Численное моделирование пространственных отрывных течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Матюшин, Павел Владимирович

• Матюшин, Павел Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матюшин, Павел Владимирович

Введение.

ГЛАВА 1. Классификация режимов течений жидкости около сферы краткий обзор литературы). Постановка задачи об обтекании сферы несжимаемой вязкой жидкостью и метод ее решения.

1.1. Классификация режимов течений жидкости около сферы (краткий обзор литературы).

1.2. Постановка задачи. Модельные уравнения. Начальные и граничные условия.

1.3. Краткое описание метода решения задачи.

1.3.1. Схема расщепления.

1.3.2. Первый этап вычислительного алгоритма. Описание монотонной конечно-разностной схемы.

1.3.3. Второй и третий этапы вычислительного алгоритма. Граничные условия для давления на поверхности сферы

1.3.4. Анализ устойчивости.

1.4. Распараллеливание и процесс счета.

1.5. Выводы.

ГЛАВА 2. Методические и тестовые расчеты.

2.1. Осесимметричное обтекание сферы.

2.1.1. Тестовые расчеты (i?e<300).

2.1.2. Методические расчеты (Re=200).

2.1.3. Парадокс Даламбера (Re=со).

2.2. Неосесимметричное стационарное обтекание сферы (методические расчеты при Re=250).

2.3. Выводы.

ГЛАВА 3. Визуализация пространственных течений в вычислительной гидродинамике.

3.1. Визуализация вихревых структур в течениях несжимаемой жидкости (—^2 метод идентификации вихрей Ф. Хуссейна). •

3.2. Визуализация вихревых структур в следе за 2D круговым цилиндром.

3.2.1. Стационарное течение (Re= 10).

3.2.2. Вихревая дорожка Кармана (7?е=140). Механизм периодического отрыва потока за цилиндром.

3.3. Визуализация вихревых структур в следе за сферой.

3.4. Визуализация мгновенных линий настенного трения на поверхности сферы. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.

3.5. Выводы.

ГЛАВА 4. Режимы течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы (результаты расчетов).

4.1. Стационарный двухнитевой след (200<i?e<270).

4.2. Динамика нестационарного периодического отрыва в следе за сферой при 270<Яе<

4.2.1. Динамика отрыва при 7?е=280 и Re=

4.2.2. Формирование нестационарного периодического отрыва в следе за сферой при Re=

4.2.3. Динамика отрыва цепочки вихрей в виде «шпилек для волос» в следе за сферой при Re=

4.2.4. Нестационарное, периодическое обтекание сферы при 360<Яе<400 (регулярное вращение следа за сферой).

4.3. Динамика нестационарного периодического отрыва при 400<Де<600.

4.4. Динамика нестационарного периодического отрыва при 600<Де<1000.

4.5. Выводы. (Классификация режимов течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы при Re<\ ООО).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование пространственных отрывных течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы»

Многие явления, наблюдаемые в атмосфере и океане, а также проблемы гидромеханики, гидравлики, акустики, физиологии кровообращения, организации технологических процессов в силу умеренных скоростей перемещения среды можно изучать в рамках модели несжимаемой вязкой жидкости, описываемой уравнениями Навье-Стокса. Благодаря бурному развитию многопроцессорной вычислительной техники прямое численное моделирование часто дополняет, а иногда и подменяет натурный (физический) эксперимент.

Отрывные течения - одно из самых значимых явлений, наблюдаемых при вязком обтекании тел. Из-за имеющейся в среде вязкости кинетическая энергия потока около тела частично рассеивается так, что частицы жидкости не могут больше полностью противостоять существующему в жидкости положительному градиенту давления и поток отрывается в поперечном по отношению к телу направлении. Следовательно, в случае молекулярной природы механизма отрыва, отрыв потока происходит под действием положительного градиента давления и под влиянием ламинарных или турбулентных вязких напряжений. В отсутствие одного из этих факторов поток несжимаемой жидкости не отрывается (Чжен, 1973).

Наличие трения приводит, таким образом, не только к возникновению "вязкого сопротивления" (сопротивления трения) течению около тела, но и к появлению локальных вращений в поле течения. Далее, вследствие нелинейных эффектов, обусловленных конвекцией, могут образовываться пространственные оторвавшиеся и закрутившиеся слои. Изменение пространственной структуры этих слоев в поле течения оказывает обратное действие на сам отрыв на теле, которое проявляется в изменении подъемной силы и сопротивления тела. Поэтому исследование отрывных течений, с одной стороны, имеет большое практическое значение, а, с другой стороны, важно для понимания основных проблем физики течения.

