Математическое моделирование процессов аэрогидродинамики с большими градиентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Прозорова, Эвелина Владимировна

• Прозорова, Эвелина Владимировна
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Прозорова, Эвелина Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Разностные схемы и их апробация

Согласование порядков аппроксимации 24 Вклад дисперсионных эффектов в некоторых разностных схемах 27 Применение общего решения линейного дифференциального уравнения для численного интегрирования

Автомодельные задачи

Формирование ударной волны в быстро нагретом газе

Взаимодействие ударных волн

Глава 2. Структура волн с градиентами в нелинейных средах

1. Структура слабых нелинейных волн в некоторых вязкопластических средах

2. Влияние нелинейных коэффициентов переноса на структуру плоских ударных волн

3. Влияние нелинейности коэффициентов вязкости и дисперсии на структуру волн

Глава 3. Исследование процессов взаимодействия сильных ударных в возмущенной среде

1. Приближенный расчет движения теплового фронта оптически толстой среды

2. Приближенный расчет движения теплового фронта по нелокальным формулам

3. Распространение ударных волн по сильно нагретому газу

4. Влияние неоднородности плотности на распределение температуры

5. Распространение тепловой волны второго возмущения

6. Ударные волны, возникающие при вторичном возмущении

Глава 4. Формирование ударных волн при быстром выделении энергии с учетом догорания твердых частиц в процессе расширения

1. Постановка задачи

2. Метод решения

3. Результаты расчета в воздухе

4. Результаты расчета в воде

5. Выводы

Глава 5. Влияние ускорения на формирование пограничного слоя в вязкой среде при больших числах Рейнольдса

1. Решение нестационарных задач пограничного слоя несжимаемой жидкости в автомодельных переменных

2. Модель локальной автомодельности для нестационарного пограничного слоя

3. Решение нестационарных задач сжимаемого пограничного слоя в автомодельных переменных

3. Решение неавтомодельных уравнений нестационарного сжимаемого пограничного слоя

4. О роли дисперсионных эффектов вблизи поверхностей

Глава 6. Влияние плотной струи на сверхзвуковое обтекание тела со струей потоком разреженного газа

1. Физическая картина обтекания тела со струей при больших нерасчетностях

2. Решение стационарной задачи. Решение нестационарной задачи

3. Результаты расчетов и выводы

4. Качественное исследование эффекта затекания

5. Условия возникновения передних вихревых зон

6. О роли дисперсионных эффектов вблизи поверхностей в кинетических уравнениях

Глава 7. Расчет струйных течений

1. Разностная схема для укороченных уравнений Навье-Стокса и баланса энергии. Матричная запись уравнений

2. Экономичная разностная схема второго порядка аппроксимации

3. Влияние магнитного поля на течение в воздухозаборнике

4. Оценки релаксационных и электрофизических параметров

5. Приближенный метод расчета концентраций компонент газа струи вблизи летательного аппарата

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов аэрогидродинамики с большими градиентами»

Ийтерес к разделу аэродинамики, связанному с исследованием процессов с большими градиентами, обусловлен изучением космоса и широким внедрением в практику новых технологии, необходимостью построения адекватных математических и физических моделей ряда природных явлений и техногенных катастроф.

Основными объектами исследования в данной работе является собственная атмосфера летательного аппарата с работающим на твердом топливе двигателем на большой высоте (плотная истекающая струя в разреженном газе); новая математическая модель описания разреженного газа; вопросы взаимодействия нелинейности, нестационарности, диссипации и дисперсии в задачах пограничного слоя; условия усиления сильных взрывов. Рассматриваемые процессы описыпа-ются системами нелинейных уравнений в частных производных или интегро-дифференциальными уравнениями. Для получения результатов используются разнообразные методы: аналитические и численные. В силу различия характеристических свойств уравнений, описывающих процессы, используются различные конечно - разностные схемы. Их апробация реализуется на модельных задачах, содержащих основные особенности задач, выбранных для решения. Модельными выбраны автомодельные задачи с особенностями нужного типа.

Для задачи обтекания тела с плотной струей потоком разреженного газа анализируются особенности смешанного характера течения, когда часть области занята разреженным газом, часть области занята плотным газом. Математическое решение задачи сводится к решению системы уравненний Навье-Стокса для области, занятой плотным газом; уравнения Больцмана или его аналога для разреженного газа и сшивки этих решений в переходной области. В работе используется модель БГК (Батнагара-Гросса-Крука). Исследуется перестройка газодинамических полей при внезапном изменении нерасчетности струи; определяются размеры области затекания и расстояние, на которое газ струи распространяется вверх по потоку; определяется влияние стратификации воздуха на процесс расширения струи; анализируется роль граничных условий в модели описания. Комплексная численно-аналитическая методика позволяет предсказать и выделить физические особенности задачи и исключить влияние вычислительных погрешностей в качестве первопричины их появления.

Для режимов, где годится концепция нестационарного " пограничного" слоя, изучается действие различных факторов (состава газа, реалогии, градиента давления) на динамический и тепловой профили. Численно решаются задачи нестационарного пограничного слоя. Доказана автомодельность некоторых нестационарных задач.

С ростом скоростей движения различных тел ламинарное течение переходит в турбулентное. Описание такого типа течения до сих пор представляет проблему. В работе предлагается новая модель, включающая все законы сохранения: массы, количества движения, момента количества движения и энергии, позволяющая хотя бы в простейшем случае получить некоторые турбулентные профили с использованием одной молекулярной вязкости.

