Математическое моделирование отрывных течений жидкости и газа в окрестности шара тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Семёнов, Михаил Викторович

• Семёнов, Михаил Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семёнов, Михаил Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

Ф Г л а в- а

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕДЛЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА И ЖИДКОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ШАРА.И

§1. Система Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости

§2. Аналитическое решение задачи об обтекании шара для системы Стокса.

1. Приближение Стокса.

2. Постановка задачи об обтекании шара

3. Автомодельная замена переменных.

4. Решение проблемы интегрирования.

5. Сила сопротивления.

§3. Квазигидродинамическая система для слабосжимаемой ^ вязкой жидкости. Приближение Стокса.

1. КГД-система для слабосжимаемой вязкой жидкости

2. Теорема о диссипации энергии

3. Точные решения.

4. Приближение Стокса.

§4. Задача об обтекании шара для квазигидродинамической системы в приближении Стокса

1. Постановка задачи.

2. Автомодельная замена переменных.

3. Решение проблемы интегрирования. ф

§5. Расчёт медленных течений газа в окрестности шара

1. Постановка задачи.

2. Вычислительный алгоритм.

3. Метод решения разностного уравнения Пуассона для давления.

4. Результаты расчетов.

Глава

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ

ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ОБТЕКАНИИ ШАРА

ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

§1. Система Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в сферических координатах. Постановка задачи об обтекании шара.

1. Исторические сведения.

2. Постановка задачи.

§2. Система КГД-уравнений для несжимаемой жидкости. Постановка нестационарной задачи об обтекании шара

1. Квазигидродинамическая система.

2. Вычислительный алгоритм.

3. Метод решения разностного уравнения Пуассона для давления.

4. Результаты расчетов и выводы.

Глава

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО СЖИМАЕМОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА В ОКРЕСТНОСТИ СФЕРЫ.

§1. Полная система уравнений Навье-Стокса.

§2. Постановка задачи и вычислительный алгоритм.

1. Постановка задачи.

2. Постановка задачи об обтекании шара для КГД-уравнений

3. Вычислительный алгоритм.

4. Результаты расчетов и выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование отрывных течений жидкости и газа в окрестности шара»

Явления внешнего обтекания тел потоками жидкости или газа широко распространены в природе и технике (например, в авиации и космонавтике, судостроении, гидроэнергетике и т.д.). Исследование различных течений жидкости и газа с помощью компьютерного моделирования проводится во многих отечественных и зарубежных научных центрах. К настоящему времени разработано достаточно много численных методов решения как полной системы Навье-Стокса, так и различных ее упрощенных форм. Однако каждый из алгоритмов ориентирован на определенный круг задач (двумерные течения, несжимаемая жидкость, дозвуковые или сверхзвуковые течения, турбулентность и т.д.). Многие из них используются без должного теоретического обоснования. Полученные результаты нуждаются в подтверждении с помощью других численных методик. Поэтому актуальной является проблема разработки новых эффективных и универсальных методов численного моделирования течений жидкости и газа. Необходимость решения этой проблемы связана с появлением современных быстродействующих компьютеров (в том числе параллельных ЭВМ с распределенной памятью), открывающих новые возможности применения таких алгоритмов.

Среди новых численных алгоритмов все большую популярность приобретают алгоритмы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических (КГД) уравнений. Квазигазодинамическая система возникла как континуальный вариант так называемых кинетически согласованных разностных схем, предложенных в начале восьмидесятых годов в работах Б.Н.Четверушкина и

Т.Г.Елизаровой. Квазигидродинамические уравнения и их основные модификации были получены в девяностые годы Ю.В.Шеретовым. В монографии [30] и в последующих работах проведены теоретические исследования свойств КГД-систем. Эти системы отличаются от классических уравнений Навье-Стокса дополнительными дисси-пативными слагаемыми, зависящими от малого параметра. Использование дополнительной диссипации позволяет строить новые вычислительные алгоритмы с хорошими свойствами (сравнительная простота реализации, однородность, консервативность).