При обтекании реальных пространственных тел, как правило, возникают трехмерные и нестационарные формы отрыва, изучение которых и представляет существенный интерес. Учитывая высокую стоимость лабораторных экспериментов, множество дополнительных осложняющих исследование факторов, влияющих на конфигурацию течения (неоднородность набегающего потока, шероховатость поверхности и т. д.), а также продолжающиеся положительные тенденции в развитии многопроцессорной вычислительной техники (повышение производительности и увеличение памяти) позволяют надеяться на расширение и углубление наших знаний об отрывных течениях получаемых путем численного моделирования на основе полных уравнений гидродинамики.

Здесь важно правильно промоделировать течение жидкости около поверхности тела, т.е. необходимо сгущать конечно-разностную сетку к поверхности тела (разрешать пограничный слой). При этом течение в ближнем следе тела конечного размера, как для ламинарных, так и для турбулентных режимов обтекания, характеризуется наличием в нем крупномасштабных вихрей, размеры которых соизмеримы с размерами тела и, следовательно, разрешающая способность конечно-разностной сетки здесь может быть существенно ослаблена. Конечно, при этом могут быть допущены ошибки в аппроксимации диссипативного механизма таких вихрей, но основные черты явления, включая многие количественные характеристики, воспроизводятся достаточно точно.

Математическое моделирование таких сложных течений, как отрывные течения, предъявляет целый ряд требований к применяемым и разрабатываемым методам решения уравнений, описывающих эти течения. К таким требованиям относятся: высокий порядок аппроксимации конечно-разностных схем -второй и выше; минимальная схемная диссипация; работоспособность в широком диапазоне чисел Рейнольдса и монотонность. Последнее свойство особенно важно при моделировании течений с областями больших градиентов гидродинамических параметров.

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Пространственные (3D) отрывные течения - одна из важнейших и наименее поддающихся исследованию проблем гидроаэродинамики. Лабораторный эксперимент позволяет достаточно хорошо исследовать течение в непосредственной окрестности тела (на теле) и в дальнем следе. Область ближнего следа лучше всего поддается математическому моделированию. Однако, при моделировании 3D отрывных течений важно не только с достаточной точностью "воспроизвести" течение, но и "увидеть" его, т.е. средства визуализации таких течений представляют не меньший интерес. Вопрос визуализации течения сам по себе имеет самостоятельный интерес. Даже проблема визуализации вихря в нестационарном двумерном потоке остается открытой и этому вопросу посвящен целый ряд работ. С целью более глубокого понимания механизмов отрыва и структуры течений в следе изучение следует проводить на простейшей форме тела, пространственные течения около которой изучаются уже более 100 лет, каковой является сфера. Число существующих работ по численному моделированию пространственных отрывных течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы невелико. Во многих этих работах приводятся только интегральные характеристики течения, мгновенные линии тока и изолинии давления в плоском сечении течения. Число работ, в которых визуализируется пространственная структура вихревого следа за сферой, единицы. К сожалению, еще нет понимания механизма трансформации течения в ближнем следе сферы, приводящего к формированию и отрыву очередной вихревой петли. Таким образом, важно не только промоделировать пространственное отрывное течение за телом, но и объяснить механизм отрыва, понять полную картину полученного течения, его кинематику и динамику с течением времени. Эта проблема очень актуальна сегодня.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ заключается в разработке комплекса программ для прямого (без привлечения каких либо моделей турбулентности) численного моделирования и визуализации пространственных отрывных течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы и в детальном изучении этих отрывных течений жидкости.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы состоит в уточнении классификации режимов течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы в диапазоне умеренных чисел Рейнольдса; в объяснении механизма трансформации течения в ближнем следе сферы, приводящего к формированию и отрыву очередной вихревой петли.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Полученные автором настоящей диссертации классификация режимов течений однородной жидкости за сферой и понимание механизма трансформации течения в ближнем следе сферы, приводящего к формированию и отрыву очередной вихревой петли, распространяются и на другие осесимметричные тупые тела (при их обтекании с нулевым углом атаки). Полученные результаты представляют интерес также при изучении движения капель и частиц в пульверизаторных струях и других дисперсионных течениях; для моделирования подъема пыли (за счет подъемной силы Магнуса) в шахтах за фронтом ударной волны, образовавшейся при взрыве газа внутри шахты, и многих других явлений.

