Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах с учетом коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Лукашев, Вячеслав Валерьевич

• Лукашев, Вячеслав Валерьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Лукашев, Вячеслав Валерьевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Общая постановка задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах

1.1. Выбор основного уравнения, модели граничных условий и метода решения задачи

1.2. Описание потоков разреженного газа в каналах

1.3. Построение модели процесса

1.4. Основные результаты, полученные в первой главе

Глава 2. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах

2.1. Задача о течении Пуазейля

2.2. Задача о течении Куэтта

2.3. Задача о тепловом крипе

2.4. Основные результаты, полученные во второй главе

Глава 3. Анализ предельных режимов

3.1. Режим близкий к гидродинамическому

3.2. Случай почти зеркальных граничных условий

3.3. Свободно-молекулярный режим

3.4. Основные результаты, полученные в третьей главе

Глава 4. Программный комплекс для расчета макропараметров газа

4.1. Алгоритм расчета

4.2. Программный комплекс

4.3. Основные результаты, полученные в четвертой главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах с учетом коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа»

Введение

В последние десятилетия все большее внимание привлекают к себе задачи, связанные с построением математических моделей процессов тепло-и массопереноса, протекающих в каналах, расстояние между стенками которых соизмеримо со средней длиной свободного пробега молекул газа. В этом случае для описания потоков массы газа и тепла уравнения классической гидродинамики неприменимы и для решения поставленных задач необходимо исходить из кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна удовлетворять функция распределения на стенках канала [1]-[12]. Для расчета макропараметров газа в канале в рамках кинетического подхода в общем случае используют методы прямого численного моделирования, основанные на том, что уравнение Больцмана решается конечно-разностным методом на фиксированной сетке в пространстве скоростей и координат, а искомые макропараметры газа находятся путем численного нахождения значений моментов от функции распределения. Однако при таком подходе требуется наличие мощных вычислительных ресурсов, как в плане оперативной памяти, так и в плане процессорного времени [13]. В силу этого актуальным является развитие и применение к моделированию процессов тепло- и массопереноса в каналах аналитических методов.

Аналитические решения задач тепло- и массопереноса в каналах в рамках кинетического подхода к настоящему времени решены в [14]-[16] с использованием почти зеркальных граничных условий и в [17]-[20] для случая диффузного отражения молекул газа стенками канала. Модель почти зеркального отражения молекул газа стенками канала мало реализуема на практике. В то же время, как показано в [1], например, для легких газов, таких, как гелий и неон, коэффициент аккомодации тангенциального импульса может существенно отличаться от единицы. Кроме того на значение коэффициента аккомодации тангенциального импульса также существенное влияние оказывает степень обработки поверхности стенок канала:

для загрязненной поверхности коэффициент аккомодации тангенциального импульса больше, чем в случае специально обработанной, например, путем химической очистки, поверхности. Таким образом, цель представленного диссертационного исследования состояла разработке и применении аналитических методов, численных процедур и комплексов программ для решения задач, связанных с математическим моделированием процессов тепло- и массопереноса в каналах, приводящих к корректным результатам при произвольных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и расстояния между стенками канала

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

1. Построение на основе БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модели кинетического уравнения Больцмана с использованием зеркально-диффузного граничного условия Максвелла математических моделей процессов тепло-и массопереноса в задачах о течениях Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, обобщающих существующие ранее результаты.

2. Проведение анализа построенных математических моделей при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам течения.

3. Разработка алгоритма для расчета на основе построенных моделей макропараметров газа в канале.

4. Создание программного комплекса, позволяющего рассчитать значения макропараметров газа при различных значениях толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала.

5. Проведение на основе представленного программного комплекса расчетов макропараметров газа и сравнение полученных результатов с аналогичными, имеющимися в открытой печати.

Объект исследования - поток разреженного газа в канале. При построении моделей предполагается, что стенки канала образованы двумя параллельными бесконечными плоскими поверхностями, а относительные изменения макропараметров газа на длине свободного пробега молекул газа малы, что позволяет рассмотреть поставленные задачи в линеаризовнном виде. В качестве основного уравнения, описывающего кинетику процесса, в работе используется линеаризованная БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия на стенках канала - модель зеркально-диффузного отражения.

