Аппроксимация поля скоростей при моделировании течений жидкости вихревыми методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Богомолов, Дмитрий Валерьевич

• Богомолов, Дмитрий Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Богомолов, Дмитрий Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ПЛОСКИХ ЗАДАЧАХ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ.

1.1 Общая характеристика метода дискретных вихрей в плоских задачах.

1.2 Основные уравнения метода дискретных вихрей в плоской задаче об отрывном обтекании тонкого профиля.

1.2.1 Физическая постановка задачи. Интегральное представление для поля скоростей.

1.2.2 Вихревая математическая модель.

1.2.3 Численная схема метода дискретных вихрей.

2 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ ВБЛИЗИ ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

2.1 Проблема вычисления поля скоростей на обтекаемой поверхности и в непосредственной близости от нее.

2.2 Вычисление поля скоростей вблизи твердой поверхности в задаче о стационарном обтекании пластины.

2.2.1 Расчет поля скоростей по прямой формуле.

2.2.2 Расчет поля скоростей с применением радиуса вихря.

2.2.3 Расчет поля скоростей с использованием радиуса вихря и гладкого профиля при г <rv.

2.2.4 Расчет поля скоростей с использованием радиуса вихря, гладкого профиля при г <rv и экстраполяции скорости из внешней области.

2.3 Алгоритмы расчета краевых значений скорости и давления в нестационарной задаче.

2.4 Примеры расчета краевых значений скорости и давления в нестационарной задаче.

3 ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВИХРЕВОГО СЛЕДА.

3.1 Исходные уравнения вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости в Лагранжевых координатах.

3.2 Дискретизация задачи.

3.3 Аппроксимация поля скоростей при заданном распределении завихренности.

4 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕВЫХ ОТРЕЗКОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О ЧЕХАРДЕ ВИХРЕВЫХ

КОЛЕЦ.

4.1 Дискретизация задачи.

4.2 Результаты моделирования явления чехарды вихревых колец.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимация поля скоростей при моделировании течений жидкости вихревыми методами»

В диссертации рассмотрены вопросы корректного вычисления поля скорости и моделирования движения вихревых следов в рамках вихревых методов.

Вихревые методы являются одной из групп численных методов для решения аэрогидродинамических задач. В теоретической гидродинамике [59, 62] известны классические результаты, относящиеся к динамике уединенных простейших вихрей и их систем. Практический интерес к подобным течениям вполне объясняет факт раннего возникновения имитационных методов вихревых частиц, которые прямо моделировали некоторые из этих течений. Впервые исследование вихрей можно найти в работе Г. Гельмгольца [103]. Теоремы Г. Гельмгольца о вихрях используются практически во всех вариантах вихревого метода. В работе JI. Розенхеда [122] был предложен вихревой метод для моделирования динамики тангенциального разрыва. Можно считать, что исторически это вообще был первый расчет методом «частиц». Интенсивное развитие и применение вихревых методов с использованием ЭВМ началось в шестидесятых годах.

Другой аспект использования вихревого подхода связан с моделированием границы области течения. Н.Е. Жуковский ввел понятие присоединенных (неподвижных относительно крыла) вихрей, стал родоначальником так называемой вихревой теории подъемной силы. В работе Н.Е. Жуковского [53] и в работе С.А. Чаплыгина [88] были сформулированы основы аэродинамической теории несущей поверхности. Задача обтекания тонкого профиля крыла идеальной несжимаемой жидкостью в плоском случае заключается в следующем. Определяется векторное поле скоростей на плоскости w(M) = (wl(M),w2(M)), М = М(х,у) - точка на плоскости. Ставится условие на бесконечности в виде: lim w(M\ = и, м|—>00 v } где: и = (cos a,sin a) - вектор скорости набегающего потока, а — угол атаки

Необходимо выполнение условий rot w = 0 и div w = 0 вне профиля. В каждой точке поверхности профиля ставится условие непротекания wn = 0. Одновременно была выдвинута идея, что при решении задачи стационарного обтекания профиля необходимо определять векторное поле, которое ограничивается вблизи задней кромки и возможно не ограничено в окрестности передней кромки.

В работах Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина и JL Прандтля [52, 74, 89] рассматривается возможность моделирования несущей поверхности вихревыми нитями. Для плоской задачи об обтекании тонкого профиля это равносильно тому, что возмущенное поле скоростей можно представить в виде суперпозиции особенностей типа вихрь, распределенных вдоль разомкнутой кривой L. w(M)= \y(s)v(M - МL(s))ds L где: s - естественный параметр на кривой L; Ml (s)- (xl (8)>Уь (~ точки кривой L; y(s) - неизвестная плотность вихревого слоя; v - векторное поле, вычисляемое согласно закона Био-Савара; 1 v(M)

2 71

V г2 J

5 г — Jx +у~ - векторная функция v(M) называется полем скоростей точечного вихря.

