Исследование условий развития вихревых движений и тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости с электрически заряженной свободной поверхностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Козин, Александр Васильевич

• Козин, Александр Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козин, Александр Васильевич

Введение

Глава 1. Литературный обзор

1.1. Типичные неустойчивости, развивающиеся в жидкости с горизонтальной свободной поверхностью

1.1.1. Неустойчивость Рэлея-Бенара ^

1.1.2. Неустойчивость Марангони

1.1.3. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца

1.1.4. Неустойчивость Тонкса-Френкеля»

1.2. Современные работы и приложения

Глава 2. Нетепловые механизмы возбуждения, вихревого движения жидкости вблизи электрически заряженной горизонтальной свободной поверхности, по которой распространяется периодическая волна

2.1. Исследование • волнового вихревого движения, вызванного распространением периодических волн по поверхности электрически заряженной жидкости^

2.2. Принцип расчета среднего дрейфового течения, вызванного периодическими, волнами, распространяющимися по поверхности' жидкости.

2.3. Исследование дрейфового вихревого течения, вызванного периодическими волнами, распространяющимися по поверхности электрически заряженной вязкой-жидкости

2.4. Особенности строения модифицированного дрейфа- Стокса, инициируемого-периодическими-волнами, распространяющимися по поверхности вязкой заряженной жидкости

Глава 3. Исследование условий развития конвекции в-горизонтальном слое- жидкости, подогреваемом со^ стороны дна при совместном действии нескольких механизмов дестабилизации равновесного состояния^

3.1. Закономерности реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности' горизонтального жидкого слоя, в котором развивается тепловая-конвекция ду

3.2. Влияние эффекта Марангони на условия развития неустойчивости Тонкса-Френкеля

3.3. Анализ влияния движения внешней среды на условия развития термо-конвективной неустойчивости в горизонтальном слое вязкой' теплопроводной жидкости

Результаты и выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование условий развития вихревых движений и тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости с электрически заряженной свободной поверхностью»

Актуальность темы. В самых разнообразных академических, технических, технологических и' геофизических приложениях приходится иметь дело с электрически заряженной свободной» поверхностью жидкости (Г'абович 1981; Bai ly 1974; Кожен ков 1976; Bogy 1979; Bailey 1986; Дудников 1987; Ширяева 1989; Fenn 1989; Шевченко 1991]). Неустойчивость заряженной поверхности жидкости, возникающая в условиях, когда, электрические пондеромоторные; силы на. свободной поверхности^ преобладают над капиллярными^ лежит в основе принципа функционирования! самых различных технических; устройств (оборудование для электрогидродинамического распыления топлив, лаков, красок, инсектицидов; жидко-металлические источника ионов; коллоидные реактивные, двигатели); является причиной возникновений некоторых метеорологических явлений, например огней Св. Эльма (Григорьев 1990; 1994, Ширяева. 1989):

Следует заметить, что неустойчивость свободной поверхности жидкости по отношению избытку поверхностного электрического заряда только одна наиболее разработанная сторона феномена влияния поверхностного электрического заряда на динамику движения свободной поверхности жидкости; Дестабилизирующее, воздействие электрического заряда на: свободную поверхность жидкости, реализуется, только если і значение поверхностной? плотности электрического заряда1; закритично: Например, для воды в нормальных условиях это реализуется*, если: ее поверхность находится в электрическом поле Е > 25 kB/cm [Tonks L., 1935; Френкель 1936; Taylor G.I. 1965], что в обычных обстоятельствах является довольно большой величиной. В докритических условиях поверхностная плотность электрического заряда является служебным параметром, позволяющим управлять динамикой волнового движения на свободной1 поверхности: влиять на частоту капиллярно-волнового-движения; изменять условия тепло и: массопереноса, связанного с; волновым движением свободной поверхности. Эта сторона феномена влияния поверхностного' электрического заряда на динамику движения свободной поверхности жидкости в настоящий момент исследована весьма слабо и теоретически и экспериментально. В связи со сказанным, разработка аналитической модели влияния электрического заряда на динамику волнового движения на поверхности жидкости при докритических значениях поверхностной плотности заряда представляется весьма актуальной и интересной задачей. Особенный интерес вызывает исследование влияния электрического заряда на вихревые движения, реализующиеся вязкой жидкости, поскольку они отвечают за наиболее важные для приложений эффекты: взаимодействие капиллярно-волнового движения1 с пленками поверхностно-активных веществ [Левич, 1940, 1941, Ьисаззеп-Яеупёегз 1969, Белоножко 1998с]; перенос и перемешивание растворенных в жидкости примесей [ЬисазБеп-Яеупёегз 1969]; взаимодействие капиллярно-волнового движения с релаксирующим вдоль свободной поверхности электрическим зарядом [Ме1с11ег, 1968; Григорьев 1997Ь].

