Математическое моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек с трансверсально-мягким заполнителем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Макаров Максим Викторович

• Макаров Максим Викторович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Макаров Максим Викторович

2.1. Постановка задачи

2.2. Метод интегрирующих матриц для задачи нелинейного деформирования. Сведение краевой задачи к интегро-алгебраическому виду

2.3. Итерационный метод для решения физически и геометрически нелинейной задачи об определении НДС и результаты численных экспериментов

2

2.4. Постановка задачи на собственные значения, линеаризация в окрестности решения нелинейной задачи

2.5. Метод продолжения по параметру (по работе внешних сил)

2.6. Численные результаты решения задачи о закритическом поведении

ГЛАВА 3.ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФОРМ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-МЯГКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ В ТОРЦЕВЫХ СЕЧЕНИЯХ ТВЕРДЫМИ СТЕРЖНЯМИ ПРИ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ ПЛАСТИНЫ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

3.1 Контактная постановка задач механики подкрепленных на контуре трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем

3.2 Плоский изгиб со сжатием трехслойной пластины, подкрепленной в концевых сечениях абсолютно твердыми телами

3.3 Сведение краевой задачи к интегро-алгебраическому виду в соответствии с методом интегрирующих матриц

3.4 Аппроксимация интегральных уравнений методом коллокаций по гауссовским узлам

3.5 Результаты численных экспериментов для исследования докритического напряженно-деформированного состояния, их сравнительный анализ с результатами, полученными с помощью метода конечных разностей (глава 1) без подкрепляющего стержня

3.6 Численные результаты задачи о поиске закритического напряженно-деформированного состояния в соответствии с методом продолжения по параметру и их сравнительный анализ с результатами главы

ГЛАВА 4. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ И УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КОНТУРНЫМИ

и анализ устойчивости

84

2.7. Сравнение численных результатов с экспериментальными данными

полученными

ПОДКРЕПЛЯЮЩИМИ СТЕРЖНЯМИ

119

4.1 Постановка задачи

4.2 Сведение краевой задачи к системе интегро-алгебраических уравнений

4.3 Аппроксимация интегральных уравнений методом коллокаций по гауссовским узлам

4.4 Итерационный метод и численные эксперименты

4.5 Линеаризация задачи в окрестности её нелинейного решения и постановка задачи на собственные значения

4.6 Метод продолжения по параметру - работе внешних сил. Численные результаты

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

Введение

1. Современное состояние теории трехслойных пластин и оболочек

К конструктивным элементам современной авиационной и космической техники предъявляются два противоречивых требования, которые заключаются в обеспечении высокой прочности и жесткости при минимальном весе конструкций. Наиболее эффективными видами таких элементов конструкций, обеспечивающих выполнение обоих требований, являются трехслойные стержни, пластины и оболочки. Трехлойные конструкции с легким заполнителем, как правило, состоят из двух внешних жестких слоев, воспринимающих тангенциальные напряжения, и заполнителя, который воспринимает нормальные напряжения в поперечном направлении и напряжения поперечных сдвигов. Использование заполнителей с малым удельным весом позволяет получить очень легкую и одновременно жесткую при работе на изгиб конструкцию.

Большинство тонкостенных конструкций (авиационной и ракетно-космической техники, судостроения и др.) того или иного назначения представляют собой оболочечно-стержневые системы, состоящие из элементов в виде подкрепленных стержнями или неподкрепленных тонких пластин и оболочек, соединяемых между собой не напрямую, а также через подкрепляющие стержни. Такие элементы, как правило, имеют или однородную по толщине структуру (металлические конструкционные материалы), или слоистую структуру (в частности, композиционные материалы). Использование трехслойных пластин и оболочек в конструкциях значительно уменьшает потребность использования в них подкрепляющих элементов в виде стержней, которые можно располагать только в местах соединения стержней с другими элементами на внешнем контуре. Такие конструктивные схемы потребовали разработки теоретических основ и методов для расчета на прочность и устойчивость как трехслойных панелей и оболочек, так и подкрепляющих их элементов. Исследования в области механики деформирования трехслойных

элементов конструкций были начаты с середины ХХ-го века. Основополага-

5

ющая роль в этой области механики принадлежит E. Reissner, А.Я. Александрову, В.В. Болотину, Э.И. Григолюку, Л.М. Куршину, Х.М. Муштари, А.П. Прусакову, П.П. Чулкову и ряду других отечественных и зарубежных авторов. К настоящему времени в мировой и отечественной литературе, посвященной разработке теории, математических моделей и методов расчета трехслойных пластин и оболочек, имеется огромное количество научных работ, связанных с такими именами, как И.А. Алфутов, С.А. Амбарцумян, Н.К. Галимов, А.И. Голованов, Я.М. Григоренко, А.Н. Гузь, В.Н. Кобелев, В.И. Королев, Ю.Н. Новичков, Ю.В. Немировский, Б.Л. Пелех, В.Н. Паймушин, В.В. Пикуль, А.В. Саченков, С.Н. Сухинин, Ch.W. Bert, W.S. Burton, G.M. Folie, R.E. Fulton, G. Gegard, J.M. Hunter - Tod, J. Lestingi, A.K. Noor, J. Padowan и др. Детальные исследования и обзоры в этом направлении представлены в работах [1-4, 6, 10, 33, 44, 47, 48, 66, 130, 131, 135, 141, 160, 161, 162, 170, 177-187]. Наиболее полно разработанные математические модели для описания механики деформирования трехслойных элементов конструкций отражены в обзорных работах А.А. Дудченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцова [55], Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [48], А.К Noor, W.S. Burton, Ch.W. Bert [170] и др.

Следует отметить, что среди известных математических моделей в области теории трехслойных пластин и оболочек наиболее употребительной является модель, в соответствии с которой для описания деформирования таких элементов конструкций производится редукция трехмерных уравнений теории упругости с имспользованием классических гипотезам Кирхгофа-Лява для всего пакета слоев в целом. Данный подход применим, если велич-ны жесткостных характеристик каждого слоя имеет одинаковый порядок. Однако такой подход приводит к значительным погрешностям в случае наличия слоев, имеющих малые модули сдвига в поперечном направлении.

В работе [48] дан анализ двух основных подходов построения уточненных теорий многослойных конструкций. Первый подход основан на применении кинематической гипотезы С.П. Тимошенко [32] для всех слоев в целом

6

по толщине. В соответствии с этим подходом количество неизвестных, входящих в уравнение равновесия, не зависит от количества слоев. Наряду с таким подходом применяется подход, согласно которому используется какая-либо кинематическая гипотеза для каждого слоя в отдельности, что приводит к увеличению количества уравнений и неизвестных пропорционально количеству слоев. Так, например, для описания механики деформирования внешних жестких слоев используются гипотезы Кирхгофа - Лява, тогда как для заполнителя - гипотеза, учитывающая поперечный сдвиг ([37, 74-77]).

Отдельно стоит отметить работы Э.И. Григолюка [45, 46, 49], Н.К. Га-лимова [36-40,], Х.М. Муштари [73-76], А.П. Прусакова [133,134], посвященные построению более сложных моделей деформироания.

К настоящему времени применимость моделей трехслойных пластин и оболочек, а также гипотез, на основании которых строятся эти модели, достаточно хорошо изучены, что отмечается в обзорной статье [170]. Кроме того, в этой же статье анализируются работы, посвященные анализу применимости тех или иных моделей путем сравнения результатов решения тех или иных задач с данными, полученными экспериментальным путем.

На текущий момент в области механики трехслойных конструкций развивается направление, связанное с уточнением ранее сформулированных задач и используемых расчетных схем. Повсеместное применение в качестве несущих слоев волокнистых композитных материалов и заполнителя, характеризующегося достаточно большим разнообразием структуры, ставит перед исследователями ряд новых задач. Такие композиты наряду с линейным поведением при нагружении вдоль и поперек волокон имеют значительную физическую нелинейность в условиях сдвига в тангенциальной плоскости, а в сотовом заполнителе проявляется физическая нелинейность в условиях поперечного сдвига. В связи с этим при постановке тех или иных задач механики трехслойных конструкций рассматриваемых ниже классов, наряду с учетом геометрической нелинейности, требуется также учет и физической нелинейности при постановке задач об определении напряженно-деформированного

7

состояния (НДС), устойчивости и о закритическом поведении, а также построения эффективных итерационных методов их решения.

Результаты, полученные в работах [5, 6, 56, 57, 58, 59, 79, 84, 124-126], показали необходимость применения уточненных по сравнению с [83] уравнений, позволяющих учесть большие градиенты изменения поперечных касательных напряжений в заполнителе. Использование уточненных уравнений приводит к приближению полученного решения к решению уравнений трехмерной теории упругости. Однако эти уравнения до настоящего времени использовались для решения лишь линеаризованных задач устойчивости при линейной постановке соответствующих задач о докритическом НДС. Кроме того, имеющийся опыт численного решения таких задач на основе метода конечных элементов показывает наличие целого ряда существенных особенностей поведения искомых функций. Так, наряду с краевыми эффектами, присущими и однослойным конструкциям, здесь типичным при достижении нагрузками величин, близких к критическим, является появление внутренних узких зон резкого изменения прогибов несущих слоев, размеры зон сравнимы с толщинами этих слоев. Причем, как правило, решения указанных систем ведут себя существенно более плавно в одном из характерных направлений. Применение известных аппроксимаций, основанных на тех или иных дискретизациях при помощи метода конечных элементов, оказывается для таких задач малоэффективным. Это объясняется тем, что для получения приемлемой точности приближенного решения приходится прибегать к сильному сгущению конечно-элементной сетки в зонах больших градиентов искомых функций. С одной стороны, это естественно ведет к значительному увеличению общего числа неизвестных. С другой стороны происходит резкий рост числа обусловленности возникающих систем линейных алгебраических уравнений. Для рассматриваемого класса задач это число в лучшем случае растет, как 1/ кк, где к - минимальный из диаметров конечных элементов. Это обстоятельство сильно затрудняет решение указанных систем как прямыми, так и

итерационными методами. В связи с изложенным одной из актуальных про-

8

блем, связанных с исследованием процессов потери устойчивости слоистых конструкций, является разработка численных методов решения геометрически и физически нелинейных задач на основе уравнений отмеченной выше уточненной теории.

