Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах с учетом теплофизических свойств газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Рудный, Дмитрий Алексеевич

• Рудный, Дмитрий Алексеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Рудный, Дмитрий Алексеевич

Содержание

Введение

Глава 1. Общая постановка задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах

1.1 Классические модели гидро- и аэродинамики

1.2 Кинетическое уравнение Больцмана

1.3 Обобщение кинетического уравнения Больцмана на случай молекулярных газов. Уравнение Ванг Чанг-Уленбека

1.4 Модель Морзе кинетического уравнения Ванг Чанг-Уленбека

1.5 Модель Хансона-Морзе интеграла столкновений в уравнении Ванг Чанг-Уленбека

1.6 Обобщение БГК-модели кинетического уравнения Больцмана

1.7 Обобщение эллипсоидально-статистической модели кинетического уравнения Больцмана

1.8 Аналитические методы решения кинетических уравнений

1.9 Математическое моделирование течений газа в каналах

Выводы из главы 1

Глава 2. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах

2.1 Задача о течении Пуазейля

2.2 Задача о течении Куэтта

2.3 Задача о тепловом крипе

Выводы из главы 2

Глава 3. Методы вычислений

3.1 Алгоритм расчета

3.2 Практическая реализация алгоритма

3.3 Математическое обоснование и преимущества выбранных процедур

Выводы из главы 3

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах с учетом теплофизических свойств газа»

Введение

Актуальность темы исследования. В последние годы в связи с развитием современных микро- и нанотехиологий все большее внимание привлекают к себе задачи, связанные с построением математических моделей процессов, протекающих в каналах, расстояние между стенками которых соизмеримо со средней длиной свободного пробега молекул газа. В этом случае при описании потоков массы газа и тепла уравнения классической гидродинамики неприменимы и для решения поставленных задач необходимо исходить из кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна удовлетворять функция распределения на стенках канала [1]-[12]. Для расчета макропараметров газа в канале в рамках кинетического подхода в общем случае используют методы прямого численного моделирования. Однако при таком подходе требуется наличие мощных вычислительных ресурсов, как в плане оперативной памяти, так и в плане процессорного времени [13]. В силу этого актуальным является развитие и применение к математическому моделированию процессов в каналах строгих аналитических методов.

Степень разработанности темы исследования. Использование методов прямого численного моделирования для расчета макропараметров газа в канале исходя из кинетического уравнения Больцмана приведено в работах К. Черчиньяни, С. Лойалки, С. Сиверта, JT. Баричелло, JL Камарго, П. Под-ригеса и Ж. Пуазейля. Аналитические решения задач тепло- и массопереноса в каналах в рамках кинетического подхода для одноатомпых газов, где число Прандтля равно 2/3 к настоящему времени решены Латышевым A.B., Поповым В.Н., Юшкановым A.A., Тестовой И.В. (например, работы [14]-[16] и [17]-[20]). В то же время, как показано в [1], для многоатомных газов число Прандтля может существенно отличаться от 2/3. Кроме того на значение числа Прандтля также существенное влияние оказывает температура газа. Вышесказанное обусловило необходимость теоретического исследования данной проблемы, определило выбор цели, задач и предмета исследования.

При построении моделей предполагается, что степкп канала образованы

двумя параллельными бесконечными поверхностями, а относительные изменения макропараметров газа на длине свободного пробега молекул газа малы, что позволяет рассмотреть поставленные задачи в линеаризованном виде. Для описания процессов тепло- и массоперепоса в работе использована Э С-моде ль кинетического уравнения Больцмана, обобщение которой для молекулярных газов получено в [68]. В качестве граничного условия на стенках канала использована модель диффузного отражения.

Цели и задачи. Таким образом, цель представленного диссертационного исследования состоит в математическом моделировании (с использованием точных аналитических методов) процессов тепло- и массопереноса в каналах, как для одно- так и для многоатомных газов при произвольных значениях числа Прандтля, охватывающего все режимы течения газа в канале от гидродинамического до свободномолекулярпого.

Для достижения обозначенной цели автором поставлены и решены следующие взаимосвязанные задачи:

- Разработка в рамках кинетического подхода нового математического метода моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах произвольной толщины.

- Построение математических моделей процессов тепло- и массопереноса в задачах о течениях Пуазейля, Куэтта и теплового крипа с учетом теплофизи-ческих свойств газа, приводящие к корректным результатам при произвольных значениях чисел Кнудсепа и Прандтля.

- Построение в рамках полученных моделей для различных значений расстояний между стенками канала и числа Прандтля профилей массовой скорости газа и вектора потока тепла, а также вычисление значения потоков тепла и массы газа, приходящихся на единицу ширины канала.

- Разработка алгоритма расчета макроиараметров газа в канале при произвольных значениях чисел Кнудсепа и Прандтля. проведение на его основе количественного анализа зависимостей макропараметров газа от значения числа Прандтля.

Научная новизна заключается в следующих положениях, выносимых на защиту:

1. Процедура построения математических моделей течений газа в каналах

с учетом числа Прандтля.

2. Математические модели течений газа в канале (течений Пуазейля, Ку-этта, теплового крипа).

3. Величины потоков массы газа и тепла.

4. Зависимости макропараметров газа от толщины канала и числа Прандтля.

5. Алгоритм расчета макропараметров газа в канале и его практическая реализация.

Теоретическая значимость работы обусловлена тем, что полученные в ней математические модели и алгоритмы могут быть использованы для решения разнообразных задач теории переноса электронов, кинетической теории газа и плазмы, теоретической астрофизики.

Практическая значимость работы обусловлена тем, что полученные в диссертации математические модели и алгоритмы могут быть использованы во многих отраслях промышленности. Например, в вакуумной промышленности для расчетов потерь массы газа в установках низкого давления через дефекты соединительной арматуры; в авиастроении для расчета потерь массы газа через микротрещины в корпусах летательных аппаратов; в строительной отрасли для расчета потерь тепла через микротрещины строительных конструкций; для расчета количества тепла, выделяющегося при перекачке газов при низких давлениях; для расчета потерь тепла в рефрижераторных установках и т.д, а также при подготовке бакалавров и магистрантов по направлению подготовки " Прикладная математика".