Задача о безвихревом обтекании профиля сводится к нахождению интенсивности вихревого слоя, которым заменяется поверхность этого профиля. С.М. Белоцерковский в 50-х годах XX века предложил метод численного нахождения интенсивности вихревого слоя, названый методом дискретных вихрей. В данном методе контур L аппроксимируется системой точечных вихрей, размещаемых в точках Mi i = 1,., п, равномерно распределенных по длине контура. Тогда возможно определить приближенное поле скоростей по формуле: 1 где: Г,- - неизвестные циркуляции точечных вихрей.

Для нахождения неизвестных циркуляций решается система линейных алгебраических уравнений, которые аппроксимируют граничное условие в точках коллокации (контрольных точках). Математическое обоснование данного метода было получено И.К. Лифановым в работах (см. [66, 64])

В 80-90-х годах XX века был разработан метод дискретных вихревых рамок, позволяющих решать трехмерные задачи аэродинамики [3]. В этом методе поверхность обтекаемого тела разбивается на ячейки четырехугольной и треугольной формы и по контуру каждой ячейки размещается вихревая нить неизвестной интенсивности. При этом поле скоростей ищется в виде суперпозиции скорости набегающего потока и скоростей, индуцируемых вихревыми рамками в соответствии с законом Био-Савара.

В дальнейшем метод был применен для расчета нестационарного отрывного обтекания тел. Обтекаемая поверхность заменялась системой присоединенных вихрей, которые в силу теоремы о сохранении циркуляции порождают свободные (не несущие) вихри, движущиеся вместе с жидкой средой. При этом задача сводится к определению интенсивности всех вихрей и положения свободных вихрей.

В нашей стране наиболее обширные исследования в области вихревых методов были выполнены в школе С.М. Белоцерковского. Существенный вклад в развитие таких методов и их применение принадлежит ученым ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского М.И. Ништу, В.А. Апаринову, В.В. Гуляеву, А.И. Желанникову, А.В. Двораку, В.Н. Котовскому, Б.Н. Крицкому,

И.К. Лифанову, Н.В. Хлапову и др. Вопросами обоснования вихревых методов занимались И.К. Лифанов, Л.Н. Полтавский, А.Ф. Матвеев, А.В. Сетуха, В.Ю. Кирякин. Обзор отечественных исследований вплоть до начала девяностых годов можно найти в монографиях С.М. Белоцерковского, А.С. Гинев-ского, М.И. Ништа и их коллег [15, 22, 17, 24]. Среди других отечественных работ необходимо отметить исследования новосибирской школы (Н.Н. Янен-ко, А.Н. Веретенцев, В.Я. Рудяк, П.А. Куйбин [31]), киевских ученых (Н.В. Салтанов, В.А. Горбань, С.А. Довгий [42], А.Н. Майборода [67]). Отметим также работы А.Б. Айрапетова [1], Г.Я. Дынниковой [48, 49, 50], Васина М.А., Н.В. Корнева [57, 9]

По своей идеологии метод дискретных вихрей хорошо приспособлен к современной вычислительной технике и позволяет проводить широкий численный эксперимент. Достоинством метода является его универсальность: с помощью единого подхода он позволил решить задачи от простейших линейных плоских до пространственных нелинейных. В МДВ расчетные схемы обтекания различных тел конструируют с помощью простейших вихревых элементов (вихревой отрезок, кольцевой и подковообразный вихри, замкнутые четырехугольные и треугольные вихревые рамки). Очень важно, что скорости, индуцируемые ими, удовлетворяют уравнению неразрывности, поэтому далее это уравнение можно исключить из рассмотрения. Все используемые в расчетах вихревые элементы строятся с учетом следующих теорем о вихрях:

• циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкой средой, во времени не изменяется;

• циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему вихревую нить, постоянна вдоль длины нити.

Следует отметить преимущества метода, особенно четко видные в рамках схемы идеальной несжимаемой среды. Во-первых, он обладает уникальными возможностями по выстраиванию вихревых следов и свободных границ (например, при изучении струй), по отслеживанию их эволюции в процессе развития. Во-вторых, здесь существенно снижается размерность задачи, поскольку нужно следить не за всем пространством, а только за вихрями в следе и на поверхности тела.

Среди зарубежных исследователей следует отметить работы Т. Сарпкайя [79] и Mosher М.С. [116]. Существенный вклад внес Leonard А. [112]. В области математического обоснования вихревых методов для решения задач вихревого движения можно отметить работы Beale J.T., Majda А. [91], Grengard С. [101], Hou T.Y., Lowengrub J.S. [106] и др.

Подробный обзор развития вихревых методов за последнее время представлен в работах Н.В. Корнева [57] и А.Е. Таранова [82]. Среди публикаций, посвященных практическому применению вихревых методов для решения инженерных задач, следует отметить работу Marshall J.S. and Grant J.R. [115], в которой вихревые частицы использовались для расчета взаимодействия лопасти и вихревого шнура, находящегося в вихревом потоке невязкой несжимаемой жидкости.

При представлении поля скорости в виде суперпозиции полей скоростей, индуцируемых этими особенностями, возникают бесконечные значения компоненты вектора скорости вблизи центров этих особенностей.