2. Характеристика современного состояния теории и методов решения задач устойчивости трехслойных пластин и оболочек Исследованию вопросов устойчивости трехслойных элементов конструкций был посвящен большой цикл исследований А.Я. Александрова [2-4], Л.М. Куршина [67], Э.И. Григолюка и П.П. Чулкова [49-51], В.Н. Кобелева [65]. Этим вопросам посвящены также монографии и книги [7, 8, 11, 31,125], обзоры [132, 138] и др.

Многослойные элементы используются в конструкциях в различных отраслях техники. В связи с этим проводились многочисленные исследования по построению теории таких конструкций и разработке методов их расчета. В этой области задачи, связанные с исследованием устойчивости многослойных (в частности, трехслойных) стержней, пластин и оболочек, составляют отдельную группу исследований как теоретического, так и экспериментального характеров [5, 12, 25-27, 34, 42, 43, 53, 59, 60, 72-81, 85, 88 -102, 106, 107, 109 - 119, 121, 122, 134, 136-140]. Следует указать, что в макромеханике слоистых конструкций задачи, проблемы выделения и классификации возможных форм потери устойчивости (ФПУ), а также построения для их описания математических моделей и разрешающих уравнений, являются основопологающими в научных исследованиях. В научной литературе, посвященной устойчивости трехслойных конструкций, различают симметричную (антифазную) и кососимметричную (синфазную) формы потери устойчивости несущих слоев. В реальных конструкциях трехслойные элементы воспринимают преимущественно изгибающие усилия. Классическим подходом при решении задачи устойчивости в мировой научной литературе является принятие гипотезы о безмоментности и недеформированности невозмущенного НДС пакета слоев. Однако известно, что многослойные конструк-

9

ции оптимальны при работе на изгиб, что влечет за собой необходимость учета моментного невозмущенного НДС. Кроме того, при возможной реализации локальных ФПУ также необходимо учитывать моментное состояние несущих слоев в зоне закрепления. Сформулированное утверждение получило подтверждение в работах [98, 99]. В [94, 117], наряду с кососимметричной и симметричной ФПУ, в классификацию была добавлена и смешанная ФПУ внешних слоев. Критические нагрузки, соответствующие новой выявленной ФПУ оказались существенно меньше (в 2-3 раза) критических нагрузок, соответствующих кососимметричной и симметричной ФПУ. В обзорной статье [170] было дано освещение основных результатов, полученных в области механики слоистых пластин и оболочек до 1996 г. Приведенная в ней классификация ФПУ содержит синфазную и антифазную формы (к настоящему времени детально исследованные многими авторами); исследованную Паймушиным В.Н. локальную смешанную форму, а также форму сдвигового гофрообразования в заполнителе, аналогичную отмеченной в статье [94] сдвиговой форме в несущих слоях, но реализующуюся в заполнителе в результате преимущественного формирования деформаций поперечных сдвигов. Эта форма потери устойчивости, как и отмеченная выше сдвиговая ФПУ в несущих слоях, в научной литературе в течение долгого времени оставалась теоретически не изученной, хотя, судя по экспериментальным данным, полученным в разные годы многими исследователями, она может реализовывать-ся в реальных элементах конструкций в комбинации с другими формами. В цикле работ [56-59, 78, 79, 85 и др.] было установлено, что уравнения [94], служащие для исследования смешанных ФПУ и базирующиеся на известной в литературе модели «ломаной линии» с учетом поперечного обжатия (в рамках этой модели механика деформирования несущих слоев описывалась классическими гипотезами Кирхгофа - Лява, а для заполнителя выбиралась линейная аппроксимация тангенциальных перемещений по толщине), являются предельно упрощенными и позволяют выявить лишь главные особенности выпучивания несущих слоев по смешанным ФПУ. С этой целью для

10

трехслойных [56, 59, 79] и многослойных [57] пластин и оболочек с транс-версально-мягкими заполнителями была построена уточненная теория до-критического деформирования и линеаризованная теория устойчивости. Следует отметить, что все указанные исследования по теории устойчивости многослойных конструкций с трансверсально-мягкими заполнителями с достаточной степенью завершенности к настоящему времени проведены лишь для класса слоистых пластин и оболочек без учета наличия на контуре подкрепляющих элементов. Однако в реальных конструкциях многослойные пластины и оболочки всегда имеют контурное подкрепление. Поэтому в зонах опорных закреплений, усиливающих элементов и т.д. они характеризуются появлением локализованных областей моментного НДС, параметры которого имеют большие показатели изменяемости. Для исследования процессов деформирования и анализа устойчивости такого класса конструкций к настоящему времени практически отсутствуют методы теоретического анализа, основанные на использовании двумерных моделей, имеющих необходимую степень точности и содержательности.

В макромеханике деформируемых систем, состоящих из элементов с однородной по толщине структурой, используются или предельно упрощенные модели тонкостенных подкрепленных конструкций, основанные на энергетической замене реальной конструкции условной однородной ортотропной оболочкой (конструктивная ортотропия), или производится дискретный учет подкрепляющих стержней путем постановки соответствующих контактных задач [165]. При этом в абсолютном большинстве исследований использовались уравнения теории среднего изгиба оболочек, пластин и стержней, позволяющие выявить только изгибные формы потери устойчивости. Однако в работах [86, 100, 118, 122] и др. установлена необходимость более детальных исследований устойчивости тонкостенных конструкций.

В результате анализа вышеупомянутых работ был сделан вывод о некорректности применения классических кинематических соотношений в

квадратичном приближении. Как оказалось, их использование приводит к

11

«ложным» бифуркационным решениям в задачах устойчивости. Поэтому в случае малых деформаций и произвольных перемещениий были построены непротиворетчивые кинематические соотношения, что потребовало пересмотра известных вариантов нелинейной теории стержней, пластин и оболочек. На основе вышеописанных результатов была проведена редукция непротиворечивых трехмерных уравнений теории упругости [122] к уравнениям теории пластин и оболочек [86]. Это дало возможность рассмотреть ряд задач устойчивости о крутильных, изгибных и чисто сдвиговых ФПУ стержня при продольном осевом, двухстороннем поперечном и трехстороннем сжатии, об изгибно-крутильной ФПУ при чистом изгибе и осевом сжатии совместно с чистым изгибом, а также о пространственно-изгибной и крутильной (чисто сдвиговой) ФПУ стержня при кручении, плоской изгибной и изгибно-крутильной ФПУ в условиях чистого сдвига.

Сформулированные результаты оказались принципиально важными и потребовали дальнейшего развития геометрически нелинейной теории тонкостенных подкрепленных конструкций и уточненного изучения взаимодействия их отдельных элементов. Приведенный выше анализ полученных ранее результатов указывает на необходимость дальнейшего продолжения исследований в описанном выше направлении и требует разработки уточненных методов исследования устойчивости тонкостенных подкрепленных конструкций с элементами слоистой структуры на основе таких уравнений, которые даже на макроуровне должны иметь соответствующую степень точности и содержательности для выявления неклассических ФПУ.

В заключение обзора, не претендующего на полноту, можно сформулировать вывод о том, что описанные выше исследования требуют дальнейшего развития, это относится как к теории геометрически и физически нелинейного деформирования, так и к разработке эффективных численных методов решения нелинейнейных задач деформирования, определения точек бифуркаций, а также методов исследования закритического поведения рассматриваемых конструкций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек с трансверсально-мягким заполнителем»

Актуальность темы исследования

Как было отмечено выше, трехслойные стержни, пластины и оболочки с внешними (несущими) слоями из жестких материалов и заполнителем, относящимся к классу трансверсально-мягких (заполнители сотовой или складчатой структуры, армированный пенопласт и др.), являются одними из наиболее распространенных элементов конструкций того или иного назначения. Несущие слои таких элементов на внешнем контуре всегда имеют внутренние подкрепления в виде диафрагмы (стержня), обеспечивающие передачу нагрузки на несущие слои при взаимодействии с другими элементами конструкций. Так как они являются наиболее рациональными при работе на изгиб и сжатие, то одной из главных является задача исследования возможных ФПУ. Эти задачи для трехслойных конструкций с внешним контурным подкреплением к настоящему времени практически не исследованы, а существующие методы и известные пакеты прикладных программ для их исследования абсолютно не эффективны и практически не пригодны. Построение для описания механики их деформирования и выявления всех возможных классических и неклассических ФПУ соответствующих математических моделей, имеющих необходимую степень точности и содержательности, является актуальной задачей механики слоистых конструкций. Также можно сформулировать вывод о том, что описанные в обзоре исследования требуют дальнейшего развития, это относится как к теории геометрически и физически нелинейного деформирования, так и к разработке эффективных численных методов решения нелинейнейных задач деформирования, определения точек бифуркаций, а также методов исследования закритического поведения рассматриваемых конструкций

Целью настоящей работы является: построение при малых деформациях и средних перемещениях уточненной нелинейной теории для описания докритического поведения конструкций, как в линейной, так и в нелинейной постановках; построение линеаризованных уравнений для выявления точек

бифуркаций и всех возможных ФПУ трехслойных стержней, пластин и обо-

13

лочек с трансверсально-мягким заполнителем, которые имеют на контуре подкрепляющие элементы в виде или диафрагмы, или стержня; построение уравнений для описания закритического деформирования конструкций; разработка численных методов и создание эффективных итерационных алгоритмов для решения нелинейных и линеаризованных задач; разработка прикладного программного обеспечения для реализации приближенных методов с целью анализа устойчивости и исследования закритического поведения трехслойных элементов конструкций при их поперечном, продольно-поперечном изгибах, в том числе при наличии локализованных нагрузок.

Научная новизна работы заключается в следующем

1) На основе уравнений уточненной теории трехслойных пластин и оболочек с трансверсально-мягким заполнителем, построенных В.Н. Паймушиным в квадратичном приближении, даны уточненные постановки задач об устойчивости пластины в условиях поперечного и продольно-поперечного изгибов.

