Численное моделирование сверхзвуковых и дозвуковых течений вязкого газа на основе квазигазодинамических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Соколова, Мария Евгеньевна

• Соколова, Мария Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соколова, Мария Евгеньевна

Введение.

Глава 1. Построение КГД системы уравнений на основе законов сохранения

1.1. Интегральные законы сохранения.

1.2. Переход к дифференциальным уравнениям.

1.3. Классический способ замыкания. Уравнения Эйлера и Навье-Стокса.

1.4. Другой способ замыкания. Квазигазодинамическая система уравнений.

1.5. Параметр релаксации.

1.6. Вид КГД добавок в (x,y,z) и (г,ф,г) геометрии.

1.6.1. Общие положения тензорного анализа.

1.6.2. КГД система в тензорно-индексном представлении

1.6.3. КГД добавки в цилиндрических координатах

1.6.4. КГД добавки в декартовых координатах.

1.7. Некоторые свойства КГД системы.

Глава 2. Численный алгоритм расчета сверхзвуковых течений

2.1 Введение.

2.2. Система КГД уравнений в цилиндрической геометрии

2.3. Система КГД уравнений в плоской геометрии

2.4. Обезразмеривание КГД системы.

2.5. Введение искусственной диссипации.

2.5.1. Оценка величины искусственной диссипации

2.5.2. Искусственная диссипация на границе.

2.6. Течение в окрестности цилиндрического торца.

2.6.1. Геометрия расчетной области.

2.6.2. Начальные условия.

2.6.3. Граничные условия.

2.7. Численный алгоритм.

2.7.1. Расчетная область и сетка.

2.7.2. Разностная аппроксимация уравнений.

2.7.3. Аппроксимация начальных условий

2.7.4. Алгоритм расчета.

2.7.5. Заполнение фиктивных ячеек.

2.7.6. Разностная схема.

2.8. Параметры торможения и положение ударной волны

2.9. Результаты расчетов.

2.10. Течение в канале с уступом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование сверхзвуковых и дозвуковых течений вязкого газа на основе квазигазодинамических уравнений»

3.2. Постановка задачи.71

3.2.1. Летательный аппарат .71

3.2.2. Параметры течения.72

3.2.3. Граничные условия.73

3.3. Особенности численного алгоритма .73

3.3.1. Обезразмеривание .73

3.3.2. Заполнение фиктивных ячеек.74

3.3.3. Решение проблем, возникающих при вычислениях 76

3.4. Поток энергии на стенку .77

3.5. Обсуждение результатов расчетов.79

3.6. Заключение.83

3.7. Иллюстрации.86 т 2

Глава 4. Численный алгоритм расчета дозвуковых течений 97

4.1. Обезразмеривание КГД системы.97

4.2. Введение искусственной диссипации.101

4.2.1. Оценка величины искусственной диссипации . . . 102

4.2.2. Искусственная диссипация на границе.103

4.3. Граничные условия для дозвуковых течений.104

4.3.1. Традиционная постановка граничных условий . . 104

4.3.2. Нетрадиционная постановка граничных условий . 105

4.4. Течение в канале с внезапным расширением .108

4.4.1. Постановка задачи.108

4.4.2. Результаты расчетов.108

4.5. Течение в канале с внезапным сужением .112

4.5.1. Постановка задачи.112

4.5.2. Результаты расчетов.113

4.6. Заключение.115

4.7. Иллюстрации.116

Глава 5. Комплекс программ 120

5.1. Программная реализация алгоритмов.120

5.1.1. Блок-схема.123

5.2. Программы обработки результатов.125

Заключение 132

Литература 134

Введение

Численное моделирование течений вязкого сжимаемого газа в сверхзвуковых и дозвуковых режимах является актуальной задачей вычислительной гидродинамики. Многочисленные технические приложения, связанные с необходимостью расчета газодинамических течений, требуют постоянного совершенствования и оптимизации разработанных ранее методов численного расчета. Имеющиеся в настоящее время программы расчета вязких течений основаны на использовании системы уравнений Навье-Стокса (НС). Несмотря на большой опыт решения НС-уравнений, их численная реализация сопряжена с определенными трудностями.

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов расчета вязких течений является использование квазигазодинамических (КГД) уравнений, которые отличаются от НС-уравнений дополнительными диссипативными слагаемыми с малым параметром в качестве коэффициента. Использование дополнительной диссипации позволяет существенно оптимизировать вычислительные алгоритмы.

