Математическое моделирование нелинейных волн на заряженной свободной поверхности электропроводной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Климов, Андрей Владиславович

• Климов, Андрей Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Климов, Андрей Владиславович

Введение.

Глава 1. Периодические волны на заряженной поверхности жидкости и их моделирование (обзор).

1.1. Предварительные сведения о неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости.

1.2. Модель неустойчивости Френкеля. Задача Френкеля, ее решение и анализ. Различные модификации модели Френкеля.

1.3. Исследования нелинейных волн на поверхности жидкости.

1.4. Задача определения нелинейной капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности жидкости.

1.5. Обсуждение результатов нелинейных исследований периодических волн.

Глава 2. Математическое моделирование нелинейных периодических волн на заряженной свободной поверхности идеальной жидкости.

2.1. Построение математической модели.

2.2. Аналитическое и численное исследование нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости.

2.3. Нелинейные поправки высшего порядка к критическим условиям реализации неустойчивости плоской зараженной поверхности жидкости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нелинейных волн на заряженной свободной поверхности электропроводной жидкости»

Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости представляет значительный интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями данного феномена. Оно лежит в основе принципа действия разнообразных прецизионных научных приборов и устройств, является неотъемлемой частью многих технологических и геофизических процессов. В частности данное явлением находит применение в народном хозяйстве: в распыливании жидких топлив и лакокрасочных материалов, в технологии струйной печати, а также в изучении природных явлений, таких как грозовое электричество, волны в океане и огни Св.Эльма (появляются как результат коронного разряда с поверхности капель воды, осевших на высоких предметах). Среди всех видов неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости выделяется неустойчивость Тонкса-Френкеля, и, несмотря на устойчивый многолетний интерес к этому феномену, большинство посвященных ему теоретических исследований проведено в рамках физико-математических моделей, линейных по малой амплитуде возмущения свободной поверхности, хотя нелинейная суть явления явно следует из нелинейности основных уравнений гидродинамики. Различные экспериментальные исследования также не учитывают нелинейности феномена. Некоторое количество теоретических работ по изучению неустойчивости, выполненных в последние годы, все же делают попытку исследования явления в рамках нелинейных моделей, однако они содержат лишь формальные результаты без физических выводов об их значении для изучения феномена. К тому же, в большинстве этих работ использовался наиболее распространенный в настоящее время подход к нелинейному исследованию, такой как получения солитонного решения. Это весьма узкий взгляд на проблему, поскольку нелинейные несолитонные движения встречаются в природе не менее часто. Те немногочисленные работы последних лет, которые рассматривают именно несолитонные нелинейные решения, показывают, что даже естественные на первый взгляд задачи (например, распространение волн по поверхности глубокой жидкости), решенные в этом ключе, приводят к важным результатам и выявляют новые неисследованные стороны уже привычных явлений. Кроме того, представляет интерес получение нелинейных поправок к частотам волн на заряженной поверхности, наличие которых в итоге влияет на критерий неустойчивости свободной поверхности жидкости. Солитонное решение таких поправок не дает. Также большое значение имеет изучение свойств «конусов Тейлора» -результатов реализации неустойчивости, их пространственной формы, временной эволюции, факторов, влияющих на их формирование. Вышесказанное делает важным исследование, проведенное в этой работе.

Цель работы состояла в исследовании поведения волн на заряженной свободной поверхности жидкости, закономерностей реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля и процессов формирования эмиссионных выступов - «конусов Тэйлора» - на поверхности электропроводной жидкости. Для достижения поставленной цели решались задачи:

- построения математической модели распространения нелинейных * капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости;

- аналитического исследования влияния поверхностной плотности электрического заряда на формирование волн;

- исследования условий реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости в нелинейном приближении по амплитуде волнового возмущения;

- определения времени реализации неустойчивости поверхности электропроводной жидкости;

- математическое моделирование процессов формирования эмиссионных выступов на заряженной свободной поверхности жидкости - «конусов ф Тэйлора».

