Математическое моделирование закрученных движений жидкости со свободной поверхностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Карабущенко, Леонид Леонидович

• Карабущенко, Леонид Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карабущенко, Леонид Леонидович

Введение.

Физические предпосылки.

Основное содержание работы.

Структура работы.

ГЛАВА 1. Постановка задачи о закрученном течении тяжелой вязкой жидкости в принудительно индуцированной вихревой воронке.

1.1. Уравнения в цилиндрической системе координат для осесимметричного течения жидкости в однородном поле тяжести.

1.2. Краевые условия.

1.3. Безразмерные уравнения и параметры подобия.

1.4. Анализ структуры течения в окрестности точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.

1.5. Приближенное решение для течения в области мениска вынужденного вихря.

1.6. Формулировка задачи в естественных координатах.

Естественные координаты.

Уравнения для осесимметричного течения жидкости в однородном поле тяжести в естественной системе координат.

Краевые условия.

ГЛАВА 2. Упрощенная модель течения вязкой жидкости в крупномасштабной вихревой воронке.,.:.

2.1. Уравнения и краевые условия в цилиндрической системе координат.

2.2. Структура течения в окрестности точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.

2.3. Формулировка упрощенной модели с использованием естественных координат.

Основные уравнения.

Краевые условия.

2.4. Локальное автомодельное решение, описывающее течение в окрестности точки торможения осесимметричного потока невязкой жидкости.

ГЛАВА 3. Вычислительные методики.

3.1. Постановки задачи расчета течения жидкости в принудительно индуцированной вихревой воронке с использованием естественных координат

Первая постановка (упрощенная модель течения).

Вторая постановка ("точная" модель - полные уравнения Навье-Стокса).

3.2. Расчетная сетка и разностные схемы.

3.3. Итерационная процедура.

ГЛАВА 4. Обоснование возможности применения упрощенной модели для расчета течения жидкости в принудительно индуцированной крупномасштабной вихревой воронке.

4.1. Выводы из результатов качественного анализа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование закрученных движений жидкости со свободной поверхностью»

Физические предпосылки

В диссертационной работе рассматриваются вихревые воронки, образующиеся, например, при вытекании слоя жидкости через донное отверстие. Теория таких движений в настоящее время развита слабо, хотя этим явлением интересовался еще Леонардо да Винчи, а затем Торричелли и Вентури. Опыт и теоретические соображения показывают, что возможны три разновидности таких стационарных воронок (три типа стационарных вращательных движений жидкости со свободной поверхностью в поле сил тяжести; см. рис.0.1)1.

Рис.0.1

Воронки первого типа (рис.0.1а) характеризуются наличием воздушного ядра бесконечной глубины. Такое вращательное движение в [2] названо "свободным вихрем". Во втором случае (согласно терминологии [2] это так называемый "вынужденный вихрь"', рис.0.16) свободная

1 При анализе литературных данных мы следуем, в основном, работе [1]. поверхность простирается вплоть до оси вращения, образуя "мениск". Такой случай можно наблюдать, например, при вращении сосуда с жидкостью. Наконец, в ряде случаев воздушное ядро на довольно значительной глубине все же замыкается, и течение представляет собой как бы совокупность свободного и вынужденного вихрей ("сложный вихрь " в терминологии [2]; рис.0.1в). Наблюдения показывают [3], что при некоторых условиях (как правило, при незначительной закрутке потока) центральная часть сложного вихря может обособляться от основного потока и практически не участвовать в общем движении жидкости.