2) Дана уточненная постановка задачи об устойчивости трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем, находящейся в условиях трехточечного изгиба (пластины, лежащей на двух роликовых опорах и под-вержанной действию локальной поперечной нагрузки через нагружающий ролик). Для аппроксимации сформулированной краевой задачи использовался метод интегрирующих матриц. Показано, что в пластине, находящейся в условиях трехточечного нагружения, реализуется неклассическая изгибная ФПУ сжатого слоя в окрестности локализованной нагрузки.

3) Предложена уточненная геометрически нелинейная теория

трехслойных пластин и оболочек с контурным подкрепляющим элементом в

виде стержня и разработаны численные методы решения одномерных

нелинейных и линеаризованных задач устойчивости трехслойной бесконечно

широкой пластины и круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии

через подкрепляющий стержень. Выявлены все возможные, в том числе и

14

неклассические, ФПУ таких элементов конструкций при рассматриваемом виде нагружения.

4) Для численного решения нелинейных задач механики трехслойных пластин и оболочек построен двухслойный итерационный процесс с опусканием нелинейности на нижний слой с предобуславливателем, являющимся линейной частью оператора построенной разностной схемы.

5) Для поиска неустойчивых положений равновесия и исследования поведения конструкций исследуемого класса в таких положениях предложен алгоритм, основанный на глобально инкрементальной теории Лагранжа. Он является одним из вариантов реализации инкрементального алгоритма процесса продолжения решения по параметру нагрузки, в соответствии с которым процесс деформирования представляется в виде реализации последовательности равновесных состояний при соответствующих уровнях нагружения, в котором в качестве параметра продолжения предложено использовать работу внешних сил в силу предположения о ее возрастании при росте перемещений.

6) Предложен алгоритм решения нелинейных задач устойчивости трехслойных конструкций путем линеаризации в окрестности решения нелинейной задачи. Показано, что наиболее часто используемый подход к линеаризации в окрестности линейного приближения для рассматриваемого класса задач зачастую приводит к завышенным значениям критической нагрузки, что поддтверждается натурными экспериментами. Установлено, что при продольно-поперечном изгибе нагружения пластины реализуется неклассическая ФПУ, характеризующаяся волнообразованием в сжатом слое.

Теоретическая и практическая значимость работы

Практическая ценность диссертации состоит в возможности применения разработанных методов при прочностном анализе проектируемых конструкций того или иного назначения, а также более точной оценки несущей способности при их эксплуатации.

Работа посвящена исследования задач об определении напряженно-

15

деформированного состояния трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем при их среднем продольно-поперечном изгибе, включая действие локализованных нагрузок; провести разработку методов решения этих задач. Главное внимание уделено разработке численных методов решения геометрически и физически нелинейных задач на основе разработки новых схем продолжения по параметру, а также отысканию бифуркационных решений используемых уточненных уравнений, соответствующих потере устойчивости конструкций по классическим и неклассическим (смешанным) формам потери устойчивости. Разработаны оригинальные алгоритмы решения задач о собственных значениях на основе уравнений, линеаризованных в окрестности нелинейного докритического напряженно-деформированного состояния.

Разработаны программные комплексы для численной реализации предложенных методов, проведены численные расчеты для модельных задач теории трехслойных пластин с целью проверки работоспособности построенных методов, а также их эффективности.

Методология и методы исследования

Для численного решения сформулированных задач использованы методы конечных разностей, интегрирующих матриц, продолжения решения по параметру, решения спектральных задач с нелинейным вхождением параметра.

Исследования проведены на основе традиционных в механике деформируемых твердых тел подходов и методов.

Приближенные методы решения задач построены на основе их конечномерных аппроксимаций, а также с применением теории итерационных методов.

Разработана новая схема метода продолжения по параметру для решения геометрически нелинейных задач рассматриваемого класса, когда в качестве параметра принимается скалярная величина - работа внешних сил.

Разработаны программные комплексы для численной реализации пред-

16

ложенных методов, проведены численные расчеты для модельных задач теории трехслойных пластин с целью проверки работоспособности построенных методов, а также их эффективности.

Положения, выносимые на защиту

1) уравнения, линеаризованные в окрестности решения нелинейной задачи, построенные, исходя из предложенных В.Н. Паймушиным уточненных геометрически нелинейных уравнений теории трехслойных пластин и оболочек с контурным подкрепляющим элементом в виде диафрагмы;

2) численный метод, основанный на конечномерной аппроксимации и алгоритмах решения нелинейных задач деформирования и устойчивости трехслойной пластины при продольно-поперечном и поперечном изгибах;

3) метод и алгоритм решения геометрически и физически нелинейных и линеаризованных в окрестности решения нелинейной задачи устойчивости при трехточечном изгибе трехслойной пластины, основанные на методе механических квадратур с использованием интегрирующих матриц (ИМ) высокой точности, предложенных Р.З. Даутовым;

4) уточненные геометрически нелинейные уравнения трехслойных пластин и оболочек с контурным подкрепляющим элементом в виде стержня и построенные на её основе численные методы решения одномерных нелинейных и линеаризованных задач устойчивости при осевом сжатии через подкрепляющий стержень трехслойной бесконечно широкой пластины и круговой цилиндрической оболочки;

5) алгоритмы определения бифуркационных значений нагрузки и за-критического поведения трехслойных пластин и оболочек с трансверсально-мягким заполнителем, основанные на методе продолжения решения по параметру - работе внешних сил;

6) комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

В первой главе рассмотрена геометрически нелинейная задача о попе-

17

речном и продольно-поперечном изгибе трехслойной пластины с трансвер-сально-мягким заполнителем. Конечномерная аппроксимация используемых дифференциальных уравнений равновесия проводится с помощью метода конечных разностей. Для решения разностной задачи разработан двухслойный итерационный процесс с опусканием нелинейности на нижний слой с предобуславливателем, являющимся линейной частью оператора построенной разностной схемы. Предложен метод определения точки бифуркации. Для исследования закритического поведения предложен алгоритм, основанный на методе продолжения по параметру. Проведены численные эксперименты по выявлению неклассических ФПУ трехслойной пластины при разных видах нагружения.

Вторая глава посвящена постановке и решению задачи устойчивости трехслойной пластины в случае приложения к одному из внешних слоев локализованной поперечной нагрузки, когда пластина находится в условиях трехточечного изгиба. Постановка такой задачи продиктована существующими в настоящее время стандартами испытаний тест-образцов трехслойной структуры. Для аппроксимации краевой задачи, решение которой имеют большие градиенты на весьма коротких участках, применен метод интегрирующих матриц. Задача сформулирована в геометрически и физически нелинейной постановке. Физическая нелинейность задачи заключается в учете нелинейной зависимости касательных напряжений от сдвиговой деформации в заполнителе. Для решения задачи разработан итерационный процесс. Проведены численные эксперименты по определению НДС, точки бифуркации и исследованию закритического поведения. Проведена верификация полученных численных результатов путем сравнения с результатами экспериментальных исследований.

Третья глава включает в себя построение уточненной математической модели деформирования трехслойных пластин и оболочек, имеющих на контуре подкрепляющие элементы в виде деформируемых стержней, а также постановку на её основе одномерной геометрически нелинейной задачи и раз-

18

работку численного метода решения поставленной задачи о деформировании, об определении ФПУ (для линеаризованной задачи) трехслойных пластин, когда контурный подкрепляющий элемент считается абсолютно твердым телом. Для численного решения задачи, как и во второй главе, используется метод интегрирующих матриц. Проведены численные расчеты по определению НДС, точки бифуркации и исследованию закритического поведения. В случае действия продольной сжимающей нагрузки на подкрепляющий стержень с эксцентриситетом выявлены и исследованы неклассические формы потери устойчивости. Показано, что при таком виде нагружения происходит потеря устойчивости верхнего несущего слоя по смешанной изгибной форме в окрестности подкрепляющего стержня.

Четвертая глава посвящена исследованию осесимметричных форм потери устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки, подкрепленной на торцах кольцевыми шпангоутами. Предложенный метод продолжения решения по параметру позволил получить решение задачи в закритическом состоянии. Это состояние характеризуется интенсивным волнообразованием верхнего несущего слоя в области крепления подкрепляющего стержня с оболочкой.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность основных научных результатов следует из применения апробированных гипотез при соблюдении математической строгости преобразований на теоретическом этапе; тщательного анализа физической достоверности результатов численных решений, полученных с помощью разработанных методик; хорошим совпадением найденных численных решений ряда модельных задач с известными решениями других авторов и с данными натурных экспериментов.

Апробация работы.

По материалам диссертационной работы были сделаны доклады на следующих научных мероприятиях: The 11th Conference Shell Structures:

Theory and Applications SSTA (Gdansk, Poland, 2017); 9th Contact Mechanics

19

International Symposium CMIS 2018 (Biella, Italy, 2018); семинар в Институте Механики KIT (Karlsruhe, Germany, 2018); десятой, одинадцатой, двенадцатой международной конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (КФУ, Казань, 2014 г.); международной конференции по математической теории управления и механики (МГУ, Суздаль, 2015); V и VI международном научном семинаре "Динамическое деформирование и контактное взаимодействие тонкостенных конструкций при воздействии полей различной физической природы" (МАИ, Москва, 2016 г., 2017 г.); XI международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2016) (МАИ, Алушта, 2016 г.); международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна» (Воронеж, 2016); всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (СГТУ, Самара, 2016 г.); всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015 г.); XXI - XXIV Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова (МАИ, Москва, 2015 - 2018 г.г.); всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова «Теория управления и математическое моделирование» (УдГУ, Ижевск, 2015); IV Международной научной конференции «Математическое и компьютерное моделирование» (Омск, 2016 г.); международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Самара, 2017); X всероссийская конференция по механике деформируемого твердого тела (Самара, 2017 г.); XII международная конференция по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (Алушта, 2018 г.).

По теме диссертации автором опубликовано 26 печатных работ [13-24, 69-71, 143,144, 146, 147, 149-152, 167, 174, 175], в том числе 7 статей в ведущих российских научных журналах из перечня ВАК РФ, 10 статей в индексируемых базах данных Web of Science и Scopus, 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

20

Благодарности

Автор выражает благодарность за постановку задачи и помощь в работе Паймушину В.Н., Бадриеву И.Б., а также сотрудникам кафедры вычислительной математики КФУ Даутову Р.З, Кадырову Р.Ф., Карчевскому М.М., Павловой М.Ф., Шагидуллину Р.Р., кафедры прочности конструкций КНИ-ТУ-КАИ им. А.Н. Туполева Костину В.А., Фирсову В.А., Холмогорову С.А. и института механики KIT (Karlsruhe Institute of Technology) Конюхову А.В. за полезные обсуждения и конструктивные замечания.