Методы исследования. Для выполнения поставленных в работе задач было проведено комплексное использование аналитических методов, включая теорию краевых задач функции комплексного переменного, теорию сингулярных интегральных уравнений, символьных вычислений, выполненных в пакете практико-ориентированных программ Maple 9.5, и численных процедур, реализованных па языке программирования Delphi.

Достоверность основных научных результатов обусловлена использованием в работе фундаментальных уравнений теории переноса, классической кинетической теории разреженного газа, классических методов теории краевых задач функции комплексного переменного. Адекватность разработанных

моделей и алгоритмов подтверждается тем, что результаты, полученные с их использованием, совпадают с аналогичными результатами других авторов, полученных с использованием численных методов (в частности, методом дискретных ординат), а также тем, что для каналов, стенки которых расположены па расстоянии много больше средней длины пробега молекул газа, полученные на основе предложенных моделей результаты приводят к аналогичным результатам классической гидродинамики.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих научных и научно-тсхничсских конференциях и семинарах:

- Всероссийская молодежная научная конференция "Современные проблемы математики и механики", Россия, Томск, ТГУ, 13 - 15 октября 2010 г.

Международная научная конференция молодых ученых "Актуальные проблемы науки и техники", Уфа, УГНТУ, 9 декабря 2010 г.

Вторая международная конференция " Моделирование нелинейных процессов и систем (Second International Conference (MNPS-11) The modeling of nonlinear processes and systems)" Москва, G - 10 июня 2011 г.

- V Международная конференция " Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2012)", Россия, Воронеж, ВГУ, 11 - 16 сентября 2012 г.

- Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых с международным участием "Современные проблемы математики и се прикладные аспекты (СПМПА-2013)", Россия, Пермь, ПГНИУ, 29 - 31 октября 2013 г.

- Научно-техиических конференциях профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов АГТУ.

- научных семинарах кафедры математики САФУ имени М.В. Ломоносова.

Специальность, которой соответствует диссертация. Отраженные в диссертации научные положения, относящиеся к исследованию математических моделей течений разреженного газа в канале, предложенные математические модели и алгоритмы, численные методы, которые используются в работе для решения научных и прикладных проблем кинетики разреженного газа, соответствуют паспорту специальности 05.13.18 "Математическое моделирова-

ние, численные методы и комплексы программ". В том числе:

- разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений,

- разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий,

- комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Исследование проведено при преобладании математических методов в качестве аппарата исследования и при получении результатов в виде новых математических методов и вычислительных алгоритмов, характеризующих изучаемые объекты.

По теме диссертации опубликовано 16 работ, из них - 4 в изданиях из списка ВАК РФ, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 103 наименования, содержит 13 рисунков и 18 таблиц. Полный объем диссертации составляет 122 страницы текста.

Соискатель выражает благодарность A.A. Юшканову за помощь в обсуждении полученных результатов.

Глава 1

Общая постановка задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в

каналах

1.1 Классические модели гидро- и аэродинамики

Хорошо известно [24], что уравнения классической гидродинамики позволяют с достаточной для практики степенью точности описать широкий круг проблем динамики достаточно плотных газов к числу которых относится и газы, находящиеся при нормальных условиях.

Наиболее простой моделью движущейся жидкости или газа является так называемая модель идеальных жидкостей или газов. При использовании данной модели отвлекаются от наличия внутреннего трения - вязкости, полагая, что по границам соприкосновения двух относительно друга движущихся слоев жидкости или газа действуют лишь нормальные к границе раздела силы давления и отсутствуют лежащие в плоскостях соприкосновения касательные силы трения, то есть р^ = —Здесь р^ - компонента тензора вязких напряжений, р - давление газа, - символ Кронекера, т.е.

Течение идеальной жидкости или газа описывается системой уравнений, которая называется системой уравнений Эйлера [24] и включает в себя уравнение неразрывности:

^ + = (1.1.1)

и уравнение Эйлера:

ди . _

—+ (u-V)u = --Vp + F,

(1.1.2)

где р - плотность, и - среднемассовая скорость газа, Г - внешняя сила, действующая на единицу массы газа, V - оператор Гамильтона, причем

др др др

Ур = 7^1 + 7^.] + тгк> их оу ог

У(ри) - + д(рц2/) + д(риг)

дх

, <9u <9и ди

(и . V)u = + и,- + =

ду

dz

U-,

дих дх

дих ду

+ uz-

дих

Ж

i +

ди

ия

у

дх +

+ и

ди

у

"Оу ди~

+ и.

диу dz

j+

Un

duz duz + uv—--h uz-

дх y ду dz

Если число Маха M = и/с « 1, где и - скорость потока, с - местная скорость звука, сжимаемостью газа можно пренебречь [25]. В этом случае, полагая р = Const, для стационарного случая в отсутствии массовых сил систему уравнений (1.1.1)-(1.1.2) можно переписать в виде

Vu = О,

(и • V)u = -- Vp.

Р

(1.1.3)

(1.1.4)

Теория идеальных жидкости и газа во многих случаях позволяет корректно описать обтекание тел [24]. Однако, в ряде случаев ее использование приводит к результатам, находящимся в противоречии с экспериментальными фактами. К их числу относится, например, парадокс Даламбера: равенство нулю равнодействующей сил давления идеальной жидкости на плавно обтекаемое тело. Разъяснение данному парадоксу дал в еще 18 веке Л. Эйлер, подчеркнув, что свойства реальных жидкостей и газов существенно отличаются от идеальных.

Основное отличие заключается в том, что в реальных жидкостях и газах имеют место явления внутреннего трения (вязкости) и теплопроводности [24].

