Метод вихревых частиц и его приложение к задачам гидроаэродинамики корабля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор технических наук Корнев, Николай Владимирович

• Корнев, Николай Владимирович
• доктор технических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор технических наук Корнев, Николай Владимирович

5.4.3 Конвекция вортонов

5.4.4 Расчет вихревого излучения границ

5.4.5 Определение интенсивности фиктивного вихревого слоя

5.5 Тестирование метода. Диффузия вихревых частиц

5.6 Заключительные замечания

6 Моделирование турбулентности методом вихревых элементов на основе метода LES

6.1 Вывод основных уравнений

6.2 Напряжения метода LES

6.3 Основные расчетные формулы для экспоненциального вортона

6.3.1 Частные случаи

6.4 Методические расчеты

6.5 Парадокс закона Смагоринского

6.6 О сохранении завихренности в турбулентном потоке

7 Проблема сохранения инвариантов в методе вихревых частиц

7.1 Законы сохранения для трехмерных вихревых полей

7.2 Сохранения линейных инвариантов в методе вихревых частиц

7.3 Численное определение кинетической энергии, helicity

и энтропии

8 Устойчивость метода вихрей

8.1 Общие положения устойчивости метода вихрей

8.2 Примеры исследования устойчивости метода вихрей

8.2.1 Корректные численные схемы для задачи динамики вихревой пелены

8.2.2 Устойчивость метода экспоненциальных вортонов

8.2.3 Об одном способе снижения сингулярности и повышения устойчивости при расчете динамики системы дискретных вихрей

9 Решение нелинейных волновых задач вихревым методом.

9.1 Метод вихревого слоя для решения двумерных нелинейных нестационарных задач волнового обтекания .

9.1.1 Панельный численный метод

9.2 Вихревой метод для решения нелинейных пространственных стационарных волновых задач подводного крыла

9.2.1 Основные уравнения

9.2.2 Численный метод

III Приложение метода вихревых частиц к решению прикладных проблем аэрогидродинами-

ки корабля

10 Исследование нелинейных характеристик крыльев вблизи границы раздела

10.1 Введение

10.2 Основные уравнения

10.3 Численный метод

10.4 Результаты исследований

10.4.1 Верификация метода

10.4.2Роль первого фактора нелинейности

10.4.3 Роль второго фактора нелинейности

10.4.4Роль третьего фактора нелинейности

10.4.53аключение

11 Применение вихревого метода для расчета гидродинамических характеристик (ГДХ) подводных крыльев

11.1 Решение двумерных нелинейных нестационарных волновых задач вихревым методом

11.1.1 Верификация вихревого метода

11.1.2Гидр о динамические характеристики крыльевых профилей в условиях сильного нелинейного взаимодействия со свободной поверхностью

11.2 Исследование трехмерных нелинейных стационарных волновых задач вихревым методом

11.2.1 Верификация метода

99

103 103

11.2.2 Роль нелинейных факторов при расчете волнового следа быстроходных судов

11.2.3 О взаимном влиянии концевых вихрей и волновой поверхности

12 Динамика концевых вихрей над экраном

12.1 Введение

12.2 Динамика вихревого шнура в ближнем вихревом следе крыла

12.2.1 Особенности вихревого следа экраноплана

12.2.2 О возможном подъеме концевого вихря над экраном

12.3 Неустойчивость и динамика концевых вихрей над твердой поверхностью в идеальной жидкости. Дальний вихревой след

12.3.1 Линейная теория устойчивости концевых вихрей над твердой поверхностью

12.3.2 Нелинейная динамика концевых вихрей над экраном в идеальной жидкости

12.3.3 Заключение

12.4 Время распада вихревого следа над экраном при больших высотах полета

12.5 Взаимодействие двумерного вихря с твердой стенкой в вязкой жидкости

12.5.1 Введение

12.5.2 Особенности численной схемы

12.5.3 Результаты расчетов

12.5.4 Заключение

12.6 Трехмерная неустойчивость концевых вихрей вблизи экрана в вязкой жидкости

12.6.1 Особенности численной схемы

12.6.2 Результаты численных исследований

12.6.3 Заключение. Сценарий распада вихрей вблизи экрана вследствие длинноволновой конвективной неустойчивости

13 Расчет отрывного обтекания двумерного контура потоком вязкой жидкости . 220 13.1 Особенности численной схемы

13.2 Тестовые расчеты

14 Перезамыкание вихревых линий в вортонных системах227

Заключение.

Литература.

Часть I

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод вихревых частиц и его приложение к задачам гидроаэродинамики корабля»

Введение

1 Метод вихревых частиц, его достоинства и недостатки

В настоящее время существует огромный интерес к методам вихревых частиц, основанных на лагранжевом описании движения жидкости. Согласно этому, методу движущиеся зоны завихренности представляются набором вихревых частиц, в качестве которых используются двумерные дискретные вихри, вихревые зерна, вихревые отрезки, рамки, пространственные зерна, элементы с различным распределением завихренности по пространству. Каждая вихревая частица характеризуется формой, интенсивностью, а также какой- либо геометрической величиной, например, радиусом или длиной. Частицы конвектируют вместе с жидкими частицами с локальной скоростью потока. Завихренность вихревых частиц меняется согласно уравнениям переноса, а их радиус или длина полагаются постоянными или меняются в соответствии с уравнениями деформации жидкой среды. В вязкой жидкости кроме конвекции вихревых элементов имеет место также их диффузия и генерация на границах потока.

Вихревые методы базируются на представлении скорости в виде суммы градиента скалярной функции и ротора векторного потенциала, законе Био-Савара и уравнении Навье-Стокса, записанного в переменных вихрь-скорость. Различного рода идеи используются для учета граничных условий (см. следующую главу). В последнее время вместо непосредственного использования закона Био-Савара в целях повышения эффективности расчета скорость, индуцированную вихрями, находят через векторный потенциал, определяемый из решения уравнения Пуассона.

Вихревые методы являются мощным и эффективным инструментом теоретического исследования концентрированных вихревых структур. Они имеют следующие преимущества по сравнению с традиционными конечно-разностными, конечно-элементными и псевдоспектральными подходами

• Вычислительные вихревые методы, базирующиеся на лагран-

жевом описании, требуют размещения контрольных вычислительных узлов (точки, совпадающие с центрами вихревых элементов) только в ограниченной части потока там, где завихренность не равна нулю ( фактически в очень малой части потока). Эта особенность вихревого метода особенно ярко проявляется при исследовании течений в безграничном обьеме, который может быть существенно усечен, и при решении нестационарных задач с хаотически движущимися концентрированными вихревыми образованиями.

• Вихревые методы содержат меньшую искусственную вязкость чем та, которая появляется при конечно-разностном представлении конвективных слагаемых в уравнении Навье-Стокса.

• В вихревом методе непосредственно рассчитывается завихренность, а скорость получается интегрированием по закону Био-Савара. В итоге, ошибка вычисления скорости много меньше, чем в конечно-разностных методах той же точности, в которых скорости вычисляются непосредственно.

• При использовании вихревых методов проблема устойчивости расчетов при высоких числах Рейнольдса не столь остра, как в других методах.

• Вихревой метод универсален, нагляден и конструктивен. Благодаря этому облегчается контроль расчетов при реализации метода на компьютере.

• Точное автоматическое выполнение граничных условий на бесконечности

Отметим, что в ряде работ по вихревым методам стараются избегать описания трудностей применения вихревых методов, стараясь создать иллюзию "триумфального шествия вихревых методов по механике жидкости и газа". Однако, это не так и можно назвать несколько серьезных недостатков.

• Прежде всего это огромные затраты памяти и расчетного времени, когда требуется высокое разрешение при моделировании течений при больших числах Рейнольдса.

• Несмотря на утверждения в ряде работ о полном отсутствии искуственной вязкости в вихревых методах, искуственная диффузия вихревых образований имеет место, главным образом, за счет ошибок в расчете конвективного движения вихревых элементов. Можно привести простейший и в то же время наглядный пример. Пусть вихрь Ранкина моделируется группой дискретных вихрей. В точном решении для идеальной жидкости вихри движутся по

круговым орбитам. При использовании метода Эйлера в каждый момент времени каждый вихрь будет двигаться не по окружности, а по касательной к окружности, переходя на внешние орбиты. В результате вихрь Ранкина будет расплываться на плоскости, как будто он испытывает вязкую диффузию. В практике численных расчетов это расплывание может быть катастрофически большим.

• В ряде вариантов вихревых методов существуют свободные параметры, для выбора которых отсутствуют надежные и универсальные правила. В большинстве случаев введение свободных параметров необходимо для стабилизации счета или для учета вязкости.

• Существуют трудности в постановке граничных условий на твердых и свободных границах потока.

• Вихревые методы сравнительно новые и поэтому еще слабо апробированы для сложных гидродинамических задач таких, как вязкие отрывные течения и турбулентность. Это отталкивает многих исследователей при выборе метода решения задачи.

Некоторые недостатки вихревого метода во многом традицион-ны для численных методов вообще, часть недостатков характерна только для вихревого метода. В данной диссертации осуществлена попытка решения части этих проблем.

2 Современное состояние вычислительного метода вихрей

Начало вычислительному методу вихрей было положено в теоретических работах Гельмгольца [114]. Теоремы Гельмгольца конструктивно используются практически во всех вариантах вихревого метода. Впервые вихревой метод был использован в работе Ро-зенхеда [161] для моделирования динамики тангенциального разрыва. Интенсивное развитие и применение вихревых методов началось в шестидесятых годах. Объектом исследования в подавляющем большинстве работ было отрывное обтекание двумерного контура с фиксированными точками отрыва. В семидесятые годы началось освоение трехмерных задач. В конце семидесятых сформировалось направление, целью которого стало обобщение вихревых методов для исследования задач двумерного турбулентного движения жидкости. Это направление интенсивно развивалось и

в следующем десятилетии. В восьмидесятые годы продолжалось также исследование трехмерных задач отрывного обтекания с помощью вихревых методов, создавались алгоритмы и программы для решения прикладных инженерных задач. Как важное достижение следует отметить также разработку вихревых методов для решения широкого круга задач теории волнового движения, глиссирования и кавитации.

Итоги этих исследований представлены в ряде монографий и обзоров. В нашей стране наиболее обширные исследования в области вихревых методов были выполнены в школе С.М. Бе-лоцерковского. Наиболее существенный вклад принадлежит ученым ВВИА им. Жуковского М.И. Ништу, В.А. Апаринову, В.И. Гайдаенко, В.В.Гуляеву, А.И.Желанникову, A.B. Дво-раку, В.Н.Котовскому, Критскому, И.К.Лифанову, Н.В. Хлапо-ву и др. Научные интересы автора диссертации сложились во многом под влиянием работ этой научной школы. Обзор отечественных исследований вплоть до начала девяностых годов можно найти в монографиях С.М. Белоцерковского, A.C. Гиневско-го, М.И. Ништа и их коллег [9],[10],[11],[12]. Среди других отечественных работ следует отметить исследования H.H. Острикова, Е.М. Жмулина [22],[54],[153], новосибирской школы (H.H. Яненко,

A.Н.Веретенцев , В.Я. Рудяк, Куйбин П.А. [15], Б.Ю. Скобелев [166], H.H. Воробьев), киевских ученых (Салтанов Н.В., Горбань

B.А, Долгий, [18], А.Н. Майборода [46]). Принципиальные результаты были получены А.Б. Айрапетовым [1], В.Ф. Молчановым [48], [49] и Е.А.Новиковым [52], [53]. В судостроении следует отметить цикл работ в области разработки вихревых методов для исследования аэродинамики экранопЛанов, проводившихся в Ленинградском Кораблестроительном Институте под руководством проф. В.К. Трешкова. Данная диссертация, автор которой считает себя учеником проф. В.К.Трешкова, является продолжением этих исследований. Большое идейное влияние на работу автора оказали исследования проф. М. А. Васина [79],[80] (ссылки на большой цикл более ранних работ Васина можно найти также в [81]). В частности, предложенное им преобразование уравнений Навье-Стокса, описанное в главе 5 второго раздела диссертации, стало отправной точкой для получения автором ряда численных схем.

Зарубежные исследования представлены в блестящем и наиболее полном на сегодняшний день обзоре вихревых методов Т.

Сарпкайя [60], в котором проанализировано около 600 работ. Этот обзор стал настольной книгой многих специалистов, работающих в области вихревых методов, в том числе и автора данной работы. Представлены практически все наиболее важные достижения в этой области. Из числа серьезных исследований не упомянута работа Мошера [149] и слабо отражены работы отечественных авторов. Исследования зарубежных ученых представлены также в ряде обзоров, авторами которых является один из наиболее крупных авторитетов в вихревых методах А. Леонард [138] , [137]. Наиболее принципиальные работы в области математического обоснования вихревых методов для решения задач вихревого движения были получены Веа1е А [84], Сгее^агс! С. [109], Т.'У. Нои,

Я.Б. Ьо-иге^гиЬ [117] и др.