Усиление ударных волн рассматривается в условиях, когда вначале происходит сильный взрыв, формирущий сильную ударную волну, после чего реализуется второй сильный взрыв в той или иной области первичного возмущения. В силу многочисленности возможных вариантов взаимодействия сильных взрывов предварительно аналитическими методами проводится исследование по поиску оптимальных условий реализации взрывов с точки зрения получения максимальной интенсиве ности ударных волн.

В первой главе проводится анализ выбора разностных схем, пригодных для решения указанных выше задач и их апробация.

Вторая глава посвящена исследованию влияния нелинейных диссипации и дисперсии на структуру ударных волн и волн сжатия.

В третьей главе выстраиваются физическая и математическая модели взаимодействующих взрывов и приводятся результаты их численного исследования.

В четвертой главе для детонационных волн исследуются вопросы усиления ударных волн при догорании мелкодисперсных частиц, входящих в состав топлива, в воде и в воздухе.

В пятой главе приводятся результаты численного решения нестационарных уравнений пограничного слоя и анализируется влияние различных свойств газа и жидкостей, магнитного поля, температуры поверхности на динамический и тепловой профили. Предлагается новая модель описания течения газа в условиях больших скоростей движения и связанного с этим изменения момента количества движения.

Шестая глава посвящена построению стационарной и нестационарной картин обтекания тела с плотной истекающей струей разреженным газом. Обсуждается и предлагается новая кинетическая модель описания разреженного газа в условиях больших градиентов.

В седьмой главе приводится решение задачи о влиянии стратификации воздуха на процесс расширения трехмерной вязкой сжимаемой струи, истекающей из сопла двигателя аппарата, летящего на большой высоте. Таким образом, выстраивается общая картина течения газа в окрестности аппарата на большой высоте. Предлагается методика для приближенного расчета распределения отдельных компонент газа в окрестности аппарата.

В заключении сформулированы выводы, следующие из результатов работы. е

Приложения содержат громоздкие формулы, которые могут затруднить чтение работы.

В связи с недостаточной изученностью перечисленных проблем и

-sих важностью тема работы является актуальной. Используемая методика исследования базируется на предварительном анализе задачи аналитическими методами с целью выделения главных особенностей задачи и последующей численной проверкой полученных результатов. Используются результаты теории разностных схем, дифференциальных уравнений и теории уравнений в частных производных.

Актуальность выбранной темы диссертации следует из факта распространенности исследуемых явлений в практике при недостаточной их изученности.

Положения, выносимые на защиту:

1. Определение роли градиента давления, ускорения, степени нелинейности вязкости на динамический и тепловой профили нестационарного ламинарного пограничного слоя.

2. Математическая модель описания течения вязкой жидкости и сжимаемого газа вблизи возмущающих поверхностей, заключающаяся в учете изменения момента количества движения внутри пограничного слоя через третью производную в уравнении движения с коэффициентом дисперсии, пропорциональным расстоянию от поверхности, и второй производной в уравнении неразрывности.

3. Обоснование эффекта затекания газа струи вверх по потоку при движении аппарата с работающим на твердом топливе двигателем на высоте Н > 110 км. Вычислительная модель решения указанной задачи, заключающаяся в применении модели сплошной среды в области, занятой плотным газом струи, кинетическим уравнением в области, занятой разреженным газом, и сшивки решений в переходной области. Выяснение соответствия решений задачи по различным моделям при идентичных граничных условиях, определение времени релаксации О течения при смене режима работы двигателя и определение условий фокусировки образующихся ударных волн, формирующихся около передних кромок с малыми радиусами кривизны.

4. Полученная новая кинетическая модель описания разреженного газа вблизи возмущающих поверхностей, заключающаяся в модификации 'конвективного оператора, следующая из необходимости учета кроме законов сохранения массы, количества движения и энергии закона сохранения момента количества движения.

5. Численное и аналитическое исследование влияния стратификации воздуха на процесс расширения газодинамической струи, истекающей из сопла двигателя на высоте Н > 110 км.

6. Численно-аналитическая методика определения условий реализации ударных волн максимальной интенсивности при различных условиях проведения двух сильных взрывов.

Апробация результатов работы. Результаты работы регулярно докладывались на Всесоюзных школах по численным методам механики вязкой жидкости, на Всесоюзных и международных конференциях по динамике разреженного газа, на семинарах МГУ, на международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях, OFEA-95, OFEA-Ol, BEM-FEM, 4-th St. Petersburg workshop on Simulation, на семинарах физического и математического факультетов С. Петербургского университета.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Прозорова, Эвелина Владимировна

Основные выводы состоят в следующем:

1. Ударные волны с максимальной интенсивностью получаются в случае вторичного выделения большой энергии вблизи центра возмущения малой интенсивности. Первая ударная волна выполняет роль поршня, расталкивающего среду. В результате тепловая волна второго возмущения расширяется гораздо быстрее и легче формируется ударная волна, причем изотермических ударных волн в реальном равновесном газе, если учитывать плотность энергии излучения и его давление, при температурах выше 1.2-106 К, не существует.

2. Усиление ударных волн за счет догорания продуктов детонации при их расширении происходит за счет перехода твердых частиц в газовую фазу, связанного с этим повышения давления и более медленным его падением за фронтом волны. Описанный эффект существен как при разлете продуктов мгновенной детонации в воздухе, так и в воде. При разлете в воде твердые частицы сгорают столь быстро, что контактная поверхность практически не сдвигается. Поэтому роль повышения давления из-за перехода твердых частиц в газовую фазу сводится к поддержанию волнового процесса - формированию волн сжатия, движущихся к центру и обратно, внутри газового пузыря.

