Численное трехмерное моделирование динамики газового пузырька тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Сахабутдинов, Айрат Жавдатович

• Сахабутдинов, Айрат Жавдатович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сахабутдинов, Айрат Жавдатович

Список обозначений

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

1.1. Основные законы гидрогазодинамики в интегральной форме.

1.2. Произвольный лагранжево-эйлеров конечно-разностный метод для анализа нестационарных пространственных задач газовой динамики

1.3. Основные конечно-разностные соотношения метода.

1.4. Вопросы устойчивости.

1.5. Графическое представление скалярных и векторных полей.

ГЛАВА 2. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ

2.1. Обобщение уравнения Рэлея-Ламба-Плессета на случай конечного объема жидкой сферы.

2.2. Вывод конечно-разностных соотношений. Реализация неявной схемы интегрирования уравнения Рэлея-Ламба-Плессета.

2.3. Анализ численных расчетов динамики газового пузырька в сферическом объеме вязкой жидкости.

ГЛАВА 3. СИЛЬНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВОМ ПУЗЫРЬКЕ

3.1. Задача о слете сжимаемой среды в точку.

3.2. Интегрирование автомодельных уравнений.

3.3. Сравнение точного решения с результатами численных расчетов в задаче о распространении сильной ударной волны на фоне холодного газа в трехмерном случае

3.4. Анализ влияния искусственной вязкости на решение.

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ГАЗОВОГО СФЕРОИДА

4.1. Газовый пузырек под действием периодической нагрузки.

4.2. Ударное нагружение газового сфероида.

4.3. Поведение первоначально деформированной сферы под действием периодической нагрузки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное трехмерное моделирование динамики газового пузырька»

Эффективность многих физических процессов, протекающих в газовой динамике, химии, биологии прямо связана с явлениями, протекающими в капле жидкости или газовом пузырьке. В одних случаях наличие газовых пузырьков оказывает разрушающее воздействие на стенки конструкций, в других случаях нормальная работа машины невозможна без учета активного взаимодействия газовых пузырьков с окружающей средой. На динамику процесса влияют размеры пузырька, его форма, внутренние пространственные движения газа в ограниченном сферическом объеме. Поэтому исследование сложных явлений в газовом пузырьке является весьма актуальной проблемой.

В математическом плане изучение проблемы связано с интегрированием уравнений неразрывности, движения, энергии и замыкающего систему уравнения состояния сжимаемого газа. Как известно, аналитические подходы позволяют сравнительно быстро получить решение в замкнутой форме, но требуют привлечения весьма жестких упрощающих допущений как в математической модели, так и в геометрии реального объекта. С помощью них можно определить лишь ограниченный круг характеристик некоторого идеализированного физического процесса.

Наиболее простой является модель, в которой пренебрегаетЬя движением частиц газа в сферическом объеме пузырька, а реакция пузырька на окружающую среду определяется через давление в соответствии с уравнением состояния для идеального или реального газа.

В основе наиболее известной приближенной математической модели взаимодействия газового пузырька с жикостью лежит уравнение одномерных сферических колебаний жидкого объема с учетом реакции газового пузырька, известное как уравнение Рэлея-Ламба-Плессета. Особый интерес в технических приложениях представляют малые размеры газового пузырька, от одного до нескольких микрометров. Такое соотношение размеров позволяет на первом этапе пренебречь пространственными движениями внутри пузырька, и описать реакцию идеального газа на процессы сжатия уравнением адиабаты. Подход позволил качественно, а в некоторых случаях и количественно оценить влияние геометрических и термодинамических параметров задачи на динамику явления, выявил характерные особенности проблемы (Barber В.Р. et al, 1994; Barber В.Р. and Putterman S.J., 1992; Barber В.Р. and Putterman S.J., 1991; Brenner M.P. et al, 1997; Нигматулин Р.И. и другие, 1995; Нигматулин Р.И., Ахатов И.Ш.

Вахитова Н.К., 1996; Ншматулин Р.И., 1987, Lufsted R., et al, 1993; Pac-сказова B.B., Софронов И.Д., 1987; Wu C.C., Roberts P.H., 1993).

Однако эта- простая модель не позволяет в полной мере адекватно передать сложные процессы в пузырьке, а также на границе взаимодействия жидкой и газовой фаз. Из-за фокусировки возмущений в центре жидкой сферы в газе возникают значительные градиенты физических параметров, для описания которых необходимо привлекать полную систему уравнений газовой динамики. Граница взаимодействия жидкой и газовой фаз совершает конечные перемещения,, которые приводят к разрушению сферической формы пузырька. В газе не происходит достижения больших значений давления в объеме пузырька, в отличие от предсказаний по одномерной модели. Заметим, что в одномерной трактовке вообще не существует проблемы устойчивоети формы пузырька.