Подробный полный обзор вихревых методов требует не одной сотни страниц. Учитывая, что эта работа уже выполнена другими учеными и имеются доступные публикации, автор диссертации решил ограничиться только кратким обзором достижений, которые были опубликованы главным образом в 1990х годах. Рассматриваются следующие четыре основные направления в развитии вихревых методов

• Разработка быстрых алгоритмов

• Обобщение вихревых методов для решения задач динамики вязкой жидкости

• Практическое применение вихревых методов для решения инженерных задач

• Моделирование турбулентных течений

Наш обзор дополняют введения в каждом разделе данной диссертации, где при рассмотрении конкретных проблем вихревого метода и его приложений в целях выделения новизны полученных результатов в краткой форме описаны достижения других авторов.

2.1 Разработка быстрых алгоритмов

Несомненно, разработка быстрых алгоритмов оставалась в девяностых годах в центре внимания специалистов. На наш взгляд наиболее крупный вклад в этом направлении был сделан Ь.Сгее^агс! [110] 1. Эта работа, опубликованная в 1987 году, стала основой

1 Строго говоря, изучение литературы показывает, что идеи метода Грингар-да в различной форме для различного типа задач появились задолго до работы

для многих более поздних работ. Главная идея, заложенная в методе Greengard - кластеризация частиц в конгломераты различного масштаба и расчет взаимодействия с другими дальними конгломератами с помощью мультипольных разложений. Для этих целей вычислительная область покрывается сеткой с равномерным разбиением по двум или трем направлениям, в зависимости от размерности решаемой задачи. Элементы, попавшие в каждую ячейку объединяются в конгломераты. Скордсть в каждом элементе разделяется на две части: ближнее поле, индуцируемое соседними элементами, и дальнее поле, индуцируемое всеми конгломератами, за исключением конгломерата, которому принадлежит данный элемент. Первое поле вычисляется согласно закону Био-Савара методом прямого суммирования скоростей, индуцированных каждой соседней частицей данного конгломерата. Для вычисления дальнего поля скоростей, применяется теорема мультипольного разложения, лемма, описывающая переход к новому центру разложения, и тейлоровские ряды. Число операций необходимое для вычисления скорости от N вихревых элементов равно ~ 0(ЛПп£), где г требуемая точность вычислений. Это число много меньше, чем число операций в методе прямого суммирования с использованием закона Био-Савара 0(N2)). Трехмерный вариант метода мультипольного разложения был разработан Chua and Quackenbush [91]. Опыт, в том числе личный опыт автора, показывает, что этот метод ускорения счета является наиболее эффективным. В представленных в данной диссертации алгоритмах метод мультипольного разложения использовался для ускорения вычисления граничных значений функции тока в двумерных задачах и векторного потенциала для пространственных задач.

Метод численно-аналитического сращивания ANM был предложен в работах D. Bliss et al.[87],[100],[101]. Целью метода было снижение вычислительных затрат, используя гибридные схемы, комбинирующие глобальное численное решение с низким разрешением с высокоточным локальным решением и формированием составного решения. Чтобы рассчитать глобальное поле скоростей, вихревая структура представляется набором крупных вихревых частиц. Наиболее близкая к точке вычисления скорости локальная часть вихревой структуры представляется набором мел-

[110]. Это, тем не менее, не снижает вклада" Грингарда в развитие вихревых методов

ких вихревых элементов. Мелкие элементы индуцируют в контрольной точке так называемую локальную скорость. Составная скорость получается как сумма глобальной скорости и локальной скорости за вычетом общей составляющей. Общая составляющая равна скорости, индуцированной локальной частью, моделируемой одной крупной частицей. ANM обеспечивает высокую степень пространственного разрешения в локальных областях без больших вычислительных затрат. При изучении ANM складывается впечатление, что новым термином ANM названы хорошо известные и старые приемы сокращения времени счета, в которых дальнее поле считалось грубо, а в локальных зонах вихри дробились помельче. Каждый опытный вычислитель знает не один такой прием. В частности в панельных методах этот прием известен под термином метод сортировки. Ряд вычислительных способов можно найти в методических изданиях ВВИА им. Жуковского под редакцией проф. С.М. Белоцерковского.

Третье направление снижения трудоемкостивихревых методов-метод локальной коррекции, предложенный Андерсоном [72] для двух измерений и обобщенный Almgren, Buttke and Colella [71] для случая трех измерений. Идея метода состоит в следующем. Поле скорости, индуцированном совокупностью вихрей представляется в виде суммы дальнего и ближнего полей. Дальнее поле рассчитывается с помощью процедур метода вихрь-ячейка, используя методы быстрого решения уравнений Пуассона. Ближнее поле вычисляется по закону Био-Савара методом прямого суммирования. Метод успешно апробирован на решении ряда задач, в том числе взаимодействии двух вихревых колец в невязкой жидкости [71]. По личному опыту автора, расчет с помощью процедур метода вихрь-ячейка осуществляется значительно быстрее, чем при полном использовании метода Грингарда. Именно поэтому комбинации методов вихрь-ячейка с методом [110] кажется нам наиболее преспективной.

Интересная идея была предложена в работе Draghicescu [99]. Индуцированная вихрем скорость может быть записана в форме произведения двух сомножителей v(x) = Г • f(x, у), где Г циркуляция, а /(ж, у) функция, зависящая от координат контрольной точки ж и вихря у. Вычислительная область покрывается иерархией сеток. В каждой ячейке /(ж, у) аппроксимируется суммой произведения функций, допускающей разделение переменных ж и у:

/ = Y^kiPk(x)£k(y)- Естественным способом получения такой аппроксимации является разложение в ряды Тейлора относительно узлов сетки. Функции е(у) не зависят от координат контрольной точки, а зависит только от координат узлов сетки. Снижение объема расчетов может быть достигнуто предварительным расчетом функций е(у) для всех возможных узлов вспомогательной сетки. Для оценки работоспособности метода и ошибок вычислений была рассчитана задача динамики тонкого тангенциального разрыва. На наш взгляд, крупным недостатком метода является большие объемы памяти, необходимые для хранения функций е{у) для всех узлов сетки.

2.2 Обобщение вихревых методов для решения задач динамики вязкой жидкости

Включение вязкости в вычислительный вихревой метод сводится к двум проблемам: моделирование вязкой диффузии и учет граничных условий. Рассмотрим вначале моделирование диффузии.

В целом, существует два подхода для моделирования вязкой диффузии: детерминистический и стохастический. В последнем методе вязкая диффузия завихренности моделируется наложением на движение вихревого элемента случайного поля скоростей [90]. Такое моделирование создает хаотическое поле скорости, которое может исказить естественно порождающееся турбулентное поле скорости. Следовательно, для моделирования диффузии лучше подходят детерминистические методы.

Leonard [137] предложил метод расширяющегося ядра, основанный на точном решении уравнения теплопроводности. Аналогичный метод был предложен также рядом других авторов, в частности отечественных [9]. Впоследствии С. Грингард [109] доказал, что метод расширяющегося ядра не сходится к точному решению уравнений Навье-Стокса. В 1996 году появилась работа [164], посвященная возрождению метода расширяющегося ядра. Суть идеи состоит в, общем-то, известном приеме переразбиения вихревых частиц на мелкие, так что расширение ядра не приводит к разбуханию частиц в пространстве. Автору удалось построить и математически обосновать соответствующую численную схему.

Несколько альтернативных подходов, основанных на детерминистическом описании диффузии были предложены в последние

годы [97], [105], [125], [174]. В схеме, предложенной Fishelov [105], обмен завихренностью между элементами описывается зависимостями, полученными применением оператора диффузии к сглаженному вихревому полю. Fishelov доказал устойчивость метода для уравнения теплопроводности и дал оценку для случая уравнений Навье-Стокса. Метод, основанный на аппроксимации лапласиана интегральным оператором на множестве вихревых элементов, был предложен Mas-Gallic and Degond [97]. Диффузия учитывается методом перераспределения завихренности между соседними частицами, так что суммарная завихренность остается постоянной.

Б.Ю. Скобелев и O.A. Шмагунов [166] предложили принципиально новый метод учета вязкости для двумерных течений, в котором процедура интегрирования дифференциальных уравнений движений сопровождается локальной коррекцией координат вихревых частиц, их циркуляций и времени. Коррекция выполняется таким образом, что изменение энергии и дисперсии вихревого движения эквивалентно изменению этих величин в вязком течении.

В работах H.H. Острикова и Е.М. Жмулина [22],[54], [153] с использованием теории непрерывных марковских процессов выведены интегральные соотношения, описывающие динамику поля завихренности на малом промежутке времени. С использованием этих соотношений было построено решение уравнений вихревой динамики в виде континуальных интегралов.

В методе [163] лапласиан Au; непосредственно рассчитывается в пространстве лагранжевых координат, образуемом перемещающимися вихревыми элементами.

Граничное условие типа Неймана для уравнений Навье-Стокса, записанного в переменных скорость-завихренность получено в работе P.Koumotsakos, Leonard А. и Pepin F. [131]. Главная идея, использованная в данной работе, базируется на модели генерации вихрей на стенке, предложенной первоначально Лайтхиллом [142]. Твердая стенка рассматривается как фиктивная тонкая вихревая поверхность, интенсивность которой находится из условия непротекания. В этом случае можно показать, что внутренний предел тангенциальной составляющей скорости равен нулю [175]. Следовательно, условие прилипания удовлетворяется под вихревой поверхностью, окружающей тело. Результирующее поле скорости, индуцированное всеми вихрями в потоке, имеет не равную нулю тангенциальную компоненту скорости и фиктивная тонкая вихре-

вая поверхность может рассматриваться как пристенная часть пограничного слоя. Чтобы смоделировать процесс генерации вихрей на твердой поверхности, вихревая пелена излучается в поток. Авторами статьи [131] было предложена математическая формулировка процесса излучения фиктивной вихревой пелены в поток. В результате получено условие типа Неймана для завихренности. Обобщение этого подхода на случай трех измерений представлено в главе 5 данной диссертации. Недостатком анализа [131] является то, что процессы диффузии, конвекции и генерации вихрей рассматриваются раздельно. Неясно, почему эти процессы могут быть разделены. В недавней работе автора диссертации [125] расщепление уравнения Навье-Стокса по физическим процессам диффузии, конвекции и генерации было получено строго из начально-краевой задачи.

Следует заметить также, что различные типы моделей генерации вихрей на твердой стенке с фиктивной вихревой пеленой, близкие по своей идее к работе [131], предлагались в работах Wu [175], Kinney и Zielak [122] и Петрова [55].

P. Bernard [85] разработал еще один вариант включения граничного условия прилипания в вихревой метод. Он предложил детерминистический метод вихревых слоев для расчета ламинарного пограничного слоя, в котором диффузия моделировалась по методу Fishelov. В качестве основных вихревых элементов использовались вытянутые по потоку прямоугольники, напоминающие собой кусочки вихревой пелены. Вихревые элементы прилегающие к границе потока полагались неподвижными, а их интенсивность была равна отношению скорости на их верхней границе к полуширине. Последнее и означает условие прилипания. По своей идее этот метод очень близок к упомянутым выше подходам. С помощью своего метода P. Bernard рассчитал с очень хорошей точностью ряд задач, имеющих точное решение, например, погранслой Блазиуса и течение в канале.

Граничные условия для уравнений Навье-Стокса, записанных в переменных вихрь - скорость, были также рассмотрены в работе Ni [151]. Главная идея работы состоит в следующем. В традиционных подходах используют только вихревые поверхности для моделирования границ. Автор работы [151] предложил использовать как вихревые слои, так и слои источников. Четыре неизвестные функции (скалярная напряженность слоя источников и векторная

напряженность вихревого слоя) определяются из условия непротекания и двух уравнений, полученных из условия прилипания. Четвертое уравнение выводится из условия соленоидальности для градиента векторного потенциала. Метод Ni позволяет получить решение, которое точно удовлетворяет условию прилипания. Что остается неясным в этом методе- это как завихренность генерируется на границах и как сгенерированная завихренность поступает в жидкость. Используя уравнения Навье-Стокса в контексте вихревого метода и граничные условия Ni, мы получим, что завихренность конвектирует в потоке со скоростями, которые удовлетворяют условию прилипания. Генерация вихрей на границе и ее распространение в поток не учитываются. Несмотря на то, что предложенная в статье идея представляет интерес, ее использование в рамках вихревого метода требует доработки.

