Учёт вязкости в методе дискретных вихрей с помощью коррекции инвариантов движения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Шмагунов, Олег Александрович

• Шмагунов, Олег Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шмагунов, Олег Александрович

Введение.

Глава I. Проблемы моделирования турбулентных течений.

1. Модели турбулентности, основанные на уравнениях Навье-Стокса.

1.1. Математические проблемы.

1.2. Анализ различных гипотез возникновения турбулентности.

1.3. Проблемы численных расчётов турбулентности и ламинарно-турбулентного перехода.

2. Учет вязкости в методах дискретных вихрей.

Глава II. Моделирование вязкости на основе инвариантов движения системы дискретных вихрей.

1. Идеальные точечные вихри.

2. Коррекция схемной вязкости.

3. Моделирование физической вязкости.

3.1. Гипотеза вязкости.

3.2. Неинерциальное преобразование системы координат.

4. Описание численного алгоритма.

Глава III. Численные расчёты конкретных течений.

1. Свободные течения.

1.1. Система четырёх вихрей.

1.2. Вихревое пятно.

2. Течения в области с границами.

2.1. Метод Белоцерковского.

2.2. Обтекание пластины.

2.3. Аэродинамические характеристики пластины.

2.4. Истечение плоской струи.

2.5 Нелинейный рост возмущений в начальном участке струи.

2.6 Ламинарно-турбулентный переход в струе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Учёт вязкости в методе дискретных вихрей с помощью коррекции инвариантов движения»

Задача рассматривается в контексте проблемы моделирования турбулентных течений. Расчёт турбулентных течений по моделям, основанным на уравнениях Навье-Стокса, наталкивается на ряд ограничений, которые будут более подробно рассмотрены в §§1.1-1.3 Главы I. От них свободны методы дискретных вихрей [1]. Вихревые методы хорошо зарекомендовали себя как привлекательный и успешный подход к численному моделированию несжимаемых течений жидкости для больших чисел Рейнольдса [2]. У них есть несколько отличительных особенностей, как было показано в [3]: (1) Физические механизмы в реальном сложном течении могут быть смоделированы взаимодействием дискретных вихрей, (2) вихревые методы автоматически адаптивны, поскольку вихри концентрируются в области, представляющей физический интерес, и (3) им не свойственны ошибки, такие как численная вязкость. Математический анализ точности и сходимости вихревых методов для течений невязкой жидкости был проведён в [3-6]. Ряд интересных результатов был получен в разное время в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, например в [7, В] предлагается вариационный метод построения дискретных вихревых моделей на основе принципа Гамильтона и строится обобщённая модель дискретных вихревых частиц для описания двумерных течений идеальной несжимаемой жидкости. Построенная модель сравнивается с использовавшимися ранее и тестируется на решении тестовых задач о вихрях Рэнкина и Кирхгофа, имеющих аналитические решения. Выводятся инварианты течения - энергия, импульс и момент импульса. В [9] гамильтонов формализм двумерной системы идеальных вихревых элементов обобщается на пространственный случай и показано, что интегралами трёхмерной системы являются полная энергия, суммарный импульс и суммарный момент. В [7, 10] метод вихревых частиц применяется к описанию течений в областях с границами и отрывных течений, в частности эволюции вихревой пелены, сходящей с острой кромки полубесконечной пластины. В [11, 12] анализируются вихревые возмущения в слое смешения и рассматривается возможность управления ими.

Некоторую проблему представляет учёт твёрдых границ, но условие непротекания может быть удовлетворено точно во всех точках поверхности [13, 14]. Так, известно, что при отрывном обтекании кругового цилиндра с образованием вихрей в потоке граничные условия на поверхности цилиндра могут быть удовлетворены путём расположения дополнительных вихрей в точках инверсии внутри цилиндра [15, 16]. Во всех других случаях плоского течения (отрывное обтекание крыловидного профиля и т.п.) следует воспользоваться конформным отображением внешности обтекаемого тела на какую-либо вспомогательную плоскость (внешность круга, верхняя полуплоскость и др.) [15-17]. Труднее учесть условие прилипания. Это граничное условие имеет очень важную физическую интерпретацию: оно ответственно за возникновение завихренности на границе. В данной работе в качестве некоторого приближения будет использоваться условие непротекания, о чём более подробно будет сказано в §2 Главы II.