В отличие от аналитических подходов численные методы обладают целым рядом преимуществ. Они не требуют привлечения жестких упрощающих допущений по сравнению с аналитическими методами. Кроме того, численные подходы способны давать подробную информацию о распределениях параметров течения как на поверхности исследуемого объекта так и в любой точке внутри области, почти свободны от ограничений по числам Маха »и Рейнольдса. Наиболее важным их достоинством является то, что они требуют меньших затрат времени -и средств по сравнению с натурными испытаниями.

В данной работе предлагается построение трехмерной модели нестационарного взаимодействия сжимаемой жидкости с газовым пузырьком. В общем случае ввиду сильного сжатия в газе небходимо учитывать явления теплопроводности, диссоциации молекул и другие взаимосвязанные проблемы. Здесь эти явления не рассматриваются. Предлагается описание математической модели газа, основанной на интегрировании уравнений сохранения массы, импульса, энергии и уравнения состояния для идеального либо реального газа.

Интерес к задачам о нестационарном сжатии газового пузырька стимулируют различные технические приложения (Крайко А.Н., Тиляева Н.И., 1998; Clarke J., Fisher Н.М., Mason R.I., 1973; Kidder R., 1974; Nuckolls J., et al, 1972; Nuckolls J., et al, 1982). В задаче нестационарного сжатия покоящегося однородного по термодинамическим свойствам в начальный момент времени идеального газа по энергетическим соображениям наилучшим представляется сжатие сферическим поршнем по заданному закону изменения плотности. Однако, на практике сильное сжатие пузырька газа сожет привести к неустойчивости его сферической формы.

Несимметричные колебания пузырька в воде наблюдались в серии экспериментальных работ, выполненных в университетах в Германии (Lauterborn W. and Ohl С. D. 1996) и в США (Werner Lauterborn and Claus-Dieter Ohl, 1996). На кинограммах отчетливо видно (Werner Lauterborn and Claus-Dieter Ohl, 1996), как первоначально сферическая форма пузырька с течением времени деформируется, и пузырек продолжает совершать колебательные движения с изменением формы в пространстве.

Другой важной проблемой является исследование динамических явлений в капле (Нигматулин Р.И., 1987). Каплю и газовый пузырек сближают общие законы поверхностного натяжения - стремление к шарообразной форме в состоянии равновесия под действием силы поверхностного натяжения. Фактически газовый пузырь в жидкости - это капля и воздух, вывернутые наизнанку. Капля в своем движении претерпевает различные этапы: полет, колебание, распад, слияние, испарение и вновь конденсацию. При этом возможно разнообразие форм капель: эллисоид, кольцо, купол парашюта. Постановка и решение подобных задач требует привлечения современных численных методов, которые используются в диссертации.

Всплеск интереса'К проблеме газового пузырька проявился в начале девяностых годов, гогда в 1990 году Гейтен (Geitan D. F., 1990) впервые экспериментально обнаружил явление устойчивого свечения маленького газового пузырька в жидкости под действием периодических акустических возмущений, поддерживаемых на границе жидкой сферы. Далее в серии работ с соавторами (Geitan D. F. et al, 1992) он описал это явление, чем привлек внимание ученых к этой проблеме. С момента открытия явления исследователи разных стран проявляют значительный интерес к проблеме, год от года растет число публикаций по указанной теме. В научной литературе проблема получила специальное название - задача о сонолюми-несценции одиночного пузырька (SBSL- Single Bubble Sonoluminescence). Проблема сонолюминесценции газового пузырька может приводить к трехмерной задаче и, следовательно, для ее изучения необходимо привлекать полную систему уравнений динамики газа в трехмерном случае.

Перечисленные выше трудности при исследовании сильной деформации газового пузырька предъявляют серьезные требование к численному методу. Он должен быть ориентирован на изучение настационарных процессов, на большие деформации и перемещения границ области. Особое внимание следует обратить на качество процедур подготовки исходных данных и обработке результатов расчетов.

Наибольшее распространение при численном моделировании задач гидродинамики получили конечно-разностные методы. Это, по-видимому, можно объяснить как историей развития численных методов, так и тем, что они наиболее применимы к изучению нестационарных процессов. В основе реализованного здесь подхода лежат идеи прозвольного лагранже-во-эйлерова метода, позволяющего провести численое интегрирование при значительном перемещении границы расчетной области (Pracht W.E, Braekbill J.U., 1976; Сахабутдинов Ж.М., 1997).

