Компьютерное моделирование аэродинамики воздушно-космических аппаратов с учетом особенностей взаимодействия молекулярных потоков с поверхностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Зея Мьо Мьинт

• Зея Мьо Мьинт
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зея Мьо Мьинт

Введение.

Глава 1. Физические и математические модели кинетической теории газов, удобные при аэродинамических расчетах.

1.1. Молекулярная структура газов.

1.2. Модели взаимодействия молекул.

1.3. Математическое описание модели взаимодействия молекул газа с поверхностью.

1.3.1. Модель Максвелла.

1.3.2. Модель Черчиньяни-Лампис-Лорда.

1.3.3. Модель Ночиллы.

1.3.4. Модель Леннарда-Джонса.

1.4. Столкновение частиц.

1.5. Длина свободного пробега.

1.6. Модели элементарной кинетической теории.

1.7. Математическое моделирование движения системы многих частиц.

1.8. Математическое моделирование взаимодействия молекул с твердыми поверхностями.

1.9. Применение кинетических моделей к расчету течений разреженного газа.

Глава 2. Методы и алгоритмы Монте-Карло.

2.1. Основные уравнения и подходы методов Монте-Карло в вычислительной аэродинамике.

2.1.1. Общая схема метода Монте-Карло.

2.1.2. Методы Монте-Карло в вычислительной аэродинамике.

2.1.3. Основные уравнения динамики разреженного газа и подходы к построению статистических методов.

2.1.4. Связь стационарного статистического моделирования и решения кинетического уравнения.

2.1.5. Построение метода прямого статистического моделирования.

2.1.6. Процедура методов Монте-Карло для моделирования течений разреженного газа и сплошной среды.

2.1.7. Построение алгоритма метода Монте-Карло.

2.1.8. Верификация метода Монте-Карло.

2.2. Описание методики расчета аэродинамических характеристик

2.2.1. Методика описания поверхности.

2.2.2. Методика расчета аэродинамических характеристик летательных аппаратов в условиях свободно-молекулярного обтекания.

2.2.3. Инженерная локальная методика расчета АДХ в переходном режиме.

2.2.4. Описание программы расчета определения аэродинамических характеристик воздушно-космических систем.

Глава 3. Использование предложенных моделей, статистических численных схем и набора программ для определения аэродинамических характеристик воздушно-космических систем.

3.1. Результаты расчета АДХ BKA по локальной методике при различных числах Рейнольдса.

3.2. Результаты расчета АДХ BKA по методу Монте-Карло в свободномолекулярном режиме при различных моделях взаимодействия газа с поверхностью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование аэродинамики воздушно-космических аппаратов с учетом особенностей взаимодействия молекулярных потоков с поверхностью»

Актуальность проблемы. В связи с широким применением вычислительной техники во всех отраслях естественных, технических и даже гуманитарных наук методы математического моделирования стали важнейшим средством исследовательской деятельности. Создание математических моделей является главным направлением современного процесса математизации наук. Необходимость математических моделей первыми ощутили точные науки - механика, физика, астрономия. Поэтому у специалистов возникло стремление освоить и применить в своих областях опыт использования математических средств, накопленный математиками. Однако такое заимствование далеко не всегда осуществимо, даже формально. Возникает необходимость создания нового математического аппарата, разработки новых математических средств и методов, отражающих специфику области приложения. Это обстоятельство порождает большое многообразие математических моделей в различных науках, невозможность методологического обобщения процесса их создания. Тем не менее, можно выделить доминирующие здесь тенденции и наметить перспективы их развития. Прежде всего следует указать на широкий класс детерминистских моделей, основанных на идеологии законов сохранения, которые широко распространились в точных науках (прежде всего естественных)[1].

Формулировка таких законов требует наличия большой исходной (априорной) информации, которой при постановке реальных проблем часто оказывается недостаточно. В связи с этим в настоящее время интенсивно развиваются методы построения адаптивных и самообучающихся моделей, которые ориентированы на широкое применение электронных вычислительных машин (ЭВМ). Эти методы, как правило, опираются на использование идей и приемов статистики и существенно различаются по объему необходимой априорной информации.

Наиболее распространены параметрические методы построения адаптивных математических моделей, в которых на основе априорных сведений, интуиции и правдоподобных гипотез задается параметрическая структура модели.

Схема предусматривает пять следующих этапов исследования на основе математических моделей.

1 .Построение качественной модели.

2.Построение математической модели, т.е. запись качественной модели в математических терминах.

3.Исследование математических задач, возникающих в связи с построением математической модели. Используются аппарат классической математики и вычислительный эксперимент на ЭВМ.

4.Исследование моделей на основе критерия практики, т.е. сопоставление результатов экспериментов и наблюдений с теоретическими следствиями. Апробация модели.

5.Использование апробированных моделей для прогнозирования, проектирования или управления, т.е. для достижения поставленных целей. Дальнейшее развитие модели в связи с накоплением и уточнением данных о явлениях.

При построении математической модели изучаемого объекта из всех характеризующих его связей выделяются наиболее существенные. Эти связи, как правило, записываются в виде уравнений, которые выражают фундаментальные законы естествознания. Сами объекты могут быть совершенно различными по своей природе и назначению - физические или биологические явления, технологические процессы, механизмы или конструкции. Остановимся на методологии построения математических моделей явлений и процессов, основанной на законах сохранения.

Пусть величина ср является количественной характеристикой некоторого свойства элемента исследуемой системы (массы, импульса, энергии и т.д.). Вообще говоря, <р - вектор с компонентами щ (к = 1, 5). Через вектор х с компонентами х,- (¿=1, п) обозначим индивидуальные признаки элемента системы (например, координаты, фазовые переменные), а через t независимую переменную, характеризующую время. Основные характеристики являются функциями времени и индивидуальных признаков, т.е. (р- <p(t, х).

В точных науках (в физике, механике и астрономии) существовала тенденция формулировки своих законов в форме

F(jp) = const,

Описывающей зависимость между свойствами элементов системы. При этом константа справа сохраняется вдоль траектории движения элемента в пространстве К\ Зависимости формы называют законами сохранения.

Зависимости вида формы справедливы при вполне определенных условиях. Например, закон Бойля - Мариотта pV = const р - давление, V - объем данной массы газа) справедлив при постоянной температуре Т, уравнение состояния Клапейрона p = pRT р и R ~ соответственно плотность газа и газовая постоянная) справедливо для идеального разреженного газа; уравнение состояния Ван-дер-Ваальса p + ap2)(l-4cg) = pRT в котором cg- параметр Ван-дер-Ваальса, учитывающий долю газового объема, приходящегося на собственный объем молекул, множитель а вычисляется по параметрам потенциала межмолекулярного взаимодействия или по параметрам критического состояния газа) оправдано, строго говоря, в области сравнительно высоких температур и умеренных давлений; постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий выполняется для консервативных (гамильтоновых) систем.

