Математическое моделирование отрыва потока с гладкой поверхности тел в рамках теории идеальной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Дмитриев, Михаил Леонардович

• Дмитриев, Михаил Леонардович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дмитриев, Михаил Леонардович

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВЫ МЕТОДА РАСЧЕТА АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК САМОЛЕТА НА СРЫВНЫХ РЕЖИМАХ ОБТЕКАНИЯ

1.1, Постановка задачи

1.2. Метод решения задачи нестационарного отрывного обтекания самолета

1,2Л, Выполнение граничных условий

1.2.2. Алгоритм решения задачи

2. КРИТЕРИЙ ОТРЫВА ПОТОКА

2.1. Критерий отрыва потока для плоскопараллелъного течения..

2.2. Критерий отрыва штока для пространственного обтекания.., 32 ,2.3. Определение положения линии отрыва при численном моделировании

3. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ

3. .1. Основные положения метода расчета

3.2. Определение положения точек отрыва потока,..,..,

3.3. Расчет коэффициентов давления, сил и моментов

3.4. Особенности методики численного моделирования

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ. МЕТОДИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОБОСНОВАНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ .ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ

4.1. Обтекание кругового цияицдра

4.2. Обтекание эллиптического цилиндра

4.3. Обтекание аэродинамического профиля

4.4. Моделирование динамического срыва на дозвуковых аэроди-

намических профилях

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ

5.1. Обтекание сферы

5.2. Обтекание телесного прямоугольного крыла

5.3. Обтекание тонкого прямоугольного крыла

5.4. Расчет аэродинамических характеристик самолета на срывных режимах обтекания

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование отрыва потока с гладкой поверхности тел в рамках теории идеальной жидкости»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность .проблемы. Современные и перспективные самолеты характеризуются высокими маневренными свойствами, многообразием решаемых задач и выполняемых функций. Одним из важных путей повышения эффективности их применения рассматривается увеличение диапазона углов атаки [2,7, 4Щ. Например, для современных истребителей, имеющих малые запасы статической устойчивости и высокоавтоматизированные системы управления, актуальными являются исследование и практическое освоение полетов на сверхбольших углах атаки [2,8], Выход самолета на большие углы атаки сопровождается срывными явлениями, снижением устойчивости и управляемости [1,17. 1.21], Полет в таких условиях сопряжен с опасностями сваливания и штопора. Поэтому актуальными являются исследования аэродинамических характеристик самолета на срывиых режимах обтекания.

Традиционными методами исследования аэродинамических компоновок являются трубный и летный эксперименты. В настоящее время такие испытания требуют больших материальных затрат. Кроме того, возможности обоих методов в силу ряда причин ограничены, Например, получение аэродинамических характеристик самолета, соответствующих его неустановившемуся движению на малых дозвуковых скоростях, в трубном эксперименте затруднено сложностями обеспечения одновременного подобия по числам Маха и Рейнольдса, когда последнее очень велико (Не »107 и более), измерения аэродинамических коэффициентов сил и моментов летательного аппарата и их производных по времени. Полет на режимах, сопровождающихся срывным обтеканием, опасен как для летчика, так и для летательного аппарата. Поэтому существует необходимость применения метода математического моделирования на ЭВМ, возможности которых постоянно и стремительно возрастают.

Целью настоящей работы является разработка подхода к определению

местоположения отрыва потока на поверхности тела, движущегося в идеальной жидкости, и основанной на нем методики расчета нестационарных аэродинамических характеристик самодета и его частей на срывных режимах обтекания при малых дозвуковых скоростях полета. Существует ряд монографий и книг, как отечественных, так и зарубежных авторов, которые посвящены подходам к решению данной задачи (см. например [1,2, 1,5,1 ,-8, 1.241),

Одной из основных проблем при решении задачи об отрывном .обтекании тела является определение места отрыва потока. Существуют различные подходы к решению данной проблемы. Например, решение задачи об обтекании тел посредством численного интегрирования уравнений Навье - Стокса для всего потока [1.23]. В этом случае поиск места отрыва потока является не самостоятельной задачей, а результатом ее решения в целом. Надо отметить, что результаты, удовлетворительно согласующиеся с экспериментом, получаются в рамках данного подхода до чисел Рейнольдса порядка 105, пока режим обтекания является ламинарным. Сложности, возникающие при расчете течений с существенно большими числами Рейнольдса, когда течение турбулентное, отмечены ниже.

Другим, нашедшим наиболее широкое применение в решении практических задач, является подход, предложенный еще Прандтлем [2.19]. В этом случае течение вокруг объекта разделяется на две области: тонкую пристеночную область, где проявляются силы .вязкого трения и справедливы уравнения пограничного слоя; внешнюю область, в которой течение считается невязким и описывается уравнениями Эйлера. Совместным, в каждый момент времени,, решением обеих задач рассчитываются течения во внешней области и в пограничном слое. По параметрам течения в пограничном слое на основе различных критериев, которые в большинстве случаев носят полуэмпирический характер, определяется положение мест отрыва пограничного слоя. Оторвавшийся от поверхности пограничный слой представляется в виде тонких вихревых слоев, развивающихся во времени в следе за обтекаемым телом.

Данный подход применяется для получения результатов в достаточно широком диапазоне чисел Рейнольдса, вплоть до значений порядка 10б. В рамках указанного подхода, авторами работ [ 1.3, 2.5, 2,6] выполнены обширные исследования по гоюскопараллельному отрывному обтеканию тел и крыльев конечного размаха и толщины.

Отметим, что при исследованиях в рамках упомянутых выше подходов возникают существенные трудности как вычислительного, так и принципиального характера. Первые связаны со сложностями моделирования течения в пограничном слое, которые значительно усиливаются при переходе от плоскопараллельного к пространственному обтеканию. Вторые связаны с тем, что природа турбулентных течений, возникающих при числах Рейнольдса порядка 10" и более, недостаточно полно изучена. Применяемые в расчетах гипотезы турбулентности [1.22,2.16] не являются универсальными и носят, как правило, .полуэмпирический характер, Кроме этого, при решении задач о неустановившихся течениях с помощью упомянутых выше подходов, требуются . предельно возможные ресурсы ЭВМ, что не всегда приемлемо с практической точки зрения.