Методы исследования. Основными методами исследования задач, поставленных в диссертационном исследовании, являются метод Кейза (метод разложения решения по собственным сингулярным обобщенным функциям характеристического уравнения, соответствующему заданному кинетическому уравнению) и вычислительный эксперимент с применением численных методов для нахождения значений итоговых выражений для макропараметров газа.

Научная новизна заключается в следующем:

- Построены математические модели процессов тепло- массопереноса для течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, которые обобщают имевшиеся ранее результаты и содержат их в качестве частных случаев.

- На основе анализа полученных результатов построены математические модели процессов переноса при переходе к гидродинамическому и свобод-номолекулярному режимам.

- Разработаны алгоритм и программный комплекс для расчета макропараметров газа в канале, позволяющий получить корректные результаты при произвольных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и расстояния между стенками канала.

- С использованием разработанного программного комплекса для различных значений толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала найдены численные значения отличных от нуля компонент вектора потока массы газа, вектора потока тепла.

Обоснованность и достоверность основных научных результатов обусловлена тем, что в основу построенных моделей положены фундаментальные уравнения теории переноса, классическая кинетическая теория разреженного газа и классические методы теории краевых задач функции комплексного переменного. Адекватность разработанных моделей и алгоритмов подтверждается сравнением полученных на их основе результатов с аналогичными результатами, полученными другими авторами с использованием методов прямого численного моделирования, а также тем, что при переходе к гидродинамическому пределу полученные на основе предложенных моделей результаты переходят в соответствующие результаты классической гидродинамики.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты могут быть обобщены на случай молекулярных газов и

бинарных смесей, а также для решения задач кинетической теории плазмы, в теории переноса электронов, в теоретической астрофизике.

Практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы для расчета потерь массы газа в установках низкого давления через дефекты соединительной арматуры; для расчета количества тепла, выделяющегося при перекачке газов при низких давлениях; для расчета потерь тепла в рефрижераторных установках и т.д.

Апробация работы. Основные результаты дисертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и семинарах:

- XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 11-15 апреля 2011г.

- Вторая Международная научная конференция " Моделирование нелинейных процессов и систем", Россия, Москва, Московский Государственный Технологический Университет "СТАНКИН", 6-10 июня 2011 г.

- Пятая международная научная школа-семинар " Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" имени Е.В. Воскресенского, Саранск, 1-13 июля 2011 г.

- X Молодежная международная научно-практическая конференция " Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания " Новосибирск, ЦРНС. 13 апреля 2012 г.

- Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием " Инженерная мысль машиностроения будущего ", Екатеринбург, Уральский федеральный университет имени первого президента России Б.Н. Ельцина, 18 - 20 апреля 2012 г.

- X конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании" с участием зарубежных ученых, Саранск, 27 - 29 августа 2012 г.

- Научно-практическая конференция " Актуальные проблемы механики, математики, информатики". Пермь, Перм. гос. нац. исслед. ун-т. 30 октября - 1 ноября 2012 г.

- 55 научная конференция " Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном пространстве". Долгопрудный. МФТИ. 19-25 ноября 2012 г.

- Всероссийская научная конференция с международным участием " Спектральная теория операторов и ее приложения". Архангельск. САФУ имени М.В. Ломоносова. 25-29 ноября 2012 г.

- XI научно-практическая конференция " Молодежь - двигатель науки ", САФУ имени М.В. Ломоносова, 13 декабря 2012 г.

- научных семинарах кафедры математики САФУ имени М.В. Ломоносова.

На защиту выносятся:

1. Математические модели течений Пуазейля, Куэтта и теплового крипа.

2. Инженерные формулы для расчета потоков массы газа и тепла при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам.

3. Алгоритм расчета макропараметров газа в канале.

4. Комплекс программ для расчета макропараметров газа в канале.

5. Зависимости макропараметров газа от толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала.

По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе 3 в изданиях из списка ВАК РФ, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 64 наименований, содержит 9 рисунков и 22 таблицы. Полный объем работы составляет 115 страниц машинописного текста.

Соискатель благодарит A.A. Юшканова за помощь в постановке задач, выводе основных уравнений, обсуждении методов решения и полученных результатов.

Глава 1.