Ранее рассматривались детерминистские параметрические модели, т.е. модели, с помощью которых предсказываемые значения могут быть вычислены точно. Но это не всегда возможно. Например, нельзя указать точное число молекул воздуха в его 1 см3, имеющих данную фиксированную) скорость. Можно говорить лишь о вероятности обнаружения молекул со значениями скоростей из некоторого интервала или о математическом ожидании числа таких молекул. Это пример стохастической системы.

Стохастические модели - это модели стохастических систем, в которых предсказываемые значения зависят от распределения вероятностей.

Стохастическое (вероятностное) описание представительно, если система обладает большим числом дискретных элементов. Это означает, что при стохастическом описании мы имеем дело с некоторым ансамблем каждый элемент характеризуется вектором х (вообще говоря, многомерным) индивидуальных признаков. В дальнейшем элементы системы для краткости иногда будем называть частицами.

Вероятности распределения элементов по индивидуальным признакам характеризуются функциями распределения (р, под которыми будем понимать плотности математического ожидания числа частиц со значениями индивидуальных признаков из промежутка [х, х + ¿/х]. Это означает, что величина с!п = <р(х,1)с1х,с1х. = сЬсхсЬс2.сЬс3,з = 1,т дает математическое ожидание числа частиц в элементе ¿/х вблизи точки х, 5 - мерного пространства в момент времени /.

Если в фазовом объеме ю заключено N частиц, то распределение их полного числа по индивидуальным признакам дается N - частичной функцией распределения ?), т < пЫ.

Если на рассматриваемых пространственных масштабах наблюдается корреляция только ¿•-частиц (5 < Ы), то распределение элементов системы описывается ^-частичными редуцированными функциями распределения: ^(хЛ'У1 }(х2(,),0-• У'ЧхЛОзс«

Множитель х(л) носит название ¿-частичной корреляционной функции. Он равен единице для независимых (некоррелированных) событий. Корреляции более 5 элементов возможны в очень малой области, образуемой частицами, которую по аналогии с газом или газовзвесью будем называть областью соударения (областью удара). Функции <р{1)(х(1), ¿) носят название одночастичных функций распределения. В большинстве практически важных ситуаций ими можно ограничиться при построении стохастических моделей естествознания.

Как правило, рассматриваемая система (ансамбль) подразделяется на К качественно различных подсистем, содержащих большое число элементов. Например, молекулы воздуха различаются по химическому составу, приземный слой атмосферы состоит из молекул газа и взвешенных твердых или жидких частиц, а особи популяции различаются по цвету глаз. В этом случае удобно ввести набор функций распределения <^а(ха, /), а = 1, Я, рассматривая <р(х, /) как матрицу-столбец: х15О Л

Кх>0 = р2(х2,()

Набор индивидуальных признаков ха может быть различным для разных подсистем. Так, точечные молекулы газа характеризуются положением их центров масс и поступательными (линейными) скоростями, а взвешенные шероховатые нагревающиеся и сорбирующие твердые частицы -положением их центров масс, поступательными и угловыми скоростями, температурами частиц и массами сортов сорбированного ими газа. Под функциями <^а(ха, /) подразумеваются ¿-частичные функции распределения. В том числе и одночастичные (5=1).

Дискретные индивидуальные признаки рационально отнести к определяющим выбор подсистемам, т.е. можно расширить набор индексов а, как это делается в кинетической теории колебательно-неравновесного газа. Тогда стохастическую систему можно рассматривать как непрерывную неоднородную систему с функцией (р(х, (), определяемой выражением.

Из сказанного следует, что функции распределения сводят реальную дискретную стохастическую систему к непрерывной стохастической системе. Примером изначально непрерывной стохастической среды служит турбулентное течение газа или жидкости.

При изучении любого физического или другого какого-либо явления сначала получают качественное описание проблемы. На этапе моделирования качественное представление переходит в количественное. Одновременно определяют функциональные зависимости между переменными и для каждого варианта входных данных находят выходные данные системы. Построение моделей - процедура неформальная. Она в значительной мере зависит от опыта исследователя и всегда опирается на экспериментальный материал. Модель должна правильно отражать явления, но этого мало. Она должна быть удобной для пользования. Поэтому форма представления модели и степень детализации описания процесса или явления с ее помощью зависят от целей исследования и непосредственно от исследователя.

Изучение и формализация экспериментального материала - не единственный способ построения математической модели. Важную роль играет получение моделей, описывающих частные явления, из моделей более общей модели - уравнений Навье-Стокса, она является асимптотической моделью. Сегодня построение математических моделей охватывает чрезвычайно обширные области знаний. Выработано немало принципов и подходов, носящих достаточно общий характер.

Основная задача научного анализа - выделить реальные движения из множества мысленно допустимых, сформулировать принципы отбора. Здесь термин движение употребляется в широком смысле: изменение вообще, всякое взаимодействие материальных объектов. Принято различать три уровня организации материи: неживая, живая и мыслящая (самая высокая организация материи).

На уровне неживой материи основными принципами отбора являются законы сохранения вещества, импульса, энергии и момента количества движения.

Любое моделирование начинается с выбора основных (фазовых) переменных, с помощью которых записываются законы сохранения. Но законы сохранения не выделяют единственного движения и не исчерпывают всех принципов отбора. Очень важны различные дополнительные ограничивающие условия: граничные, начальные и т. п. Другие принципы отбора (например, принцип минимума диссипации энергии или условия устойчивости) производят дальнейшее сужение множества возможных движений.