Другая проблема методов дискретных вихрей - учёт вязкости. Идеальные вихревые элементы достаточно хорошо описывают интегральные характеристики отрывных обтеканий различных летательных аппаратов и крупномасштабные турбулентные структуры [18, 19]. Для описания мелкомасштабной турбулентности необходимо принимать в расчёт вязкость. В настоящее время существуют различные подходы к этой проблеме [18, 20, 21, 22], которые используют в той или иной форме уравнение вязкой диффузии завихренности. Более подробно эти подходы и связанные с ними проблемы будут рассмотрены в §2 Главы I.

В данной работе применяется совершенно другой подход, предложенный Б.Ю. Скобелевым и в дальнейшем развиваемый совместно с автором. Он описан в работах [23-43], и его главная идея заключается в следующем. Как известно, двумерные течения идеальной жидкости обладают следующими инвариантами: полная завихренность, координаты центра завихренности, дисперсия завихренности и некоторая составляющая кинетической энергии. Для вязких течений первые две характеристики по-прежнему сохраняются, тогда как дисперсия и энергия изменяются во времени по известным законам [44, 45]. Как и в случае идеальных течений, непрерывное распределение завихренности <о = V х и вязкого течения моделируется набором круговых вихрей с завихренностью <у0. (Здесь и скорость. Поскольку мы рассматриваем двумерные течения, вместо векторной величины ю мы будем обычно использовать её значение по модулю со.) Устремляем радиус вихрей г0 к нулю, а их завихренность со0 — к бесконечности так, чтобы циркуляция вихрей Г0 = жг02а>0 оставалась конечной:

При этом, скорость изменения дисперсии и энергии обращается в бесконечность. Устремим исходную вязкость //0 к нулю так, чтобы скорость вызванной вязкостью диссипации энергии £> соответствовала данной вязкости //: г0-»О, ©о-»оо: 71Г02со0=Г0)

Рис. 1. Предельный переход к точечным вихрям го—>0, соо—Цо->0

Рис. 2. Соответствие диссипации энергии при предельном переходе

В результате мы получим систему идеальных точечных вихрей, энергия которых будет диссипировать так же, как кинетическая энергия вязкого течения. Чтобы согласовать диссипацию энергии с уравнениями движения идеальных точечных вихрей, постулируем, что процесс дискретизации поля завихренности вязкого течения соответствует переходу в некоторую неинерциальную систему координат. В этой системе выполняются хорошо известные уравнения движения точечных вихрей. Известно, что численная дискретизация уравнений движения порождает схемную диссипацию и дисперсию. Этот процесс также можно представить как переход в другую неинерциальную систему координат. Следовательно, чтобы получить результаты в исходной физической системе координат, необходимо после каждого шага численного интегрирования выполнять обратное преобразование координат и времени. Другими словами, если мы моделируем вязкое течение системой идеальных точечных вихрей, на каждом шаге по времени у нас накапливается некоторая ошибка, связанная с влиянием вязкости и погрешностью дискретизации и интегрирования. Задача заключается в том, чтобы найти преобразование, минимизирующее эту ошибку и, таким образом, позволяющее моделировать реальное вязкое течение. Это преобразование определяется условием соответствия диссипации энергии системы точечных вихрей некоторой заданной вязкости.