Научная и практическая ценность работы также определяется необходимостью использования эффективных численных методов для расчета и визуализации пространственных отрывных течений несжимаемой вязкой жидкости около тел конечных размеров.

Для расчетов пространственных отрывных течений несжимаемой вязкой жидкости около сферы автором диссертации проведено обобщение на случай сферической системы координат метода Белоцерковского-Гущина-Коньшина-Щенникова (метода расщепления по физическим факторам для несжимаемой жидкости с явной гибридной конечно-разностной схемой (Белоцерковский и др., 1975; Белоцерковский и др., 1987; Гущин, 1990)), разработанного ранее и используемого для решения широкого круга задач, имеющих как фундаментальный, так и прикладной характер (стационарные и нестационарные, двумерные и осесимметричные, внутренние и внешние, пространственные внутренние течения, течения стратифицированной жидкости и течения со свободной поверхностью) (Белоцерковский, 1994). Для аппроксимации конвективных членов системы уравнений Навье-Стокса в этом методе используется явная гибридная конечно-разностная схема (комбинация модифицированной схемы с центральными разностями и модифицированной схемы с ориентированными разностями с локальным условием переключения, зависящим от знаков скорости, первой и второй разностей (производных) в каждом из рассматриваемых координатных направлений). Схема обладает следующими свойствами: второй порядок аппроксимации по пространственным переменным, минимальная схемная вязкость и дисперсия, работоспособность в широком диапазоне чисел Рейнольдса и монотонность.

Для визуализации и анализа результатов расчетов строятся мгновенные линии тока, изобары, линии касательных напряжений на подветренной поверхности тела, а также изоповерхности равного нулю второго собственного значения тензора, являющегося суммой квадратов симметричной и антисимметричной частей тензора градиента скорости (Jeong, Hussain, 1995). Среди методов визуализации следует особо выделить последний, который позволил идентифицировать пространственную структуру вихревого следа за сферой и впервые объяснить механизм периодической трансформации течения в ближнем следе сферы, приводящий к формированию и отрыву очередной вихревой петли.

Достоверность полученных численных результатов подтверждается сравнениями с экспериментальными данными и расчетами других авторов.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Объем диссертации до цитированной литературы составляет 181 страницу машинописного текста. В тексте имеются 7 таблиц и 133 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Матюшин, Павел Владимирович

4.5. Выводы. (Классификация режимов течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы при i?e<1000)

В результате численного моделирования однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы с помощью созданного автором настоящей диссертации комплекса программ, методика которого описана в Главе 1 (конечно-разностная сетка: 120x60x120 с 10 точками в пограничном слое, внешняя граница удалена от сферы на 14.5D), получены и детально исследованы следующие режимы течений около сферы:

I. 0</te<20.5: стационарный, осесимметричный, безотрывный;

II. 20.5</te<200: стационарный, осесимметричный, отрывный;

III. 200<Re<270: стационарный, неосесимметричный (двухнитевой след) - коэффициенты суммарной боковой силы и вращательных моментов отличны от нуля;

IV. 270<Re<360: нестационарный, периодический - осредненные по времени коэффициенты суммарной боковой силы и вращательных моментов отличны от нуля;

V. 360<i?e<400: нестационарный, периодический - регулярное вращение следа - осредненные по времени коэффициенты суммарной боковой силы и вращательных моментов отличны от нуля;

VI. 400</?е<600: нестационарный, периодический - осредненные по времени коэффициенты суммарной боковой силы и вращательных моментов равны нулю;

VII. 600<i?e<1000: нестационарный, периодический - хаотическое вращение вихревого следа.

Приведена динамика отрыва вихревых петель в следе за сферой в течение одного периода для Re=2%Q, 300, 350, 400, 500, 600.

250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

Re

Рис. 4.79. Число Струхаля St в зависимости от Re.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении кратко суммированы основные результаты работы, выносимые на защиту:

1. Проведено обобщение на случай сферической системы координат метода Белоцерковского-Гущина-Коньшина-Щенникова (метода расщепления по физическим факторам для несжимаемой жидкости с явной гибридной конечно-разностной схемой (Белоцерковский и др., 1975; Белоцерковский и др., 1987; Гущин, 1990)).