Для увеличения устойчивости вычислений приходится искусственно сглаживать поле скоростей, индуцируемое системой дискретных вихрей, что обычно делается за счет применения так называемого «вихря конечного радиуса»: поле скоростей, индуцируемого таким вихрем ограничивается вблизи центра вихря и совпадает с полем скоростей точечного вихря на расстоянии от центра больших некоторого заданного, именуемого «радиусом вихря».

В работе [23] на основании опыта, накопленного при решении задач об обтекании тел, рекомендуется использовать вихри конечного радиуса в случаях, когда происходит глобальное разрушение вихревых слоев и вихри могут подходить близко друг к другу и к контрольным точкам. При моделировании точечными вихрями это приводит к сильным выбросам вихрей и забросам давления в контрольных точках, для избегания которых предлагается использовать вихри радиуса rv = к At О < к < 1, причем, шаг интегрирования по времени А^, в свою очередь равен расстоянию между вихрями, моделирующими поверхность тела Ах. Параметр к при этом подбирается эмпирически.

В большинстве задач аэродинамики возникает необходимость вычисления полей скоростей и давления в непосредственной близости от поверхности обтекаемого тела и на самой этой поверхности. При вычислении вектора скорости вблизи поверхности, моделируемой тонким вихревым слоем, использование вихрей конечного радиуса сглаживает скачок скорости на этой поверхности и не позволяет правильно вычислить краевые значения вектора скорости, а также значения вектора скорости, на расстояниях от этой поверхности, меньших радиуса вихря. Вместе с тем, при моделировании отрывного обтекания тел часто приходится моделировать движение завихренности вблизи обтекаемой поверхности и, следовательно, нужно уметь правильно вычислять скорость жидкости вблизи поверхности.

В связи с этим в диссертации проведено исследование, направленное на построение и тестирование численных формул, позволяющих правильно вычислять скорость жидкости в любой точке течения вблизи поверхности, а также краевые значения вектора скорости и давления в любой точке поверхности обтекаемого тела. Это исследование проводилось на примере двумерных задач.

Другое направление исследований связано с разработкой численных схем моделирования трехмерных вихревых течений. В работах С.М. Бело-церковского и его последователей [17, 64] развиты численные схемы решения трехмерных задач обтекания тел, в которых поверхности тел и вихревые области внутри течения аппроксимировались системами замкнутых вихревых рамок или системами вихревых отрезков, соединяемых в замкнутые ячейки. При этом существенное внимание уделялось тому, чтобы в дискретной схеме нашло отражение свойство замкнутости вихревых линий (линий ротора вихревого поля). Последнее требование, однако, вызывает определенные трудности при практической реализации, вызванные сильным растяжение вихревых элементов. Данная ситуация возникает к примеру при моделировании обтекания парашюта под некоторым углом атаки, когда вихревая пелена, сходящая с подветренной стороны попадает внутрь купола, при этом не удается правильно моделировать явление. Поэтому возникает необходимость в создании альтернативной численной схемы. В частности предлагается использовать изолированные вихревые элементы. Вопросы аппроксимации векторных полей такими элементами, а также их применение в практических расчетах рассмотрено в работах М.А. Басина, Н.В. Корнева [9], А.В. Сетухи, В.Ю. Кирякина [56], Beale J.T., Majda А. [91], Caflish R., Lowengrub J., Hou T.Y. [105]

В данной диссертации разработан вариант численной схемы моделирования трехмерных вихревых течений в безграничном объеме при заданном начальном распределении завихренности, основанный на использовании изолированных вихревых отрезков. Проведено численное исследование точности аппроксимации мгновенного поля .скоростей при заданном распределении завихренности. Осуществлена численная реализация полного алгоритма решения нестационарной задачи о переносе завихренности и осуществлено тестирование этого алгоритма на примере классической задачи о «чехарде вихревых колец». Произведено сравнение полученных результатов с результатами численных исследований других авторов, выполненных по другим вихревым схемам, а также с известными данными физического эксперимента.

Цели и задачи исследования

• исследовать различные алгоритмы вычисления поля скоростей в методе дискретных вихрей и оценить их области применимости при вычислении характеристик течения на близких расстояниях от границы области течения;

• разработать алгоритм расчета поля скоростей и давления вблизи обтекаемой поверхности;

• разработать алгоритм аппроксимации трехмерных вихревых полей изолированными вихревыми отрезками;

• осуществить численное моделирование трехмерных нестационарных течений с использованием изолированных вихревых отрезков.

Научная новизна работы состоит в том, что:

• осуществлены численная реализация и тестирование новых формул для расчета характеристик течения вблизи твердой поверхности и их краевых значений в рамках известной схемы метода дискретных вихрей для плоских нестационарных задач отрывного обтекания тел;

• разработан и апробирован новый вариант численной схемы расчета трехмерных вихревых течений изолированными вихревыми отрезками.