Существующие теории вихревых воронок являются полуэмпирическими и отражают лишь отдельные стороны изучаемого движения. Наиболее просто может быть описан стационарный свободный вихрь. Основные черты этого явления в первом приближении могут быть рассмотрены в рамках уравнений движения невязкой несжимаемой жидкости (см., например, [4]), из которых следует сохранение вдоль линий тока течения циркуляции скорости Y=wr, где w - окружная компонента вектора скорости, а г - расстояние от оси вращения. Правда, сама величина Г при таком описании, также как и полный расход Q жидкости, вытекающей через отверстие, являются, вообще говоря, неизвестными константами. Практика показывает, что для каждой конкретной воронки подобного типа, образующейся при вытекании жидкости через донное отверстие, устанавливаются вполне определенные, неизвестные заранее значения параметров Г и Q. Поэтому подобные течения могут быть названы "самоиндуцированными вихревыми воронками".

Не содержащая эмпирических предположений теория самоиндуцированных воронок еще не создана. Однако значения констант Г и Q становятся известными в частном случае принудительной закрутки потока, когда на некотором расстоянии от отверстия устанавливаются специальные лопатки и дополнительно контролируется расход жидкости, проходящий через этот направляющий аппарат. Такие движения можно назвать "принудительно индуцированными вихревыми воронками".

Как уже отмечалось, при отсутствии принудительной закрутки значения циркуляции и расхода (или связь между этими величинами), при моделировании, должны задаваться из некоторых дополнительных соображений. Отметим в этой связи теоретическую схему [5] самоиндуцированных вихревых воронок, в которой в качестве главной гипотезы используется предположение о том, что частицы жидкости в вихревой воронке вовлекаются в винтовое движение, при котором rotv = kv, где v - вектор скорости, а к - некоторая эмпирическая постоянная. В [6] приводится пример расчета по этой схеме круглого циркуляционного отстойника непрерывного действия.

Отметим также, что в рамках модели невязкого газа нельзя описывать течения типа вынужденного вихря при отличной от нуля циркуляции на свободной поверхности, поскольку в этом случае закон сохранения циркуляции приводит к бесконечно большим окружным скоростям на оси симметрии. Существует ряд полуэмпирических схем описания воронкообразования в жидкости со свободной поверхностью (см., например, [3, 7]), которые тем или иным приближенным способом учитывают эффекты вязкой диссипации и тем самым снимают вопрос о бесконечно большой окружной скорости на оси вращения. Однако замкнутого (т.е. не использующего эмпирические соображения) теоретического описания воронки типа вынужденного вихря в настоящее время также не существует.

Сейчас имеется довольно много экспериментального материала по течениям в вихревых воронках (укажем обзор в [1], а также работу [8], в которой построена аппроксимационная зависимость для вращательной скорости в вихревой воронке). Согласно различным наблюдениям течение в вихревых воронках часто является неустойчивым (пульсирующим). Важно отметить, что устойчивость вихревой воронки в определенной степени связана с величиной закрутки потока. Опыты показывают, что неустойчивое течение жидкости наблюдается в основном при слабой закрутке потока. Чем сильнее вращение жидкости, тем оно устойчивее (за исключением явления "резонанса", которое может наблюдаться и при значительной закрутке потока [1]).

Подводя итог, можно согласиться с выводом, сделанным в [1], что ". существующие теоретические модели движения жидкости при наличии вихревой воронки обладают рядом недостатков и часто не соответствуют реальной картине течения или отдельным ее аспектам ".

Несмотря на отсутствие строгой теоретической модели явления, вихревые воронки широко используются в различных технических устройствах. Например, эффект вихревой воронки используется в некоторых типах форсунок для тонкого распыления различных жидкостей. Известны также использующие принцип вихревой воронки технические решения для создания устройства типа обратного клапана, преграждающего путь аварийному (обратному) току жидкости в трубопроводе. Устройства подобного типа содержат вихревую камеру, в которой при обратном токе жидкости возникает интенсивная вихревая воронка. Воздушное ядро воронки, занимая значительную часть проходного сечения вихревой камеры, значительно снижает пропускаемый ею объем жидкости. Аналогичный эффект - эффект возникновения вихревой воронки во впускных или выпускных трубопроводах гидродинамических устройств - может оказывать крайне негативное влияние на их функционирование. Например, засасывая воздух, воронка снижает к.п.д. гидротурбины и создает кавитацию, которая может в короткий срок разрушить эту турбину.