Диссертация относится к актуальному и быстро растущему научному направлению - численному моделированию течений жидкости и газа на основе КГД-уравнений. В настоящее время опубликованы учебные пособия и монографии по этой тематике [7], [8], [30]. Защищено несколько кандидатских и докторских диссертаций в МГУ им. М.В.Ломоносова, Институте математического моделирования РАН, Тверском государственном университете.

Цель и задачи. Цель работы - численное моделирование дозвуковых осесимметричных течений жидкости и газа в окрестности шара с помощью новых вычислительных алгоритмов, построенных на основе квазигидродинамических уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить численные алгоритмы расчета осесимметрических течений жидкости и газа в сферических координатах, базирующихся на квазигидродинамических уравнениях.

2. Разработать комплекс программ, реализующий указанные алгоритмы.

3. Выявить зависимости характерных параметров течений от входных данных.

4. Провести анализ полученных результатов.

Методы исследования. В качестве основных математических моделей используются классическая система Стокса, система Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости и полная система Навье-Стокса. Численные методы решения краевых задач для указанных систем строятся с помощью квазигидродинамических уравнений в соответствующих приближениях. Основные результаты получаются посредством вычислительного эксперимента.

Достоверность полученных результатов подтверждается сходимостью численных решений при измельчении пространственных сеток к известным аналитическим решениям, а также сопоставлением с имеющимися экспериментальными данными и расчетами других авторов. Предложенные алгоритмы построены с использованием квазигидродинамической системы, тщательно исследованной теоретически Ю.В.Шеретовым.

Научная новизна обусловлена тем, что метод КГД-моделирова-ния впервые применен к расчету осесимметрических дозвуковых течений сжимаемой и слабосжимаемой сплошной среды в сферических координатах вблизи шара с граничными условиями прилипания и проскальзывания. Предшествующие КГД-алгоритмы строились в декартовых и цилиндрических координатах (работы Б.Н.Четверушкина, Т.Г.Елизаровой, Ю.В.Шеретова, И.С.Калачинской, Е.В.Шильникова, А.В.Ключниковой, И.А.Широкова, М.Е.Соколовой, В.В.Серёгина и других авторов).

Практическая ценность. Построенные алгоритмы позволяют проводить расчеты течений как несжимаемых, так и сжимаемых сред в окрестности шара в широком диапазоне чисел Рейнольдса (от 0.01 до 100), Маха (от 0.01 до 0.7) и Кнудсена (Кп < 0.1). Они могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с движением тел сферической формы в атмосфере или под водой (спускаемых летательных аппаратов, батискафов, масляных капель).

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на:

• Международной научной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003).

• Международной конференции "Параллельные вычисления в гидродинамике" (Москва, 2003).

• Научных семинарах кафедры математического анализа ТвГУ (рук. проф. Гусев А.И., проф. Шеретов В.Г., Тверь 2005, 2006)

В главе 1 приводится аналитическое решение системы Стокса в задаче об медленном обтекании шара вязким газом с условием скольжения для скорости на его поверхности. Рассмотрено построение точного физически адекватного решения аналогичной задачи для КГД-системы в приближении Стокса. Построен алгоритм расчета поставленной задачи. Проведено сопоставление полученных результатов с аналитическими решениями системы Стокса.

В главе 2 на основе КГД-уравнений построен новый алгоритм расчета осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости вблизи шара. В качестве основной математической модели использована классическая система уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Проведено сравнение полученных результатов с теоретическими и экспериментальными данными, а также с известными численными расчетами.

В главе 3 предложен алгоритм расчета осесимметричных течений вязкого сжимаемого теплопроводного газа вблизи шара для полных уравнений Навье-Стокса в сферических координатах. В качестве аппроксимирующей используется полная квазигидродинамическая система уравнений.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору кафедры математического анализа ТвГУ, доктору физико-математических наук Ю.В.Шеретову за помощь при написании диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Семёнов, Михаил Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог, выделим наиболее существенные результаты диссертационного исследования.

• Предложены новые алгоритмы расчета осесимметричных дозвуковых течений вязкой жидкости и вязкого сжимаемого теплопроводного газа в окрестности шара с условиями прилипания или проскальзывания на его поверхности. В качестве вспомогательных при построении указанных алгоритмов использованы различные варианты квазигидродинамических уравнений в сферических координатах.