Диссертационная работа выполнена в рамках реализации государственного задания Минобрнауки РФ 9.5762.2017/ВУ (проект № 9.1395.2017/ПЧ) и при поддержке грантов РНФ (проекты № 19-19-00059, № 16-11-10299), РФФИ (проект № 16-38-00788).

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-МЯГКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ И ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБАХ

В данной главе сначала приведен краткий обзор основных работ по постановке и решению задач о смешанных ФПУ трехслойных пластин и оболочек в условиях формирования моментного докритического напряженно-деформированного состояния. Для исследования таких ФПУ трехслойных пластин, находящихся в условиях поперечного и продольно-поперечного изгибов, на базе уточненных уравнений дана постановка геометрически нелинейных задач, разработан конечно-разностный метод их решения в сочетании с использованием схемы продолжения решений по параметру нагруже-ния в виде работы внешних сил и итерационного процесса на каждом шаге нагружения.

1.1 Постановка геометрически нелинейной задачи об определении

напряженно-деформированного состояния

Отдельную группу при прочностном анализе трехслойных конструкций составляют задачи устойчивости, которым до настоящего времени было посвящено большое количество работ как отечественных, так и зарубежных авторов (см., например, обзоры [48, 55, 79, 85, 171]). Ключевыми в этом направлении исследований являются вопросы, связанные с выявлением и классификацией всех возможных ФПУ [79, 85]. Основными из них являются общая синфазная [28, 51] (кососимметричная), антифазная (симметричная) [28] и смешанная изгибная формы. Первая из них характерна для относительно тонких трехслойных конструкций при формировании в несущих слоях не сильно различающихся значений тангенциальных усилий. Вторая форма характерна для относительно толстых трехслойных пластин, связана с волнообразованием внешних слоев, симметричным относительно срединной

плоскости заполнителя, и может быть выявлена только на основе использования уравнений, в которых учитывается поперечное обжатие заполнителя. Третья (смешанная) ФПУ была выявлена для задач поперечного изгиба трехслойных пластин [98, 99] и описана в работах [91, 94]. Ее реализация возможна, в частности, при нагружении конструкции, показанной на рис. 1.1.1, поперечной изгибающей нагрузкой и осевой сжимающей силой Р, где 1 -подкрепляющая внешние слои диафрагма; 2 - жесткий опорный элемент (полка лонжерона или нервюры); 3 - заполнитель; 4,5 - внешние слои. Для изображенного вида соединения панели с опорным элементом, наиболее характерного для авиационных конструкций, в силу наличия подкрепляющей внешние слои диафрагмы, имеющей значительную в сравнении с заполнителем 3 жесткость в поперечном направлении, при постановке граничных условий прогибы внешних слоев можно считать нулевыми, допуская в то же время возможность поворота всего торцевого сечения. В случае осевого нагру-жения панели торцевая сжимающая сила Р, очевидно, будет восприниматься главным образом, лишь верхним несущим слоем 5. В связи с этим при постановке граничных условий допустимо принять р^ = 0, р^ = Р, считая нижний

несущий слой в опорном сечении ненагруженным.

а) б)

Рис. 1.1.1. Схема соединения трехслойной панели с подкрепляющим стержнем (а); схема нагружения трехслойной пластины (б) В результате описанного нагружения в трехслойной панели формируется существенно моментное состояние пакета слоев в целом, а реализация смешанной изгибной ФПУ характеризуется различными ФПУ слоев и

наибольшими амплитудами выпучиваний в местах преимущественно мо-ментного докритического состояния. Для исследования устойчивости таких ФПУ в развитие указанных выше работ [98, 99] в статье [91] на базе выведенных в [94] уравнений было дано решение линеаризованной задачи об устойчивости бесконечно широкой пластины симметричного строения, подверженной осевому сжатию через один несущий слой. Анализ этого решения показал, что критические нагрузки, соответствующие смешанной ФПУ, значительно ниже критических нагрузок синфазной и антифазной форм выпучивания, а для их определения необходимо использовать уравнения устойчивости, в которых наряду с поперечными сдвигами учитывается поперечное обжатие заполнителя при обязательном учете моментной работы внешних слоев и моментного характера докритического НДС.

Построенные в работах [94, 98, 99] уравнения, основанные на привлечении модели Кирхгофа - Лява к несущим слоям и модели трансверсально-мягкого слоя к заполнителю в первом приближении, в рамках которого компоненты вектора перемещений этого слоя по его толщине приняты линейно изменяющимися, следует считать предельно упрощенными для исследования смешанных ФПУ. К данному выводу приводит, в частности, анализ результатов решения задач, полученных численными методами для оболочек вращения и освещенных в статье [78] и др. В ней установлено, что в зонах момент-ного напряженного состояния в трехслойных оболочках реализуется чисто локальная смешанная ФПУ с масштабами изменения параметров возмущенного НДС порядка толщины трехслойного пакета. При таком характере волнообразования несущих слоев следует ожидать значительную погрешность выведенных в работах [94, 98] уравнений устойчивости. Эта погрешность должна быть тем больше, чем меньше отношение толщин несущих слоев к толщине заполнителя. Исследованиям в этом направлении были посвящены работы [57, 59, 82, 83, 95] и др. В них построена уточненная геометрически нелинейная теория трехслойных оболочек, основанная на использовании

упрощенных соотношений (для трансверсально-мягкого заполнителя) трехмерной теории упругости, Путем линеаризацией уравнений в окрестности некоторого моментного докритического НДС составлены уточненные уравнения устойчивости, позволяющие исследовать как синфазные и антифазные ФПУ, так и смешанные ФПУ с большим и малым показателями изменяемости параметров возмущенного НДС конструкции. На основе выведенных уравнений получено решение задачи о цилиндрической ФПУ бесконечно -широких трехслойных пластин симметричного строения с шарнирно опертыми кромками, подверженных осевому сжатию через несущие слои усилиями разной величины. Исходя из анализа полученных результатов, установлено, что потеря устойчивости трехслойных пластин, находящихся в условиях чистого изгиба, всегда сопровождается образованием большого количества полуволн, а их исследование необходимо проводить только в рамках использования уточненных вариантов теории.

Данная глава посвящена разработке численного метода исследования смешанных ФПУ трехслойной панели, показанной на рис. 1.1.1, на основе решения геометрически нелинейной задачи о поперечном и продольно-поперечном изгибах, формулируемой с использованием уравнений уточненной теории [57, 83]. Геометрически линейные и физически нелинейные (когда для описания заполнителя используется упруго-пластическая модель) были рассмотрены в работах [15, 20, 143, 144, 149, 152].

Будем считать, что внешние слои трехслойной пластины имеют толщины 2к(А:), к = 1,2, а ортотропный трансверсально-мягкий заполнитель

имеет толщину 2И, причем во введенной декартовой системе координат ^, х2, г, плоскость ^, х2 совмещена со срединной поверхностью заполнителя X. Пусть Е(к) - ограниченные области, занимаемые срединными плоскостями нижнего (к = 1) и верхнего (к = 2) несущих слоев (здесь и в дальнейшем индекс к в круглых скобках соответствует верхнему и нижнему несущим слоям и к = 1,2); г (-к < г < И), г(к) (-^к) - - ко) - координаты, от-

25

считываемые от 2 и 2(к}, соответственно, в направлении единичной нормали

т к 2, составляющий с единичными векторами е и е2 выбранной системы координат правосторонний триэдр.

Для описания процесса деформирования несущих слоев при их среднем изгибе используется классическая модель Кирхгофа - Лява, согласно которой векторы перемещений и(к) и тангенциальные компоненты тензора деформаций точек внешних слоев будут иметь следующий вид:

и®=и(к) - к )Ю®=(«<к ) - z^ к) е^»+„м^м,-< ц < V

кроме того, приняты кинематические соотношения

4,к) = 4° - гхТ, 2410 + У^ + 2*® = + У С,

где (е^)5 ее3)} - векторы координатного ортонормированного базиса на срединных плоскостях несущих слоев, тангенциальные перемещения и прогибы которых обозначим через м1(к)( х, х2), и^к)( х1, х2), „(к)( х15 х2);

со(к)(х[, х2) = д„(к) / дх ■ = V. ) - углы поворотов нормалей т( ) вокруг осей х1, х2 (здесь и далее ,, у = 1,2).

Для установления законов изменения полей перемещений, деформаций и напряжений по поперечной координате 7 заполнителя примем модель трансверсально-мягкого слоя [28], в рамках которой будем пренебрегать тангенциальными компонентами тензора напряжений заполнителя = 0. Тогда для заполнителя будут иметь место упрощенные уравнения теории упругости

д0з/д7 = 0 з + д°зз/д7 = 0

Оз = Щз4з = С,з(ди,+ и У = 1,2 °зз = Ез4зз = Ездиз/дг>

где 01Ъ, Е - модули поперечного сдвига и Юнга в поперечном направлении заполнителя, и ,и3 - компоненты вектора перемещений точек заполнителя. После интегрирования уравнения теории упругости по координате 7 и удовлетворения условиям кинематического сопряжения внешних слоев с запол-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Макаров Максим Викторович, 2019 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абросимов, Н.А. Моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости композитных оболочечных конструкций при импульсных воздействиях / Н.А. Абросимов. - Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Н.Новгород, гос. университет им. Н.И. Лобачевского, 1999, 365 с.

2. Александров, А.Я. Расчет трехслойных панелей / А.Я. Александров, Л.Э. Брюккер, Л.М. Куршин и др. - М: Оборонгиз, 1960. - 272 с.

3. Александров, А.Я. Конструкции с заполнителями из пенопластов / А.Я. Александров, М.Я. Бородин, В.В. Павлов. - М.: Машиностроение, 1972. -211с.

4. Александров, А.Я. Многослойные пластинки и оболочки/ А.Я. Александров, Л.М. Куршин // Тр. VII Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок. - М.: Наука,1970. - С. 714-721.