2.3 Практическое применение вихревых методов для решения инженерных задач

Одна из наиболее впечатляющих задач, решенная вихревым методом, представлена в работе Marshall и Grant [146]. Используя вихревые частицы гауссовского типа с перекрытием, авторы выполнили расчеты взаимодействия и проникновения крыльевой лопасти в вихревой шнур, находящийся в набегающем потоке. Особенностью метода является то, что интенсивности вихрей на каждом шаге по времени переаппроксимируются так, что вихревое поле становится соленоидальным. При этом используется идея, предложенная впервые Новиковым [53] и развитая затем в работах [174] и [5]. Переаппроксимация требует больших затрат компьютерного времени. Кроме того, если используются вихревые элементы с перекрытием, задача становится плохо обусловленной. Как показали расчеты, если в начальный момент момент времени использовалось соленоидальное поле и расчет проводится при достаточно большом числе вихревых элементов, то от трудоемкой переаппроксимации вихревого поля можно отказаться. В другой работе Marshall и Chen [147] рассмотрена трехмерная нелинейная эволюция изолированного вихревого шнура и пары вихревых шнуров в потоке со сдвигом. Авторы использовали метод филаментов для случая движения концевых вихрей. Ядро вихря предполагается круговым, но радиус поперечного сечения меняется со временем

так, что внутрений объем вихревого шнура остается постоянным. Обнаружены три новых типа вихревой неустойчивости в сдвиговом потоке. Следует заметить, что вихревые структуры, исследованные Marshall и соавторами имеют прямую связь с когерентными структурами. Вихревой метод оказался весьма плодотворным и эффективным для решения подобного типа задач.

Численные исследования классической задачи импульсивно стартующего цилиндра представлены в работе Leonard и Koumotsakos [132]. Использовался новый численный метод, основанный на методе учета диффузии, предложенном й работе [97], и методе учета граничных условий прилипания, описанный выше. Уравнения На-вье - Стокса интегрируются для широкого диапазона чисел Рей-нольдса от 40 до 9500. Для ускорения счета использовался метод [110], что позволило моделировать вихревые зоны большим числом вихревых элементов (до миллиона). Метод успешно апробирован путем систематического сравнения расчетных результатов с соответствующими аналитическими, экспериментальными и численными результатами других авторов. В настоящее время расчеты Леонарда и Коумотсакоса являются наиболее значительным примером применения вихревого метода для решения задач динамики вязкой жидкости.

Интересные и многообещающие результаты применения вихревого метода для решения задач вязкого обтекания представлены также в работе Lin and Vezza [143]. Вихревой метод был разработан для расчета отрывного течения нёсжимаемой жидкости около крыльевого профиля при больших углах атаки и числах Рейнольд-са (до миллиона). Достигнуто хорошее согласование численных и экспериментальных результатов.

Аэродинамика вертолетов является той областью, где вихревые методы являются если не основными, то одними из главных. Метод ANM широко использовался в вихревой динамике, теории крыла, аэроакустике и анализе вихревого следа вертолетов [87],[88],[100],[101]. В аэродинамике вертолетов метод эффективен в особенности для решения задач взаимодействия между фюзеляжем, винтом и концевыми вихрями [157]. Аналогичная задача была решена в работе [136], в которой исследовались силовые характеристики винта и геометрия нестационарного вихревого следа вертолета. Рассматривался медленно раскручивающийся винт вертолета в режиме взлета.

2.4 Моделирование турбулентных течений

Прогресс в области применения вихревых методов для исследования турбулентных течений подробно представлен в монографии Белоцерковского и Гиневского [12]. Основной идеей авторов было показать, что моделирование турбулентности, или по крайней мере моделирование когерентных структур в свободных турбулентных потоках возможно на базе вихревых методов без привлечения дополнительных гипотез феноменологического характера или же гипотез типа Смагоринского в методах LES. В основном рассмотрены примеры двумерных течений. Надо отметить, что на этот счет в литературе высказывается различная точка зрения. В частности в цикле теоретико-экспериментальных работ, предпринятых в восьмидесятых годах в Институте Германа Фетингера, планировалось ответить на вопрос- можно ли ,с помощью метода дискретных вихрей надежно получать характеристики турбулентного следа за плохообтекаемыми телами (см. монографию [119]). Основные выводы следующие

• Существует серьезное несоответствие между численными расчетами и экспериментом для рейнольдсовых напряжений (аналогичные выводы сделаны в обзоре работы [61])

• В отрывных зонах наблюдаются сильные трехмерные эффекты. Измерения показывают, что энергонесущие вихри поперечной ориентации сравнимы с вихрями ориентированными по высоте.

• Использование двумерных вихревых моделей требует введения эмпирических поправочных коэффициентов, косвенно учитывающих трехмерные эффекты.

• Необходима разработка и применение трехмерных вихревых моделей

К счастью, основной вывод этой очень тщательной работы направлен не против вихревых методов, а против использования двумерных моделей для исследования турбулентности. Это совпадает с устоявшейся в настоящее время в гидродинамике точкой зрения. Даже сугубо двумерные течения, такие как, например, турбулентное течение в канале в рамках LES считаются только в трехмерной постановке [112],[134].

Особый вопрос- влияние так называемого вычислительного радиуса. Иногда, это следует прямо сказать, его подбирают в численных экспериментах из условия согласования с экспериментом

физическим. В модели появляется некая эмпирическая константа. По этому поводу очень интересная мысль была высказана в одной из японских работ, в которой изучалось турбулентное движение за уступом в рамках метода дискретных вихрей. Ценность теории определяется тем, как соотносятся между собой обьем исходной информации, заложенной в расчет, и обьем результатов, которые могут быть получены с помощью данной теории. Если мы подбираем единственную константу, а на выходе получаем поля давлений, скоростей, рейнольдсовых напряжений, то эта теория состоятельна.

Что является несомненным, и монография [12] тому подтверждение, двумерные вихревые методы позволяют достаточно надежно получать крупномасштабные ,в том числе и когерентные структуры свободных турбулентных потоков. Они являются эффективным инструментом для качественного исследования гидродинамических процессов.

В монографии [12] предложено обобщение метода дискретных вихревых отрезков для моделирования трехмерного движения вязкой жидкости без учета границ потока. Весьма ценным является также метод учета сжимаемости в рамках вихревого метода.

Две статьи [3] и.[61], опубликованные в 1991, стали первым примером синтеза феномеологических моделей турбулентности и вихревого метода. Авторы предложили способ включения в вихревой метод хорошо известной и апробированной к — е модели. Используя метод вихревого зерна, в работе [61] исследованы турбулентные характеристики струи. Вихревые области моделируются вихрями Ранкина с расширяющимся ядром. Предложена очень оригинальная методика расчета диффузионных слагаемых в уравнениях переноса плотности и диссипации кинетической энергии турбулентности. Аналогичные результаты изложены представлены также в работе [3]. Авторы использовали метод вихрь - ячейка и к — е модель для исследования свободных турбулентных течений.

Наряду с двумерными моделями для исследования турбулентных течений и гидродинамической неустойчивости разрабатываются также трехмерные варианты вихревых методов. Уже в восьмидесятые годы АзЬш^ [74], Siggia [165], ЬавЬегаэ и МеШш^ [148] получили ряд принципиально новых результатов. В работе [123] с помощью метода вихревых частиц получен известный закон Колмогорова пяти третей. Была исследована модельная задача о вза-

имодействии нескольких тонких вихревых колец. Нет сомнения, что в ближайшее десятилетие будет предпринят штурм проблем турбулентного движения жидкости с помощью вихревых методов в рамках LES и DNS. Подтверждением тому является последняя работа Леонарда [140], в которой рассмотрены проблемы моделирования свободных турбулентных потоков с помощью метода вихревых частиц в рамках LES.

3 Дели и содержание диссертации. 3.1 Основные дели диссертадионной работы.

Основную цель данной диссертации можно сформулировать кратко и просто:

Обобщение метода вихревых частиц для решения пространственных задач движения вязкой жидкости с учетом граничных условий

Для решения этой задачи необходимо было решить ряд конкретных проблем, в том числе:

• Аппроксимация вихревых областей вихревыми частицами

• Устойчивость вихревого метода

• Расщепление уравнений Навье-Стокса в контексте вихревого метода

• Учет граничных условий

• Моделирование турбулентности ,в рамках вихревых методов

• Разработка эффективных численных методов и алгоритмов решения вязких задач с помощью вихревых методов

• Апробация метода, оценка точности метода на примере решения модельных задач, имеющих точное решение. Систематическое сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными и расчетами, полученными иными численными методами.

Автор диссертации является представителем прикладной науки. Поэтому в сотрудничестве с проектными организациями возник ряд проблем, решение которых оказалось возможным с помощью вихревых методов. Целью этого цикла работ было Разработка математических моделей, алгоритмов и программ для исследования аэрогидродинамических процессов вблизи границ раздела с учетом и без учета вязкости

Решались следующие конкретные задачи

• Исследование аэродинамических характеристик крыльевых систем экранопланов

• Нелинейная гидродинамика подводного крыла при произвольных числах Фруда

• Взаимодействие вихревых шнуров с твердой стенкой

• Разработка вихревых методов для расчета отрывного обтекания двумерных контуров потоком вязкой жидкости

3.2 Содержание диссертации

Диссертация состоит из трех частей и четырнадцати глав. Первая часть содержит краткое введение в вихревые методы, в котором отмечаются их недостатки и достоинства. В обзоре рассматриваются самые последние достижения и тенденции в развитии вихревых методов в 1990х годах. Завершает первую часть формулировка целей диссертации.

Вторая часть посвящена решению ряда теоретических проблем создания вихревых методов. Вначале рассматривается задача аппроксимации произвольных безграничных трехмерных вихревых полей набором вихревых частиц с учетом условия соленоидально-сти вихревого поля 2. В следующем разделе 4.2 предложен новый способ фильтрации ограниченного вихревого поля с целью выделения его соленоидальной части. Основные типы вихревых частиц описаны в разделе 4.3. В главе 5 автором представлен способ получения схемы расщепления уравнений Навье-Стокса по физическим процессам в контексте вихревого метода . Рассматриваются граничные условия на твердой и свободной (раздел 5.2) границах потока, приспособленные для использования в рамках вихревого метода. Теоретические разработки глав 4 и 5 стали основой для численного метода, описанного в разделе 5.3. Обобщению вихревого метода для решения задач турбулентного движения жидкости посвящена глава 6. Рассматриваются феноменологические подходы и крупномасштабное моделирование вихрей (LES). В главе 7 изложена проблема сохранения инвариантов в методе вихревых частиц. Устойчивости вихревых методов посвящена глава 8. Приводятся общие положения теории устойчивости вихревого метода

2Этот раздел работы основан на идее, предложенной М.А. Васиным. Личный вклад автора состоит в разработке алгоритмов для реализации этой идеи и ее апробации

в рамках метода Фурье (раздел 8.1), анализируется устойчивость различных численных методов расчета динамики вихревой пелены и предлагаются способы регуляризации этой задачи (раздел 8.2.1). В разделе 8.2.2 рассматривается устойчивость метода экспоненциальных вортонов, а в разделе 8.2.3 предлагается новый способ расчета динамики систем дискретных-вихревых частиц, обладающий более лучшими характеристиками устойчивости и аппроксимации, чем традиционные подходы. Глава 9 посвящена решению вихревым методом задач волнового движения. В невязкой постановке рассматриваются нелинейные, нестационарные двумерные и стационарные трехмерные задачи.

Третья часть посвящена приложениям вихревого метода. Первая глава этой части отражает вклад автора в развитие и практическую реализацию вихревых методов в околоэкранную аэродинамику экранопланов. Используются традиционные вихревые модели, разработанные С.М. Белоцерковским и В.К. Трешковым. Тем не менее автором внесены некоторые элементы новизны и получен целый ряд новых практически важных научных результатов. Глава 11 посвящена нелинейной гидродинамике подводного крыла в двумерной и трехмерной постановках. В главах 10 и 11 использована модель идеальной жидкости, поскольку роль вязкости для таких задач незначительна. В главе 12 с помощью вихревых методов получен ряд новых численных результатов и обнаружены новые физические эффекты в области взаимодействия концевых вихревых шнуров с твердой поверхностью. В главе 13 метод вихревых частиц применяется для расчета отрывного обтекания двумерных контуров, представлены расчеты для отрывного обтекания цилиндра. Вопросы моделирования механизма перезамыкания вихревых шнуров, который в настоящее время считается основным механизмом дробления вихрей в турбулентных потоках, рассматриваются в главе 14.

Каждый раздел диссертации содержит новые результаты, перечисление которых можно найти в заключении. Там же определено научное и практическое значение работы в целом и определены задачи будущих исследований.

Часть II

Теоретические проблемы метода вихревых частиц

4 Аппроксимация трехмерных вихревых полей совокупностью вихревых частиц

Важнейшей проблемой вихревых методов является представление вихревого поля а; = V х V набором вихревых частиц. Эта проблема существенно осложнена требованием соленоидальности вихревого поля

Уи> = 0. (2.1)

Условие (2.1) существенно сужает класс векторных функций, с помощью которых может быть аппроксимировано вихревое поле. Традиционным способом удовлетворения условия (2.1) является использование замкнутых вихревых частиц (замкнутых вихревых шнуров). Применяются замкнутые криволинейные вихревые трубки в методе филаментов [137], вихревые рамки или полубесконечные П-образные вихри, замкнутые на бесконечности, в методе вихревой решетки [9].