Учитывая указанные выше сложности, и тот факт, что для современных летательных аппаратов полет на дозвуковых скоростях проходит при числах Рейнольдса порядка 107, актуальными являются альтернативные упомянутым подходы к расчету отрывного обтекания тел потоком несжимаемой жидкости. Автором настоящей работы предлагается подход к определению мест отрыва потока при математическом моделировании неу ст ано в и в ш с го ся отрывного обтекании тел в рамках теории идеальной жидкости, то есть ш-существу при бесконечно большом числе Рейнольдса. Следует отметить, что существует ряд работ, в которых осуществлялись попытки решения задачи в аналогичной постановке [2.9, 2.13, 2.14, 2.15, 2.18, 2.20].

Одной из первых в этом направлении была работа [2.15]. В ней в рамках идеальной среды проанализированы условия перемещения точки схода с

поверхности тела свободного вихревого слоя и получена зависимость вихревой плотности в точке отрыва потока от кинематических параметров течения. Задача рассматривалась с позиций устойчивости течения по отношению к отрыву потока путем внесения в безотрывное обтекание первоначального отрыва в произвольно выбранной точке и последующего исследования развитая отрывного обтекания во времени. Предложенный в этой работе подход, при применении его к нестационарному отрывному обтеканию кругового цилиндра, приводил к значениям суммарных аэродинамических характеристик и положению точек отрыва потока, реализующихся в эксперименте только при числах Рейнольдса до 105, соогшетствующих ламинарному течению в пограничном слое. Указанный подход, в несколько модифицированном виде был использован при расчете отрывного обтекания кругового цилиндра авторами работы [2.20]. Полученные в результате расчетов значения коэффициентов аэродинамических сил и положения точек отрыва являлись по существу уточнением результатов, полученных авторами [2,15], и также соответствуют ламинарному режиму обтекания,

В работе [2.18] также был предложен способ моделирования нестационарного отрывного обтекания тела. В этой работе задача об отрывном обтекании тела рассматривалась также как нестационарная. Вся завихренность в потоке заменялась системой точечных вихрей, движение которых подчиняется уравнениям идеальной .жидкости. .Для определения .движения точечных вихрей численно решается задача Коши. В начальный момент времени над всей поверхность® тела на некотором расстоянии от нее вводился слой вихрей. Отрывное течение строилось по поведению этого слоя во времени. Для выполнения условия прилипания на поверхности тела вводились новые вихри. Циркуляции этих вихрей находятся из системы линейных алгебраических уравнений, вытекающих из условия прилипания. Приводились результаты расчетов для обтекания кругового цилиндра и профиля Жуковского, В дальнейшем, широкого практического применения этот подход также не получил.

В работах [2,9, 2.13, 2 Л 4] места отрыва потока на поверхности тела считались фиксированными во времени и назначались исходя из экспериментальных данных. Возможности такого подхода очевидно существенно ограничены.

Подход к определению мест отрыва потока, предлагаемый в. настоящей работе, основан на анализе изменения энергетики потока, сопровождающего

л

отрывное обтекание тела. Отрывное обтекание движущегося тела моделируется с помощью сходящих с поверхности тела в каждый момент времени вихревых пелен. Для преодоления сопротивления связанного с развивающимся за телом -следом, .образованного этими пеленами, необходимо затрачивать некоторую энергию. Предполагается, что вихревые пелены будут сходить в тех точках на поверхности тела, которые бы обеспечивали минимум затрат энергии на возникновение в. этих точках новых участков вихревых пелен. При таком .способе моделирования отрывного обтекания можно обойтись предположением о среде как об идеальной жидкости. В этом случае решение задачи существенно упрощается как с точки зрения численной реализации, так и необходимых для нее возможностей ЭВМ.

Предлагаемый подход к.определению мест отрыва потока был применен к расчету плоскопараллслыюго и пространственного нестационарного отрывного обтекания некоторых тел и отрывному обтеканию .самолета при его схематизации тонкими несущими поверхностями. В качестве численного, метода.в работе .использован метод дискретных вихрей [1.5] и его модификация - метод замкнутых вихревых рамок [ 2.1],

В .настоящей работе большое внимание уделено рассмотрению случая плоскопараллельного обтекания. Это обусловлено следующими причинами. Формулировка критерия отрыва к этом .случае является .физически .простой .и наглядной. Сравнение результатов расчета и эксперимента и проведение методических исследований для этого класса течений, является (на взгляд .автора) необходимым условием последующего обобщения нового подхода, на

класс существенно более сложных пространственных течений. Кроме этого, методика и результаты расчета имеют самостоятельный научный и практический интерес.

Расчет методом дискретных вихрей нелинейных нестационарных аэродинамических характеристик самолетов при их схематизации тонкими несущими поверхностями позволяет получить много важных, с точки зрения практики, результатов. Например, в работах, выполненных в ВВИА им. Н.Е, Жуковсокго Апраиновым В.А., Удовенко В.А., Сорокой В.М., на основе совместного решения в каждый расчетный момент времени задачи определения аэродинамических нагрузок, действующих на летательный аппарат, и задачи динамики полета удалось смоделировать его движение при приближении и непосредственно на критических режимах полета. Как правило, информация о возникновений! отрыва, вводится в программу расчета заранее. Критерием выхода самолета на срывные режимы полета служат при этом критические значения кинематических параметров движения, которые берутся из данных эксперимента. Применение предлагаемого в работе критерия отрыва потока к случаю моделирования самолета тонкими поверхностями имеет целью помимо прочего создание методики расчета нестационарных аэродинамических характеристик летательного аппарата, не предполагая заранее наличия отрывного обтекания на тех или иных режимах полета.

Структура работы. Работа состоит из пяти глав (разделов ) и выводов, в которых отражены основные результаты, полученные в исследованиях.

В первой главе приведена постановка задачи и основы метода расчета аэродинамических характеристик летательного аппарата на срывных режимах обтекания. Сформулирована постановка задачи определения нелинейных нестационарных аэродинамических характеристик самолета. Введены основные соотношения, .сформулированы принятые допущения и ограничения. Изложены основные положения используемого в работе численного метода и алгоритма расчета.