Интерес к расчету вихревых воронок типа вынужденного вихря в последнее время повысился в связи с проблемой создания жидкометаллических мишеней для управляемых протонным пучком источников нейтронов. Последние могут использоваться в ядерных реакторах нового поколения и в перспективных устройствах для трансмутации (преобразования) радиоактивных отходов ядерной энергетики (см., например, работу [9] и приводимые в ней ссылки). В этих устройствах протонный пучок, транспортируемый в ионопроводе, должен вводиться в движущееся вещество мишени через устойчивую свободную поверхность. Именно проблема синтеза гидродинамической конфигурации, обеспечивающей решение проблемы создания работоспособной жидкометаллической мишени, стимулировала результаты исследований, приводимых в данной работе.

Основное содержание работы

Настоящая работа посвящена созданию не использующей эмпирические предположения методики численного моделирования осесимметричного закрученного течения тяжелой несжимаемой вязкой жидкости в принудительно индуцированной стационарной вихревой воронке. Проблема, связанная с определением величин расхода и степени закрутки потока в самоиндуцированных воронках, не рассматривается. Разработанная методика применяется для расчета течения в экспериментальной модели проточной части жидкометаллической мишени для управляемого протонным пучком источника нейтронов.

Основным методологическим подходом, применяемым в работе, является использование специальных независимых переменных "функция тока - ортогональное дополнение" (vj;, ф), называемых в некоторых публикациях "естественными координатами". Преимущество использования этих переменных для решения рассматриваемого круга двумерных задач заключается, во-первых, в том, что на плоскости (ф, ф) свободная поверхность отображается в отрезок прямой линии \\j=const, а вся расчетная область обычно представляет собой прямоугольник (в случае изучения течения в односвязной области). Во-вторых, при использовании естественных координат удобным оказывается решать обратные задачи задачи конструирования), когда какое-либо свойство течения постулируется, а реализующее это свойство условия (например, параметры потока во входном сечении или форма стенок, ограничивающих течение) определяются в процессе решения задачи.

В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных решению разнообразных задач газо-гидродинамики с использованием естественных координат. Отметим, например, работы [10,11], в которых рассматривались двумерные дозвуковые течения идеального газа в каналах, в том числе и с закруткой потока. В [12,13] решались задачи профилированиия дозвуковой части сопла Лаваля как для идеального газа, так и для высокотемпературной среды, когда существенным становится перенос энергии излучением. В работе [14] естественные координаты применялись для совместного конструирования дозвуковой и сверхзвуковой частей короткого плоского сопла, обеспечивающего равномерный поток в выходном сечении. Задача внешнего обтекания -конструирование плоской решетки профилей в проточных частях турбомашин - с использованием координат (у, ср) решалась, например, в [15]. В серии работ [16-19] рассматриваемый подход был обобщен для случая расчета сверхзвуковых внутренних течений вязкого газа в плоских каналах с сильно меняющейся геометрией и тепловыделением. В рамках параболизованных (см., например, [20]) вдоль линий тока уравнений Навье-Стокса исследовались как прямые ([16,17]), так и обратные ([18,19]) задачи, в которых задавалось давление газа вдоль стенки канала, а форма этой стенки определялась в процессе расчета. Наконец, отметим наиболее близкую к настоящей диссертационной работе публикацию [21], в которой с использованием естественных координат в несжимаемой жидкости рассматривались движения типа принудительно индуцированных вихревых воронок. Однако жидкость в этой работе предполагалась невязкой, и расчеты ограничивались либо случаем свободного вихря, либо путем решения обратной задачи конструировалось течение в канале с центральным телом, на котором отсутствуют точки торможения потока.