КГД уравнения были получены Б. Н. Четверушкиным и Т. Г. Елизаровой [1, 2, 3, 4], позднее в работах Ю. В. Шеретова [5, б, 7, 8, 9, 10] был предложен вывод квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений на основе законов сохранения.

Квазигазодинамическая система уравнений, подробно описанная в работах [2, 7, 13, 52], расширяет возможности классической модели Навье-Стокса в случае описания течений вязкого сжимаемого газа. В области применимости уравнений НС дополнительная диссипация, входящая в КГД уравнения, слабо влияет на решение, но обеспечивает устойчивость численных алгоритмов. Для разреженных течений в микроканалах дополнительные диссипативные слагаемые позволяют получить решение, которое лучше, чем модель НС, описывает данные эксперимента [22].

Цель данной работы состоит в создании новых численных алгоритмов расчета сверхзвуковых и дозвуковых течений вязкого сжимаемого газа, основанных на КГД уравнениях; в написании комплекса программ, реализующих эти алгоритмы; в апробации программ на характерных задачах и сравнении результатов с имеющимися данными, полученными на основе существующих моделей (системы уравнений Эйлера и Навье-Стокса, метод прямого моделирования Монте-Карло).

На основе предложенных ранее КГД уравнений и идей их численного решения в диссертации построены два численных алгоритма расчета течений газа. Первый ориентирован на сверхзвуковые течения, второй -на течения в дозвуковом режиме. Оба алгоритма базируются на записи КГД уравнений в инвариантном виде, что позволяет естественным образом адаптировать их к различным системам координат. Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме непосредственно для векторов плотности потока массы, теплового потока и тензора вязких напряжений, что соответствует записи КГД уравнений в виде законов сохранения и делает алгоритмы компактными и экономичными.

Дополнительная диссипация, присутствующая в КГД уравнениях, позволяет применять центрально-разностные аппроксимации (второго порядка точности) для всех пространственных производных, включая конвективные слагаемые.

Разработанные ранее на основе КГД уравнений алгоритмы [13, 23, 27, 24] не были записаны в инвариантном виде, диссипативные слагаемые НС и КГД не были разделены, что приводило к определенным неудобствам при численной реализации алгоритмов. В новом алгоритме дополнительные КГД слагаемые выписаны отдельно, что позволяет варьировать величину искусственной диссипации в зависимости от типа течения.

Алгоритм расчета дозвуковых течений, построенный на основе КГД уравнений, имеет две особенности. Первая - это естественный и эффективный способ построения неотражающих граничных условий на свободных границах. Такой способ позволяет избежать применения так называемых "дозвуковых" условий, основанных на построении характеристик для уравнений Эйлера. Второй особенностью является специальный способ введения искусственной диссипации, не искажающий формул для вычисления теплового потока и коэффициента трения на твердых стенках.

Построенные в диссертации алгоритмы являются простым и эффективным способом численного расчета течений в широком диапазоне чисел Маха (от 0.01 до 50) и чисел Кнудсена (вплоть до 0.2).

На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование тестовых задач, которые в дальнейшем могут использоваться для проверки работоспособности других алгоритмов.

Кроме того, в упрощенной постановке решена задача о расчете тепловых нагрузок на поверхность возвращаемого космического аппарата, находящегося в атмосфере Марса.

Разработанные в диссертации программы подробно описаны, легко модифицируются и могут использоваться для расчета широкого круга вязких течений газа.

Первая глава посвящена изложению способа построения КГД уравнений, согласно работам [7, 9], на основе законов сохранения массы, импульса и энергии.

Отдельным параграфом приведены выражения для КГД добавок в декартовой и цилиндрической геометриях, полученных автором [52].

Вторая глава посвящена реализации и исследованию численного алгоритма расчета вязких сверхзвуковых течений [9].

Алгоритм базируется на записи КГД уравнений в инвариантном виде, что позволяет легко адаптировать его к различным системам координат.

Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме непосредственно для векторов плотности потока массы j, тензора вязких напряжений П и вектора теплового потока q. Это соответствует записи КГД уравнений в виде законов сохранения и делает алгоритм компактным и экономичным.

Слагаемые НС и КГД выписаны отдельно, что позволяет варьировать величину искусственной диссипации в зависимости от типа течения. Введение дополнительной вязкости в виде слагаемого a h/c (где h - шаг сетки, с - скорость звука, а - численный коэффициент порядка единицы, определяемый эмпирически) в коэффициенты динамической вязкости теплопроводности ее и в релаксационный параметр т обеспечивает устойчивость алгоритма. Устойчивость позволяет провести аппроксимацию всех пространственных производных центральными разностями.