Развитие космической техники и высотной авиации требует надежных данных об аэродинамических характеристиках (АДХ) воздушно-космических аппаратов (BKA) во всем диапазоне режимов течения: от сплошносредного до свободномолекулярного. Сложность разработки высокоскоростных летательных аппаратов (JIA) обусловливается целым рядом трудностей воспроизведения натурных условий полета в аэродинамических трубах. В частности, практически невозможно воспроизвести тепловой режим при обтекании BKA: нагрев модели в трубе приводит к высокому значению температурного фактора, тогда как в натурных условиях температура поверхности аппарата значительно меньше полной температуры потока. Моделирование высокоскоростных течений предполагает соблюдение подобия по числам Маха и Рейнольдса, а также обеспечение низкой степени турбулентности и однородности потока в рабочей части установки. На точность эксперимента серьезное влияние оказывает также способ закрепления модели. Одновременное решение этих проблем в рамках одной экспериментальной установки представляется невозможным. Поэтому для исследования высокоскоростных течений применяются аэродинамические и вакуумные трубы различной конструкции и с различными принципами действия [2]. Перечисленные факторы обусловливают необходимость привлечения расчетной информации на этапе проектирования высокоскоростных ЛА. При движении аппаратов в нижних слоях атмосферы обычно приходят к задачам, которые могут быть решены в рамках теории сплошной среды или, точнее с применением уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса. При полете в верхних слоях атмосферы, где необходимо учитывать молекулярную структуру газа, применяются кинетические модели, в первую очередь, уравнение Больцмана и соответствующие численные методы [3, 4]. В предельном случае свободномолекулярного течения интеграл столкновений в уравнении Больцмана обращается в нуль, и его общее решение представляет собой граничную функцию распределения, сохраняющуюся вдоль траекторий молекул. Для простых тел аэродинамические характеристики находятся аналитически. Вычисление и сводка результатов потоковых характеристик дается в монографии [5].

Определение граничных условий на обтекаемых разреженным газом поверхностях является одной из важнейших проблем кинетической теории газов. Несмотря на значительные усилия, эта проблема остается открытой. Взаимодействие газа с поверхностью обтекаемого тела играет определяющую роль в высотной аэродинамике. Аэротермодинамические характеристики тел в потоке газа определяются передачей импульса и энергии на поверхность тела, то есть связью между скоростями и энергиями падающих на поверхность и отраженных от нее молекул, что и составляет суть кинетических граничных условий на поверхности.

В качестве граничного условия, накладываемого на плотность распределения отраженных от поверхности молекул газа, часто используют зеркально-диффузную модель Максвелла [5]. Скорости отраженных молекул определяются одной величиной - коэффициентом диффузности. В граничном условии Черчиньяни [6] скорости отраженных молекул также определяются коэффициентом аккомодации тангенциального импульса ат. Более гибкой и реалистичной моделью является модель Черчиньяни-Лампис (Секп§пат-Ьатр18, СЬ) и Черчиньяни-Лампис-Лорда (Сепм^апьЬап^Б

Lord, CLL) [7], которые позволяют при постановке граничных условий учесть коэффициент аккомодации тангенциального импульса crt и коэффициент аккомодации нормальной к поверхности кинетической энергии <V Модель Ночиллы [8] опирается на распределение Максвелла с параметрами, определяемыми свойствами поверхности [9].

Монография [10] содержит обзор работ, выполненных до середины 1970-х годов по постановке граничных условий на обтекаемых разреженным газом поверхностях. Несмотря на то, что за несколько последующих десятилетий был предложен ряд новых моделей взаимодействия молекул газа с поверхностью, немногие из них используют физически ясные параметры и охватывают широкий диапазон режимов. В связи с этим актуально изучение чувствительности АДХ реалистичных конфигураций BKA к изменению аккомодационных и температурных свойств поверхности на основе наиболее известных и зарекомендовавших себя моделей.

В аэродинамике роль законов взаимодействия молекул с поверхностями проявляется тем сильнее, чем более газ разрежен. В предельном случае свободномолекулярного течения при заданном набегающем потоке все аэродинамические характеристики полностью определяются взаимодействием газа с поверхностью. В этом случае при обтекании выпуклых тел при заданной функции рассеяния расчет течения сводится к интегрированию известных величин. Для определения силового и теплового воздействия газа на тело достаточно знать локальные коэффициенты обмена импульсом и энергией. Поэтому аэродинамика выпуклых тел в свободномолекулярном потоке нейтрального газа сводится к изучению взаимодействия молекул с поверхностями. В случае невыпуклых форм возникает проблема кратных отражений. Взаимное влияние вогнутых участков выражается в интегральном уравнении для функции распределения. Наиболее простым и эффективным методом расчета является статистическое моделирование, впервые примененное для подобных задач в [11]. В режиме, близком к свободномолекулярному, задача допускает упрощение, по сравнению с рассмотрением полного уравнения Больцмана. В частности, может быть использована модель первых столкновений [5, 11]. В этом случае эффект межмолекулярных столкновений можно считать малым, и главную роль по-прежнему играет закон взаимодействия газа с поверхностью.

С уменьшением разреженности среды возникает необходимость учитывать столкновения молекул друг с другом в полной мере. В задачу включается потенциал межмолекулярных взаимодействий, течение газа описывается полным уравнением Больцмана. Решение уравнения Больцмана при малых числах Кнудсена, особенно для сложных тел - задача чрезвычайно трудоемкая. В этой связи естественным является появление и развитие инженерных методов, обоснованных совокупным материалом экспериментальных, теоретических и численных результатов, дающих возможность предсказания аэродинамических характеристик сложных тел в переходном режиме [12, 13]. Метод основан на гипотезе локальности, предполагающей, что поток импульса на элемент поверхности определяется местным углом его наклона к набегающему потоку, независимо от формы тела. Обработка экспериментальных данных показывает, что точность теории локального взаимодействия вполне приемлема для инженерных расчетов аэродинамических характеристик широкого класса тел на этапе предварительного проектирования.

Актуальность этого направления подтверждается появлением работ по развитию инструментов параметрического определения аэродинамических характеристик различных классов тел: «MARK-IV», «Высота», «АРГОЛА-2». Непрерывное появление новых экспериментальных, теоретических и расчетных данных требует постоянной модернизации алгоритмов и программ.

Объектом исследования являются физические и математические модели, численные методы, алгоритмы и программы, применяемые для расчета АДХ BKA.

Целью настоящей работы является разработка физико-математических моделей, алгоритмов и комплексов компьютерных программ для моделирования обтекания BKA реалистичной формы высокоскоростным потоком газа, комплексное исследование влияния значимых факторов на АДХ BKA в свободномолекулярном, переходном и сплошносредном режимах, результаты которого могут быть использованы для совершенствования моделей, методов, алгоритмов и программ.

Научная новизна исследования заключается в: 1) разработке физической и математической модели взаимодействия молекул газа с поверхностью; 2) разработке проблемно-ориентированного комплекса компьютерных программ метода прямого статистического моделирования (Монте-Карло) для моделирования обтекания BKA произвольной формы на различных режимах; 3) выяснении качественного и количественного влияния на АДХ BKA в свободномолекулярном режиме: температурного фактора, параметров аккомодации, модели взаимодействия газа с поверхностью, многократности соударений молекул с поверхностью; 4) выяснении качественного и количественного влияния числа Рейнольдса на АДХ BKA в переходном и сплошносредном режимах обтекания.

Достоверность результатов подтверждается сопоставлением полученных данных с результатами расчетов других авторов и экспериментальными данными, решением верификационных задач.