2. На основании этого обобщенного метода создан и протестирован комплекс программ для прямого численного моделирования пространственных отрывных течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы.

3. Проведено распараллеливание созданного комплекса программ, для того чтобы его можно было использовать для численного моделирования пространственных отрывных течений жидкости (требующего большого числа узлов конечно-разностной сетки) на многопроцессорных вычислительных комплексах.

4. Проведены методические расчеты с целью определения оптимальных параметров конечно-разностной сетки, используемой для проведения серийных расчетов.

5. Созданы программы для визуализации и графической обработки результатов серийных расчетов, в том числе и программа для визуализации (идентификации) сердцевин вихревых структур в следе за сферой, которая позволила «увидеть» пространственную динамику отрыва в следе за сферой.

6. Впервые объяснен механизм трансформации течения в ближнем следе сферы, приводящий к формированию и отрыву очередной вихревой петли.

181

7. Уточнена классификация режимов пространственных отрывных течений однородной несжимаемой вязкой жидкости около сферы в диапазоне умеренных чисел Рейнольдса:

I. 0</?е<20.5: стационарный, осесимметричный, безотрывный;

II. 20.5</?е<200: стационарный, осесимметричный, отрывный;

III. 200<ite<270: стационарный, неосесимметричный (двухнитевой след) - коэффициенты суммарной боковой силы и вращательных моментов отличны от нуля;

IV. 270<Re<360: нестационарный, периодический - осредненные по времени коэффициенты суммарной боковой силы и вращательных моментов отличны от нуля;

V. 360</?е<400: нестационарный, периодический - регулярное вращение следа - осредненные по времени коэффициенты суммарной боковой силы и вращательных моментов отличны от нуля;

VI. 400<Т?е<600: нестационарный, периодический - осредненные по времени коэффициенты суммарной боковой силы и вращательных моментов равны нулю;

VII. 600</?е<1000: нестационарный, периодический - хаотическое вращение вихревого следа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матюшин, Павел Владимирович, 2003 год

1. Белоцерковский О.М. (1994) Численное моделирование в механикесплошных сред. М.: «Физ.-мат. лит.».

2. Белоцерковский О.М., Гущин В.Л., Коньшин ВН. (1987) Методрасщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью. ЖВМиМФ, 27 (4), 594-609.

3. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. (1975) Методрасщепления в применении к решению задачи динамики вязкой жидкости. ЖВМи МФ, 15 (1), 197-207.

4. Бэтчелор Дж. (1973) Введение в динамику жидкости. М: «Мир».

5. Годунов С.К (1959) Разностный метод численного расчета разрывныхрешений гидродинамики. Матем. сб., 47, 271-306.

6. Годунов С.К., Рябенький B.C. (1977) Разностные схемы. М.: «Наука».

7. Гущин В.А. (1990) Численное моделирование нелинейных процессовдинамики несжимаемой вязкой жидкости. Диссертация на соискание степени д.ф.м.н., Институт Автоматизации Проектирования АН СССР, Вычислительный центр АН СССР, Москва.

8. Гущин В.А., Костомаров А.В., Матюшин П.В., Павлюкова Е.Р.,

9. Рождественская Т.И. (2001) О 2D-3D переходных течениях вязкой жидкости около тел конечных размеров. VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, 23-29 августа 2001 г., г. Пермь, Аннотации докладов, 221.

10. Гущин В.А., Костомаров А.В., Матюшин П.В., Павлюкова Е.Р. (2002)

11. Ю.Гущин В.А., Матюшин П.В. (1997) Численное моделирование пространственных отрывных течений около сферы. ЖВМ и МФ, Ъ1 (9), 1122-1137.

12. Гущин В.А., Павлюкова Е.Р. (1986) Численное моделирование обтекания сферы вязкой жидкостью. В сборнике "Современные вопросы Гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики", М.: «Изд. МФТИ», 116-121.

13. ХЪ.Колган В.П. (1972) Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных течений газовой динамики. Ученые записки ЦАГИ, 3 (6), 68-77.

14. Копченое В.И., Крайко А.Н. (1980) Построение монотонной конечно-разностной схемы второго порядка аппроксимации для уравнения гиперболического типа. Т.о. ЦИАМ, № 9108, 42.15 .Лойцянский Л.Г. (1987) Механика жидкости и газа. М: «Наука».

