Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания разомкнутого контура тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Говорова, Анастасия Ивановна

• Говорова, Анастасия Ивановна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Говорова, Анастасия Ивановна

Оглавление

Введение

Глава 1. Общая постановка задачи отрывного нестационарного

обтекания разомкнутого контура

1.1. Модель плоского потенциального течения

идеальной несжимаемой жидкости

1.2. Моделирование вихревых следов

1.3. Постановка задачи

1.4. Определение перепада давления на контуре

1.5. Нелинейное интегро-дифференциальное соотношение в точках схода вихревых следов

1.6. Система нелинейных соотношений

для комплексной скорости

Глава 2. Построение алгоритма решения задачи на основе дискретного моделирования

2.1. Процедура дискретизации по времени

2.2. Моделирование контура и вихревых следов

системами дискретных вихрей

2.3. Система уравнений для определения интенсивностей дискретных вихрей

2.4. Решение задачи Коши для определения

координат свободных дискретных вихрей

2.5. Определение координат свободных дискретных вихрей, непосредственно сходящих с контура

2.6. Определение перепада давления при дискретном моделировании

2.7. Алгоритм численного решения задачи

Глава 3. Результаты численного эксперимента для задачи

отрывного обтекания пластинки

3.1. Выбор расчетных параметров

3.2. Результаты расчета координат свободных дискретных вихрей, непосредственно

сходящих с контура

3.3. Эволюция вихревых следов

3.4. Интенсивности дискретных вихрей

3.5. Скорости схода вихревых следов

3.6. Перепад давления на пластинке

3.7. Об устойчивости расчета

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания разомкнутого контура»

Введение

Актуальность темы исследования.

Диссертация посвящена решению некоторых вопросов моделирования вихревых следов в нелинейной теории крыла в плоском нестационарном потоке идеальной несжимаемой жидкости и разработке метода численного решения соответствующих начально-краевых задач.

В первой половине XX века была построена линейная теория крыла в нестационарном потоке. Основные результаты теории изложены в монографиях А.И. Некрасова «Теория крыла в нестационарном потоке» [61] и Л.И. Седова «Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики» [69].

Нелинейная теория крыла в нестационарном потоке начала создаваться во второй половине XX века. Её развитие было обусловлено необходимостью понимания физических процессов, происходящих при нестационарном обтекании тел, и построения соответствующих математических моделей, отражающих реальную картину течения.

Основной особенностью нестационарного обтекания тел является возникновение около них вихревых следов, которые представляют собой одну из границ течения жидкости. В плоском нестационарном потоке вихревые следы моделируют обычно линиями тангенциального разрыва, при переходе через которые касательные составляющие скорости жидкости терпят разрыв. В линейной теории форма вихревых следов предполагается заданной, что позволяет свести исходную задачу к линейной краевой задаче в области с заданными границами. В нелинейной теории вихревые следы эволюционируют с течением времени по некоторому закону, который заранее неизвестен и должен определяться в процессе решения задачи. В этом случае область течения становится неизвестной, а исходная задача превращается в нелинейную начально-краевую задачу.

Для решения нелинейной начально-краевой задачи была предложена про-

цедура дискретизации по времени, благодаря которой форма вихревых следов в каждый момент времени становится известной. При этом вихревые следы моделируются системами дискретных особенностей. Это позволяет исходную нелинейную задачу свести к решению линейных краевых задач и задач Коши для ряда последовательных моментов времени.

В 70-80-е годы XX века появилось огромное число публикаций, в которых исследовались теоретические и практические задачи нестационарного обтекания крыльев и других тел в рамках моделей плоского и пространственного течений. Важную роль в развитии нелинейной теории крыла сыграли работы Giesing J.P.[77], Djojodihardjo R.H. [7G], Sears W.R. [79]. В нашей стране наиболее весомый вклад в теорию внесли Никольский A.A. [62], [63], Бетяев С.К. [9], Молчанов В.Ф. [56]-[59], Горелов Д.Н.[20]-[25], [26], [28] - [30], [31] и др. Особо следует отметить исследования С.М Белоцерковского и его учеников, разработавших множество вычислительных технологий для решения нелинейных задач в теории крыла [2], [4] - [8], [11], [51], [52], [53].