Научная и практически ценность исследований определяется возможностью их использования для совершенствования моделей взаимодействия газа с поверхностью, пригодностью методики и комплекса программ для предварительного проектирования BKA.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическое описание моделей взаимодействия молекул газа с поверхностью реального BKA (модели Максвелла, Ночиллы, Черчиньяни-Лампис-Лорда).

2. Физическая и математическая модели взаимодействия газов с поверхностью, использующая электронно-ядерные представления (Леннарда- Джонса).

3. Алгоритм и комплекс компьютерных программ анализа АДХ BKA в свободномолекулярном режиме по методу прямого статистического моделирования (Монте-Карло).

4. Результаты апробации комплекса компьютерных программ анализа АДХ BKA в свободномолекулярном режиме, переходном и сплошносредном режимах обтекания по локальной методике.

5. Результаты исследования качественного и количественного влияния на АДХ BKA в свободномолекулярном режиме: температурного фактора, параметров аккомодации, предложенных пунктах 1 и 2 моделей взаимодействия газа с поверхностью.

6. Результаты параметрического исследования качественного и количественного влияния на АДХ BKA числа Рейнольдса и температурного фактора в переходном и сплошносредном режимах.

Апробация результатов: Основные результаты диссертационной работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:

• XLVII Научная конференция МФТИ (Жуковский, 2004).

• LII Научная конференция МФТИ (Жуковский, 2009).

• XXI Научно-техническая конференция по аэродинамике ЦАГИ п. Володарского Моск. обл., 2010).

• LUI Научная конференция МФТИ (Жуковский, 2010).

• Семинары кафедры компьютерного моделирования ФАЛТ МФТИ (Жуковский, 2004 - 2011).

Публикации: Основные результаты диссертации опубликованы в 11 научных публикациях, в том числе в 4 статьях в изданиях из перечня ВАК.

1. Зея Мьо Мъинт Расчет элемента поверхности воздушно-космического летательного аппарата в рамках модели свободномолекулярного течения // Труды 47-ой научной конференции МФТИ. Т.6. Аэромеханика и летательная техника. 2004. с. 29.

2. Зея Мьо Мъинт Расчёт аэродинамических характеристик космического аппарата в гиперзвуковом разреженном потоке с использованием различных моделей взаимодействия газа с поверхностью // Труды 52-ой научной конференции МФТИ. Т.6. Аэромеханика и летательная техника. 2009. с. 154-155.

3. Зея Мьо Мъинт, Чжо Зин О тройных столкновениях молекул // Труды 52-ой научной конференции МФТИ. Т. 6. Аэромеханика и летательная техника. 2009. с. 156-158.

4. Воронин КВ., Зея Мьо Мъинт, Хлопков Ю.И. Влияние модели взаимодействия газа с поверхностью на аэродинамические характеристики космического аппарата // Труды 53-ой научной конференции МФТИ. Т.6. Аэромеханика и летательная техника. 2010. с. 41-42.

5. Зея Мьо Мъинт, Хлопков А.Ю., Чжо Зин Основные подходы к построению методов Монте-Карло // Труды 53-ий научной конференции МФТИ. Т.6. Аэромеханика и летательная техника. 2010. с. 51-52.

6. Зея Мьо Мъинт, Хлопков А.Ю., Чжо Зин Методы моделирования взаимодействия молекул с различными потенциалами// Труды 53-ий научной конференции МФТИ. Т.6. Аэромеханика и летательная техника. 2010. с. 52-53.

7. Зея Мъо Мьинт, Тху Рейн Тун, Чжо Зин Расчет аэродинамических характеристик космического аппарата в высокоскоростном потоке разреженного газа // Труды 53-ой научной конференции МФТИ. Т.6. Аэромеханика и летательная техника. 2010. с. 53-54.

8. Зея Мъо Мьинт, Хлопков А.Ю. Аэродинамические характеристики летательного аппарата сложной формы с учётом потенциала взаимодействия молекулярного потока с поверхностью. // Ученые записки ЦАГИ. 2010, Т. XLI, № 5, с. 33-45.

9. Воронин КВ., Зея Мъо Мьинт Влияние особенностей взаимодействия газа с поверхностью на аэродинамические характеристики космического аппарата // Вестник МАИ. 2010, Т. 17, № 3, с. 59-67.

10. Зея Мъо Мьинт, Чжо Зин Расчет аэродинамических характеристик летательного аппарата в высокоскоростном потоке разреженного газа // Электронный журнал «Труды МАИ». 2010, вып. № 40, 19 с.

11. Зея Мъо Мьинт, Хлопков Л.Ю., Чжо Зин Основные подходы к построению методов Монте-Карло в вычислительной аэродинамике // Электронный журнал «Труды МАИ». 2011, вып. № 42, 17 с.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 171 страницу, содержит 38 рисунков, 1 таблицу, список цитированной литературы из 59 работ российских и зарубежных авторов и текст программного комплекса вычисления АДХ BKA.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Зея Мьо Мьинт

Выводы уравнения Больцмана существуют трех предложении. Во-первых, ограничились учетом лишь парных столкновений, что оправдано разреженностью газа. Очевидно, что вероятность столкновений двух молекул определяется бинарной функцией распределения хь х2, Второе, что считали вероятности молекул 1 в фазовой точке (хь и молекулы 2 в точке (х2, £2) независимыми, т. е. полагали

2 (/, хь х2> §2) =Я (*, хь {и х2,

Это предположение называют предположением о молекулярном хаосе. Третье предположение состояло в том, что считали одинаковой вероятность столкновения с любым прицельным расстоянием, т. е. предполагалось, что функция /(¿, хь^О не изменяется на расстояниях порядка диаметра взаимодействия и что/(/, хь ^1) х, ^1).

Для молекул со степенным законом взаимодействия вместо прицельного расстояния Ь удобно ввести переменную угол отклонения % является функцией одного параметра = Ь

4(5-1 )К

1.51)

Поэтому для уравнения Больцмана заменить интегрирование по Ъ интегрированием по % и получим

Л \ т )

ГЯ-Г/дё^гагск^ (1.52) при £ = 5 (максвелловские молекулы) и форму не содержащую явно g имеем

1.53) по определению псевдомаксвелловские молекулы уравнения Больцмана может быть представлено в виде

1.54) где т 1

А = некоторые константа, (для Максвелловских молекул А бесконечно)

Следует отличать псевдомаксвелловские молекулы от максвелловских молекул с потенциалом К при Ь <Ь( при Ь > Ь{

С/И г,1 О

Для таких молекул пределы интегрирования по % зависят от £ и переход от переменной Ь к переменной х не приводит к упрощениям, свойственным максвелловским молекулам. Псевдомаксвелловские молекулы, обладая конечным эффективным сечением, сохраняют все удобства максвелловских молекул, что позволяет для них существенно упростить многие доказательства и расчеты.