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- впервые построена математическая модель распространения нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, которая позволяет получить нелинейные поправки к частотам этих волн и критическим условиям реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля;

- показано, что профили периодических капиллярно-гравитационных волн на однородно заряженной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости не являются стационарными, а расплываются из-за того, что фазовые скорости поправок различных порядков малости к профилю волны различаются;

- установлено, что минимальное значение поверхностной плотности электрического заряда, необходимое для реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля, и волновое число наиболее неустойчивой волны уменьшаются пропорционально квадрату амплитуды этой волны, также проявляется тенденция более быстрого уменьшения этих критических значений с дальнейшим ростом амплитуды волны;

- проведен анализ поведения нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, который показал, что данный тип волнового движения качественно отличается от волн на незаряженной поверхности, и имеет смысл говорить об этих волнах как о волновом движении нового типа — электрокапиллярных волнах;

- впервые построена математическая модель реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости;

- впервые проведены оценки характерного время формирования «конусов Тейлора» (выступов на заряженной поверхности жидкости, образующихся на нелинейной стадии реализации ее неустойчивости, с вершин которых идет сброс избыточного заряда путем эмиссии высокодисперсных сильно заряженных капелек);

- в рамках предложенной модели распространения нелинейных периодических волн на заряженной поверхности жидкости получена форма эмиссионного выступа - «конуса Тейлора» - и исследована его временная эволюция.

Научная и практическая ценность состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о явлениях, происходящих при диспергировании жидкостей под влиянием электрического поля. Проведенный анализ нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, критических условий реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля, закономерностей формирования эмиссионных выступов на поверхности жидкости вносит вклад в теорию грозового электричества, в исследование распространения волн в океане, в изучение явления «огней Св.Эльма», освещает некоторые их аспекты и способствует лучшему пониманию. Результаты исследования могут быть использованы в самых разнообразных академических, технических и технологических приложениях. В частности, проведенное исследование предсказывает явления, которые следует учитывать при исследовании жидко-капельных систем естественного и искусственного происхождения. В народном хозяйстве данное исследование может найти применение в предсказании погоды, в морской навигации, в практике распыления лакокрасочных и горючих материалов, в устройствах электрокаплеструйной печати, в разработке новых и усовершенствовании имеющихся конструкций: жидкометаллических источников ионов, масс-спектрометров, ионных коллоидных двигателей.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель распространения капиллярно-гравитационных волн на заряженной свободной поверхности жидкости.

2. Расчет формы волн и анализ волнового движения на поверхности жидкости в рамках построенной модели.

3. Теоретическая модель влияния амплитуды начального возмущения на критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

4. Поправки к критическим условиям реализации неустойчивости плоской поверхности электропроводной жидкости - неустойчивости Тонкса-Френкеля.

5. Оценки характерного времени реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

6. Математическое моделирование феномена образования эмиссионных выступов - «конусов Тэйлора» - и анализ закономерностей их пространственного формирования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Климов, Андрей Владиславович

3.3.2. Заключение.

При математическом моделировании неустойчивости плоской заряженной поверхности идеальной несжимаемой, электропроводной жидкости характерное время реализации неустойчивости t. определяется начальной амплитудой а0 виртуальной волны, с которой начинается неустойчивость, и что более важно, степенью превышения параметром Тонкса-Френкеля критического для волны данной длины значения (то есть закритичностью АЖ)У так как влияние закритичности АУУ на величину г. при А1¥ является преобладающим. При А1¥ = 0 время и обратно пропорционально а0 и при достаточно малых а0 может достигать весьма больших величин вследствие медленного нарастания амплитуды на линейной стадии неустойчивости. Например, если виртуальная волна порождается тепловым движением молекул жидкости, то ао&\0~*ст и для воды величина составляет около восьми часов.

В рамках рассмотренной модели формирования конуса Тейлора процесс возникновения и развития неустойчивости плоской однородно заряженной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости делится во времени на два этапа: стадия подготовки неустойчивости или линейная стадия, занимающая в зависимости от начальных условий (от начальной амплитуды виртуальной волны и от степени закритичности параметра Тонкса-Френкеля в начальный момент времени) значительную часть полного времени развития неустойчивости, и весьма кратковременная нелинейная стадия, в течение которой амплитуда неустойчивой волны возрастает быстро и неограниченно.

Результаты и выводы.

1. Построена аналитическая математическая модель нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения заряженной плоской свободной поверхности бесконечно глубокой идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, учитывающая нелинейные эффекты вплоть до пятого порядка малости по амплитуде начальной деформации.

2. Показано, что профили нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн не являются стационарными, а расплываются из-за того, что фазовые скорости поправок различных порядков малости к профилю волны различаются.

3. Обнаружено, что критическое для реализации неустойчивости по отношению к электрическому заряду значение его поверхностной плотности и волновое число наиболее неустойчивой волны уменьшаются пропорционально квадрату амплитуды нелинейной волны.