В настоящей работе рассматривается наиболее общий случай течения жидкости, при котором еще могут быть использованы естественные переменные - стационарное закрученное течение тяжелой вязкой жидкости со свободной поверхностью и возможной точкой торможения на оси вращения, описываемое в рамках полных уравнений Навье-Стокса. Для повышения эффективности вычислительной методики при больших числах Рейнольдса потока предлагается упрощенная математическая модель, в уравнениях которой в тензоре вязких напряжений пренебрегается всеми компонентами, кроме окружных . Возможность применения этой модели обосновывается двумя способами:

- с помощью аналитических исследований асимптотической структуры решений, описывающих течение жидкости в окрестности пересечения свободной поверхности вынужденного вихря с осью вращения потока (т.е. там, где эффекты вязкости играют существенную роль), и

- сравнением численных решений о закрученных течениях жидкости в осесимметричном канале в полной и упрощенной постановках.

Структура работы

В ГЛАВЕ 1 работы формулируются уравнения и краевые условия, описывающие осесимметричное стационарное закрученное течение тяжелой вязкой жидкости в принудительно индуцированной вихревой воронке. Для течений типа вынужденного вихря проводится асимптотический анализ структуры потока в окрестности точки пересечения свободной поверхности с осью вращения и находится

2 Идеологически правомочность упрощенной модели обосновывается так же, как возможность использования параболизованных уравнений Навье-Стокса для расчета течений вязкого газа при больших числах Рейнольдса (см., например, [20]). приближенное решение для течения в области мениска воронки, которое затем сравнивается с известным решением Стокса, справедливым для течения жидкости в окрестности точки торможения на затупленном теле. В заключение рассматриваемая задача о течении вязкой жидкости в принудительно индуцируемой воронке формулируется с использованием естественных координат (у, ср) "функция тока - ортогональное дополнение".

В ГЛАВЕ 2 формулируются уравнения и краевые условия для упрощенной модели изучаемого течения как в исходной цилиндрической системе координат, так и при использовании естественных координат (ц/, ф). Затем изучается асимптотическая структура решения упрощенных уравнений в окрестности мениска вынужденного вихря. В конце главы находится автомодельное решение, справедливое при упрощенной постановке в окрестности точки торможения потока, находящейся на пересечении свободной поверхности и оси вращения (это решение в следующем разделе работы будет использовано для конструирования вычислительного алгоритма расчета течения в вынужденном вихре).

ГЛАВА 3 работы посвящена изложению вычислительного алгоритма расчета осесимметричного течения жидкости в принудительно индуцированной воронке с использованием естественных координат. Выделяются две возможных постановки задачи на ф) - плоскости. Первая постановка является естественным обобщением алгоритма, изложенного в работе [21]. Однако она применима только в случае использования упрощенной модели и не может быть обобщена на общий случай, когда в тензоре вязких напряжений учитываются все компоненты. Поэтому предлагается некоторая модификация этого подхода (так называемая вторая постановка), которая обобщается и на случай полных уравнений Навье-Стокса. Во второй половине ГЛАВЫ 3 формулируются разностные уравнения, аппроксимирующие поставленные задачи, и описывается итерационная процедура их решения.

12

В ГЛАВЕ 4 диссертационной работы формулируются выводы, которые можно сделать из аналитических исследований, проведенных в главах 1 и 2 настоящей работы, а также проводится сравнение результатов расчетов закрученного течения жидкости в осесимметричном канале с радиальной подачей газа, выполненных при использовании как "точной", так и упрощенной моделей. Изложенные здесь результаты позволяют утверждать, что при больших характерных значениях числа Рейнольдса упрощенная модель адекватно описывает рассматриваемые в работе течения жидкости.

Наконец в ГЛАВЕ 5 работы приводятся результаты расчетов различных типов принудительно индуцированных вихревых воронок, реализующихся в вертикальном осесимметричном канале, который является экспериментальной моделью проточной части перспективной жидкометаллической мишени для управляемого протонным пучком источника нейтронов, описанного в [9].