• Все указанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ в среде Delphi. Проведено его тестирование на характерных задачах.

• Выявлены зависимости основных параметров течения (плотности, скорости, давления, температуры, силы сопротивления, длины отрывной зоны, величины угла отрыва потока, положения центров вихрей и т.д.) от чисел Рейнольдса, Маха, Кнудсена в широких диапазонах их значений.

• Сопоставление результатов вычислений на разных пространственно-временных сетках как с известными аналитическими решениями, так и с имеющимися экспериментальными и расчетными данными показало их хорошую взаимосогласованность.

Таким образом, поставленные во введении задачи решены и цель диссертационного исследования достигнута. В диссертации проведено численное моделирование осесимметричных дозвуковых течений жидкости или газа для низких и умеренных чисел Рейнольдса. Созданные алгоритмы позволяют решать многие прикладные задачи. Представляется перспективным обобщение предложенных алгоритмов на случай трёхмерных пространственных нестационарных течений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семёнов, Михаил Викторович, 2006 год

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т 1, 2.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

4. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой оюидкости. М.: Гостехиздат, 1955.

5. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1991. Ч. 1, 2.

6. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике о/сидкостей. М.: Мир, 1967.

7. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы газовой динамики. М.: Макс-Пресс, 1999.

8. Елизарова Т.Г. Математические модели и численные методы в динамике газа и жидкости. М.: Физфак МГУ, 2005.

9. Emerson D.R., Barber R.W. Analytical Solution of Low Reynolds Number Slip Flow Past a Sphere: Technical Report DL-TR-00-001. Daresbury Laboratory, 2000.

10. Taneda S. Experimental Investigation of the Wake Behind a Sphere at a Low Reynolds Numbers //J. Phys. Soc. Japan. 1956. V. 11, № 10. P. 1104-1108.

11. Magarvey R.H., Bishop R.L. Transitional Ranges for Three-Dimensional Wakes // Can. J. Phys. 1961. V. 39. P. 1418-1422.

12. Nakamura I. Steady Wake Behind a Sphere // Phys. of Fluids. 1976. V. 19. P. 5-8.

13. Ван-Дайк M. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986.

14. Sakamoto H., Haniu H. Study a Vortex Shedding from Spheres in a Uniform Flow // J. Fluids Eng. 1990. V. 112. P. 386-392.

15. Jenson V.G. Viscous Flow Rounds a Sphere at Low Reynolds Numbers (<40) // Proc. Roy. Soc. 1959. V. 245, Ser. A. P. 346-366.

16. Shirayama S., Kuwahara K. Flow Past a Sphere: Topological Transitions of the Vorticity Field // AIAA-90-3105, 1990.

17. Гущин B.A., Матюшин П.В. Численное моделирование пространственных отрывных течений около сферы // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 1997. Т. 37, № 9. С. 1122-1137.

18. Kairo V., Tezduyar T. 3D Computation of Unsteady Flow Past a Sphere with a Parallel Finite Element Metod // Comp. Methods Appl. Mech. Eng. 1998. V. 151. P. 267-276.

19. Johnson T.A., Patel V.C. Flow Past a Sphere up to a Reynolds Number of 300 // J. Fluid Mech. 1999. V. 378, № 1. P. 19-70.

20. Lee S. A Numerical Study of Unsteady Wake Behind a Sphere in a Uniform Flow at Moderate Reynolds Numbers // Computers and Fluids. 2000. V. 29. P. 636-667.

21. Tomboulides A.G., OrszagS.A. Numerical Investigations of Transitional Weak Turbulent Flow Past a Sphere // J. Fluid Mech. 2000. V. 416. P. 47-73.

22. Emerson D.R., Barber R.W. Numerical Simulation of Low Reynolds Number Slip Flow Past a Confined Microsphere: Technical Report DL-TR-01-001. Daresbury Laboratory, 2001.

23. Гущин B.A., Матюшин П.В. Классификация реэюимов отрыв-пых течении э/сидкости около сферы при умеренных числах Рейнолъдса. Математическое моделирование. Проблемы и результаты. М.: ФМ, 2003. С. 199-235.