Основные положения, выносимые на защиту

• результаты тестирования различных алгоритмов вычисления поля скорости вблизи границы области течения и усовершенствованный алгоритм, позволяющий осуществлять устойчивое вычисление поля скоростей и давления в любых точках течения вблизи поверхности;

• разработка и реализация на ЭВМ численной схемы расчета трехмерных вихревых течений, основанная на использовании изолированных вихревых отрезков;

• результаты тестирования алгоритма расчета поля скоростей по заданному распределению завихренности, направленного на оценку точности и устойчивости вычислений в зависимости от вычислительных параметров на основе численного эксперимента;

• результаты тестирования предложенной численной схемы расчета трехмерных вихревых течений на примере моделирования эффекта «чехарды вихревых колец».

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на:

• V международной школе-семинаре молодых ученых России и Украины «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орел 2006г.);

• XIII международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Херсон, 2007г.);

• международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре им. С.Н. Белоцерковского (г. Москва, ЦАГИ-ВВИА, 2008г.);

• научном семинаре кафедры прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана (г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008г.);

• VII международной конференции «Авиация и космонавтика -2008» (г. Москва, МАИ, 2008г.);

• научном семинаре кафедры аэродинамики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (г. Москва, ВВИА, 2008г.);

• научно-исследовательском семинаре кафедры высшей математики «Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения» (г. Москва, ВВИА, 2008г.).

По теме диссертационной работы имеется 6 публикаций.

1. Богомолов Д.В. Методика построения разгонного вихря Прандт-ля. // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Выпуск 4. Орел: ОГУ. - 2005, с. 17-23;

2. Богомолов Д.В. Некоторые исследования по уточнению вычислений полей скоростей в методе дискретных вихрей. // Труды XII международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2007». - Харьков-Херсон. - 2007. с.67-70;

3. Богомолов Д.В., Сетуха А.В. О численном моделировании трехмерных вихревых течений идеальной жидкости в безграничной области изолированными вихревыми элементами. // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. «Аэромеханика и прочность». - 2008. № 125(1) - с.73-78;

4. Богомолов Д.В., Марчевский И.К., Сетуха А.В., Щеглов Г.А. Численное моделирование пары вихревых колец в идеальной жидкости методами дискретных вихревых элементов. // Инженерная физика — 2008 №4 с. 8-17;

5. Богомолов Д.В., Сетуха А.В. О вычислении поля скоростей вблизи обтекаемой поверхности. // Вюник Харювського нащонального ушверситету, - 2008. - № 809. Сер1я. «Математичне моделювання. 1нформацшш технолоп1. Автоматизоваш системи управлшня», вип. 9. -с. 32-41;

6. Богомолов Д.В., Сетуха А.В. Численное моделирование движения пары вихревых колец в идеальной жидкости методом дискретных вихревых элементов. // VII международная конференция «Авиация и космонавтика - 2008»: Тезисы докладов. - М.: МАИ-ПРИНТ, 2008. - с.90-91.

Краткое содержание диссертации.

В разделе 1 представлены основные уравнения метода дискретных вихрей в плоских задачах. Представлена физическая постановка задачи и вихревая математическая модель. Описывается численная схема метода дискретных вихрей для нелинейной нестационарной задачи об обтекании профиля.

Раздел 2 посвящен исследованию вопросов аппроксимации поля скоростей в непосредственной близости от твердой поверхности и на самой обтекаемой поверхности в рамках метода дискретных вихрей в плоских задачах. Проведено исследование, направленное на построение и тестирование численных формул, позволяющих правильно вычислять скорость жидкости в любой точке течения вблизи поверхности, а также краевые значения вектора скорости и давления в любой точке поверхности обтекаемого тела. Сначала анализируются различные подходы к вычислению скорости, индуцируемой вихревыми элементами, находящимися на поверхности профиля. Такое исследование проводится на примере простейшей задачи о потенциальном стационарном обтекании профиля. Затем полученные формулы для вычисления компонент вектора скорости жидкости вблизи профиля применяются в нестационарной задаче.

В разделе 3 рассматривается трехмерная модель движения вихревого следа. Выполнено исследование вопросов регуляризации уравнения переноса завихренности для идеальной несжимаемой жидкости. Приведена схема дискретизации поля завихренности и схема аппроксимации поля скоростей. Предложена численная схема моделирования трехмерного вихревого течения в неограниченном объеме, основанная на использовании изолированных вихревых отрезков. Проведено численное исследование точности аппроксимации поля скоростей при заданном мгновенном распределении завихренности.