5. Александров, А.Я. О расчете на местную устойчивость трехслойных пластин с заполнителем типа гофра при сжатии / А.Я. Александров, Г.С. Шпак // Тр. XIII Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек. Ч.1. - Таллин, 1983. - С. 48-58.

6. Алумяэ, Н.А. Теория упругих оболочек и пластинок / Н.А. Алумяэ // Механика в СССР за 50 лет. Т.З.: Механика деформируемого твердого тела. -М: Наука, 1972. - С. 227-266.

7. Алфутов, Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем / Н.А. Алфутов. - М: Машиностроение, 1991. - 342с.

8. Амбарцумян, С.А. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек / С.А. Амбарцумян // Изв. АН Арм. ССР. Сер. Физ.-мат. наук. - 1964. - Т. 17, № 3. - С. 29-53.

9. Амбарцумян, С.А. Общая теория анизотропных оболочек / С.А. Амбарцумян. - М: Наука, 1974. - 448 с.

10. Андреев, А.Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания / А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский. - Новосибирск: Наука, 2001. - 288 с.

11. Бабич, И.Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек / И.Ю. Бабич, А.Н. Гузь. - Киев: Вища школа, 1980. - 167 с.

12. Бабич, И.Ю. Устойчивость трехслойных анизотропных цилиндрических оболочек / И.Ю. Бабич, А.Н. Гузь, Л.В. Дериглазов // Прикладная механика. - 1983. - Т. 19, № 9. - С. 14-20.

13. Бадриев, И. Б. Численное исследование физически нелинейной задачи о продольном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем / И. Б. Бадриев, М. В. Макаров, В. Н. Паймушин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 1. - С. 39-51.

14. Бадриев, И. Б. Численное решение задачи о равновесии трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем в геометрически нелинейной постановке / И. Б. Бадриев, В. С. Желтухин, М. В. Макаров, В. Н. Паймушин // Вестник Казанского технологического университета. -2014. - Т. 17. - № 23. - С. 393-396.

15. Бадриев, И. Б. Постановка геометрически нелинейной задачи об изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем / И. Б. Бадриев, М. В. Макаров, О. П. Мартынова // Тенденции развития науки и образования. - 2016. - Т. 16. - № 1. - С. 5-11.

16. Бадриев, И.Б. Осесимметричные задачи о геометрически нелинейном деформировании и устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки с контурными подкрепляющими стержнями / И.Б. Бадриев, М.В. Макаров, В.Н. Паймушин, С.А. Холмогоров // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. - 2017. - Т. 159. - № 4. - С. 395428.

17. Бадриев, И.Б. Программный комплекс для численного исследования

докритического поведения трехслойной пластины с трансверсально-мягким

161

заполнителем / И.Б. Бадриев, М.В. Макаров, Е.В. Смирнова // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского.- Казань: Изд-во Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ, 2018. - Т.56. - С. 38-42.

18. Бадриев, И. Б. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной оболочки с трансверсально-мягким заполнителем в одномерной постановке / И. Б. Бадриев, В. В. Бандеров, М. В. Макаров, В. Н. Паймушин // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015613029 от 02.03.2015.

19. Бадриев, И. Б. Расчет напряженно-деформированного состояния трехслойной оболочки с трансверсально-мягким заполнителем в геометрически линейной и физически нелинейной одномерной постановке / И. Б. Бадриев, Г. З. Гарипова, М. В. Макаров, В. Н. Паймушин // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015662900 от 07.12.2015.

20. Бадриев, И.Б. О решении физически нелинейных задач о равновесии трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем / И.Б. Бадриев, Г.З. Гарипова, М.В. Макаров, В.Н. Паймушин, Р.Ф. Хабибуллин // Ученые записки Казанского университета. Серия: физико-математические науки. -2015. - Т. 157, кн. 1. - С. 15-24.

21. Бадриев, И.Б. О взаимодействии композитной пластины, имеющей вибропоглощающее покрытие, с падающей звуковой волной / И.Б. Бадриев, М.В. Макаров, В.Н. Паймушин // Известия ВУЗов. Математика. - 2015. - № 3. - С. 75-82.

22. Бадриев, И.Б. Геометрически нелинейная задача о продольно-поперечном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем / И.Б. Бадриев, М.В. Макаров, В.Н. Паймушин // Ученые записки Казанского университета. Серия: физико-математические науки. - 2016. - Т. 158, кн. 4. - С. 453-468.

23. Бадриев, И.Б. Контактная постановка задач механики подкрепленных на контуре трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем /

И.Б. Бадриев, М.В. Макаров, В.Н. Паймушин // Известия ВУЗов. Математика. - 2017. - № 1. - С. 77-85.

24. Бадриев, И.Б. Продольно-поперечный изгиб по цилиндрической форме трехслойной пластины, подкрепленной в торцевых сечениях абсолютно твердыми телами / И.Б. Бадриев, М.В. Макаров, В.Н. Паймушин // Ученые записки Казанского университета. Серия: физико-математические науки. -2017. - Т. 159, кн. 2. - С. 174-190.

25. Баженов, В.Г. Вариационно-разностный метод решения нелинейных осесимметричных задач динамики слоистых оболочек / В.Г. Баженов, Е.А. Журавлев // Прикладные проблемы прочности и пластичности. - 1979. -Вып. 13. - С. 36-45.

26. Бенсон А., Мейерс Д. Общая неустойчивость и колебания несущих слоев трехслойных пластин - унифицированная теория и приложение / А. Бенсон, Д. Мейерс // Ракетная техника и космонавтика. - 1967. - Т. 5, № 4. -С. 150-163.

27. Богданович, А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек / А.Е. Богданович. - Рига: Зинатне, 1987. - 295 с.

28. Болотин, В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков. - М: Машиностроение, 1980. - 375 с.

29. Вайнберг, М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов / М.М. Вайнберг. - М: Наука, 1972. - 416 с.

30. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. - М: Мир, 1987. -542 с.

31. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. -М: Наука, 1967. - 984 с.

32. Галимов, К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек / К.З. Гали-мов. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1975. - 328 с.

33. Галимов К.З. О некоторых направлениях механики деформируемого твердого тела в Казани / К.З. Галимов // Исследования по теории пластин и

оболочек. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1979. - Вып. 14. -С. 11-82.

34. Галимов, М.К. Проблемы устойчивости моментного равновесия трехслойных пластин и оболочек и моделирования в них заполнителя в возмущенном состоянии / М.К. Галимов, В.А. Иванов, В.Н. Паймушин // Труды XVII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1996. - Т. 1. - С.16-23.

35. Галимов, Н.К. К вариационным методам решения задач нелинейной теории трехслойных пологих оболочек / Н.К. Галимов // Исслед. по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1965. -Вып.3. - С. 91-122.

36. Галимов, Н.К. К теории тонких пологих оболочек с заполнителем при конечных прогибах / Н.К. Галимов // Нелинейная теория пластин и оболочек.

- Казань: Изд-во Казанского университета, 1963. - С. 61-95.

37. Галимов, Н.К. О применении полиномов Лежандра к построению уточненных теорий трехслойных пластин и оболочек / Н.К. Галимов // Исслед. по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1973.

- Вып. 10. - С. 371-385.

38. Галимов, Н.К. К теории трехслойных пластин и оболочек / Н.К. Галимов, Х.М. Муштари. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1964. -Вып. 2. - С. 56-62.

39. Галимов, Н.К. Большие прогибы и устойчивость защемленной трехслойной круглой пластины под действием поперечной нагрузки / Н.К. Галимов, В.Н. Паймушин, В.Ф. Снигирев // Тр. X Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Т. 1. - Тбилиси, 1975. - С. 576-574.

40. Галимов, Н.К. Определение частот свободных колебаний и устойчивость трехслойных сферических оболочек и плоских пластин // Н.К. Галимов, А.В. Саченков // Исслед. по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1965. - Вып. 3. - С. 148-156.

41. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. - Казань: ДАС, 2001. -300 с.

42. Голованов, А.И. Численно-аналитический метод исследования локальных форм потери устойчивости несущих слоев трехслойных оболочек по смешанным формам / А.И. Голованов, В.А. Иванов, В.Н. Паймушин // Механика композитных материалов. - 1995. - № 1. - С. 88-100.

43. Голованов, А.И. Напряжено-деформированное состояние и устойчивость трехслойных оболочек из композитных материалов, имеющих зону расслоения заполнителя с несущим слоем / А.И. Голованов, В.Н. Паймушин // Механика композитных материалов. -1993. - Т. 29, № 5. - С. 640-652.

44. Горшков, А.Г. Стационарные задачи динамики многослойных конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Пожуев. - М: Машиностроение, 1992. - 224 с.

45. Григолюк, Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем / Э.И. Григолюк // Изв. АН СССР. ОТН. - 1958. - № 1. - С. 2634.

46. Григолюк, Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем / Э.И. Григолюк // Изв. АН СССР. ОТН. - 1957. - № 1. - С. 77-84.

47. Григолюк, Э.И. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов. - М: Машиностроение; 1988. - 288 с.

48. Григолюк, Э.И. Современное состояние теории многослойных оболочек / Э.И. Григолюк, Ф.А. Коган // Прикладная механика. - 1972. - Т. 8, № 6. - С. 5-17.

49. Григолюк, Э.И. К расчету трехслойных пластин с жестким заполнителем / Э.И. Григолюк, П.П. Чулков // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1964. - № 1. - С. 67-74.

50. Григолюк, Э.И. Критические нагрузки трехслойных цилиндрических и конических оболочек / Э.И. Григолюк, П.П. Чулков. - Новосибирск, 1966. -223 с.

51. Григолюк, Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек / Э.И. Григолюк, П.П. Чулков. - М: Машиностроение, 1973. - 168 с.

52. Григолюк, Э.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела/ Э.И. Григолюк, Шалашилин В.И.. - М: Наука, 1988. -231 с.

53. Гузь, А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел / А.Н. Гузь. -Киев: Наукова думка, 1971. - 275 с.

54. Даутов, Р.З. О методе интегрирующих матриц решения краевых задач для обыкновенных уравнений четвёртого порядка / Р.З. Даутов, В.Н. Пайму-шин // Изв. вузов. Математика. - 1996. - № 10. - С. 13-25.