В этом небольшом введении не делается обзор литературы по применению численных методов в задачах газовой динамики. Различные подходы к интегрированию уравнений газодинамики, разностные схемы и их свойства, а также критический обзор большого числа работ можно найти в статьях и монографиях Белоцерковского О.М., Давыдова Ю.М. (1982), Годунова С.К., Забродина A.B., и др. (1976), Самарского A.A., Попова Ю.П. (1980), Софронова И.Д. и др. (1976), Черного Г.Г. (1986), Чзпмена Д.Р. (1980).

При всем многообразии численных подходов, используемых при моделировании течений газа, ниже рассматриваются методы, использующие физические переменные: векторы перемещения и скорости, давление, плотность, температура и т.п. Во всех этих методах для представления трехмерной расчетной области используют дискретную сетку с ячейками, составленную из шести граней и восьми узлов.

Для описания физических явлений всеща используются две системы координат: система наблюдателя (эйлеровы координаты) и сопутствующая система (лагранжевы координаты) (Седов Л.И., 1970). Переменные Эйлера удобны тем, что они используют неподвижную расчетную сетку. Здесь координаты отвечают фиксированным точкам (узлам или ячейкам сетки) в пространстве, и рассматривается течение жидкости через эти ячейки. Численные схемы в эйлеровых сетках, вообще говоря, не столь точны по сравнению с лагранжевыми из-за дополнительных погрешностей, которые вносит аппроксимация конвективных производных. Кроме того, здесь возникает необходимость введения зависящих от времени граничных ячеек, введения дополнительных для рассматриваемой области узлов сетки и т.п. Это особенно относится к задачам, где имеются поверхности раздела сред, подвижные или свободные границы. В тех случаях, когда этих трудностей не возникает, в решении газодинамических задач на эйлеровых сетках достигнуты значительные успехи. Подробно вопросы постановки и решения нелинейных задач взаимодействия жидкости и газа в лагранжевых и эйлеровых переменных, а так же совместный лагранжево-эйлеров метод изложены в монографии Ильгамова М.А. (1991).

В лагранжевых переменных расчетная сетка перемещается вместе с газом относительно системы наблюдателя. Приложению лагражевого подхода к описанию процессов в механике сжимаемой жидкости и теории упругости посвящено много работ (Гулидов АИ., Фомин В.М., 1980; Рас-сказова В.В., Софронов И.Д., 987; Самарский A.A., Попов Ю.П., 1980; Нох В.Ф., 1967). Явное различие между уравнениями в лагранжевых переменных по сравнению с уравнениями в эйлеровых переменных проявляется в отсутствии в последних членов, соответствующих конвективному переносу. Это связано с тем, что лагранжевы уравнения описывают динамику отдельной частицы жидкости, а не изменение во времени параметров газа в выделенной точке пространства.

При значительных искажениях элементарного объема жидкости в задачах, ще эйлеровы методы неприменимы в силу обстоятельств, описанных выше, используются другие подходы: методы подвижных координат Годунова С.К., Забродина А. В. и др. (1976), Лисейкина В.Д., Яненко H.H. (1976), совместный эйлерово-лагранжев метод Ноха В.Ф. (1967), методы перестройки, основанные на законах сохранения массы, импульса и энергии Гулидова А.И., Фомина В.М., (1980); Horak H.J., Janes Е.М. и др. (1978), произвольный лагранжево-эйлеров метод Hirt C.W., Amsden A.A., Cook J.L. (1970).

Явные разностные схемы становятся неэффективными из-за ограничений, вытекающих из условия Куранта на шаг по времени (Рихтмайер Р., Мортон К., 1972; Роуч П., 1980). Так как звуковые волны часто сами не представляют интереса, это ограничение может быть устранено использованием частично неявной схемы, в которой член с градиентом давления в уравнении количества движения устанавливается на следующем шаге по времени. Прототипом схемы этого типа является ICE метод (Implicit Continous fluid Eulerian - неявный эйлеров), который широко применялся в задачах по вычислительной гидродинамике от дозвукового до сверхзвукового течений.

Неявные схемы типа ICE требуют решения эллиптической задачи для определения полей скоростей и давления на каждом шаге по времени. Решение обычно достигается с помощью итераций.