4. Выяснилось, что поведение нелинейных периодических волн на заряженной поверхности жидкости качественно отличается от нелинейного волнового движения на незаряженной поверхности: с ростом поверхностной плотности заряда (с ростом параметра Тонкса-Френкеля \¥ ) при < ¡V —> 2 имеет место рост кривизны вершин капиллярных волн, что позволяет выделить их особо и назвать электрокапиллярными волнами.

5. Оказалось, что поправки к частотам капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной несжимаемой жидкости, зависят от четных степеней амплитуды волны и имеют резонансный вид.

6. Критическая для реализации неустойчивости поверхностная плотность электрического заряда и волновое число наиболее неустойчивой моды снижаются с ростом амплитуды волны пропорционально суперпозиции четных степеней амплитуды.

7. Построена аналитическая математическая модель нелинейной пространственно-временной эволюции неустойчивой сильно заряженной поверхности жидкости.

8. Показано, что характерное время реализации неустойчивости заряженной плоской поверхности электропроводной жидкости определяется начальной амплитудой виртуальной волны и степенью превышения параметром Тонкса-Френкеля критической величины. Влияние закритичности параметра Тонкса-Френкеля на величину времени реализации неустойчивости является преобладающим. Время реализации неустойчивости обратно пропорционально амплитуде начальной виртуальной деформации, и для начальной деформации тепловой природы может измеряться часами.

9. Обнаружено, что процесс реализации неустойчивости плоской однородно заряженной поверхности жидкости делится во времени на две стадии: стадию подготовки неустойчивости или линейную стадию, занимающую подавляющую часть полного времени развития неустойчивости, и существенно менее длительную нелинейную стадию, в течение которой имеет место взрывной рост амплитуды волны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Климов, Андрей Владиславович, 2004 год

1. Френкель Я. И. К Теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме//ЖЭТФ. 1936. Т.6. №4. С.348-350.

2. Tonks L. A Theory of liquid surface rupture by uniform electric field//Phys. Rev. 1935. V.48. P.562-568.

3. Taylor G.I., McEwan A.D. The stability of horizontal fluid interface in a vertical electric field//J. Fluid Mech. 1965. V.22. N 1. P.1-15

4. Габович М.Д., Порицкий В.Я. Исследование нелинейных волн на поверхности жидкого металла, находящегося в электрическом поле//Письма в ЖЭТФ. 1981. Т.ЗЗ. Вып.6. С.320-324.

5. Габович М.Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор)//УФН. 1983. Т.140. №1. С.137-151.

6. Rayleigh. On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity//Phil. Mag. 1882. V.14. P. 184-186.

7. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1992. 662 с.

8. Miskovsky N.M., Cutler Р.Н., Chug М. Effects of viscosity on capillary wave instabilities of planar liquid-metal surface in an electric field//J, Appl. Phys. 1990. V.68. №4. P.1475-1482

9. Neron de Surgy, Chabrerie J. P. Denoux O., Wesfreid J.E. Linear growth of instabilities on a liquid metal under normal electric field//J. Phys. II. France. 1993. V.3. №8. P.1201-1225.

10. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И. Электродиспергирование слоя вязкой жидкости, лежащего на твердой подложке//ХУН коференция стран СНГ «Дисперсные системы». Тез. докладов. Одесса. 1996 г. С.29.

11. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Электростатическая неустойчивость заряженной поверхности сдоя жидкости конечной тощины//ЭОМ. 1996. №3,4. С.71-73.iУ

12. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И., Ширяева С.О. Эффект влияния заряда на структуру спектра капиллярных волн в тонком слое вязкой жидкости//Письма в ЖТФ. 1996. Т.22. №10. С.84-89.

13. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Жаров А.Н. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя вязкой жидкости конечной толщины/Л/П Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» Тез. докладов. 1997. Казань.

14. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя жидкости

15. А конечной толщины//ЖТФ. 1997. Т.67. Вып. 8. С.

16. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И. Зависимость от волнового числа критических условий неустойчивости заряженной пленки жидкости в поле флуктуационных сил//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.9. С.66-70.

17. Corteiezzi L., Prosperety A. Small-amplitude waves on the surface of layer of viscous liquid//J. Quart. Appl. Math. 1981. V.38. N4. P.375-389.

18. Левич В.Г. Гашение волн поверхностно-активными веществами 1.//ЖЭТФ. 1940. Т. 10. № 11. С. 1296-1304.

19. Левич В.Г. Гашение волн поверхностно-активными веществами П.//ЖЭТФ. ^ 1941. Т.П. №2-3. С.340-345.

20. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Гос. изд. физ. мат. лит. 1959. 699 с.

21. Dorrestein R. General linearized theory of the surface films on water ripples//Proc. Konicl. Ned. Akad. Wet. 1951. V.B54. №4.Дг P.350-356.

22. Van Den Tempel and Van De Riet Damping of waves by surface-active materials//! Chim. Phys. 1965. V. 42. P.2769-2777.

23. Lucassen-Reynders E.N., Lucassen J. Properties of capillary waves//Adv. Colloid Interface Sci. 1969. V.2. №4. P.347-395.

24. Ceniceros H. D. The effect of surfactants on the formation and evolution of H capillary waves//Phys. of fluids. 2003. V. 15. №1. P.245-256.

25. Ермаков С.А. О резонансном затухании гравитационно-капиллярных волн на воде, покрытой поверхностно-активной пленкой//Изв. РАН. ФАО. 2003. Т.39. №5. С.691-696.

26. Рабинович Л.М. О влиянии растворимых поверхностно-активных веществ на устойчивость жидких пленок и струй//МЖГ. 1978. №6. С.20-33.

27. Неволин В.Н. Влияние растворимых поверхностно-активных веществ на диспергирование жидкостей//Изв. РАН. МЖГ. 1981. №5. С. 160-164.

28. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О влиянии поверхностно-активных веществ на закономерности развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости/УПисьма в ЖТФ. 1996. Т.22. Вып.15. С.61-64.

29. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Щукин С.И. Математическое моделирование неустойчивости заряженной поверхности жидкости, покрытой пленкой ПАВ//Тез. докл. конф. молодых ученых «Проблемы моделирования в естествознании» 1997. Вожский.

30. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О минимальной для реализации эффекта гашения капиллярных волн концентрации поверхностно-активных веществ/ЯТисьма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.6. С.74-79.

31. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О неустойчивости заряженной свободной поверхности растворов инактивных веществ//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып. 16. С.26-31

32. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. Влияние упругости и динамического поверхностного натяжения на спектр волновых движений заряженной поверхности жидкости//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. №16. С.32-37

33. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Об особенностях капиллярных движений растворов поверхностно-активных веществ с заряженной свободной поверхностью//ЖТФ. 1998. Т. 68. Вып.2. С.22-29.

34. Melcher J.R. Field-coupled surface waves. A comparative study of surface coupled electrohydrodynemics and magnetohydrodynemics systems. Cambridge. 1963. 190 p.

35. Melcher J.R., Schwarz W. J. Interfacial relaxation overstability in tangential electric field instability// Phys. Fluids. 1968. V.ll. №12. P.2604-2616.

36. Melcher J.R., Smith C.V. Electrohydrodynamic charge relaxation and interfacial perpendicular-field instability//Phys. Fluids. 1969. V.12. №4. P.778-790.

37. Ширяева C.O., Григорьев А.И. Эффект динамического поверхностного натяжения и капиллярное волновое движение на заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 1996. Т.66. №10. С.31-46.

38. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О., Щукин С.И. Об инкременте неустойчивости заряженной границы раздела несмешивающихся электропроводных жидкостей/ЯТисьма в ЖТФ. 1997. Т.23. вып. 16. С.38-40

39. Саранин В.А., Жаров А.Н., Белоножко Д.Ф. Колебательная неустойчивость границы раздела проводящих жидкостей в нормальном электрическом поле// Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып. 16. С.41-44.

40. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Щукин С.И. О колебательной неустойчивости заряженной границы раздела несмешивающихся электропроводных жидкостей//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.21. С.32-36.

41. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной границы раздела двух несмешивающихся вязких жидкостей с учетом релаксации заряда//ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.9. С. 13-19.

42. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость плоской границы раздела двух несмешивающихся проводящих вязких жидкостей в нормальном электрическом поле//Изв. РАН МЖГ. 1998. №6. С. 116-123.

43. Sapir M., Havazelet D. Reduction of the Rayleigh-Taylor instability effects on ICF targets via a voltage-shaped ion beam//J. Phys.D: Appl. Phys. 1985. V.18. P.41-46.

44. Григорьев А.И., Ширяева C.O. Неустойчивость заряженной плоской поверхности тангенциального разрыва двух несмешивающихся жидкостей различных плотностей//ЖТФ. 1994. Т.64. Вып.9. С.23-34.

45. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Рахманова Ю.Д. Взаимодействие релаксационных волн с волнами перераспределяющегося по свободной поверхности поверхностно-активного веществаУ/Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. №18. С.25-31.

46. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.7. С. 15-22.

47. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Неустойчивость напряженной поверхности сильно вязкой жидкости//Письма в ЖТФ. 1999. Т.25. Вып.22. С.80-85.

48. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Автоколебательная неустойчивость свободной поверхности вязко-упругой среды//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып.З. С.80-85.

49. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О взаимодействии капиллярных волн на заряженном тангенциальном разрыве поля скоростей//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып.11. С.10-17.

50. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Капиллярные колебания вязкоупругой среды под влиянием постоянного внешнего воздействия//ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.11. С.25-33.

51. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Кузьмичев Ю.Б., Белоножко Д.Ф., Голованов А.С. Особенности реализации неустойчивости Кельвина-Гельмгольца//ЭОМ. 2000. №2.

52. Белоножко Д.ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О., Голованов А.С. О формировании волнового микрорельефа на поверхности полупроводника при распыливании его сильно точным ионным пучком// ЭОМ. 2000. №6.

53. Lick W. Nonlinear wave propagation in fluids//Ann. Rev. of Fluid Mech. 1970. V.2. P.l 13-136.

54. Hammack J.L., Henderson D.M. Resonant interactions among surface water waves// Ann. Rev. of Fluid Mech. 1993. V.25. P.55-97.

55. Dias F., Kharif C. Nonlinear gravity and capillary-gravity waves//Ann. Rev. Fluid Mech. 1999. V.31. P.301-346.

56. Wilton J.R. On Deep water waves//Phil. Mag. S.6. 1914. V.27. №158. p.395-394.

57. Wilton J.R. On ripples// Phil. Mag. S.6. 1915. V.29. №173. p.689-700.

58. Simons W.F. A variational method for weak resonant wave interactions//Proc. Roy. Soc. Ser.A. V.309. p.551-575.

59. McGoldrick L.F. Resonant interactions among capillary-gravity waves//J. Fluid Mech. 1965. V.21. pt.2. p.305-331.

60. McGoldrick L.F. An experiment on second-order capillary gravity resonant wave interactions//!. Fluid Mech. 1970. V.40. pt.2. p.251-271.

61. McGoldrick L.F. On Wilton's ripples: special case of resonant intaractions//J. Fluid Mech. 1970. V.42. pt.l. p.193-200.

62. McGoldrick L.F. On the rippling of small waves: a harmonic nonlinear nearly resonant interacrion//J. Fluid Mech. 1972. V.52. pt.4. p.723-751.

63. Nayfeh A.H. Triple- and quintuple-dimpled wave profiles in deep water//The phys. of fluids. 1970. V.13. №3. p.545-550.

64. Nayfeh A.H. Third-harmonic resonance in the interaction of capillary and gravity waves//J. Fluid Mech. 1971. V.48. pt.2. p.385-395.

65. Nayfeh A.H. The method of multiple scale and non-linear dispersive waves//J. Fluid Mech. 1971. V.48. pt.3. p.463-475.

66. Nayfeh A.H. Finite amplitude surface waves in a liquid layer//J. Fluid Mech. 1970. V.40. pt.4. p.671-684.

67. Bretherton F.P. Resonant interaction between waves. The case of discrete oscillations//J. Fluid Mech. 1964. V.20. pt.3. p.457-479.

68. Ламб Г. Гидродинамика Л: ГТТИ. 1947. 928 с.

69. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Под ред. Кибеля И.А. Ч 1.Л.: ГТТИ. 1963. 584 с.

70. Стокер Дж. Волны на воде М.: ИЛ. 1959. 617 с.

71. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 с.

72. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. Л.: Гидрометеоиздат. 1974. 368 с.

73. Юэн Г. Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.: Мир. 1987. 179 с.

74. Захаров В. Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости//ПМТФ. 1968. № 2. С.86-94.

75. Craper G.D. An exact solution for progressive capillary waves of arbitrary amplitude//.!. Fluid Mech. 1957. V.2. p.532-540.

76. Ильичев A.T. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. 256 с.

77. Gonsalez A., Castellanos A. Kortwg-de Vries-Burgeres equation for surface waves in nonideal condacting liquids//Phys. Rev. E. 1994. V.49. №4. P.2935-2940.

78. Gonsalez A., Castellanos A. Nonlinear electrohydrodynamic waves on films falling down an inclined plane//Phys. Rev. E. 1996. V.53. №4. P.3573-3578.