Общая постановка задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах

1.1. Выбор основного уравнения, модели граничных условий и метода решения задачи

Во многих отраслях современной промышленности (электронной, радиотехнической, атомной, оптической, металлургической и др.) широко используются производственные процессы, протекающие при очень низких давлениях. Например, использование вакуумных печей в металлургии, напыление пленок в вакууме, вакуумная пайка и сварка, разделение изотопов, вакуумное замораживание и сушка при производстве лекарственных препаратов, вакуумная теплоизоляция в криогенике. Важная роль принадлежит вакуумной технике и при создании экспериментальных установок и аппаратуры для исследований в области ядерной физики, физики плазмы, физики твердого тела, материаловедения и т. п. [2].

Развитие и совершенствование вакуумной техники потребовало глубокого изучения законов тепло-массообмена и движения газа при больших степенях разрежения. Особенно большой практический интерес к механике разреженного газа вызвало развитие авиационной и ракетно- космической техники. Например, при расчетах аэродинамических характеристик летательных аппаратов; разработке молекулярных заборников газа; создании

датчиков для ракетного зондирования верхних слоев атмосферы; проектировании экспериментальных стендов для моделирования гиперзвукового движения аппарата на больших высотах и т. д. О чрезвычайно большом значении динамики разреженного газа свидетельствует огромное число работ, публикуемых в последнее время в периодической печати в России и за рубежом, особенно в США, Англии, Франции.

Одной из важнейших в прикладном отношении задач динамики разреженного газа является задача о течении разреженного газа в каналах [1, 2]. Не смотря на то, что первые исследования, посвященные этой задаче были выполнены в начале-первой половине прошлого столетия Кнудсеном в 1909 г. [21], Смолуховским в 1910 г. [22] и Клаузингом в 1932 г. [23], они до сих пор привлекают к себе внимание различных авторов (см., например, [1]—[20] и приведенные в них ссылки). В представленном диссертационом исследовании процессы тепло- и массоиереноса рассматриваются для слоя газа, заключенного между двумя бесконечными параллельными пластинами. Использование такой модели канала позволяет избежать учета краевых эффектов, что существенно упрощает решение задачи.

Выбор математического аппарата, используемого для моделирования процессов тепло- и массоиереноса в каналах, существенным образом зависит от соотношения их характерного размера £)' и средней длины свободного пробега молекул газа 1д. При И'/1д » 1 можно использовать уравнения механики сплошной среды, а в качестве граничных условий на стенках канала использовать классические граничные условия прилипания, т.е. полагать, что скорость газа и его температура вблизи стенки равны скорости и температуре самой стенки. Однако при условии, когда степень разре-жености газа становится велика, методы расчетов, основанные на уравнениях классической газовой динамики, становятся непригодными. В этих условиях необходим переход к кинетическому описанию, основанному на использовании кинетического уравнения Больцмана [2].

Учитывая, что точные решения кинетического уравнения Больцмана в силу нелинейности стоящего в его правой части пятикратного интеграла столкновений в общем случае получить не представляется возможным, при решении многих задач используется не само уравнение Больцмана, а его модели, которые получаются путем замены интеграла столкновений Больцмана более простыми с математической точки зрения выражениями, которые тем не менее наследуют основные свойства истинного интеграла

столкновений. Наиболее простой такой моделью является БГК (Бхатна-гар, Гросс, Крук) модель, которая для стационарного случая в декартовой системе координат записывается в виде [3, 4, 16]

= (/е,-/)- (1-1.1)

Здесь v - скорость молекул газа, / = /(г', v) - функция распределения молекул газа но координатам и скоростям, г' - размерный радиус-вектор, /ед = ггед(/?/7г)3//2 ехр[—¡3(х — и)2] - локально равновесная функция распределения, /3 = т/2кТея, т - масса молекулы газа, к - постоянная Больцма-на, Тед и пед - локально равновесные температура и концентрация молекул газа, и - среднемассовая скорость потока газа, щ ~ частота столкновений молекул газа.