Во второй главе рассмотрен предлагаемый автором критерий определения местоположения отрыва потока на поверхности обтекаемого тела. Сформулированы критерии для случаев плоскопараллелыгого и пространственного обтекания, Приведен способ построения линии отрыва в рамках используемой в работе дискретной вихревой модели при пространственном обтекании, Третья глава посвящена описанию методики расчета плоскопараллель-нош отрывного обтекания тел, с учетом предлагаемого в работе критерия отрыва потока. Изложены основы применяемого метода математического моделирования (метода дискретных вихрей) и особенности его применения в данном случае, а также методика нахождения точек отрыва потока,

В четвертой главе приведены результаты расчетов, методические исследования и обоснование достоверности методики расчета плоскопараллель-нош нестационарного отрывного обтекания тел потоком идеальной жидкости. Рассмотрены случаи движения тел как с неизменяющимися, так и с изменяющимися по времени кинематическими параметрами.

В пятой главе рассмотрены результаты моделирования методом замкнутых вихревых рамок пространственного отрывного обтекания, некоторых тел и самолета, схематизированного тонкими несущими поверхностями. Приведено сравнение результатов расчета с данными физических экспериментов, обосновывающее возможность применения предложенного автором подхода к моделированию- отрывного обтеканию самолета.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах:

- по вихревой компьютерной механике жидкостей и газов и ее приложениям (Гос.НИЦ ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского, 1996 г. );

- аэродинамическому проектированию (Гос.НИЦ ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского, 1996г.);

- по математическому моделированию боевых авиационных комплексов (ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1996 г.);

>11

-по аэродинамике современных и перспективных ЛА (ВВИЛ им. Н.Е. Жуковского, 1995 г.); а также на:

- II форуме Всероссийского вертолетного общества ( 1996 г.);

- научных чтениях, посвященных 150-летию Н.Е. Жуковского (ВВИЛ им. Н.Е. Жуковского, 1997 г.).

Публикации. По теме диссертации автором подготовлены 5 научных статей, 3 из которых опубликованы, 2 - находятся в печати.

а

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВЫ МЕТОДА РАСЧЕТА

АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА СРЫВНЫХ РЕЖИМАХ ОБТЕКАНИЯ

Разработанный.в работе подход к .определению мест отрыва потока направлен в конечном счете на создание методики математического моделирования отрывного обтекания самолета и его частей, Поэтому постановку задачи рассмотрим на примере летательного аппарата.

1.1. Постановка задачи

Пусть летательный аппарат (ДА) совершает в общем случае неустановившийся полет при малой дозвуковой скорости. Будем рассматривать стандартные прямоугольные системы координат [5.1]: неподвижную земную О0хеУв.гя; подвижную, связанную с ЛА - ОХУ/, и скоростную ОаХя Уя2а

(рис. 1.1). Начало подвижной системы координат О находится в центре масс ЛА, ось ОХ направлена вперед по главной продольной оси инерции ЛА, ось ОУ расположена в плоскости симметрии ЛА и направлена вверх, ось ох -перпендикулярно плоскости симметрии ОХУ, в сторону правого полуразмаха.

Движение ЛА, как твердого тела в каждый момент времени 1 определяется вектором скорости % подвижного начала координат О и вектором угловой скорости вращения О подвижной системы координат относительно неподвижной (земной). В работе полагается, что воздушная среда в земной системе координат покоится. Поэтому вектор воздушной скорости V, характеризующий движение ЛА относительно воздушной среды, равен вектору скорости Ук подвижного начала координат О.

Положение ЛА относительно вектора V определяется углами атаки а и скольжения 3:

а = -агс!ё(\/ ), Р = агсгЕ(У„ / _^УХ2+Уу2),

здесь у, - проекции вектора V на оси связанной системы координат.

Поскольку ЛА движется с малой дозвуковой скоростью, будем решать

Рис. 1.1. К постановке задачи

задачу о его обтекании потоком идеальной несжимаемой жидкости. Будем предполагать, что массовые силы в жидкости отсутствуют. Пусть за движущимся Л А существует развивающийся со временем вихревой след, который образован вихревыми пеленами стр .(поверхностями тангенциального разрыва

скорости)., непрерывно сходящими с поверхности от ЛА (рис! Л ). Считается, что положение линии схода вихревых пелен с поверхности сгт в каждый момент времени заранее неизвестно. Исключение могут составлять острые кромки, на которых линии схода вихревых пелен в некоторых случаях будем-.считать заданными .и фиксированными.

Задача состоит в отыскании аэродинамической нагрузки, действующей на летательный.аппарат .со стороны окружающей, его среды. То есть, необходимо определить аэродинамическую силу аэродинамический момент МО), действующие на ЛА. Во многих важных для практики- случаях необходимо знать распределенную нагрузку р(?,0, г €ор (давление) на поверхности ЛА.

Предполагается, что течение вне поверхности ЛА и его следа является безвихревым (V х ¥ = 0). В этом случае существует функция Ф(гд)~ потенциал, такая, что = V [1.16]. Тогда из уравнения неразрывности для несжимаемой среды (V • У = 0) -следует, что лотешщал течения удовлетворяет уравнению Лапласа:

-ДФ(гД) = 0, г <Ё 0Х идр. (1.1)

Голе давлений в пространстве определяется интегралом Коши - Лагранжа 1.161:

тт.

р ( У(г,п' ЛФ(гД')

- - - - -» _ _| - - ^ +----:—-

\

П 2Ч!

Р, V ? ■-■'Г

г £сгг и <7,,,

Р V 2 ах /

где рж - давление на бесконечном удалении от тела и вихревой-пелены. -Интегрированием нагрузки но поверхности ЛА можно определить аэродинамические силу К А (0 и момент М(1).

Таким образом, решение задачи расчета обтекания ЛА в каждый момент времени состоит в отыскании потенциала скорости Ф(г,.1), удовлетворяющего уравнению Лапласа (1 Л) и следующим граничным условиям:

- условию непротекания на поверхности летательного аппарата

¥Ф(?,1)-й(?,1:) = ¥Д?Л)-Й(?Л), г естт, (1.3)

где УД?, О = Ук + О х ? сат-- скорость движения точек поверхности от, п(гл), г г <••, - внешняя нормаль к поверхности ЛА;

- условию убывания возмущений на бесконечном удалении от от и <хр

Ф{гЛ)~ >0, |¥Ф(г,г)| —т> 0, | со; (1.4)

- на вихревой пелене а,, кинематическому условию совместности течений и условию отсутствия перепада давлений

(¥(ГД).Й0М))+ р(гД)+=р(?ДЬ (1.5)

- ш линиях схода вихревых пелен - условие Чаплыгина - Жуковского о конечности скорости.