Вихревые следы представляют собой неустойчивые вихревые структуры и разрушаются с течением времени. Однако многочисленные физические наблюдения и расчет показывают, что в некотором ограниченном промежутке времени структуры вихревых следов сохраняют свою устойчивость за обтекаемым телом. Это позволяет строить математические модели вихревых следов за телом. В этих моделях, описывающих динамику вихревых следов, целесообразно выделить три стадии: сход вихревых следов с тела, эволюцию следов с сохранением устойчивости их движения и их разрушение. Поиски эффективных способов моделирования различных стадий формирования вихревых следов и методов их расчета отражены в фундаментальном обзоре Т.Сарнкайя «Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция», 1989, [67], составленном на основе анализа свыше 500 публикаций.

В рамках модели идеальной жидкости рассматриваются только стадии схода и эволюции вихревых следов. Процесс эволюции систем свободных дискретных вихрей, моделирующих вихревые следы, в настоящее время довольно хорошо изучен, разработаны методы определения координат этих вихрей (см., например, вышеуказанные работы школы С.М. Белоцерковского). Это связано с возможностью линеаризации уравнения эволюции вихревого следа для после-

довательных дискретных моментов времени.

Стадия схода вихревых следов при их дискретном моделировании характеризуется проблемой определения положений непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей, которая не решена до сих пор. Обычно исследователи задают координаты этих вихрей априорно, исходя из каких-либо физических предположений. Кроме того, до сих пор не было исследовано влияние выбора координат сходящих дискретных вихрей на характеристики течения, хотя некоторыми авторами выдвигались предположения, что от начального вихреобра-зования зависит структура вихревых следов и гидродинамические реакции на контур. Такое предположение сделано в докладе Maull D.J. на симпозиуме в Карлсруе [78]. Автор в своей работе приводит результаты сравнительного анализа решений задачи отрывного обтекания пластинки, полученные четырьмя авторитетными исследователями. В частности, но приведенным в этом докладе данным коэффициент сопротивления пластинки, определенный по вычислительным технологиям С.М. Белоцерковского и Т. Сарикайя, отличается в 1,5 раза. Такое расхождение результатов расчета могло быть вызвано различными способами задания координат непосредственно сходящих дискретных вихрей.

Процесс схода вихревых следов исследовался также в рамках вопроса о форме вихревых следов в начальной стадии их образования и построения соответствующей асимптотики решения (см., например, [9], [62], [41]-[43], [72]). Но в общем случае движения контура применение асимптотических построений не отвечает на вопрос о нахождении положения непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей. Поэтому численные методы являются основными при исследовании течения в окрестности точек схода вихревых следов.

Несмотря на многочисленные труды в области нелинейной теории крыла, вопросы моделирования схода вихревых следов с разомкнутого контура при его нестационарном отрывном обтекании до сих пор остаются актуальными.

Целью диссертации является построение математической модели схода вихревых следов с разомкнутого контура на режимах отрывного нестационарного обтекания при моделировании контура и вихревых следов системами дискретных вихрей.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

- рассмотреть постановку нелинейной начально-краевой задачи нестационарного отрывного обтекания разомкнутого контура для непрерывной интегро-дифференциальной модели, включающей в себя необходимые уравнения и начально-краевые условия, в том числе условия схода вихревых следов;

- при моделировании контура и вихревых следов разными системами дискретных вихрей согласовать эти две модели путем строгого выполнения граничных условий в точках схода вихревых следов;

- для дискретной модели нестационарного течения построить и реализовать алгоритм численного решения задачи отрывного обтекания разомкнутого контура, включающий в себя определение положений непосредственно сходящих свободных дискретных вихрей;

- провести вычислительный эксперимент для задачи нестационарного отрывного обтекания пластинки по двум численным моделям, в одной из которых координаты сходящих дискретных вихрей определяются по разработанному алгоритму, а в другой задаются заранее;

- оценить влияние точности выполнения граничных условий в точках схода на расчет гидродинамических характеристик для задачи отрывного обтекания нластинки.

Методы исследования.

В работе использованы положения нелинейной теории крыла, теоретической гидродинамики, механики сплошных сред, теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши, а также теории аналитических функций и вычислительных методов. Достоверность полученных научных результатов подтверждается соответствием исходной нелинейной начально-краевой задачи основным законам движения идеальной жидкости, их соответствием признанным научным результатам других авторов [2], [75], [77], [8], [26], [13], применением при их расчете современных вычислительных методов.

Научная новизна.

1. Построена математическая модель схода вихревых следов с разомкнутого контура на режимах отрывного нестационарного обтекания при строгом выполнении условий схода вихревых следов, при этом контур и вихревые следы заменяются системами присоединенных и свободных дискретных вихрей.

2. Впервые разработан алгоритм расчета координат свободных дискрет-

ных вихрей, непосредственно сходящих с контура при его нестационарном отрывном обтекании, позволяющий более точно определять форму вихревого следа в окрестности точек схода.