Варьируя параметр щ, можно получить либо правильное значение коэффициента сдвиговой вязкости, либо значение коэффициента теплопроводности. Поэтому, в случае, когда в задаче преобладающими являются процессы, обусловленные вязкостью газа, полагают ио = рея/т]д. В случае преобладания процессов, связанных с теплопроводностью газа - полагают щ = 2ред/3г]д. Как показывают многочисленные сравнения, не смотря на относительную простоту БГК модели, в тех задачах, где определяющим механизмом является либо вязкость, либо теплопроводность, результаты, полученных на ее основе, с высокой степенью точности совпадают с аналогичными результатами, полученными как на основе других, более сложных модельных уравнений, так и на основе линеаризованного уравнения Больц-мана для молекул-жестких сфер [34]. Упомянутое выше обстоятельство и обусловило выбор уравнения, описывающего кинетику процессов, в представленном диссертационном исследовании.

Вторая проблема, с которой приходится сталкиваться при математическом моделировании процессов тепло- и массопереноса в канале, связана с постановкой граничных условий на его стенках. Теоретические исследования взаимодействия газа с обтекаемыми поверхностями являются исключительно сложными особенно для реальных поверхностей [3]. В силу этого по-прежнему актуальными остаются модели граничных условий, которые используют такие интегральные характеристики взаимодействия молекул газа с поверхностями, как коэффциенты аккомодации [25]. Одной из таких моделей граничных условий является зеркально-диффузное граничное

условие Максвелла [25]

/+(г'3, v) = (1 - ат) г«, v - 2п0(п0у)) + ОгМ^у). (1.1.2)

Здесь /+(г'5, у) - функция распределения молекул, отраженных от стенки канала, /"(г', v — 2п0(поу)) - падающих на стенку, 1 — ат - доля молекул, отразившихся от стенки зеркально, а ат - диффузно, с максвелловским распределением /<.(г^, у), г^ - координаты точек поверхности, V - скорости движения центров масс молекул газа. При зеркальном отражении молекул газа стенкой ат = 0, а при диффузном отражении ат — 1.

В [25] показано, что параметр ат определяет долю тангенциального импульса, передаваемого стенке молекулами газа. В силу этого параметр ат называют также коэффициентом аккомодации тангенциального импульса. Ссылки на данные по значениям коэффициентов аккомодации тангенциального импульса приведены в [1]. Из приведенных данных следует, что, для легких газов, таких, как гелий и неон, коэффициент аккомодации тангенциального импульса может существенно отличаться от единицы, тогда как для тяжелых газов, например, криптона и ксенона, коэффициент аккомодации близок к единице. На значение коэффициента аккомодации тангенциального импульса также существенное влияние оказывает степень обработки поверхности стенок канала: для загрязненной поверхности коэффициент аккомодации тангенциального импульса больше, чем в случае специально обработанной, например, путем химической очистки, поверхности [1]. Так как в задачах, связанных с внутренними течениями, определяющую роль при описании взаимодействия молекул газа с поверхностью играет коэффициент аккомодации тангенциального импульса [1], то при решении упомянутых выше задач нет необходимости использования более сложных моделей, учитывающих, например, коэффициент аккомодации энергии. Таким образом, приведенная выше модель зеркально-диффузного отражения исчерпывающим образом описывает взаимодействие молекул со стенками канала и в силу этого ее использование является достаточным для описания внутренних течений разреженного газа.

В представленном диссертационном исследовании рассматриваются слабо возмущенные течения разреженного газа. Это позволяет рассмотреть их описание в линеаризованном виде, что, во-первых, существенно упрощает решение посталенных задач, а, во-вторых, позволяет получить не только численное, но и точное аналитическое их решение. В настоящее время существует два основных метода построения точных аналитических решений

краевых задач кинетической теории газа и плазмы с использованием линеаризованных модельных кинетических уравнений. Это метод Винера-Хопфа (метод сведения кинетического уравнения к одностороннему уравнению типа свертки с интегралом, взятым вдоль действительной положительной полуоси [ЗТ]—[41]) и метод Кейза (метод разложения решения по собственным сингулярным обобщенным функциям характеристического уравнения, соответствующему заданному кинетическому уравнению [16, 42, 43]). Достоинство метода Кейза состоит в том, что он позволяет получать в явном виде функцию распределения молекул газа по координатам и скоростям, и, как следствие, вычислить все интересующие макропараметры газа [16]. В общем случае метод Кейза сводится к последовательному решению следующих задач [16]:

1. Разделение переменных и сведение исходного модельного кинетического уравнения к характеристическому уравнению.

2. Решение характеристического уравнения в пространстве обобщенных функций и нахождение собственных функций непрерывного спектра.