Граничные условия (1.3)...(1.5) дополняются условием (следующим из теоремы Томсона [1.19]). о.постоянстве циркуляции по замкнутому контуру, ватывающему ЛА и. его вихревой след:

О.Т£"

—1у.о1 = 0. (1.6)

сНЛ

Решение задачи (1.!)...(!,6) позволяет определить поля скоростей и давлений, а следовательно и реакцию среды на ЛА.

Особо отметим, что помимо.решения .сформулированной задачи в каждый момент времени необходимо определять положение линии схода вихревой пелены .с .поверхности ЛА. Предлагаемый в.работе способ определения этой линии.(критерий отрыва потока) подробно изложен во 2-ой главе.

1.2. Метод решения задачи .нестационарного отрывного обтекания самолета

В настоящей работе для решения задачи об определении аэродинамиче-

•А 6

ских характеристик самолета на срывных режимах обтекания использована модификация метода дискретных вихрей [1 .5, 1.6], а именно метод дискретных вихрей с замкнутыми вихревыми рамками [2.1].

Будем решать задачу в безразмерном виде. Для этого за характерный размер примем величину средней аэродинамической хорды крыла ЬСАХ, за характерную площадь - площадь 8 проекции крыла на плоскость OXZ. Линейные размеры в безразмерном виде определим следующими соотношениями:

V/ V/ 7/

х = , у = ' / г - 'у,

/ °САХ / САХ / °САХ

Введем также безразмерные скорости, циркуляции и потенциал скорости:

V / Ь„~ -П / Г / г' ^ /

. „ _ ииАх / г __ ! / А — О/ ,„ _ Ф /

/V'1" /\ъ ' А /уъ ' ^" "/УЬ '

' у ' • / САХ / * ^САХ / ' иСАХ

где У, Д Г, ,6, Ф - обозначения размерных скоростей, 1даркуляций и потенциала.

Введем безразмерное время с помощью соотношения

т=_Цусс)<1С.

п *

ЬСАХ О

Для получения значений коэффициентов аэродинамических сил и моментов разделим К.. у 2 и Мху 2 на р~—8 и р-—ЗЬСАХ соответственно.

2 2

1.2.1. Выполнение граничных условий

Будем полагать поверхности а, и о Р вихревыми поверхностями, которые в методе дискретных вихрей моделируются системами вихревых отрезков [1.5,1.61. Метод дискретных вихрей построен так, что выполняются перечисленные в пЛ Л, условия. Потенциальность поля скоростей вне поверхностей <ути 0Р достигается построением гидродипамиче^си замкнутых вихревых схем. В рассматриваемом случае такая замкнутость обеспечивается при-

менением замкнутых вихревых рамок [2.1], каждая из которых моделирует отдельный охватываемый ею элемент поверхностей сгти ар (рис. 1.2).

Пусть и - общее число таких многоугольников на о г и о ¡, соответственно. Тогда потенциал и вектор скорости определяются соотношениями:

1 «ор

ф(г,т) = — 2:©от1(г,т)Г.(т)+ Т@!ГЙ(г?т)А.1 (т) V 1 1

N

ЧЖ

Чп-р

^(г,т) - —. 1^от1(г,т)ГДт)+ (Т)

V I

(1.7)

(1,8)

Здесь

= !

" сг,;

, ОII

, СИ х

Г - Г„

скт.

V

Ьог; |Г -

-- )3

(1.9)

(1.10)

В формулах (1.9),( 1.10) а, -элемент вихревой поверхности ах илиаР, охватываемый соответствующей рамкой, т.а, -ее периметр (положительное направление указано на рис. 1.2). Интегралы .по прямолинейным составляющим рамки берутся [1.4, 1.5, 1.16] и в виде, приведенном в [1.4], записываются;

ш . = У!

(4+1 -4Хгк )

1 1 и?к+1 - гк)"(гк - Г )' - £(гк+1 - гкХгк - Г

''(4+1 - 4 )(?к+1 - ?) (?к+1 - А )(4 - г)

(1.11)

1г. . - г!

)->:+] -1

гк ~ч

Здесь г5,...,гго (гга+, =?,)- радиус-векторы вершин вихревого ш - угольника о-,.

Потенциал, определяемый (1.7) удовлетворяет уравнению Лапласа (1.1) в силу гармоничности потенциала каждой из вихревых рамок. Кроме этого он убывает вместе со своим .градиентом на бесконечности. Тем самым выполняется условие (1.4).

Запишем граничное условие непротекания в контрольных точках т, с радиус-векторами % 0 = ) (на рис 1.2 обозначены крестиками):

ч

-

' V

\

ч

■ ' ч "Ч \

•'Л,

- ■ \\ л

Л

Г

I ^

V

Ой

.4.

'V

\

V

Рис. 1.2. К методу решения задачи

+ шЯО1(?0^)Д3 =4тгЧ1(г^,т). (1.12)

1 г

Запишем это уравнение в матричном виде

\\'0.тГ + \УаРЛ = В, (1ЛЗ)

где

'V > 11 '4яу.п(Г01,Х) '

, А-= , В =

^ N«7 )

(1,14)

Равенство (1.13) является системой линейных алгебраических уравнений и

используется для определения циркуляций на теле, являющихся компонентами вектора Г. Невырожденность матрицы \УяТ для произвольного распределения поверхности ат доказана в работе [2,11]. Это обеспечивает единственность решения системы. Сходимость полученного решения к точному при бесконечном измельчении разбиения от доказана в [2.22] дня случая бесциркуляционного обтекания плоской пластины.

Условие Чаплыгина-Жуковского на заданных участках острых кромок выполняется следующим образом. При сходе о,, с кромки ат циркуляции Аа

присваивается значение соответствующей примыкающей рамки г„.5 получаемой из предыдущего расчетного шага.

Граничные условия на пелене с?,, удовлетворяются тем, что вихревые отрезки, моделирующие вихревую пелену, перемещаются с местной скоростью жидких частиц.