24. Constantinescu G., Chapelet M., Squires К. Turbulence Modelling Applied to Flow Over a Sphere // AIAA J. 2003. V. 41, № 9. P. 1733-1742.

25. Шеретов Ю.В. О единственности решений одной диссипатив-ной системы гидродинамического типа // Мат. моделирование. 1994. Т. 6, № 10. Р. 35-45.

26. Шеретов Ю.В. Об одной новой математической модели в гидродинамике // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1996. С. 124-134.

27. Гуров Д.Б., Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Численное моделирование течений эюидкости в каверне на основе квазигидродинамической системы уравнений // Мат. моделирование. 1996. Т. 8, N 7. С. 33-44.

28. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1997. С. 127-155.

29. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова A.B., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандт-ля // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1998. Т. 38, № 10. С. 1732-1742.

30. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: ТвГУ, 2000.

31. Fedoseyev A.I. A Regularization Approach to Solving the Navier-Stokes Equations for Problems with Boundary Layer // Comput. Fluid Dynamics J. 2001. Special Number. P. 317-324.

32. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Шеретов Ю.В., Шильни-ков Е.В. Численное моделирование отрывных течений за обратным уступом // Прикладная математика и информатика: Труды факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова. М.: Макс-Пресс, 2003. № 14. С. 85-118.

33. Елизарова Т.Г., Милюкова О.Ю. Численное моделирование течения вязкой несоюимаемой оюидкости в каверне // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, № 3, С. 453-466.

34. Шеретов Ю.В. Математические модели гидродинамики: Учебное пособие. Тверь: ТвГУ, 2004.

35. Ключникова A.B. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой оюидкости на основе квазигидродинамических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1999.

36. Широков И.А. Численное моделирование течений умеренно-разреэюенного газа на основе квазигидродинамических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: Институт мат. моделирования РАН, 1999.

37. Соколова М.Е. Численное моделирование сверхзвуковых и дозвуковых течений вязкого газа на основе квазигидродинамических уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2004.

38. Серёгин В.В. КГД-уравнения и алгоритмы их решения на неструктурированных сетках: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2005.

39. Шеретов Ю.В. Анализ задачи об обтекании шара для квазигидродинамических уравнений в приближении Стокса // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2003. С. 177-186.

40. Шеретов Ю.В. О существовании и единственности обобщенного решения стационарной краевой задачи для квазигидродинамических уравнений в приблиоюении Стокса. Материалы юбилейной научн. конф. 'Российской математике триста лет'. Тверь: ТвГУ, 2003. С. 86-94.

41. Шеретов Ю.В. Эллиптичность по Петровскому и по Дуглису-Ниренбергу стационарной квазигидродинамической системы в приближении Стокса // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2005. С. 124-131.

42. Semenov M.V., Sheretov Yu.V. Investigation of Gas Flows Round a Ball on the Base of Quasi-Hydrodynamic Equations in Stokes Approximation. Abstr. of Intern. Conf. "Kolmogorov and Contemporary Mathematics". Moscow State Univ., 2003. P. 756.

43. Sheretov Yu.V., Semenov M.V. Analysis of the Problem on the Flow Round a Ball on the Base of Quasi-Hydrodynamic Equations in Stokes Approximation. Proc. of Intern. Conf. "Parallel Computational Fluid Dynamics". Moscow, 2003. P. 351-354.

44. Семенов M.B., Шеретов Ю.В. Численное моделирование медленных течений вязкого газа в окрестности шара // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2004. С. 35-45.

45. Семенов М.В., Шеретов Ю.В. Численное моделирование осе-симметричных течений жидкости в окрестности шара // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2005. С. 133-146.

46. Семенов М.В., Шеретов Ю.В. Новый численный алгоритм расчета осесимметричных течений жидкости в окрестности шара при умеренных числах Рейнольдса // Вестник ТвГУ. Серия "Прикладная математика". 2005. № 2. С. 51-60.

47. Семенов М.В., Шеретов Ю.В. Новый алгоритм расчета осе-симметричных дозвуковых течений газа в окрестности шара // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2006. С. 78-100.