3. Решение дисперсионного уравнения и нахождение собственных функций дискретного спектра.

4. Разложение решения исходного модельного кинетического уравнения по собственным функциям непрерывного и дискретного спектров.

5. Сведение с учетом граничного условия построенного разложения сначала к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши, а затем к неоднородной краевой задаче Римана и ее решение.

6. Нахождение из условий разрешимости построенной краевой задачи коэффициентов дискретного спектра.

7. Нахождение с использованием формул Сохоцкого коэффициента в разложении решения исходного модельного кинетического уравнения по собственным векторам непрерывного спектра.

При описании внутренних течений разреженного газа использование метода Кейза усложняется тем, что нахождение коэффициента в разложении решения исходного модельного кинетического уравнения по собственным векторам непрерывного спектра сводится к решению уравнения Фредголь-ма второго рода [17]-[20]. Решение последнего ищется в виде степенного ряда, что приводит к тому, что выражения для макропараметров газа в канале записываются в виде рядов Неймана.

Как следует из полученных в [17]-[20] результатов, скорость сходимости

построенных рядов существенным образом зависит от толщины канала: чем тоньше канал, тем больше членов ряда необходимо учитывать для того, чтобы достичь заданной точности. Например, в задаче о течении Пуа-зейля, для того чтобы достичь погрешности вычислений, не превышающей 0,1%, при толщине канала В' = 0,11д необходимо учесть четыре члена ряда, а при В' > 21д - только один. При О' » 1д полученные с исполь-званием метода Кейза результаты переходят в аналогичные, полученные в рамках классической гидродинамики. В представленном диссертационном исследовании метод Кейза используется в качестве основного метода для учета влияния коэффициента аккомодаии таненциального импульса молекул газа стенками канала на макропараметры газа.

1.2. Описание потоков разреженного газа в каналах

При решении многих практически важных задач, связанных с течениями разреженного газа в каналах, возникает необходимость вычисления потоков массы газа и тепла через их поперечное сечение, например, при расчете количества тепла, выделяющегося при перекачке газов при низких давлениях, потерь массы газа в установках низкого давления через дефекты соединительной арматуры и т.д.

Наличие перепадов давления и температуры вызывает потоки массы газа и тепла через поперечное сечение канала, которые будем определять соответственно выражениями

ДМ

Зм = ~Др ^ = ДГ

Здесь ДМ и АС} - масса газа и количество тепла, протекающие через поперечное сечение канала за достаточно малый промежуток времени Д£. В разреженных газах потоки массы и тепла зависят от перепадов давления и температуры, т.е.

Зм = -МДр, ДГ), Зд = Зд(Ар, АТ).

Это значит, что потоки массы газа могут быть обусловлены не только перепадом давления, то и перепадом температуры, и обратно, потоки тепла могут быть обусловлены не только перепадами температуры, но и перепадами давления. Данный факт приводит к возникновению термомолекулярной разности давлений, которая приводит к потоку массы газа через канал. Данное явление называется тепловым крипом [1].

Как уже отмечалось выше, строгое теоретическое решение этих задач должно получаться в результате интегрирования уравнения Больцмана (или системы уравнений Больцмана, если газ состоит из молекул разной природы) при соответствующих граничных и начальных условиях. После того как найдена функция распределения, с помощью квадратур определяются любые макроскопические величины [2]. В частности, плотность числа частиц

п(г') = I/(г» <¿4 (1.2.1)

гидродинамическая (среднемассовая) скорость газа

и(г') = - / у/(г',у)Л, (1.2.2)

п 1

давление газа

= у / у2 а г» ¿ч

тензор вязких напряжений

, Ру(г') = т I ЦУ3Цг»Й3У,

температура

вектор плотности потока массы газа

з№) = т 1(1.2.3)

вектор плотности теплового потока

= у I УгУ2!{ г» <¿4. (1.2.4)

Здесь V = V — и - собственная скорость молекул газа, т ~ масса молекулы газа. После того как найден вектор плотности потока массы газа (1.2.3), нетрудно найти поток масы газа, приходящийся на единицу площади поперечного сечения канала. Полагая, что течение газа направлено вдоль оси Ог, находим

а'/2 Ь'/2

= \ I их'^Лх^у', (1.2.5)

—а'/2 -V/2

где а' и Ь' соответственно толщина и ширина канала.