Еще одним слабо исследованным вопросом- является^ влияние поверхностного заряда на закономерности развития неустойчивостей других типов; которые могут развиваться- в жидкости со свободной поверхностью. Существует некоторая обособленность исследований по каждому отдельно взятому механизму возбуждения неустойчивости в жидком слое. Так, неустойчивость заряженной свободной поверхности по отношению к избытку электрического заряда [Френкель 1936] и не менее важное для приложений явление термо-конвективной неустойчивости [Яау1е1^ 1916, СИапс^азекИаг 1961; Гершуни 1972, Шишкин, 1947; Гетлинг 1999], исторически, изучались совершенно независимо друг от друга разными исследователями на жидкостях с различными физическими свойствами. Общий случай, когда развитие неустойчивости вызывается совместно и электрическим- зарядом, дестабилизирующим свободную поверхность, и подогревом жидкого слоя, вызывающим термо-конвективные движения, до сих пор подробно не исследован. Аналогичная ситуация имеет место в отношении совместной реализации явления термо-конвективной неустойчивости и неустойчивости, связанной; с движением среды, располагающейся над жидким слоем [Не1шЬокг 1868; Ламб 1947; Бэтчелор 2004; Ландау 1986]. Цель работы состояла в исследовании влияния- поверхностного электрического заряда на вихревые и дрейфовые движения в вязкой жидкости, связанные с распространением.по поверхности жидкости?периодических волн и в изучении влияния поверхностного электрического заряда на закономерности развития конвективных, движений в горизонтальном* слое вязкой теплопроводной жидкости, подогреваемом со стороны дна.

Для достижения поставленной целиг были решены следующие.задачи:

- теоретическое аналитическое исследование: строения вихревого слоя вблизи.свободной поверхности- вязкой жидкости, по которой распространяется периодическое волновое возмущение;

- теоретическое аналитическое исследование влияния поверхностного электрического заряда на интенсивность -приповерхностного вихревого движения; вызванного распространением по свободной; поверхности периодического волнового возмущения;

- теоретическое аналитическое исследование дрейфового 'движения, возникающего в вязкой жидкости по горизонтальной заряженной поверхности которой распространяется периодическая капиллярно-гравитационная волна;

- теоретическое аналитическое исследование закономерностей реализации? неустойчивости, заряженной свободной поверхности горизонтального жидкого слоя, в котором развивается тепловая конвекция;

- теоретическое аналитическое исследование влияния движения внешней среды, на условия развития термо-конвективной* неустойчивости в горизонтальном слое вязкой теплопроводной жидкости;

- теоретическое аналитическое исследование влияния- термокапиллярных эффектов на условия развития? неустойчивости горизонтального слоя жидкости с заряженной свободной поверхностью.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней: впервые аналитически описана составляющая дрейфового течения, появление которой обусловлено действием вдоль направления распространения волны горизонтальных вязких напряжений; впервые аналитически описано влияние электрического заряда на закономерности приповерхностного вихревого движения, формирующегося в результате распространения* по свободной поверхности вязкой жидкости периодической капиллярно-гравитационной волны;

- впервые проведено- корректное аналитическое исследование закономерностей- развития тепловой' конвекции- в горизонтальном слое теплопроводной вязкой жидкости, при совместном действии двух дестабилизирующих факторов: поверхностного, электрического заряда и-подогрева со стороны дна;

- впервые аналитически сформулированы условия, развития неустойчивости горизонтального подогреваемого снизу слоя вязкой теплопроводной^ жидкости, учитывающие влияние движения- внешней среды, располагающейся над жидким* слоем;

- впервые аналитически- сформулированы условия развития неустойчивости* горизонтального подогреваемого снизу слоя» теплопроводной вязкой жидкости, учитывающие совместное влияние термо-капиллярного эффекта и электрических пондеромоторных сил на свободной поверхности.