Наряду со многими преимуществами такого подхода имеется ряд недостатков. Методы замкнутых вихревых шнуров основаны на принципе вмороженности вихревых линий в жидкость (теорема Гельмгольца), который справедлив для идеальной жидкости. В вязкой жидкости вихревые линии не связаны с одними и теми же частицами жидкости и замкнутые вихревые шнуры должны идентифицироваться на каждом шаге по времени. Вихревые частицы, не связанные в какой-либо маркированный вихревой шнур, оказываются более универсальной и гибкой аппроксимацией. Особенно это имеет значение для потоков с хаотическим изменением параметров.

4.1 Аппроксимация в неограниченном пространстве

В данном разделе предлагается метод аппроксимации вихревых полей совокупностью вихревых частиц с произвольным внутренним распределением завихренности о>а(х). В общем случае Vu;a ф 0. Основная идея, предложенная М.А. Васиным [79], состоит в нахождении преобразования, которая позволяет единственным образом выделить соленоидальную часть в несоленоидальном вихревом поле. Аналогичное решение было опубликовано в 1993 Леонардом и Винкельмансом [174]. В данном разделе представлены материалы исследований, опубликованные в работах [4],[5] и [26].

Произвольное векторное поле, аппроксимирующее вихревое поле в неограниченном пространстве, может быть представлено в виде суммы соленоидальной и градиентной (потенциальной) частей:

Wa = a + vea, (2.2)

где а-соленоидальная часть, удовлетворяющая условию (2.1). Вектор скорости может быть найден из выражения:

V = V х А + Vip (2.3)

Векторный потенциал А определяется из решения уравнения Пуассона:

ДА = -ш ,

А = í-r^—¡dV> (2-4)

47Г J |х - Xi I

и (р-скалярный потенциал. Подставляя формулы (2.2) и (2.4) в (2.3), получим:

Следовательно, поля скоростей, индуцированные несоленоидаль-ным вихревым полем ша и его соленоидальной частью а, эквивалентны. Применяя оператор rot к правой и левой частям выражения (2.5), получим после некоторых преобразований:

а(х) = wa(x) + ¿V J We(x)V J(2.6)

£3

Интеграл в выражении (2.6) является сингулярным с сингулярностью того же типа, что и сингулярность, возникающая при двойном дифференцировании пространственного ньютоновского потенциала [63]. Выделив главное значение интеграла, получим

2 1 [ 3(х - х!)[ца(х - XI)] - ша\к - хх[2

а = -ша + —ь.р. / -—--7=-¿V, (2.7)

3 47Г ,/ |х — XI |5

В3

Функцию ша можно рассматривать как несоленоидальную аппроксимацию соленоидальной векторной функции а, а выражение (2.5) как соотношение эквивалентности полей ша и а. Скорости, индуцированные произвольным вихревым полем, и скорости, индуцированные соленоидальной составляющей этого поля, равны. Далее, в этом разделе вектор и>а будет называться первичной (несоленои-дальной) завихренностью, а а вторичной (соленоидальной) завихренностью.

Формулы (2.6) и (2.7) позволяют решить проблему аппроксимации соленоидального вихревого поля суперпозицией несоленои-дальных функций. Представим и>а в форме:

п

ша(х) = (2.8)

¿=1

где О)„¿-неизвестный вектор коэффициентов, фг{х)~ фундаментальная векторная функция, п-число вихревых элементов. Подставляя

(2.8) в (2.6), получается:

п I 1 [ (IV

^ "«г I ФгЫ + ^ у } = ^(Х,), (2.9)

г=1 I £3 3

где ц^- вектор, заданный в N узлах аппроксимации. Выражение

(2.9) является системой 3п алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов аппроксимации в случае, если п = N. Если п < И, тогда для аппроксимации следует использовать метод наименьших квадратов. После нахождения векторов ша{, может быть вычислено вихревое поле, удовлетворяющее условию соле-ноидальности (2.1):

Цх)= + • (2.Ю)

Б3

Векторные функции фг могут быть выбраны произвольными и, в частности, несоленоидальными. К примеру они могут быть постоянными в некотором обьеме и нулевыми вне его (вихревые частицы с однородным распределением первичной завихренности). В качестве таких функций могут быть выбраны дельта-функции (сингулярные вихревые частицы) или некоторые другие непрерывные пространственные распределения, в частности, экспоненциального типа. Наиболее целесообразно выбирать функции ф± таким, чтобы интегралы, входящие в (2.5) и в (2.6), вычислялись аналитически. Этому вопросу будет посвящен раздел 2.3.

В качестве примера, на рис. 2.1 представлены результаты аппроксимации завихренности и> = li внутри вихревой трубки единичного диаметра. Часть трубки —Ь<х<Ъ равномерно разделена на некоторое число поперечных сечений. Качество аппроксимации контролируется в сечении х = 0. Параметр b выбран так, чтобы исключить влияние концов трубки в сечении х = 0. Вортоны (2.28) распределены в шахматном порядке на плоскости S = х,г < 0.75,0 < в < 2тг в каждом поперечном сечении трубки. Отстояние узлов, в которых находились вортоны, Д = 1.5/п в горизонтальном направлении и V3A/2 по вертикали. Здесь п- параметр дискретизации. Следовательно, в плоскости х = const каждый вортон находится на одинаковом расстоянии Д от его соседних 6 вортонов. Использование такой сетки основывается на том соображении, что вортон имеет круговую симметрию в плоскости х = const, перепендикулярной его интенсивности ша. Отстояние сечении равнялось л/ЗД/2. Шахматная сетка в сечении г сдвигалась в сечении г —1 так, чтобы круговая симметрия соблюдалась и в плоскостях у = const. Радиус распределения а был равен Д/\/3. Соленоидальная завихренность определялась по формулам (2.9). Результаты представлены на рис. 2.1 а) и б) для различных значений п (отмечены кривые). Сходимость в интегральном смысле контролировалась вычислением циркуляции вихревой трубки в сечении х = 0 (рис.2.1 с) ). Из рис.2.1 следует, что существует сходимость при больших п и предложенная модель удовлетворительно аппроксимирует ступенчатую функцию завихренности.

Другой пример аппроксимации вортонами типа (2.28) приведен на рис. 2.2. Вихревое кольцо толщиной а = 0.1 и радиусом 1 моделировалось набором вортонов так, что а = 0.05, а отстояние между их центрами по дуге было 2а.

1.60

1.20

0.80 —

0.40 —

0.00

-0,40

Яг

I *

*: *

А

ч

* <**

*г«г

I

-0.10

0.00 к центру кольца

0.10

Рис. 2.2 Пример аппроксимации вихревого кольца вортонами (2.28)

4.2 Аппроксимация вихревых полей в ограниченном трехмерном пространстве

В ряде случаев возникает необходимость аппроксимации вихревого поля в заданном обьеме V так, чтобы вне этого объема завихренность отсутствовала. Итак, необходимо найти такое, что:

= «¿(Х,-), (2.11)

3 = 1,2,..,^,

Чш0 = 0, х е V, (2.12)

ш°п = 0, х е 5, (2.13)

где Б- граница области,п- нормаль к границе 5, И- число точек аппроксимации. Точное удовлетворение условий (2.11-2.13) возможно лишь при жестких ограничениях на множество Шу Приближенное решение задачи будем искать в два этапа.

На первом этапе с помощью аппроксимационых формул (2.6) и (2.7) удовлетворим условиям (2.11) и (2.12). На втором этапе из полученного векторного поля ш выделяем замкнутую в V его часть отфильтровав 8:

и>=и>° + 6. (2.14)

Представление (2.14) - единственное. Действительно, предположим, что это не так. Пусть существует вектор 8* незамкнутый в V, не содержащий замкнутого в V вектора и не равный 8. Тогда:

Со = +8 = и°*+ 8* (2.15)

(и>° + 6)п = (и>°* + 6*)п, хе£ (2.16)

Так как векторы и> и и>*- замкнутые в V:

- ш°*)п = 0

Следовательно, из (2.16) следует, что:

(8° - 8°*)п = 0, х е 51

В итоге получаем, что вектор А = 6 — 6* замкнут в У, а вектор 8* = 6 — А содержит замкнутую составляющую, что противоречит сделанному выше предположению.

Можно показать, что итерационный процесс:

о>п+1(х) = и;и(х) + ^У / а,га(хя)У ¿V, (2.17)

47г J |х Хв|

V

ш1 = а>, п = 1,2,...

где |Л(х)| > 0 выбирается из условия сходимости итераций, сходится к соленоидальному вектору и>°, замкнутому в V.

Преобразуем интегральный оператор в (2.17) по формуле Остроградского:

Ф= / и?и(х5)У-|—-—-ЗУ = / РЩ<13+ [^ЩЛУ ] |х-х,| J |х-хв| } |х-Хв|

V 5 V

Так как VЗшп = 0 и и>° ■ п = 0, то

¿П(х,)п

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Корнев, Николай Владимирович

Результаты исследования

Расчеты, выполненные для вихря с циркуляцией Г = 0.5 при различных высотах полета H и радиусах сг, представлены на рис.3.46 и 3.47.

По результатам исследования можно сделать следующие выводы i) Подьем концевого вихря вблизи экрана предсказан аналитически и подтвержден численными расчетами ii) При малых высотах полета численные и асимптотические результаты для подьема вихря согласуются неудовлетворительно. Асимптотическая модель дает завышенные результаты по сравнению с численной моделью для подьема вихря при малых высотах полета Н. Причина разногласия результатов состоит в неточности асимптотической модели локальной самоиндукции и предположении H ~ 0(1)- Согласование двух моделей для бокового движения приемлемо для всех высот полета Н. iii) Чем меньше H и радиус вихря, тем больше подьем вихря. Численные расчеты при H < 0.5 и а < 0.01 не удались из-за сильной неустойчивости, порожденной самоиндукцией. Представленные на рис. 3.46 и 3.47 результаты получены при реальных значениях Hua. iv) С практической точки зрения подьем вихря незначителен, но на расстояниях одной-полутора хорд крыла он сравним по величине с опусканием концевого вихря, порожденным индукцией противолежащего концевого вихря. При размахе более двух хорд самоиндукция вихря может полностью нейтрализовать индукцию противолежащего концевого вихря. Следовательно, в практических методиках расчета взаимодействия крыла экраноплана и его горизонтального оперения типа предложенной в диссертации [66] можно по праву пренебречь взаимной индукцией концевых вихрей вблизи экрана, предполагая, что она нейтрализована самоиндукцией, возникающей на криволинейном шнуре.

13.3 Неустойчивость и динамика концевых вихрей над твердой поверхностью в идеальной жидкости. Дальний вихревой след

13.3.1 Линейная теория устойчивости концевых вихрей над твердой поверхностью

Рассмотрим два концевых вихревых жгута Ьт, т = 1,2 равной, но противоположной по знаку циркуляции Г ( Рис. 3.48 ) над твердой поверхностью (экраном) . Взаимная индукция концевых вихрей приводит к опусканию вихрей в вертикальном направлении , которое при малых высотах полета к вследствие влияния стенки незначительно. Воздействие стенки на малых высотах полета к вызывает отклонение вихрей в боковом направлении. В данном анализе этот фактор не учитывается ,и в дальнейшем будет показано, что он не существенно сказывается на результатах. Поэтому анализ линейной устойчивости проводится для модельной задачи , в которой два спутных вихря расположены в плоскости параллельной экрану на высоте к ,и расстояние между вихрями равно Ь. Рассматриваются процессы распада вихревого следа в дальнем поле и индукцией крыла, генерирующего спутные вихри, пренебре-гается. Экран будем учитывать методом зеркального отражения. Скорость, индуцированная в произвольной точке рп = хп{-\-у^-\-гпк п - ого вихревого шнура, определяется законом Био-Савара: Г т=1

Рт ~ Рп) дрт ; х ^ йхг рт - Рп дхг,

От - 2кк - 2к(ртк) - рп) др. х I

-°о |Рт - - 2к(ртк) - рп дх 2%длт)йХг иХ-пг

Сообщил! вихревой системе малые возмущения:

3.26)

Рт ~ $Рт, 5рт = Ы + (тк (3.27)

Подставив (3.27) в (3.26) ., получим выражение для линейной по возмущениям части приращения скорости:

Г 2 Г г га=1 ^

8р т. - 6рп) др, х р^-рп°\3 дх

-гТ 0 .г

-Ъ

Рис.3.48 Геометрические характеристики течения

Яе(ск) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

0.4 0.8 1.2 1.6 0. 0.4 0.8 1.2 1.6 0. 0.4 0.8 1.2 1.6 /3

Рис.3.49 Зависимость вещественной части собственного числа а от безразмерной частоты 0.