Для численного решения используется явная по времени разностная схема. Для единообразного решения системы уравнений во всех точках внутренней области вводится система фиктивных ячеек.

Построенный алгоритм протестирован на двух характерных задачах. Первая - стационарное течение вязкого газа в окрестности цилиндрического торца. Проведен ряд расчетов в широком диапазоне чисел Маха -от 1.5 до 50. Параметры торможения (значения газодинамических величин перед торцом цилиндра) соответствуют значениям, рассчитанным теоретически. Вторая задача - нестационарное течение невязкого газа в плоском канале с внезапным сужением. Картина течения, полученная на момент времени t = 4, хорошо соответствует результатам расчета по схемам третьего порядка точности, приведенным в литературе.

Третья глава посвящена численному решению практической задачи на основе построенного алгоритма. Проведен расчет течений в окрестности возвращаемого летательного аппарата, находящегося в атмосфере Марса. Для всех точек траектории течение вблизи аппарата характеризуется большими числами Маха (Ма=17^ 30), резким перепадом температур (T=1500-f 30000 , где Tw = 1500 К - температура стенки, поддерживаемая постоянной) и широким диапазоном чисел Рейнольдса (Re = 102-г-2.5«105).

Рассматривается гидродинамический аспект проблемы, химические реакции и излучение, возникающее в пограничном слое перед аппаратом при температурах свыше 10000 К, не учитываются. На лобовой поверхности аппарата задается условие "скольжения" для скорости и условие скачка температур.

Были проведены расчеты для пяти времен, соответствующих разным точкам траектории полета, в диапазоне чисел Кнудсена от Кп = Ю-5 до Кп = 0.2.

Целью исследования был расчет поля течения и тепловых потоков, возникающих на лобовой поверхности аппарата (в точке торможения).

Расчеты показали, что распределение газодинамических параметров перед аппаратом и значения тепловых потоков на его поверхности, полученные на основании КГД-алгоритма, хорошо соответствуют данным, полученным по методу прямого численного моделирования Монте-Карло, вплоть до чисел Кнудсена 0.01 — 0.2.

Четвертая глава посвящена построению численного алгоритма для расчета дозвуковых течений. Алгоритм строится на примере плоского двумерного течения в канале с внезапным расширением и сужением.

Первая особенность алгоритма состоит в введении искусственной диссипации в виде ah/с только в КГД слагаемые. Введение этой дополнительной диссипации только в КГД слагаемых исключает ее влияние на коэффициенты трения и тепловые потоки на стенке.

Второй особенностью алгоритма является естественный способ постановки неотражающих граничных условий на свободных границах канала. Граничные условия задаются по аналогии с условиями для течений вязкой несжимаемой жидкости. В частности, на входной границе поставлен профиль Пуазейля.

На выходной границе задаются так называемые "мягкие" граничные условия (равенство нулю первых производных) для плотности и компонент скорости, а давление поддерживается постоянным, равным р = 1/(7Ма2).

Предложенный способ постановки граничных условий прост в реализации и не требует применения традиционного подхода, основанного на вычислении характеристик рассматриваемого течения в рамках уравнений Эйлера.

Проведены расчеты для чисел Рейнольдса 100, 200, 300 и 400, при этом число Маха изменялось в диапазоне от 0.01 до 0.5. Длина отрывной зоны в каждом из расчетов совпадает с результатами, полученными в расчетах для вязкой несжимаемой жидкости.

В пятой главе описана программная реализация построенных алгоритмов и приведена блок-схема программы. Кроме этого, рассмотрены некоторые особенности использования графических программ, которые упрощают процедуру изображения полей течения и других результатов расчета.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и намечены пути дальнейшего развития предложенного подхода.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю Татьяне Геннадьевне Елизаровой за постоянную помощь в работе, ценные идеи и анализ полученных результатов, а также доктору ф.-м. н. Юрию Владимировичу Шеретову за предложенный алгоритм и идеи его численной реализации. Особую благодарность хотелось бы выразить Даниле Ивановичу Асоцкому за техническую поддержку.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Соколова, Мария Евгеньевна

Основные результаты

1. В работе построены и опробованы новые численные алгоритмы решения КГД уравнений для нестационарных сверхзвуковых и дозвуковых течений вязкого сжимаемого газа.

• Разностные аппроксимации строятся в потоковой форме в соответствии с видом КГД уравнений в форме законов сохранения. Все пространственные производные аппроксимируются центральными разностями.

• Устойчивость численных алгоритмов достигается путем добавления в коэффициенты при диссипативных слагаемых малого параметра, связанного с шагом пространственной сетки.