55. Дудченко, А.А. Анизотропные многослойные пластины и оболочки / А.А. Дудченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцов // Механика деформируемого твердого тела. - 1983. - Т. 15. - С. 3-277.

56. Иванов, В.А. Уточненная теория устойчивости трехслойных конструкций (нелинейные уравнения докритического равновесия оболочек с транс-версально-мягким заполнителем / В.А. Иванов, В.Н. Паймушин // Изв. ВУЗов. Математика. - 1994. - № 11. - С. 29-42.

57. Иванов, В.А. Устойчивость пологих многослойных оболочек с транс-версально-мягкими заполнителями / В.А. Иванов, В.Н. Паймушин // Механика композитных материалов. - 1994. - № 3. - С. 372-390.

58. Иванов, В.А. Уточненная постановка динамических задач трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем численно-аналитический метод их решения / В.А. Иванов, В.Н. Паймушин // Прикладная механика и техническая физика. - 1995. - Т. 36, № 4. - С. 147-151.

59. Иванов, В.А. Уточненная теория устойчивости трехслойных конструкций (линеаризованные уравнения нейтрального равновесия и простейшие одномерные задачи) / В.А. Иванов, В.Н. Паймушин, Т.В. Полякова // Известия ВУЗов. Математика. - 1995. - № 3. - С. 15-24.

60. Иванов, В.А. Формы колебаний и потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек вращения с нулевой изменяемостью параметров напряженно-деформированного состояния / В.А. Иванов, С.А. Луканкин, В.Н. Паймушин, В.Р. Хусаинов // Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. - Пермь, 2001. - С. 285-286.

61. Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. I / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко // Известия вузов. Математика. - 1972. - № 11. - С. 23-31.

62. Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. II / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко // Известия вузов. Математика. - 1973. - № 3. - С. 44-52.

63. Карчевский, М.М. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1976. - 156 с.

64. Карчевский, М.М. Итерационные схемы для уравнений с монотонными операторами / М.М. Карчевский // Известия вузов. Математика. - 1971. -№ 5. - С. 32-37.

65. Кобелев, В.Н. Расчет трехслойных конструкций. Справочник / В.Н. Ко-белев, Л.М. Коварский, С.И. Тимофеев. - М: Машиностроение, 1984. - 303 с.

66. Куршин, Л.М. Обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек. - Расчет пространственных конструкций / Л.М. Куршин. - М: Стройиз-дат, 1962. - Вып. 7. - С. 163-192.

67. Куршин, Л.М. Уравнения трехслойных непологих и пологих оболочек / Л.М. Куршин // Расчеты элементов авиационных конструкций. - 1965. -Вып. 3. - М: Машиностроение, 1965. - С. 106-157.

68. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972. - 588 с.

69. Макаров, М. В. Нелинейные задачи о смешанных формах потери

устойчивости трехслойных пластин при продольно-поперечном изгибе / М.

В. Макаров, И. Б. Бадриев, В. Н. Паймушин // Вестник Тамбовского универ-

167

ситета. Серия: естественные и технические науки. - 2015. - Т. 20, № 5. - С. 1275-1278.

70. Макаров, М. В. Численное исследование геометрически нелинейной задачи о поперечном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем / М. В. Макаров // Тенденции развития науки и образования. 2016. - № 17-2. - С. 26-35.

71. Макаров, М. В. О решении геометрически нелинейных и линейных задач о поперечном изгибе жестко закрепленной трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем / М. В. Макаров //Тенденции развития науки и образования. - 2016. - № 19-2. - С. 23-29.

72. Муштари, А.И. Уточненная теория устойчивости моментного равновесия трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем / А.И. Муштари. - Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. - Казань: Казан. гос. техн. ун-т. им. А.Н. Туполева, 1996. - 163 с.

73. Муштари, Х.М. Об области применения приближенных теорий трехслойных пластин несимметричного строения с заполнителем / Х.М. Муштари // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1963. - № 5. - С. 176178.

74. Муштари Х.М. Об одном уточнении приближенной теории трехслойных пластин с заполнителем / Х.М. Муштари // Тр. Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек: Изв. АН УССР. ОТН. - Киев, 1962. - С. 128-131.

75. Муштари, Х.М. О применимости различных теорий трехслойных пластин и оболочек / Х.М. Муштари // Изв. АН СССР. ОТН Механика и машиностроение. - 1960. - № 6. - С. 163-165.

76. Муштари, Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек / Х.М. Муштари, К.З. Галимов. - Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

77. Немировский, Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек / Ю.В. Немировский, А.Н. Андреев // Тр. междунар. симпозиума «Тонкостенные элементы и строительные конструкции». - Ладзь, 1976. - С. 191-218.

78. Орлов, Ю.В. Уточненная постановка задач устойчивости моментного равновесия трехслойных оболочек вращения с трансверсально-мягким заполнителем / Ю.В. Орлов, В.Н. Паймушин, Т.В. Полякова // Тр. XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин. - Изд-во Нижегородского ун-та, 1994. - Т. 2. - С. 167-176.

79. Паймушин, В.Н. Теория устойчивости трехслойных элементов конструкций. Анализ современного состояния и уточненная классификация форм потери устойчивости / В.Н. Паймушин // Механика композитных материалов. - 1999. - Т. 35, № 6. - С. 707-716.

80. Паймушин, В.Н. Вариант нелинейной теории тонких трехслойных оболочек, находящихся в условиях термосилового воздействия / В.Н. Паймушин // Актуальные проблемы механики оболочек. Межвузов. сб. - Казань: Казанский авиационный институт, 1990. - С. 64-70.

81. Паймушин, В.Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел / В.Н. Паймушин // Доклады АН СССР. - 1983. - Т. 273, № 5. - С. 1083-1086.

82. Паймушин, В.Н. Нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с дефектами в виде участков непроклея / В.Н. Паймушин // Прикладная механика. - 1987. - № 11. - С. 32-38.

83. Паймушин, В.Н. Уточненная нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем / В.Н. Паймушин // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. - 1989. - № 4. - С. 8-12.

84. Паймушин, В.Н. Вариант уточненной нелинейной теории тонких упругих трехслойных оболочек итерационного типа / В.Н. Паймушин // Прикладная математика и механика. - 1990. - Т. 54, вып. 1. - С. 86-92.

85. Паймушин, В.Н. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек (Этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований) / В.Н. Паймушин // Изв. РАН. МТТ. - 2001. - № 2. - С. 148-162.

86. Паймушин, В.Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и прямолинейных стержней / В.Н.

169

Паймушин // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71, вып. 5. -С.855-893.

87. Паймушин, В.Н. Контактная постановка нелинейных задач механики оболочек, соединенных по торцевым сечениям плоским криволинейным стержнем / В.Н. Паймушин // Прикладная математика и механика. - 2014. -Т. 78, вып. 1. - С. 125-144.

88. Паймушин, В.Н. Сдвиговая форма потери устойчивости трехслойного кругового кольца при равномерном внешнем давлении / В.Н. Паймушин // Механика композитных материалов. - 2001. - Т. 37, № 2. - С. 209-214.

89. Паймушин, В.Н. Устойчивость трехслойного кругового кольца под равномерным внешним давлением / В.Н. Паймушин, С.Н. Бобров, В.А. Иванов, Т.В. Полякова // Механика композитных материалов. - 2000. - Т. 36, № 3. - С. 317-328.

90. Паймушин, В.Н. Методы конечно-элементного анализа произвольных форм потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек / В.Н. Пайму-шин, С.Н. Бобров, А.И. Голованов // Механика композитных материалов. -2000. - Т. 36, № 4. - С. 473-486.

91. Паймушин, В.Н. Исследование устойчивости трехслойной бесконечно широкой пластины при осевом сжатии одного слоя / В.Н. Паймушин, С.Н. Бобров // Механика композитных материалов. - 1985. - № 2. - С. 284-291.

92. Паймушин, В.Н. Исследование устойчивости бесконечно широкой пластины симметричного строения при осевом сжатии одного слоя с учетом искривления / В.Н. Паймушин, С.Н. Бобров // Изв. ВУЗов Авиационная техника. - 1985. - № 1. - С. 55-69.

93. Паймушин, В.Н. Критические нагрузки шарнирно опертых трехслойных пластин симметричного строения при двустороннем сжатии одного внешнего слоя / В.Н. Паймушин, С.Н. Бобров // Изв. ВУЗов, Авиационная техника. - 1985. - № 2. - С. 51-55.

94. Паймушин, В.Н. О формах потери устойчивости трехслойных пластин

и оболочек с внешними слоями из однородных и армированных материалов /

170

B.Н. Паймушин, С.Н. Бобров // Механика композитных материалов. - 1985. -№ 1. - С. 79-86.

95. Паймушин, В.Н. Уточненная геометрически нелинейная теория трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем средней толщины для исследования смешанных форм потери устойчивости / В.Н. Паймушин,

C.Н. Бобров // Механика композитных материалов. - 2000. - Т. 36, № 1. - С. 95-108.

96. Паймушин, В.Н. Уточненная геометрически нелинейная теория трехслойных цилиндрических оболочек с трансверсально-мягким заполнителем произвольной толщины / В.Н. Паймушин, А.Е. Вялков // Изв. вузов. Авиационная техника. -2002. - № 3. - С. 10-14.

97. Паймушин, В.Н. Об использовании приема С.П. Тимошенко в теории трехслойных пластин с легким заполнителем. / В.Н. Паймушин, Н.К. Гали-мов // Тр. семинара по теории оболочек. - Казань: Казанский физ.-техн. ин-т АН СССР, 1973. - Вып. 3. - С. 103-121.

98. Паймушин, В.Н. Об устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем при изгибе / В.Н. Паймушин, Н.К. Галимов // Тр. семинара по теории оболочек. - Казань: Казанский физ.-техн. ин-т АН СССР, 1974. -Вып. 5. - С. 35-42.

99. Паймушин, В.Н. Осесимметричный изгиб и устойчивость трехслойных круглых пластин с легким заполнителем при комбинированном нагружении / В.Н. Паймушин, Н.К. Галимов, В.Ф. Снигирев // Исследования по нелинейным задачам теории пластин и оболочек. - Саратов: Саратовский гос. ун-т, 1974. - С. 94-102.