1 1 1 1 Н=1.5 /т(а) ^ 1111 Н=0.575 : 0 ПА а. : II : .'•^,33 1 1 Н=0.5 (а) = 0 -= 0.063

Н=0.475 о 1 :1 ' (1 1 Н=0.438 л ; ]1}, Н=0.375 Л, А: 1 м

5рт - 2к(т - 8рп) др х 0 ихт-\ос \р£-2кк-рп°\* дхг ОО

Я=1 - - 2Ш,|5 ахг т рш - Рп° - 2ккъа))йхт\ , (3.28) где Ьх = О, Ь2 = 1.

В дальнейшем предполагается, что:

Линеаризованное уравнение эволюции возмущений имеет вид [24]

- д8рп -+ = (3.30)

Подставляя (3.28),(3.29) в (3.30) получаем интегро-дифференциальное уравнение для эволюции возмущений, которое из-за громоздкости здесь не приводится. Рассмотрим экспоненциальное решение этого уравнения вида 6рп(х,1) = 8р*еаг+гкХп. В результате предполагаемой экспоненциальной формы решения интегро- дифференциальное уравнение эволюции возмущений сводится к системе линейных алгебраических уравнений для компонент вектора 8р*,п = 1,2:

А + а1)В = 0, (3.31) где: В = , (*, (*), А = К), а = 2™62/Г, аи = 4Я/(1 + 4Я2)2, а12 = -6ЯХо(\/1 + 4Я2),

ЛТТ2 ЛТТ а13 = -\р2ш + ф(2Н) - 1/4Н2 - 12Я2Хо(2Я) + —— + 2

1 + 4Я2 (1 + АН2)2 «Х4 = -М(1) - ФЫТТШ2) + 12Я2хо(^1 + 4Я2)], 2

4 Я2 1 + 4Я2 (1 + 4Я2)2 «32 = -[Ф( 1) - ФЫ1 + 4IP) + 3xo(VT+HP) - 3Хо(1)],

21 = —«12, «22 = — All, «23 = — «14) «24 = —«13, «33 = —«11, «34 = «12, «41 — — «32, «42 = —«31, «43 = —«34, «44 = —«33, с\ f°° cos ж + ж sin ж —1 Z"00 cos/? ж = Js -¿3-dx,Xo(f},y) = JQ (x2 + y2)5j2dx, cos (3x COS/Зх + ^xsin/3x 1

Х(Р>У) = / / 2 I 2\3/2dx^(P^yj= / -/ 2 I 2\3/2-dx,

Jo (ж + У2)3'2 Jo (ж2 + y2f'2 где /3 = kb- безразмерное волновое число , I - единичная матрица, 6 - безразмерное расстояние среза, введенное для учета самоиндукции вихрей, Я — h/b. Согласно [24] 8 = 0.321 с/З/Ь, где с - диаметр вихревого жгута. Из единственности решения уравнений (3.31) находятся значения безразмерного коэффициента усиления а.

В случае Я —> со уравнения (3.31) переходят в аналогичные уравнения, полученные Кроу [24]. В этом случае можно скомбинировать собственные векторы 8р* ,представив суммарное движение состоящим из набора симметричных и несимметричных относительно диаметральной плоскости движений. Как показано в [24] , доминирующей неустойчивостью оказывается длинноволновое симметричное колебание. Для крыла эллиптической формы в плане были получены следующие величины: ¡3 = 0.73, а = 0.83, L = 8.66. Возмущенные вихри располагаются на фиксированных плоскостях, наклоненных к горизонтали под углом г? примерно 48 градусов. При Я —> 0 система ( 3.31 ) асимптотически стремится к системе aril + «13С1 = 0 or] 2 + а24(2 = 0 «31??1 + а

42 Ъ + «С2* = 0 (3.32)

13 = -И2 + ф(2Н) - 1/4Я2 - 12#2Хо(2Я)], «31 = — [—си/92 + ф(2Н) — 1/4Я2]

Как видно из ( 3.32 ), влияние концевых жгутов друг на друга при Н —> 0 исчезает. Неустойчивость определяется взаимодействием с зеркальными вихрями. Повсюду при Н —» 0 и с/(26) < Н плоскости, содержащие любое максимально неустойчивое колебание, наклонены к горизонтали под углом примерно - 42 градусов. При Н —» 0 размерный максимальный коэффициент усиления возмущений а стремится к бесконечности как ~ 1/Н2.

В промежуточной зоне 0 < Н < оо при реальных значениях с существует несколько экстремумов в зависимости а(/3) ( Рис. 3.49). В дальнейшем под «(/?) понимается максимальное для данного /3 вещественное значение собственного числа. При больших Н в области низкочастотных возмущений появляется максимум ( пунктир ), соответствующий взаимодействию концевых вихрей с зеркальной системой. Собственное число а системы ( 3.31 ) и собственный вектор, соответствующие этому максимуму, являются комплексными и между компонентами собственного вектора существует разность фаз. С уменьшением Н этот максимум растет и смещается в сторону высокочастотных колебаний. Неустойчивость, соответствующая этому максимуму, представляет собой раскручивающийся спиралевидный вихрь. Максимум вещественного решения соответствует колебательному движению вихря в наклонных плоскостях. При уменьшении Н этот максимум смещается в сторону коротких волн и при Н ~ 0.5 вырождается, затем вновь растет и при Л < 0.438 начинает доминировать. В диапазоне 0.438 < Н < 0.575 преобладает максимум комплексного решения. При Н — 0.5 в зоне длинноволновых возмущений рождается второй максимум вещественного решения. При снижении Н этот максимум растет и смещается к коротким волнам. При Н < 0.3 существует только один экстремум, соответствующий вещественному собственному числу.

Таким образом, линейный анализ предсказывает существование трех зон неустойчивости вихревых шнуров над экраном (Рис. 3.50). В верхней зоне 0.575 < Н < со неустойчивость ,подобно неустойчивости Кроу, развивается в плоскостях, наклоненных под углами 33 и 42 градуса при Н = 0.575 и 48 градусов при Н = оо , соответственно ( Рис. 3.51 ). Следует отметить отсутствие симметрии в развитии следа относительно диаметральной плоскости аппарата в зоне действия экранного эффекта . Контакт концевых вихрей в этой зоне Н ,по прогнозам линейного анализа, происходит ниже плоскости несущего крыла в пределах его размаха.

Рис. 3.50 Схема неустойчивости концевых вихрей вблизи экрана аг

Рис.3.51 Плоскость развития неустойчивости при различных высотах полета Л. Точечные линии: 1 — И = 0.2,2 — 0.313,3 — 0.375,4 — 0.438,5 — 0.575; 5—зона спиралевидной неустойчивости. Н

Рис.3.52 Зависимость наибольшей части вешествекяого числа а от безразмерной высоты Н. ш

Схема распада вихревого следа в верхней зоне та же, что и за летательными аппаратами в безграничной среде. При Я = 0.575 точка контакта концевых вихрей находится на экране. В нижней зоне при Я < 0.4 концевые вихри взаимодействуют очень слабо. Неустойчивость подобна симметричной неустойчивости Кроу и определяется взаимодействием с зеркальными вихрями. Вихревые шнуры дробятся на вихревые структуры более мелкого масштаба посредством взаимодействия с экраном [121]. Интенсивность роста возмущений в этой зоне максимальна. Вихревой след крыла Л = 4 разрушается в симметричные волны длиной около 2.66 при Я = 0.4, что почти в 3.3 раза короче, чем волны неустойчивости за самолетом [24] . Масштаб времени неустойчивости в 6 раз меньше соответствующего масштаба времени неустойчивости следа за крылом самолета и при Я ~ 0 может быть сравним с масштабом времени сворачивания вихревой пелены. Чем меньше высота расположения вихрей, тем больше интенсивность роста возмущений ( Рис.3.52) и частота, соответствующая максимальному вещественному собственному числу. Соответствующая длина волны возмущений уменьшается при Я —> 0 ( Рис.3.53).

Вернемся к вопросу о состоятельности используемой модели концевых вихрей, в которой пренебрегается боковым отклонением вихрей. Можно заключить, что развиваемая здесь теория асимптотически корректна при больших высотах полета Я —> оо. Теория также асимптотически корректна при малых высотах полета Я —» 0, так как в этом случае взаимодействие между двумя концевыми вихрями не существенно по сравнению с взаимодействием вихря и экрана. В этом случае ориентация вихря в горизонтальной плоскости не играет роли. Рассмотрим средние высоты полета. Пусть вихрь заклинен к оси ох под углами "&у и которые могут быть оценены следующим образом

Г 4Я2 -Г 1

V,, ~ --—г. .„», V2

2тгЛ1 + 4 Я2' 4тгЯА1 + 4Я2' где циркуляция Г обезразмерена по хорде крыла. Можно посчитать и убедиться, что углами ду и можно пренебречь в интервале 0.1 < Н < 1.5 для типичных крыльевых конфигураций самолетов и экранопланов. Таким образом, вихревую модель линейного анализа можно считать обоснованной.

В промежуточной узкой зоне 0.438 < Я < 0.575 имеет место н

Рис. 3.53 Зависимость частоты возмущения, соответствующего моде с максимальным вещественным 'собственным числом, от безразмерной высоты Н. спиралевидная неустойчивость вихря. Эта зона является буферной зоной между двумя типами решения, двумя типами распада вихревых следов над экраном. Рост возмущений в буферной зоне минимален ( Рис. 3.52 ). Как следует из проведенных систематических расчетов, величина диаметра шнура в реальном диапазоне его изменения слабо влияет на результаты.

13.3.2 Нелинейная динамика концевых вихрей над экраном

Линейная теория устойчивости не может описать полную картину процесса эволюции возмущений в сложных системах. Поэтому для оценки поведения вихрей при конечных возмущениях выполнено исследование нелинейной неустойчивости вихревых шнуров с помощью численного метода вихревых частиц-вортонов.

Из уравнений переноса завихренности и трактории жидких частиц может быть получена следующая численная схема, определяющая динамику вихревых частиц в идеальной жидкости (см., например, (2.52)) где ш - вектор завихренности, АЬ - шаг по времени, X— лагранже-ва координата жидкой частицы, V— скорость частицы. Вихревые трубки заменим совокупностью М сферических вихревых частиц-вортонов с радиальным распределением завихренности: где иа— значение Со в центре частицы, а— радиус ядра распределения ( радиус вихревой трубки ), г— радиус-вектор, отсчитываемый от центра частицы.

Уравнения ( 3.33 -3.34 ) для частиц-вортонов имеют следующий вид: в идеальной жидкости й{ь + Аг, х) = X) + х)Ч)ь(г, х)Аг г{г + аь) = г(г) + Щ дг,

3.33)

3.34)

3.35)

Зе ^ ' (ГгГцУа 47Г з -§--5—)> га = ~ = (3-36)

1 м г* АО = + £ - (3.37)

Деформация вихревой трубки приводит к деформации ее поперечного сечения. При этом согласно теореме Гельмгольца циркуляция поперечного сечения трубки I остается постоянной. Из этого условия можно получить соотношение для изменения радиуса трубки: т(£ + = а г)у/1ЩЩТ+М) (3.38)

Практически расчет по схеме ( 3.36 -3.38 ) сводится к следующим операциям: а) При£ = 0 задаются начальные условия Со(Х, 0), г (X, 0) = Х,сг(Х,0); б) при t = £ + по формулам ( 3.36 -3.38 ) рассчитываются новые значения ¿3, г, сг; в) осуществляется сплайновая аппроксимация вдоль осевой дуги вихревого шнура г(з), сг(з), где 5— длина дуги. Находится новая система вортонов, расположенных вдоль осевой дуги , с учетом плотной упаковки и отсутствия наложения вортонов друг на друга; г) переход к следующему шагу по времени.

В численных расчетах, результаты которых представлены на Рис. 3.54, рассматривалось неустойчивое поведение бесконечного шнура с циркуляцией / = 0.5 и радиусом ядра 0.04 на высоте к = 0.1 . Целью расчетов было исследование неустойчивости на малых высотах .При этом , как показал линейный анализ, влиянием второго концевого вихря можно пренебречь. В качестве начального условия было выбрано гармоническое возмущение оси шнура с амплитудой 0.02, соответствующее при этих параметрах максимально неустойчивой гармонике, определяемой по линейной теории устойчивости. Как показывают расчеты нелинейной эволюции, можно выделить несколько характерных стадий развития неустойчивости вихревого шнура над экраном ( Рис. 3.54 ). Вслед за линейной стадией следует нелинейная стадия, на которой происходит растяжение участков шнура, расположенных ниже его невозмущенного положения. Синусоидальность вихревого шнура нарушается. Как и предсказывает линейная теория, шнур сближается с твердой поверхностью. В расчетах фиксировалось минимальное расстояние 0.001. В зоне контакта шнура с экраном возникает интенсивное вихревое растяжение ( Vortex stretching ). Длина шнура интенсивно растет ( по оценкам Siggia [165] возрастает до бесконечности за конечный промежуток времени ), а его поперечное сечение и расстояние до экрана уменьшается. В реальности на этой стадии существенно влияние вязкости, которая ликвидирует растянутые зоны контакта. При сближении двух вихрей в свободном потоке также образуется перемычка, которая исчезает за счет диффузии завихренности противоположного знака. Над экраном роль второго вихря играет индуцированный пограничный слой. Взаимная диффузия вихря и пограничного слоя приводит к перезамыканию вихря на твердую поверхность. В рамках данного раздела вязкость не рассматривалась. Для того чтобы прогнозировать процесс на следующих стадиях, была искусственно ликвидирована часть вихревого шнура, стелящаяся по твердой поверхности. Эту процедуру можно рассматривать как косвенный учет вязкости или искусственное моделирование процесса перезамыкания. На этой стадии вихревой шнур превращается в шпилькообразные вихревые структуры [57]. Поле скоростей, индуцированных зеркально-отраженной вихревой системой, приводит к сжатию горловины и образованию замкнутых вихревых структур в окрестности твердой поверхности.