Отметим, что при решении задачи нестационарного обтекания нет необходимости включать в расчетную .систему уравнений условие (1.6) о постоянстве циркуляции по замкнутым контурам, охватывающим обтекаемый объ-

ект и его вихревой след. В рассматриваемой модификации метода дискретных вихрей это условие удовлетворяется .автоматически .в силу способа-схематизации вихревых поверхностей замкнутыми вихревыми рамками.

-1.2,2. Алгоритм решения задачи. В параграфе излагается алгоритм расчета нестационарного циркуляционного обтекания Л А, Перепишем систему уравнений (1.13) в виде

У/аХГ = В-\УпРД. (1.15)

Алгоритм решения задачи нестационарного обтекания с началом образования вихревого следа выглядит следующим образом [2.1].

1) Вычисляются элементы матрицы \УаТ, которая остается неизменной

если в процессе расчета геометрия самолета остается также неизменной.

2) Вычисляется обратная матрица '!.

3) Предполагается, что на нулевом расчетном шаге вихревой след отсутствует. Другими словами, на нулевом шаге рассчитывается безциркуляци-онное обтекание ЛА.

4) Для расчетного момента времени те рассчитывается вектор В(тк).

5) Решением системы ..(1.15) определяются значения циркуляции на.с?х

Г(тк ) = (В(тк ) - ^сР{тк)А{тк )). (1.16)

-6) Рассчитываются распределенные и суммарные аэродинамические нагрузки па о,. При этом в расчете перепада давления с помощью интеграла Коши-Лагранжа (1.2)

л ,5(ф. - Ф ) , К 2 2ЧЧ /т 17Л

Ар=р+-р-=-р(---+ ))> и-17)

ОТ 1-

используется тот-факт, что разность потенциалов в контрольной точке т .равна [1.181 циркуляции вихревой рамки, охватывающей эту точку, а следовательно и

дт to

7) При известном поле скоростей определяется положение точек вихревой пелены к следующему расчетному моменту7 безразмерного времени %к+х и циркуляции вновь образующихся вихрей на ней.

8) Вычисляется матрица WnP(xl;+l).

После этого осуществляется переход к следующему расчетному шагу, на котором снова выполняются все вышеперечисленные пункты, начиная с четвертого. Расчет останавливается по достижении наперед заданного значения безразмерного времени счета.

Описанный выше алгоритм реализован В. А. Апариновым в программе расчета нелинейных аэродинамических характеристик ЛА при неустановившемся движении с малыми дозвуковыми скоростями на до- и закритических углах атаки, зарегистрированной в фонде .алгоритмов и программ ВВИЛ им. Н.Е.Жуковского под номером F15/48. Данная программа послужила основой для создания автором настоящей работы программы расчета аэродинамических характеристик тела на срывных режимах-обтекания, в которой с помощью предлагаемого автором критерия отрыва потока предусмотрена возможность определения линии схода пелены с поверхности на каждом расчетном шаге решения нестационарной задачи. Новой важной возможностью предлагаемого автором подхода и реализованного на его базе алгоритма является отсутствие необходимости заранее (до численного решения задачи) предполагать наличие .щи отсутствие отрывного .режима обтекания.

Формулировка критерия отрыва потока при обтекании тела идеальной несжимаемой жидкостью и способ определения линии отрыва в рамках принятой в работе дискретной вихревой модели обтекания рассматриваются в следующей главе настоящей работы.

за.

2. КРИТЕРИЙ ОТРЫВА ШТОКА

В главе рассматривается подход, позволяющий находить места отрыва потока в общем случае на гладких участках поверхности тела, движущегося в идеальной несжимаемой жидкости. Предлагаемый в.работе критерий отрыва потока был первоначально получен -автором для задачи плоскопараллельного обтекания. Проверка работоспособности критерия в указанном классе течений является, на взгляд .автора, необходимым условием для его последующего обобщения на случаи пространственного обтекания. Кроме того, рассмотрение критерия для .случая плоскопараллельных течений позволяет достичь следующих целей. Во-первых, формулировка критерия в данном случае является .физически более простой и наглядной, чем в случае пространственного обтекания. Во-вторых, существует множество задач, имеющих практический интерес, которые могут быть решены в рамках постановки о плоскопараллельном обтекании тел потоком идеальной жидкости. Поэтому в данной главе сначала рассматривается формулировка критерия в указанном выше случае Затем приводится, способ, позволяющий применить полученный для плоскопараллельного течения критерий на случай пространственного обтекания. В заключительном параграфе описывается методика.определения местоположения линии схода отрывной вихревой пелены в рамках используемой в работе дискретной вихревой .модели отрывного обтекания летательного аппарата.

2.1. Критерий отрыва потока для готоскопараллельного течения Рассмотрим плоскопараллельное в общем случае неустановившееся отрывное обтекание тела, движущегося в идеальной, несжимаемой и невесомой жидкости. Введем систему .координат о х у , в. которой .жидкость на бесконечном удалении от ее начала покоится (рис. 2.1).

V ,

- .од:

■к

\

Рис, 2.1. К критерию отрыва потока Пусть в рассматриваемый момент времени скорость точек тела (переносная скорость) равна

% = %+йхг, (2.1

где Ук - скорость поступательного движения точек тела, Й- угловая скорость вращения относительно начала системы координат ОХУ, жестко связанной с телом, ? •-(х,у) - радиус-вектор произвольной точки в этой системе координат. Скорость движения частиц жидкости V- в системе координат оху (абсолютная скорость) и¥ - скорость частиц жидкости относителъ-

& ' ё £ 4 * - I/ А . Г .

но системы координат ОХУ (относительная скорость) связаны между собой соотношением

У-У.=У0. (2.2)

Отрывное течение моделируется посредством введения в точках отрыва на поверхности тела ст т поверхностей тангенциального разрыва скорости 0Р ^эквивалентных в. кинематическом .отношении вихревым слоям [1.16]. В процессе движения тела эти поверхности считаются, свободными вихревыми пеленами, точки которых перемещаются по траекториям жидких частиц, образуя вихревой след за движущимся телом. Считается, что сход вихревых пелен с поверхности тела осуществляется по направлению вектора скорости в центре вихревого слоя на поверхности тела в точках отрыва.