В ЗАКЛЮЧЕНИИ формулируются основные результаты работы.

Публикации по теме диссертации насчитывают 4 работы [26]-[29].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Карабущенко, Леонид Леонидович

Основные результаты, полученные в работе, сводятся к следующему.

1. С использованием специальных независимых переменных (у, ср) -"функция тока - ортогональное дополнение" впервые сформулирована задача расчета стационарных осесимметричных закрученных течений тяжелой вязкой жидкости (в том числе и со свободными поверхностями), описываемая в рамках полных уравнений Навье-Стокса. Преимущество этих переменных, иногда называемых "естественными координатами", заключается, во-первых, в том, что на плоскости (ц/, ф) свободная поверхность отображается в отрезок прямой линии v|j=const, а вся расчетная область обычно представляет собой прямоугольник (в случае изучения течения в односвязной области). Во-вторых, при использовании естественных координат удобным оказывается решать обратные задачи (задачи конструирования), когда какое-либо свойство течения постулируется, а реализующее это свойство условия (например параметры потока во входном сечении или форма стенок, ограничивающих течение) определяются в процессе решения задачи.

2. Предложена упрощенная модель осесимметричного течения жидкости в вихревой воронке, в уравнениях которой в тензоре вязких напряжений пренебрегается всеми компонентами, кроме окружных. Согласно этой модели при достаточно больших числах Рейнольдса потока течение жидкости на меридиональной плоскости (r,z) описывается уравнениями Эйлера, содержащими массовые центробежные и гравитационные силы. Первые зависят лишь от величины циркуляции вектора скорости, для которой может быть выписано известное эллиптическое уравнение второго порядка.

3. Проведены аналитические исследования структуры закрученного течения жидкости в окрестности пересечения свободной поверхности с осью вращения потока10 как в полной, так и в упрощенной постановках, и получены соответствующие приближенные решения. Показано, что в первом случае течение жидкости на меридиональной плоскости описывается системой уравнений Стокса, но со специальными условиями "скольжения" на свободной поверхности. Во втором случае конфигурация проекций линий тока на меридиональную плоскость течения подобна конфигурации линий тока незакрученного осесимметричного течения у точки торможения на затупленном теле, описываемого уравнениями Эйлера. Результаты этих исследований могут служить первым обоснованием возможности применения упрощенной модели для расчета течений жидкости в вихревых воронках при больших характерных числах Рейнольдса.

4. Разработаны и реализованы две вычислительные методики расчета осесимметричного течения жидкости в принудительно индуцированной воронке с использованием естественных координат. Первая методика, являющаяся естественным обобщением известного подхода, применявшегося ранее для расчета стационарных закрученных течений невязкой жидкости, может быть применена только при использовании упрощенной модели. Вторая методика может быть обобщена и на случай полных уравнений Навье-Стокса.

5. С использованием полных уравнений Навье-Стокса проведена серия расчетов закрученного течения в осесимметричном канале с радиальной подачей жидкости, в которых менялись значения характерного числа Рейнольдса потока и степень его закрутки. Результаты сравнений с аналогичными расчетами, выполненными при использовании

10 Т.е. там, где для рассматриваемого класса задач эффекты вязкости играют наиболее существенную роль

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карабущенко, Леонид Леонидович, 2001 год

1. Логвинович Г.В. Течения со свободной поверхностью. Киев: Наукова думка, 1985.

2. Гибсон А. Гидравлика и ее приложения. М., Л.: Энергоиздат, 1934.

3. Политковский В.И., Перельман Р.Г. Воронкообразование в жидкости с открытой поверхностью. М.,Л.: Госэнергоиздат, 1959.

4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.

5. Васильев О.Ф. Приложение теории винтового движения жидкости к задаче об истечении через отверстие с образованием воздушной воронки // Изв. АН СССР. Сер. отд-ние техн. наук. 1957. №3. С. 108.