Для описания потоков вязких жидкостей и газов используется система уравнений Навье-Стокса, которая состоит из уравнения Навье-Стокса:

+ У)и = Г - - Ур + гЛ72и, (1.1.5)

дt р

уравнения неразрывности:

^ + У(ри)=0 (1.1.6)

и уравнения теплопроводности:

дТ

дЬ

аЛТ, (1.1.7)

где р - плотность газа, и - его макроскопическая скорость, Т - температура, и -

X

коэффициент кинематической вязкости, а —--коэффициент температуро-

рср

проводности, х ~ коэффициент теплопроводности, ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, Л - оператор Лапласа, причем

А _ д2т д2т д2т

АТ = У2Т =--1---1--,

дх2 ду2 дг2

У2и = (У 2их)'1 + (У2^ + =

_ / д2их + д2их + д2их V | /д2иу + д2иу + |

\ дх2 ду2 дг2 ) \ дх2 ду2 дх2 )

+ (д2иг + д2щ ^УЛ к

\ дх2 ду2 дг2 )

Для значений числа Маха М << 1 уравнение неразрывности (1.1.6) снова запишется в виде (1.1.3), а для стационарного случая в отсутствии массовых сил уравнение Навье-Стокса (1.1.5) примет вид

(и • У)и = ~ Ур + гЛ72и, (1.1.8)

откуда

р(и • У)и = -Ур + ри\72и,

или

р(и ■ У)и = -'Ур + ??У2и, (1.1.9)

где т] = ри — динамическая вязкость газа.

При движении потока жидкости или газа в последнем возникают возмущения, исходящие от стенок канала или вносящиеся в поток извне [24]. Степень их влияния определяется соотношением сил инерции и вязкости. В случае, когда преобладающий характер имеют силы вязкости, возникшие возмущения гаснут. Течение при этом остается ламинарным (слоистым). В случае, когда преобладают силы инерции, появившиеся возмущения развиваются дальше. Характер течения в этом случае становится турбулентным. Граница соотношения сил определяется по значению критерия Рейпольдса Иекр- Если 11с < ИеКр -преобладают силы вязкости. Если Ие > ЯеКр - преобладают силы инерции. Если инерционными эффектами пренебречь, т.е. полагать, что Яе << ЯеКр, то уравнение (1.1.9) запишется в виде

У2и = -Чр. (1.1.10)

V

Для решения системы уравнений Навье-Стокса, которая в общем случае представляет собой сложную нелинейную систему дифференциальных уравнений с частными производными, необходимо сформулировать начальные и граничные условия. В классической гидродинамике при постановке граничных условий на обтекаемых поверхностях обычно полагают, что скорость газа у стенки и его температура равны соответственно скорости и температуре самой стенки. Как показывают многочисленные расчеты использование такого граничного условия позволяет получать решения, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными. Однако, когда плотность газа становится достаточно низкой, результаты, полученные в рамках классической гидродинамики, все существеннее отличаются от экспериментально наблюдаемых. В достаточно разреженном газе молекулы "скользят" вдоль стенок, что было экспериментально установлено в конце 19 столетия Кундтом и Варбургом при исследовании движения разреженного газа по трубам [26]. Таким образом, в слабо разреженном газе граничное условие для касательной составляющей массовой скорости газа на обтекаемой поверхности может быть записано в виде:

ит = Ст^-1д. (1.1.11)

Здесь Ст - коэффициент изотермического скольжения, идт - касательная к поверхности компонента скорости газа, полученная в гидродинамическом

приближении, хп - координата, нормальная к обтекаемой поверхности, направленная вглубь газа, 1д - средняя длина свободного пробега молекул газа. Аналогичным образом вводятся понятия теплового скольжения и скачка температуры [1]. Последнее условие используется для постановки на обтекаемых поверхностях граничного условия при построении решения уравнения теплопроводности (1.1.7).

Раздел гидродинамики, учитывающий при постановке граничных условий на обтекаемых газом поверхностях явления скольжения и скачка температуры, получил название гидродинамики со скольжением. Учет па обтекаемых газом поверхностях явления скольжения и скачка температуры позволяет расширить порядка до 0, 03 диапазон чисел Кнудсена, при которых представляется возможным использование для описания течений газа системы уравнений классической гидродинамики. Последнее является весьма важным, т.к. к настоящему времени разработано большое число пакетов практико-ориентированных программ, например, ANSYS - программное обеспечение для решения задач инженерного анализа с использованием методов математического моделирования (модули Fluent, CFX), Flow Vision, FLOW-3D и ряд других, которые могут быть использованы для описания потоков газа в задачах с различной геометрией течения.

При дальнейшем увеличении степени разреженности газа, методы расчетов, основанные на уравнениях классической газовой динамики, становятся непригодными и в этих условиях необходим переход к кинетическому описанию, основанному на использовании кинетического уравнения Больцмана [2]. Построению моделей течения газа в этих условиях и посвящено настоящее диссертационное исследование.

1.2 Кинетическое уравнение Больцмана

Во многих отраслях современной промышленности, например, радиоэлектронной, ядерной, медицинской и т.д.., широко применяются различные техно-

логические процессы, протекающие при очень низких давлениях. Например, технологии, связанные с вакуумным напылением пленок, пайка и сварка при низких давлениях, вакуумное разделение изотопов, вакуумная теплоизоляция в криотехнике [2]. Разработка такого рода технологических процессов потребовала время глубокого изучения процессов протекания тепло- и массообмена в разреженных газах. О чрезвычайно большом значении динамики разреженного газа свидетельствует огромное число работ, опубликованных в последнее время в периодических изданиях, как в России, так и за рубежом [2].

К числу важнейших в прикладном значении задач динамики разреженного газа относятся задачи о течении разреженного газа в каналах [1, 2|. Несмотря на то, что первые исследования, посвященные этой задаче были выполнены в начале-первой половине прошлого столетия Кпудсеном в 1909 г. [21], Смолу-ховским в 1910 г. [22] и Клаузингом в 1932 г. [23], они до сих пор привлекают к себе внимание [1]—[20].

