-53.

54. Bjerknes C.A. Hydrodynamische fernkrafte / C.A.Bjerknes. Leipsig : Verlagvon Wilhelm Engelmann, 1915.

55. Bjerknes V.F.K. Fields of force / V.F.K.Bjerknes. New York : Columbia University Press, 1906. - 173 p.

56. Blake J.R. Cavitation bubbles near boundaries / J.R.Blake, D.C.Gibson // Ann. Rev. Fluid Mech. 1987. V. 19. P. 99-123.

57. Blake J.R. Collapsing cavities, toroidal bubbles and jet impact / J.R.Blake, M.C.Hooton, P.B.Robinson, R.P.Tong // Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1997. V. 355. № 1724. P. 537-550.

58. Blake J.R. Acoustic cavitation: the fluid dynamics of non-spherical bubbles / J.R.Blake, G.S.Keen, R.P.Tong, M.Wilson // Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1999. V. 357. P. 251-267.

59. Blake J.R. Interaction of two cavitation bubbles with a rigid boundary / J.R.Blake, P.B.Robinson, A.Shima, Y.Tomita // J. Fluid Mech. Digital Archive. 1993. V. 255. P. 707-721.

60. Blake J.R. Transient cavities near boundaries. Part 1. Rigid boundary / J.R.Blake, B.B.Taib, G.Doherty // J. Fluid Mech. Digital Archive. 1986. V. 170. P. 479-497.

61. Blake J.R. Transient cavities near boundaries Part 2. Free surface / J.R.Blake, B.B.Taib, G.Doherty // J. Fluid Mech. Digital Archive. 1987. V. 181. P. 197-212.

62. Blake J.R. The art, craft and science of modelling jet impact in a collapsing cavitation bubble / J.R.Blake, Y.Tomita, R.P.Tong // Appl. J. Sci. Res. 1997. V. 58. № 1-4. P. 77-90.

63. Boulton-Stone J.M. A comparison of boundary integral methods for studying the motion of two-dimensional bubble in an infinite fluid / J.M.Boulton-Stone // Com. Met. Apll. Mech. Eng. 1993. V. 102. P. 213234.

64. Brennen C.E. Cavitation and bubble dynamics / C.E.Brennen. New York : Oxford University Press, 1995. - 294 p.

65. Brujan E.A. The final stage of the collapse of a cavitation bubble close to a rigid boundary / E.A.Brujan, G.S.Keen, A.Vogel, J.R.Blake // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 1. P. 85-92.

66. Chahine G.L. Pressure field generated by non-spherical bubble collapse / G.L.Chahine, A.G.Bovis // Trans. ASME J. Fluid Eng. 1983. V. 105. P. 356-363.

67. Chahine G.L. Boundary element method for calculating 2-D and 3-D underwater explosion bubble behavior in free water and near structures / G.L.Chahine, R.Duraiswami // NSWC weapons research and technology departament report NCWCDD. TR-93. 44.

68. Doinikov A.A. Effects of the second harmonic on the secondary Bjerknes force / A.A.Doinikov // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. № 3. P. 3016-3021.

69. Doinikov A.A. Equations of coupled radial and translational motions of a bubble in a weakly compressible liquid / A.A.Doinikov // Phys. Fluids. 2005. V. 17. № 12. 128101(4).

70. Doinikov A.A. Influence of neighboring bubbles on the primary Bjerknes force acting on a small cavitation bubble in a strong acoustic field / A.A.Doinikov // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. № 5. P. 7516-7519.

71. Doinikov A.A. Mathematical model for collective bubble dynamics in strong ultrasound fields / A.A.Doinikov // JASA. 2004. Y. 116. № 2. P. 821-827.

72. Doinikov A.A. Translational motion of two interacting bubbles in a strong acoustic field / A.A.Doinikov // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 026301(6).

73. Doinikov A.A. Viscous effects on the interaction force between two small gas bubbles in a weak acoustic field / A.A.Doinikov // JASA. 2002. V. 111. № 4. P. 1602-1609.

74. Doinikov A.A. On the mutual interaction of two gas bubbles in a sound field / A.A.Doinikov, S.T.Zavtrak // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 8. P. 19231930.

75. Doinikov A.A. Radiation forces between two bubbles in a compressible liquid / A.A.Doinikov, S.T.Zavtrak // JASA. 1997. V. 102. № 3. P. 14241431.

