Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Тестова, Ирина Вячеславовна

• Тестова, Ирина Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тестова, Ирина Вячеславовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Математическое моделирование течений газа в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках

1.1. Математическое описание течения газа в канале

1.2. Аналитические методы решения модельных кинетических уравнений

1.3. Математическое моделирование течений газа в плоских каналах

1.4. Основные результаты, полученные в первой главе

Глава 2. Математическое моделирование процессов в тонких каналах с использованием БГК уравнения

2.1. Течение Пуазсйля

2.2. Течение Куэтта

2.3. Течение газа в канале при наличии касательного к стенкам градисита температуры

2.4. Соотношение Онзагера

2.5. Основные результаты, полученные во второй главе

Глава 3. Математическое моделирование процессов в тонких

каналах с использованием ЭС уравнения

3.1. Течение Пуазейля

3.2. Течение Куэтта

3.3. Течение газа в канале при наличии касательного к стенкам градиента температуры

3.4. Соотношение Онзагера

3.5. Основные результаты, полученные в третьей главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках»

Введение

В последние годы повышенный интерес привлекают к себе задачи, связанные с математическим моделированием процессов в каналах, толщина которых сравнима со средней длиной свободного пробега молекул газа. Наиболее подробно к настоящему времени данная проблема изучена с использованием численных методов. Так, в [1]-[10] с использованием численных методов задали построения математических моделей течений газа в каналах рассматривалась как для линеаризованного уравнения Больцмана, так и различных его моделей, с использованием различных моделей граничных условий, как для простых газов, так и для бинарных смесей. В то же время, как показывает анализ литературных источников, к моменту начала работы над данным диссертационным исследованием в открытой печати было опубликовано всего две работы [11] и [12], авторы которых с использованием БГК и ЭС моделей кинетического уравнения Больцмана для почти зеркальных граничных условий на стенках канала получили аналитические (в замкнутой форме) решения задач о течении Пуазейля и Куэтта. Эти решения приведены также в монографии [13]. Отсутствие систематического изучения данного вопроса с использованием точных аналитических методов и определяет актуальность проведенного

диссертационного исследования.

Использованная в [11]—[13] модель граничного условия мало реализуема на практике, особенно для необработанных специальным образом технических поверхностей. Однако ее использование позволило авторам [11]—[ 13] существенно упростить уровень сложности используемого математического аппарата, получив ряд выражений для макропараметров газа, таких как потоки массы газа и тепла в канале, величины сил вязкого трения, действующих на его стенки, через однократные интегралы. Использование более реалистичной модели граничных условий - модели диффузного отражения существенно усложняет используемый математический аппарат и приводит к тому, что решение задачи записывается в виде рядов Неймана.

Качественный анализ картины течения газа в канале с использованием модели диффузного отражения, полученной на основе аналитических методов для БГК модели приведен в [14] и [15]. Там же приведены ссылки на сходимость при любой толщине канала решений интегрального уравнения Фредгольма второго рода, к которому сводится задача нахождения коэффициентов в разложении решения задачи по собственным векторам непрерывного спектра. Однако в силу труднопреодолимых на тот момент времени сложностей аналитические решения так и не были получены. Таким образом, цель представленного диссертационного исследования заключается в разработке методов построения в рамках кинетического подхода математических моделей процессов тепло- и массопереноса в плоских каналах произвольной толщины и дальнейшем

исследовании построенных моделей. В качестве основных уравнений, описывающих кинетику процессов, используются лииеаризваииые БГК и ЭС модели кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия - модель диффузного отражения молекул газа стенками канала.