Выбор математического аппарата, используемого для моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах, существенным образом зависит от соотношения расстояния между стенками капала V и длины свободного пробега молекул газа 1д. При &/1д » 1 можно использовать уравнения механики сплошной среды, а при постановке граничных условий можно полагать, что значения скорости газа и его температуры на стенках канала равны скорости и температуре самой стенки. Однако при условии, что степень разреженности газа становится велика, расчеты, основанные па использовании уравнений классической газовой динамики, становятся непригодными. В этих условиях необходим переход от макроскопического описания, основанного на использовании уравнений классической гидро- и газодинамики, к кинетическому подходу, основанному на решении уравнения Больцмапа с микроскопическими граничными условиями, которым должна соответствовать на обтекаемых газом поверхностях функция распределения молекул газа [2[.

Для простого (одноатомного) газа кинетическое уравнение Больцмапа записывается в виде [29]—[33].

~ + VV/ = / [/ОО/Ю - /И/Ы]ш7(и, д) с1Ш\.

Здесь /(¿, г', V) - функция распределения молекул по координатам и ско-

ростам, выражающая долю числа молекул газа, приходящуюся на элементарный объем сРгсРу фазового пространства М3 х К3 около точки (г,у) в момент времени ¿, г' - радиус-вектор точек конфигурационного пространства, и = |у — VI] - модуль вектора относительной скорости, сталкивающихся молекул, V, VI, V' и у^ - скорости сталкивающихся молекул до и после столкновения, которые связаны между собой соотношениями

V7 = V - п[п(у - VI)], V7! = VI - п[п(У1 - V)],

п - единичный вектор нормали к единичной сфере О, ¿П - элемент площади поверхности единичной сферы, сг(к, ¡1) дифференциальное сечение рассеяния молекулы на угол в, определяющее вероятность того, что после столкновения налетающая молекула отразится под углом в по отношению к вектору п и зависящее от закона межмолекулярного взаимодействия.

1.3 Обобщение кинетического уравнения Больцмана на случай молекулярных газов. Уравнение Ванг Чанг-Уленбека

Молекулы многоатомных газов обладают двумя свойствами, которые отсутствуют у одноатомных газов [36]: во-первых, они имеют внутренние степени свободы, которые могут обладать некоторой энергией, а, во-вторых, молекулы многоатомных газов имеют достаточно разнообразную форму, вследствие чего потенциал их межмолекулярного взаимодействия не является сферически симметричной функцией. Как показывают многочисленные исследования [36], наличие внутренних степеней свободы в большей степени сказывается на тех свойствах газов, которые связаны с переносом энергии, т. е. на коэффициентах теплопроводности и термодиффузии, и в меньшей степени на других характеристиках. Несимметричность же потенциала взаимодействия влияет па значение всех коэффициентов переноса примерно одинаково; однако оценить это влияние в общем виде трудно, поскольку природа межмолекулярного потенциала при переходе от одних видов молекул к другим меняется значительно.

Последовательное описание процессов переноса в многоатомных газах в общем случае должно строиться на основе квантовых представлений [66]. Однако, если исключить из рассмотрения водород и его изотопы при сверхнизких температурах и учесть, что в широком диапазоне температур в пределах от десятков до тысяч градусов Кельвина колебательные степени свободы молекул газа не возбуждены [74], то для решения широкого круга практически важных задач можно ограничиться рамками классической механики, обобщив кинетическое уравнение Больцмана таким образом, чтобы можно было учесть внутренние состояния молекул. Основная сложность, с которой приходится сталкиваться в этом случае, заключается в определении дифференциального сечения рассеяния молекул газа. Для решения этой проблемы в разное время использовались различные модели многоатомных молекул, например, шероховатые сферы (сферы, которые зацепляют друг друга при соударении без проскальзывания [57], [58|), нагруженные сферы (сферы, центр тяжести которых не совпадает с их геометрическим центром [59], [60]), сфероцилиндры (цилиндры с полусферическими торцами [61], [62], [63]), вытянутые и сплющенные эллипсоиды [60]. Во всех упомянутых выше моделях молекулы газа рассматриваются как твердые частицы, внутренняя энергия которых обусловлена только вращением.

Трудности построения классической кинетической теории газа с внутренними степенями свободы, связанные, с резким увеличением числа параметров, характеризующих столкновения молекул газа между собой и с нахождением явного вида интеграла столкновений, принимающего во внимание неуиругие процессы, которые становятся особенно наглядными при сравнении с развитой теорией однокомпонентного газа [64], привели к тому, что данный подход к описанию процессов переноса в молекулярных газах не получил широкого практического применения.

Принципиально другой (полуклассический) подход был представлен в 40-х годах прошлого века Ванг Чанг и Улеибеком [65] и независимо от них де Буром [36]. В рамках этого подхода поступательные степени свободы молекул газа описываются с использованием классической механики, а внутренние - на основе квантовой, т.е. предполагается, что молекулы газа могут обладать лишь определенными дискретными значениями внутренней энергии, которые обозначаются индексами. Молекулы, находящиеся в различных внутренних энергети-

ческих состояниях, описываются различными функциями распределения. Так, в соответствии с вышеизложенным, /г(г, с, t) - это есть функция распределения по координатам и скоростям в момент времени t молекул, находящихся в г-м энергетическом состоянии. Вывод уравнения Больцмана для функций /¿(г, c,t) отличается от вывода уравнения Больцмана для смесей газов лишь в учете неупругих столкновений, при которых меняется внутреннее состояние одной или обеих сталкивающися молекул [36].