Научная и практическая ценность работы состоит в том:, что полученные результаты представляют собой теоретическую основу для дальнейшего развития* теоретических представлений о строении вихревого пограничного слоя; формирующегося вблизи свободной поверхности жидкости, испытывающей'волновое возмущение. В работе развита новаямодель процесса переноса веществаг периодическим волнами на поверхности жидкости, которая' может найти применение в различных приложениях, имеющих дело с явлением переноса примесей вдоль свободной поверхности жидкости. Результаты работы имеют важное значение для установления физических условий, при которых известные механизмы возникновения неустойчивости в слое вязкой теплопроводной жидкости способны влиять друг на друга, формируя новые режимы реализации неустойчивости. Эти режимы представляют интерес для самых различных технических, технологических, метеорологических и геофизических приложений.

На защиту выносятся:

1. Результаты разработки нового теоретического преставления о строении приповерхностного вихревого слоя, возникающего в результате распространения периодической волны по свободной электрически заряженной горизонтальной поверхности жидкости.

2. Представление о формировании вблизи свободной поверхности вязкой жидкости, по которой, распространяется капиллярно-гравитационная волна добавочного дрейфового движения, в которое жидкость вовлекается горизонтальными вязкими напряжениями, действующими вдоль направления распространения^ волны.

3. Результаты аналитического расчета влияния* электрического заряда на свойства отдельных компонент приповерхностного вихревого течения, вызванного распространением по поверхности жидкости периодического волновоговозмущения.

4. Аналитическая формулировка, графическое представление и анализ условий развития неустойчивости в горизонтальном слое вязкой теплопроводной жидкости, подогреваемой снизу и несущей поверхностный электрический заряд.

5. Результаты анализа взаимного* влияния друг на друга различных механизмов развития неустойчивости в горизонтальном слое вязкой теплопроводной жидкости, подогреваемой снизу и несущей поверхностный * электрический заряд: неустойчивости по отношению-к избытку электрического заряда, неустойчивости'термо-конвективного и термокапиллярного типов.

6. Результаты анализа взаимного влияния двух неустойчивостей, дестабилизирующих границу раздела жидких сред: неустойчивости границы раздела жидкостей, вызванной движением среды в области над теплопроводным слоем жидкости, и термо-конвективной неустойчивости этого слоя.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 20-ой международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Ярославль, 2007), 2-х всероссийских конференциях молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2007 и 2008), 12-ой международной конференции молодых ученых «Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы» (Борок, 2008), 23-ей научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2008), 14-ой и 15-ой Всероссийских научных конференциях студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ» (Уфа, 2008, Кемерово,2009), 8-ой международной конференции «Волновая электродинамика проводящей жидкости. ДПО и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере» (Ярославль, 2009), международной научно-методической конференции по физике «X Столетовские чтения» (Владимир, 2009), 9-ой^ международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 2009).

Достоверность результатов обеспечивается использованием известных математических моделей и4 апробированных методов исследований. Все полученные в работе соотношения в простейших предельных случаях переходят в хорошо- известную классическую форму. Результаты исследования представлены в наглядной форме с помощью графиков и двухмерных поверхностей, иллюстрирующих физическую непротиворечивость результатов.

Личный вклад автора Автор лично участвовал -в постановке задач, в обсуждении и интерпретации результатов исследования, самостоятельно выполнял аналитические вычисления и численные расчеты, докладывал результатами работы на многочисленных семинарах и конференциях.

Структура работы. Диссертация общим объемом 146 страниц, содержит 18 рисунков, состоит из введения, трех глав, 8 выводов, списка литературы (181 наименование).

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Козин, Александр Васильевич

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Показано, что распространение периодических волн по свободной поверхности вязкой несжимаемой жидкости является причиной возникновения приповерхностного вихревого течения, в котором выделяются две компоненты. Первая компонента — вихревое волновое движение с интенсивностью, пропорциональной амплитуде волны, вторая — дрейфовое движение с интенсивностью, пропорциональной квадрату амплитуды волны.