Новизна работы заключается в учёте вязкости в методе дискретных вихрей, исходя из законов сохранения инвариантов течения. Это позволяет обойтись без сложных вычислений, дополняя классический метод лишь вычислением поправок на каждом шаге по времени. Таким образом метод оказывается экономичным с точки зрения объёма вычислений и избегаются многие проблемы, связанные с использованием уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, описанные в следующей главе. Достоверность метода доказана многочисленными расчётами различных течений и их сравнением с экспериментальными данными, при котором наблюдается хорошее совпадение в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Данный подход расширяет возможности метода дискретных вихрей достаточно экономичными средствами, что обуславливает его практическую ценность. Кроме того, он обеспечивает сохранение интегральных характеристик течения; благодаря уменьшению погрешностей дискретизации и интегрирования, метод позволяет наблюдать в течениях такие тонкие эффекты, как развитие возмущений - соответствующие результаты описаны в последней главе; позволяет моделировать начальную стадию развития турбулентности и обобщается на трёхмерный случай, расширяя возможности для моделирования развитой турбулентности. В этом случае метод может послужить хорошей основой для построения замкнутой модели турбулентности.

К защите представляется численный метод расчёта двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости, основанный на коррекции координат и циркуляций точечных вихрей для выполнения интегральных законов сохранения движения системы идеальных точечных вихрей. В известной литературе это первая попытка подобного учёта вязкости. Проделанная работа представляет собой хороший задел для дальнейшего развития подхода, в частности его обобщения на трёхмерный случай.

Диссертация построена следующим образом. В Главе I описано современное состояние проблемы, математические и вычислительные проблемы, связанные с расчётами турбулентных течений по моделям, основанным на уравнениях Навье-Стокса, существующие подходы к учёту вязкости в методах дискретных вихрей. Глава II посвящена подробному описанию разработанного метода: сформулированы гипотезы, положенные в его основу, вычислены вязкие поправки, разработан численный алгоритм для расчёта конкретных течений жидкости и газа. В § 1 приведены уравнения движения двумерной системы идеальных точечных вихрей и инварианты движения. В §2 показано, что эти инварианты можно использовать для коррекции схемной вязкости. В §3 этот же подход использован для моделирования физической вязкости. Наконец, в §4 описан численный алгоритм, реализующий разработанный подход для учёта вязкости в двумерных течениях. В Главе III описаны проведённые численные эксперименты по моделированию свободных течений (система четырёх вихрей, вихревое пятно в §1) и течений в областях с границами (обтекание пластины, истечение плоской струи в §2). Приведены полученные результаты, их сравнение с теорией и данными экспериментов. Показано, что метод правильно учитывает влияние вязкости в двумерных течениях несжимаемой жидкости. В Заключении сформулированы основные результаты, выносимые на защиту, и намечены пути обобщения метода на трёхмерный случай. В Приложении приведён вывод некоторых формул метода.

Апробация. Полученные результаты неоднократно докладывались на российских и международных конференциях: Международная конференция "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-96) (Новосибирск, 1996); The Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference (Париж, 1996); Saint-Venant Symposium (Париж, 1997); Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (Новосибирск, 1998); International Symposium "Actual Problems of Physical Hydroaerodynamics" (Новосибирск, 1999); Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999); The First International Conference on Vortex Methods (Кобе, Япония, 1999); Конференция "Вычислительные технологии 2000" (Новосибирск, 2000); Конференция молодых учёных, поев. 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000); Международная конференция, поев. 80-летию академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2001); Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2001); 33-я Региональная молодёжная конференция (Екатеринбург, 2002); IV Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2004); The Twelfth International Conference on the Methods of Aerophysical Research (ICMAR'2004) (Новосибирск, 2004); Третья международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, 2007); Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 2007). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25-43].

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Шмагунов, Олег Александрович

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Впервые сформулирован метод, позволяющий моделировать начальную стадию развития турбулентности в двумерных течениях вязкой несжимаемой жидкости с помощью управления интегральными характеристиками течения. На основе этого метода создан численный алгоритм расчёта двумерных течений вязкой жидкости.