1.8. Математическое моделирование взаимодействия молекул с твердыми поверхностями

Уравнение Больцмана описывает бесчисленное множество конкретных процессов. Чтобы выделить какой-либо процесс, необходимо добавить к этому уравнению соответствующие условия однозначности, и в частности, граничные и начальные условия для функции распределения скоростей молекул. Для расчета течений с границами, включающими твердые поверхности, необходимо знать вероятность отражения молекул с данной скорость от поверхности тела. В настоящее время теория взаимодействия молекул с твердыми или жидкими поверхностями начинает лишь развиваться экспериментальных данных также совершенно недостаточно.

Граничными условиями для уравнения Больцмана служат законы взаимодействия газовых молекул с атомами поверхности. В течение длительного времени эти законы подменялись схемой зеркально-диффузного отражения. Диффузное распределение вылетающих частиц наблюдается в равновесных условиях, зеркальное отражение реализуется, когда длина волны падающей частицы превышает размеры неровностей поверхности. Зеркальная добавка к диффузному отражению сначала была введена для учета малых отклонений от равновесного распределения. Если допустить, что температура диффузно вылетающих частиц может отличаться от температуры поверхности, то кроме коэффициента диффузности а появляется еще коэффициент аккомодации а. Через эти параметры учитывались эффекты скольжения и температурного скачка в околоравновесных условиях.

В существенно неравновесных условиях аэродинамики схема зеркально-диффузного отражения слишком искусственна и ограничена, чтобы выразить все разнообразие возможностей в распределении отраженных частиц. С осознанием этого факта пришло понимание необходимости обстоятельного физического подхода к раскрытию законов взаимодействия газов с поверхностями.

Взаимодействия газа с поверхностью имеет довольно сложную структуру. Для систематического изучения ее важно с самого начала выработать основные понятия. Молекулярно-кинетических представлений вводятся функции взаимодействия, описывающие рассеяние, распыление, захват и спонтанную эмиссию. Эти функции входят в граничные условия для уравнений Больцмана. Отмечаются важнейшие характеристики газовой частицы и поверхности, влияющие на взаимодействие. Динамика разреженных газов затрагивает три уровня описания: молекулярный, больцмановский и газодинамический.

1. Физическая картина. Рассмотрим взаимодействие разреженного газа с твердой поверхностью, опираясь на представления молекулярно-кинетической теории. Атомы твердого тела находятся в связанном колебательном движении около некоторых положений равновесия, более или менее упорядоченных. На поверхности обычно присутствует адсорбционный слой, состав которого зависит от предыстории тела. Связи в этом слое слабее, чем внутри тела, и переселение атомов из одних положений равновесия в другие происходит легче.

Частицы разреженного газа (молекулы, атомы, ионы, электроны и т. д.) находятся в беспорядочном поступательном движении, прерываемом столкновениям. Скорости этого движения связаны с температурой газа. Средняя скорость по отношению к телу в аэродинамических задачах может значительно превышать среднюю скорость теплового движения.

Взаимодействие между газом и телом осуществляется посредством частиц и через электромагнитное поле. Столкновение частицы газа с поверхностью тела вызывает следующие явления: 1) Рассеяние - отражение данной частицы с изменением или без изменения внутреннего состояния. 2) Распыление - выбивание с поверхности в газ других частиц, принадлежащих телу или захваченных ранее из газа. 3) Захват - задержка частицы на поверхности (адсорбция) или внедрение ее в глубь тела.

Происходит также спонтанная эмиссия частиц поверхности в газ. Различение рассеяния, распыления и эмиссии, как правило, возможно, и целесообразно.

2. Определяющие факторы. Разреженный газ характеризуется совокупностью функций (правильнее - плотностей) распределения частиц по скоростям /¡. Индексом / перенумерованы частицы, различающиеся химической структурой или энергетическим состоянием. Характеристики газовой частицы, которые могут влиять на взаимодействие, делятся на три группы: 1) Вектор скорости центра масс. 2) Химическая структура: тип частиц и взаимное расположение атомов. 3) Энергетическое состояние: вращательное, колебательное, электронное и т. д.

При больцмановском описании разреженного газа предполагается усреднение по элементарному простренственно-временному объему, размеры которого велики по сравнению с размерами атома и временем столкновения. Твердое тело в таком масштабе можно считать квазиравновесным. Столкновение частицы газа с поверхностью выводит атомы поверхности из равновесного состояния. Будем считать, что за время между столкновениями локальное равновесие на поверхности восстанавливается. В аэродинамике это условие заведомо выполнено, так как частота ударов по атому поверхности, уа на много порядков меньше частоты колебаний атомов в твердом теле 1013 секх). Например, на высоте 100 км о 1 при скорости 10 км/сек уа ~ 10 сек . Следовательно, при заданном составе и расположении атомов поверхности динамика их колебательного движения вполне определяется температурой тела в рассматриваемой точке поверхности.

В отличие от столкновения бесструктурных частиц в газе, когда случайным единственным параметром является прицельное расстояние, при столкновении с поверхностью количество случайных геометрических параметров весьма велико. В столкновении эффективно участвует некоторое число Иь атомов твердого тела и Иа атомов адсорбционного слоя, Иа + Л^ = N. Расположение этих атомов можно описывать плотностью совместного распределения и по координатам в молекулярном масштабе, которая определяется кристаллической структурой тела, формой поверхностной грани, заполнением адсорбционного слоя. Далее, если элементарный объем достаточно велик, он охватывает случайные неровности более крупного масштаба - шероховатость. В случае заряженных частиц имеет значение также распределение электрического заряда в теле.

Таким образом, характеристики поверхности, которые могут влиять на взаимодействие, разбиваются на следующие группы: химический состав тела, кристаллическая структура, форма поверхностной грани, адсобционный слой: состав и структура заполнения, шероховатость (~10 6 ^ 10 2 см), I температура, заряд.

3. Функции взаимодействия. Пусть падающая на поверхность частица имеет скорость внутреннее состояние вылетающая - скорость внутреннее состояние

Введем те функции, через которые выражается результат столкновения.

V/ плотности распределения потоков рассеянных частиц.

Интегрирование этих функций по всевозможным значениям ^ дает V/ ) -вероятность / —>у рассеяния при скорости падения

- плотности распределения потоков распыленных частиц.