Возможное возникновение отрывного обтекания движущегося в идеальной жидкости тела представляется, в рамках предлагаемого в настоящей

работе подхода, в виде зарождения на поверхности тела свободных вихревых пелен, которые в процессе дальнейшего движения формируют вихревой след за телом. Возмущенное движение жидкости в следе за обтекаемым телом требует некоторых затрат энергии извне. Поэтому в настоящей работе предлагается для определения положения точки отрыва потока рассмотреть, как возможное возникновение нового элементарного участка вихревой пелены в этой точке сказывается на затратах энергии, связанных с движением жидкости в следе за телом. Предлагаемый в работе критерий определения положения точки отрыва потока основывается на предположении о том, что возможное возникновение .в рассматриваемый момент времени нового участка вихревой пелены должно сопоовождаться минимальными захватами энетзгии, Посколь-

' ' 1 ' 1 X. X

ку жидкость полагается идеальной несжимаемой и невесомой, то на основании закона сохранения энергии можем заключить, что затраты энергии в единицу времени на преодоление сопротивления, обусловленного наличием вихревого следа за движущимся телом, выряжаются производной по времени от кинетической энергии Т возмущенного движения жидкости [1.17];

Т = £рОСп)с1а. (2.3)

Правая часть равенства (2.3) представляет собой работу сил давления, отнесенную к единице времени, возникающих на поверхности тела, точки которого движутся со скоростью V* . Рассмотрим, как зарождение нового участка

в

вихревой пелены в точке отрыва потока влияет на производную Т . Найдем »

изменение 8Т при следующем возможном (или виртуальном) процессе. Пусть в рассматриваемый момент времени в предполагаемой точке отрыва А в направлении по касательной к телу мгновенно (предполагается, что образовавшийся в предшествующие рассматриваемому моменты времени вихревой след не перемещается, являясь как бы "замороженным"), сходит .отрезок вихревой пелены бесконечно малой длины 5а Л (рис. 2,2),

Рис. 2.2. К критерию отрыва потока

Интенсивность вихревого слоя на этом отрезке будем считать постоянной и обозначать уА . Указанный отрезок вихревой пелены в дальнейшем будем называть виртуальным. Потребуем, чтобы при его появлении не нарушались граничные условия задачи (см. п. 1.1). Тогда в силу условия непротекания на поверхности тела и условия сохранения циркуляции по замкнутому контуру, охватывающему тело и его след, возникновение виртуального отрезка вихревого слоя приведет к появлению на участке поверхности тела длиной 8от = 5а А = За, находящимся непосредственно под сошедшим отрезком вихревой пелены, индуцированного распределения завихренности

о I --а

оу = -

I 0, г; <£ 8а .

Положим интенсивность вихревого слоя на появившемся отрезке равной уА = у0, где X,- относительная скорость частиц жидкости на поверхности те ла в точке А, Тогда относительная скорость на поверхности тела получит приращение вида

(2.4)

д¥

(- V,,, г е 5а 0, г £ до .

{¿.э)

Это .означает, что частицы жидкости справа от предполагаемой точки А возникновения разрыва в пределах участка поверхности длиной 8а получают дополнительную скорость -¥0.

Установим, с какой точностью- справедливы равенства (2.4) и (2.5). Из

геометрии известно [1.11], что —»:--, где Кл - радиус кривизны поверх-

Бсу 21ч д

ности ат в точке А, Ь- расстояние от правого конца виртуального отрезка до поверхности <?т (рис. 2,2). Индуцированное на поверхности тела приращение интенсивности вихревого слоя 8у образует совместно с уА на поверхности виртуального отрезка вихревого слоя диполь мощностью т, которую можно

, , (8а)' тг

оценить как ш « уАоап = —-—. компоненты скорости, индуцированные такой.особешшстью в окружающем пространстве, имеют порядок

-Гг т 1 (8сУ П А -г

у —_ = __уд ^—з где К- расстояние от точки А до точки наолюдения. лаК" 2 Ид Я

кал величина скорости создается диполем т на расстояниях много больших, чем длина виртуального отрезка к » За. На расстояниях от диполя равных

по порядку величины длине отрезка К ~ для V справедлива оценка _ 1

V - —уА— . В дальнейшем будем рассматривать такие участки поверхности

2 КА

\

с точки зрения возможности возникновения на них отрыва потока), для кото-

рых -> 0 при 5<у -» 0. Таким образом, дополнительными скоростями V в Кд

дальнейшем будем пренебрегать.

Прежде, чем получить выражение для 6Т, исключим с помощью интеграла Коши - Лагранжа (1,2) из (2.3) давление

Т = -р§

дг 2

(У„п)сЬ. (2.6)

Такое исключение позволит получить в дальнейшем выражение для 5Т в виде,.содержащим только скорости на поверхности тела, что-оказывается удобным .с точки зрения .формулировки критерия и его использования в алгоритме численного решения задачи.

Выполним некоторые промежуточные .преобразования, прежде чем перейти к окончательной формулировке критерия. Поскольку задача определе-

пия аэродинамических характеристик, как правило, решается в связанной с телом системе координат, то критерий, отрыва потока оказывается удобным получить в терминах величин, определяемых в. указанной системе. Выражение (2.6) в этом, случае примет вид

V? - V; д'Ф

—-+

(У,,п)аст5 (2.7)

51

где штрих у знака производной -означает, что она берется в системе координат, связанной с телом. При выводе последнего соотношения использован тот факт, что частные производные в земной и связанной системах координат

дф д'ф ЛП (2 Я)

РЛ д*

Кроме того использовано .следующее-равенство

v2 - - v2 v2 v? v2

-—+ —- —- —- —. (2.9)

2 2 2 2 2 4 '

" Проведем .еще -одно вспомогательное преобразование, введя обозначение § =

и!

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дмитриев, Михаил Леонардович

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Предлагаемый автором подход, в основу которого положено предположение об экстремальности изменения производной по времени от кинетической энергии возмущенного движения жидкости в ответ на внесение возмущения скорости на поверхности тела, может быть применен для расчета нестационарного отрывного обтекания тел в рамках теории идеальной жидкости. Сформулированный в рамках такого подхода критерий позволяет находить места отрыва потока на гладких участках поверхности обтекаемых тел.

2. Применение указанного критерия в сочетании с методом дискретных вихрей позволило создать методики расчета плоскопараллельного и пространственного отрывного обтекания тел и расчета аэродинамических характеристик самолета при его схематизации тонкими несущими поверхностями, реализованные в виде программ на языке ФОРТРАН.