2. С помощью предложенного метода показана возможность влиять на эволюцию свободных течений, в частности на стохастичность движения вихрей. При этом, характер влияния соответствует заданной вязкости.

3. На примере численных расчётов обтекания плоской пластины под различными углами атаки и истечения плоской струи в затопленное пространство показано хорошее согласие численных результатов с известными экспериментальными данными.

4. На основе детального изучения потери устойчивости в начальном участке струи как в ламинарной, так и в нелинейной стадии развития возмущения установлено, что динамика развития неустойчивых возмущений качественно совпадает с динамикой неустойчивости в пограничном слое.

5. Показано, что разработанный метод успешно моделирует как интегральные, так и локальные характеристики ламинарных течений и начальной стадии развития турбулентности. Аналогичный подход может быть развит для анализа трёхмерных течений и моделирования развитой турбулентности.

Заключение

На основе метода дискретных вихрей разработан новый численный метод моделирования двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости. Существенное преимущество этого метода заключается в исключении влияния численной диссипации из физических процессов. Процесс интегрирования уравнений движения дополняется процедурой локальной коррекции координат и циркуляций точечных вихрей с целью привести изменения энергии и дисперсии вихревого движения в соответствие с заданной вязкостью. Несмотря на приближения метода - двумерность и условие непротекания на границах, - численное моделирование показывает, что он достаточную эффективен для моделирования ламинарных течений и начальной стадии турбулентности. Для моделирования развитой турбулентности необходим переход к трёхмерности, и концепция метода позволяет развить аналогичный подход для трёхмерных течений. Известно, что трёхмерные идеальные течения имеют следующие инварианты [9]: полная завихренность, импульс, момент импульса, кинетическая энергия и спиральность. Для вязких течений первые три величины по прежнему сохраняются, а энергия и спиральность изменяются по известным законам [44, 109]. Непрерывное поле завихренности может быть аппроксимировано набором коротких сегментов вихревых нитей. Каждый сегмент может быть представлен как предел системы замкнутых вихревых нитей. Тогда появляется возможность разработать численный алгоритм для учёта вязкости, подобный алгоритму для двумерных течений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шмагунов, Олег Александрович, 2008 год

1. Cottet, G.-H. Vortex methods: theory and practice / G.-H. Cottet, P. Kou-moutsakos. Cambridge University Press, 2000. 320 p.

2. Sarpkaya T. Computational methods with vortices The 1988 Freeman scholar lecture. // ASME J. Fluid Eng, 1989, 115. P. 5-52.

3. Beale J. T. Vortex methods. I: Convergence in three dimensions and vortex methods. II: Higher order accuracy in two and three dimensions. // Math. Com-put. 1982, 39. P. 1-27, 29-52.

4. Anderson C., Greengard C. On vortex methods. // SIAM J. Numer. Anal. 1985, 22. P. 413-440.

5. Hald O.H. Convergence of vortex methods for Euler's equations, III. // SIAM J. Numer. Anal., 1987, 24. P. 538-582.

6. Cottet G.H., Mas-Gallic S., Raviart P.A. Vortex methods for incompressible Euler and Navier-Stokes equations. // Computational fluid dynamics and reacting gas flows, Eds. B. Engquist, M. Luskin, A. Majda, New York: SpringerVerlag, 1988. P. 47-68.

7. Веретенцев A.H., Куйбин П.А., Рудяк В.Я. Моделирование формирования вихря на острой кромке полубесконечной пластины. // Изв. СО РАН, Сер. Тех. наук, 1988, №7, вып. 2. С. 21-25.

8. Веретенцев А.Н., Рудяк В .Я., Яненко Н.Н. О построении дискретных вихревых моделей течений идеальной несжимаемой жидкости. // ЖВМиМФ, 1986, т. 26, №1. С. 103-113.