100. Паймушин, В.Н. Точные аналитические и численные решения задач устойчивости прямого композитного стержня при осевом сжатии с кручением / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, С.А. Луканкин, Н.В. Полякова, В.А. Фир-сов, С.А. Холмогоров // Механика композитных материалов. - 2009. - Т. 45, № 2. - С.167-200.

101. Паймушин, В.Н. Уточненная теория трехслойных пластин и оболочек для исследования динамических процессов деформирования / В.Н. Пайму-шин, В.А. Иванов, В.Р. Хусаинов // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды международной конференции , посвященной 100-летию проф. Х.М. Муштари, 90-летию проф. К.З. Галимова и 80-летию проф. М.С. Кор-нишина. - Казань: Новое издание, 2000. - С. 70-75.

102. Паймушин, В.Н. Формы потери устойчивости однородных и трехслойных пластин при чистом сдвиге в тангенциальных направлениях / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов // Механика композитных материалов. - 2000. -Т. 36, № 2. - С. 215-228.

103. Паймушин, В.Н. Анализ уравнений и задач о свободных колебаниях трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем и симметричным по толщине строение / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, В.Р. Хусаинов // Изв. Вузов. Авиационная техника. - 2001. - № 4. - С. 22-25.

104. Паймушин, В.Н. Анализ свободных и собственных колебаний трехслойных пластин с использованием для заполниткля уравнений теории упругости / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, В.Р. Хусаинов // Механика композитных материалов конструкций. - 2002. - Т. 8, № 2. - С. 197-213.

105. Паймушин, В.Н. Анализ свободных и собственных колебаний трехслойных пластин на основе уравнений уточненной теории / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, В.Р. Хусаинов // Механика композитных материалов конструкций. - 2002. - Т. 8, № 4. - С. 543-554.

106. Паймушин, В.Н. Устойчивость кругового трехслойного кольца, находящегося в осесимметричном температурном поле, неоднородном по толщине / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов // Механика композитных материалов. -2001.- Т. 37, № 5/6. - С. 761-782.

107. Паймушин, В.Н. Устойчивость трехслойного кругового кольца под равномерным внешним давлением / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, С.Н. Бобров, Т.В. Полякова // Механика композитных материалов. - 2000. - Т. 36, № 3. - С. 317-328.

108. Паймушин, В.Н. Напряженно-деформированное состояние трехслойной цилиндрической оболочки в осесимметричном температурном поле, неоднородном по толщине / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, С.А. Луканкин, А.А. Бушков // Механика композитных материалов. - 2004. - Т. 40, № 3. - С. 1-18.

109. Паймушин, В.Н. Смешанные изгибные формы потери устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки произвольной толщины при внешнем давлении и сжатии несущих слоев неодинаковыми усилиями/ В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, С.А. Луканкин, А.Е. Вялков // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2004. - № 2. - С. 14-20.

110. Паймушин, В.Н.Исследование изгибных форм потери устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки при температурном нагружении, неоднородном по толщине / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, С.А. Луканкин, А.А. Бушков // Механика композитных материалов. - 2004. - Т. 40, № 6. - С. 715730.

111. Паймушин, В.Н. Сдвиговые формы потери устойчивости трехслойных цилиндрических оболочек при внешнем давлении, растяжении-сжатии несущих слоев не равными силами и неоднородном по толщине температурном воздействии / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, С.А. Луканкин, А.А. Бушков, А.Е. Вялков // Механика композитных материалов. - 2005. - Т. 41, № 1. -С. 37-48.

112. Паймушин, В.Н. Сдвиговая и изгибная формы потери устойчивости трехслойной сферической оболочки в центросимметричном температурном поле, неоднородном по толщине / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, С.А. Лукан-кин, А.А. Бушков // Механика композитных материалов. - 2004. - Т. 40, № 4. - С. 479-508.

113. Паймушин, В.Н. Задачи о напряженно-деформированном состоянии трехслойной цилиндрической оболочки с трансверсально-мягким заполнителем произвольной толщины при внешнем давлении и торцевом сжатии несущих слоев неодинаковыми усилиями / В.Н. Паймушин, В.А. Иванов, С.А.

Луканкин, А.Е. Вялков // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2003. - № 1. -С. 8-12.

114. Паймушин, В.Н. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек трансверсально-жестким заполнителем. 1. Нелинейные уравнения равновесия / В.Н. Паймушин, А.И. Муштари // Механика композитных материалов. - 1996. - Т. 32, № 4. - С. 513-524.

115. Паймушин, В.Н. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек трансверсально-жестким заполнителем. 2. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия / В.Н. Паймушин, А.И. Муштари // Механика композитных материалов. - 1997. - Т. 33, № 6. - С. 786-795.

116. Паймушин, В.Н. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем. 3. Простейшие одномерные задачи / В.Н. Паймушин, А.И. Муштари // Механика композитных материалов. 1998. - Т. 34, № 1. - С. 57-65.

117. Паймушин, В.Н. Проблема устойчивости моментного равновесия трехслойных элементов конструкций в уточненной постановке / В.Н. Паймушин, Орлов // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. - 1990. - № 2. - С. 22-26.

118. Паймушин, В.Н. Непротиворечивые уравнения теории плоских криволинейных стержней при конечных перемещениях и линеаризованные задачи устойчивости / В.Н. Паймушин, Н.В. Полякова // Прикладная математика и механика. - 2009. - Т. 73, Вып. 2. - С. 303-324.

119. Паймушин, В.Н. Уточненная теория трехслойных пластин и оболочек для исследования динамических процессов деформирования с большими показателями изменяемости / В.Н. Паймушин, В.Р. Хусаинов // Механика композитных материалов конструкций. - 2001. - Т. 7, № 2. - С. 215-235.

120. Паймушин В.Н. Обобщенный вариационный принцип Рейсснера в нелинейной механике пространственных составных тел с приложениями к теории многослойных оболочек/ В.Н. Паймушин // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1987. - № 2. - С. 171-180.

121. Паймушин, В.Н. Уточненные уравнения среднего изгиба трехслойных оболочек и сдвиговые формы потери устойчивости / В.Н. Паймушин, В.И. Шалашилин // Доклады РАН. - 2003. - Т. 392, № 2. - С. 195-200.

122. Паймушин, В.Н. Непротиворечивый вариант теорий деформаций сплошных сред в квадратичном приближении / В.Н. Паймушин, В.И. Шалашилин // Доклады РАН. - 2004. - Т. 396, № 4. - С. 492-495.

123. Паймушин, В.Н. О соотношениях теории деформаций в квадратичном приближении и проблемы построения уточненных вариантов геометрически нелинейной теории слоистых элементов конструкций / В.Н. Паймушин, В.И. Шалашилин // Прикладная математика и механика. - 2005. - Т. 69, Вып. 5. -С. 862-882.

124. Панин, В.Ф. Конструкции с сотовым заполнителем / В.Ф. Панин. - М: Машиностроение, 1982. - 153 с.

125. Панин, В.Ф. Конструкции с заполнителем / В.Ф. Панин, Ю.А. Гладков. - М: Машиностроение, 1991. - 272 с.

126. Пелех, Б.Л. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентратами напряжений / Б.Л. Пелех, В.А. Лазько. - Киев: Наукова Думка, 1982. -295 с.

127. Петров, В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах / В.В. Петров// Научные доклады высшей школы. Строительство. - 1959. - № 1. -С. 27-35.

128. Пикуль, В.В. Теория и расчет слоистых конструкций / В.В. Пикуль. -М: Наука, 1985. - 182 с.

129. Пискунов, В.Г. Линейные и нелинейные задачи расчета слоистых конструкций / В.Г. Пискунов, В.Е. Вериженко. - Киев: Буд1вельник, 1986. - 176 с.

130. Преображенский, И.Н. Обзор гипотез и допущений, принимаемых при исследовании устойчивости многослойных оболочек вращения / И.Н. Преображенский // Гидроаэродинамика и теория упругости. - 1970. - Вып. 12. - С. 78-87.

131. Прохоров, Б.Ф. Трехслойные конструкции в судостроении / Б.Ф. Прохоров, В.Н. Кобелев. - Л.: Судостроение, 1972. - 334 с.

132. Прочность. Устойчивость. Колебания. / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. Т.2. - М.: Машиностроение, 1968. - 463 с.

133. Прусаков, А.П. К теории расчета ортотропных трехслойных пластин с жестким заполнителем / А.П. Прусаков // Расчеты элементов авиационных конструкций. - М: Машиностроение, 1965. - Вып. 3. - С. 189-196.

134. Прусаков, А.П. Основные уравнения изгиба и устойчивости ортотропных трехслойных пластин с легким заполнителем / А.П. Прусаков // Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. - 1960. - № 5. - С. 9-17.

135. Рассказов, А.О. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек / А.О. Рассказов, И.И. Соколовская, Н.А. Шульга. - Киев: Вища школа, 1986. - 192 с.

136. Саченков, А.В. Свободные колебания трехслойных пологих сферических оболочек / А.В. Саченков // Исслед. по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1967. - Вып. 5. - С. 410-413.

137. Семенюк, Н.П. Об эффекте неустойчивости материала в анизотропных оболочках / Н.П. Семенюк // Прикладная механика. - 1981. - Т. 17, № 9. - С. 115-118.

138. Сухинин, С.Н. Устойчивость трехслойных оболочек из композитных материалов при совместном действии осевого сжатия и бокового давления / С.Н. Сухинин, В.И. Микишева// Механика композитных материалов. - 1981. - № 6. - С. 1035-1041.

139. Сухинин, С.Н. Некоторые особенности потери устойчивости трехслойных оболочек из композитных материалов при кручении / С.Н. Сухинин // Механика композитных материалов. - 1990. - № 2. - С. 305-311.

140. Сухинин, С.Н. Некоторые особенности потери устойчивости трехслойных оболочек из композитных материалов при кручении/ С.Н. Сухинин // Механика композитных материалов. - 1990. - № 2. - С. 305-311.

141. Хэбип, Л.М. Обзор современного состояния исследований по трехслойным конструкциям / Л.М. Хэбип // Механика: Периодич. сб. переводов иностранных статей. - 1996. - Т. 96, № 2. - С. 119-130.