Проблема построения расчетных сеток является ключевой с точки зрения практического применения методов численного расчета течений газа. Если при численном решении задач одномерной газовой динамики проблема построения сетки практически не стояла перед исследователем, то дальнейшее увеличение размерности приводило к повышенному вниманию к этой проблеме. Задача построения криволинейной сетки для двумерной плоской области с произвольным очертанием контура уже является достаточно сложной. В трехмерном же случае трудности, связанные с разработкой метода и его программной реализацией, еще более возрастают (Сахабутдинов Ж.М. и др., 1987).

Расчету трехмерных сеток уделялось большое внимание исследователей. Многочисленные работы, проделанные в этой области, можно найти в обзорах Кутлера П. (1985), Шенга Дж.С. (1986).

Наиболее быстрой процедурой построения сеток является расчет сеток по алгебраическим формулам. В основе таких методов расчета лежит, как правило, интерполирование по граничным поверхностям и (или) промежуточным поверхностям, расположенным внутри области. Простейшая процедура - изменение шага сетки координатных линий некоторой исходной системы координат по одному направлению при помощи формул, в которые входят только функции, задающие преобразование в исходную систему координат. Такие процедуры обычно применяются для модификации сеток, построенных каким-либо другим способом. Различие методов интерполяции определяется главным образом различием количества и вида используемых для интерполяции поверхностей, а также различием производных, задаваемых на этих поверхностях.

Решение трехмерных задач на ЭВМ включает обработку огромного объема исходных данных и, что важнее, результатов расчета. Это обстоятельство может стать причиной больших потерь времени исследователя, который должен разобраться в полученных результатах, дать им оценку и определить новые подходы к решению поставленной задачи. Ввиду необходимости быстрой обработки больших массивов данных качество процедур обработки результатов счета становится одним из факторов, определяющих развитие вычислительной газовой динамики.

Наиболее удобной является графическая форма представления информации в произвольном плоском сечении трехмерной области, когда скалярные поля изображаются изолиниями, а векторные - направленными отрезками (Зарипов P.P., Петров Г.А., Сахабутдинов Ж.М., 1987). Этот способ дает возможность исследователю понять характерные особенности течения во всех интересующих его местах расчетной области и реализуем на всех видах существующих графических устройств.

Другой способ связан с расчетом перспективных изображений на воображаемой плоскости при заданном значении координаты точки зрения. Он применяется для воспроизведения координатных сеточных поверхностей как на границах, так и внутри трехмерной области. Оба упомянутых выше способа реализованы в данной методике.

В диссертации выполнена серия тестовых расчетов по оценке качества реализованных схем. На их основе был сделан вывод о соответствии численных расчетов решениям дифференциальных уравнений движения газа. Изложенная в диссертации методика может найти применение при математическом моделировании широкого класса задач.

Целью работы является:

Изучение нестационарных процессов в газовом пузырьке с помощью методики по численному интегрированию полной системы трехмерных уравнений газовой динамики.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Во введении обсуждаются вопросы, связанные с применением численных методов в задачах газовой динамики. Обсуждается проблема, составляющая предмет научного исследования. Приводится краткий обзор работ по теме диссертации. Дается обоснование целесообразности применения произвольного лагранжево-эйлерова метода описания при численном моделировании круга задач, рассмотренных в диссертации.

В первой главе приводятся основные уравнения механики вязкого сжимаемого газа и жидкости в дифференциальной и интегральной формах. Рассматриваются дискретизация расчетной области, вывод основных соотношений произвольного лагранжево-эйлерова конечно-разностного метода. Приводятся справочные сведения об устойчивости метода.

Вторая глава посвящена динамике изолированного газового пузырька в несжимаемой вязкой жидкости. В ней дается вывод уравнения движения границы раздела газовой и жидкой сред в случае, когда окружающий радиус жидкой сферы имеет конечный размер. В приведенном уравнении, точно учитываются инерция жидкости, соотношения радиусов жидкой сферы и газового пузырька. В результате значительно расширяется круг задач, описываемых представленной моделью. В предельном случае, когда радиус жидкой сферы значительно превосходит радиус газового пузырька, приведенные уравнения сводятся к классическому уравнению Рэлея-Ламба-Плессета. В заключительном параграфе главы приводятся результаты численного интегрирования выведенных уравнений.

Анализу течений в газе в случае адиабатных процессов посвящена третья глава. Рассматривается тестовая задача о слете сжимаемой среды в точку, приводится сравнение численного решения с аналитическим для случая распространения сильной ударной волны на фоне холодного газа. Дается оценка влияния сил искусственной вязкости на получаемое решение в случае распространения ударных волн.