79. Жакин А. И. Нелинейные волны на поверхности заряженной жидкости. Неустойчивость, ветвление и нелинейные равновесные формы заряженной поверхности//Изв. АН СССР. 1984. №3. С.94-102.

80. Michael D.H. Note on electrohydrodynamic stability//Quart. Of Appl. Math. 1970. V.28. №1. P.139-143.

81. Michael D.H. Nonlinear effects in electrohydrodynamic surface wave propogation//Quart. Of Appl. Math. 1977. V.35. P.139-143.

82. Michael D.H. Nonlinear effects in electrohydrodynamic surface wave propogation//Quart. Of Appl. Math. 1977. V.35. P.345-355.

83. Bhimsen K., Sh. Nonlinear stability of surface waves in electrohydrodynamics// Quart. Of Appl. Math. 1979. V.35. P.423-427.

84. Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K. Finite amplitude surface waves in electrohydrodynamics// Quart. Of Appl. Math. 1981. V.39. P.23-24.

85. Malik S.K., Rama Kant Second harmonic resonance in electrohydrodynamics// Quart. Of Appl. Math. 1986. V.43. P.23-24.

86. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные электрокапиллярные волны на заряженной поверхности идеальной жидкости//Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып. 18. С.46-51.

87. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных капиллярно-гравитационных волнах на заряженной поверхности идеальной жидкости//Изв. РАН. МЖГ. 2003. №6. С. 102-109.

88. Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной свободной поверхности идеальной жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып. 1 С.32-39.

89. Григорьев А.И., Ширяева С.О. // Изв. РАН. МЖГ. 1994. №3. С.3-22.

90. Pregenzer A.L., Marder В.М. // J. Appl. Phys. 1986. V.60. P.3821-3824.

91. Schooley A.H. // J. Geophys. Res. 1960. V.65. №12. P.4075-4079.

92. Зубарев H.M. // ЖЭТФ. 1999. T.l 16. Вып.6(12). С. 1990-2005.

93. Зубарев Н.М., Зубарева O.B. // ЖТФ. 2001. Т.71. Вып.7. С.21-29.

94. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И //О внутреннем нелинейном резонансе капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности вязкой жидкости//ПЖТФ. 2003. Т.29. Вып.8. С.1-7.

95. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Асимптотическое решение задачи о нелинейных волнах в вязкой жидкости// ПЖТФ. 2002. Т.28. Вып. 19. С. 1-9.

96. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Волны конечной амплитуды на поверхности вязкой глубокой жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.4. С.28-37.

97. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов A.A. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: Физматлит. 2003. 215 с.

98. Климов A.B., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частоте капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости и к критическим условиям реализации ее неустойчивости/ЛПисьма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.24. С.42-46.

99. Климов A.B., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к критическим условиям реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости//(В печати ПЖТФ)

100. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов A.B. О характерном времени реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.7 С. 140-142.

101. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов A.B. О форме «конуса Тэйлора» и характерном времени его роста//ЭОМ. 2004. №4. С.34-40.

102. Allen J.E. A note on the Taylor cone// J. Phys. D: Appl. Phys. 1985. V.18. P.59-62.

103. Longuet-Higgins M.S. Viscous dissipation in steep capillary-gravity waves//J. Fluid Mech. 1997. V.344. P.271-289.

104. He J., Miscovsky N.M., Cutler P.H., Chung M.//J. Appl. Phys. 1990. V.68. №4. P.1475-1482.

105. Григорьев А.И., Ширяева C.O.// Изв. РАН. МЖГ. 1994. N.3. С.3-22.

106. De Surgy G.N., Chabrerie J.P., Denoux О., Wesfreid J.E.//J. Phys. II France. 1993. V.3. P.1201-1225.

107. Mohamed A.A., Elshehawey E.F., El-Sayed M.F. // J. Coll. Int. Sei. 1995. V.169. P.65-78.

108. Александров M.Л., Галь Л.Н., Иванов В.Я. и др. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №6. С.165-167.

109. Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ. 1995. Т.65. Вып.9. С.39-45.

110. Ширяева С.О. // ПЖТФ. 2000. Т.26. Вып.4. С.5-8.

111. Григорьев А.И. // ПЖТФ. 1998. Т.24. Вып.24. С.36-40.

112. Шутов A.A. Генерация электрогидродинамических волн на границе раздела жидкость-вакуум//ЖТФ. 2002. Т.72. Вып.8. С. 126-130.