3. Впервые проведен анализ влияния положения сходящих дискретных вихрей на решение исходной нелинейной начально-краевой задачи для случая отрывного обтекания пластинки.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Полученные результаты могут быть применены при моделировании нестационарного отрывного обтекания различных контуров.

Полученные результаты дополняют нелинейную теорию крыла в плоском нестационарном потоке и могут быть использованы при чтении соответствующих курсов лекций в ВУЗах.

Апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались на Международной школе-семинаре «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Орел, 2008), IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008), Всероссийской конференции, приуроченной к 90-летию академика Л.В. Овсянникова: «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009), Международной научной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения академика А.Н.Крылова: «Гидродинамика больших скоростей и кораблестроение» (Чебоксары, 2013), научных семинарах «Математическое моделирование и численные методы», проводимом лабораторией математического моделирования в механике ОФ ИМ СО РАН совместно с кафедрой математического моделирования ОмГУ им. Ф. М. Достоевского (Омск), научном семинаре в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2013), научном семинаре «Математика в приложениях» в Институте математики им. С.Л. Соболева (Новосибирск, 2014).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 научных работах ([16] - [18], [31] - [34]), 2 из которых - в рецензируемых изданиях из списка ВАК

([31], [17]).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (79 наименований). Объем диссертации - 92 страницы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель и задачи исследования, приводятся основные результаты диссертации и информация об их апробации, кратко излагается содержание работы.

В первой главе приводятся необходимые сведения из теоретической гидродинамики, механики сплошных сред и нелинейной теории крыла. Особое внимание уделяется вопросам математического моделирования вихревых следов. Ставится задача нестационарного отрывного обтекания разомкнутого контура плоским потоком идеальной несжимаемой жидкости для непрерывной математической модели, включающей в себя систему нелинейных интегро-дифференциальных соотношений для комплексной скорости и координат точек вихревых следов. Согласно [29], выводятся формулы для определения перепада давления на контуре при его отрывном обтекании из интеграла Коши-Лагранжа. Из граничного условия равенства нулю перепада давления в точках схода вихревых следов формируется нелинейное дифференциальное соотношение [29], выполняемое в этих точках и являющееся ключевым в определении координат непосредственно сходящих с контура свободных дискретных вихрей для любого момента времени.

Во второй главе для численного решения задачи осуществляется переход от непрерывной модели отрывного нестационарного обтекания разомкнутого контура к дискретной, в которой контур и вихревые следы моделируются системами конечного числа присоединенных и свободных дискретных вихрей соответственно. Строится алгоритм численного решения задачи, в котором координаты непосредственно сходящих с контура свободных дискретных вихрей определяются при строгом выполнении условий схода вихревых следов.

В третьей главе приводятся результаты вычислительного эксперимента для задачи отрывного нестационарного обтекания иластинки. Задача решается для двух численных моделей, реализованных на языке программирования С++. Первая из них соответствует построенному во 2 главе алгоритму, в котором координаты непосредственно сходящих дискретных вихрей определяются в процессе решения задачи. Во второй численной модели эти координаты на каждом шаге но времени задаются на некотором фиксированном расстоянии

от кромок нластинки по касательной к ней в точках схода вихревых следов. Проводится сравнительный анализ результатов расчета по этим двум численным моделям.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Автор выражает сердечную благодарность научному руководителю д.т.н., профессору, Дмитрию Николаевичу Горелову за научные беседы, ценнейшие советы, вдохновение, доверие и поддержку при подготовке данной работы.

Глава 1

Общая постановка задачи отрывного нестационарного обтекания разомкнутого контура

В данной главе приводятся необходимые для дальнейшего изложения сведения из механики сплошных сред и нелинейной теории крыла, включающие вопросы моделирования вихревых следов. Ставится задача отрывного нестационарного обтекания разомкнутого криволинейного контура, начавшего свое движение из состояния покоя. Подробно рассматриваются условия в точках схода вихревых следов. Согласно [29], выводятся формулы для определения перепада давления на контуре при его отрывном обтекании из интеграла Коши-Лагранжа. В точках схода вихревых следов из требований выполнения граничных условий на контуре и вихревых следах (согласно [29]) выводится нелинейное интегро-дифференциальное соотношение, необходимое для численного решения задачи.

1.1. Модель плоского потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости

Теоретические исследования в диссертации проводятся в рамках нелинейной теории крыла в плоском нестационарном потоке. Эта теория базируется на

модели нестационарного потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости, которая является частью более общей модели сплошной среды.