В последней четвертой главе исследуется динамика газового сфероида. В первом параграфе главы рассмотрена динамика газового пузырька под действием периодической нагрузки. Ударному нагружению газового сфероида посвящен второй параграф. В заключительном параграфе главы рассматривается динамика первоначально деформированной сферы под действием периодической нагрузки. ]г

В заключении диссертации приведены основные выводы по работе.

Автором защищаются следующие основные научные положения:

1. Вывод уравнения движения границы раздела газовой и жидкой сред в случае, коща радиус окружающей жидкой сферы имеет конечный размер (обобщение уравнения Рэлея-Ламба-Плессета).

2. Реализация неявного численного метода интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, который позволил быстро и качественно получить решение на произвольном интервале времени.

3. Программная реализация произвольного лагранжево-эйлерова метода к исследованию нестационарных процессов в газовом пузырьке.

Новизна работы состоит в

1. Обобщении уравнения Рэлея-Ламба-Плессета на случай конечного объема жидкой сферы.

2. Постановке и решении новых задач, для которых протекающие процессы в газовом пузырьке имеют существенно трехмерный нестационарный характер.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки, проведением серии тестовых расчетов, сравнительным анализом результатов расчета с аналитическими и численными данными других авторов.

Практическая значимость работы.

Изложенная в диссертационной работе методика и разработанный на ее основе программный комплекс пригодны для исследования широкого класса задач. Многие блоки программ комплекса имеют универсальный характер, так как моделируют основные законы механики сплошной среды, уникальными являются подпрограммы начальных и граничных условий, а также некоторые модули по вводу исходной информации и по обработке результатов счета.

Апробация работы.

Основные положения диссертации докладывались на:

XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин, 15-20 сентября 1995 г., Казань, КГУ; II Международном симпозиуме по энергетике, окружающей среде и экономике, (Казань, 1998); IV Всероссийской школе семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа", САМГОП-98, Уфа, июль 1998 г.; Конференция молодых ученых Татарстана (Казань, 1998); Итоговых конференциях Казанского государственного университета (1996-1998 гг.); Итоговых научных конференциях Института механики и машиностроения КНЦ РАН (Казань, 1996-1998 гг.); Семинаре академика Нигматулина Р.И. (Уфа, 1999);

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: Сахабут-динов А.Ж. (1996), Сахабутдинов Ж.М., Сахабутдинов А.Ж. (1997, 1998), Сахабутдинов А.Ж. (1998), Ильгамов М.А., Сахабутдинов А.Ж. (1999).

Вклад соавторов заключается в следующем:

Научному руководителю Ильгамову М.А принадлежат постановка всех задач и обсуждение результатов расчетов.

Сахабутдинову Ж.М. в работе (Сахабутдинов Ж.М., Сахабутдинов А.Ж., 1997) принадлежит постановка задачи об исследовании влиянии размеров жидкой сферы на вид уравнения Рэлея-Ламба-Плессета, в работе (Сахабутдинов Ж.М., Сахабутдинов А.Ж., 1998) - программная реализация методики численного интегрирования уравнений газовой динамики.

Автору принадлежат постановка рассмотренных с соавторами задач, разработка алгоритмов созданной методики, программ расчета, обсуждение и анализ полученных результатов.

ПАВА 1. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Сахабутдинов, Айрат Жавдатович

Основные результаты работы:

1. Программно реализована разностная схема произвольного лагранже-во-эйлерова конечно-разностного метода для интегрирования полной системы уравнений газовой динамики. Для анализа результатов счета использованы современные средства графической обработки большого массива числовой информации.

2. Дан вывод уравнения движения границы раздела газовой и жидкой сред в случае, когда радиус окружающей жидкой сферы имеет конечный размер. В уравнении учитываются инерция жидкости, соотношения радиусов жидкой сферы и газового пузырька. В предельном случае, когда радиус жидкой сферы значительно превосходит радиус газового пузырька (Ду%>50), приведенные в диссертации уравнения сводятся к известному классическому уравнению Рэлея-Ламба-Плессета;

3. Исследован динамический процесс газового пузырька в сферическом объеме вязкой несжимаемой и сжимаемой жидкости. Для различных значений амлитуды внешней нагрузки исследовано влияние коэффициента поверхностного натяжения на картину колебания. Расчетами показано, что если радиус жидкой сферы значительно превышает начальный радиус газового пузырька, то можно пользоваться известным уравнением Рэлея-Ламба-Плессета.