Научная новизна заключается в:

- установлении связей между функцией распределения молекул газа по координатам и скоростям и макропараметрами газа в канале, позволяющих определять условия перехода, от кинетического описания течения газа к гидродинамическому;

- установлении зависимостей между значениями макропараметров газа в канале и его толщиной;

- разработке алгоритма построения математических моделей процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках;

- разработке с использованием предложенного алгоритма математических моделей течений Пуазсйля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры;

- разработке эффективных алгоритмов, численных методов и комплексов программ для расчета макропараметров газа в канале;

- доказательстве справедливости линейных соотношений Онзагера с учетом потоков массы газа и тепла, локализованных в слое Кнудсена.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается соответствием с результатами численного моделирования. Все численные расчеты проводились с использованием выверенных и

протестированных процедур.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть обобщены на случай молекулярных газов и бинарных смесей, а также для решения задач кинетической теории плазмы, в теории переноса электронов, в теоретической астрофизике.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы для расчета потоков массы и тепла в плоских каналах с параллельными стенками при наличии параллельных его стенкам градиентов давления и температуры.

Апробация работы. Основные результаты диссртационпой работы докладывались и обсуждались на следующих научно -технических конференциях и семинарах: XII научной конференции МГТУ " СТАНКИН " и " Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ "СТАНКИН" - ИММ РАН" по математическому моделированию и информатике, 14-15 мая 2009 г., г. Москва; международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2009", 5-17 октября 2009 г., г. Одесса; международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2010", 4-15 октября 2010 г, г. Одесса; международной научно-практической конференции " Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика", 1-5 февраля 2010 г., г. Архангельск; IX конференции с участием зарубежных ученых " Дифференциальные уравнения и их приложения

в математическом моделировании", 1-3 июля 2010 года, Мордовский госуниверситет имени Н. П. Огарева, НИИ Математики при МГУ имени Н. П. Огарева, г. Саранск; Всероссийской научно-практической конференции с международным участием " Актуальные проблемы механики, математики, информатики", посвященной 50-летнему юбилею механико-математического факультета Пермского государственного университета. 12-14 октября 2010 г., г. Пермь; Второй международной конференции " Моделирование нелинейных процессов и систем ". 6-10 июня 2011 г., г. Москва; научных семинарах кафедры математики С (А) ФУ.

На защиту выносятся:

1. Разработанный аналитический метод построения математических моделей кинетических процессов в задачах с ограниченной геометрией;

2. Построенные в рамках разработанного метода с использованием БГК и ЭС моделей кинетических уравнений математические модели течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры.

По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе 3 в изданиях из списка ВАК РФ. Диссертация состоит из Введения, трех глав, заключения и списка литературы из 63 наименования, содержит 3 рисунка и 20 таблиц. Полный объем работы составляет 139 страниц машинописного текста.

Соискатель благодарит A.A. Юшканова за помощь в постановке задач, выводе основных уравнений, обсуждении методов решения и полученных результатов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Тестова, Ирина Вячеславовна

3.5. Основные результаты, полученные в третьей главе

В третьей главе представленного диссертационного исследования в рамках предложенного в ранее метода впервые с использованием ЭС модели кинетического уравнения Больцмана и модели диффузного отражения молекул газа стенками канала построены аналитические (в виде рядов Неймана) решения трех классических задач кинетической теории разреженного газа: задачи о течении Пуазейля, течении Куэтта и течении разреженного газа в плоском канале при наличии параллельного стенкам градиента температуры (задачи о тепловом крипе в канале).

В задаче о течении Пуазейля:

1. Построены профиль массовой скорости газа в канале иг(х) (3.1.29) и ¿-компоненты вектора плотности потока тепла (3.1.33).

2. Вычислены расход газа ,1м (3.1.31) и поток тепла .1ц (3.1.35), приходящиеся иа единицу ширины канала.

3. Значения Jm и Jq, вычисленные согласно (3.1.31) и (3.1.35), а также аналогичные результаты, полученные в [6] и [7] с использованием линеаризованного уравнения Больцмана для молекул-жестких сфер (LBE), а также модели Шахова кинетического уравнения Больцмана (S) и модели с синтетическим оператором столкновений (CES), приведены в Таблицах 3.1.1 и 3.1.2.