2. Обнаружено, что при увеличении поверхностной плотности электрического заряда на горизонтальной свободной поверхности волновое вихревое движение, связанное с распространением капиллярно-гравитационной волны, демонстрирует бифуркационное поведение. Существует околокритическое в смысле реализации неустойчивости по отношению к избытку электрического заряда значение поверхностной плотности заряда, при которой наблюдается переключение в режим апериодического вихревого движения, имеющего две собственные составляющие, различающиеся пространственно-временными характерными масштабами.

3. Во втором приближении по амплитуде волны построена новая теоретическая асимптотическая модель дрейфового течения, вызванного распространением периодических капиллярно-гравитационных волн по поверхности вязкой несжимаемой жидкости. Выделены две составляющие дрейфового течения, каждая из которых вычисляется с помощью своей независимой расчетной процедуры. Одна составляющая является непосредственным обобщением дрейфа Стокса в идеальной жидкости и поэтому названа «Модифицированный дрейф Стокса». Другая составляющая реализуется только в вязкой жидкости и названа «Добавочный дрейф». В это движение жидкость вовлекается горизонтальными вязкими напряжениями, действующими в направлении распространения волны.

4. Найдено, что при увеличении поверхностной плотности электрического заряда интенсивность обеих составляющих дрейфового приповерхностного течения, инициируемого распространением капиллярно-гравитационной волны, монотонно уменьшается вплоть до обращения в ноль.

5. Установлено критическое условие развития комбинированной неустойчивости, развивающейся в слое вязкой теплопроводной жидкости, при участии двух дестабилизирующих факторов: подогрева со стороны дна, вызывающего термо-конвективную неустойчивость и поверхностного электрического заряда, связанного с дестабилизирующим действием на поверхность электрических пондеромоторных сил. Установлено строение поверхности нейтральной устойчивости в пространстве безразмерных параметров: волновое число, параметр Рэлея (характеризующий вертикальный градиент температуры) и параметр Тонкса-Френкеля (пропорциональный квадрату поверхностной плотности электрического заряда).

6. Выяснилось, что в слое вязкой теплопроводной поверхностно заряженной идеально проводящей жидкости, критическое значение разности температур, превышение которого обеспечивает развитие термо-конвективной неустойчивости, снижается при увеличении поверхностного электрического заряда. Аналогично, критическое значение поверхностной плотности заряда, при превышении которого реализуется неустойчивость по отношению к избытку электрического заряда, снижается, если усиливать подогрев со стороны дна. Для большинства веществ оба эффекта весьма незначительны в земных условиях, но существенно усиливаются в условиях малой гравитации.

7. Обнаружено, что при совместном развитии неустойчивости горизонтального жидкого слоя по отношению к избытку электрического заряда и неустойчивости термо-конвективного типа значительно расширяется спектр неустойчивых волновых движений. В зависимости от обстоятельств спектр неустойчивых волновых чисел может состоять из одного или двух интервалов. Отчетливость эффектов «раздвоения» и «расширения» множества неустойчивых волновых движений можно усилить, ослабить или полностью подавить, изменяя толщину жидкого слоя и капиллярную постоянную жидкости.

8. Показано, что при увеличении скорости среды, движущейся над слоем вязкой теплопроводной жидкости, подогреваемой снизу, происходит расширение спектра неустойчивых волновых движений и снижение критической разности температур, необходимой для возникновения тепловой конвекции. Это снижение проявляется тем существенней, чем ближе друг к другу значения плотностей верхней среды и жидкого слоя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козин, Александр Васильевич, 2011 год

1. Bailey A.G. The Theory and Practice of Electrostatic Spraying (rev.) // Atomization and Spray Technology. 1986. V. 2. P. 95-1*34.

2. Bailey A.G. Electrostatic atomization of liquids (rev.) // Sci. Prog., Oxf. 1974. V. 61. P. 555-581.

3. Bogy D.B. Drop formation in a circular liquid jet // Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. V. 11. P. 207-228.