4. Впервые в трехмерной постановке дано численное решение задачи о сжатии газовой сферы под действием постоянной скорости движения границы на фоне холодного газа. Для решения чадачи использована нетрадиционная расчетная сетка с увеличением размеров ячеек к центру сферы. Приведено сравнение точного одномерного решения, полученного в рамках автомодельного движения, с результатами трехмерного численного эксперимента.

5. Рассмотрена задача о, сильном сжатии газового эллипсоида вращения под действием ударного типа давления. При достижении заданного момента времени давление далее сохраняет постоянное значение. Показано, что под действием интенсивной нагрузки граничная поверхность сначала симмерично сжимается, а затем теряет устойчивость, и газовый эллипсоид разрушается.

6. Подробно исследована динамика газового пузырька под действием внешнего периодически действующего перепада давления В случае малых значений амплитуд давления наблюдаются устойчивые осесимметричные колебания пузырька. С возрастанием значения амплитуды внешней нагрузи колебания имеют нелинейный характер, который проявляется в том, что газовый пузырек сильно "сопротивляется" процессу сжатия и сравнительно легко поддается расширению.

7. Исследована динамика первоначально деформированного газового пузырька под действием периодического давления. Построены поля скоростей и давлений в двух характерных сечениях. Дан качественный анализ влияния начальной деформации на динамику формы объема.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена численному исследованию трехмерного нестационарного поведения газового пузырька в жидкости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сахабутдинов, Айрат Жавдатович, 1999 год

1. Белоцерковский О.М. Вычислительный эксперимент: прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Больцмана. В кн.: Численные методы в динамике жидкостей. -М.: Мир, 1981.- С.348-398.

2. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.-М.: Наука, 1984, 519 с.

3. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука. - 1982. -392 с.

4. Гулидов А.И., Фомин В.М. Модификация метода Уилкинса для решения задач соударения тел. Препринт. -Новосибирск, изд-во ИТПМ СО АН СССР, 1980, 49.- 30 с.

5. Зарипов P.P., Петров Г.А., Сахабутдинов Ж.М. Графическая обработка результатов расчета трехмерных задач механики // Тезисы докладов II Республиканской научно-технической конференции. Секция механики жидкости, газа и плазмы. Наб. Челны, 1987.- С. 27.

6. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость.-М.: Наука, 1991, 199 с.

7. Ильгамов М.А., Сахабутдинов А. Ж. Динамика деформированного газового сфероида под действием периодической нагрузки. Препринт ин-та механики УНЦ, г.Уфа, 1999, с. 1-20.

8. Кутлер П. Перспективы развития теоретической и прикладной вычислительной аэродинамики // Аэрокосм, техника. -1985. -Т. 3, 8.- с. 328-341.

9. Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Автомодельное сжатие идеального газа плоским, цилиндрическим или сферическим поршнем // Теплофизика высоких температур. Том 36, №1, 1998, с. 120-128.ill

10. Ландау Л.Д., Лифшиц E.H. Теоретическая физика. Т. IV. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

11. Лисейкин В.Д., Яненко H.H. Метод подвижных координат в газовой динамике. -В сб.: Численные методы механики сплошной среды.- Новосибирск, 1976, Т.7, 2.- с.75-82.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.-М.: Наука, 1987, 848 с.

13. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш, Вахитова Н. К., Лэхи Р. Т. (мл.). Метод сверхсильного сжатия газового пузырька в жидкости непериодическим вибрационным воздействием давления умеренной амплитуды. ДАН, Теоретическая физика, том 341, №1, 1995, с. 37-41.

14. Нигматулин Р. И., Ахатов И. Ш., Вахитова Н. К. О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька // ДАН, Механика 1996, Т. 348, № 6, с. 768-771.

15. Нигматуллин Р. И. Динамика многофазных сред. М:, Наука, т. 1, 1987 г., с. 464.

16. Нох В.Ф. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. - В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967.- С. 128-184.

17. Рассказова В.В., Софронов И.Д. Некоторые вопросы численного решения трехмерных задач механики сплошной среды // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Методики и программы численного решения задач математической физики, 1987, Вып. 1, с. 76-87.

18. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.-418 с.

19. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980. - 616 с.

20. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 352 с.

21. Сахабутдинов Ж.М. Прямое численное моделирование в газовой динамике // В сб.: Гидроупругость оболочек. Казань, 1983, вып.ХУГ- С. 89-106.