76. Eller A. Instability of the motion of a pulsating bubble in a sound field / A.Eller, L.A.Crum // JASA. 1970. V. 47. P. 762-767.

77. Feng Z.C. Bifurcation and chaos in shape and volume oscillations of a periodically driven bubble with two-to-one internal resonance / Z.C.Feng, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1994. V. 266. P. 209-242.

78. Feng Z.C. Nonlinear bubble dynamics / Z.C.Feng, L.G.Leal // Ann. Rev. Fluid Mech. 1997. V. 29. P. 201-243.

79. Feng Z.C. On energy transfer in resonant bubble oscillating / Z.C.Feng, L.G.Leal // Phys. Fluids A. 1993. V. 5. 4. P. 826-836.

80. Fujikawa S. Dynamics of two nonspherical bubbles in liquids / S.Fujikawa, H.Takahira // Fluid Dynamics Research. 1988. V. 4. № 3. P. 179-194.

81. Gaines N. Magnetostriction oscillator producing intense audible sound and some effects obtained / N.Gaines // Physics. 1932. V. 3. P. 209-229.

82. Gaitan D.F. Observation of sonoluminescence from a single, stable cavitation bubble in a water/glycerin mixture / D.F.Gaitan, L.A.Crum // 12th Inter. Symp. On Nonl. Acoustics. New York, 1990. P. 459-463.

83. Gavrilyuk S.L. Drag force acting on a bubble in a cloud of compressible spherical bubbles at large Reynolds number / S.L.Gavrilyuk, V.M.Teshukov // Eur. J. Mech. B. Fluids. 2005. V. 24. № 4. P. 468-477.

84. Hall P. Nonlinear oscillations of non-spherical cavitation bubbles in acousticfields / P.Hall, G.Seminara // J. Fluid Mech. 1980. V. 101. P. 423444.

85. Hamilton M.F. Interaction of bubbles in a cluster near a rigid surface / M.F.Hamilton, Y.A.Ilinskii, G.D.Meegan, E.A.Zabolotskaya // JASA. 2005. V. 6. № 3. P. 207-213.

86. Hammitt F.G. Cavitation and multiphase flow phenomena / F.G.Hammit. New York : McGraw-Hill, 1980.

87. Hao Y. The effect of viscosity on the spherical stability of oscillating gas bubbles / Y.Hao, A.Prosperetti // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 6. P. 13091317.

88. Harkin A. Pulsation and translation of two gas bubbles / A.Harkin, T.J.Kaper, A.Nadim // J. Fluid Mech. 2001. V. 445. P. 377-411.

89. Harlow F.G. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surfaces / F.G.Harlow, J.E.Welch // Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 2182-2189.

90. Harper J.F. Growing bubbles rising in line / J.F.Harper // Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences. 2001. V. 5. № 2. P. 65-73.

91. Harris P.J. Interaction of an explosion bubble with a fixed rigid structure / P.J.Harris, A.Verma, R.Chakrabarti // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1999. V. 29. P. 389.

92. Hilgenfeldt S. Analysis of Rayleigh-Plesset dynamics for sonoluminescing bubbles / S. Hilgenfeldt, M.Brenner, S.Grossmann, D.Lohse //J. Fluid Mech. 1998. V. 365. P. 171-204.

93. Hilgenfeldt S. Sonoluminescence light emission / S.Hilgenfeldt, S.Grossmann, D.Lohse // Phys. Fluids. 1999. V. 11. № 6. P. 13181330.

94. Hilgenfeldt S. Phase diagrams for sonoluminescing bubbles / S.Hilgenfeldt,

95. D.Lohse, M.Brenner // Phys. Fluids. 1996. V. 8. P. 2808-2826.

96. Hobson E.W. The theory of spherical and ellipsoidal harmonics /

97. E.W.Hobson. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1931.

98. Holt R.G. Observation of stability boundaries in the parameter space of single bubble sonoluminescence / R.G.Holt, D.F.Gaitan // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 3791-3794.

99. Ida M. A characteristic frequency of two mutually interacting gas bubbles in an acoustic field / M.Ida // Phys. Lett. A. 2002. V. 297. P. 210-217.

100. Ida M. Alternative interpretation of the sign reversal of secondary Bjerknes force acting between two pulsating gas bubbles / M.Ida // Phys. Rev. E. 2003. V. 67. 056617.