Как следует из приведенных таблиц для широкого диапазона значений D' полученные на основе ЭС модели результаты хорошо согласуются с аналогичными результатами, полученными численными методами как с использованием линеаризованного уравнения Больцмана для молекул-жестких сфер, так и на основе S и CES моделей кинетического уравнения Больцмана. Можно отметить также, что ЭС модель существенно лучше описывает перенос тепла в канале по сравнению с БГК моделью.

В задаче о течении Куэтта:

1. Построен профили массовой скорости газа в канале Uz{x) (3.2.27) и z-компоненты вектора плотности потока тепла qz(x) (3.2.30).

2. Вычислен безразмерный поток массы газа через половину канала Jm-, приходящиеся на единицу его ширины (3.2.28).

3. Вычислен безразмерный поток тепла через половину канала Jq, приходящиеся на единицу его ширины (3.2.31).

4. Вычислена величина отличной от нуля компоненты тензора вязких напряжений pxz в канале (3.2.32).

5. Значения Jm, Jq и pxz, рассчитанные для различных значений толщины канала на основании (3.2.28), (3.2.31) и (3.2.32) и полученных в [6] и [7] приведены в таблицах 3.2.1-3.2.3. Как следует из таблиц полученные в работе результаты совпадают с аналогичными результатамими [6] и и [7], полученными численными методами.

В задаче о тепловом крипе в канале:

1. Вычислена безразмерная z-компонента вектора потока тепла qz(x) (3.3.37) и беразмерный поток тепла, приходящийся на единицу ширины канала Jq (3.3.38). Значения Jq при различных значениях ширины канала D' приведены в таблице 3.3.1. Из приведенной таблицы видно, что результаты, полученные с использованием ЭС модели намного лучше согласуются с аналогичными результатами, полученными в [5] с использованием CES и LBE моделей кинетического уравнения Больцмана. Последнее объясняется тем, что ЭС модель при переходе к гидродинамическому пределу дает значение числа Прандтля Рг = 2/3, как и CES и LBE модели.

2. Построен профиль безразмерной массовой скорости газа в канале Uz(x) (3.3.39) и вычислен беразмерный поток массы газа, приходящийся на единицу ширины канала Jm (3.3.40). Значения Jm при различных значениях толщины канала согласно 3.3.40 - в таблице 3.3.2. Как следует из приведенных таблиц для широкого диапазона значений D' полученные на основе представленного в работе метода результаты хорошо согласуются с аналогичными результатами, полученными численными методами как с использованием линеаризованного уравнения Больцмана для молекул-жестких сфер (LBE), так и на основе модели Шахова кинетического уравнения Больцмана (S) и модели с синтетическия оператором столкновений (CES).

В заключение третьей главы доказана справедливость условий симметрии Онзагера в канале с учетом потоков массы и тепла, локализованных в слое Кнудсена, при использовании ЭС модели.

Заключение

Итак, в настоящем диссертационном исследовании получены следующие значимые результаты.

1. Решена задача, связанная с математическим моделированием процессов тепло- и массопереноса в тонких каналах с учетом скольжения на параллельных стенках, результаты которой рекомендуется использовать для решения широкого круга задач кинетической теории газа и плазмы.

2. Выявлены связи и закономерности между функцией распределения молекул газа по координатам и скоростям и макропараметрами газа в канале, особенность которых состоит том, что они позволяют устанавливать условия перехода от кинетического описания течения газа к гидродинамическому; установлены зависимости между значениями макропараметров газа в канале и его толщиной; показано, что для каналов, толщина которых много больше средней длины свободного пробега молекул газа, полученные результаты переходят в соответствующие результаты классической гидродинамики.

3. На основе установленных связей разработаны и предложены автором математические модели течений Пуазейля, Куэтта и течения газа в канале при наличии параллельного его стенкам градиента температуры. При их использовании построены профили потоков массы и тепла в канале, вычислены величины приходящихся па единицу ширины канала потоков массы газа и тепла, найдены значения отличных от нуля компонент тензора вязких напряжений.