3. Данные расчетов, выполненных автором для случаев отрывного обтекания кругового цилиндра, дозвукового аэродинамического профиля, сферы и крыла конечного размаха и толщины обнаруживают хорошее соответствие данным эксперимента при числах Решишь дса порядка !07 и больше, когда течение в пограничном слое является полностью турбулентным. Применение критерия в случае обтекания аэродинамического профиля, имеющего острую заднюю кромку дает возможность не требовать выполнения на ней заранее условия Чаплыгина-Жуковского. По крайней мере одна из сходящих с поверхности профиля пелен, благодаря использованию указанного критерия, находится на задней кромке профиля. В случае небольших значений угла атаки критерий отрыва потока обеспечивает реализацию безотрывного обтекания, когда отрывные пелены вырождаются в одну вихревую пелену, сходящую с задней кромки.

МО

Созданная автором методика позволяет адекватно воспроизводить как качественно так и количественно достаточно сложные эффекты, возникающие при моделировании динамического срыва на дозвуковых аэродинамических профилях,

4. Предлагаемый в работе подход дает возможность, не предполагая заранее отсутствия или наличия срывного обтекания самолета при его неустановившемся движении, получать значения коэффициентов сил и моментов, обусловленных силами давления со стороны окружающей его среды во всем диапазоне углов атаки. При проведении исследований при этом требуются меньшие ресурсы ЭВМ и временные затраты по сравнению с теми, которые необходимы при использовании подходов, связанных с учетом вязкости среды.

5. Используемый в работе подход к моделированию отрывных режимов обтекания не предполагает учета сил вязкого трения, поскольку предполагает среду идеальной жидкостью. В силу этого, полученные в расчетах результаты дают верхнюю границу диапазона изменения аэродинамических коэффициентов по числу Рейнольдса,

6. Ограничения и особенности применения разработанной автором методики расчета аэродинамических характеристик самолета состоят в следующем.

При схематизации самолета тонкими несущими поверхностями, те элементы его компоновки, на которых возможно возникновение отрыва потока, должны представляться неплоскими (изогнутыми в пространстве) тонкими поверхностями. В противном случае пои местном угле атаки, отличным от нулевого, отрыв будет происходить с передней кромки. Щ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дмитриев, Михаил Леонардович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Книги

1.1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М., Наука, 1975

1.2. Белоцерковский О.М., Белоцерковский С.М., Давыдов Ю.М., Ништ М.И. Моделирование отрывных течений на ЭВМ. - М., Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика", 1984.

1.3 Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. - М., Наука, 1988.

1.4 Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. - М., Наука, 1985.

1.5 Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. - М., Наука, 1978.

1.6. Белоцерковский С.М.. Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летательного аппарата при дозвуковых скоростях. - М., Наука, 1975.

1.7. Белов И.А. и др. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. - М., Судостроение, 1989.

1.8. Бетчеяор Дж. Введение в динамику жидкости. - М., Мир., 1975.

1.9. Борисенко А.И. Газовая динамика двигателей. - М., Оборонно, 1962.

1.10. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся Среды. -М., Наука, 1981.

1.11. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М., Наука, 1964.

1.12. Вихревые движения жидкости. Механика. Новое в зарубежной науке. - Вып 21 .Устойчивость и отрыв пограничного слоя, свободные и квантовые вихри. Пер. с англ. под ред. Николаевского В.Н. и Степанова Г.Ю. -М., Мир, 1979.

ккч

1.13. Гогиш Л.В., Степанов.Г.КХ. Отрывные и кавитационныетечения. - М, Наука, 1990.

1.14. Гулин A.B., Самарский A.A. Численные методы. - М., Наука,

1989.

1.15. Кашафутдинов. С Л ,, Лунин В.Н.. Атлас прфидей, СибНИИА,

1994.

1.16. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, - М., Физматгиз, 4.1, ч.2, 1948.

1.17. Котик М.Г., Фшшипов В JEL Полег на предельных режимах. -М., Воениздат, 1977.

1.18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика. В 10т. T.IY. Гидродинамика. - М., Наука, 1988.

1.19. Л ойцянский. ЛX. Механика жидкости и газа. - М... Наука.

1978.

1.20. Мартынов А.К. Прикладная аэродинамика. - М., Маши-

ностргение, 1972.

1.21. Пашковский. И,М.Г Леонов В,А,Г Полтавский Б.К. Летные испытания самолетов и обработка результатов испытаний. - М., Машиностроение. 1985.

1.22. Трехмерные-турбулентные пограничные слои. Под ред. Х.Фернхольца и Е. Краузе.. - М,т Мжрг 1985.

1.23. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. -М„ Мир, 1991.

1.24. Чжен П. Отрывке течения т. 1.-3. - М., Мир, 1972 - 1973.

L25..Джеймсон Мюллер Т,гБешжауз У.7 Краузе В., Белоцерков-ский О.М. Численные методы в динамике жидкостей. - М.. Мир, 1981. 1.26. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М., Наука, 1974.

2. Статьи

2.1. Апаринов В.А., Дворак A.B. Метод дискретных вихрей с замкнутыми вихревыми рамками. - Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского,

1986. вып. 1313.

2.2. Апаринов В.А., Дегтярев И.М., Ковалев Е.Д., Ништ М.И. Расчет нелинейных аэродинамических характеристик схематизированных компоновок летательных аппаратов. - Труды ВВИА. им. проф. Н.Е. Жуковского, 1979, вып. 1309.

2.3. Апаринов В.А., Ломов С.М.., Ништ М.И. Расчет нелинейных аэродинамических характеристик компоновок летательных аппаратов на различных этапах исследования.. - Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1983, вып. 1311,

2.4. Баскаков С.Г., Григорьев В.П. О выборе оптимального количества и местоположения вихревых особенностей при моделировании телесного профиля. - НММ по аэродинамике летательных аппаратов, ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1984.

2.5. Баскаков С.Г., Котовский H.H., Ништ М.И. Моделирование нестационарного отрывного обтекания крыла конечного размаха и толщины. - НММ по аэродинамике летательных аппаратов, ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1987.

2.6. Баскаков С.Г., Котовский В.Н., Ништ М.И. К расчету аэродинамических характеристик крыла конечного размаха и толщины произвольной формы в плане. - НММ по аэродинамике летательных аппаратов, ВВИА им. проф, Н.Е.- Жуковского,-1987.