101. Ida M. Avoided crossings in three coupled oscillators as a model system of acoustic bubbles / M.Ida // Phys. Rev. E. 2005. V. 72. № 3. 036306.

102. Ida M. Investigation of transition frequencies of two acoustically coupled bubbles using a direct numerical simulation technique / M.Ida //J. Phys. Soc. Jpn. 2004. V. 73. P. 3026-3033.

103. Ilinskii Y.A. Bubble interaction dynamics in Lagrangian and Hamiltonian mechanics / Y.A.Ilinskii, M.F.Hamilton, E.A.Zabolotskaya // JASA. 2007. V. 121. № 2. P. 786-795.

104. Kang I.S. Bubble dynamics in time-periodic straining flows / I.S.Kang, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1990. V. 218. P. 41-69.

105. Kang I.S. Small-amplitude perturbations of shape for a nearly sphrical bubble in an inviscid straning flow (steady shapes and oscillatory motion) / I.S.Kang, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1988. V. 187. P. 231-266.

106. Kok J.B.W. Dynamics of a pair of gas bubbles moving through liquid. Part I. Theory / J.B.W.Kok // Eur. J. Mech. B. Fluids. 1993a. V. 12. № 4. P. 515-540.

107. Kok J.B.W. Dynamics of a pair of gas bubbles moving through liquid. Part II. Experiment / J.B.W.Kok // Eur. J. Mech. B. Fluids. 1993b. V. 12. № 4. P. 541-560.

108. Konovalova S.I. Structure formation in acoustic cavitation / S.I.Konovalova, I.Sh.Akhatov // Multiphase Science and Technology. 2005. V. 17. № 3. P. 343-371.

109. Kornfeld M. On the destructive action of cavitation / M.Kornfeld, L.Suvorov // J. Appl. Phys. 1944. V. 15. P. 495-506.

110. Kurbatskii K.A. Collapse of a bubble in the cavitation zone near a rigid boundary / K.A.Kurbatskii, V.K.Kedrinskii // JASA. 1992. V. 92. № 4. P. 2453.

111. Lamb H. Hydrodynamics / H.Lamb. Cambridge : Cambridge University Press, 1932. - 632 p.

112. Lautenborn W. Cavitation and inhomogeneities in underwater acoustics / Lautenborn W. (ed.). Heidelberg : Springer-Verlag, 1980.

113. Lauterborn W. Experimental investigations of cavitation-bubble collapse in the neighbourhood of a solid boundary / W.Lauterborn, H.Bolle // J. Fluid Mech. 1975. V. 72. P. 391-399.

114. Lee M. On the boundary integral method for the rebounding bubble / M.Lee, E.Klaseboer, B.C.Khoo // J. Fluid Mech. 2007. V. 570. P. 407429.

115. Leighton T.G. The acoustic bubble / T.G.Leighton. Academic Press, 1994. - 613 p.

116. Lenoir M. Calcul numerique de l'implosion d'une bulle de cavitation au voisinage d'une paroi ou d'une surface libre / M.Lenoir // J. Mec. 1976. V. 15. P. 725-751.

117. Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 1. Normal modes / M.S.Longuet-Higgins // J. Fluid Mech. 1989a. V. 201. P. 525-541.

118. Longuet-Higgins M.S. Monopole emission of sound by asymmetric bubble oscillations. Part 2. An initial-value problem / M.S.Longuet-Higgins // J. Fluid Mech. 1989b. V. 201. P. 543-565.

119. Longuet-Higgins M.S. Resonance in nonlinear bubble oscillations / M.S.Longuet-Higgins //J. Fluid Mech. 1991. V. 224. R 531-549.

120. Luther S. Modelling acoustic cavitation by a Lagrangian approach / S.Luther, R.Mettin, W.Laterborn // Nonlinear acoustics at the turn of the millennium. AIP Conf. Proc. 2000. V. 524. P. 351-354.

121. Mei C.C. Parametric resonance of a spherical bubble / C.C.Mei, X.Zhou // J. Fluid Mech. 1991. V. 229. P. 29-50.

122. Mettin R. Bjerknes forces between small cavitation bubbles in a strong acoustic field / R.Mettin, I.Akhatov, U.Parlitz et al. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. № 3. P. 2924-2931.

123. Mettin R. Bubble size distributions and structures in acoustic cavitation / R.Mettin, S.Luther, W.Lauterborn // Proc. of the 2nd conf. on ultrasound in processing. 1999. P. 125-129.