15. Матюшин П.В. (1993) Численное моделирование пространственных отрывных течений. Дипломная работа, Московский физико-технический институт.

16. Матюшин П.В. (2001) Классификация переходных режимов отрывныхтечений жидкости около сферы. Тезисы докладов XLIV научной конференции Московского физико-технического института, часть VII, 4.

17. Матюшин П.В. (2002) Прямое численное моделированиепространственных отрывных течений около сферы. Тезисы докладов XLV научной конференции Московского физико-технического института, часть VII, 24-26.

18. Самарский А.А., ГулинА.В. (1989) Численные методы. М: «Наука».

19. Сысоева Е.Я., Чашечкин Ю.Д. (1988) Пространственная структура следаза сферой в стратифицированной жидкости. ПМТФ № 5, 59-65.

20. Холодов А. С. (1978) О построении разностных схем с положительнойаппроксимацией для уравнений гиперболического типа. Ж. вычисл. матем. иматем. физ., 18(6), 1476-1492.

21. Чжен П. (1973) Отрывные течения. М. : «Мир», 1.

22. Шлихтинг Г. (1974) Теория пограничного слоя. М: «Наука».

23. Achenbach Е. (1972) Experiments on the flow past spheres at very high

24. Reynolds numbers. J. Fluid Mech., 54, 565-575. 21. Achenbach E. (1974a) Vortex shedding from spheres. J. Fluid Mech., 62, 209221.

25. Achenbach E. (19746) The effect of surface roughness and tunnel blockage onthe flow past spheres. J. Fluid Mech., 65, 113-125.

26. Amsden A.A., Harlow F.H. (1970) The SMAC method. Los Alamos Scient. Lab. Rept. LA-4370.

27. Bacon D. L., Ried E.G. (1924) The resistance of spheres in wind tunnels and inair. Nat. Adv. Com. Aero., Rep. No. 185.

28. Calvert J.R. (1972) Some experiments on the flow past a sphere. Aero. J. Roy.1. Aero. Soc., 76, 248-250.

29. Chashechkin Yu.D., Gumennik E. V., Sysoeva E.Ya. (1995) Transformation of adensity field by a three dimensional body moving in a continuously stratified fluid. J. ofAppl. Mech. And Tech Phys., 36 (1), 19-29.

30. Le Clair B.P., Hamielec A.E., Pruppacher H.R. (1970) A numerical study of the drag on a sphere at low and intermediate Reynolds numbers. J. Atmos. Set, 27, 308-315.

31. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. (1978) Bubbles, drops and particles. New York: «Acad. Press».

32. Easton C.R. (1972) Homogeneous boundary conditions for pressure in MAC method. J. Comput. Phys., 9 (2), 375-379.

33. Gushchin V.A., Kostomarov A.V., Matyushin P.V., Pavlyukova E.R. (2000)

34. Transitional Separated Fluid Flows Around a Sphere. Fourth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications (BBAA-IV), September 11-14, 2000, Bochum, Germany, Volume of Abstracts, 621-624.

35. Gushchin V.A., Kostomarov A.V., Matyushin P.V., Pavlyukova E.R. (2001) Direct Numerical Simulation of the Transitional Separated Fluid Flows Around a Sphere. Japan Society of CFD/CFD Journal, 10 (3), 344-349.

36. Gushchin V.A., Kostomarov A. V., Matyushin P. V, Pavlyukova E.R. (2002)

37. Direct Numerical Simulation of the Transitional Separated Fluid Flows Around a Sphere and a Circular Cylinder. Jnl. of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics, 90/4-5, 341-358.

38. Gushchin V.A., Matyushin P.V. (2002) Mathematical Modeling of 3D Separated Fluid Flows around a Sphere. VI International Conference "High

39. Performance Computing in Asia Pacific Region" (HPC Asia 2002), December 16-19, 2002, Bangalore, India, Book of Abstracts, 514-517.

40. Jeong J., Hussain F. (1995) On the identification of a vortex. J. Fluid Mech.,285, 69-94.

41. Kim K.J., Durbin P.A. (1988) Observation of the frequencies in a sphere wakeand drag increase by acoustic excitation. Phys. Fluids., 31 (11), 3260-3265.