4. Разработаны, обоснованы и протестированы эффективные алгоритмы, численные методы и комплексы программ для расчета макропараметров газа в канале. Анализ полученных результатов показал, что их использование приводят к корректным результатам при произвольной толщине канала.

5. Доказана справедливость линейных соотношений Он ¡агора с учетом потоков массы газа и тепла, локализованных в слое Кнудсена.

6. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при решении широкого круга задач во многих отраслях промышленности.

7. Результаты диссертационной работы рекомендуются для использования в учебном процессе для подготовки специалистов по направлению 231300 "Прикладная математика".

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тестова, Ирина Вячеславовна, 2012 год

Список литературы

[1] Шарипов Ф.М., Селезнев В.Д. Движение разреженных газов в каналах и микроканалах. Екатеринбург. УрО РАН. 2008. 230 с.

[2] Loyalka S.K., Hickey К.A. Plane Poiseulle flow near continuum regimes for a rigid spheres // Physica A. 1989. V. 160. № 3. P. 395-408.

[3] C.E. Siewert, R.D.M. Garcia and P. Granjean. A Concise and Accurate Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 2760-2763.

[4] L.B. Barichello and C.E. Siewert. A Discrete-Ordinates Solutions for Poiseuille Flow in a Plane Channel // Zeitschrift fur Angewandte Math-ematic und Physik. V. 50. 1999. 972-981.

[5] Barihcello L.B., Camargo M., Podrigues P., Siewert C.E. Unified solutions to classical flow problems based on the BGK model /7 ZAMP. 2001. V. 52. P. 517-534.

[6] C.E. Siewert. Poiseuille, Thermal Creep and Couette Flow: Results Based on the CES Model Linearized Boltzmann Equation // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2002. V. 21. P. 579-597.

[7] C.E. Siewert. The linearized Boltzmann Equation: Concise and Accurate Solutions to Basic Flow Problems // Zeitschrift fur Angewandte Mat hematic und Physik. 2003. V. 54. P. 273-303.

[8] R.D.M. Garcia and C.E. Siewert. The Linearized Boltzmann Equation with Cercignani-Lampis Boundary Conditions: Basic Flow Problems in a Plane Channel. // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. V. 28. P. 387-396.

[9] C.E. Siewert and D. Valougeorgis. The McCormack Model: Channel Flow of Binary Gas Mixture Driven by Temperature, Pressure and Density Gradients European Journal of Mechanics B/Fluids. 2004. V. 23. P. 645664.

[10] R.D.M. Garcia and C.E. Siewert. Channel Flow of Binary Gas Mixture of Rigid Spheres Described by the Linearized Boltzmann Equation and Driven by Temperature, Pressure and Density Gradients // SIAM Journal of Applied Mathematics. 2007. V. 67. P. 1041-1063.

[И] Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий // ЖТФ. 1998. Т. 68, № И. С. 27-32.

[12] Латышев A.B., Юшканов A.A. Влияние свойств поверхности на характеристики газа между пластинами в задаче Куэтта. Почти зеркальные условия // Поверхность. Рентгеновские, сиихротронные и нейтронные исследования. 1999. № 10. С. 35-41.

[13] Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решения граничных задач для кинетических уравнений. М.: МГОУ. 2004. 286 с.

[14] Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. - М.: Мир, 1973. - 245 с.

[15] Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир.

1978. 495 с.

[16] Латышев A.B., Попов В.Н., Юшканов A.A. Неоднородные кинетические задачи. Метод сингулярных интегральных уравнений: Монография. Архангельск: Поморский университет. 2004. 266 с.

[17] Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука,

1979. 528 с.

[18] Арсентьев A.A. Лекции по кинетической теории. М.: Наука, 1992.

[19] Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ имени М.В. Келдыша, 1987.