124. Mitchell T.M. Asymmetric cavitation bubble collapse / T.M.Mitchell, F.G.Hammit // Trans. ASME. 1973. V. 95. № 1. P. 29-37.

125. Mitchell T.M. Numerical and photographic studies of asymmetric bubble collapse / T.M.Mitchell, C.L.Kling, R.Cheeseweight, F.G.Hammit // Rep. № 07738-5-T. U. of Michigan, 1967.

126. Nourdine C. Statistical description of a cloud of compressible bubbles / C.Nourdine, S.L.Gavrilyuk // Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2007. V. 18. № 7-8. P. 469-479.

127. Parlitz U. Spatio-temporal dynamics of acoustic cavitation bubble clouds / U.Parlitz, R.Mettin, S.Luther et al. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1999. V. 357. P. 313-334.

128. Plesset M.S. On the stability of fluid flows with spherical symmetry / M.S.Plesset // J. Appl. Phys. 1954. V. 25. № 1. P. 96-98.

129. Plesset M.S. Collapse of an initially spherical vapour cavity in the neighbourhood of a solid boundary / M.S.Plesset, R.B.Chapman // Div. of Eng. and Appl. Science. Calif Inst, of Tech. Rep. № 85-49.

130. Plesset M.S. Collapse of an initially spherical vapour cavity in the neighbourhood of a solid boundary / M.S.Plesset, R.B.Chapman //J. Fluid Mech. 1971. V. 47. P. 283-290.

131. Plesset M.S. On the stability of the spherical shape of a vapor cavity in a liquid / M.S.Plesset, T.P.Mitchell // Quart. Appl. Math. 1956. V. 13. № 4. P. 419-430.

132. Plesset M.S. Bubble dynamics and cavitation / M.S.Plesset, A.Prosperetti // Ann. Rev. Fluid Mech. 1977. V. 9. P. 145-185.

133. Popinet S. Bubble collapse near solid boundary: a numerical study of the influence of viscosity / S.Popinet, S.Zaleski // J. Fluid Mech. 2002. V. 464. P. 137-163.

134. Prosperetti A. Bubble dynamics: a review and some recent results / A.Prosperetti // Appl. J. Sci. Res. 1982. V. 38. P. 145-164.

135. Prosperetti A. Free oscillations of drops and bubbles: the initial-value problem / A.Prosperetti // J. Fluid^Mech. 1980. V. 100. P. 333-347.

136. Prosperetti A. Viscous effects on perturbed spherical flows / A.Prosperetti // Quart. Appl. Math. 1977. V. 34. P. 339-352.

137. Prosperetti A. Modeling of spherical gas bubble oscillations and sonoluminescence / A.Prosperetti, Y.Hao // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1999. V. 357. P. 203-223.

138. Putterman S.J. Sonoluminescence: How bubbles turn sound into light / S.J.Putterman, K.P.Weninger // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. V. 32. P. 445-476.

139. Rayleigh Lord. On the pressure developed in a liquid on the collapse of a spherical cavity / Lord Rayleigh // Phylos. Mag. 1917. V. 34. P. 94-97.

140. Reddy A.J. Coupled dynamics of translation and collapse of acoustically driven microbubbles / A.J.Reddy, A.J.Szeri // JASA. 2002. V. 112. № 4. P. 1346-1352.

141. Roberts P.H. The decay of bubble oscillations / P.H.Roberts, C.C.Wu // Phys. Fluids. 1998. V. 10. P. 3227-3229.

142. Robinson P.B. Application of the boundary integral method to the interaction of rising two-dimensional deformable gas bubbles / P.B.Robinson, J.M.Boulton-Stone, J.R.Blake // Journal of Engineering Mathematics. 1995. V. 29. P. 393.

143. Ryskin G. Numerical solutions of free boundary problems in fluid mechanics. Part I. The finite-didderence technique / G.Ryskin, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1984a. V. 148. P. 1-17.

144. Ryskin G. Numerical solutions of free boundary problems in fluid mechanics. Part II. Buoyancy-driven motion of a gas bubble through a quiescent liquid / G.Ryskin, L.G.Leal //J. Fluid Mech. 1984b. V. 148. P. 19-36.

145. Ryskin G. Numerical solutions of free boundary problems in fluid mechanics. Part III. Bubble deformation in an axisymmetric strainig flow / G.Ryskin, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1984c. V. 148. P. 37-44.