Модель сплошной среды

Модель сплошной среды предполагает непрерывное распределение частиц среды в некотором объеме пространства. В каждой точке объема, занятого средой, определены скорость, плотность, температура и другие физические величины.

Движение частиц сплошной среды описывается в эйлеровых и лагранже-вых системах координат. Способ Лагранжа состоит в выделении частиц среды и прослеживания истории движения изменения этих частиц с течением времени. Способ Эйлера описания движения среды состоит в выделении точки пространства, занятого средой, и прослеживания изменения физических характеристик различных частиц среды, проходящих с течением времени через эту фиксированную точку пространства.

Пусть х(£),у(Ь),х(1) - эйлеровы координаты некоторой частицы сплошной среды в момент времени £, а £ъ£2,£з - лагранжевы координаты той же частицы жидкости в начальный момент времени ¿о • Тогда связь между эйлеровыми и лагранжевыми координатами частицы среды определяется уравнением её движения

= у = * = О, (1.1)

здесь £ =

Точку сплошной среды, для которой лагранжевы координаты остаются постоянными во все время движения, называют индивидуальной частицей.

Производные по времени

В теории крыла рассматриваются три вида производных по времени:

1. д/дЬ - производная но времени в фиксированной геометрической точке пространства (ж,у, г);

2. (I/сИ - производная по времени в индивидуальной частице с фиксированными лагранжевыми координатами £ь£2>£з;

3. б/бЬ - производная но времени в геометрической точке, движущейся по закону х = хе(Ь),у = уе(Ь),г = ге(Ь).

По определению,

я А я

(1.2)

д__д_ д1~д1

ль дг

бг дг

Г=Ге(<)

Оператор д/дг называется локальной производной, а оператор ¿/(И -индивидуальной производной по времени г.

Рассмотрим скалярную функцию /(г, г), полагая координаты г = г(£,£) или г = ге(£). В соответствии с (1.2)

(И дг дх М ду (И дг дЛ, дг 1 ' <И К ' '

^1 = д1.д15х д15у д151 = д1 6т

бг дг дхбг дудг дгбг дг 1 бг' 1 ' }

Здесь V - оператор градиента скалярной функции по переменным Эйлера. Скорость и ускорение жидкости

Введение лагранжевых координат позволяет выделить отдельную частицу среды из общего континуума. Благодаря этому стало возможным записать уравнение движения этой частицы в декартовой системе координат в виде (1.1) или г = г(£, г), где г - радиус-вектор рассматриваемой частицы жидкости. По определению, вектор скорости V этой частицы связан с г соотношением

= (1.5)

Здесь оператор ¿¡¿г - индивидуальная производная по времени г, определенная из (1.2).

Компоненты вектора скорости (1.5) есть

(Их <1у (1г { V

щ=м' у»=м' (1'6)

С учетом (1.5) формулы (1.3), (1.4) можно записать в виде

(у. V) =17х— —. (1.10)

Формулы (1.7), (1.8) устанавливают связь между производными но времени (1.2) в разных точках пространства, занятого сплошной средой.

Применим формулу (1.7) для вычисления индивидуальной производной по времени от скорости частиц среды V. Тогда имеем

Здесь оператор

д_ д_ д_ дх у ду z дг'

Формула (1.9) определяет вектор ускорения частиц через вектор скорости V.

Модель плоского нестационарного потока идеальной несжимаемой жидкости

В дальнейшем будем считать, что жидкость идеальна и несжимаема (условие несжимаемости среды (1р/сИ = 0, где р - плотность жидкости), течение жидкости нестационарное и плоское.

Нестационарность течения характеризуется переменностью во времени полей скорости и давления.

Модель плоского течения теоретически соответствует обтеканию крыла бесконечного размаха, имеющего одинаковые характеристики в каждом поперечном сечении. Такая модель применяется на основе гипотезы плоских сечений, согласно которой течение жидкости около каждого крылового профиля в плоскости, параллельной вектору скорости набегающего потока, не зависит от течения жидкости в других соответствующих плоскостях.

Вихревое и потенциальное движение жидкости

Характеристикой вращательного движения частиц жидкости является вектор вихря

Ш = ГОЬ V = ЫХ1 + ШуЗ + ОЛгк, (1-11)

где - орты декартовой системы координат. По определению

ш = _ ^Е ш — _ ш - _ (1 12)

х ду дг ' у дх дх' г дх ду

Движение части жидкости, в которой вектор вихря из ^ 0, называется вихревым, а в которой вектор вихря из — 0 - потенциальным.