В разделе 4 осуществлено тестирование численной схемы решения полной нестационарной задачи о движении завихренности в идеальной жидкости на примере численного моделирования известного эффекта «чехарды» вихревых колец. Исследовалось развитие течения с начальным распределением завихренности в виде двух коаксиальных вихревых колец конечной толщины (торов) с одинаковым направлением вектора завихренности. Проведено численное исследование получаемых решений на сходимость при уменьшении параметров дискретизации. Произведено сравнение получаемых результатов с численными результатами других авторов, полученными по другим вихревым схемам, а также с данными физического эксперимента.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, отражающие ее научную новизну и практическую значимость.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Богомолов, Дмитрий Валерьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования позволили сформулировать следующие результаты и выводы:

• Предложены уточненные расчетные формулы, позволяющие правильно вычислять вектор скорости на любом сколь угодно малом расстоянии от моделируемой поверхности, в том числе и вблизи дискретных вихрей. В этих формулах вычисление скорости, индуцируемой свободными вихрями, моделирующими вихревой след, осуществляется непосредственно в рассматриваемой точке вблизи поверхности с использованием сглаживания поля скоростей, индуцируемого дискретным вихрем. Для вычисления скорости, индуцируемой дискретными вихрями, аппроксимирующими поверхность, применяется процедура экстраполяции из внешней области. Численными экспериментами подтверждена возможность правильного вычисления вектора скорости всюду в области вблизи поверхности тела, а также краевых значений вектора скорости на поверхности.

• На основании разработанных формул вычисления скорости вблизи поверхности получены и протестированы формулы для нахождения давления в жидкости вблизи поверхности тела и краевых значений давления на поверхности тела. Достоинством этих формул является то, что для вычисления краевых значений давления в методе вихревых пар не нужно вычислять градиент от скачка потенциала вектора скорости на поверхности тела.

• Сформулирована модификация вихревого численного метода для трехмерного уравнения переноса завихренности в идеальной жидкости, основанная на использовании изолированных вихревых отрезков. Проведены методические исследования по проверке точности алгоритма нахождения поля скорости по заданному распределению завихренности, в которых решения, полученные при различных вычислительных параметрах сравнивались между собой и с аналитическими данными. Эти исследования показали возможность достижения высокой точности вычислений поля скоростей при правильной регуляризации интегральных представлений.

• Осуществлено численное решение задачи о движении пары вихревых колец конечной толщины. В расчетах был смоделирован эффект чехарды вихревых колец. При этом удалось получить устойчивые решения на длительном временном интервале, за который кольца делают несколько полных оборотов. Сравнение численных решений для различных значений вычислительных параметров показывает тенденцию к сходимости получаемых решений при стремлении к нулю параметров дискретизации. Полученные решения удовлетворительно согласуются с решениями, полученными по другим схемам, и с имеющимися данными физического эксперимента.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Богомолов, Дмитрий Валерьевич, 2008 год

1. Айрапетов Б.А. О корректности в среднем задачи Коши для системы обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, Труды ЦАГИ, вып. 1784, 1976, с. 18-23.

2. Андронов П.Р., Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных гидродинамических нагрузок. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006. 184 с.

3. Апаринов В.А., Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Михайлов А.А. -Расчет нестационарных аэродинамических характеристик тел при отрывном обтекании. ЖВМиМФ, 1988. - т.2, №16. - с 1558-1566

4. Апаринов В.А., Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Соколова О.Н. О математическом моделировании в идеальной жидкости отрывного обтекания крыла и разрушения вихревой плены // Доклады АН СССР. 1976. № 4(227)

5. Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., Ништ М.И. Нелинейная теория крыла и ее приложения. — Алматы: Гылым, 1997 — 448с.

6. Аэродинамика боевых летательных аппаратов и гидравлика их систем. М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского 1993. - 570с.

7. Бабкин В.И., Белоцерковский С.М., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. М.: Наука, 1989, 208с.

8. Буланчук Г.Г., Буланчук О.Н., Довгий С.А. Моделирование взаимноговлияния двух пластин на изменение их суммарного сопротивления. Вестник Харьковского национального университета №775. — Харьков, 2007,-с. 50-61.

9. Басин М.А., Корнев Н.В. Аппроксимация вихревого поля в безграничной среде // ЖТФ. т. 64. - 1994. - С. 179-185.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы / под общ. ред. Н. И. Тихонова. 2-е изд. - М.: Физматлит: Лаб. базовых знаний; СПб.: Невск. Диалект. - 2002. - 630 с.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. - 632с.

12. Белоцерковский О.М., Белоцерковский С.М., Давыдов Ю.М., Ништ М.И., Моделирование отрывных течений на ЭВМ. М.: Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР, 1984.

13. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука. - 1984. - 520 с.

14. Белоцерковский О.М. Вычислительный эксперимент: прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Больцмана. В кн.: Численные методы в динамике жидкостей. М.: «Мир», 1981

15. Белоцерковский С. М., Гиневский А. С. Моделирование турбулентности струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Наука, 1995.

16. Белоцерковский С. М., Хлапов Н. В. Моделирование влияния диффузии вихрей на турбулентные характеристики струй /Там же. С. 94-103.

17. Белоцерковский С.М. Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтеканиетонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978

18. Белоцерковский С.М. Ништ М.И. Исследование особенностей обтекания пластинки при больших углах атаки // Известия АН СССР. МЖГ. 1973. № 5

19. Белоцерковский С.М. Ништ М.И. О двух режимах срывного обтекания пластины // Доклады АН СССР. 1973. № 4(213)

20. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука 1965

21. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Компьютерная концепция вихревой турбулентности // Изв. вузов. Нелинейная механика. 1995. Т. 3, № 2. С. 72-93.

22. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M., Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания

23. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра // Изв. АН СССР, МЖГ. 1983.- № 4. - С. 138-147.

24. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости и электродинамике, М.: Наука, 1985

25. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Котовский В.Н., Федоров P.M. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы. М.: ЦАГИ, 2000

26. Богомолов Д.В., Сетуха А.В. О численно моделировании трехмерных вихревых течений идеальной жидкости в безграничной области изолированными вихревыми элементами. // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. «Аэромеханика и прочность». -2008. № 125(1). С. 73-78.

27. Богомолов Д.В., Марчевский И.К., Сетуха А.В., Щеглов Г.А. Численное моделирование пары вихревых колец в идеальной жидкости методами дискретных вихревых элементов. // Инженерная физика 2008 №4 с.8-17

28. Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкостей. — М.: Издательство «Мир» 1973, 778с.

29. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложениях. М.: Янус-К, 2001.-508с.

30. Валландер С.В. Лекции по .гидроаэромеханике. Учебное пособие. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1978, 296с.

31. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. Вариационный метод построения дискретных вихревых моделей, Препринт 29, СО АН СССР, ИТПМ, 1982, 15 стр.

32. Вилля Г. Теория вихрей. — М.:, Ленинград: ОНТИ Главная редакция общетехнической литературы 1936, 266с.

33. Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И., Федяевский К.К., Гидромеханика, 2-е изд., перераб. и доп. — Л: Судостроение. 1982. - 456 с.

34. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640с.

35. Гельмгольц Г. Основы вихревой теории. М.: - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 88с.

36. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. М.: Наука, 1979

37. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. -1976.-400 с.

38. Годунов С.К., Уравнения математической физики. М.: Наука. - 1971. -416с.

39. Голубев В.В. К теории вихревых дорог Кармана. Математический сборник, 1933, т. 40, вып. 1.

40. Голубев В.В. Лекции по теории крыла. М.: Гостехиздат, 1949.

41. Голубев В.В. О строении спутной зоны за плохо обтекаемым телом. Изв. АН СССР, ОТН, 1954, № 12

42. Горбань И.Н., Горбань В.А., Салтанов Н.В. Численные дискретно-вихревые модели некоторых плоских отрывных течений, Гидродинамика больших скоростей, Чебоксары, 1989, с 16-17.

43. Горелов Д.Н., Куляев Р.Л., Нелинейная задача о нестационарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью // МЖГ. 1971. - № 6. -С. 38-47.

44. Гуржий А.А., Константинов М.Ю., Мелешко В.В. Взаимодействие коаксиальных вихревых колец в идеальной жидкости. // МЖГ. 1988, №2. — С.78-84.

45. Гусев А.А., Попов С.Г. О формировании некоторых вихревых поверхностей. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1963, № 6

46. Гутников В.А., Лифанов И.К., Сетуха А.В. О моделировании аэродинамики зданий и сооружений методом замкнутых вихревых рамок. // Изв.

47. РАН МЖГ, 2006, №4. -с.78-92.

48. Довгий С.А., Лифанов И.К. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложения. Киев. Наукова думка, 2002. - 343с.

49. Дынникова Г.Я. Аналог интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости // МЖГ. 2000. - № 1.-С. 31-41.

50. Дынникова Г.Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса // ДАН. т. 399. - 2004. - № 1. - С. 42-46.

51. Дынникова Г.Я. Силы, действующие на тело, при нестационарном вихревом отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью // Изв. РАН МЖГ.-2001.-№2.-с. 128-138.

52. Жуковский Н.Е. Вихревая теория лобового сопротивления Кармана, 1914, Собрание сочинений, т IV, М.: Гостехиздат, 1949

53. Жуковский Н.Е. О присоединенных вихрях. — Собрание сочинений. Т.6, М.: Гостехиздат, 1948

54. Жуковский Н.Е. Теоретические основы воздухоплавания. Собрание сочинений. Т.6, М.: ГостехизДат, 1948

55. Каменков Г.В. О вихревой теории лобового сопротивления. Труды III Всесоюзной конференции по аэродинамике, ч. И, ЦАГИ, 1935

56. Кирякин В.Ю. Моделирование обтекания объектов методом дискретных вихрей с представление вихревой пелены изолированными вихревыми частицами. // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. «Аэромеханика и прочность». 2008. № 125(1). - С. 79-83.

57. Кирякин В.Ю., Сетуха А.В. О сходимости вихревого численного методарешения трехмерных уравнений Эйлера в лагранжевых координатах // Дифференциальные уравнения. 2007. — Т.43, № 9. - С. 1263-1276,

58. Корнев Н.В., Метод вихревых частиц и его приложение к задачам гидродинамики корабля: диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Санкт-Петербург. - 1998. - 254 с.