9. Яненко Н.Н., Веретенцев А.Н., Григорьев Ю.Н. Гамильтонов формализм для пространственной системы малых вихрей в идеальной жидкости //

10. Численные методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теоретической и прикладной механики, 1979, т. 10. № 5. С. 144-149.

11. Веретенцев А.Н., Гешев П.И., Куйбин П.А., Рудяк В.Я. О развитии метода вихревых частиц применительно к описанию отрывных течений. // ЖВМиМФ, 1989, т. 29, №6. С. 878-887.

12. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я. Об управлении развитием вихревых возмущений в слое смешения. // МЖГ, 1988, №3. С. 78-84.

13. Kuibin P.A., Rudyak V.Ya., Veretensev A.N. Instability Development Processes in Separated Flows behind the Plate. // Abstracts of IUTAM Symposium on Separated Flows and Jets, 9-13 July 1990, Novosibirsk, 1990. C.162-163.

14. Белоцерковский C.M., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. Москва, 1995.

15. Shimizu S. Discrete-vortex Simulation of a Two-dimensional Turbulent Jet. // Bulletin of JSME, August 1986, vol. 29, no. 254. P. 2440-2446.

16. Ильичёв К.П., Постоловский П.Н. Расчётное исследование нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1972, №2. С. 72-82.

17. Sarpkaya Т., Schoaff R.L. Inviscid model of two-dimensional vortex shedding by a circular cylinder. // AIAA Journal, 1979, vol.17, no. 11. P. 11931200.

18. Liu J.T.C. Coherent structures in transitional and turbulent free shear flows. // Ann. Rev. Fluid Mech., 1989, vol. 21. P. 285-315.

19. Belotserkovsky S. M., Lifanov I. Method of Discrete Vortices. CRC Press, USA, 1997.

20. Leonard. Computing three-dimensional incompressible flows with vortex elements. // Annu. Rev. Fluid Mech, 1985, 17. P. 523-559.

21. Chorin A. J. Numerical study of slightly viscous flow // J. Fluid Mech. 1973, vol. 57. P. 785-796.

22. Winckelmans G. S., Leonard A. Contributions to Vortex Particle Methods for the Computation of Three-Dimensional Incompressible Unsteady Flows // J. Сотр. Phys, 1993, vol. 109. P. 247-273.

23. Таранов A.E. Применение метода вихревых частиц для решения задач динамики вязкой жидкости: дис. . канд. техн. наук / А.Е. Таранов. Санкт-Петербург, 2001. 152 с.

24. Белоцерковский С.М., Скобелев Б.Ю. Метод дискретных вихрей и турбулентность. // Препринт № Ю-93 ИТПМ СО РАН, Новосибирск, 1993.1. С. 38.

25. Belotserkovsky S.M., Scobelev B.Yu. Discrete vortex method and turbulence. IIICAR Report, no. 6-94, Inst. Theor. Appl. Mech., Novosibirsk, 1994. P. 42

26. Белоцерковский С.М., Скобелев Б.Ю., Шмагунов О.А. Новый подход к моделированию вязкости в методе дискретных вихрей // Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96): Тезисы докладов. Новосибирск, 1996. С. 210-211.

27. Belotserkovsky S.M., Scobelev B.Yu., Shmagunov О.А. Viscosity simulation in the method of discrete vortices // Computational Fluid Dynamics'96:

28. Proceedings of the Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. Paris, 1996. P. 791-796.

29. Scobelev B.Yu., Shmagunov O.A. New method of viscosity simulation in a system of discrete vortices // Proceedings of Saint-Venant Symposium. Paris, 1997. C.133-140.

30. Scobelev B. Yu., Shmagunov O. A. A new approach to the modeling viscous diffusion in vortex element methods // Fluid Mechanics and Its Applications. Vol.44 / Ed. E. Krause and K. Gersten. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998, P. 95-104.