Пусть crjj(u,x,£) ~ это дифференциальное сечение рассеяния молекул, движущихся друг относительно друга со скоростью и = |v — vi|, при котором их внутренние состояния, соответствующие индексам г и j, переходят в состояния с индексами к и а вектор относительной скорости (величина которого теперь не постоянна) поворачивается на полярный угол х 11 азимутальный угол £. Зависимость afj(u,Xi£) от е объясняется тем, что в отличие от одпоатомных многоатомные молекулы не обладают сферической симметрией. Тогда величина

uaV(u,x,£)fi(riV1t)fj(r,v1,t)(fvd3vi sinхfilete, (1.3.1)

определяет число соударений, которые происходят в единице объема в единицу времени между молекулами, находящимися в состоянии i и со скоростями в интервале cPv вблизи значения v, и молекулами, находящимися в состоянии j и со скоростями в интервале Sv\ вблизи значения vi, после которых молекулы переходят в состояния /си / соответственно, причем вектор их относительной скорости лежит в элементе телесного угла dfl = sin вблизи значений х 11

б, отсчитанных от первоначального направления вектора и [36]. Хотя, в общем случае относительная скорость сталкивающихся молекул и' после соударения, вообще говоря, не равна значению относительной скорости и до соударения, вектор и' однозначно определяется заданием его ориентации относительно и, если известны энергии состояний [36]. В случае, когда различные внутренние состояния молекул газа не вырождены [36]

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рудный, Дмитрий Алексеевич, 2014 год

Список литературы

[1] Шарииов, Ф.М. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах / Ф.М. Шарииов, В.Д. Селезнев. - Екатеринбург: УрО РАН, 2008. - 230 с.

[2] Кошмаров, Ю. А. Прикладная динамика разреженного газа / Ю. А. Кошмаров, Ю. А. Рыжов. - М.: Машиностроение, 1977. 184 с.

|3] Черчиньяни, К. Математические методы в кинетической теории газов / К. Черчиньяни. - М.: Мир, 1973. 245 с.

[4] Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана / К. Черчиньяни. - М.: Мир. 1978. 495 с.

[5] Латышев, А.В. Неоднородные кинетические задачи. Метод!, сингулярных интегральных уравнений: Монография / А.В. Латышев, В.Н. Попов, А.А. Юшканов. Архангельск: Поморский университет, 2004. - 266 с.

[6] Loyalka, S.K. Plane Poiseulle flow near continuum regimes for a rigid spheres / S.K. Loyalka, K.A. Hickey // Physica A., 1989. - V. 160. № 3. - p. 395-408.

[7] Siewert, C.E. A Concise and Accurate Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel / C.E. Siewert, R.D.M. Garcia and P. Granjean // Journal of Mathematical Physics, 1980. - V. 21. - p. 2760-2763.

[8| Barichello, L.B. A Discrete-Ordinates Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel / L.B. Barichello and C.E. Siewert // Zeitschrift fur Angewandte Mathematic und Physik, 1999. - V. 50. - p. 972-981.

[9] Barichello, L.B. Unified solutions to classical flow problems based on the BGK model / L.B. Barihcello, M. Camargo, P. Podrigues, C.E. Siewert // ZAMP, 2001. - V. 52. - p. 517-534.

[10] Siewert, C.E. Thermal Creep and Couette Flow: Results Based on the CES Model Linearized Boltzmann Equation / C.E. Siewert, Poiseuille // European Journal of Mechanics B/Fluids, 2002. - V. 21. p. 579-597.

|11] Siewert, С.Е. The linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems / C.E. Siewert // Zeitschrift für Angewandte Mathematic und Physik, 2003. - V. 54. - p. 273-303.

[12] Garcia, R.D.M. The Linearized Boltzmann Equation with Cercignani-Lampis Boundary Conditions: Basic Flow Problems in a Plane Channel / R.D.M. Garcia and C.E. Siewert // European Journal of Mechanies B/Fluids, 2009. -V. 28. - p. 387-396.

[ 13] Клосс, Ю.Ю. Решение уравнения Больцмана па графических процессорах / Ю.Ю. Клосс, Ф.Г. Черемисин, П.В. Шувалов // Вычислительные методы и программирование, 2010. - Т. 11. -- с. 144-152.

[14] Латышев, A.B. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий / A.B. Латышев, A.A. Юшканов // ЖТФ, 1998. - Т. 68, № 11. - с. 27-32.

[15] Латышев, A.B. Влияние свойств поверхности на характеристики газа между пластинами в задаче Куэтта. Почти зеркальные условия / A.B. Латышев, A.A. Юшканов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 1999. - № 10. - с. 35-41.

[16| Латышев, A.B. Аналитические решения граничных задач для кинетических уравнений / A.B. Латышев, A.A. Юшканов. - М.: МГОУ, 2004. -286 с.

[17] Попов, В.Н. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта в плоском канале с бесконечными параллельными стенками / В.Н. Попов, И.В. Те-стова, A.A. Юшканов // Журнал технической физики, 2011. - Т. 81. Вып. 1. - с. 53-58.

[18] Попов, В.Н. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля / В.Н. Попов, И.В. Тестова, A.A. Юшканов // Математический журнал Средне-волжского математического общества, 2010. - Т. 12. № 3. - с. 111-120.

[19] Попов, В.Н. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля с использованием эллипсоидально-статистической модели кинетического уравне-

ния Больцмана / В.Н. Попов, И.В. Тестова, A.A. Юшканов // Прикладная механика и техническая физика, 2012. - № 4. - с. 48-56.

[20J Попов, В. Математическое моделирование течений газа в каналах. Монография. / В. Попов, И. Тестова, А. Юшканов. - LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. - 116 с.

[21] Knudsen, M. Die Gesetze der Molecular Shrommung uad der inneren Reibungst parallel plates / M. Knudsen // Ann. der Physik, 1909. - V. 28. -p. 75. (The Physics of Fluids, 1973. - V. 16. № 5. - p. 594-599)

[22] Smoluchowski, M. Zur Kinetischen Theorie der Transpiration uad Diffusion Verdünnter Gase / M. Smoluchowski // Ann. der Physik, 1910. - V. 33. № 4.

- p. 1559-1570.

[23] Clausing, P. Uber die Strömung sehr verdünnter Gase durch Rohren von beliebiger LaYige / P. Clausing // Ann. der Physik, 1932. - V. 12. №5-p. 961-989. (The Journal of Vacuum Science and Technology. 1971. - V. 8. № 5. - p. 636-646.)