[20] Больцмаи Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат. 1956.

[21] Ведеияпии В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит. 2001.

[22] Ведепяпип В.В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцмапу и Власову. М.: МГОУ. 2005.

[23] Siewert C.E. and Sharipov F. Model equations in rarefied gas dynamics: viscous-slip and thermal-slip coefficiets // Phys. Fluids. 2002. V. 14. № 12. P. 4123-4129.

[24] Холвей Л. Новые статистические модели в кинетической теории: методы конструкций // Механика. М.: ИЛ, вып.6, 1967.

[25] Cercignani С., Tironi G. Some application of linearize kinetic model with correct Prandtl number /7 Nuovo Cimento. 1966. V. 43. № IB. P. 64-68.

[26] Frisch H., Frisch U. A method of Cauchy integral equation for noncoherent transfer in half-space// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1982. V. 28, № 5. P. 361-375.

[27] Frisch H. A Cauchy integral equation method for analytic solution of half-space convolution equation// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1988. V. 39, № 2. P. 149-162.

[28] Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука. 1978. 269 с.

[29] Латышев А.В., Юшканов А.А. Уравнения свертки в задаче диффузионного скольжения бинарного газа с аккомодацией // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1991. № 1. С. 31-37.

[30] Енгибаряи Н.Б., Хачатрян А.Х. О некоторых интегральных уравнениях типа свертки в кинетической теории // Журнал

вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. № 3. С. 466-468.

[31] Case K.M. Elementary solution of the transport equation and their applications//' Annals of Physics. 1960. V. 9. № 1. P. 1-23.

[32] Кейз K.M., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса.- М.:Мир. 1972.

[33] Латышев A.B., Юшкапов A.A. Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения. М.: МГОУ. 2004. 271 с.

[34] Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для молекулярных газов. М.: МГОУ. 2005. 264 с.

[35] Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для вырожденной электронной плазмы. М.: МГОУ. 2006. 274 с.

[36] Латышев A.B., Лесскис А.Г., Юшканов A.A. Точное решение задачи о поведении электронной плазмы в слое металла в переменном электрическом поле // ТМФ,- 1992,- Т. 90. № 2,- С. 179-189.

[37] Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скин-эффекте при произвольном коэффициенте аккомодации тангенциального импульса электронов // ЖТФ. 2000. Т. 70, № 8. С. 18.

[38] Латышев A.B., Юшканов A.A., Слободской Г.В. Граничная задача для кинетического уравнения в слое с зеркальными граничными условиями // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 6. С. 32-40.

[39] Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Пуазейля для эллипсоидально-статистического уравнения и почти зеркальных граничных условий. // ЖТФ, 1998, Т. 68, №11. С. 27 - 31.

[40] Loyalka S.K. The Qn and Fn integrals for the BGK model // Transport theory and statistical physics. 1975. V. 4, P. 55-65.

[41] Аисельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики. М.: Наука, 1973. 424 с.

[42] Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. М.: Изд-во МГУ. 1989.

[43] Жданов В.М., Ролдугин В.И. О неравновесной термодинамике слаборазряженной газовой смеси // ЖЭТФ. 1996. Т. 109. № 4. С. 12671287.

[44] Жданов В.М., Ролдугин В.И. Неравновесная термодинамика и кинетическая теория разреженных газов // Успехи физических наук. 1998. Т. 168. № 4. С. 407-438.

[45] Латышев A.B., Юшканов A.A. Анализ соотношений Онзагера аналитическими методами в кинетической теории газов // Известия РАН. Сер. МЖГ. 2001. № 1. С. 173-181.

[46] Латышев A.B., Юшканов A.A. Анализ соотношений Онзагера с помощью эллипсоидально-статистического уравнения // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. Вып. 9. С. 77-84.

[47] Мамедов М.М. Феноменологический вывод соотношений взаимности Онзагера // ЖТФ. 2003. Т. 29. Вып. 16. С. 39-44.