Интегрирование их по ^ дает - среднее число частицу - го сорта, выбиваемых с поверхности при ударе / - частицы со скоростью

- вероятность захвата /-частицы при скорости падения Очевидно, что £ V/ ($,) + £,(§,) = 1. J

В! - плотности распределения потоков эмитирующих частиц. Интегрирование их по ^ дает $ - среднее число у-частиц, спонтанно эмитирующих с единичной площадки в единицу времени. Для совместного рассмотрения рассеяния и распыления введем Т/ = У/ + .

4. Граничные условия. Функции взаимодействия входят в граничные условия для функций распределения /„ которые внутри газа удовлетворяют уравнениям Больцмана. Граничные условия выражают тот факт, что для каждого у поток частиц со скоростью ^ от поверхности > О складывается из потоков на поверхность > 0, преобразованных трансформантой и эмитирующего потока /^(¿Д

1Я ' «(.<0

Если законы взаимодействия частиц с поверхностью и между собой известны, то уравнения Больцмана вместе с условиями, на бесконечности и при ^ = 0 с физической точки зрения вполне определяют /, в любой точке х при / >0. Однако состояние поверхности может зависеть от окружающего газа настолько, что функциями распределения частиц, и задачи нахождения всех этих функций придется решать совместно. Влияние / на функции взаимодействия может осуществляться, например, через плотность заполнения адсорбционного слоя 0 или температуру поверхности Тг. В первом случае уравнения Больцмана нужно решать совместно с уравнениями кинетики адсорбционного слоя, во втором - с уравнением теплопроводности внутри тела.

Таким образом, функции взаимодействия, вообще говоря, могут содержать параметры типа в и Тг, связывающие их с функциями распределения частиц газа.

Состояние поверхности зависит от обработки поверхности, чистоты поверхности, ее температуры и т. д. Вообще говоря, характер взаимодействия данной молекулы с поверхностью зависит от числа и скоростей других молекул, падающих на тот же элемент поверхности.

В настоящее время пользуются более или менее правдоподобными предположениями о виде функции распределения отраженных молекул или простейшими теоретическими моделями взаимодействия молекул с поверхностью. Функция распределения отраженных молекул и содержащей некоторое число свободных параметров, полагаем f(t, х, © =fr (t, х) =/(£, Ah.,AN) (1.55) где A,(t, х) зависят от свойств поверхности и налетающих молекул, температуры поверхности и т. д. Функция / должна удовлетворять очевидному условию равенства числа падающих и отраженных молекул,

J /Л^ЛЖг-= - \ /Л^ЛХ^гп)^, (1-56) n>0 \ п<0

Это условие определяет один из параметров А,. Связь последних с соответствующими характеристиками падающих молекул задается обычно с помощью необходимого числа параметров, так называемых коэффициентов аккомодации, определяющей экспериментально или с помощью упоминавшихся выше теоретических моделей взаимодействия молекул с поверхностью.

1.9. Применение кинетических моделей к расчету течений разреженного газа

Динамика разреженного газа изучает явления, имеющие место при произвольном отношении длины пробега молекул к характерному размеру явления. Исследование таких явлений требует в общем случае учета молекулярной структуры газов. В круг задач динамики разреженных газов входят, например, задачи об обтекании летательных аппаратов, движущихся на больших высотах, о движении газов в вакуумных аппаратах и т.д. [5].

Основным инструментом кинетического описания газов является одночастичная функция распределения /(V, х, £), где г - время, х - вектор координат, £ - вектор скорости.

Функция /(/, х, представляет собой плотность молекул в фазовом пространстве, то есть, в 6-мерном пространстве координат и скоростей. Иначе говоря, /(/, х, £,) характеризует количество молекул с координатами в интервале (х, х + ¿/х) и со скоростями в интервале % + Отсюда следует, что число молекул в единице объема п (числовая плотность) равно: где интегрирование ведется по всем возможным скоростям молекул. Конечно, точно количество молекул с данными скоростями в определенный момент времени подсчитать невозможно, оно колеблется из-за флуктуаций. Поэтому можно лишь говорить о вероятном числе молекул в фазовом объеме. Можно ввести нормированную функцию:

1.57)

1.58) тогда / будет плотностью распределения в обычном смысле: если Р -вероятность того, что молекула имеет координаты в интервале (х, х + с1х) и скорость в интервале (£, £ + то / - плотность вероятности распределения молекул в 6-мерном пространстве координат и скоростей.

С помощью функции распределения можно определить такие макроскопические величины, как средняя скорость молекул, тензор напряжений, вектор потока тепла, температура: где с = ^ - V - тепловая скорость, т - масса частицы, к — постоянная Больцмана.

Уравнение Больцмана является основной моделью, которая используется для описания течений разреженных газов, оно отражает изменение одночастичной плотности распределения вероятности за счет перелетов частиц и столкновений между ними: + = А/,/)- (1.60)

1.59)

Здесь скорости ^ соответствуют скоростям пары частиц до и после столкновения, / = /' = /(/,х,^'),

53

Л/,Л - интеграл столкновений, ^НйН^ - относительная скорость, Ъ -прицельное расстояние, в - азимутальный угол в плоскости, перпендикулярной плоскости столкновения. Уравнение Больцмана выведено в предположении, что газ достаточно разрежен для того, чтобы столкновения можно было считать бинарными и описывать состояние газа с помощью одночастичной функции распределения в предположении молекулярного хаоса. Для плотных газов и жидкостей это несправедливо, и поэтому для их описания используются другие подходы.

Число Кнудсена Кп представляет собой отношение длины свободного пробега молекул между столкновениями X к характерному макроскопическому размеру в течении Ь\

Кп = — (1.61) Ь

Длина свободного пробега молекул — это среднее расстояние, которое молекулы проходят, не сталкиваясь между собой. Длина свободного пробега обратно пропорциональна произведению числовой плотности газа на сечение столкновений: (1.62) па

Таким образом, число Кнудсена характеризует степень разреженности среды. Нужно заметить, что даже в предположении постоянства сечения столкновений частиц газа концентрация частиц в различных точках газа может сильно меняться, поэтому длина свободного пробега является переменной величиной. В качестве характерного масштаба Ь может выступать величина, определенная с помощью размера обтекаемого тела, размера канала для внутреннего течения, с помощью градиентов макропараметров, например, плотности: L = рl(dpldx). В последнем случае число Кнудсена является показателем локальной разреженности в течении.