3. Для ламинарного нестационарного пограничного слоя влияние градиента давления и, следовательно, формы тела является превалирующим на безразмерные динамический и тепловой профили по сравнению с влиянием ускорения. Влияние на эти профили членов, ответственных за диссипацию энергии и работу сил давления для газа всегда мало. Уменьшению потоков на стенку за счет вдува газа через границу требует больших расходов газа. Поэтому изменение трения и теплового потока в основном должно происходить за счет фазовых переходов и за счет изменения состава газа внутри пограничного слоя. Трение и тепловой поток на стенку с включением магнитного поля снижаются так же, как в стационарном случае. Доминирующим фактором, формирующим тепловой профиль в неньютоновской жидкости при внезапных движениях, является вязкость; при постепенном ускорении влияние вязкости и теплопроводности на формирование теплового профиля соизмеримо. При отрицательных градиентах давления замедление или ускорение течения не приводит к отрыву потока, при положительных градиентах давления в случае ускорения потока отрыва также не возникает.

4. Результатом уменьшения нерасчетности струи при обтекании тела с плотной струей при больших нерасчетностях является образование вихря вблизи волны сжатия( ударной волны ) и снос этого вихря потоком. Для идентичных чисел Прантля, показателя адиабаты у и одинаковых граничных условиях модель Крука и модель Навье - Стокса дают приблизительно одинаковые результаты при числах Re*, « 15 1.5 и п « 104 -5- 5-105. На основании численного решения задачи обтекания по модели сплошной среды и по модели разреженного газа получается, что при небольших значениях п = л

10 струя расширяется незначительно и наблюдается известная картина обтекания, характерная для малых п. С ростом нерасчетности область, занятая расширяющейся струей, увеличивается, и при п « 105 часть массы газа струи разворачивается в обратном направлении и начинает затекать в сторону внешнего потока. При дальнейшем росте п наблюдается качественное изменение картины течения, а именно: затекающая в обратную сторону часть газа струи создает в окрестности обтекаемого тела область большой плотности и тело обтекается в основном не внешним потоком, а газом, истекающим из сопла. При больших нерасчетностях тело с примыкающей к нему зоной высокой плотности имеет значительно большие размеры, чем размеры самого тела.

5. Классическая теория разреженного газа и механика сплошной среды, развитая для безграничной среды, должна быть модифицирована вблизи возмущающих поверхностей. Изменение момента количества движения приводит к изменению конвективного оператора как в кинетических уравнениях, так и в механике сплошной среды.

-212-Заключение

Диссертационная работа посвящена исследованию быстропротекающих процессов аэрогидромеханики с градиентами параметров, построению их ® адекватных физико-математических моделей и получению численно-аналитических решений сформулированных задач. Математически такого рода явления описываются нелинейными уравнениями в частных производных. Формирование собственной атмосферы летательного аппарата с работающим двигателем на большой высоте относится именно к таким проблемам. Традиционная картина сверхзвукового обтекания аппарата без учета влияния истекающей струи не дает адекватного представления о характере течения и размере возмущенной области. На меньших высотах ^ начинает сказываться турбулентность атмосферы. Известные варианты описания турбулентного движения жидкости и газа носят полуэмпирический характер. Один из возможных вариантов замкнутой теории приводится в работе. Предлагается модификация уравнений Лиувилля и кинетического уравнения Больцмана, позволяющая учесть не только законы сохранения массы, количества движения, энергии, но и момента количества движения. Предложена физико-математическая модель описания такого сложного течения, когда часть области занята плотным газом, часть - разреженным. Численно реализовано решение уравнения Навье - Стокса с условиями скольжения и скачка температуры в области, занятой плотным газом, и Ф уравнения Крука в области, где газ разрежен. Частично исследована роль граничных условий на результаты расчетов по разным моделям. Исследовано время релаксации течения при внезапном изменении нерасчетности струи работающего двигателя. Решен вопрос о возможности затекания газа струи вверх по потоку, определено расстояние, на которое газ струи разворачивается. По мере расширения струи вниз по потоку на структуру струи начинает сказываться стратификация воздуха. Дано численное решение трехмерных • усеченных уравнений Навье-Стокса маршевым методом. Предложена приближенная методика по определению влияния стратификации воздуха на процесс расширения струи. Полная картина течения получена впервые.

В работе для широкого диапазона параметров течения получено решение новых нестационарных задач пограничного слоя и выявлено влияние различных факторов ( вдува, состава газа, реологии) на динамический и тепловой профили. Предложена новая система уравнений пограничного слоя, включающая изменение момента количества движения вблизи возмущающих поверхностей. Система уравнений выводится из кинетического уравнения Больцмана. Модель апробирована численным и аналитическим решением простейших модельных задач. Результаты позволяют надеяться на возможность описания турбулентного течения с помощью одной молекулярной вязкости. Предложенная модель является новой и ранее не обсуждалась.

Исследовано влияние нелинейных коэффициентов вязкости и дисперсии для уравнений Бюргерса, Кортевега-де Вриза- Бюргерса на простые волны и структуру слабых ударных волн, а также в некоторых разностных схемах.