22. Сахабутдинов Ж.М., Петров Г.А., Майгурова С. В. Геометрический метод построения сеток для пространственных областей произвольной формы // Взаимодействие оболочек со средой. Труды семинара.-Казань, КФТИ КФ АН СССР, 1987, вып. ХХ.-С. 209-222.

23. Сахабутдинов Ж.М., Петров Г.А., Майгурова С. В. Построение и оптимизация трехмерных криволинейных сеток // Вопросы атомной науки и техники, серия: "Мат. модели физ. процессов", 1989, вып.1.- С. 9-20.

24. Ландау Л.Д., Лифшиц E.H. Теоретическая физика. Т. IV. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

25. Лисейкин В.Д., Яненко H.H. Метод подвижных координат в газовой динамике. -В сб.: Численные методы механики сплошной среды.- Новосибирск, 1976, Т.7, 2.- с.75-82.

26. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.-М.: Наука, 1987, 848 с.

27. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш., Вахитова Н. К., Лзхи Р. Т. (мл.). Метод сверхсильного сжатия газового пузырька в жидкости непериодическим вибрационным воздействием давления умеренной амплитуды. ДАН, Теоретическая физика, том 341, №1, 1995, с. 37-41.

28. Нигматулин Р. И., Ахатов И. Ш., Вахитова Н. К. О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька // ДАН, Механика 1996, Т. 348, № 6, с. 768-771.

29. Нигматуллин Р. И. Динамика многофазных сред. М:, Наука, т. 1, 1987 г., с. 464.

30. Нох В.Ф. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. - В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967.- С. 128-184.

31. Рассказова В.В., Софронов И.Д. Некоторые вопросы численного решения трехмерных задач механики сплошной среды // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Методики и программы численного решения задач математической физики, 1987, Вып. 1, с. 76-87.

32. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.-418 с.

33. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980. - 616 с.

34. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 352 с.

35. Сахабутдинов Ж.М. Прямое численное моделирование в газовой динамике // В сб.: Гидроупругость оболочек. Казань, 1983, вып.ХУТ- С. 89-106.

36. Сахабутдинов Ж.М., Петров Г.А., Машурова С. В. Геометрический метод построения сеток для пространственных областей произвольной формы // Взаимодействие оболочек со средой. Труды семинара.-Казань, КФТИ КФ АН СССР, 1987, вып. ХХ.-С. 209-222.

37. Сахабутдинов Ж.М., Петров Г.А., Майгурова С. В. Построение и оптимизация трехмерных криволинейных сеток // Вопросы атомной науки и техники, серия: "Мат. модели физ. процессов", 1989, вып.1.- С. 9-20.

38. Сахабутдинов Ж.М. Анализ дискретных моделей движения точки. ИММ КНЦ РАН, Казань, Полиграф, комб. им. К. Якуба, 1995. С. 196.

39. Сахабутдинов Ж. М., Сахабутдинов А. Ж. Динамика газового пузырька в сферическом объеме вязкой жидкости. Моделирование динамических процессов в сплошных средах. ИММ КНЦ РАН, 1997. с. 96-108.

40. Сахабутдинов Ж. М. Численное моделирование трехмерных нестационарных течений газа в областях сложной конфигурации. Диссерт. на соискание ученой степени докт. физ.-мат. наук. Казань, с. 270, 1997 г.

41. Сахабутдинов Ж. М., Сахабутдинов А. Ж. Сильное сжатие газового пузырька в сферическом объеме жидкости // Труды II Международного симпозиума по энергетике, окружающей среде и экономике, Казань, 1998, с. 64-68.

42. Сахабутдинов А. Ж. Модель для изучения нелинейной динамики трубопровода при кольцевом течении жидкости // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин, 15-20 сентября 1995г., Казань, КГУ, 1996, том 2, с. 36-41.

43. Сахабутдинов А. Ж. Динамика газового пузырька в сферическом объеме жидкости. // Труды Конференции молодых ученых Татарстана, 14-19 сентября 1998, с. 46-47.

44. Седов JI. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981, 448 с.

45. Седов JI. И. Механика сплошной среды. -М.: Наука, 1970.-Т.1, 492 с.

46. Софронов И.Д., Дмитриев H.A., Дмитриева JI.B., Малиновская Е.В. Методика расчета двумерных нестационарных задач газодинамики в переменных Лагранжа.- М.: ИПМ АН СССР, 1976, препр. N 59, 52 с.

47. Уилкинс М.Л. Расчет упруго-пластических течений. -В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967.-С. 212-263.