59. Космодемьянский А.А. Некоторые вопросы аэродинамической теории сопротивления. Уч. зап. МГУ, 1940, вып. 46

60. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В., Теоретическая гидромеханика. ч. 1.-М.: Физматгиз.- 1963. - 583 с.

61. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В., Теоретическая гидромеханика. ч. 1. - М.: Физматгиз. - 1963. - 583 с.

62. Кочин Н.Е. О неустойчивости вихревых цепочек Кармана. Доклад АН СССР, 1939, т. XXIV №1

63. Ламб Г., Гидродинамика. М.: Гостехиздат. - 1947. - 928 с.

64. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986, 733с.

65. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТО Янус, 1995

66. Лифанов И.К. О построении следов в методе дискретных вихрей. // ДАН, 1993, т.ЗЗО, № 5 с.574-578

67. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений. // ПММ. 1975, т.39, №4 - с. 742-746

68. Майборода А.Н. Математическая модель гидродинамики для тела, пелресекающего свободную поверхность идеальной весомой жидкости.

69. Милн-Томсон JI.M. Теоретическая гидродинамика, М.: Издательство «Мир» 1964, 660с.

70. Мусхелишвили Н.Н. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968, 512с.

71. Жуковский Н.Е. «Заметка о движении вихревых колец» Математический сборник т. XXVI 1907 г.

72. Петров Г.И., Штейнберг Р.И. Исследование потока за плохообтекаемы-ми телами. Труды ЦАГИ, 1940, вып. 46

73. Пивень В.Ф. Теория и приложения математических моделей фильтрационных жидкости. Орел. Изд-во ГОУ ВПО «Орловский госуниверситет». 2006. 508 с.

74. Прандтль JI. Теория несущего крыла. — Перевод с немецкого. М.: 1931

75. Прандтль JL, Титьенс О. Гидро- и аэромеханика / Перевод с немецкого М.: ОНТИ, 1935. Т. 1,2.

76. Полонский Я.Е. Некоторые вопросы машущего крыла. Инж. Сборн. института механики АН СССР, 1950, т. VIII

77. Полтавский JI.H. Математическое обоснование некоторых численныхсхем в аэродинамике: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — Москва. — 1991. — 264 с.

78. Самарский А.А., Попов Ю.П., Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука. — 1980. 352 с.

79. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Современное машиностроение. Серия А, 10, 1989, 1-60

80. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука 1980

81. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Издательство иностранной литературы, 1963, 257с.

82. Таранов А.Е., Применение метода вихревых частиц для решения задач динамики вязкой жидкости: диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Санкт-Петербург. - 2001. - 152 с.

83. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы. / Под ред. С.М.Белоцерковского. М.: ЦАГИ, 2000. - 266 с.

84. Устинов М.Д. Задача о движении идеальной несжимаемой жидкости около полубесконечной пластины с учетом вихревого отрыва. Изв. АН СССР, ОТН, 1959, №9.

85. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей / Пер. с англ.-М.: Мир.-т. 1.-1991.-504 с.

86. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей / Пер. с англ.-М.: Мир.-т. 2.- 1991.-552 с.

87. Харин В.Г. О свертывании вихревых слоев в идеальной жидкости, Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1960, №1.

88. Чаплыгин С.А. К общей теории крыла моноплана. — Собрание сочинений. Т.2, М.: Гостехиздат, 1948

89. Чаплыгин С.А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела. Собрание сочинений. Т.2, М.: Гостехиздат, 1948

90. Anderson C.R, A method of local corrections for computing the velocity field due to a distribution of vortex blobs // J. Сотр. Physics. 62. - 1986. -pp.111-123.

91. Beale J.T., Majda A., Vortex method higher order accuracy in two and three dimensions, Math, of computation, vol. 39, №159, 1982, pp. 29-52

92. Bernard P.S., Dimas A.A, Collins J.P., Turbulent flow modeling using a fast, parallel, vortex tube and sheet method // Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods. — 7. 1999. - pp.4655.

93. Chorin A.J., Microstructure, renormalization and more efficient vortex methods //Esaim: proceedings, v. 1. - 1996. — pp. 1-14

94. Chorin A .J., Numerical study of slightly viscous flow // J. Fluid Mech. — v. 57.- 1973.-pp. 785-796

95. Chorin A.J., On the convergence of discrete approximations to the Navier-Stokes equations // Math. Сотр. v. 23. - 1969. - p. 341.

96. Chorin, A.J., Hairpin removal in vortex interactions ii, // J. Сотр. phys. — v. 107.-1993, pp. 1-9.

97. Chorin, A.J., Haiipin Removal in Vortex Interactions, // J. Сотр. Phys. v. 91,-1990.-pp. 1-21.

98. Coates С. V. On circular vortex rings // Quart. J. Pure Apple. Math. 1879.- 16, №62.-P. 170-179.

99. Dyson F. The potential of an anchor ring. Pt. 2 // Phil. Trans. R. Soc. Lond.1893. — A 184. —P. 1041 — 1106.

100. Fraenkel L.E. Examples of steady vortex rings of small cross-section in an ideal fluid //J. Fluid Mech. 1972. - 51, p. I.- P. 119 - 135.