4. Bretherton F.P. Resonant interaction between waves. The case of discrete oscillations // J. Fluid Mech. 1964. V. 20. pt. 3. P. 457-479.

5. Ceniceros H. D. The effect of surfactants on the formation and'evolution of capillary waves // Phys. of fluids. 2003. V. 15. № 1. P. 245-256.

6. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. — Oxford: Clarendon Press, 1961.

7. Chini G.P., Cox S.M. Large Rayleigh number thermal convection: Heat flux predictions and strongly nonlinear solutions // Phys.of Fluids 2009. V. 21, 083603.

8. Christensen K.H., Terrile E. Drift and deformation of oil slicks due to surface waves // J. Fluid Mech. 2009. V. 620. P. 313-332.

9. Corteiezzi L., Prosperety A. Small-amplitude waves on the surface of layer of viscous liquid // J. Quart. Appl. Math. 1981. V. 38. N 4. P. 375-389.

10. Dias F., Kharif C. Nonlinear gravity and capillary-gravity waves // Ann. Rev. Fluid Mech. 1999. V. 31. P. 301-346.

11. Dorrestein R. General linearized theory of the surface films on water ripples // Proc. Konicl. Ned. Akad. Wet. 1951. V. 54. №4. P. 350-356.

12. Fedorov A.V., Melville W.K. Nonlinear gravity-capillary waves with forcing and dissipation // J. Fluid Mech. 1998. V. 354. P. 1-42.

13. Fenn J.B., Mann M., Meng C.K. et al. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules (rev.) // Science. 1989. V. 246. №4926. P. 64-71.

14. Hammack J.L., Henderson D.M. Resonant interactions among surface water waves// Ann. Rev. of Fluid Mech. 1993. V. 25. P. 55-97.

15. Hashim I., Wilson S.K. The onset of Benard-Marangoni convection in a horizontal layer of fluid // International Journal of Engineering Science 1999. V. 37. P. 643-662.

16. Hershey A.V. Ridges in a liquid surface due to the temperature dependence of surface tension // Phys. Rev. 1939. V. 56. P. 204.

17. Levich V.G., Krylov V.S. Surface-tension driven phenomena // Annu. Rev. Fluid Mech. 1969. V. 1. P. 293-316.

18. Lick W. Nonlinear wave propagation in fluids//Ann. Rev. of Fluid Mech. 1970. V. 2. P. 113-136.

19. Longuent-Higgens M.S. Mass transport in water waves // Royal. Soc. London. Trans. Ser. A. 1953. V. 245. N 903. P. 535-581.

20. Longuent-Higgens M.S. Eulerian and Lagrangian aspects of surface waves // J. Fluid Mech. 1986. V. 173. P. 683-707.

21. Longuent-Higgens M.S. Capillary rollers and bores // J. Fluid Mech. 1992. V. 240. P.659-679.

22. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. of the Atmospheric Sciences. 1963. V. 20. P. 130-141.

23. Lucassen-Reynders E.N., Lucassen J. Properties of capillary waves // Adv. Colloid Interface Sci. 1969. V. 2. № 4. P. 347-395.

24. Lundgren T., Koumoutsakos P. On the generation of vorticity at a free surface // J. Fluid Mech. 1999. V. 382. P. 351-366.

25. Marangoni C. Sull'espansione delle gocce di un liquido gallegianti sulla superficie di altro liquido (Pavia: Tipografia dei fratelli Fusi, 1965)

26. Mazzoni S., Giavazzi F., Cerbino R., Giglio M., Vailati A. Mutual Voronoi tessellation in spoke pattern convection // Phys.Rev. Lett. 100E 77, 188104 (2008)

27. McFadden G.B., Coriell S.R. Onset of oscillatory convection in two liquid layers with phase change // Phys.of Fluids 2009. V.21, 034101.

28. McGoldrick L.F. Resonant interactions among capillary-gravity waves // J. Fluid Mech. 1965. V. 21. pt. 2. P. 305-331.

29. McGoldrick L.F. An experiment on second-order capillary gravity resonant wave interactions // J. Fluid Mech. 1970a. V. 40. pt. 2. P. 251-271.