В диссертации впервые проводится численно-аналитическое исследование совокупности процессов, возникающих в результате выделения значительного количества энергии в областях с изменениями плотности, температуры, давления. Для этого предварительно рассматриваются тепловые волны, распространяющиеся в однородной среде за счет лучистой теплопроводности, анализируется влияние росселандовой длины пробега излучения на скорость распространения энергии в условиях градиентов плотности, изучается характер перераспределения кинетической энергии ударных волн в тепловые виды энергии и наоборот. Предложена простая методика простых оценок эффектов взаимодействия тепловых и ударных волн. Эффективность и непротиворечивость методики проверяется сравнением результатов численного счета с получаемыми приближенными значениями. В результате установлен факт оттока газа от первой волны в цилиндрическом и сферическом случаях и отсутствие оттока в плоском случае. Ударные волны максимальной интенсивности получаются в случае вторичного выделения энергии вблизи центра возмущения малой интенсивности. Выявлены условия и причины усиления ударных волн за счет догорания твердых частиц, содержащихся в продуктах детонации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Прозорова, Эвелина Владимировна, 2003 год

1. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошныхсред. М. : Наука, 1984.- 520с.

2. Численное моделирование в аэрогидродинамике./ Под ред. Г.Г. Черного.1. М.: Наука, 1986.- 546с.

3. Численное решение задач гидромеханики./Под ред. Р. Рихтмайера. М.:1. Мир, 1.977.- 204с.

4. Вычислительные методы в гидромеханике./ Под. ред. Б. Олдера, С.

5. Фенбаха, M. Ротенберга. M.: Мир, 1967.-е.

6. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамикиизлучающего газа. М.: Наука, 1985. - 309с.

7. Численные методы исследования течений вязкой жидкости./ Под. ред.

8. Госмен А. Д. и др. М.: Мир, 1972. 324с.

9. Роуч П. Вычислительная гидромеханика. М.: Мир, 1980. - 615с.

10. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовойдинамики. М.: Наука, 1980.- 352с.

11. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.:1. Наука, 1975.-350с.

12. Анучина А. А., Бабенко К.И., Годунов С.К. и др. Теоретические основыи конструирование численных алгоритмов задач математической физики.- М.: Наука, 1979.- 295с.

13. Ковеня В.М., Яненко Н.Н.- Метод расщепления в задачах газовой динамики. М.: Наука, 1981.-303с.

14. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. /Под ред. Тихонова А. Н. М.: Наука, 1982. - 534с.

15. Аэродинамика и газовая динамика./ Под. ред. Струминского В.В. -М.: Наука, 1976.-335с.

16. Аэромеханика. / Под. ред. B.C. Авдуевского и др. М: Наука, 1976. -332с. ,- 2 1815. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики.- М. : Наука, 1976.- 400с.

17. Соловьев А.В. и др. Метод ячеек Дирихле для решения газодинамических уравнений в цилиндрических координатах.- ИПМ им. М.В. Келдыша, препринт N 80. 1986.-24с.

18. Соловьева Е.В., Шашков М. 10.- Применение метода опорных операторовдля построения разностных схем на несогласованных сетках. М.: ИПМ им. Келдыша, препринт N6, 1984. - 13с.

19. Ворожцов Е.В., Яненко Н.Н. Методы локализации особенностей при численном решении задач газодинамики.- М.: Наука, 1985.- 223с.

20. Маккормак Дж. Численный метод решения уравнений сжимаемых течений. Аэрокосмическая техника.-N 4, т. 1, 1983.-е. 114-123.

21. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно характеристичкпе методы дляисследования многомерных задач,- Численное моделирование . в аэрогидродинамике. М.: Наука, 1986. - с. 143 - 151.

22. Карамышев В. Б., Ковеня В. Н. Метод предиктор-корректор решения задач газодинамики. ЖВММФ, N12, т.28, 1988.

23. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений.- М. : Наука, 1978.-399с.

24. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва в газах.- Тр. Матем.ин-та им. В.А.Стеклова. Т.119, 1973.- 353с.

25. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.- М.: Наука, -1966.- 440с.- г 13

26. Зельдович Я.Б.,Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.- М.: Наука, 1966.-688с.

27. Прозорова Э.В. К вопросу об автомодельных движениях излучающего газа. Вест. ЛГУ, сер. матем., мех.Ы7, 1974. - с. 133-135.

28. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. -Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука , 1987.- 480с.

29. Бахвалов Н.С. Численные методы.-М.: Наука, 1975.-632с.

30. Самарский А.А, Введение в теорию разностных схем. М.:Наука, 1971.552с.

31. Рождественский Б.Л. Метод Пикара как метод численного решения задач математической физики,- Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. N2, т.5, 1974.-е. 96-107.

32. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1976.-588с.

33. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.- М.: Наука, 1976.- 342с. 1 .

34. Вычислительные методы в физике плазмы;/ Под ред. Олдера Б., Фернбаха С., Ротенберга М.- М.: Мир, 1974. -514с.

35. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.-744с. .

36. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

37. Пирумов У. Г., Росляков Г.С. Течение газа в соплах. М.: Изд-во МГУ,1978.-351с.

38. ШокинТО.И. Метод дифференциального приближения.- Новосибирск: Наука. 1979-216с.

39. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2- ух т.: Пер. с англ. М. Мир, 1991.- 552с.

40. Рынков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах.- Новосибирск: Наука. 1988.- 192с.

41. Самарский А. А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи.

42. Методы. Примеры. М. : Физматлит, 2001. - 320с.

43. Годунов С.К., Рябенький В. С.- Разностные схемы.- М.: Наука, 1977.-440с.

44. Ильин В. П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М: Наука. Физматлит. 1995.-389с.

45. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982

46. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей.- Л.: ЛГУ, 1988. 334с.

47. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 264с.

48. Андерсон Д., Таннехилл Дж.,.Плетчер Р. Вычислительная гидромеханикаи теплообмен: в 2-х т. М.: Мир, 1990.- 728-392с.

49. Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. /Ред.Киллина Дж.-М.:Мир, 1980,-478с.