2.7. Башкиров И.Г., Иродов Р.Д.. Курочкин Л.А., Новосельцев C.B., Онькова Л.Н. Аэродинамические компоновки перспективных истребителей. - М., Техника Воздушного Флота, 1993. №1.

2.8. Васильченко К.К., Вид В.И., Волк И.П., Заборов В.П., Лобас Л.Д., Мандельбаум Ю.В., Четвергов В.Н. Летные исследования маневренного самолета на больших и сверхбольших углах атаки. - М., Техника Воздушного Флота, !992, №4.

2.9. Вальес H .Г. Расчет срывного обтекания цилиндра при автоколебаниях в потоке идеальной жидкости. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1980., №3.

2.10. Головкин В.А., Калявкин В.М. Исследования обтекания колеблющегося по негармоническому закону аэродинамического профиля методом оптической визуализации - Труды ЦАГИ, 1990, №2463.

2.11. Дворак A.B. Невырожденность матрицы метода дискретных вихрей в задачах пространственного обтекания. - Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986, вып.1313.

2.12. Захаренко М.Н. Расчет отрывного обтекания задней кромки профиля. - Препринт №4, ЦАГИ, 1990.

2.13. Захаров С.Б. Расчет невязкош отрывного обтекания: тонкого кругового конуса на больших углах атаки. - Ученые записки ЦАГИ,

т.VII, №6, 1976.

2.14. Захаров С.Б. Влияние затупления передних кромок на характеристики отрывного обтекания треугольных крыльев малого удлинения. - Ученые записки ЦАГИ, т.ХШ, №4, 1982.

2.15. Ильичев К.П., Постоловский С.Н. Расчетные исследования нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, №2.

2.16. Лакшминараяма Б. Модели турбулентности для сложных сдвиговых течений. - Аэрокосмическая техника, 1987, №5.

2.17. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерным и кратным интегралом типа Коши. - ДАН СССР, т.231,1978, №2.

2.18. Павловец Г.А., Петров A.C. Об одной возможной схеме расчета отрывного-обтекания тел. - Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1572.

2.19. Прандтль Л, Теория несущего крыла. - ЦАГИ, М. - Л., 1931.

2.20. Серазетдинов З.Г., Шагиддулин P.P.. Расчет отрывного двумерного потока методом дискретных вихрей. - Физико-технический институт Казанского филиала АН СССР, Казань 1983. №3231-84 Деп., ВИНИТИ, 1984.

2.21. Табачников В.Г., Столяров Г.И. Некоторые особенности аэродинамических характеристик крыльев большого удлинения при ма-

44 5

лых числах Рейнольдса. - Труды ЦАГИ, 1985, №2290.

2.22. Тимофеев И.Я. Метод замкнутых вихревых особенностей численного решения двухмерного сингулярного интегрального уравнения теории несущей поверхности. - Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986, вып. 1313.

2.23. Харченко Е.А., Николаев Н.Я. Алгоритм расчета нестационарных гидродинамических сил, действующих на систему круговых цилиндров при отрывном обтекании. - Вычислительная гидродинамика, Горький, 1989.

3. Статьи на иностранных языках

3.1. Aso S., Hayashi М. Experimental and computational studies on dynamic stall in low speed flows. - Abstracts of IUTAM symposium on fluid dynamics of high angle of attack, Tokyo, 1992.

3.2. Carta P.O. Experimental investigation of the unsteady aerodynamic characteristics of a NACA 0012 aerofoil. - Res. Rep. M-1283-1, United Aircraft Corp., 1960.

3.3. Carr L.W. Progress in analysis and predicition of dynamic stall. - J. Aircraft, 1988, № i.

3.4. Liiva J. Davenport F J. Dynamic stall of aerofoil sections for highspeed rotors. - J. of the Amer. Helicopter Society, 1969,- Vol 14, №2. .

3.5. Mc. Croskey W. J., Mc Alister K.W., Carr L.W., Dynamic stall experiments on oscillating aerofoils. - AIAA J., 1976, Yol 19.

3.6. Me. Croskey W.J., Pucci S.L. Viseous-inviscid interaction oscillating -aerofoils. - AAIA J., 1982, Vol 20.

3.7. McD. Galbraith, Coton F.N., Jiang D., Gilmour R. Preliminary results from three-dimensional dynamic stall experiments of a finite wing. - 21-th European Rotorcraft Forum, 1995, p №2-3.

3.8. Mc. Ghee R.J. and Beasley W.D. Low speed aerodynamic characteristics of a 17-percent-thick airfoil section designed for general aviation application. - NASA TN, D-7428, 1973.

3.9. Metha V.B. Dynamic stall of an oscillating airfoil. - AGARD conference proceedings CP-227, 1977, paper 23.

3.10. Miyakama J. Shimbo Ye, Aso S. Numerical and experimental investigation on dynamic stall vortex. - Abstracts of IUTAM symposium on fluid dynamics of high angle of attack, Tokyo, 1992.

3.11. NACA Report № 610, 1934.

3.12. Roshko A. Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number. - J. Fluid Mech., 1961, 10, №3.

3.13. Sarpkava Т., Schoaf R.L. In viscid model of two-dimensional vortex shedding by a circular cylinder. - AIAA J., 1979, Vol. 17, №11.

3.14. Studer H.L. Experimented Untersuchungen uber Flugelschwingen.

- Inst. Aerod. Tech. Hochschule, Zurich, 1946, №4.

3.15. Tuncer I.H., Wu J.C., Wang C.M. Theoretical and numerical studies of oscillating airfoils. - AIAA J., 1980, Vol.17, №11.

4. Диссертации. Отчеты. Техническая информация

4.1. Кротков. О.Ю., Шумский Г.М. Численное исследование нестационарных аеродинамических характеристик несущих систем. - НТО Сиб.НИИА, Новосибирск, 1992.

4.2. Перспективы развития авиационной техники к 2000г. - Экспресс

- информация ВИНИТИ, Авиастроение, 1985, вып. 45.

4.3. Сборник аэродинамических характеристик крыловых профилей (по результатам испытаний в АДТ Т-106 ЦАГИ). - ЦАГИ, 1953, Вып. XI.

5. Нормативно-техническая документация 5.1. ГОСТ 20058-80 Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. - М., Издательство стандартов, 1981.