В дальнейшем будем рассматривать потенциальное течение. Для такого течения можно ввести скалярную функцию <р(х, у, t), называемую потенциалом скорости, которая полностью определяет вектор скорости v соотношением

Заметим, что модель потенциального течения допускает присутствие в потоке вихревых образований.

Уравнение неразрывности

Движение частиц жидкости в рамках рассматриваемой модели подчиняется законам сохранения массы и импульса. Дифференциальная форма закона сохранения массы для непрерывного движения среды в случае несжимаемой жидкости имеет вид уравнения неразрывности

Уравнение Эйлера

Дифференциальная форма закона сохранения импульса для идеальной жидкости записывается в виде уравнения Эйлера

Здесь р - гидродинамическое давление, Г - вектор плотности массовых сил, действующих на частицы жидкости.

Интеграл Коши-Лагранжа

При дополнительном предположении о баротроиности жидкости и консервативности массовых сил из уравнения Эйлера (1.14) выводится интеграл Коши-Лагранжа, который в явном виде определяет гидродинамическое давление через скорость жидкости в каждой точке среды

V =

div v = 0.

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Здесь V2 = у лг , Т - некоторая скалярная функция, через которую может быть представлен вектор плотности массовых сил Г = —УТ в силу их консервативности; р/р = V - вид функции давления V для несжимаемой жидкости, введение этой функции допускается условием баротронности; С(Ь) - произвольная функция времени £, общая для части пространства, занятого рассматриваемой жидкостью.

Интеграл (1.15) содержит локальную производную но времени дср/дЬ, которая вычисляется в фиксированной точке пространства. В соответствие с (1.7) интеграл Коши-Лагранжа (1.15) в точке, движущейся вместе с жидкостью, принимает вид

Также запишем интеграл Коши-Лагранжа в точке, перемещающейся со скоростью \е. В соответствии с (1.8) формула (1.15) переходит в

Формула (1.17) в данной работе применяется для расчета перепада давления в точках движущегося контура.

Граничные условия

В качестве границ области течения обычно рассматриваются следующие: поверхность твердого тела, граница раздела двух сред и бесконечно удаленная точка.

Пусть 5 - поверхность тела, и - скорость движения точек тела, п -внешняя нормаль к Б, V - скорость жидкости.

Граничные условия на поверхности твердого тела, обтекаемого потоком идеальной жидкости, основаны на двух физических условиях: поверхность тела непроницаема для жидкости и жидкость может свободно скользить но поверхности тела вследствие отсутствия сил вязкого трения. В соответствии с этим граничное условие на поверхности твердого тела сводится к условию непротекания жидкости через поверхность тела

V • п = и • п, (ж, у) е 5.

(1.18)

Теперь пусть £ - граница раздела двух жидких сред. Пусть в областях .01,.02, разделенных поверхностью £, находятся две разные (в общем случае) несмешиваемые идеальные жидкости с плотностями Р1,Р2, движущимися со скоростями VI,\2- Обозначим через п внешнюю (к области Их) нормаль к поверхности £ в рассматриваемой точке (х,у) € £, Р\,Р2 ~ предельные значения давления в областях при подходе к поверхности £.

На границе раздела £ двух жидкостей должны выполняться кинематическое и динамическое условия. Кинематическое условие состоит в том, что частицы жидкости, примыкающие к границе раздела, должны перемещаться вместе с границей. Это условие сводится к непрерывности нормальных составляющих скоростей рассматриваемых жидкостей при переходе через границу раздела:

(у1-у2)-п = 0, (я,у)€Е. (1.19)

При этом касательные составляющие в общем случае терпят разрыв, поскольку обе среды могут свободно перемещаться вдоль границы раздела.

Динамическое условие состоит в условии динамического равновесия сред на границе раздела. Без учета сил поверхностного натяжения динамическое условие приводит к равенству предельных значений гидродинамического давления при подходе к границе раздела:

Р1=Р2, (х,у)еЕ. (1.20)

В бесконечно удаленной точке должно выполняться условие затухания возмущенных скоростей жидкости

ШпУ^у«,, г — |г|. (1.21)

1—>00

Здесь v00 - скорость потока в бесконечно удаленной точке.

Начальные условия

При исследовании нестационарных движений жидкости в качестве начальных условий обычно выбирается состояние движущейся среды и границ области течения в некоторый заданный (начальный) момент времени.