50. Демьянович Ю.К. Вычислительные методы для решения задач математической физики.- Л.: ЛГУ, 1986.- 71с.

51. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988.- 334с.

52. Самарский А. А., Гущин А. В. Численные методы// М.: Наука, 1989

53. Прозорова Э.В. К вопросу о решении некоторых нестационарных задач газовой динамики. Численные методы механики сплошной среды.-Новосибирск: Изд. ин-та теорет. и прикладн. механ. СО АН СССР. 1978. т.9, N 7. с.93-96

54. Прозорова Э.В. К вопросу о расчете движения теплового фронта сильнонагретой области.- ЖТФ. 1980. т. 50, N1.

55. Мареев В.В., Прозорова Э.В. Влияние неоднородности плотности на распределение температуры и параметры ударных волн.- ЖТФ, 1981. N1.-с 669-678.

56. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А. Численные методы " Частицы в ячейках".

57. Новосибирск, Наука, 2000.- 184с.

58. Копченов В. И. Крайко А.Н. Монотонная разностная схема второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными.- Газовая динамика. Избранное : в 2 -ух т. М. Физматлит, 2001.-768с. '

59. Самарский • А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 2001. - 256с.

60. Прозорова Э.В. К вопросу о решении нелинейного уравнения теплопроводности. Вест. ЛГУ, сер. матем., Mex.N19, 1977. - с. 110-113.

61. Антонова Л.А., Прозорова Э.В. К вопросу о решении нелинейного двумерного уравнения теплопроводности. Вест. ЛГУ, сер. матем., Mex.N19, 1978. -с. 89-92.

62. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.: Наука, 1971.- 576с.

63. Самарский А.А., Соболь И.Н. Примеры численного расчета . температурных волн. ЖВММФ, N4, т.З, 1963 - с. 9-89.

64. Броуд Г. Действие ядерного' взрыва./Ред. пер. А. С. Попов. М.: Мир,1971. с 9 89.

65. Броуд Г. Расчеты взрывов на ЭВМ. /Ред. пер. В.Н. Николаевский. М.: Мир, 1976.-271с.

66. Прозорова Э.В. Автомодельные задачи в газовой динамике и в пограничном слое./ Сб ст. Физическая механика. Л.: Изд-во ЛГУ, Вып. 3. 1978. с. 46-53.

67. Кузнецов Н.М. Термодинамические функции и ударные адиабаты воздухапри высоких температурах.- М:: Машиностроение, 1965.-464с.

68. Кестенбойм X.C., Росляков Г.С., Чудов JI.A. Точечный взрыв: Методы расчета. Таблицы.- М.: Наука, 1974. 256с.

69. Росляков Г.С., Сухоруков В.П. Разностный метод для расчета течений газ$ с разрывами./Вычислительные методы и программирование,- М.: Изд-во МГУ, вып. 19, 1972. с. 42-58.

70. Росляков Г.С., Сухоруков В.П. Применение сглаживания к расчету разрывных течений./ Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ, вып. 15. 1970. с. 121-129.

71. Кузнецов Н.Н. О применении метода сглаживания к некоторым системамгиперболических квазилинейных уравнений. ЖВММФ, N1, т. 13, 1973. с. 92-102.

72. Кузнецов Н.Н., Старова Е.Н., Туманов В.Г. О методе сглаживания. / Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, вып. 19. 1972. -с. 71-82.

73. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука,. 1984.-270с.

74. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений.-М.: Мир, 1988.- 440с.

75. Прозорова Э.В. Применение общего решения линейного уравнения для численного интегрирования. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд. ин-та теорет. и прикладн. механ. СО АН CCCP.1981.t.12,N 6. с. 80 83.

76. Прозорова Э.В. Некоторые автомодельные задачи в газовой динамике. Вестник ЛГУ. 1975. N19. с. 108 113.

77. Омельченко А.В., Усков В.Н. Оптимальные ударно- волновые системы.-Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N6, 1995. с. 118 - 126.

78. Хокни Р. Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. -М.:Мир, 1987.-640с. •

79. Современные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. /Под ред. Холл Дж. и Уатт Дж. М.: Мир, 1979.- 312с.

80. Ляхов В.Н., Рыжов О.С. О законе подобия при нелинейном отражении # ударной волны от жесткой стенки. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа.1. N3, 1977.-с. 116-123.

81. Ляхов В.Н. К вопросу об оценке давления при нестационарном отражении ударной волны.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N2, 1977. с.100 -106.

82. Липницкий Ю.М., Панасенко А.В. Расчет одномерных нестационарных течений вязкого газа с помощью неявной дивергентной разностной схемы. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N1, 1977. - с.97 - 103.

83. Степанова Г.В. Нестационарное отражение плоской ударной волны от ® жесткой стенки.- Физика горения и взрыва. N3, 1976. ^ с.469-471.

84. Глатман Р. А.'Догонное взаимодействие ударных волн.- ЖТФ, N10, т. 47,1977. с. 2144-2150.

85. Знаменская И.А., Шугаев Ф.В. Начальная стадия взаимодействия ударных волн. Уч. зап. ЦАГИ. N1, т.8, 1977. - с.127-129.

86. Тугазаков Р.Я., Фонарев А. С. Начальная стадия столкновения ударныхволн.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N5, 1971.- е. 41-48.

87. Бай-Ши И. Динамика излучющего газа. М.: Мир, 1968.-324с.

88. Брушлинский Д.Н., Коробейников В.П. Автомодельная задача о сильномвзрыве с учетом переноса тепла излучением.- Докл. АН СССР, N5 , т. 259-с. 1060-1063.

89. Станюкович К.П. Неустановившееся движение сплошной среды. М.: Мир, 1971 --856с.

90. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика./ Ленинград: Гидрометеоиздат; 1978.- 208с.

91. Samsonow A.M. Exustence and Amplification of Solitary Strain Waves in Non-Lineary Wave-Cuides.// Preprint. 1959. ЛФТИ. Л.,1988, 18p.

92. Prozorova E.V. The influence of Nonlinear Numerical viscosity on the solution of the Transport equation. Collected int.conf. OFEA-95. St.Peters.

93. Prozorova E.B. The influence of Nonliner Numerical Viscosity on the Transport equation. // OFEA 95, St.Petersburg, 25-30 June 1995. "Oral report, p. 45 -50.

94. Быков В. Г. Нелинейные волновые процессы в геологических средах.-Владивосток:. Дальнауки , 2000. 250 с.

95. Алешков Ю.З. Теория волн с преградами.- Л.: Изд. ЛГУ. 1990.- 372 с.

96. Прозорова Э.В. Решение уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса с нелинейными коэффициентами.- Депонировано ВИНИТИ. N 2113-В-94 от 25.08.94. 11с.

97. Прозорова Э.В. Структура нелинейных волн в некоторых вязкопластических средах.- ЖТФ. 1982. N2 с. 141-143.

98. Прозорова Э.В. Влияние нелинейных коэффициентов переноса на структуру плоских ударных волн.- ЖТФ. 1983. N3.

99. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Мир, 1977.- 624с.

100. Нелинейные волны. / Под ред. Лейбовича С., Сибасса А.-М.: Мир, 1977,-320с.

101. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: ГИФМЛ, 1971.- 1100с.

102. Shu Jian- Jun. The proper analytical solutio of the Korteweg de Vries -Burgers equation.-J. Phys.A: Math.Gen.- v.2, 1987.- pp. 149-156.

103. Глатман P.А., Румянцев A.A; Столкновение ударных волн.- ЖТФ, N2. т.46, 1976. с. 373-379.

104. Гвоздева JT. П., Предводителева О.А. Двойное маховское отражение сильных ударных волн. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N1, 1968. -с.23-31.

105. Васильев М.М. Об отражении сферической волны от плоскости.-Вычислительная математика. М.: Изд-во ВЦ АН СССР. N6, 1960. с. 8799.

106. Юб.Кестенбойм Х.С., Шуриков А.И. О некоторых особенностях отражения ударной волны от плоскости.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N3, 1978.-с. 111 -116.

107. Подлубный-В.В. К задаче взаимодействия трех ударных волн.- Уч. зап. ЦАГИ. N4, т.9, 1978. с.102 - 106.

108. Chang T.S.6 Zaporte О. Reflection of strong blast waves.- N8, v.7, 1964.-pp.1225-1232.'

109. Scala S.M., Gordon P. Reflection of a shock wave at a surfase.- Phys.Fluids, v. ?, 1966. -pp. 1158-1166.

110. Красовская И.В., Сыщикова М.П. Некоторые свойства течения, возникающие при встречном столкновении двух взрывных волн.- ФГВ, N55, т. 21, 1985. с. 113-116.

111. Кутлер Р., Сэкел Л. Трехмерная проблема взаимодействия ударных волн. AIAA, N10, т. 13, 1975.- с.1360-1367.

112. Jones Е.М., Smith P.W., Straka W.C. et al. Interating Supernova remants: tunnels in the sky.- Astrophys. J., N1, v. 232, 1979.- pp. 129-138.

113. Satorn. Ikencki. Evolution of Supernova remnants.- Publ.Ast.Soc.Jap., N4, v.30, 1978.-pp. 563-579.

114. Андрианкин Э.И., Мягков Н.Н. -Двойной взрыв в совершенном газе. -ЖВММФ, Ж, 1984. с. 119-125.

115. Шугаев Ф.В. Взаимодействие ударных волн с возмущениями. М.: Изд-во МГУ, 1983 .-96с.

116. Нигматулин Р.И., Вайнштейн П.Б., Ахатов И.Ш. ( и др. Структура стационарных- детонационных волн в смесях газа с частицами- ZZbунитарного топлива. Химическая физика процессов горения и взрыва. Детонация. Черноголовка, 1980 с.96-98.

117. Антонов Э.А., Гладилин A.M. Распространение плоских детонационных волн при на личии зоны вторичных химических реакций. Сб. статей: Свойства взрывчатых материалов и их совершенствование.- М.: Наука, 1975.- с.48-58.

118. Мареев В. В., Прозорова Э.В. Численное исследование влияния догорания твердых частиц и кумуляции на интенсивность ударных волн. Фундаментальные проблемы физики ударных волн.- Черноголовка. 1987. Т.2. с-."134-135.

119. Кочин Н. Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 2./ М.: физ-мат. 1963.- 728 с.

120. Прозорова Э.В. Об автомодельности движений нестационарного пограничного слоя.- ПМТФ. 1975. N4. с. 122-125

121. Пр.озорова Э.В. Некоторые нестационарные задачи пограничного слоя. -Вестник ЛГУ. 1976. N 7. с.114 118.

122. Прозорова Э.В. Несколько нестационарных задач нестационарного пограничного слоя. ПМТФ. 1976. N 6. с. 56-60.

123. Герм В.Э., Прозорова Э.В., Чистякова М.В. Решение уравнений нестационарного пограничного слоя. Л.: ЛФТИ им. А.Ф. Иоффе: Препринт N923, 1985.- 33с.-'

124. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. -М.: ГИФМЛ, 1962.-456с. .