6. Притвиц Н.А. Гидродинамический расчет круглого циркуляционного отстойника непрерывного действия // Изв. АН СССР. Сер. механика и машиностроение. 1959. №3. С.25.

7. Einstein Н.А., Li Н. Steady vortex flow in real fluid // Houille blanche. 1955. № 4. P.483.

8. Альтшуль А.Д., Марголин М.Ш. Обобщенная формула распределения окружных скоростей в вихревых воронках // Инж.-физ. журн. 1970. Т. 18. №4. С.731.

9. Belyakov-Bodin V.I., Koterov V.N. Theoretical investigation of a flowing heavy metal target for an accelerator-driven neutron source // Nucl. Instruments and Methods in Prus. Res. 1994. A350. P.17.

10. Осипов И.Л., Пащенко В.П., Шипилин A.B. Расчет течений невязкого газа в каналах с сильно меняющейся геометрией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. №4. С.964.

11. Пащенко В.П. Численный метод расчета внутренних дозвуковых течений идеального газа с закруткой // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т.25. №10. С.1573.

12. Осипов И.Л. Численный метод построения двумерных сопел // Изв. АН СССР. Сер. механ. жидкости и газа. 1979. №2. С. 179.

13. Кривцов В.М., Осипов И.Л. Численное решение задачи профилирования дозвуковой части сопла Лаваля для течения излучающего газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т.21. №5. С.1347.

14. Котеров В.Н., Осипов И.Л., Пащенко В.П. О профилировании плоского сверхзвукового сопла, обеспечивающего равномерный поток в выходном сечении // Ученые записки ЦАГИ. 1987. Т.18. №3. С.48.

15. Docolin A.Yu., Osipov I.L., Shipilin A.V. Computation of Transonic Gas Flow Past Plane Turbine Cascades // Modern Problems in Computational Aerohydrodynamics / Moscow: Mir Publishers. London: CRC Press Inc. Boca Ration. Ann Arbor. 1992. P. 19.

16. Каратаев С.Г. Численный метод расчета вязких течений в каналах. -Сообщения по прикладной математике. М.: АН СССР, Вычислительный центр РАН, 1989.

17. Каратаев С.Г., Котеров В.Н. Численный метод расчета сверхзвуковых течений вязкого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.30. №4. С.586.

18. Каратаев С.Г., Котеров В.Н. К решению обратной задачи для внутренних течений вязкого газа со сверхзвуковым ядром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.31. №5. С.790.

19. Каратаев С.Г., Котеров В.Н. Расчет прямой и обратной задачи для внутреннего сверхзвукового течения вязкого газа с объемным теплоподводом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.31. №9. С.1419.

20. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Методы расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

21. Котеров В.Н., Пащенко В.П. Расчет осесимметричных стационарных движений тяжелой жидкости со свободными поверхностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т.34. №2. С.290.

22. Кочин Н.Е.,Кибель И.А, Н.В.Розе. Теоретическая гидромеханика. Часть II. М.: Гос. изд. физико-математической литературы, 1963.

23. Belyakov-Bodin V.I., Koterov V.N., Krivtsov V.M. Design of a supersonic wind shutter device for an accelerator-driven reactor system // Nucl. Instruments and Methods in Prus. Res. 1998. A404. P. 166.

24. Лапин Ю.В., Стрелец M.X. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989.

25. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

26. Карабущенко JI.JL, Котеров В.Н. Расчет принудительно индуцированных вихревых воронок в жидкости со свободной поверхностью. // Журнал вычислительной и математической физики, 2001. Т.41, №2, С. 256-268.

27. Karabuschenko L.L. Calculation of stationary swirling funnel. // Abstracts of the seventh Russian-Japanese international symposium on computational fluid dynamics / Moscow State University. M., 2000, p. 101-102.

28. Карабущенко Л.Л. Расчет осесимметричных движений тяжёлой жидкости со свободной поверхностью при сильной закрутке потока. М.: Препринт ВЦ РАН, 1998. 20 с.