Циркуляция скорости

Важной характеристикой движения жидкости является циркуляция скорости Г по контуру Ь, которая, но определению, выражается следующим соотношением

= J vdr. (1.22)

jwdtr = j^-dv. (1.23)

L

Величина и знак циркуляции скорости зависят от распределения касательной составляющей скорости вдоль контура L и от направления его обхода. В случае замкнутого контура положительному направлению обхода соответствует движение против часовой стрелки.

Для циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру, состоящему из одних и тех же частиц жидкости, верна следующая теорема: индивидуальная производная по времени по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру, то есть

d f , f dv

dt

L L

Теорема Кельвина

Для циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру имеет место теорема Кельвина: если жидкость идеальна и баротропна, а массовые силы потенциальны, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру Со остается постоянной во всё время движения этого контура, то есть

Г = £ v • dr = const. (1.24)

Со

Комплексная скорость

В плоском потенциальном течении уравнение неразрывности (1.13) и условие потенциальности течения rot v = 0 для компонент вектора скорости v = {vx(x,y,t),vy(x,y,t)} записываются в виде

(1-25)

= 0. (1.26)

dvx _ dvy ду дх

Таким образом, для определения двух составляющих вектора скорости достаточно рассматривать уравнения (1.25), (1.26), оставляя уравнение Эйлера (1.14) для определения гидродинамического давления р(х, у, t).

Для плоского потенциального течения можно перейти от плоскости декартовых координат х, у к плоскости комплексного переменного z = х + гу. Введем комплексную функцию, называемую комплексной скоростью:

v(z, t) = vx(x, у, t) - ivy{x, у, i), (1.27)

в которой время t играет роль параметра. Из (1.25), (1.26) следует, что vx,vy являются гармоническими функциями. Соотношения (1.25), (1.26) можно рассматривать как условия Коши-Римана аналитичности функции комплексного переменного (1.27).

Точечный вихрь

В теории крыла широко применяется моделирование вихревых течений идеальной жидкости с помощью бесконечной прямолинейной вихревой нити с постоянной интенсивностью Г (рис. 1.1). В декартовой системе координат течение жидкости вокруг такой вихревой нити будет одинаковым во всех плоскостях z = const. В каждой такой плоскости частицы жидкости движутся по окружностям вокруг вихревой нити. Точка пересечения вихревой нити и плоскости z = const есть точечный вихрь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Говорова, Анастасия Ивановна, 2015 год

Список литературы

[1] Алексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов B.JI. Введение в теорию концентрированных вихрей. - Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2003. - 504 с.

[2] Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., Ништ М.И. Нелинейная теория крыла и её приложения. - Алматы: Гылым, 1997. - 448 с.

[3] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков РМ. Численные методы. -М.-СПб.: Лаборатория базовых знаний, 2000. - 640 с.

[4] Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. - М.: Наука, 1984. - 519 с.

[5] Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. - М.: Наука, 1985. - 256 с.

[6] Белоцерковский С.М. Основные идеи методов дискретных вихрей и дискретных особенностей // Вопросы киберенетики. - 1986. - Вып. 124: Численный эксперимент в прикладной аэрогидродинамике. - С. 3-23.

[7] Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания. - М.: Наука, 1988.- 231 с.

[8] Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. - М.: Наука, 1985. - 239 с.

[9] Бетяев С.К. Эволюция вихревых пелен // Динамика сплошной среды со свободными поверхностями: сб. науч. трудов, Чебоксары. — 1980. -С. 27 - 38.

[10] Биркгоф Г., Сарантанелло Э. Струи, следы, каверны. - М.: Мир, 1964. - 228 с.

[11] Буслов В.А., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. - М.: Наука, 1985. - 256 с.

[12] Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973. - 792 с.

[13] Ван-Дайк М. Альбом течений оюидкости и газа. - М.: Мир, 1986. -184 с.

[14] Валландер C.B. Лекции по гидроаэромеханике. - Л.: Из-во ЛГУ, 1978. -296 с.

[15] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Физматгиз, 1963. - 641 с.

[16] Говорова А.И. Выбор начального положения свободных дискретных вихрей при отрывном нестационарном обтекании пластинки // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Выпуск № 6. - Орел: Издательство ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», Полиграфическая фирма «Картуш». - 2008. - С. 26-31.

[17] Говорова А.И. Численное исследование отрывного нестационарного обтекания пластинки // Вестник Омского университета. - 2013. — № 2. -С. 10 - 15.

[18] Говорова А.И. Моделирование начальной стадии отрывного обтекания пластинки //IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: тезисы докладов. Кемерово. - 2008. - С. 40 - 41.

[19] Голубев В.В. Исследования по теории маш\}щего крыла // Труды по аэродинамике - М.-Л.:Гостехиздат. - 1957. - С. 291 - 348.