[24] Лойцанский, Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. - 7-е изд., испр. / Л.Г. Лойцанский. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

[25] Зельдович, Я.Б. Теория ударных воли и введение в газодинамику / Я.Б. Зельдович. Москва, Ленинград: Издательство АН СССР, 1946. 187 с.

[26] Kundt, A. Uber Reibung und Warmeleiturig Verdünner Gase / A. Kundt, E. Warburg // Annalen der Physik, 1875. - V. 232 (10). - p. 177-211.

[27] Лифшиц, E.M. Физическая кинетика / E.M. Лифшиц, Л.П. Питаевский.

- M.: Наука, 1979. - 528 с.

[28] Коган, М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория / М.Н. Коган. - М.: Наука, 1967. - 440 с.

[29] Арсентьев, A.A. Лекции по кинетической теории / A.A. Арсентьев. - М.: Наука, 1992.

[30] Бобылев, А.В. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау / А.В. Бобылев. - М.: ИПМ имени М.В. Келдыша, 1987.

[31] Больцман, Л. Лекции по теории газов / Л. Больцман. - М.: Гостехиздат. 1956.

[32] Веденяпин, В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова / В.В. Веденяпин. - М.: Физматлит, 2001.

[33] Веденяпин, В.В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову / В.В. Веденяпин. - М.: МГОУ, 2005.

[34] Welander, P. On the temperatura jump in a rarefied gas / P. Welander // Arkiv for Fysik, 1954. - Bd. 7. № 44 - p. 507-564.

[35] Bhatnagar, P.L. Model for collision processes in gases. I. Srnull amplitudeprocesses in charged and neutral one component systems / P.L. Bhatnagar, E.M. Gross, M. Krook // Phys.Revew, 1954. - V. 94. № 3. -p. 511-525.

[36] Ферцигер, Дж. Математическая теория процессов переноса в газах / Дж. Ферцигер, Г. Капер. - М.: Мир, 1976. - 556 с.

[37] Siewert, С.Е. Model equations in rarefied gas dynamics: viscous-slip and thermal-slip coefficiets / C.E. Siewert and F. Sharipov // Phys. Fluids, 2002 . - V. 14. № 12. - p. 4123-4129.

[38] Холвей, Л. Новые статистические модели в кинетической теории: методы конструкций / Л. Холвей. - Механика. М.: ИЛ, вып.6, 1967.

[39] Cercignani, С. Some application of linearize kinetic model with correct Prandtl number / C. Cercignani, G. Tironi // Nuovo Cimento, 1966. - V. 43. № IB. -p. 64-68.

[40] Frisch, H. A method of Cauchy integral equation for non-coherent transfer in half-space / H. Frisch, U. Frisch //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1982. - V. 28. № 5. - p. 361-375.

[41] Frisch, H. A Cauchy integral equation metliod for analytic Solution of halfspace convolution equation / H. Frisch // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1988. - V. 39. № 2. - p. 149-162.

[42] Гахов, Ф.Д. Уравнения типа свертки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. - М.: Наука, 1978. - 269 с.

[43] Латышев, A.B. Уравнения свертки в задаче диффузионного скольжения бинарного газа с аккомодацией / A.B. Латышев, A.A. Юшканов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 1991. -№ 1 - с. 31-37.

[44] Енгибарян, Н.Б. О некоторых интегральных уравнениях типа свертки в кинетической теории / Н.Б. Енгибарян, А.Х. Хачатрян // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998. - Т. 38. № 3. -с. 466-468.

[45] Case, K.M. Elementary Solution of the transport equation and their applications / K.M. Case // Annais of Physics, 1960. - V. 9. № 1. - р. 123.

[46] Кейз, K.M. Линейная теория переноса / K.M. Кейз, П.Ф. Цвайфель. -М.:Мир, 1972.

[47] Латышев, A.B. Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения / A.B. Латышев, A.A. Юшканов. - М.: МГОУ, 2004. - 271 с.

[48] Латышев, A.B. Граничные задачи для молекулярных газов / A.B. Латышев, A.A. Юшканов. - М.: МГОУ, 2005. - 264 с.

[49] Латышев, A.B. Граничные задачи для вырожденной электронной плазмы / A.B. Латышев, A.A. Юшканов. - М.: МГОУ, 2006. - 274 с.

[50] Латышев, A.B. Точное решение задачи о поведении электронной плазмы в слое металла в переменном электрическом поле / A.B. Латышев, А.Г. Лесскис, A.A. Юшканов // ТМФ, 1992. - Т. 90. № 2. - с. 179-189.

[51] Латышев, А.В. Аналитическое решение задачи о скин-эффекте при произвольном коэффициенте аккомодации тангенциального импульса электронов / А.В. Латышев, А.А. Юшкапов // ЖТФ, 2000. - Т. 70. № 8. -с. 1-8.

[52] Латышев, А.В. Граничная задача для кинетического уравнения в слое с зеркальными граничными условиями / А.В. Латышев, А.А. Юшканов, Г.В. Слободской // ПМТФ, 1997. - Т. 38. № 2. - с. 32-40.

[53] Латышев, А.В. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий / А.В. Латышев, А.А. Юшканов // ЖТФ, 1998. - Т. G8. № 11. - с. 27 - 31.

[54] Loyalka, S.K. The Qn and Fn integrals for the BGK model // Transport theory and statistical physics / S.K. Loyalka // Transport theory and statistical physics, 1975. - V. 4. - p. 55-65.

[55] Wang Chang, C. S. Transport phenomena in polyatomic gases / C. S. Wang Chang, G. E. Uhlenbeck // Univ. of Michigan Eng. Res. Inst. Report CM-681, 1951.

[56] Taxman, N. Classical theory of transport phenomena in dilute polyatomic gases / N. Taxman //Pliys. Rev., 1958. - 110. - p. 1235-1239.