Заключение

Представленная диссертация была посвящена дальнейшему развитию и применению эффективной и многообещающей технологии решения проблем гидродинамики - вычислительному методу вихревых частиц.

В плане развития вихревого метода и его алгоритмов автором были решены следующие задачи:

• Предложен метод аппроксимации трехмерного вихревого поля набором вихревых частиц с учетом условия соленоидальности 8

• Разработан метод аппроксимации ограниченного трехмерного вихревого обьема набором вихревых частиц с учетом условия соленоидальности.

• Получены базовые расчетные формулы для ряда новых вихревых частиц (вихревые параллепипеды, эллипсоиды, экспоненциальные вортоны)

• Получена схема расщепления уравнений Навье-Стокса в контексте вычислительного метода вихревых частиц.

• Предложен способ учета граничных условий на твердой и свободной поверхностях в рамках полученной схемы расщепления.

• Разработан численный метод расчета задач динамики вязкой жидкости с помощью вычислительного метода вихревых частиц.

8совместно с М.А. Васиным

Рис. 3.85 Объяснение механизма в изф ев ©го перезамыкания в вортонных системах

2 36

• Разработан численный метод вихревых частиц для расчета задач динамики вязкой турбулентной жидкости в рамках метода крупномасштабного моделирования вихрей (LES).

• Рассмотрена устойчивость вихревых методов по Нейману [159]. Предложена процедура регуляризации задачи динамики тонкой вихревой пелены. Предложен новый способ снижения сингулярности и повышения устойчивости при расчете динамики системы дискретных вихрей.

• Предложены новые численные методы расчета волновых движений в идеальной жидкости на основе вихревого метода.

В сфере применения вихревых методов были получены следующие новые результаты:

• Обнаружены три новые типа неустойчивости вихревых шнуров вблизи твердой поверхности. Теория конвективной неустойчивости концевых вихрей обобщена на случай движения вблизи поверхности земли.

• Представлены оценки продолжительности существования следа на больших отстояниях от стенки.

• Исследовано взаимодействие концевых вихрей с твердой стенкой в вязкой жидкости. Предложен сценарий распада концевых вихрей над экраном.

• Предсказана возможность подьема концевого вихря над твердой поверхностью в ближнем следе низколетящего крыла.

• Доказана необходимость учета нелинейных граничных условий на свободной поверхности при расчете гидродинамических характеристик быстроходных судов.

• Исследовано взаимное влияние волновой поверхности и концевых шнуров. Обнаружено явление сцепления вихрей и продольных волн.

• Моделирование перезамыкания в вортонных системах.

• Разработана и апробирована новая версия метода вихревых частиц для случая отрывного обтекания цилиндра.

• Выявлены основные факторы нелинейности гидроаэродинамических характеристик крыльев вблизи границы раздела.

Поскольку диссертация была во многом направлена на разработку новых численных схем, в тексте работы содержатся многочисленные примеры верификации методов путем сравнения полученных результатов с экспериментом, точными решениями и результатами, полученными иными численными методами.

Практическая ценность работы состоит в разработке методов, алгоритмов и промышленных программ для расчета гидроаэродинамики быстроходных судов. Эта часть работы имела не условное формальное, а фактическое внедрение в промышленность.

Отдельные этапы работы неоднократно докладывались на конференциях и семинарах Морского Технического университета, ЦНИИ им. А.Н. Крылова, НТО Судпрома, ЦАГИ, института океанологии РАН, Технического Университета Брауншвайга (Германия), Исследовательского института Судостроения (Южная Корея). Работа была представлена на международных конференциях в Германии, США, Японии, Южной Кореи, Израиле и России : IUTAM Symposium on Dynamics of slender vortices 1997, Евромех Коллоквиум 315 1994, Немецкий аэрокосмический конгресс 1996, FAST 1993, HPMV 1992, Workshop on „WIG Crafts 1995, 27-я Израильская конференция по механике 1998, международные конференции по экранопланам 1993 и 1994, симпозиум памяти A.M. Васина 1995 и конференция, посвященная трехсотлетию Российского флота 1994. По материалам диссертации опубликовано около 30 статей, в том числе шесть из них в отечественных и международных реферируемых журналах.

В качестве своих ближайших перспектив в развитии и приложении метода вихревых частиц автор отмечает следующие направления:

• Применение и дальнейшее развитие метода вихревых частиц для исследования турбулентного движения жидкости в рамках феноменологических моделей и метода LES. Построение чисто вихревых внутрисеточных моделей.

• Применение метода вихревых частиц для расчета вязкого отрывного обтекания крыльевых конфигураций. Создание промышленных программ.

• Дальнейшие исследования в области трехмерного взаимодействия концевых вихревых шнуров и твердой стенки. Включение моделей турбулентности. Получение новых результатов для вихревых конфигураций различного типа и при различном состоянии окружающей среды.

Автор является представителем научной школы кафедры гидромеханики Ленинградского кораблестроительного института, где он начал заниматься вихревыми методами под руководством проф. B.K. Трешкова. Тематика исследований также во многом определилась благодаря сотрудничеству автора с проф. М.А. Васиным. В работе использовались материалы кандидатских диссертаций В.Г. Щигунова и А.Е. Таранова. Отдельные этапы данной работы финансировались ЦКБ по СПК, АО Технологии и транспорт, MTD Limited, Фондом Александра Гумбольдта и РФФИ. Всем им автор выражает свою искреннюю благодарность.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Корнев, Николай Владимирович, 1998 год

Литература

[1] Айрапетов Б.А., О корректности в среднем задачи Коши для системы обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, Труды ЦАГИ, вып. 1784, 1976, с. 18-23.

[2] Банникова Т.А., Банников Ю.М., Лукашевский В.А., Цейтлин М.Ю., "Исследование гидродинамических характеристик глиссирующих поверхностей с интерцепторами на задней кромке," Труды ЦАГИ, вып. 1906, 1978, с.1-22.

[3] Баранов П.А., Глизнуца В.В., Ништ М.И., Судаков А.Г., Метод вихрь-сетка для расчета ламинарных и турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости, Доклады АН СССР, 321, 1, 1991, с.40-42.

[4] Басин М.А., Корнев Н.В., Захаров A.B. Аппроксимация трехмерных вихревых полей. Труды Центрального Научно- Исследовательского Института Морского Флота, С. Петербург, 1993 , 184-196.

[5] Басин М.А., Корнев Н.В. Аппроксимация вихревого поля в безграничной среде. ЖТФ, 64, 1994, 179-185.

[6] Басин М.А., Лордкипанидзе А.Н., Ткач А.Я., Явление вихре-волнового резонанаса при исследовании гидродинамических характеристик крыла, движущегося вблизи свободной поверхности весомой жидкости, Труды НТО СП, секция мореходных качеств судов, Материалы по обмену опытом , вып.414, 1985, Л.: Судостроение, с. 23-31.

[7] Белов И. А., Исаев С. А., Коробков В. А., Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости, JL, Судостроение, 256 с.

[8] Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. Наука, 1975.

[9] Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

[10] Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости и электродинамике, М.:Наука, 1985.

[11] Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M., Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.:Наука, 1988, 232с.

[12] Белоцерковский С.М., Гиневский A.C., Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей,М.: Физико-математическая литература, 1995, 365с.

[13] Бесядовский А.Р., Корнев Н.В., Трешков В.К., Численный метод расчета аэродинамических характеристик экраноплана, Труды Первой Международной Конференции по экранопланам, СПб: Судостроение, 1993.

[14] Бетяев С.К. Десять нерешенных проблем гидродинамики, Издание ЦАГИ.

[15] Веретенцев А.Н.,Рудяк В.Я.,Яненко H.H. Вариационный метод построения дискретных вихревых моделей, Препринт 29, СО АН СССР, ИТПМ, 1982, 15стр.

[16] Визель Е.П., Исследование свободных вихрей крыла малого удлинения с концевыми шайбами вблизи экрана, Ученые записки ЦАГИ 2, No.3 , 1971, с. 12-19 .

[17] B.C. Владимиров, Уравнения математической физики , Dt. Verlag d. Wiss., Berlin, 1972.

[18] Горбань И.Н., Горбань В.А., Салтанов Н.В., Численные дискретно-вихревые модели некоторых плоских отрывных течений, Гидродинамика больших скоростей, Чебоксары, 1989, с. 16-17.

[19] Горлов , кандидатская диссертация, Новосибирский институт гидродинамики СО РАН, 1996.

[20] Готман А.Ш., Определение волнового сопротивления и оптимизация обводов судов, Части 1 и 2, издание Новосибирской Государственной академии водного транспорта, Новосибирск, 1995.

[21] Дворак A.B., Численный метод решения задач гидродинамики с жидкими границами, Труды ВВИА им. Жуковского, вып. 1313, 1985, с. 281-291.

[22] Жмулин Е.М., H.H. Остриков Н.БГ., Аналитический метод описания процессов рождения, конвекции и диффузии завихренности в вязкой жидкости с помощью континуальных интегралов, Труды ЦАГИ, вып. 2501, 1991.

[23] Келдыш М.В., Замечания о некоторых движениях тяжелой жидкости, Технические заметки ЦАГИ, вып. 52, 1935, с. 5-9.

[24] Кроу С.К. Теория устойчивости двух систем хвостовых вихрей Ракетная техника и космонавтика, 8, N12, 1970, с.74-81.

[25] Корнев Н.В., Метод регуляризации для задачи динамики вихревой пелены, Совершенствование мореходных качеств судов, Труды Ленинградского Кораблестроительного института, 1989,с.97-100.

[26] Корнев Н.В., Захаров A.B., Чернышев Д. А., Разработка методов расчета формирования и развития пространственных вихревых структур, Отчет Морского Технического Университета по теме Х-835, 1992, 103с.

[27] Корнев Н.В. Неустойчивость и нелинейная динамика концевых вихрей над твердой поверхностью, Изв.РАН, Механика жидкости и газа, 2, 1997, с. 103-109.

[28] Корнев Н.В. Кандидатская диссертация, ЛКИ, 1988.

[29] Н.В.Корнев, Г. Райхерт, Взаимодействие двумерного вихря с твердой стенкой в вязкой жидкости, принято к публикации в Изв. РАН, Механика Жидкости и Газа (1998).

[30] Корнев Н.В., Трешков В.К., Численный метод расчета нестационарных аэрогидродинамических характеристик несущей поверхности при боковом движении,Проблемы Гидродинамики Судна, Труды Ленинградского Кораблестроительного Института, 1985, стр. 87-92.

[31] Корнев Н.В., Трешков В.К., Нестационарные гидродинамические характеристики несущей поверхности вблизи твердой поверхности, Совершенствование ходкости, мореходных и маневренных качеств судов, Труды НТО, 414, 1985, с. 4-12.

[32] Трешков В.К., Корнев Н.В., Волков Л.Д., Исследование взаимодействия двух крыльев вблизи границы раздела, Мореходные качества судов, Труды Ленинградского Кораблестроительного Института, 1986, стр. 31-36.

[33] Корнев Н.В., Трешков В.К., Расчет нестационарных гидродинамических характеристик крыльев вблизи границы раздела с учетом главных факторов нелинейности, Проблемы гидродинамики и безопасности движения судов, Труды Ленинградского Кораблестроительного Института, 1988, стр. 69-74.

[34] Корнев Н.В., Рыжов В.А., Отрывное обтекание профиля в невязкой жидкости, Математические методы и автоматизация в судостроении, Труды Ленинградского Кораблестроительного Института, 1988, стр. 88-94.

[35] Корнев Н.В., Кудрявцев Л.Д., Плисов Н.Б., Гидродинамические характеристики крыльев в неоднородном потенциальном потоке вблизи экрана, Совершенствование мореходных качеств судов, Труды Ленинградского Кораблестроительного Института., 1989, стр. 105-110.

[36] Гурьев Ю.В., Корнев Н.В., Патрашева Л.А., Разделение гидродинамических сил, действующих на удлиненное тело при больших углах атаки Совершенствование мореходных качеств судов, Труды Ленинградского Кораблестроительного Института,, 1989, стр. 72-76.