• Для расчета дозвуковых течений стабилизирующие добавки вводятся только в коэффициенты при КГД слагаемых.

• Для численного моделирования дозвуковых течений используется эффективный способ построения неотражающих граничных условий на свободных дозвуковых границах, аналогичный граничным условиям для течений вязкой несжимаемой жидкости.

• Алгоритмы просты в реализации и экономичны.

2. Проведено численное моделирование газодинамических течений:

• в плоской геометрии (сверхзвуковых течений в канале со ступенькой, дозвуковых течений в каналах с прямым и обратным уступом),

• в цилиндрической геометрии (сверхзвуковые течения в окрестности торца).

Сравнение полученных результатов с данными, основанными на уравнениях Эйлера и Навье-Стокса, демонстрирует высокую точность решения.

• В упрощенной постановке решена задача о расчете тепловых нагрузок на возвращаемый летательный аппарат, спускаемый к поверхности Марса, в различных точках его траектории.

Сопоставление с данными прямого численного моделирования методом Монте-Карло показало применимость КГД алгоритма для чисел Кнудсена вплоть до Кп = 0.2.

3. Предложенные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ, снабженным детальным описанием, что позволяет использовать их в дальнейшем и проводить их модификации для расчета широкого круга вязких течений.

Пути дальнейшего развития

Изложенные в диссертации методы и программы могут в дальнейшем использоваться при моделировании сложных нестационарных течений вязкого сжимаемого газа. В частности, предложенные алгоритмы могут быть развиты в следующих направлениях.

1. Предложенный алгоритм и его программная реализация может легко быть обобщена для расчета трехмерных течений. Для этого необходимо дописать уравнение импульса для третьей компоненты скорости и во все уравнения КГД системы включить соответствующие добавки для третьей координаты: </?-добавки для случая цилиндрической геометрии, z-добавки - для декартовой геометрии.

2. Предложенный алгоритм записан в инвариантном виде, что позволяет при использовании преобразования координат рассчитывать течения газа в областях сложной формы.

3. Благодаря тому, что алгоритм реализован в потоковой форме и использованию явной по времени схемы для численного решения, он естественным образом может быть адаптирован к современным параллельным вычислительным системам. Такая адаптация целесообразна для трудоемких вычислений.

5. Программная реализация алгоритма имеет "прозрачную" структуру, благодаря чему она доступна для других пользователей.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соколова, Мария Евгеньевна, 2004 год

1. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений // Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, N 10. С. 80-83.

2. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетический алгоритм для расчета газодинамических течений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25, N 10. С. 1526-1533.

3. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений // Математическое моделирование: процессы в нелинейных средах. 1986. С. 261-278.

4. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. Москва: МГУ, 1999.

5. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений вязкой теплопроводной среды // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1997. С. 127155.

6. Шеретов Ю.В. Разностные схемы гидродинамики в эйлеровых и лагранжевых координатах на основе квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1999. С. 184208.

7. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2000.

8. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. Препринт. Москва: "Макс Пресс"Диалог МГУ, 2000.

9. Шеретов Ю.В. О разностных аппрокцимациях квазигазодинамических уравнений для осесимметричных течений // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2001. С. 191-207.

10. Шеретов Ю.В. Уравнения гидродинамики и преобразования Галилея // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003. С. 187-198.

11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Москва: Наука, 1987.

12. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Москва, 1976ю Т. 1 и 2.

13. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41, N 2. С. 239-255.

14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва: Наука, 1977.

15. Поздняк Э.Г., Шишкин Е.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. Москва: Изд-во МГУ, 1990.

16. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Москва: Эдиториал, 1998.

17. Слезкин Н.А. О дифференциальных уравнениях движения газа // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, N 2. С. 205-208.

18. Валландер С.В. Уравнения движения вязкого газа // Докл. АН СССР. 1951. Т. 58, N 1. С. 25-27.

19. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Москва: Наука, 1990.

20. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Москва: ЯНУС, 1995.

21. Алексеев Б.В. Обобщенная болъцмановская физическая кинетика // Теплофизика высоких температур. 1997. Т. 35, N 1. С. 129-146.

22. Elizarova T.G., Sheretov Yu.V. Analyse du probleme de I'ecoulement gazeux dans les microcanaux par les equations quasi hydrodynamiques. Congres Societe Hydrotechnique de France (SHF) "Microfluidique". Toulouse. 3-5 Decembre 2002. P. 309-318.

23. Траур И.А. Метод квазигазодинамического расщепления для решения уравнения Эйлера // Журнал математической математики и математической физики. 2001. Т. 41, N 10. С. 1583-1596.