[57] Pidduok, F. The kinetic theory of a special type of rigid molecules / F. Pidduok //Proc. Roy. Soc, 1922. - 101. - p. 101.

[58] Chapman, S. The mathematical theory of non-uniform gases / S. Chapman, T.G. Cowling. - Cambridge University Press, 1939, 1952. (Имеется перевод: Чепмен, С. Математическая теория неоднородных газов / С. Чепмен, Т. Каулинг. ИЛ, 1960.)

[59j Jeans, J. The distribution of molecular energy / J. Jeans //Phil. Trans. Roy. Soc., 1901. 196. - p. 397.

[60] Dahler, J.S. Transport phenomena in a fluid composed of diatomic molecules / J.S. Dahler //Journ. Chem. Phys., 1959. - 30. - p. 1447.

[61] Curtiss, C.F. Kinetic theory of nonsphcrical molecules / C.F Curtiss //Journ. Chem. Phys., 1956. - 24. - p. 225.

[62] Curtiss, C.F. Kinetic theory of nonsphcrical molecules, II / C.F Curtiss //Journ. Chem. Phys., 1957. - 26. - p. 1619.

[63] Muckenfuss, C. Kinetic theory of nonspherical molecules, III / C. Muckenfuss,

C.F Curtiss //Journ. Chem. Phys., 1958. - 29. - p. 1257.

[64] Каган, Ю.М. К кинетической теории газа с вращательными степенями свободы / Ю.М. Каган, A.M. Афанасьев // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1961. Т. 41. Вып. 5 (11). - с. 1536-1545.

[65] Wang Chang, C.S. / C.S. Wang Chang, G.E. Uhlenbeck, de Boer //в сб. "Studies in statistical mechanics 1964. 2, ed.

[66] Жданов. B.M. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах / В.М. Жданов, М.Я. Алиевский. - М.: Наука, 1989. - 336 с.

[67] Holway, L.H. Approximation procedres for kinetic theory / L.H. Holway, Ph.

D. Thesis. Harvard, 1963.

[68J Andries, P. The Gaussian-BGK model of Boltzmann equation with small Prandtl numbers / P. Andries, P.Lr. Tallec, J. Perlat, B. Perthame // European Journal of Mechanics В Fluids, 2000. - Vol. 19. № 6. - c. 813-830.

[69] Акивис, M.A. Тензорное исчисление / M.A. Акивис, В.В. Гольдберг. - М.: Наука, 1972. - 352 с.

[70] Monchik, L Heat conductivity of polyatomic and polar gases / L. Monchik,

E.A. Mason // J. Chem. Phys, 1962. - Vol. 36. № 5. - p. 1622-1631.

[71] Hanson, F.B. Kinetic model for gas with internal structure / F.B. Hanson, T.F. Morse // Physics of Fluids, 1967. - Vol. 10. № 2. - p. 345-352.

[72] Hanson, F.B. Kinetic description of the propagation of plane sound waves in a diatomic gas / F.B. Hanson, T.F. Morse, L. Sirovich // Physics of Fluids, 1969. Vol. 12. № 1. - p. 84-95.

[73] Pazooki, N. Heat transfer in a rarefied polyatomic gas I. Plane parallel plates / N. Pazooki, S.K. Loyalka // Int. J. Heat Trail., 1985. - Vol. 28. № 11. -p. 2019-2026.

[74| Лифшиц, E.M. Физическая кинетика / E.M. Лифшиц, Л.П. Питаевский. - М.: Наука, 1979. - 528 с.

[75] Morse, T.F. Kinetic model for gases with internal degrees of freedom / T.F. Morse // Phys. Fluids, 1964. - Vol. 7. № 2. - p. 159-169.

[76] Shneider, M.N. Bulk Viscosity Measurements Using Coherent Rayleigh-Brillouin Scattering/ M.N. Shneider, Z. Zhang, R.B. Miles// The 42nd Aerospace Sciences Meeting and Exhibit Conference AIAA-2004-0017. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2004.

[77] Гуревич, Л.Э. Основы физической кинетики / Л.Э. Гуревич. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940. -245 с.

[78] Краснов, М.Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - М.: Наука, 1968. - 192 с.

[79] Ракитин, В.И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров / В.И. Ракитин, В.Е. Первушин. - М.: Высшая школа, 1998. - 383 с.

[80] Гмурман, В.И. Теория вероятностей и математическая статистика / В.И. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.

[81] Лукашев, В.В. Математическое моделирование процессов переноса в плоских каналах / В.В. Лукашев, В.Н. Попов, А.А. Юшкапов // Математический журнал Средневолжского математического общества, 2011. Т. 13. № 2. - с. 81-90.

[82] Лукашев, В.В. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта / В.В. Лукашев, В.Н. Попов, А.А. Юшканов // Журнал Средневолжского математического общества, 2012. - Т. 14. № 1. - с. 72-82.

[83] Лукашев, B.B. Математическое моделирование процессов переноса в плоских каналах в случае неполной аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала / В.В. Лукашев, В.Н. Попов, A.A. Юшка-нов // Вестник МГТУ "Станкип", 2012. - Т. 13. № 2 (22). - с. 98-104.

[84] Лукашев, В.В. Вычисление потока тепла в задаче о течении Куэтта с использованием зеркально-диффузной модели граничного условия па стенках канала / В.В. Лукашев, В.Н. Попов, A.A. Юшканов // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия Естественные науки, 2012. -№2.- с. 80-85.

[85] Лукашев, В.В. Моделирование процессов переноса в задаче о течении Куэтта при неполной аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала / В.В. Лукашев, В.Н. Попов, A.A. Юшканов // Математическое моделирование, 2013. - Т. 25. № 2. - с. 111-124.

[86] Лукашев, В.В. Аналитическое решение задачи о тепловом крипе / В.В. Лукашев, В.Н. Попов // Журнал Средневолжского математического общества, 2013. - Т. 15. № 1. - с. 90-101.