[20] Горелов Д.Н. Критерии отрыва нестационарного потока идеальной жидкости с гладкого контура // ГШТФ. - 2000. - Т.1, Ш. - С. 74 - 81

[21] Горелов Д.Н. Расчет давления на контур на режимах нестационарного отрывного обтекания // ПМТФ. - 2008. - Т.49, №3. - С. 109 - 113.

[22] Горелов Д.Н. Локальная аппроксимация вихревого слоя системой дискретных вихрей // ПМТФ. - 1980. - №5. - С. 76 - 82.

[23] Горелов Д.Н. К постановке нелинейной начально-краевой задачи нестационарного отрывного обтекания профиля // ПМТФ. - 2007. -Т.48, т. - С. 48 - 56.

[24] Горелов Д.Н. Аналогия между машущим крылом и ветроколесом с вертикальной осью вращения // ПМТФ. - 2009. - Т.50, №2. - С. 152 - 155.

[25] Горелов Д.Н. О нелинейной теории крыла в плоском нестационарном потоке // ПМТФ. - 2011. - Т.52, №5. - С. 94 - 103.

[26] Горелов Д.Н. Теория крыла в нестационарном потоке. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1975. - 152 с.

[27] Горелов Д.Н. Теоретическая гидродинамика. Краткий курс. -Омск: Изд-во ОмГУ, 2000. - 126 с.

[28] Горелов Д.Н. Методы решения плоских краевых задач в теории крыла. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 215 с.

[29] Горелов Д.Н. Нелинейная теория крыла в плоском нестационарном потоке. - Омский филиал института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. - Омск: Полиграфический центр КАН, 2013. - 142 с.

[30] Горелов Д.Н. Аэродинамика ветроколес с вертикальной осью вращения. - Омск: Полиграфический центр КАН, 2012. - 67 с.

[31] Горелов Д.Н., Говорова А.И. Моделирование начальной стадии отрывного обтекания разомкнутого контура методом дискретных вихрей // Вычислительные технологии. - 2010. - Т. 15, №5. - С. 24 - 33.

[32] Горелов Д.Н., Говорова А.И. Моделирование схода вихревых следов с контура в нестационарном потоке // Гидродинамика больших скоростей и кораблестроение: сборник научных трудов Международной научной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения академика А.Н.Крылова. Чебоксары. - 2013. - С. 158 - 161.

[33] Горелов Д.Н., Говорова А.И. Моделирование схода вихревых следов с контура в нестационарном потоке // Гидродинамика больших скоростей и кораблестроение: сборник тезисов Международной научной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения академика А.Н.Крылова. Чебоксары. - 2013. - С. 18.

[34] Горелов Д.Н., Говорова А.И. Моделирование начальной стадии отрывного обтекания разомкнутого контура методом дискретных вихрей / / Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение: тезисы докладов Всероссийской конференции, приуроченной к 90-летию академика Л.В. Овсянникова. Новосибирск. - 2009. - С. 54.

[35] Горелов Д.Н., Куляев Р.Л. Нелинейная задача о нестационарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1971. - №6. - С. 38 - 48.

[36] Горелов Д.Н., Смолин Ю.С. Применение системы интегральных уравнений к решению плоских задач теории крыла // Вычислительные технологии: ИВТ СО РАН. - Новосибирск. - 1999. - Т.4, №5. - С. 24 - 29.

[37] Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Расчетная модель периодического отрывного обтекания пластины // Проблемы современной механики. - ч.1. — 1983. - С. 83 - 89.

[38] Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течениия. - М.: Наука, 1979. - 368 с.

[39] Жуковский Н.Е. О присоединенных вихрях (1906). - Избр. соч. - Т.2. -М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

[40] Жуковский Н.Е. Вихревая теория гребного винта. - М.-Л.: Гоетехиз-дат, 1950. - 244 с.

[41] Зобнин А.И. Исследование начальной стадии отрывного обтекания кругового цилиндра // ПМТФ. - 1983. - №5. - С. 42 - 46.

[42] Зобнин А.И. Моделирование начальной стадии развития вихревого следа за телесным профилем // Динамика сплошной среды: сб. науч. трудов, Институт гидродинамики СО АН СССР. - 1983. - Вып. 60. - С. 51 -59.

[43] Зобнин А.И. Исследование структуры вихревого за профилем с угловой кромкой в начальной стадии отрывного обтекания // Динамика иод-водного крыла: сб. науч. трудов, препринт ВЦ СО АН СССР. - 1986. -С. 71 - 84.

