Применение квазигидродинамических уравнений для математического моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Жериков, Андрей Валерьевич

• Жериков, Андрей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жериков, Андрей Валерьевич

Введение.

Глава 1 Методы численного моделирования задач гидродинамики.

1.1 Система уравнений Навье-Стокса.

1.2 Квазигидродинамическая система.

1.3 Квазимагнитогидродинамическая система.

1.4 Метод решения КМГД системы в декартовых координатах.

1.5 Метод решения КМГД системы в цилиндрических координатах.

Глава 2 Моделирование термокапиллярной конвекции полупроводникового рас плава.

2.1 Введение.

2.2 Течение расплава в квадратной каверне.

2.3 Конвекция в цилиндрической области.

Глава 3 КГД-система на неструктурированных треугольных сетках.

3.1 Построение сетки.

3.2 Аппроксимация уравнений.

3.3 Аппроксимация частных производных.

3.4 Аппроксимация граничных условий.

3.5 Аппроксимация уравнения Пуассона.

3.6 Вычислительный алгоритм.

Глава 4 Апробация алгоритма.

4.1 Течение в каверне с подвижной крышкой.

4.2 Тепловая конвекция в квадратной области.

4.3 Тепловая конвекция при низких числах Прандтля.

4.4 Обтекание цилиндра.

4.5 Течение за обратным уступом.

4.6 Исследование влияния шага по времени А1 и параметра т на устойчивость.

Глава 5 Течение в канале с уступом.

5.1 Введение.

5.2 Постановка задачи.

5.3 Результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение квазигидродинамических уравнений для математического моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости»

Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости является актуальной задачей вычислительной гидродинамики. Многочисленные технические приложения, связанные с необходимостью расчета гидродинамических течений, требуют постоянного совершенствования и оптимизации разработанных ранее методов численного расчета. На современном этапе развития численных алгоритмов моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости представляют трудности расчеты нестационарных течений, течений, в который колебательный режим возникает спонтанно при изменении внешних параметров, течений под воздействием внешних сил (например, электромагнитного поля) и течений в областях со сложной геометрией. При этом сложности решения таких задач сильно возрастают при переходе к трехмерным течениям.

Большинство имеющихся в настоящее время программ расчета вязких течений основаны на использовании системы уравнений Навье-Стокса [21, 22, 23]. Несмотря на большой опыт решения этих уравнений, их численная реализация сопряжена с определенными трудностями, связанными с необходимостью построения устойчивых численных алгоритмов и с проблемами дискретизации области расчета [24, 25].

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов расчета вязких течений является использование квазигидродинамических (КГД) уравнений, которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными диссипативными слагаемыми с малым параметром т в качестве коэффициента.

Успех решения задач гидродинамики также во многом зависит от качества используемых в расчетах сеток. Исследования гидродинамических течений в областях с криволинейной границей около тел сложной формы требуют применения специальных сеточных разбиений расчетной области. В последнее время большое распространение получили так называемые неструктурированные сетки, которые позволяют хорошо аппроксимировать границы области расчета и характерные особенности течений.

Цель работы состоит в создании численных алгоритмов расчета течений вязкой несжимаемой жидкости, основанных на квазигидродинамических уравнениях. Такие алгоритмы должны правильно моделировать как стационарные, так и нестационарные течения, должны легко обобщаться на неструктурированные треугольные сетки и легко распараллеливаться на несколько процессоров.

Конструирование вычислительного алгоритма подразумевает два этапа: первый - построение разностной схемы для математической модели, т.е. аппроксимация исходной системы дифференциальных уравнений системой разностных уравнений, и второй - построение эффективных методов для решения этих разностных уравнений.

Квазигидродинамическая система уравнений была введена в работе [26], а в работе [27] были предложены феноменологическая интерпретация и представление КГД системы в виде интегральных законов сохранения массы, импульса, момента импульса, полной энергии и энтропии для подвижного материального объема. Принципиальным и существенным отличием КГД подхода от теории Навье-Стокса явилось использование процедуры пространственно-временного осреднения для определения основных гидродинамических величин — плотности, скорости и температуры. Дополнительное сглаживание по времени явилось причиной возникновения в уравнениях дополнительных диссипативных слагаемых, которые формально отличают КГД систему от системы Навье-Стокса. В стационарном же случае эти системы отличаются друг от друга дивергентными членами второго порядка малости по числу Кнудсена. В работах [8, 26, 27] также было построено приближение Буссинеска для КГД системы.