142. Adams, R.A. Sobolev Spaces / R.A. Adams. - New York, San Francisco, London: Academic Press, 1975. - 286 p.

143. Badriev, I. B. Geometrically Nonlinear Problem of Longitudinal and Transverse Bending of a Sandwich Plate with Transversally Soft Core / I. B. Badriev, M. V. Makarov, V. N. Paimushin // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2018. - V. 39. - № 3. - pp. 448-457.

144. Badriev, I.B. On the solvability of geometrically nonlinear problem of sandwich plate theory / I.B. Badriev, V.V. Banderov, G.Z. Garipova, M.V. Makarov, R.R. Shagidullin// Applied Mathematical Sciences. - 2015. - Vol. 9, № 82. - P. 4095-4102.

145. Badriev, I.B. On the Equilibrium Problem of a Soft Network Shell in the Presence of Several Point Loads / I.B. Badriev, V.V. Banderov, O.A. Zadvornov // Applied Mechanics and Materials. 2013. - V. 392. - P. 188-190.

146. Badriev, I.B. Determination of stress-strain state of geometrically nonlinear sandwich plate / I.B. Badriev, V.V. Banderov, M.V. Makarov, V.N. Paimushin // Applied Mathematical Sciences. - 2015. - V. 9, № 78. - P. 3887-3895.

147. Badriev, I.B. Numerical solution of the issue about geometrically nonlinear behavior of sandwich plate with transversal soft filler / I.B. Badriev, G.Z. Garipova, M.V. Makarov, V.N. Paimushin // Research Journal of Applied Sciences. - 2015. - V. 10, № 8. - P. 428-435.

148. Badriev, I.B. Convergence of an iterative process in a Banach space / I.B. Badriev, M.M. Karchevskii // Journal of Mathematical Sciences. - 1994. - V. 71, № 6. - P. 2727-2735.

149. Badriev, I.B. Numerical Investigation of Physically Nonlinear Problem of Sandwich Plate Bending / I.B. Badriev, M.V. Makarov, V.N. Paimushin // Procedia Engineering. - 2016. - V. 150. - P. 1050-1055.

150. Badriev, I. B. Longitudinal and transverse bending by a cylindrical shape of the sandwich plate stiffened in the end sections by rigid bodies / I. B. Badriev, M. V. Makarov, V. N. Paimuhin // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2016. - V. 158. - № 1. - art. № 012011.

151. Badriev, I. B. Mathematical Simulation of Nonlinear Problem of Three-point Composite Sample Bending Test / I. B. Badriev, M. V. Makarov, V. N. Paimushin // Procedia Engineering. - 2016. - V. 150. - pp. 1056-1062.

152. Badriev, I. B. Solvability of physically and geometrically nonlinear problem of the theory of sandwich plates with transversally-soft core / I. B. Badriev, M. V. Makarov, V. V. Paimushin // Russian Mathematics. - 2015. - V. 59. - № 10. - pp. 57-60.

153. Bank, L.C. Composites for Construction Structural Design with FRP Materials / L.C. Bank. - New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2006. - 552 p.

154. Bouvet, C. Mechanics of Aeronautical Composite Materials / C. Bouvet. -New York, John Wiley & Sons, Inc, 2017. - 309 p.

155. Dyatchenko S.V., Ivanov A.P. A Technology for Manufacturing Ship Hulls out of Polymer Composites. Kaliningrad, Izd. Kaliningr. Tekh. Univ., 2007. 156 p.

156. Eringen, A.C. Bending and buckling of rectangular sandwich plates / A.C. Eringen // Proceedings of the First U.S. Congress of Applied Mechanics, ASME. -New York, 1952. - P. 381-390.

157. Folie, G.M. The behaviour and analysis of orthotropic sandwich plates / G.M. Folie // Build. Sch. - 1971. - V. 6. - P. 57-67.

158. Foss, J.J. For the space age, a bibliographi of sandwich plates and shells / J.J. Foss // Rept. SM - 42883, Douglas Airer. Co., Santa Monica, Calif., 1962.

159. Frostig, Y. Elastica of sandwich panels with a transversely flexible core - A high-order theory approach / Y. Frostig // Int. J. Solids Struct. - 2009. - V. 46. - P. 2043-2059.

160. Ha, K.H. Finite element analysis of sandwich plates: an overview / K.H. Ha// Comput. Struct. - 1990. - V. 37, № 4. - P. 397-403.

161. Habip, L.M. A review of Russuan work on sandwich structures / L.M. Habip // Inernat. Journal of Mech. Science. - 1964. - V. 6, № 6. - P. 483-487.

162. Habip, L.M. A review of receny work on multilayered structures/ L.M. Habip // Internal Journal of Mech. Science. - 1965. - V. 7, № 8. - P. 589-593.

163. Hardy G.H. Inequalities / J.E. Littlewood, G. Polya. - Cambridge: Cambridge University Press, 1934. - 314 p.

164. Hollaway, L.C. Polymers, fibres, composites and the civil engineering environment: A personal experience / L.C. Hollaway// Adv. Struct. Eng. - 2010. -V. 13, № 5. - P. 927-960.

165. Konyukhov, A. Computational Contact Mechanics - Geometrically Exact Theory for Arbitrary Shaped Bodies/ A. Konyukhov, K. Schweizerhof. - Springer, 2013. - 446 p.

166. Krysin V.N. Layered Laminated Constructions in Aircraft Engineering. Moscow, Mashinostroenie, 1980. 232 p.

167. Makarov, M.V. On solving the geometrically nonlinear and linear problems of transverse bending of a hinged fixing sandwich plate with transversally soft core / M.V. Makarov, I.B. Badriev, V.Yu. Buyanov, E.V. Smirnova // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - 1158 (3). - art. № 032026.

168. Mangalgiri, P.D. Composite materials for aerospace applications / P.D. Mangalgiri // Bull. Mater. Sci. - 1999. - V. 22. - № 3. - P. 657-664.

169. Marine Applications of Advanced Fibre-Reinforced Composites / GrahamJones J., Summerscales J. (Eds.). - Woodhead Publ., 2015. - 360 p.

170. Noor, A.K. Computational models for sandwich panels and shells / A.K. Noor, W.S. Burton, Ch.W. Bert // Applied Mechanics Reviews. - 1996. - V. 49, № 3. - P. 155-199.

171. Noor, A.K. Hierarchical adaptive modeling of structural sandwiches and multilayered composite panels / A.K. Noor, W.S. Burton, J.M. Peters // Appl. Num. Math. - 1994. - № 14. - P. 69-90.

172. Paimushin, V.N. Theory of Moderately Large Deflections of Sandwich

Shells Having a Transversely Soft Core and Reinforced Along Their Contour /

179

V.N. Paimushin // Mechanics of Composite Materials. 2017. - V. 53, № 1. - P. 1 -16.

173. Paimushin, V.N. Average elastic and strength characteristics of a honeycomb core and a theoretical-experimental method of their determination / V.N. Paimushin, I.M. Zakirov, S.A.Lukankin, I.I. Zakirov, S.A. Kholmogorov // Mechanics of Composite Materials. - 2012. - V. 48, № 5. - P. 511-524.

174. Paimushin, V.N. Geometrically nonlinear strain and buckling analysis of sandwich plates and shells reinforced on their edge / V.N. Paimushin, M.V. Makarov, I.B. Badriev, S.A. Kholmogorov // Shell Structures: Theory and Applications. - 2018. - V. 4 - pp. 267-270.

175. Paimushin, V. N. Mechanics of fiber composites: Forms of loss of stability and fracture of test specimens resulting from three-point bending tests / V. N. Paimushin, S. A. Kholmogorov, M. V. Makarov, D. V. Tarlakovskii, A. Lukaszewicz // ZAMM Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik.

176. Pavlov N.A. Constructions of Rockets and Space Vehicles. Moscow, Mashi-nostroenie, 1993. 149 p.

177. Plantema, F.J. Literature search on sandwich construcyion. Study of the literature search on sandwich construction. I, II, III, IV. / F.J. Plantema. - Lu-chvaartlab, Amsterdam, 1948, № 334, 9 pp., NS.-342, 6pp., NS. 343, 7 pp., 1949, NS. 364, 13 pp. (in Dutch)

178. Raicu, A. The advantages of the composite materials used in shipbuilding and marine structure / A. Raicu // J. Mar. Technol. Environ. - 2012. - V. 1. - P. 99-102.

179. Reissner E. On a variational theorem in elasticity. - J. math and Phys., 1950, 29. - № 2, 90-95.

180. Reissner, E. Small bending and stretching of sandwich-type shells / E. Reissner. - NASA T.N., 1950. - № 975.

181. Reissner, E. Finite deflection of sandwich plates / E. Reissner // Journal of the Aeronautical Sciences. - 1948. - V. 15, № 7. - P. 435-440, Errata: Journal of

the Aeronautical Sciences. - 1950. - V. 17, № 2. - P. 125.

180

182. Romanow, Fr. Hyperbolischer dreiaxialer Verschiebungszustand von flachen Sandwichkonstruktionen und schwachgewölbten Sandwich-Schalen / Fr. Romanow // Bauingenieur. - 1983. - Bd. 58, № 6. - S. 209-212. (1983).

183. Struk, R. Nonlinear stability problem of an open conical sandwich shell under external pressure and compression / R. Struk// Int. J. Nonlinear Mech. - 1984. - V. 19, № 3. - P. 217-233.

184. Vasil'ev V.V., Dobryakov A.A., Dudchenko A.A. Fundamentals of the Planning and Production of Aircraft Structures Made of Composite Materials. Moscow, MAI, 1985. 218 p.

185. Wittrick, W.H. On the local buckling of truss-type corrugated - core sandwich panels in compression / W.H. Wittrick // Int. J. Mech. Sciences. - 1972. - V. 14, № 4. - P. 263-271.

186. Wrzecioniarz, Piotr Stability investigations of veriable core sandwich / Piotr Wrzecioniarz // J. Eng. Mech. - 1983. - № 6. - P. 1460-1471.

187. Zencert, D. An introduction to sandwich constructions / D. Zencert. -Cameleon press, London, 1995.