[44] Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. - пер. с англ. под редакцией Икрамова Х.Д. - М: Мир, 1998. -575 с.

[45] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. -Ч. 1,2. - М.: Физматгиз, 1963. - 584 е., 728 с.

[46] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1984. - 720 с.

[47] Кукуджанов В.Н. Численные методы в механике сплошных сред. - М.: «МАТИ» - РГТУ, 2006. - 231 с.

[48] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - СПб.: Из-во «Лань», 2002. - 749 с.

[49] Ламб Г. Гидродинамика. - М.: Гостехиздат, 1947. - 930 с.

[50] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. - 4-е изд. - М.: Наука, 1988. - 736 с.

[51] Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // ППМ. - 1975. - Т.39, т. - С. 742 - 746.

[52] Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.: Янус-К, 1995. - 521 с.

[53] Лифанов И.К., Довгий С.А. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложения - Киев: Наукова думка, 2002. - 343 с.

[54] Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. - Т. 1,2. - М.: Наука, 1968. - 491 е., 628 с.

[55] Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. - М.: Мир, 1964. -660 с.

[56] Молчанов В.Ф. О реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла // Ученые записки ЦАГИ. - 1974. - Т.5, №2. - С. 1 - 9.

[57] Молчанов В.Ф. Некоторые вопросы расчета течений с тангенциальными разрывами // Ученые записки ЦАГИ. - 1975. - Т.6, №4. - С. 1-11.

[58] Молчанов В.Ф. Метод выделения главной части нелинейных характеристик прямоугольного крыла; обтекаемого идеальной жидкостью // Ученые записки ЦАГИ. - 1980. - Т. 11, №1. - С. 12 - 17.

[59] Молчанов В.Ф. О возможных механизмах распространения возмущений вдоль вихревых цепочек Кармана // Ученые записки ЦАГИ. - 2011. - Т.42, №5. - С. 41 - 58.

[60] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 513 с.

[61] Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке. - М,- Л.: АН СССР, 1947. - 260 с.

[62] Никольский A.A. О "второй"форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков) // Докл. АН СССР. - 1957. - Т. 116, №3. - С. 365 - 369.

[63] Никольский A.A. Теоретические исследования по механике жидкости и газа. - Труды ЦАГИ, вып. 2122. - М.: ЦАГИ, 1981. - 286 с.

[64] Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред. - Ч. 1,2. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1977. - 70 с.

[65 [66

[67

[68

[69

[70

[71

[72

[73 [74

[75

Прандтль Л. Гидроаэромеханика. - Ижевск: НИЦ РХД, 2000. - 576 с.

Сарен В.Э. О сходимости метода дискретных вихрей // Сибирский математический журнал. - 1978. - Т. 19, №2. - С. 385 - 395.

Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) // Современное машиностроение. - Серия А. - 1989. - №10. -С. 1 - 60.

Седов Л.И. Механика сплошной среды. - Т. 1,2. - СПб.: Из-во «Лань», 2004. - 560 с.

Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. - М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 387 с.

Седов Л.И. и др. Механика в СССР за 50 лет в четырех томах. Механика жидкости и газа. - Т. 2. - М.: Наука, 1970. - 879 с.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. - М.: Физматлит, 2010. - 334 с.

Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений. - М.: Наука, 1987. - 256 с.

Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. - М.: Научный мир, 2000. - 376 с.

Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. — Т. 1,2. - М.: Мир, 1991. - 504 с.

Bratt J.В. Flow patterns in the wake of an oscillating aerofoil // Aeronaut. Res. Concil Reports and Mem. - 1953. - No.2773. - pp. 1 - 28.

Djojodiharjo R.H., Widnall S.E. A numerical method for the calculation of nonlinear unsteady lifting potential flow problems // AIAA Journal. -1969. - vol. 7, №10. - pp. 2001 - 2009. (Рус. перев.: Ракетная техника и космонавтика. - 1969. - № 10.)

[77] Giesing J.P. Nonlinear two-dimentional unsteady potential flow with lift // J.Aircraft. - 1968. - Vol. 5, No.2. - pp. 135 - 143.

[78] Maull D.J. An Introduction to the Discrete Vortex Method //Practical Eperiences with Flow-Induced Vibration: Simposium Karlsruhe, Gemany, September 3-6, 1978, University of Karlsruhe. - Berlin - Heidelberg - New York - Springer - Verlag. - 1980. - pp. 769 - 785.

[79] Sears W.R. Unsteady motion of airfoils wifh boundary-layer separation // The American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. - 1976. -Vol. 14, No.2. - pp. 216 - 220.