31. Скобелев Б. Ю., Шмагунов О. А. Анализ эффективности уравнений Навье Стокса для описания турбулентных течений // Международная конференция «Математические модели и методы их исследования»: Тезисы докладов. Красноярск, 1999. С. 186.

32. Scobelev В. Yu., Shmagunov O.A. Principal difficulties of turbulence description by Navier Stokes equations and vortex methods // Proceedings of the First International Conference on Vortex Methods. Kobe, 1999. P. 23-30.

33. Скобелев Б.Ю., Шмагунов O.A. Проблема учёта вязкости в методах дискретных вихрей // Вычислительные технологии. 2001. Т. б, ч. 2.1. С. 563-569.

34. Скобелев Б.Ю., Шмагунов O.A. Численный расчёт турбулентных характеристик плоской струи методом дискретных вихрей // Труды Конференции молодых учёных, поев. 10-летию ИВТ СО РАН. Новосибирск, 2001. С. 140-144.

35. Скобелев Б.Ю., Шмагунов O.A. Расчёт течений вязкой жидкости методом дискретных вихрей // Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии": Тезисы докладов. Новосибирск, 2001. С. 43.

36. Шмагунов O.A. Метод дискретных вихрей: проблема учёта вязкости // Труды 33-й Региональной молодёжной конференции. Екатеринбург, 2002, С. 200-204. Рецензируемый сборник.

37. Шмагунов O.A. Нелинейное нарастание возмущений в плоской струе // IV Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии": Тезисы докладов. Новосибирск, 2004. С. 42.

38. Shmagunov O.A. Nonlinear disturbance growth in a plain jet // International Conference on the Methods of Aerophysical Research: Proceedings. Pt. IV. Novosibirsk, 2004. P. 285-290.

39. Скобелев Б.Ю., Шмагунов O.A. Новый подход к моделированию вязкости в методе дискретных вихрей // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12, №5. С. 116-125.

40. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М. Мир, 1973.

41. Шавалиев М.Ш. Законы изменения моментов распределения завихренности под влиянием вязкости, внешнего поля скорости и наличия твёрдых границ. // Механика неоднородных и турбулентных потоков: Сб. науч. тр. / М.: Наука, 1989. С. 63-69.

42. Leray, J. Sur le mouvements d'un liquide visqueux emplissant l'espace. // Acta. Math., 1934, 63.

43. Hopf, E. Uber die Anfangswertanfgambe fur die hydrodynamischen Grun-gleichungen. //Math. Nachlichten, 1950-51, 4. P. 213-231.

44. Scheffer, V. Turbulence and Hausdorff dimension. // Lecture Notes in Math, 1976, 565. P. 94-112.

45. Ладыженская O.A. О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для диссипативных задач // Докл. АН СССР, 1982, т. 263, № 4. С. 802-804.

46. Ильяшенко Ю.С. Слабосжимающие системы и аттракторы галеркин-ских приложений уравнений Навье-Стокса на двумерном торе // Успехи механики, 1982, т.5, вып. 1/2. С. 31-63.

47. Бабин А.В., Вишик М.И. Оценки сверху и снизу размерности аттракторов эволюционных уравнений с частными производными // Сиб. мат. ж., 1983, т. 24, №5. С. 15-30.

48. Foias, С., Treve, Y. Minimum number of modes for the approximation of the Navier-Stokes equations in two and three dimensions. // Phys. Letters, 1981, 85A, 1.

49. Foias, C., Temam, R. Asymptotic numerical analysis for the Navier-Stokes equations. // In: Nonlinear Dynamics and Turbulence, Boston, London, Mel-bourn, 1983. P. 139-155.

50. Ландау JI.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР, 1944, т. 44, № 4. С.339-342.

51. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об автоколебательных режимах, ответвляющихся от течения Пуазейля в плоском канале // Докл. АН СССР, 1972, т. 202, № 4. с. 791-794.