Квазигидродинамическая система уравнений расширяет возможности классической модели Навье-Стокса в случае описания течений вязкой несжимаемой жидкости. В области применимости уравнений Навье-Стокса дополнительная диссипация, входящая в КГД уравнения, слабо влияет на решение, но обеспечивает устойчивость численных алгоритмов.

Стоит отметить также, что КГД система отличается от других обобщений уравнений Навье-Стокса, которые в разное время предлагались в работах [28, 29, 30].

Опираясь на предложенные КГД уравнения, в диссертации построены явные разностные схемы для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости. В отличие от традиционных схем, данные алгоритмы не требуют введения искусственной вязкости для обеспечения устойчивости счета: при моделировании течений с большими скоростями роль регуляризирующих добавок в этих алгоритмах играют дополнительные диссипативные члены, входящие в КГД уравнения и отсутствующие в традиционных уравнениях Насье-Стокса.

В данной работе предлагаются методы решения квазигидродинамических уравнений, описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости в двумерном случае, в областях простой и сложной формы с использованием прямоугольных и неструктурированных пространственных сеток.

В первой главе проводится обзор существующих методов решения системы Навье-Стокса и описаны трудности, возникающие при численном решении этих уравнений. Во второй части главы дано краткое изложение нового подхода к описанию задач гидродинамики на основе квазигидродинамических уравнений, а также численных методов их решения на прямоугольных сетках в декартовых и цилиндрических координатах.

В главе 2 КГД система применяется для моделирования термокапиллярной конвекции полупроводникового расплава. Такая задача возникает при получении кристаллов методом бестигельной зонной плавки в условиях невесомости, когда конвективное движение расплава определяется процессами термокапиллярной конвекции, или конвекцией Марангони.

В главе 3 строится аппроксимация КГД системы на неструктурированной треугольной сетке и описывается алгоритм решения получившихся разностных уравнений.

В главе 4 на основе построенного в главе 3 алгоритма проводятся численные расчеты ряда известных тестовых задач. Причем рассмотрены были как стационарные задачи, так и нестационарные. Полученные результаты сравниваются с данными численных расчетов рассматриваемых задач, основанных как на системе Навье-Стокса, так и на КГД системе, но при использовании прямоугольных сеток. Также в данной главе проведено численное исследование устойчивости предложенного алгоритма.

В пятой главе проводится моделирование прикладной задачи, а именно решается задача о течении в гидротехнических сооружениях горизонтальных отстойниках гидроузлов, которые представляют собой канал со сложным рельефом дна.

Как показывает практика расчетов, КГД уравнения представляются удачной моделью для численного анализа конвективных течений в широком диапазоне параметров. КГД систему можно эффективно использовать для расчета сложных стационарных и нестационарных течений.

Основные результаты диссертации докладывались:

- на V Международной Конференции по Математическому Моделированию, 30 сентября - 6 октября 2002 года, г. Дубна;

- на XIV Международной Конференции «Математика. Компьютер. Образование», 22 - 27 января 2007 года, г. Пущино;

- на XV Международной Конференции «Математика. Компьютер. Образование», 28 января - 2 февраля 2008 года, г. Дубна;

- на семинаре лаборатории математического моделирования в физике кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова, 25 февраля 2009 года;

- на заседании кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова, 13 мая 2009 года;

- на семинаре в Институте математического моделирования РАН, 1 октября 2009 года.

Работа поддержана грантами INTAS № 001-0617 "New ways of active control of flows in liquid systems with interfaces. Application to crystal growth, for zéro gravity or for terrestrial conditions", РФФИ № 01-01-00061 «Моделирование вязких течений на основе квази-газодинамических и квазигидродинамических уравнений», РФФИ № 05-07-90230 «Разработка программного обеспечения суперЭВМ для решения современных задач механики сплошной среды» и программы президиума РАН № 2.

Материалы, представляющие содержание диссертации, с достаточной полнотой опубликованы в [90-99].