Если провести процедуру обезразмеривания уравнения Больцмана, введя характерные масштабы длины L, скорости с = -JRT и времени t = LI с, получим уравнение в виде л-f№dbd^> о-63) где а - некоторый множитель порядка единицы, зависящий от характера взаимодействия частиц. Функция распределения обе размеривается делением на величину nie , где п - некоторая характерная концентрация. Таким образом, число Кнудсена характеризует влияние столкновительных процессов на состояние газа, а также границы применимости макроскопического описания среды. При больших значениях числа Кнудсена (Кп>> 1) столкновения в выбранном масштабе L не играют значительной роли, и поэтому течение можно рассматривать как свободномолекулярное. Течения при Kn ~ 1 представляют собой переходный режим, когда среда не может быть описана макроскопически, но столкновения в ней играют существенную роль. Режим Kn« 1 близок к модели сплошной среды, течение газа может быть описано макроскопически почти везде, за исключением неравновесных областей (слои Кнудсена, ударные волны, зоны разрежения).

В газовой динамике нашел применение вариант метода Монте-Карло, основанный на моделировании реального течения газа посредством относительно небольшого числа молекул. То есть, проводится численный эксперимент, в котором прослеживается история ограниченного числа частиц, каждая из которых является представителем большого числа W реальных молекул. W- Число представляемых молекул - называют весовым множителем. Для каждой из молекул запоминаются ее координаты, скорость и энергия. По этим величинам путем осреднения по всем моделирующим частицам определяются газодинамические параметры течения.

Область течения разбивается на ячейки, причем такие, чтобы изменение газодинамических параметров течения в каждой ячейке было малым. Размер ячейки имеет порядок длины свободного пробега частицы.

Для стационарных задач расчет начинается с задания некоторого начального распределения частиц в расчетной области, которое с течением времени эволюционирует.

Моделирование физического движения молекул проводится посредством дискретных шагов по времени А/, малых по сравнению со средним временем между столкновениями молекул А? < г ~ Движение молекул и межмолекулярные столкновения на временном интервале моделируются последовательно. На каждом шаге по времени & осуществляется два этапа расчета. На первом этапе проводятся столкновения между молекулами с последующей коррекцией молекулярных скоростей. Выбор очередной сталкивающейся пары частиц проводится в пределах одной ячейки и производится на основе данных генератора случайных чисел. Предполагается, что сталкиваются только те частицы, которые находятся в одной пространственной ячейке. На втором этапе все молекулы перемещаются на расстояния, определяемые их скоростями tlAt. Учитываются пересечения молекулами поверхностей твердых тел, линий и плоскостей симметрии и границ течения. При наличии потока внутрь области на соответствующих границах генерируются новые молекулы. Если молекула покидает область расчета, то она исключается из расчета.

Важной частью метода прямого моделирования является вычисление числа столкновений. Частота столкновений определяется свойствами реального газа, для которого решается задача, и именно эта величина определяет диссипативные свойства течения - в конечном итоге, вязкость и теплопроводность моделируемого газа.

Для вычисления макроскопических параметров газа - плотности, скорости, давления, температуры - аккумулируются данные для всех молекул. Затем происходит дополнительное осреднение по числу расчетов, чтобы уменьшить статистическую ошибку.

Как показывает опыт численного моделирования течений разреженного и умеренно-разреженного газа, результаты расчетов по методу Монте-Карло хорошо соответствуют данным эксперимента.

Важным преимуществом метода прямого статистического моделирования (ПСМ) по сравнению с решением задачи на основе уравнения Больцмана является формулировка граничных условий в терминах вероятностного описания для каждой молекулы, а не в виде функции распределения в окрестности границы.

К недостаткам метода можно отнести высокие требования к аппаратным ресурсам, сложность расчета нестационарных течений с макроскопическими скоростями, малыми по сравнению со скоростью звука. Указанные сложности возрастают с уменьшением числа Кнудсена. Кроме того, в практических задачах обычно не требуется столь подробная информация, как знание функции распределения, интерес представляют ее моменты - газодинамические величины. В связи с этим понятен интерес, проявляемый к использованию макроскопических моделей течений разреженного газа.

Длина свободного пробега молекул в атмосфере Земли зависит от высоты над поверхностью. В таблице 1 приведены данные о величинах концентрации и длины свободного пробега молекул в зависимости от высоты над поверхностью.

Заключение

Основной работы было разработка моделей и создание комплекса программ для исследования аэродинамических характеристик воздушно-космического аппарата нового поколения - многоразового возвращаемого космического аппарата (Клипер, модель ЦАГИ) [50-53]. Анализ Разработан ряд различных подходов к расчету аэродинамических характеристик варианта высокоскоростного летательного аппарата в потоке газа на основе метода Монте-Карло и метода, основанного на гипотезе локальности с привлечением полуэмпирических теорий [56-59].

Исследованы зависимости АДХ от различных моделей взаимодействия молекул с поверхностью по методу Монте-Карло варианта компоновки BKA типа «Клипер» в свободномолекулярном режиме [57]. Модели Максвелла и CLL имеют принципиальные различия, но в большинстве ситуаций дают близкие значения аэродинамических сил и моментов. Модель CLL дает значения коэффициентов сил и моментов, лежащие ближе к случаю полностью диффузного отражения. Значения коэффициентов сил и моментов чувствительны не только к вариации аккомодационных свойств поверхности, но и к деталям распределения скоростей отраженных молекул при номинально одинаковом коэффициенте аккомодации по касательному импульсу. Малые поправки в коэффициенты подъемной и боковой сил и момента рыскания возникают при больших по модулю углах скольжения (~30°) за счет многократных соударений молекул с телом, но эти поправки существенно меньше влияния аккомодации, модели взаимодействия и температурного фактора. Чувствительность Сх и т: к температурному фактору невысока при tw « 1, тогда как для Су и С- температурный фактор имеет определяющее значение наряду с указанными выше факторами. В рамках модели Максвелла при больших по модулю углах зеркально отраженные молекулы повышают величину Сх при уменьшении сгх, чего не наблюдается в рамках модели CLL.

Впервые в аэродинамических расчетах предложена модель взаимодействия молекул с поверхностью, учитывающая электронно-ядерные представления. Эмпирические потенциальные зависимости отражают тот факт, что на больших расстояниях преобладают силы притяжения, на малых расстояниях - силы отталкивания. Эту особенность наиболее просто отражает модель Леннарда-Джонса. Показано, что эта модель качественно верно описывает поведение АДХ.

Полученные данные могут быть использованы при предварительном проектировании ВКА.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зея Мьо Мьинт, 2011 год

1. Дулов В.Г., Белолипецкий В.М., Цибаров В.А. Математическое моделирование в глобальных проблемах естествознания. -Новосибирск: Издательство СО РАН, 2005. 248 с.

2. Багаев Г.И., Клеменков Г.П., Харитонов A.M. Проблемы экспериментального изучения сверхзвуковых течений. Сб. работ, посвященный 60-летию академика В.В. Струминского. М.: Наука. 1977.