52. Chen, T.S., Joseph, D.D. Subcritical bifurcation of plane Poiseuille flow. // J. Fluid Mech, 1973, 8, 2. P. 337-352.

53. Струминский B.B., Скобелев Б.Ю. Нелинейная нейтральная кривая для течения Пуазейля // Докл. АН СССР, 1980, т. 252, № 3. С. 566-570.

54. Newhouse, S., Ruelle, D., Takens, F. Occurrence of strange axiom A attrac-tors near quasi periodic flows on Tm m>=3. // Comm. Math. Phys., 1979, 64, 1.

55. Ruelle, D., Takens, F. On the nature of turbulence. // Comm. Math. Phys., 1971, 20. P. 167-192.

56. Lorenz, E.N. Deterministic nonperiodic flow. // J.Atmos. Sci., 1963, 20. P. 130-141.

57. Струминский В.В., Скобелев Б.Ю. Странные аттракторы и турбулентность. // Механика неоднородных и турбулентных потоков, М.: Наука, 1989. С. 164-173.

58. Narasimha, R. Order and Chaos in Fluid Flows. // Current Science, 1987, 56, 13. P. 629-645.

59. Williats, R.F. The structure of Lorenz attractors. // In: Turbulence Seminar, Univ. Calif. Berkley, 1976-1977.

60. Kaplan, L., James, A., Yorke. Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz. // Comm. Math. Phys., 1979, 67, 2.

61. Curry, J.H. A generalized Lorenz system. // Comm. Math. Phys., 1978, 60, 3.

62. Boldrighini, C., Franceschini, V. A five-dimensional trancation of the plane incompressible Navier-Stokes equations. // Comm. Math. Phys., 1979, 64, 2.1. P. 159-170.

63. Franceschini, V., Tebaldi, C. A seven-mode trancation of the plane incompressible Navier-Stokes equations. //J. Stat. Phys., 1981, 5, 3.

64. Franceschini, V., Tebaldi, C. Breaking and disappearance of tori. // Comm. Math. Phys., 1984, 94, 2. P. 317-329.

65. Колмогоров A. H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. // Докл. АН СССР, 1941, т. 30, №4. С. 299-303.

66. Anselmet, F., Gagne, Y., Hopfinger, E.J., Antonia, R.A. High-order velocity structure functions in turbulent shear flow. // J. Fluid Mech., 1984, 140. P. 6389.

67. Eggers, J., Crossman, S. Does deterministic chaos imply intermittency in fully developed turbulence. //Phys. Fluids, A., 1991, 3, 8. P. 1958-1968.

68. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. С. 421.

69. Скобелев Б.Ю. Конечномерная инвариантная аппроксимация уравнений Навье-Стокса и автоколебательные режимы течения Пуазейля. // ПММ, 1990, т. 54, вып. 3. С. 416^29.

70. Скобелев Б.Ю. Нелинейная теория гидродинамической устойчивости и бифуркации решений уравнений Навье-Стокса. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1990, № 1.С. 9-15.

71. Zang, Т.А., Krist, S.E., Hussaini, M.Y. Resolution requirement for numerical simulations of transition. // Lecture Notes in Engineering, 1988, 3. P. 508525.

72. Iida, A. Prediction of aerodynamic sound spectra by using an advanced vortex method / A. Iida, K. Kamemoto, A. Ojima // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey, 2001. P. 235242.

73. Kamemoto, K. Engineering application of the vortex methods developed in Yokohama National University / K. Kamemoto // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey, 2001. P. 197-209.

74. Ota, S. Study on higher resolution of vorticity layer over a solid boundary for vortex methods / S. Ota, K. Kamemoto // Proc. of The Second Intern. Conf. on Vortex Methods September 26-28, Istanbul, Turkey, 2001. P. 33-40.