30. McGoldrick L.F. On Wilton's ripples: special case of resonant intaractions // J. Fluid Mech. 1970b. V. 42. pt. 1. P. 193-200.

31. McGoldrick L.F. On the rippling of small waves: a harmonic nonlinear nearly resonant interacrion // J. Fluid Mech. 1972. V. 52. pt. 4. P. 723-751.

32. Melcher J.R. Field-coupled surface waves. A comparative study of surface coupled electrohydrodynemics and magnetohydrodynemics systems. Cambridge. 1963. 190 p.

33. Melcher J.R., Schwarz W. J. Interfacial relaxation overstability in tangential electric field instability // Phys. Fluids. 1968. V. 11. № 12. P. 2604-2616.

34. Melcher J.R., Smith C.V. Electrohydrodynamic charge relaxation and interfacial perpendicular-field instability // Phys. Fluids. 1969. V. 12. № 4. P. 778-790.

35. Miranda M.A., Burguete J. Subcritical instabilities in a convective fluid layer under a quasi-one-dimensional heating // Phys.Rev. E 78, 046305 (2008)

36. Miskovsky N.M., Cutler P.H., Chug M. Effects of viscosity on capillary wave instabilities of planar liquid-metal surface in an electric field // J. Appl. Phys. 1990. V. 68. № 4. P. 1475-1482

37. Monti R. (Ed.) Physics of Fluids in Microgravity. London: Taylor&Francis, 2001.

38. Nayfeh A.H. Triple- and quintuple-dimpled wave profiles in deep water // The phys. of fluids. 1970. V. 13. № 3. P. 545-550.

39. Nayfeh A.H. Third-harmonic resonance in the interaction of capillary and gravity waves // J. Fluid Mech. 1971a. V. 48. pt. 2. P. 385-395.

40. Nayfeh A.H. The method of multiple scale and non-linear dispersive waves // J. Fluid Mech. 1971b. V. 48. pt. 3. P. 463-475.

41. Neron de Surgy, Chabrerie J. P. Denoux O., Wesfreid J.E. Linear growth of instabilities on a liquid metal under normal electric field // J. Phys. II. France. 1993. V. 3. № 8. P. 1201-1225.

42. Pellew A., Southwell R.V. On maintained convective motion in a fluid heated from below // Proc. Roy. Soc. A. 1940. V. 176. P. 312-343.

43. Pozrikidis. C. Theoretical and computational aspects self-induced motion of three-dimensional vortex sheets // J. Fluid Mech. 2000. V. 425. P. 335-366.

44. Rath H.J. (Ed.) Microgravity Fluid Mechanics. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

45. Rayleigh, Lord On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side // Phil. Mag. 1916. V. 32. P. 529-546.

46. Rayleigh, Lord On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity//Phil. Mag. 1882. V.14. P. 184-186.

47. Reeuwijk M., Jonker H., Hanjalic K. Wind and boundary layers in Rayleigh-Benard convection. I. Analysis and modeling // Phys.Rev. E 77, 036311 (2008)a

48. Reeuwijk M., Jonker H., Hanjalic K. Wind and boundary layers in Rayleigh-Benard convection. II. Boundary layer character and scaling // Phys.Rev. E 77, 036312 (2008)b.

49. Sapir M., Havazelet D. Reduction of the Rayleigh-Taylor instability effects on ICF targets via a voltage-shaped ion beam // J. Phys.D: Appl. Phys. 1985. V.18. P. 41-46.

50. Scriven L.E., Sternling C.V. The Marangoni effects // Nature 1960. V. 187. P: 186-188.

51. Shklyaev S., Nepomnyaschy A.A., Oron A. Marangoni convection in a binary liquid layer with Soret effect at small Lewis number: Linear stability analysis // Phys.of Fluids. 2009. V.21, 054101.

52. Simanovskii I.B., Viviani A., Dubois F., Legros J.-C. Nonlinear regimes of anticonvection, thermocapillarity, and Rayleigh-Benard convection in two-layer systems //Phys.ofFluids. 2009. V.21, 052106.

53. Simons W.F. A variational method for weak resonant wave interactions // Proc. Roy. Soc. Ser.A. 1969. V.309. P. 551-575.54.55,56,57,58,59,60