[37] Корнев Н.В., Трешков В.К., Программное обеспечение для численного исследования нелинейной нестационарной аэродинамики экранопланов, Прогрессивные научные и проектные разработки в судостроении, Часть 2, Выставка Судостроение-89, Бюллетень, Москва, 1989.

[38] Корнев Н.В., Трешков В.К., Чернышев Д. А., Численный метод для крыльевых систем с гармонически меняющейся площадью, Труды конференции по теории корабля, Часть 2, Ленинград, 1990, с. 46-53.

[39] Корнев Н.В., Ланина Н.Р., Рождественский К.В., Чернышев Д.А., Асимптотические и численные методы в гидродинамике судна на мелкой воде, Всесоюзная конференция "Крыловские ЧтенияТезисы докладов, Судостроение, Ленинград, 1991.

[40] Гурьев Ю.В., Корнев Н.В., Расчет несущих свойств крыльев с фюзеляжем, Всесоюзная конференция "Крыловские Чтения Тезисы докладов, Судостроение, Ленинград, 1991.

[41] Корнев Н.В., Кудрявцев Л.Д., Плисов Н.Б., Гидродинамические характеристики крыльевых систем на мелкой воде, Труды конференции по быстроходным судам , Горький, 1991.

[42] Корнев Н.В., Метод крупномасштабного моделирования вихрей для исследования турбулентного течения жидкости, Морской Технический Университет Санкт- Петербурга, 1996, рукопись учебного пособия.

[43] Лотов A.B., Глиссирование и быстрый вход тел в воду, Издание МФТИ, 1984.

[44] Лукашевич A.B., Применение метода особенностей для учета весомости жидкости в задачах теории подводного крыла, Труды ЦНИИ им. акад. Крылова, 1970, с.59-69.

[45] Лукашевич А.Б., Параметры пространственного потока при обтекании крыла вблизи свободной поверхности весомой жидкости, Изв. АН СССР, Механика Жидкости и Газа, 2,1979, с.54-62.

[46] Майборода А.Н., "Математическая модель гидродинамики для тела, пересекающего свободную поверхность идеальной весомой жидкости," Доклады АН Украинской ССР, No.5, 1991, рр. 50-53.

[47] Марчук Г.И.,Методы расщепления,-М.:Наука ,1990.

[48] Молчанов В.Ф. Метод выделения главной части нелинейных характеристик прямоугольного крыла, обтекаемого идеальной жидкостью. Ученые записки ЦАГИ, 11, No.l, 1980, стр. 1217.

[49] Молчанов В.Ф. Некоторые вопросы расчета течений с тангенциальными разрывами. Ученые записки ЦАГИ, т.5, N4, 1975, стр. 1-11.

[50] Моляков Н.М., Нестационарное обтекание профиля у поверхности раздела жидкостей, Труды ВВИА им, Жуковского, вып. 1313, 1985, с. 336-347.

[51] Муратов Р.В., Потенциалы эллипсоида, Москва, Атомиздат, 1976, 144 с.

[52] Новиков Е.А., Седов Ю.Б., Коллапс вихрей, ЖЭТФ.

[53] Новиков Е.А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов). ЖЭТФ, 3, 1983, 975-981.

[54] Остриков H.H., Исследование процессов рождения, конвекции и диффузии завихренности в вязкой жидкости, автореферат диссертации на соискание ученой степени к.ф.-м.н., МФТИ, 1990.

[55] Петров A.C., Метод расчета нестационарного отрывного обтекания тел потоком вязкой несжимаемой жидкости, Труды ЦАГИ, вып. 1930, 1978, с.13-38.

[56] Пирумов, Росляков, Численные методы газовой динамики, М: Высшая школа, 1987.

[57] Рабинович М.И., Сущик М.М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости, Успехи физических наук,'Т.160 ,вып. 1 , 1990, с.3-62.

[58 [59 [60 [61

[62 [63 [64

[65

[66

[67

[68

Рождественский K.B. Метод сращиваемых ассимптотических разложений в гидродинамике крыла. Судостроение, 1978.

Самарский A.A., Николаев Е.А. Методы решения сеточных уравнений.М.:Наука, 1978.

Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей,Современное машиностроение, серия А,10, 1989, 1-60.

Смирных Е.А., Численное моделирование плоской турбулентной струи методом вихревых частиц с учетом мелкомасштабной турбулентности, Препринт ЦАГИ, 42, Москва, 1991, 50с.

Справочник по теории корабля в трех томах. Том 3, под редакцией Войткунского Я.И., JL: Судостроение, 1985, с. 309-310.

Сретенский JI.H., Теория ньютоновского потенциала, Москва, ОГИЗ-Техиздат, 1946, 318 с.

Ткач А.Я., О влиянии весомости среды на гидродинамические характеристики несущей поверхности, Проблемы гидродинамики судна, Труды ЛКИ, 1983, с. 76-82.

Трешков В.К., Гидродинамика низколетящего крыла, Отчет Ленинградского Кораблестроительного института по теме I-S-A-668, 1971, с.1-52.

Трешков В.К., Аэродинамика экраноплана в основном режиме его движения, Диссертация доктора технических наук, Ленинградский Кораблестроительный Институт, 1982.

Щеглова М.Г., Теоретическая оценка подьемной силы и распределения нагрузки при глиссировании тела по поверхности возмущенной жидкости, Труды ЦАГИ, вып. 2256, 1985, с. 68-72.

Щигунов В.Г., Решение нелинейных нестационарных волновых задач вихревым методом, Кандидатская диссертация, МТУ СПб, 1995.

[69] Эпштейн Л.А., Блюмин В.И., Некоторые вопросы гидродинамики подводных крыльев, Труды ЦАГИ, вып. 1103, 1968, 152 с.

[70 [71

[72

[73

[74

[75 [76

[77

[78 [79

[80 [81

Aldama, A.A., Filtering Techniques for Turbulent Flow Simulation, Lecture Notes in Engineering, 56, Springer Verlag, 1990.

Almgren A., Buttke T., Colella P., A fast adaptive vortex method in Three-dimensions, Journal of Computational Physics, 113, 1994, pp.177-200.

Anderson C.R, A method of local corrections for computing the velocity field due to a distribution of vortex blobs, Journal of Computational Physics, 62, 1986, pp.111-123.

H. Aref, Phys. Fluids 23, 393 (1979).

Ashurst W.T., and Meiburg,E., Three-Dimensional Shear Layers via Vortex Dynamics, J.Fluid MecL, 189, 1988, pp. 87-110.

M.J.Aksman, E.A.Novikov and S.A.Orszag, Phys. Rev. Lett, 54, 22 , 1985, pp.2410.

Baker G.R., Meiron D.I., Orszag S.A., Application of a Generalized Vortex Method to nonlinear Free Surface flows. 3rd Int. Conf. Numer. Ship Hydrod., Paris, 1981.

Balaras, E., Benocci, C., Piomelli, U., Two-Layer Approximate Boundary Conditions for Large-Eddy Simulations, AIAA Journal,34, 6, 1996, pp. 1111-1119.

Barker S.J., Crow S.C. The motion of two-dimensional vortex pairs in a ground effect J.Fluid MecL,82, 1977, pp. 659-671.

Basin M.A. Basic Equations of Vortex Fluid Motion, Vortex- Wave Resonance. In Dulov V.G., Kozlov V.V. (eds.): IUTAM Symposium on separated flows and jets. Springer- Verlag, Berlin, 1991.

Basin M.A., Basic Equations of Vortex Fluid Motion, Selected Papers, St.Petersburg State Marine Technical University, 1993, pp.23-34.

M.A.Basin and N.V.Kornev, Vortex Methods in Hydrodynamics, Proceedings of the International Symposium on Ship Hydrodynamics, St. Petersburg, Russia, pp.431-449 (1995).

M.A.Basin and N.V.Kornev, Incorporation of the Viscosity in the Vortex Method, ZAMM, 78, Issue 5 (1998), pp. 335-344 (in German).

[83] G.K. Batchelor, Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge U.P.,1967.

[84] Beale J.T.,Majda A.,Vortex Methods ILHigher Order Accuracy in Two and Three Dimensions, Math, of Computation, vol.39, N159, 1982, pp.29-52.

[85] P.S.Bernard, A Deterministic Vortex Sheet Method for Boundary Layer Flow, J.Comput.Phys. 117, 1995, pp.132-145.

[86] Bliss D.B. Effect of Unsteady Forcing on the Sinusoidal Instability of Vortex Wakes. J.Aircraft, 19, 1982, pp.713-721.

[87] Bliss D.B., Epstein R.J., Novel Approach to Aerodynamic Analysis Using Analytical-Numerical Matching, AIAA Journal, 34, No.11, 1995, pp.2225-2232.

[88] Bliss D.B., Miller W.O. Efficient free wake calculations using analytical-numerical matching, Journal of the American Helicopter Society, 38, No.2, 1993, pp.878,879. •

[89] Chang, T.Y., Hertzberg, J.R., and Kerr, R.M.: Three-dimensional vortex/wall interaction: Entrainment in numerical simulation and experiment, Phys.Fluids 9, No.l , 1997, pp.57-65.

[90] Chorin A.J. Numerical Study of Slightly Viscous Flow. J. Fluid Mech., vol.57, 1973, pp.785-796.

[91] Chua K., and Quackenbush T.R., Fast Three-Dimensional Vortex Method for unsteady Wake Calculations, AIAA Journal,31, 1993, No.10,pp.1957-1958.

[92] Clement A., Muselet C., A differential method for the modelling of wave transmission, reflection, and absorption by "numericalbeaches", Proc. of the 11th Workshop on Water Waves and Floating Bodies WWWFB-96, 1996.

[93] Corjon A., Poinsot T., Vortex Model to Define Safe Aircraft Separation Distances, J.Aircraft, 33, No.3, May-June, 1996, pp. 547553.

[94] Crouch J.D. Instability and transient growth for two trailing-vortex pairs J.Fluid Mech.,350, 1997 ,pp. 311-330.

[95] Crow S.C., Bate E.R. Lifespan of Trailing Vortices in a Turbulent Atmosphere, J.Aircraft, 13, 1976, pp.476-482.

[96] Dee F.S., Nicholas O.P. Flight Measurment of Wing Tip Vortex Motion near the Ground, CP 1065. 1968. British Aeronautical Research Council. London. England.

[97] Degond P., Mas-Gallic S. A particle method to solve the Navier-Stokes system, Numer. Math., 57, 19.90, pp. 805-827.

[98] Doligalski T.L, Smith C.R., Walker J. D. A. Vortex interactions with walls, Annu.Rev.Fluid Mech.,26, 1994, pp. 573-616.

[99] Draghicescu C., Draghicescu M., A fast algorithm for vortex blob interactions, Journal of Computational Physics, 116, 1995, pp.69-78.

[100] Epstein R.J., Bliss D.B., Aeroacustic Boundary Element Method Using Analytical-Numerical Matching, AIAA Journal, 35, No.2, 1997, pp.244-254.

[101] Epstein R.J., Bliss D.B., Free Vortex Calculations Using Analytical-Numerical Matching with Solution Pyramiding, AIAA Journal, 33, No.5, 1995, pp.894-903.

[102] Ersoy S.,Walker J.D.A. Flow Induced at a Wall by a Vortex Pair, AIAA Journal, 24, 1986, pp. 1597-1605.

[103] Fast Ferry International, Jan-Feb., 1998, pp. 38-39.

[104] Ferziger, J.H., Large Eddy Numerical Simulations of Turbulent Flows, AIAA Journal, 15, No.9, 1977, pp. 1261-1267.

[105] Fishelov D.: A new vortex scheme for viscous flows, J. Comput. Phys., 86, 1990, pp.211-224.

[106] G.M.Fridman, N.V.Kornev, Matched Asymptotics for Three-Dimensional Planing Problems, 27th Israel Mechanical Engineering Conference, 19-20th of May, 1998, Technion Haifa, Israel , pp.668670.

[107] Germano,M., Piomelli,U.,Moin,P.,Cabot,W.H., A Dynamic Subgrid-Scale Eddy Viscosity Model, Phys.Fluids A 5,1991, pp. 1760-1765.

[108] Gerz,T., Ehret,T., Wake Dynamics and Exhaust Distribution behind Cruising Aircraft, Institut für Physik der Atmosphäre DLR, Rep.No. 58, 1996, 12s.

[109] Greengard C. The Core Spreading Method Approximates the Wrong Equation,/. Corn-put. Phys., 61, 1985, pp. 345-348.

[110] Greengard L., Rokhlin V., A Fast Algorithm for Particle Simulations, J. Comput. Physics, 73, 1987, pp.325-348.

[111] Greengard L., Strain J. A Fast Algorithm for the Evaluation of Heat Potential, Commun.Pure and Appl. Math., XLIII, 1990,pp. 949-963.