В заключение автор считает приятным долгом выразить признательность своему научному руководителю Калачинской Ирине Станиславовне и научному консультанту Елизаровой Татьяне Геннадьевне за постоянную поддержку в работе, внимательный разбор и ценные замечания.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Жериков, Андрей Валерьевич

Заключение

Приведена оригинальная математическая модель для описания течений квазинейтральной сжимаемой электропроводной жидкости — КМГД-система. На ее основе построена упрощенная математическая модель - КМГД-система в безындукционном приближении Обербека - Буссинеска, пригодная для численного моделирования движений полупроводниковых расплавов в постоянном внешнем магнитном поле. Выписан алгоритм ее численного решения, представляющий собой явную по времени однородную конечно-разностную схему с искусственными регуляризаторами специального вида, которые обеспечивают высокую точность и устойчивость численного решения. Исследована сходимость разностного решения при сгущении пространственной сетки.

Выполнена серия численных расчетов термокапиллярных течений полупроводникового расплава в квадратной каверне при различных интенсивностях и направлениях магнитного поля. Проведено моделирование нестационарных течений в цилиндре при больших числах Марангони. Установлено, что магнитное поле заметно влияет на характеристики процесса, существенно замедляя конвективное движение жидкости и в случае малых чисел Марангони оттесняя его к свободной поверхности. При больших числах Марангони магнитное поле подавляет развитие неустойчивости течения. Под воздействием магнитного поля пограничный слой, образующийся вблизи свободной поверхности, становится более тонким. При горизонтальном направлении вектора Н0 интенсивность вихревого течения снижается меньше, чем в случае его вертикального направления. При этом течение становится многослойным.

Проведено сопоставление расчетных данных с аналогичными результатами, полученными с помощью классической МГД системы в безындукционном приближении. Показано, что предложенная математическая модель и метод ее численного интегрирования позволяют эффективно проводить расчеты течений электропроводной жидкости, обеспечивая высокую точностью даже на относительно грубых пространственных сетках.

Разработан новый численный алгоритм моделирования течений с использованием неструктурированных треугольных сеток с фиктивными узлами. Тестирование алгоритма было проведено на серии тестовых расчетов, а результаты сравнивались с результатами натурных экспериментов, результатами моделирования на основе системы Навье-Стокса и результатами моделирования КГД системы при использовании прямоугольных сеток.

Из результатов сравнения следует, что предложенный алгоритм решения системы квазигидродинамических уравнений на неструктурированных сетках позволяет находить решения, которые достаточно хорошо совпадают с соответствующими решениями системы на регулярных прямоугольных сетках и решениями системы Навье-Стокса. Таким образом, предложенная аппроксимация КГД системы может использоваться для численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости на нерегулярных треугольных сетках в областях сложной формы.

В работе также было проведено исследование точности при сгущении сетки и устойчивости предложенного алгоритма. Это исследование было выполнено для задачи о течении в каверне с подвижной крышкой. Показано, что для малых т имеет соотношение и оно не зависит ни от шага пространственной сетки, ни от числа Рейнольдса во всем рассмотренном диапазоне. Этот важный результат показывает, как надо выбирать шаг расчета по времени, обеспечивающий устойчивость расчета, и чем мы будем платить за увеличение точности схемы.

Кроме того показано, что с увеличением т устойчивость схемы сначала растет, но после достижения некоторого максимума т - резко падает. То есть, считать с большим параметром регуляризации нельзя по двум причинам — падает точность и пропадает устойчивость метода. Также в работе приведена эмпирическая формула зависимости максимального г от числа Рейнольдса и шага сетки в задаче о течении в каверне.

Построена математическая модель течения вязкой несжимаемой жидкости в канале сложной формы. Проведено численное моделирование возникающих течений при различных значениях числа Рейнольдса. При этом сравнение найденных скоростей с результатами эксперимента показало хорошую точность предложенного алгоритма. Данная задача имеет практическое значение при исследовании скорости и формы заиления гидротехнических отстойников.

Методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы для моделирования различных сложных стационарных и нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости. Также разработанные комплексы прикладных программ могут быть использованы для обучения студентов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жериков, Андрей Валерьевич, 2009 год

1. Земсков B.C., Раухман М.Р., Шалимов В.П. Гравитационная чувствительность расплавов при выращивании кристаллов методами Бриджмена и бестигельной зоной плавки в условиях микрогравитации. // Космические исследования. 2001. Т. 39, N 4. С. 375-384.

2. Dold P., Croll A., Benz K.W. Floating-zone growth of silicon in magnetic field I. Weak static axial fields. // Journal of Crystal Growth. 1998. V.183. P. 545-553.