В случае установившегося движения газа в канале, образованного двумя параллельными плоскими безграничными поверхностями, вместо (1.2.5) вычисляется поток массы газа, приходящийся на единицу ширины канала

а/2

з'м = I /Лх') йх'. (1.2.6)

-а/2

При записи (1.2.6) учли, что в этом случае давление и температура ре-лаксируют значительно быстрее в поперечном сечении, чем по всей длине канала. Таким образом, можем предположить, что вектор плотности потока массы газа зависит только от одной переменной х' [1]. Аналогичным образом рассчитываются и потоки тепла в канале

а!/2 6'/2

= I I

-а'/2 -V/2

или

а'/ 2

J д'г{х')(1х'. (1.2.7)

-а'/2

Для слабо возмущенных течений функцию распределения молекул газа можно линеаризовать либо относительно абсолютного, либо локально-равновесного маквеллиана, записав ее для рассматриваемых задач в виде

/(г» = /о[1 + Сгг(х,Сх)]. (1.2.8)

Здесь С = - безразмерная скорость молекул газа; (3 — т/2квТ;

х = х'/1д - безразмерная координата. В этом случае выражения (1.2.3)-(1.2.7) примут вид

Р - РВ'2 7 '( - РП'2 Т

^ - ^ ] - ^

где з2{х) и д2(х) - безразмерные векторы плотностей потоков массы газа и тепла, р и р - давление и плтность газа, Зм и </<3 - безразмерные потоки

массы газа и тепла, приходящиеся на единицу ширины канала,

+00

№ = -7= / (1.2.9)

+0с

1 С ' ,2\ (,,2 1'

Яг(х) = ^Д у ехр(-^) - у) (¿/х, (1.2.10)

-ос

а/2 а/2

Л/ = J jz(x)dx, ,7<Э:=~¿ / ^{х)(1х. (1.2.11)

-а/2 -а/2

Здесь и далее размерные величины записываются со штрихом, безразмерные - без штриха. Способ обезразмеривания величин в представленной работе совпадает с принятым в [9]. Выражения (1.2.9)-(1.2.11) используются в представленном диссертационном исследовании при вычислении потоков массы газа и тепла в канале.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лукашев, Вячеслав Валерьевич, 2013 год

Список литературы

Шарипов Ф.М., Селезнев В.Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург. УрО РАН. 2008. 230 с.

Кошмаров Ю. А., Рыжов Ю. А. Прикладная динамика разреженного газа М.: Машиностроение, 1977. 184 с.

Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. - М.: Мир, 1973. - 245 с.

Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир. 1978. 495 с.

Латышев А.В., Попов В.Н., Юшканов А.А. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений: Монография. Архангельск: Поморский университет. 2004. 266 с.

Loyalka S.K., Hickey К.A. Plane Poiseulle flow near continuum regimes for a rigid spheres // Physica A. 1989. V. 160. № 3. P. 395-408.

Siewert C.E., Garcia R.D.M. and Granjean P. A Concise and Accurate Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 2760-2763.

Barichello L.B. and Siewert C.E. A Discrete-Ordinates Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel // Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik. V. 50. 1999. 972-981.

Barihcello L.B., Camargo M., Podrigues P., Siewert C.E. Unified solutions to classical flow problems based on the BGK model // ZAMP. 2001. V. 52. P. 517-534.

Siewert C.E. Poiseuille, Thermal Creep and Couette Flow: Results Based on the CES Model Linearized Boltzmann Equation // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2002. V. 21. P. 579-597.

[11] Siewert C.E. The linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems // Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik. 2003. V. 54. P. 273-303.

[12] Garcia R.D.M. and Siewert C.E. The Linearized Boltzmann Equation with Cercignani-Lampis Boundary Conditions: Basic Flow Problems in a Plane Channel. // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. V. 28. P. 387-396.

[13] Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Шувалов П.В. Решение уравнения Больцмана на графических процессорах // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11. С. 144-152.

[14] Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий /У ЖТФ. 1998. Т. 68, № 11. С. 27-32.

[15] Латышев A.B., Юшканов A.A. Влияние свойств поверхности на характеристики газа между пластинами в задаче Куэтта. Почти зеркальные условия // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1999. № 10. С. 35-41.