[48] Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н. Два метода построения теории термофореза крупных аэрозольных частиц // Коллоидный журнал. 1976. Т. 38. № 6. С. 1149-1155.

[49] Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н., Голиков A.M. Два метода построения теории дифс}.)узиофореза крупных аэрозольных частиц / / Коллоидный журнал. 1977. Т. 39. № 6. С. 1132-1138.

[50] Де Гроот С. Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.

[51] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о течении Куэтта в плоском канале с бесконечными параллельными стенками //' Журнал технической физики. 2011. Т. 81. Вып. 1. С. 53-58.

[52] Тестова И.В. Аналитическое решение задачи о вычислении изотермического потока тепла в плоском канале // Вестник Поморского университета. Серия: Естественные и точные науки. 2011. №1. С. 122-126.

[53] Тестова И.В. Перенос массы газа в канале при наличии параллельного стенкам градиента температуры // Вестник Поморского университета. Серия: Естественные и точные науки. 2011. №2. С. 124-128.

[54] Попов В.Н., Тсстова И.В. Построение профиля массовой скорости разреженного газа в плоском канале с бесконечными параллельными стенками / / Вестник физического факультета Поморского университета. Сборник научных трудов. Выпуск 8. Архангельск: Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова. 2009. С. 3-12.

[55] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о вычислении потока тепла в плоском канале при наличии градиента давления // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Ежегодный сборник научных трудов, Вып. 13. / Под ред. Л.А. Уваровой. - М.: МГТУ "СТАНКИН", ЯНУС-К, 2010. с. 56-65.

[56] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Течение разреженного газа в плоском канале при наличии параллельного стенкам градиента температуры // Вестник математического факультета. Вып. 10. Межвузовский сборник научных трудов / Сост. Э.О. Зеель; Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. - Архангельск: Поморский университет, 2010. С. 44-52.

[57] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о течении Пуазейля // Математический журнал Средневолжского математического общества. 2010. Т. 12. JY5 3. С. 111-120.

[58] Попов В.Н., Тестова И.В. Расчет расхода массы разреженного газа в плоском канале с бесконечными параллельными стенками // Сборник научных трудов по материалам международной научно-практический конференции " Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2009", 5-17 октября 2009 г. Том 16. Физика и математика. - Одесса. 2009. С. 34-35.

[59] Попов В.Н., Тестова И.В. Моделирование течения разреженного газа в плоском канале с бесконечными параллельными стенками при различных значениях числа Кнудсена // Материалы международной научно-практической конференции " Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика", 1-5 февраля 2010 г. - Архангельск: КИРА. 2010. С. 58-59.

[60] Попов В.Н., Тестова И.В. Построение составных квадратурных формул для вычисления в смысле главного значения сингулярных интегралов, заданных на действительной числовой прямой // Материалы международной научно-практической конференции " Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика", 1-5 февраля 2010 г. - Архангельск: КИРА. 2010. С. 161-162.

[61] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Проверка линейных соотношений Онзагера в кинетической теории разреженного газа // Сборник научных трудов по материалам международной научно-практический конференции " Научные исследования и их

практическое применение. Современное состояние и пути развития '2010", 4-15 октября 2010 г. Том 16. Физика и математика. Химия. -Одесса: Черпоморье, 2010. С. 28-31.

[62] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Моделирование течений газа в плоских каналах // Сборник тезисов Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные проблемы механики, математики, информатики". Пермь, 12-15 октября 2010 г. Пермский гос. университет: Пермь, 2010. С. 182.

[63] Попов В.Н., Тестова И.В., Юшканов A.A. Математическое моделирование течений разреженного газа в плоских каналах // Моделирование нелинейных процессов и систем. Сборник тезисов второй международной конференции " Моделирование нелинейных процессов и систем" (Second International Conference (MNPS-11) "The modeling of nonlinear processes and systems"). Moscow. June 6 -10, 2011. M.: Янус - К, 2011. С. 259.