42. Kiya M., Ishikawa H., Sakamoto H. (2001) Near-wake instabilities and vortex structures of three-dimensional bluff bodies: a review. Jnl. of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics, 89/14-15, 1219-1232.

43. Kuwahara K., Shirayama S. (1987) Simulation of unsteady flow separation. ASME Forum on Unsteady Flow Separation, Cincinnaty, 159-164.

44. Lee S. (2000) A numerical study of the unsteady wake behind a sphere in a uniform flow at moderate Reynolds numbers. Computers and Fluids, 29, 639-667.

45. Lin C.L., Lee S.C. (1973) Transient State Analysis of Separated Flow around a Sphere. Сотр. and Fluids, 1, 235-250.

46. Magarvey R.H., Bishop R.L. (1961a) Transition ranges for three-dimensional wakes. Can. J. Phys., 39, 1418-1422.

47. Magarvey R.H., Bishop R.L. (19616) Wakes in Liquid-Liquid Systems. Physicsof Fluids, 4 (7), 800-805.

48. Magarvey R.H., MacLatchy C.S. (1965) Vortices in sphere wakes. Can. J.1. Phys., 43, 1649-1656.

49. Mittal R., Najjar F.M. (1999) Vortex dynamics in the sphere wake. AIAA Paper 99-3806.

50. Moller W. (1938) Experimented untersuchungen zur Hydromechanik der

51. Kugel. Phys. Zeitschrift, 39, 57-80.

52. Perry A. E., Lim T.T. (1978) Coherent structures in coflowing jets and wakes. J.1. Fluid Mech., 88, 451-463.

53. Perry A.E., Watmuff J.F. (1981) The Phase-Averaged Large-Scale Structuresin Three-Dimensional Turbulent Wakes. J. Fluid Mech., 103, 33-51.

54. Pruppacher H.R., Steinberger E.R. (1968) An experimental determination ofthe drag on a sphere at low Reynolds numbers. J. Appl. Phys., 39 (9), 41294132.

55. Rimon Y., Cheng S. I. (1969) Numerical Solution of a uniform flow over a sphere at intermediate Reynolds numbers. Phys. Fluids, 12 (5), 949-959.

56. Roos F.W., Willmarth W.W. (1971) Some experimental results on sphere and disk drag. AIAA J., 9 (2), 285-291.

57. Roshko A. (1954) On the development of turbulent wakes from vortex streets. N.A.C.A. Rep., No. 1191, 801-825.

58. Schmiedel S. (1928) Experimentelle Untersuchungen tiber die Fallbewegungvon Kugeln und Scheiben in reibenden Fltissigkeiten. Phys. Zeitschrift, 17, 593-610.

59. Schulte-Werning B. (1990) Numerische Simulation und topologische Analyseder abgelosten Stromung an einer Kugel. Dis. Techn. Univ. Munchen, DRL-FB 90-43.

60. Shirayama S., Kuwahara К (1987) Patterns of three-dimensional boundarylayer separation. AIAA-87-0461. 76. Shirayama S., Kuwahara К (1990a) Flow visualization in CFD. Internal J.

61. Tobak M., Peak D.J. (1982) Topology of three-dimensional separated flows.

62. Ann. Rev. Fluid Mech, 14, 61-85.

63. Tomboulides A.G. (1993) Direct and large-eddy simulation of wake flows: flow past a sphere. PhD Thesis, Princeton University, USA.

64. A.Torobin L.B., Gauvin W.H. (1959) Fundamental aspects of solids-gas flow. Part 2: The sphere wake in steady laminar fluids. Canadian. J. Chem. Engng., 37, 167-176.190

65. Vlajinac M, Covert E. E. (1972) Sting-free measurements of sphere drag inlaminar flow. J. Fluid Meek, 54, 385-392.

66. Wieselsberger C. (1922) Weitere Feststellungen uber die Gesetze des

67. Flussigkeits- und Luftwiderstandes. Phys. Zeitschrift, 23, 219-224.

68. Woo S.W. (1971) Simultaneous free and forced convection around submergedcylinders and spheres. PhD-Thesis, Mc Master University, Hamilton, Ontario.

69. Wu J.-S., Faeth G.M. (1993) Sphere Wakes in Still Surroundings at1.termediate Reynolds Numbers. AIAA Journal, 31 (8), 1448-1455.