3. Хлопков Ю.И. Статистическое моделирование в вычислительной аэродинамике. М.: Азбука. 2006. - 158 с.

4. Белоцерковский О.М., Хлопков Ю.И. Методы Монте-Карло в механике жидкости и газа. М.: Азбука. 2008. - 330 с.

5. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. М.: Наука. 1967.-440 с.

6. Cercignani С. The Kramers Problem for a not Complete Diffusing Wall //J. Math. Phys. Appl. 1965. V. 1, N. 3, P. 568-586.

7. Cercignani C., Lampis M. Kinetic Models for Gas-Surface Interactions // Transport Theory and Statistical Physics. 1971. V. 1, N. 2, P. 101-114.

8. Nocilla S. The Surface Re-emission Law in Free Molecular Flow // Proc. of 3rd Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. 1963. V. 1, P. 327-346.

9. Freedlander O.G., Nikiforov A.P. Modelling Aerodynamic Atmospheric Effects on the Space Vehicle Surface Based on Test Data // ESA WPP-066. 1993.

10. Ю.Баранцев P.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975.

11. Перепухов В.А. Применение метода Монте-Карло в динамике сильно разреженного газа // Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика // Труды ЦАГИ. 1972. Вып. 1411. с. 5472.

12. У1.Алексеева Е.В., Баранцев Р.Г. Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе. — Изд. ЛГУ. 1976.

13. Галкин B.C., Ерофеев А.И., Толстых А.И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом разреженном газе // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1833. I A.Hall A. On an experiment determination of n II Messeng. Math. № 2, 1873.

14. Bird G.A. Shock-Wave Structure in rigid sphere gas // Rarefied Gas Dynamics. Vol. 1, N-Y, Acad. Press, 1965.

15. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. -М.: Наука, 1985.

16. КацМ. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965.

17. Bhathnagor P.D., Gross Е.Р., Krook М.А. A model for collision processes in gases // Phys. Rev., 94. 1954.

18. Holway L.H. Approximation Procedures for kinetic theory. Ph.D. Thesis, Harvard, 1963.

19. Шахов E.M. Метод исследования движений разреженного газа. М.: Наука, 1974.

20. Хлопков Ю.И., Шахов Е.М. Кинетические модели и их роль в исследованиях течений разреженного газа // ВЦ АН СССР, М., 1974, Вып. 3.

21. Ъ.Бунимович А.И., Чистолинов В.Г. Аналитический метод определения аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке газа различной разреженности // Труды ЦАГИ, Вып. 1833, 1977.

22. Басс В.П. Расчет обтекания потоком сильно разреженного газа учетом с взаимодействия с поверхностью // Изв. АН СССР, МЖГ, № 5, 1978.

23. Ковтуненко В.Н., Камеко В.Ф., Яскевич Э.П. Аэродинамика орбитальных космических аппаратов. Киев: Наукова Думка. 1977.

24. Баранцев Р.Г. Вариант локального метода для тонких тел в разреженном газе. ЛГУ, № 13, 1982.

25. ЪЪ.Хлопков Ю.И. Методика и программа расчета на ЭВМ характеристик летательных аппаратов в свободномолекуляром режиме // Труды ЦАГИ, Вып. 2111,1981.

26. Хлопков Ю.И. Диссертация на соискание доктора физ.-мат. наук, М., 1998.

27. Ъ1.Баранцев Р.Г. Васильев Л. А и др. Аэродинамический расчет в разреженном газе на основе гипотезы локальности // Аэродинамика разреженных газов: Сб. ст. / ЛГУ — Л., 1969. вып. 4.

28. Гориславский B.C., Толстых А.И. Численный расчет течения в области сферического затупления при малых числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 5.

29. Толстых А.И. Аэродинамические характеристики охлажденного сферического затупления в гиперзвуковом потоке слаборазреженного газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 6.

30. Al.Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. Oxford: Clarendon Press, 1994.

31. A2>.Lord R.G. Application of the Cercignani-Lampis Scattering Kernel to Direct Simulation Monte Carlo Calculations // Proc. of 17th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. 1991. P. 1427-1433.

32. Lord R.G. Some Further Extensions of the Cercignani-Lampis Gas-Surface Interaction Model//Phys. Fluids 1995. V. 7, N. 5, P. 1159-1161.

33. Ketsdever A.D., Muntz. E.P. Gas-Surface Interaction Model Influence on Predicted Performance of Microelectromechanical System Resistojet // Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 2001. V. 15, N. 3, P. 302-307.

34. Utah S. and Arai H. Monte Carlo Simulation of Reentry Flows Based Upon a Three-Temperature Model // Proc. of 23rd Int. Symp. on Space Technology and Science. 2002. V. 1, P. 1209-1214.

35. Santos W.F.N. Gas-Surface Interaction Effect on Round Leading Edge Aerothermodynamics // Brazilian Journal of Physics. 2007. V. 37, N. 2A.

36. Padilla J.F. Assessment of Gas-Surface Interaction Models for Computation of Rarefied Hypersonic Flows // Ph.D. Dissertation. -University of Michigan, 2008.

37. Wadsworth D.C., Van Glider D.B., Dogra V.K. Gas-Surface Interaction Model Evaluation for DSMC Applications // Proc. of 23rd Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. 2003. P. 965-972.

38. Ваганов А.В., Дроздов С.М., Задонский СМ., Косых А.П., Нерсесов Г.Г., Челышева И.Ф., Юмашев В.Л. Исследование аэродинамики крылатого воздушно-космического аппарата с отклоненнымбалансировочным щитком // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. XL, № 5, с. 3-15.

39. Белошицкий A.B. и др.(Журин C.Ä). Численное моделирование теплообмена при входе в атмосферу земли спускаемых аппаратов типа «Клипер». // Космонавтика и ракетостроение. 2007. - Т. 46, вып 1.-е. 30-37.

40. Kussoy M.I., Stewart D.A., and Horstman С.С. Hypersonic Rarefied Flow over Sharp Slender Cones // NASA Technical Note. 1972. D-6689.

41. Зоя Мъо Мьинт, Хлопков А.Ю. Аэродинамические характеристики летательного аппарата сложной формы с учётом потенциала взаимодействия молекулярного потока с поверхностью. // Ученые записки ЦАГИ. 2010, Т. XLI, № 5, с. 33-45.

42. Ы.Воронин КВ., Зея Мъо Мьинт Влияние особенностей взаимодействия газа с поверхностью на аэродинамические характеристики космического аппарата // Вестник МАИ. 2010, Т. 17, № 3, с. 59-67.