48. Чепмен Д.Р. Вычислительная эродинамика и перспективы ее развития. Драй деновская лекция (обзор) // РТК.- 1980.- Т. 18, 2.- С. 3-32.

49. Черный Г.Г. Численное моделирование в аэрогидродинамике. -М.: Наука, 1986, 269 с.

50. Шенг Дж-С. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа // Аэрокосм. техника. 1986. - Т.4, 2.- С. 6592.

51. Шульц У.Д. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа // В сб.: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967.- С. 9-54.

52. Akhatov I. and Gumerov N., Ther Role of Surface Tension in Stable Single-Bubble SonoluminescencePhys. Rev. Lett. 78, N 2, 230 (1997)

53. Barber B.P., Wu, C.C., Lofstedt, R., Roberts, P.H., and Putterman, S. J., 'Sensitivity of sonoluminescence to experimental parameters", Phys. Rev. Lett. 72, 1380-1383 (1994).

54. Barber B. P. and Putterman S. J. Light Scattering Measerements of the Repetitive Supersonic Implosion of a Sonoluminescing Bubble. Physical Review Letters, v. 69, 1992, pp. 3839-3842.

55. Barber B.P., and Putterman, S. J., 'Observation of synochronous picosecond sonoluminescence", Nature (London) 352, 318-320 (1991);

56. Brenner M.P., Hingenfeldt S. and Lohse D. Why Air Bubbles in Water Glow So Easily. Lecture Notes in Physics. 1997.

57. Clarke J., Fisher H.M., Mason R.I. Laser-Driven Implosion of Spherical DT Targets to Thermonuclear Burn Conditions // Phys. Rev. Letter. 1973. V. 30. № 3. P. 89.

58. Hiller, R., and Putterman, S. J., 'Observation of isotope effects in sonoluminescence", Phys. Rev. Lett. 75, 3549-3551 (1995).

59. Hiller, R., Weninger, K., Putterman, S. J., and Barber B.P. 'Effects of noble gas doping in single bubble sonoluminescence", Science 266, 248-254 (1994).

60. Hirt C.W., Cook J.L., Butler T.D. A Lagrangian method for calculating the dynamics of an incompressible fluid with free surface. J. Comp. Phys., 1970, vol. 5, N 1, p. 103-124.

61. Horak H.G., Janes E.M., Kodis J.W., et al. An algorithm for the discrete rezoning of lagrangian meshes// J. Comp. Phys., 1978, v. 26, 3, p. 277-284.

62. Geitan D. F., "An experimental investigations of acoustic calculation in gaseous liquids", Ph. D. thesis, The University of Mississipi, 1990.

63. Geitan D. F., Crum, L.A., Roy R.A., and Charch, C.C. 'Sonoluminescence and bubble dynamics to for a single bubble, stable cavitation bubble", J. Acoust. Am. 91, 3166-3183 (1992).

64. Noh W.F. Errors for Calculations of Strong Shocks Using an Artificial Viscousity and an Artificial Heat Flux // Journal of Computational Physics, 1978. Vol. 72. p. 78-120.

65. Nuckolls J., Wood L., Thiessen A., Zimmerman G. Laser Compreession of Matter to Super-High Densities: Thermonuclear (CTR) Applications // Nature. 1972. V. 239. № 5368. P. 139.

66. Nuckolls J. H. The Feasibility of Inertial-Confinement Fusion // Phys. Today. 1982. V. 35. № 9. P. 24.

67. Plesset M.S. The Dynamics of cavitation bubbles // J. Appl. Mechanics, 1949. p. 277-282.

68. Pracht W.E., Brackbill J.U. An implicit, almost-Lagrangian algorithm for magnetohydrodynamics. J. Comp. Phys., 1973, vol. 13, N 4, p. 455-482.

69. Pracht W.E. Calculating three-dimensional fluid flow at all speeds with an eulerian-lagranglan computing mesh// J. Comp. Phys., 1975, v.17, p. 132159.

70. Pracht W.E., Brackbill J.U. BAAL: A code for calculating Three-dimensional fluid flows at all speeds with an eulerian-lagrangian computing mesh// Los Alamos Scientific Laboratory report LA-6342. August 1976.

71. Tian Y., Ketterling J. A., and Apfel R, E. Direct observation of mircobubble oscillations//J. Acoust. Soc. Am., Vol. 100, No 6, December 1996.

72. Wu C.C., Roberts P.H. Shock-wave propogation in a sonoluminescing gas bubble // Phys. Rev. Lett., 1993. Vol. 70, N 22. P. 3424-3427.