[16] Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решения граничных задач для кинетических уравнений. М.: МГОУ. 2004. 286 с.

[17] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта в плоском канале с бесконечными параллельными стенками // Журнал технической физики. 2011. Т. 81. Вып. 1. С. 53-58.

[18] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля // Математический журнал Средневолж-ского математического общества. 2010. Т. 12. Я2 3. С. 111-120.

[19] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов А. А. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля с использованием эллипсоидально-статистической модели кинетического уравнения Больцмана // Прикладная механика и техническая физика. 2012. е 4. С. 48-56.

[20] Попов В., Тестова И., Юшканов А. Математическое моделирование течений газа в каналах. Монография. LAP LAMBERT Academic publishing. 2012. 116 с. - ISBN: 978-3-659-26597-6

[21] Knudsen M. Die Gesetze der Molecular Shrommung uad der inneren Reibungst parallel plates // Ann. der Physik. 1909. V. 28. p. 75 (The Physics of Fluids. 1973. V. 16. № 5. p. 594-599).

[22] Smoluchowski M. Zur Kinetischen Theorie der Transpiration uad Diffusion Verdünnter Gase // Ann. der Physik. 1910. V. 33. № 4. p. 15591570.

[23] Clausing P. Uber die Strömung sehr verdünnter Gase durch Rohren von beliebiger LaYige // Ann. der Physik. 1932. V. 12. № 5. p. 961-989. (The Journal of Vacuum Science and Technology. 1971. V. 8. №. 5. p. 636-646.)

[24] Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.

[25] Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. М.: Наука, 1967. 440 с.

[26] Арсентьев A.A. Лекции по кинетической теории. М.: Наука, 1992.

[27] Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ имени М.В. Келдыша, 1987.

[28] Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат. 1956.

[29] Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит. 2001.

[30] Веденяпин В.В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову. М.: МГОУ. 2005.

[31] Welander P. On the temperatura jump in a rarefied gas. // Arkiv for Fysik. 1954. Bd. 7. № 44. P. 507-564.

[32] Bhatnagar P.L., Gross E.M., Krook M. Model for collision processes in gases. I. Smull amplitudeprocesses in charged and neutral one component systems // Phys.Revew. 1954. V. 94. № 3. P. 511-525.

[33 [34

[35 [36 [37

[38

[39 [40

[41

[42

[43 [44

Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процесов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 556 с.

Siewert С.Е. and Sharipov F. Model equations in rarefied gas dynamics: viscous-slip and thermal-slip coefficiets // Phys. Fluids. 2002. V. 14. K2 12. P. 4123-4129.

Холвей Л. Новые статистические модели в кинетической теории: методы конструкций // Механика. М.: ИЛ, вып.6, 1967.

Cercignani С., Tironi G. Some application of linearize kinetic model with correct Prandtl number // Nuovo Cimento. 1966. V. 43. № IB. P. 64-68.

Frisch H., Frisch U. A method of Cauchy integral equation for noncoherent transfer in half-space// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1982. V. 28, № 5. P. 361-375.

Frisch H. A Cauchy integral equation method for analytic solution of halfspace convolution equation// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1988. V. 39, № 2. P. 149-162.

Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. "Уравнения типа свертки. М.: Наука. 1978. 269 с.

Латышев А.В., Юшканов А.А. Уравнения свертки в задаче диффузионного скольжения бинарного газа с аккомодацией // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1991. Ne 1. С. 31-37.

Енгибарян Н.Б., Хачатрян А.Х. О некоторых интегральных уравнениях типа свертки в кинетической теории // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. № 3. С. 466-468.

Case К.М. Elementary solution of the transport equation and their applications// Annals of Physics. 1960. У. 9. № 1. P. 1-23.

Кейз K.M., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса.- М.:Мир. 1972.

Латышев А.В., Юшканов А.А. Кинетические уравнения типа Вильям-са и их точные решения. М.: МГОУ. 2004. 271 с.

[45] Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для молекулярных газов. М.: МГОУ. 2005. 264 с.

[46] Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для вырожденной электронной плазмы. М.: МГОУ. 2006. 274 с.

[47] Латышев A.B., Лесскис А.Г., Юшканов A.A. Точное решение задачи о поведении электронной плазмы в слое металла в переменном электрическом иоле // ТМФ,- 1992,- Т. 90. № 2,- С. 179-189.