75. Forsythe, J.R. Detached-Eddy simulation of a supersonic axisymmetric base flow with an unstructured solver / J.R. Forsythe, K.A. Hoffmann, J.-F. Dietker // AIAA paper, 00-2410, 2000.

76. Lam, K. Flow around four cylinders in square configuration using surface vorticity method / K. Lam, R.M.C. So, J.Y. Li // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey, 2001. P. 235242.

77. Chorin A .J. Numerical study of slightly viscous flow. // J. Fluid Mech, 1973,57. P. 785-796.

78. Goodman J. Convergence of the random vortex method. // Commun. Pure Appl. Math, 1987, 40. P. 189-220.

79. Long D.-G. Convergence of the random vortex method in two dimensions. // J. Am. Math. Soc, 1988, 1. P. 779-804.

80. Greengard C. The core-spreading vortex method approximate the wrong equation. // J. Comput. Phys, 1985, 61. P. 345-348.

81. Degond P., Mas-Gallic S. The weighted particle method for convection-diffusion equations, Part 1: The case of an isotropic viscosity. // Math. Comput., 1989, 53. P. 485-507.

82. Rossi L.F. Resurrecting core-spreading vortex method: A new scheme that is both deterministic and convergent. // SIAM Sei. Comput., 1996, 17. P. 370397.

83. Алексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов B.JI. Введение в теорию концентрированных вихрей. Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2003.

84. Kirchhoff G. Vorlesungen über matematische Physik, 1883, v. 1, ch. 20, Leipzig: Teubner.

85. Белоцерковский C.M. Турбулентность и вихревая аэродинамика // Природа, №10 (987), 1997, с.5-12.

86. Рациональные пути построения замкнутых моделей свободной турбулентности на основе метода дискретных вихрей // Научно-технический отчёт ЦАГИ№ 004119, 1989.

87. Новиков Е.А., Седов Ю.Б. Стохастические свойства системы четырех вихрей //ЖЭТФ, 1978, т. 75, № 3(9). С.868-876.

88. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

89. Chorin, A.J. Vortex Sheet Approximation of Boundary Layers. // J. Comp. Phys. 27, 1978. P. 428-442.

90. Альбом течений жидкости и газа. Сост. М. Ван-Дайк. М.: Мир, 1986. С. 59.

91. Roshko A. On the Development of Turbulent Wakes from Vortex Streets. // NACA TN, no. 2913. P. 1953.

92. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.

93. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

94. Дворак А. В., Хлапов Н. В. Турбулентные характеристики плоской струи. // Применение ЭВМ для исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов. Труды Военно-воздушной академии им. Жуковского, 1986, Вып. 1313. С. 76-84.

95. Russo G., Strain J.A. Fast Triangulated Vortex Methods for the 2D Euler Equations // J. Сотр. Phys., 1994, vol. 111 (2). P. 291-323.

96. Strain J. 2D Vortex Methods and Singular Quadrature Rules // J. Сотр. Phys., 1996, vol. 124. P. 131-145.

97. Kornev, N. Comparison of two fast algorithms for the calculation of flow velocities induced by a three-dimensional vortex field / N. Kornev, A. Leder, K. Mazaev // Schiffbauforschung, 2001, vol. 40, 1. P. 47-55.

98. Hussain A.K.M.F. and Thompson C.A. Controlled symmetic perturbation of the plain jet: an experimental study in the initial region // J.Fluid Mech., 1980, vol. 100. P. 397-431.

99. Kelly, R.E. On the stability of an inviscid shear layer which is periodic in space and time // J. Fluid Mech., 1967, vol. 27(4). P. 657-689.

100. Kachanov Yu.S., Levchenko V.Ya. The resonance interaction of disturbances at laminar-turbulent transition in a boundary layer // J. Fluid Mech., 1984, vol. 138.

101. Бетчов P., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.

102. Moffat Н. К. The degree of knotedness of tangled vortex lines // J. Fluid Mech., 1969, 35. P. 117-129.V125 N