[87] Гулакова, C.B. Математическое моделирование процессов переноса в задаче о течении Пуазейля па основе уравнения Вильямса / C.B. Гулакова, В.Н. Попов // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия Естественные пауки, 2013. - № 4. - с. 84-89.

[88] Рудный, Д.А. Вычисление коэффициентов рядов Неймана в пакете прикладных программ МАРЬЕ 9.5 / Д.А. Рудный, В.Н. Попов // Вестник математического факультета. Межвузовский сборник научных трудов / Сост. Э.О. Зеель; Поморский гос. уп-т им. М.В. Ломоносова. - Архангельск: Поморский университет, 2010. - Вып. 10. - с. 61-65.

[89] Рудный, Д.А. Вычисление расхода газа в плоском канале при произвольных значениях числа Прандтля / Д.А. Рудный, В.Н. Попов // Сборник материалов Всероссийской молодежной научной конференции "Современные проблемы математики и механики". Томск, 13-15 октября 2010 г. Изд-во Томского университета: Томск, 2010. - с. 186-188.

[90] Рудный, Д.А. Вычисление потока тепла в канале прямоугольного сечения при малых градиентах давления / Д.А. Рудный // Сборник трудов II Международной научной конференции молодых ученых "Актуальные проблемы пауки и техники". Уфа. Уфимский государственный нефтяной технический университет. 9 декабря 2010 г. - Уфа: Нефтегазовое дело,

2010. - Т 1. - с. 82-82.

[91] Попов, В.Н. Аналитические решения задач о течении газа в каналах при произвольных значениях числа Прандтля / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Вестник физического факультета Поморского университета. Сборник научных трудов. Архангельск: Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 2010. - Выпуск 9. с. 3-12.

[92] Попов, В.Н. Математическое моделирование течений газа в плоских каналах с параллельными стенками с учетом значений числа Прандтля / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Наука - Северному региону: сборник материалов научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов по итогам работ за 2010 год. - Архангельск: ИПЦ САФУ, 2011. - с. 217-225.

[93] Попов, В.Н. Математическое моделирование процесса переноса тепла в плоском канале при малых градиентах давления / В.Н. Попов, Д.А. Рудный, A.A. Юшканов // Моделирование нелинейных процессов и систем. Сборник тезисов второй международной конференции Моделирование нелинейных процессов и систем (Second International Conference (MNPS-11) The modeling of nonlinear processes and systems). Moscow. June 6 -10,

2011. M.: Янус - К, 2011. - с. 257-258.

[94] Попов, В.Н. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля с учетом теплофизических свойств газа / В.Н. Попов, Д.А. Рудный, A.A. Юшканов // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Выпуск 14. Материалы второй международной конференции " Моделирование нелинейных процессов и систем " Proceedings of the Second International Conference " The modeling

of nonlinear processes and systems". M.: Янус - К, 2011. - Выпуск 14. -с. 258-266.

[95] Попов, В.Н. Вычисление потока тепла в плоском канале с учетом температуры газа / В.Н. Попов, Д.А. Рудный, A.A. Юшкапов // Вестник Поморского университета. Серия: Естественные и точные пауки, 2011. -№ 3. - с. 105-111.

[96] Лукашев, В.В. Математическое моделирование потерь тепла в строительных конструкциях с учетом дефекта монтажа / В.В. Лукашев, В.Н. Попов, Д.А. Рудный, И.В. Тестова // Сборник научных трудов Международного научно-образовательного семинара ''Деревянные конструкции

- 2011: образование, практика, инновации в странах Баренцова Евро-Арктического региона". Архангельск. 23-25 ноября 2011 г. Архангельск: ООО "Агентство рекламы 'РАД"", 2012. - с. 105-110.

[97] Попов, В.Н. Влияние чисел Прандтля и Кнудсена на процесс переноса тепла в задаче о плоском течении Пуазейля / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Теплофизика и аэромеханика, 2012. - № 2. т. 19 - с. 193-200.

[98] Попов, В.Н. Математическое моделирование процессов тепло- и массопе-реноса в каналах для молекулярных газов / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования " ПМТУММ-2012": материалы V Международной конференции, Воронеж, 11-16 сентября 2012 г. / [под ред. A.B. Глушко, В.В. Провоторова]; Воронеж, гос. ун-т, Мое. гос. ун-т, С.-Петерб. гос. ун-т., Воронеж, гос. ун-т инж. технологий, Воронеж, гос. техн ун-т.

- Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. - с. 230-232.

[99] Попов, В.Н. Математическое моделирование процесса переноса тепла в плоском канале при малых градиентах давления / В.Н. Попов, A.A. Юш-канов , ДА. Рудный // Вестник МГТУ "Станкин", 2012. - № 3 (22). -с. 105-109.

[100] Попов, В.Н. Построение модели Хансона-Морзе интеграла столкновений в уравнении Ванг Чанг-Уленбека / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Физический вестник Института естественных наук и биомедицины. Сборник научных трудов. Архангельск: ФГАОУ ВПО Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова, 2012. - Выпуск 11. - с. 3-16.

[101] Попов, В.Н. Обобщение эллипсоидально-статистической модели кинетического уравнения Больцмана на случай молекулярных газов / В.Н. Попов, Д.А. Рудный // Физический вестник Института естественных наук и биомедицины. Сборник научных трудов. Архангельск: ФГАОУ ВПО Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова, 2013. - Выпуск 12. - с. 3-9.

[102] Рудный, Д.А. Вычисление расхода массы газа через поперечное сечение канала в задаче о тепловом крипе / Д.А. Рудный, В.Н. Попов // Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты - 2013: сб. тез. науч.-практ. конф. (Пермь, 29-31 октября 2013) / гл. ред. В.И. Яковлев; Перм. гос. нац. исслед. ун-т. Пермь, 2013. с. 138.

[103] Попов, В.Н. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта для молекулярных газов / В.Н. Попов, Д.А. Рудный, A.A. Юшканов // Вестник МГОУ. Сер. " Физика - Математика", 2013. - № 2. - с. 39-47.