[112] Härtel,C.J., Analyse und Modellierung der Feinstruktur im wandnahen Bereich turbulenter S„cherströmungen. Institut für Strömungsmechenik Göttingen, Forschungsbericht 94-22, 1994.

[113] Harvey J.K., Perry F.J. Flowfield produced by trailing Vortices in the vicinity of the Ground, AIAA Journal,9, 1971, pp.1659-1660.

[114] Helmholtz, H., Ueber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen,Zeitschrift fuer reine und angewandte Mathematik, LV, 1858, s. 485-512.

[115] Hoffmann,G., Engineering Application of Large Eddy Simulation to Turbulent Free and Wall-bounded Shear Layers, Dissertation, Technische Universität München, 1996, 163 s.

[116] T.Y. Hou, J.S. Lowengrub, and M.J. Shelley, Removing the stiffness from interfacial flows with surface tension, J. Comput.Phys., 114,

1995, p. 132.

[117] T.Y. Hou, J.S. Lowengrub, Convergence of the point vortex method for the 3d Euler equation, Commun. on pure and applied math.,XLIII, 1991, pp.965-981.

[118] Janson C.E., Numerical Computation of the Flow Around Surface-Piercing Wings and Hydrofoils Close to a Free-surface, Proc. of the 11th Workshop on Water Waves and Floating Bodies WWWFB-96,

1996.

[119] M.Jaroch, Eine kritische Betrachtung der Methode diskreter Wirbel als Modell fuer eine abgeloeste Stroemung mit geschlossener Abioeseblase auf der Basis experimenteller Erkenntnisse, VDI Verlag, Duesseldorf, 1987, s.374.

[120] C.de Jouette, J.M. Le Gouez, 0. Put, S. Rigaud, Volume of Fluid Method (VOF) Applied to Non-linear Wave Problem on Body-Fitted Grids, Proc. of the 11th Workshop on Water Waves and Floating Bodies WWWFB-96 , 1996.

[121] Kida S., Takaoka M., Vortex Reconnection, Annu.Rev.Fluid Mech., 26, 1994, pp. 169-189.

[122] Kinney R.B., Cielak Z.M. Analysis of Unsteady Viscous Flow Past an Airfoil, AIAA Journal, 15, 1977, pp. 1712-1717.

[123] Kiya M., Ishii Y. Vortex interaction and Kolmogorov spectrum, Fluid Dynamics Research,8, 1991, pp.73-83.

[124] Kornev N.V., Kudryavtsev A.L., Zakharov A.B., WIGSIM- Wing in Ground Effect Vehicle Flight Simulator, Proceedings of the Second International Conference on Fast Sea Transportation FAST 93, Yokohama, Japan, 13-16 Dezember 1993, pp. 1555-1559.

[125] N.V. Kornev and M.A. Basin, A Way to Split the Navier-Stokes Equations in the Context of Vortex Method, Commun. Numer. Meth. in Eng. , accepted for publication.

[126] Kornev N., Treshkov V. Numerical investigation of nonlinear unsteady aerodynamics of the WIG Vehicle. Proceedings of the Intersociety High Performance Marine Vehicle Conference, Arlington, VA, Washington, USA, 1992, pp. WS38-WS48.

[127] N.V.Kornev and G.Reichert, Decay of the Trailing Vortices for Wing-in-surface-effect Craft, Proceedings of the German Aerospace Congress 1996, DGLR Jahrbuch 1996 2, Dresden, Germany, pp.10431052 (in German).

[128] Kornev N.V., and Reichert, G., Three-Dimensional Instability of a Pair of Trailing Vortices Near the Ground, AI A A Journal, Vol. 35, No.10 ,1997,pp. 1667-1669.

[129] N.V. Kornev, V.K. Treshkov and G. Reichert, Dynamics of the Trailing Vortices near the Ground, IUTAM-Symposium on Dynamics of Slender Vortices , 31.August- 03.September 1997, Aachen, Germany, Kluwer Academic Publishers, pp. 425-434.

[130] Kornev N.V., and Taranov A.E., Investigation of the Vortex-Wave Wake behind a Hydrofoil, submitted for publication in Journal of Ship Technology Research, 1999, N 1.

[131] Koumoutsakos P.,Leonard A., Pepin F Boundary Conditions for Viscous Vortex Method, J.Comput.Phys.,113, 1994, pp.52-61.

[132] Koumoutsakos P.,Leonard A. High-resolution simulations of the flow around an impulsively started cylinder using vortex methods , J.Fluid Mech., 296, 1995, pp. 1-38.

[133] Krasny R., A study of singularity formation in a vortex sheet by the point vortex approximation, J.Fluid Mech., 167, 1986, pp.65-93.

[134] Lafeber M., Numerical and Physical Aspects of Large Eddy Simulation of Turbulent Flows, Thesis Delft University of Technology, 1987.

[135] Lamb H. Lehrbuch der Hydrodynamik. Teubner Verlag, 1907.

[136] Lee D.J., Na S.U., Predictions of airloads and wake geometry for slowly starting rotor blades in hovering flight by using time marching free vortex blob method, Proceedings of the American Helicopter Society 52nd Annual forum, Washington, D.C., June 4-6, 1996, pp. 532-540.

[137] Leonard A. Vortex Methods for Flow Simulation, J. Comput. Phys. ,37, 1980, pp.289-335.

[138] Leonard A. Computing three-dimensional incompressible flows with vortex elements, Annu.Rev.Fluid Mech.,17, 1985, pp.523-599.

[139] Leonard, A., Energy Cascade in Large-Eddy Simulations of Turbulent Fluid Flows, Advances in Geophysics, V0I.I8A, 1974, pp. 237-248.

[140] Leonard, A., Large-Eddy Simulation of Chaotic Convection and Beyond, AIAA Paper 97-0204, 1997, jp. 1-8.

[141] Lewellen,D.C., Lewellen, W.S., Large-Eddy Simulations of the Vortex-Pair Breakup in Aircraft Wakes, AIAA Journal, 34, 11, 1996, pp.2337-2345.

[142] Lighthill M.J. Introduction. Boundary Layer Theory.Laminar Boundary Layers, edited by J. Rosenhead, Oxford University Press , NY, 1963 ,pp.54-61.

[143] H.Lin and M. Vezza, A Pure Vortex Method for Simulating Unsteady, Incompressible, Separated Flows Around Static and Pitching Aerofoils, Proceedings of the 20th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences, Sorento, Italy, 1996, pp. 21842193.

[144] Liu,H.T., Effect of Ambient Turbulence on the Decay of a Trailing Vortex Wake, Journal of Aircraft 29,-No.2, 1992, pp.255-263.

[145] Luton J.A., Ragab S.A., The three-dimensional interaction of a vortex pair with a wall, Physics of Fluids, 9, No.10, 1997, pp.29672980.

[146] Marshall J.S., and Grant, J.R., Penetration of a Blade into a Vortex Core: Vorticity Response and Unsteady Blade Forces, J.Fluid Mech., 306, 1996, pp.83-109.

[147] Marshall J.S., Chen H., Stability of a Counter-Rotating Vortex Pair Immersed in Cross-Stream Shear Flow, AIAA Journal, 35, No.2, 1997, pp.295-305.

[148] Meiburg,E.,Lasheras,J.C., Experimental and Numerical Investigation of the Three-Dimensional Transition in Plane Wakes, J.Fluid Mech.,190, 1988, pp. 1-37. .

[149] Mosher M.C., A Method for Computing Three-Dimensional Vortex Flows, Zeitschrift fuer Flugwissenschaften, 9, Heft 3, 1985, pp. 125133.

[150] A. Nachbin, Stability analysis of the generalized Rosenhead point vortex approximation, Phys. Fluids, 8, 1996, pp.1122.

[151] A.L.Ni, Boundary Conditions for the Vorticity-Velocity Formulation of Navier-Stokes Equations, AIAA J., 34, 1996, pp. 416-418.

[152] Orlandi P. Vortex dipole rebound from a wall, Phys. Fluids A, 2, 8, 1990, pp. 1429-1436.

[153] Ostrikov N.N., E.M. Zhmulin E.M., Vortex dynamics of viscous fluid flows. Part 1. Two-dimensional flows", J. Fluid Mech., vol. 276, 1994, pp. 81-111.

[154] Peace A.J., Riley N. A viscous vortex pair in ground effect, J.Fluid Mech., 129, 1983, pp.409-426.

[155] Peridier V.J., Smith F.T.,Walker J.D.A. Vortex-induced boundary-layer separation J.Fluid Mech.,232, 1991, pp. 99-165.

[156] Pogorzelski, W., Integral Equations and their Applications, Pergamon Press, 1966, pp. 340-390.

[157] Quackenbush T.R., Lam C-M.G., Bliss D.B., Vortex Methods for the Computational Analysis of rotor/body interaction, Journal of the American Helicopter Society, October, 1994, pp. 14-24.

[158] Reynolds, W.C., The Potential and Limitations of Direct and Large Eddy Simulations, In: J.L. Lumley, Whither Turbulence ? Turbulence at the Crossroads, Lecture Notes in Physics, 1990, p.357.

[159] Richtmyer R.D. and Morton K.W., Difference Methods for Initial-Value Problems 2d ed.-New-York:Interscience Publishers, Wiley, 1967.

[160] R. Robinson, D. Delisi, Potential Hazard of Aircraft Wake Vortices in Ground Effect with Crosswind, Journal of Aircraft, 30, No.2, March-April, 1993, pp. 201-206.

[161] Rosenhead L., The formation of vortices from a surface of discontinuiti, Proc.Roy.Soc., Series A,134, 1931, pp.170-192.

[162] V. Rossow, Wake-Vortex Separation Distances when Flight/Path Corridors are Constrained, Journal of Aircraft, 33, No.3, May-June, 1996, pp.539-546.

[163] Russo G., A deterministic vortex method for the Navier-Stokes equations, Journal of Computational Physics, 108, 1993, pp.84.

[164] Rossi L.F., Ressurecting core spreading vortex method: A new scheme that is both deterministic and convergent, SIAM J.Sci. Stat.Comp., 17, 1996, p. 370.

[165] Siggia E. Collapse and Amplification of a Vortex Filament Phys. Fluids, 28, 3, 1985, pp.794-805.

[166] Scobelev B.Y., Shmagunov O.A., A new approach to the modeling viscous diffusion in vortex element methods, IJJTAM-Symposium on Dynamics of Slender Vortices , 31.August- 03.September 1997, Aachen, Germany, Kluwer Academic Publishers, pp. 95-104.

[167] Smagorinsky,J., General Circulation Experiments with the Primitive Equations.I. The Basic Experiment. Monthly Weather Review 91,1963, pp.99-164.

[168] Sadovnikov D.Y., Gravity nonlinear and breaking waves in deep water and in shallow,Proc. Int. Shipbuilding Conf., St.Petersburg, Section B: Ship Hydrodynamics, 1994, pp.190-197.

[169] J. Serrin, Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics , Handbuch der Physik, Band VIII/1, Stromungsmechanik, BerlinGottingen-Heidelberg, 1959.

[170] J.-M. Vanden-Broeck, Rosenhead point vortex approximation revisited, Phys. Fluids A, 5, 1993, pp.2786.

[171] T. Vitting, Struktur von Fluegelrandwirbeln und Massnahmen yur Wirbelabschwaechung, VDI Reihe 7, Nr. 185, Duesseldorf, VDI-Verlag, 1991, s. 138.

[172] Walker J.D.A., Smith C.R., Cerra A.W., Doligalski T.L. The impact of a vortex ring on a wall, J.Fluid Mech., 181, 1987, pp. 99-140.

[173] Widnall S., The structure and Dynamics of Vortex Filaments, Ann. Rev. Fluid Mech., 7, 1975, pp.141-165.

[174] Winckelmans G.S., Leonard A. Contributions to Vortex Particle Methods for the Computation of Three-Dimensional Incompressible Unsteady Flows. Journal of Computational Physics ,109,1993, pp. 247-273.

[175] Wu J.C. Numerical Boundary Conditions for Viscous Flow Problems, AIAA Journal, 14, 1976, pp.1042-1049.

[176] Zheng Z.C., Ash R.L. Study of Aircraft wake Vortex Behavior near the ground, AIAA Journal, 34, 1996, pp. 580-589.

[177] Zalosh R.G., Discretized simulation of vortex sheet evolution with buoyancy and surface tension effects, AIAA Journal, 14, No.11, 1976, p.17;

[178] Zaroodny S.J., Greenberg M.D., On a vortex sheet approach to the numerical calculation of water waves, J. Comput.Phys., 11, 1973, pp.440-446.

Всего в деле листов двести пятьдесят пять (255) в том числе:

1. Текста сто восемьдесят (180)

2. Оглавления пять (5)

3. Введения семнадцать (17)

4. Чертежей нет

5. Рисунков сто два (102)

6. Таблиц две (2)

7. Библиографии семнадцать (17)