125. Самохин В.Н. Образование пограничного слоя при постоянном разгоне. -Прикл. матем. и мех. N3, т.ЗЗ, 1969. с. 441-455.

126. Бай-Ши И. Магнитная газодинамика и динамика плазмы.- М.: Мир, 1964.- 112с.

127. Чепмен С., Каулинг Т.Математическая теория неоднородных газов. -М.: ИЛ, I960.-510с.•I 'i 7 Л/ А/ -f —

128. Прозорова Э.В. Модель локальной автомодельности для нестационарного пограничного слоя. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд. ин-та теорет. и прикладн. механ. СО АН СССР. 1983. т.14, N 1 .с. 113-116.

129. Прозорова Э.В. Влияние дисперсии в модели Рейнольдса. Сборн.докл.конф. BEM-FEM-2000. С.Петербург. 2000.

130. Воронкова А.И., Прозорова Э.В. Численное исследование влияния дисперсионных эффектов в задачах пограничного слоя. Сборн. докл. конф.: т. 2, BEM-FEM-2001, т. 2. С.Петербург. 2001. с. 110 115.

131. Новожилов В.В. Теория плоского турбулентного течения в несжимаемой жидкости./ Ленинград: Судостроение. 1977.- 164с.

132. Кокошинская Н.С. О системе уравнений для описания течений вязкой жидкости и газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса./ Математические модели естесвознания. М: Изд-во МГУ. 1994.С.60-65.

133. Методы расчета турбулентных течений. Пер. с анг. / Под. ред. Кольмана. М.: Мир. 1984. 464 с.

134. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа./ М.: Наука.1970. 904с.

135. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е. Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах,- Новосибирск: Наука, 1984.-302.

136. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй.-М.: Физматлит, 1960.-460с.

137. Миллионщиков М.Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах. М.: Наука, 1969.-350х.

138. Храмов Г.А., Чекмарев С.Ф. Автомодельное представление структуры газодинамической области при истечении сильно недорасширеннойструи газа в спутный гиперзвуковой поток.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N6, 1976. с.94 - 99.

139. Альбини Д. Приближенный расчет структуры недорасширенной струи.-Ракетная техника и космонавтика. N8, 1965. с.219-220.

140. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. -М.:.Наука, 1967. -440с.

141. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. -М.: Наука, 1976.

142. Берд Г. Молекулярная газовая динамика.- М.: Наука, 1981.- 320с.

143. Пярнпуу А.А. Взаимодействие молекул газа с поверхностью. М.: Наука, 1974.- 192с.

144. Шахов Е.М. Численные методы решения аппроксимирующих кинетических уравнений. Сб. ст. Численные методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, вып.2, 1975.

145. Шахов Е.М. Метод аппроксимации кинетического уравнения Больцмана. Сб. ст. Численные методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, вып. 1, 1969.

146. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решение одномерных и двумерных задач для уравнения Больцмана.- М.: Выч. центр АН СССР, 1987.- 47.

147. Герм В.Э. Обтекание тела с истекающей плотной струей сверхзвуковым потоком разреженного газа. Дис. канд. физ.-мат. наук. JL: ЛГУ, 1986. -149с.

148. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Течение у поверхности высотного гиперзвукового реактивного аппарата,- Математич. моделиров. 1996. N 7. с.

149. Герм Б.Э., Мишин Г.И., Прозорова Э.В. Обтекание тела со струей сверхзвуковым потоком газа. Л.:ЛФТИ им. А.Ф. Иоффе: препринт N892, 1984.-14с.

150. Герм В.Э., Прозорова Э.В. Обтекание тела с истекающей из него сверхзвуковой струей при больших степенях нерасчетности.

151. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ АН СССР, N1, т. 17, 1986.-е. 47-56.

152. Герм В .Э., Прозорова Э.В. Обтекание тела со струей сверхзвуковым потоком газа. Сб. ст. Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск: ИТПМ, 1986.-с.86-91.I

153. Герм В .Э., Прозорова Э.В. Обтекание тела со струей при больших нерасчетностях струи сверхзвуковым спутным потоком. Труды 8-ой Всесоюз. конф. по динамике разреженных газов. М.: 1987. с. 39-36.

154. Герм В. Э., Прозорова Э.В. Влияние разреженной среды на обтекание тела со струей. Изв.АН СССР. МЖГ, 1991 ,N 1

155. Авдуевский B.C., Иванов А.В., Карпман И.М. и др. Течение в сверхзвуковой вязкой недорасширенной струе. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N3, 1970. - с. 63-70.

156. Авдуевский B.C., Иванов А.В. Течение разреженного газа вблизи передней критической точки затупленного тела при гиперзвуковых скоростях.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N3, 1968. с. 73-80.

157. Бондарев Е.Н., Гущин Г.А. Некоторые особенности распространения пространственных вязких струй.-Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N5, 1974.-с. 122-128.

158. Мышенков В.И. Расчет течения вязкой ламинарной сверхзвуковой струи в спутном потоке.- ЖВММФ, N2, Т. 19, 1979. с. 474-485.

159. Бондарев Е.Н., Лисичко И.Д. Распространение недорасширенной турбулентной струи в спутном сверхзуковом потоке.- Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N4, 1974. с. 34-41.

160. Бондарев Е.Н., Лисичко И.Д. О влиянии вязкости на течение недорасширенной струи, распространяющейся в спутном сверхзвуковом потоке. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N2, 1973.- с. 157 161.