3. Dold P., Croll A., Benz K.W. Floating-zone growth of silicon in magnetic field II. Strong static axial fields. // Journal of Crystal Growth. 1998. V.183. P. 554-563.

4. Kaiser Th., Benz K.W. Floating-zone growth of silicon in magnetic field III. Numerical solution. // Journal of Crystal Growth. 1998. V.183. P. 564-572.

5. Fedoseyev A.I., Kansa E.J., Marin C., Ostrogorsky A.G. Magnetic field suppression of semiconductor melt flow in crystal growth: comparison of three methods for numerical modeling, http://uahtitan.uah.etu/alex/.

6. Феонычев А.И., Долгих Г.А. Эффекты постоянных и меняющихся во времени ускорений при выращивании кристаллов методом направленной кристаллизации на борту космических аппаратов. // Космические исследования. 2001. Т. 39, N 4. С. 390-399.

7. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамическая модель течений электропроводной вязкой жидкости в электромагнитном поле. // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1997. С. 155-169.

8. Шеретов Ю.В. О точных решениях квазигидродинамических уравнений. // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1998. С. 213-241.

9. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2000.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2001.

11. Половин Р.В., Демуцкий В.П. Основы магнитной гидродинамики. М.: Энергоатомиздат, 1987.

12. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова А.В., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандтля. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1998. Т. 38, N 10. С. 1732-1742.

13. Елизарова Т. Г., Шеретов Ю. В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. N 2.

14. Гуров Д. Б., Елизарова Т. Г., Шеретов Ю. В. Численное моделирование течений жидкости в каверне на основе квазигидродинамической системы уравнений. Математическое моделирование. 1996. Т. 8. N 7.

15. Семенов М. В., Шеретов Ю. В. Численное моделирование течений жидкости в окрестности шара. В сб. Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун., 2005.

16. Елизарова Т. Г. Лекции Математические модели и численные методы в динамике жидкости и газа. Подходы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. Ч. 1, 2. М.: Физический факультет МГУ, 2005.

17. Елизарова Т. Г., Серегин В. В. Численное решение квазигазодинамических уравнений на треугольных сетках. Вестник Московского университета, серия 3. Физ. Астрономия, 2005, № 4.

18. Елизарова Т. Г., Калачинская И. С., Шеретов Ю.В. Численное моделирование течений электропроводной жидкости во внешнем магнитном поле. // Журнал радиотехника и электроника. № 50(2). С 245-251. 2005

19. Елизарова Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007.

20. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

21. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

22. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Москва, 1976, Т. 1 и 2.

23. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

24. Самарский А. А, Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1989.

25. Шеретов Ю.В. Об одной новой математической модели в гидродинамике // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1996. С. 124-134.

26. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1997. С. 127-155.

27. Климонтович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Москва: Наука, 1990.

28. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория открытых систем. Москва, 1995, Т.1.

29. Алексеев Б. В. Обобщенная больцмановская физическая кинетика. // Теплофизика высоких температур. 1997. Т. 35, № 1. С. 129-146.

30. Марченко М. П., Сенченков А. С., Фрязинов И. В. Математическое моделирование процесса роста кристаллов из раствора-расплава методом движущегося нагревателя // Математическое моделирование, 1992. Т. 4, № 5. С. 67-79.

31. Dold P., Benz K.W. Cryst. Res. Technol. 32(1). 1997. 51.

32. Никитин H. В., Никитин С. А., Полежаев В. И. Конвективные неустойчивости в гидродинамической модели роста кристаллов методом Чохральского. // Успехи механики. 2003. Т. 2. № 4. С. 63—105.

33. Марченко М. П., Сенченков А. С. Математическое моделирование процесса роста кристаллов из раствора-расплава методом движущегося нагревателя // Математическое моделирование, 1992. Т. 4, № 4. С. 35-43.

34. Любимова Т. П., Скуридин Р. В., Файзрахманова И. С. Влияние магнитного поля на гистерезисные переходы при выращивании кристаллов методом плавающей зоны // Письма в ЖТФ. Т. 33, № 17. С. 61-68. 2007

35. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Шеретов Ю.В., Широков И. А. Численное моделирование течений электропроводной жидкости во внешнем магнитном поле. // Ж. радиотехника и электроника, 2005, т. 50, N2, с. 245-251.

36. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980

37. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир. Т. 1. С 502. Т. 2. С. 552. 1991.

38. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука С 228. 1984

39. Gupta М.М., Kalita J.C. A new paradigm for solving Navier-Stokes equations: streamline-velocity formulation. // J. Comput. Phys., 207. P. 52-68. 2005

40. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.:ФизМатЛит. 1994

41. Patankar S.V. Numerical heat transfer and fluid flow. Hemisphere Publishing Corporation. 1981

42. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. 2002.

43. Гончаров А.Л., Фрязинов И.В. Разностные схемы на девятиточечном шаблоне «крест» для решения уравнений Навье-Стокса. // Ж. Вычисл. Матем. и мат. Физики. 28. С 867-878. 1988

44. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках. // Матеем. моделирование. 8(7). С. 81-108. 1996

45. Date A.W. Introduction to Computational Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 2005

46. Date A.W. Complete Pressure Correction Algorithm for Solution of Incompressible Navier-Stokes Equations on Nonstaggered Grid. // Numerical Heat Transfer B. N 29. P 441. 1996

47. Date A.W. Fluid Dynamic View of Pressure Checker Boarding Problem and Smoothing Pressure Correction on Meshed Collocated Variables. // Int. J. Heat Mass Transfer. N 46. P 4885-4898. 2003

48. Vasilyev O.V. High-order finite difference schemes on non-uniform meshes with good conservation properties. // J. Comput. Phys. N 157. P 746-761. 2000

49. Gresho P.M. Incompressible fluid dynamics: some fundamental formulation issues. // Annu. Rev. Flud Mech. N 23. P 413-453. 1991

50. Nagarajan S., Lele S.K., Ferziger J.H. A robust high-order compact method for large-eddy simulation. // J. Comput. Phys. N 191. P 392-419. 2003

51. Ковеня B.M., Яненко H.H. Методы расщепления в задачах газовой динамики. М.: Наука. 1981

52. Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988

53. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. // Physics of Fluids. N 8(12). P. 2182-2189. 1965

54. Chorin A J. Numerical solution of Navier-Stokes equations. // Math. Comput. N 22. P 745-762. 1968

55. Temam R. Une methode d'approximations de la solution des e'quations de Navier-Stokes. // Bull. Soc. Math. France. N 98. PI 15-152. 1968

56. Ют J., Moin P. Application of a Fractional-Step Method to Incompressible Navier-Stokes Equations. // J. Comput. Phys. N 59. P 308-323. 1985

57. Hirt C.W., Cook J.L. The calculation of Three-Dimensional Hows Around Structures and Over Rough Terrain. // J. Comput. Phys. N 10. P 324-340. 1972

58. Orszag S.A., Israeli M., Deville M.O. Boundary conditions for incompressible flows.//J. Sci. Comput. N l.P 75-111. 1986

59. Blasco J., Codina R. Error estimtes for an operator-splitting method for incompressible flows. // Applied Numerical Mathematics. N 51. P 177. 2004

60. Thom A. An investigation of fluid flow in two dimensions. // Aerospace Research Center UK (1194). 1928.

61. Полежаев В.И., Грязнов В.JI. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь функция тока. ДАН СССР. № 219 (2). 1974

62. Люмкис Е.Д. Об увеличении шага во времени при интегрировании уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь — функция тока. // Диф'ференц. Уравн. № 21(7). С 1205-1217. 1985

63. Вабищевич П.Н. неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока вихрь. //Дифференц. Уравн. № 20(7). С 1135-1144. 1984

64. Мажорова О.С., Попов Ю.П. Об одном алгоритме численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса. // Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва. № 37. С 24. 1979

65. Мажорова О.С., Попов Ю.П. О методах численного решения уравнений Навье-Стокса. // Ж. Вычисл Матем. и Мат. Физики. № 20(4). С 1005-1020. 1980

66. Булеев Н.И., Тимухин Г.И. О численном решении уравнений гидродинамики для плоского потока вязкой несжимаемой жидкости. // Изв. АН СССР. Сер. Техн. Наук. № 3(2). С 14-24. 1969

67. Rubin S.G., Khosla Р.К. Navier-Stokes calculation with a coupled strongly implicit method. // Computer & Fluids. N 9. P163-180. 1981

68. Ермаков C.B., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Математическое моделирование задач электрофоретического разделения биосмесей. Ч. II // Дифференц. Уравн. № 28(12). С 2129-2137. 1992

69. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов. ДАН СССР. № 124(3). 1959

70. Morinishi Y., Lund T.S., Vasilyev O.V., Moin P. Fully conservative higher order finite difference schemes for incompressible flow. // J. Comput. Phys. N 143. P 90-124. 1998

71. Arakawa A. Computational design for long-term numerical integration of the equation of fluid motion: Two dimensional incompressible flow. // J. Comput. Phys. N l.P 119-143. 1966

72. Рождественский Б.Л., Моисеенко Б.Д., Сидорова B.K. Условия численного моделирования предельных режимов течений вязкой жидкости. // Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, Москва. № 14. 1979

73. Елизарова Т.Г., Черверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений. // Доклады АН СССР. № 279 (1). С80-83. 1984

74. Елизарова Т.Г., Черверушкин Б.Н. Кинетический алгоритм для расчета газодинамических течений. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. Т. 25(10), С. 1526-1533. 1985

75. Черверушкин Б.Н. Кинетически схемы и квазигазодинамическая система уравнений. // М.: МАКС-ПРЕСС. 2004

76. Шеретов Ю.В. О единственнсти решений одной диссипативной системы уравнений гидродинамического типа. // Мат. Моделир. Т 6. № 10. С.35-45. 1994

77. Sparrow Е.М., Chunk W. PC solutions for heat transfer and fluid flow downstream of an abrupt, asymmetric enlargement in a channel. // Numerical Heat Transfer, 1987, 12, 19-40.

78. Hackmann L.P., Raithby G.D. Strong A.B. Numerical predictions of flows over backward-facing steps. // Int. J. for Numerical Methods in Fluids, 1984, 4(8), 711-724.

79. Elizarova T.G., Kalachinskaya I.S., Sheretov Yu.V. Separating Flow Behind a Back-Step. Part I. Quasi-Hydrodynamic Equations and Computation of a Laminar Flow. // http://arxiv.org/abs/math-ph/0407053v1

80. Elizarova T.G., Shilnikov E.V., Weber R., Hureau J. Separated flow behind a backward-facing step. Part II. Experimental and numerical investigation of a turbulent flow. // http://arxiv.org/abs/math-ph/0410023v1

81. Creuse E., Mortazavi J. Simulation of low Reynolds number flow control over a backward-facing step using pulsed inlet velocities. // Applied Mathematics Research eXpress, 4:133-152, 2004.

82. Armaly B.F., Durst F., Pereira J.C.F., Schonung В. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow. // J. of Fluid Mechanics, 1983, 127, 473-496.

83. Erturk E., Dursun B. Numerical solutions of 2-D steady incompressible flow in a driven skewed cavity. // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2007; Vol 87: pp 377-392

84. Erturk E., Corke Т. C. and Gokcol C. Numerical solutions of 2-D steady incompressible driven cavity flow at high Reynolds numbers. // Int. J. Numer. Meth. Fluids 2005; 48:747-774

85. Кудинов П. И. Численное моделирование гидродинамики теплообмена в задачах с конвективной неустойчивостью и неединственным решением. // Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Днепропетровск. 1999.

86. Ключникова А. В. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе квазигидродинамических уравнений. // Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Москва. 1998.

87. Boivin S., Саугё F., Herardc J.M. A finite volume method to solve the Navier-Stokes equations for incompressible flows on unstructured meshes. // Int. J. Therm. Sci., vol. 39, pp. 806-825. 2000.

88. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С., Шеретов Ю. В. Численное моделирование конвективных течений электропроводной жидкости в каверне. // «Прикладная математика и информатика №13», МАКС Пресс, Москва, 2003г. с. 63-81.

89. INTAS №001-0617 "New ways of active control of flows in liquid systems with interfaces. Application to crystal growth, for zéro gravity or for terrestrial conditions". 2003.

90. Жериков A. В. Математическое моделирование тепло-массообмена в процессе получения полупроводниковых материалов методом бестигельной зонной плавки. // «Сборник тезисов лучших дипломных работ 2004 года», МГУ ВМК, Москва, с. 19.

91. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Численное решение квазигидродинамических уравнений на треугольных сетках. // «Прикладная математика и информатика №24», МАКС Пресс, Москва, 2006г.

92. Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачинская И. С. Численное решение квазигидродинамических уравнений в области сложной формы. // «Дифференциальные уравнения», том 43, №9, с.1255-1263, 2007 г.