146. Ryskin G. Orthogonal mapping / G.Ryskin, L.G.Leal //J. Comput. Phys. 1983. V. 56. P. 71-100.

147. Sanada T.Behavior of a pair of bubbles rising side by side at high Reynolds number / T.Sanada, A.Sato, M.Shirota, M.Watanabe // Am. Phys. Soc. 59th Annual Meeting of the APS Division of Fluid Dynamics. 2006.

148. Sankin G.N. Interaction between shock wave and single inertial bubbles near an elastic boundary / G.N.Sankin, P.Zhong // Phys. Rev. E. 2006. V. 74. 046304.

149. Sato K. Numerical analysis of a gas bubble near a rigid boundary in an oscillating pressure field / K.Sato, Y.Tomita, A.Shima // JASA. 1994. V. 95. P. 2416-2424.

150. Shaw S.J. Translation and oscillation of a bubble under axisymmetric deformation / S.J.Shaw // Phys. Fluids. 2006. V. 18. 072104.

151. Shima A. The collapse of a spherical bubble between near a solid wall / A.Shima, Y.Sato // J. Mec. 1981. V. 20. P. 253-271.

152. Shopov P.J. Interaction of a deformable bubble with a rigid wall at moderate Reynolds numbers / P.J.Shopov, P.D.Minev, I.B.Bazhlekov, Z.D.Zapryanov // J. Fluid Mech. 1990. V. 219. P. 241.

153. Stroud A.H. Gaussian quadrature formulas / A.H.Stroud, D.Secrest. -Englewood : Prentice-Hall, 1966. 374 p.

154. Taib B.B. Boundary integral methods applied to cavitetion bubble dynamics : PhD thesis / B.B.Taib ; Univ. Wollongong. Wollongong.

155. Taib B.B. Boundary integral methods applied to cavitetion bubble dynamics / B.B.Taib, G.Doherty, J.R.Blake // Proc.Cent. for Math. Anal. ANU Math. Prog, and Num. Anal Workshi. 1984. V. 6. P. 166-186.

156. Takahira H. Dynamics of a cluster of bubbles in a liquid (theoretical analysis) / H.Takahira, T.Akamatsu, S.Fujikawa // JSME International Journal. Ser. B. 1994. V. 37. № 2. P. 297-305.

157. Trevena D.H. Cavitation and tension in liquids / Trevena D.H. Bristol: Adam Hilger, 1987.

158. Tsamopoulos J.A. Nonlinear oscillations of inviscid drops and bubbles / J.A.Tsamopoulos, R.A.Brown // J. Fluid Mech. 1983. V. 127. R 519-537.

159. Wijngaarden L.van Mechanics and Physics of bubbles in liquids / L.van Wijngarden (ed.). The Hague : Nijhoff, 1982. - 392 p.

160. Wang Q.X. The evolution of a gas bubble near an inclined wall / Q.X.Wang // Theor. Сотр. Fluid Dynamics. 1998. V. 12. № 1. P. 29-51.

161. Williams J.E.F. On resonant nonlinear bubble oscillations / J.E.F.Williams, Y.P.Guo // J. Fluid Mech. 1991. V. 224. P. 507-529.

162. Wu C.C. On rectified diffusion and sonoluminescence / C.C.Wu, P.H.Roberts // Theor. Сотр. Fluid Dynamics. 1998. V. 10. P. 357-372.

163. Yang S.M. Nonlinear effects in the dynamics of shape and volume oscillations for a gas bubble in an external flow / S.M.Yang, Z.C.Feng, L.G.Leal // J. Fluid Mech. 1993. V. 247. P. 417-454.

164. Zardi D. Chaotic mode competition in the shape oscillations of pulsating bubbles / D.Zardi, G.Seminara // J. Fluid Mech. 1995. V. 286. P. 257-276.

165. Zhang Y.L. Simulation of three-dimensional bubbles using desingularized boundary integral method / Y.L.Zhang, K.S.Yeo, B.C.Khoo, W.K.Chong // International J. for Numerical Methods in Fluids. 1999. V. 31. P. 1311.

166. Zhang Z.Y. Surface tension effects on the behavior of a cavity growing, collapsing, and rebounding near a rigid wall / Z.Y.Zhang, H.S.Zhang // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. 056310.

167. Zhang Z.Y. Surface tension effects on the behavior of two cavities near a rigid wall / Z.Y.Zhang, H.S.Zhang // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. 066302.b-7