24. Антонов А.Н., Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н., Шеретов Ю.В. Численное моделирование пулъсационных режимов при сверхзвуковом обтекании полого цилиндра // Журнал вычислительной математики и вычислительной физики. 1990. Т. 30, N 4. С. 548-556.

25. Woodward P., Collela P. J. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shock 11 Comput. Phys. 1984. N 54. P.115-173.

26. Траур И.А., Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Расчет структуры неподвижной ударной волны на основе квазигазодинамических уравнений. Препринт N 42. Москва: Всесоюзный центр математического моделирования РАН, 1992.

27. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва: Наука, 1983.

28. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Москва: Мир, 1990. Т. 2.

29. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов J1.A. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса. Москва, 1984.

30. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Москва: Наука, 1992.

31. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Москва: Наука, 1982.

32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Москва: Наука, 1986.

33. Ковалев В.Л. Гетерогенные каталитические процессы в аэродинамике. Москва: Физматлит, 2002.

34. Chabut Е., Lengrand J.C. Simulation of ahypersonic flow during a Mars entry. Proceedings of the 3th Intern. Symp. Atmospheric Reentry Vehicles and Systems. 24-27 March, 2003, France.

35. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Москва: Наука, 1991. Т.2.

36. Bird GA. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. Oxford: Clarendon Press, 1994.

37. Берд Г.А. Молекулярная газовая динамика. Москва: Наука, 1981.

38. Баренблатт Г.И., Черный Г.Г. Основы газовой динамики. Москва: Изд-во иностранной литературы, 1993.

39. Shadlesky P.S. Stagnation Point Heat Transfer for Jet Impingement to a Plane Surface // AIAA Journal. 1983. V. 21, N 8. P. 1114-1115.

40. Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. Москва: Мир, 1980.

41. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Москва: Мир, 1970.

42. В.С.Рябенький. Метод разностных потенциалов и его приложения. Москва: Физматлит, 2002.

43. Дородницын JI.B. Неотражающие граничные условия: от концепции до алгоритма. Москва: Макс Пресс, 2002.

44. М.А.Ильгамов, А.Н.Гильманов. Неотражающие условия на границах расчетной области. Москва: Физматлит, 2003

45. А.Н. Гильманов. Метод адаптивных сеток в задачах газовой динамики. Москва: Физматлит, 2000.

46. Armaly B.F., Li A., Nie J.H. Three-dimensional forced convection flow adjacent to backward facing step // Journal of Thermophysics and Heat Transfer., 2002. V. 16, N 2. P. 222-227.

47. R.W. Mei., A Plotkin. Navier-Stokes solutions for some laminar incompressible flows with separation inforward stepgeometries // AIAA Paper. 1986. N 8. P. 110.

48. Лапин Ю.В., Стрелец M.X. Внутреннее течение газовых смесей. Москва: Наука, 1989.

49. L.M. Milne-Thomson. Theoretical hydrodynamics. Forth edition, Macmillan and CO LTD, London. 1960.

50. Елизарова Т.Г., Соколова M.E. Диссипативные слагаемые в квазигазодинамических уравнениях и их влияние на поле течения в ударнойволне // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2001. N 5. С.19-22.

51. Соколова М.Е. Квазигазодинамические уравнения и расчет структуры ударной волны. Сборник тезисов Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2001". Москва: Физич. ф-т МГУ, 2001. С. 76-78.

52. Соколова М.Е. Линеаризация квазигазодинамических уравнений в окрестности угловой точки. Сборник тезисов Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2003". Москва: Физич. ф-т МГУ, 2003. С. 57-59.

53. Соколова М.Е. Моделирование течений, возникающих при входе летательных аппаратов в атмосферу Марса. Сборник тезисов Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2004". Москва: Физич. ф-т МГУ, 2004.

54. Соколова М.Е. Численный расчет дозвуковых течений газа на основе квазигазодинамической системы уравнений. Сборник тезисов Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2004". Москва: Физич. Ф-т МГУ, 2004.

55. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е. Численный алгоритм расчета сверхзвуковых течений, основанный на квазигазодинамических уравнениях // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2004. N 1. С. 10-15.

56. Chabut E., Lengrand J.C., Sokolova M.E., Elizarova T.G. Numerical Simulation of a Mars-Entry Flow. Abstracts of 24th International Conference of Rarefied Gas Flows, Italy. 2004.

57. Елизарова Т.Г., Соколова M.E. Численный алгоритм расчета дозвуковых течений вязкого сжимаемого газа // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. N 5.