[48] Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скин-эффекте при произвольном коэффициенте аккомодации тангенциального импульса электронов // ЖТФ. 2000. Т. 70, № 8. С. 1-8.

[49] Латышев A.B., Юшканов A.A., Слободской Г.В. Граничная задача для кинетического уравнения в слое с зеркальными граничными условиями // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 6. С. 32-40.

[50] Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий. // ЖТФ, 1998, Т. 68, № 11. С. 27 - 31.

[51] Loyalka S.K. The Qn and Fn integrals for the BGK model // Transport theory and statistical physics. 1975. V. 4, P. 55-65.

[52] Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Математическое моделирование процессов переноса в плоских каналах в случае неполной аккомодации тангенциального импульса стенками канала // Моделирование нелинейных процессов и систем. Сборник тезисов второй международной конференции Моделирование нелинейных процессов и систем (Second International Conference (MNPS-11) The modeling of nonlinear processes and systems). Moscow. June 6 -10, 2011. M.: Янус -К, 2011. С. 255-256.

[53] Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Аналитические решение задачи о течении Пуазейля при неполной аккомодации тангенциального импульса стенками канала // Наука - Северному региону: сборник материалов научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов по итогам работ за 2010 год. - Архангельск: ИПЦ САФУ, 2011. С. 208-217.

[54] Лукашев В.В., Попов В.Н. Расчет профиля массовой скорости для течения Куэтта с учетом коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала // Физический вестник Института естественных наук и биомедицины. Сборник научных трудов. Выпуск 10. Архангельск: ФГАОУ ВПО Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова. 2011. С. 19-30.

[55] Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Математическое моделирование процессов переноса в плоских каналах // Математический журнал Средневолжского математического общества. 2011. Т. 13. № 2. С. 81-90.

[56] Лукашев В.В. Моделирование течения газа в канале при наличии градиента температуры // Сборник материалов Всероссийской молодежной научно-практической конференции с международным участием "Инженерная мысль машиностроения будущего Екатеринбург, Уральский федеральный университет имени первого президента России Б.Н.Ельцина, 18 - 20 апреля 2012 г. Екатеринбург: УрФУ, 2012. С. 88-93.

[57] Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта // Журнал Средневолжского математического общества. Т. 14. № 1. С. 72-82.

[58] Лукашев В.В., Попов В.Н. Аналитическое решение задачи о тепловом крипе для сверхтонких каналов // Актуальные проблемы механики, математики, информатики: сб. тез. науч.-иракт. конф. (Пермь, 30 октября - 1 ноября 2012 г.) / гл. ред. В.И. Яковлев; Перм. гос. нац. исслед. ун-т. - Пермь, 2012. - 195 с. (С. 101).

[59] Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Математическое моделирование процессов переноса в плоских каналах в случае неполной аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала Ц Вестник МГТУ "Станкин". 2012. № 3 (22). С. 98-104.

[60] Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Математическое моделирование процессов тепло и массопереноса в задаче о тепловом крипе. // Материалы Всероссийской научной конференции с международным участием "Спектральная теория операторов и ее приложения".

Архангельск. С(А)ФУ имени М.В. Ломоносова. 25-29 ноября 2012 г. Архангельск: КИРА, 2012. С. 66 - 70.

[61] Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Математическое моделирование процессов газовой динамики // Труды 55 научной конференции "Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном пространстве". Долгопрудный. МФТИ. 19-25 ноября 2012 г. Т. 2. Управление и прикладная математика. Москва-Долгопрудный-Жуковский, МФТИ, 2012. С. 49 - 50.

[62] Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Вычисление потока тепла в задаче о течении Куэтта с использованием зеркально-диффузной модели граничного условия на стенках канала // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия "Естественные науки". 2012. № 2. С. 80-85.

[63] Лукашев В.В. Моделирование процесса переноса массы газа в канапе при наличии градиента температуры// Сборник материалов X молодежной международной научно-практической конференции "Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания". Новосибирск, НГТУ. 17 мая 2012 г. Новосибирск: Издательство НГТУ, 2012. С. 7 -11.

[64] Лукашев В.В., Попов В.Н., Юшканов A.A. Моделирование процессов переноса в задаче о течении Куэтта при неполной аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала // Математическое моделирование. 2013. Т. 25. № 2. С. 111-124.