101. Greengard C. The core spreading method approximated the wrong equation, J. Comput. Phys., 61, 1985, pp. 345-348.

102. Greengard L., Rokhlin V., A fast algorithm for particle simulations, // J. Comput. physics. v. 73. - 1987. - pp. 325-348.

103. Helmholtz, H., Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen // Zeitschrift fuer reine und angewandte Mathematik. LV. - 1858. - pp. 485-512.

104. Hicks W.M. On the steady motion and small vibrations of a hollow vortex // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1884. - 175, pt. 1. - P. 161 - 195. Hicks W.M. Researches on the theory of vortex rings // Ibid. - 1885. - 17в, pt. 2. - P. 725-780.

105. Hou T.Y., Lowengrub J.S. and Shelley M.J., Removing the stiffness from interfacial flows with surface tension // Journal of Comput. Phys. v. 114.— 1995.-p. 132.

106. Hou T.Y., Lowengrub J.S., Convergence of the point vortex method forthe 3DEuler equation, Commun. On pure and applied math., XLIII, 1991, pp. 965-981.

107. Iida A., Kamemoto K., Ojima A., Prediction of aerodynamic sound spectraby using an advanced vortex method // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey. 2001. -pp. 235-242.

108. Karman Th. Flussigkets und Luftwiderstand. Phisik. Zeitschrift, 1912, Bd. XIII.

109. Kamemoto K., Engineering application of the vortex methods developed in Yokohama National University // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey. 2001. - pp. 197-209.

110. Kornev N., Leder A., Mazaev K., Comparison of two fast algorithms for the calculation of flow velocities induced by a three-dimensional vortex field // Schiffbauforschung. v. 40. - 2001. - 1. - pp. 47-55.

111. Krutitskii P.A., Kwak D.Y., Huon Y.K., Numerical treatment of a skew-derivative problem for the Laplace equation in the exterior of an open arc. // Journal of Engineering Mathematics, 2007, v.59, pp.25-60.

112. Leonard A., Computing three-dimensional incompressible flows with vortex elements. // Annu. Rev. Fluid Mech., 17, 1985, pp. 523-599.

113. Lewis Т.О. On the images of vortices in a spherical vessel // Quart. J. Pure Appl. Math. 1879. - 16, N 64. - P. 338-347.

114. Lichtenstein L Uber einige Existenzprobleme der Hydrodynamik homoge-ner, unzusammendriickbater, reibangsloser Flussigkeiten und die Helmholtz-schen Wirbelsatze//Math. Zeibchrift. 1925. - 23, - S 8 - 154.

115. Marshall J.S., and Grant J.R., Penetration of a blade into a vortex core: vor-ticity response and unsteady blade forces // J. Fluid Mech v. 306. — 1996. — pp. 83-109.

116. Mosher M.C., A Method for computing three-dimensional vortex flow,

117. Zeitschrift flier Flugwissenschaften, 9, Heft 3, 1985, pp. 125-133

118. Norbury J. A family of steady vortex rings //J. Fluid Mech. — 1973. — 57, pt. 3. -P.4I7 — 431

119. Ojima A., Kamemoto K. Numerical simulation of unsteady flow around three dimensional bluff bodies-by an advanced vortex method.// JSME International Journal, Series B, Vol.43, No.2 (2000) pp. 127-135.

120. Ota S., Kamemoto K., Study on higher resolution of vorticity layer over a solid boundary for vortex methods // Proc. of The Second Intern. Conf. on Vortex Methods September 26-28, Istanbul. Turkey. - 2001. - pp. 33-40.

121. Prandtl L. Uber die Entstehung von Wirbeln in der idealen Fliissigkeit mit Anwendungen auf die Tragfliigeltheorie und andere Aufgaben. Vortrage aus dem gebiet der Hydro und Aerodynamik (Insbruk, 1922)

122. Prandtl L. The Generation of Vortices Fluids of Small Viscosity. The Journal of the Royal Aeronautical Society, 1924

123. Rosenhead L., The formation of vortices from a surface of discontinuity, // P. Roy. Soc. bond.-A134.- 1931.-pp. 170-192.

124. Saffman P.G. The velocity of viscous vortex rings // Stud. Appl. Math. — 1970. —49, N4. —P. 371-380.

125. Taranov A., Kornev N., Leder A., Development of the Computational Vortex Method for Calculation of Two-Dimensional Ship Sections with Flow Separation // Schiffbauforschung. v. 39. - 2000. - 2. - pp. 95-105.

126. Winckelmans G.S., Leonard A. Contributions to Vortex Particle Methods for the computation of Three-Dimensional Incompressible Unsteady Flows // Journal of сотр. Physics, 109, 1993. P. 247-273.

127. Yamada H., Matsui Т., Mutial slip-through of a pair of vortex rings // Phys. Fluids. 1979. - 22, №7. - pp. 1245-1249.