161. Ковалев Б.Д., Мышенков В.И. Расчет вязкой сверхзвуковой струи, истекающей в затопленное пространство.- Уч. зап. ЦАГИ.- N2, т. 9, 1978.- с. 9-18.-Z3 0

162. Ковалев Б.Д., Мышенков В.И. Расчет вязкой сверхзвуковой струи, истекающей в спутный поток.- Уч. зап. ЦАГИ.- N3, т. 9, 1978.- с. 128-132.

163. Тагиров Р.К. Транзвуковое обтекание тела вращения при истечении реактивной струи из его кормовой части. Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. N2, 1974.-с.97-104.

164. Mikkoiz А.С., Hankey W.L., Shang J.S. Computation of a supersonic flow post an aximmetric nozzle boattoil with jet exaust .- AHA J.- N8, V. 18, 1980.- pp. 869-876.

165. Ребров A.K., Чекмарев С.Ф., Шарафутдинов Р.Г. Влияние разреженности на структуру свободной струи азота. ПМТФ - N1, 1973,- с. 136-141.

166. Кисляков Н.И., Ребров А.К., Шарафутдинов Р.Г. Диффузионные процессы в зоне смешения сверхзвуковой струи низкой плотности.-ПМТФ,Ы1, 1973. с.121-127.

167. Волчков В.В., Иванов А.В., Кисляков Н.И. и др. Струй низкой плотности за звуковым соплом при больших перепадах давления.- ПМТФ, N2, 1973 с. 64-73.

168. Хаббард Р. Приближенный расчет сильно недорасширенных струй.-Ракетная техника и космонавтика. N10, 1966.- с.241-242.

169. Жохов B.JL, Хомутский А.Я. Атлас сверхзвуковых течений свободно расширяющегося газа, истекающего из осесимметричного сопла.- Тр. ЦАГИ, вып. 1224, 1970. 324с.

170. Аверенкова Г.И. и др. Сверхзвуковые струи, идеального газа.- М.: Изд-во МГУ, 1970. 246с.

171. Бойнтон Ф. Структура сильно недорасширенной струи: точные и приближенные расчеты.- Ракетн. техника и космон., N9, 1967.- с.206-208.'и

172. Прозорова Э.В. Влияние стратификации на расширение струи вразреженном газе. Математич. моделиров., N2, Т.11, 1999.175. Таблицы стандартной атмосферы. ГОСТ 4401- 64.

173. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное моделирование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. -М.: Изд-во МГУ, 1980.-234с.

174. Ландау Л. Д.,Лифшиц Е. М. Теория поля./ М.: Наука, 1965.- 460с.

175. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М: Гостехиздат. 1946,- 149с.

176. Гуров К. П.Основания кинетической теории. М.: Наука. 1966.- 350с.

177. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука. 1967.- 440с.

178. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука. 1971.-414 с.

179. Климонтович Ю. Л. Кинетическая теория неидеального газа и идеальной плазмы. М.: Наука. 1975.-353 с.

180. Климонтович Л.В. Статистическая механика. М.: Наука. 1080.- 550с.

181. Черчиньяни. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973.- 246с.

182. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976,- 554 с.

183. Prozorova E.V. The influence of the dispersion in the Boltzmann equation.// Proceedings of the 4th St.Petersburg Workshop on Simulation. 2001. St. Petersburg. 2001, pp.405-409.

184. Дынникова Г.Я., Стасенко А.Л. Физическая механика и оптика летательных аппаратов и струй //.Труды ЦАГИ. Вып. 2470. М., 1993.

185. Герм В.Э., Прозорова Э.В., Сеткеев Е.П. Влияние нестационарности истекающей струи и стратификации воздуха на обтекание тела при больших степенях нерасчетности // Моделирование в механике. Т. 4(21). N1. Новосибирск, 1990. С. 98 102.

186. Jacchia L.G//Spec. Report N 375, Smithsonian Inst. Astrofisical Observatory. Cambridge, 1977.

187. Пирумов У. Г., Ковалев К. JI. Магнитогидродинамические течения и электродинамические поля в конических многополюсных МГД генераторах// Матем. моделиров., 1996. N 7. С. 13- 19.

188. Головачев Ю. П., Ильин С. А., Сущих С.Ю. Об управлении течением газа в сверхзвуковом входном устройстве с помощью магнитного поля// Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23. N16. С. 1 5.

189. Фрайштадт В. Л., Куранов А.Л., Шейкин Е.Г. Применение МГД систем на гиперзвуковых летательных аппаратах// Там же. 1998. Т. 68. N.11. С. 43 47.

190. Macheret S. О., Shneder M.N., Miles R.B. MHD Acceleration of supersonic air flows using, electron Beam-Enhanced conductivity// AIAA 98 - 2922 pp. 17.

191. Cambier J. L. A Thermodynamics Study of MHD Ejectors// AIAA 98. -2827.

192. Фаткуллин M. H., Зеленова Т.И., Козлов B.K. и др. Эмпирическиеи*модели среднеширотной ионосферы. М.: Наука, 1981

193. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965.

194. Неравновесная колебательная кинетика. Пер. с англ./ Под ред. М. Капителли. М.: Мир, 1989.

195. Прозорова Э.В. Расчет струйных течений летательных аппаратов на больших высотах. Депонировано ВИНИТИ. N1181-B-99 от 14.04.9

196. Прозорова Э.В. Влияние дисперсии в задачах аэрогидродинамики. Депонировано ВИНИТИ. N 1729 В 2001 от 20.07.01. 35с.

197. Прозорова Э. В. Влияние дисперсионных эффектов при течении газа и жидкости. 4-ая международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях.- М.: МАИ, 2002. с.368-370.- гзз

198. Воронкова А. И., Прозорова Э. В. 4-ая международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях.- М.: МАИ, 2002. с. 147.