Численные методы исследования классических и неклассических форм потери устойчивости стержней и оболочечно-стержневых конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Холмогоров, Сергей Андреевич

• Холмогоров, Сергей Андреевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Холмогоров, Сергей Андреевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВСТИ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ С МАЛОЙ СДВИГОВОЙ ЖЁСТКОСТЬЮ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ С КРУЧЕНИЕМ

1.0. Вводные замечания

1.1. Постановка задачи

1.2. Численное решение задачи устойчивости стержня при осевом сжатии с кручением

1.3. Результаты численных решений задачи устойчивости прямолинейного стержня и их анализ

1.4. Интегрирующие матриц на основе интерполяции Лагранжа и оценка их точности

1.5. Применение интегрирующих матриц на основе интерполяции Лагранжа для решения задачи устойчивости прямолинейного стержня

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ

2.0. Вводные замечания

2.1. Нелинейные уравнения равновесия

2.2. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия криволинейного плоского стержня с учётом докритических перемещений и углов поворота

2.3. Численный алгоритм решения задач устойчивости криволинейного плоского стержня

2.4. Численное исследование устойчивости кругового кольца при внешнем давлении и обжатии

2.5. Устойчивость арки под действием сосредоточенной силы

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, ПОДКРЕПЛЁННОЙ НА КОНТУРЕ СТЕРЖНЕМ

3.0. Вводные замечания

3.1. условия сопряжения торцевых сечений тонких ортотропных оболочек со стержнем при произвольных перемещениях

3.2. линеаризованные уравнения статического равновесия оболочечно-стержневых конструкций с учетом докритических деформационных парамеров

3.3. постановка задачи об устойчивости прямоугольной пластины, имеющей на одной из кромок подкрепление в виде прямолинейного стержня

3.4. построение алгебраического аналога уравнений нейтрального равновесия

3.5. Численный анализ критических нагрузок и ФПУ. Апробация

численной методики

3.6. Численное исследование изгибно-крутильных ФПУ подкрепляющего стержня

ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВСТЬ СОЕДИНЯЕМЫХ ЧЕРЕЗ ШПАНГОУТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ

4.0. Вводные замечания

4.1. Постановка задачи

4.2. Редукция сформулированной задачи к системе интегро-

алгебраических уравнений

4.3. Действие на шпангоут равномерного внешнего давления

4.4. Растяжение двух соосных цилиндрических оболочек, соединяемых через шпангоут

4.5. Учёт деформационных параметрических слагаемых в

уравнениях устойчивости при действии на шпангоут равномерного внешнего давления

4.6. Учёт докритических деформационных параметров при растяжении двух соосных цилиндрических оболочек, соединённых через шпангоут

4.7. Устойчивость композитной конструкции, состоящей из оболочек вращения, соединённых через шпангоут

4.8. Устойчивость конструкции «сферическая оболочка - кольцо -

цилиндрическая оболочка» под " действием внутреннего

давления

4.9. Программный комплекс для реализации численного алгоритма

4.10. Формирование интегрирующих матриц

4.11. Построение алгебраического аналога линеаризованных уравнений равновесия

4.12. Ввод исходных данных

4.13. Формирование граничных условий

4.14. Формирование данных о действующих нагрузках

4.15. Нахождение минимального собственного значения разрешающей системы линейных алгебраических уравнений

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы исследования классических и неклассических форм потери устойчивости стержней и оболочечно-стержневых конструкций»

ВВЕДЕНИЕ .

Тонкостенная конструкция представляет собой комбинацию стержней, пластин и оболочек. Все эти элементы совместно работают в условиях сложного нагружения. Один из путей снижения массы конструкции - использование высокопрочных сплавов и композиционных материалов. В свою очередь увеличение удельной прочности материалов влечёт за собой снижение параметров тонкостенности конструкции составляющих элементов. Поэтому вопросам оценки устойчивости в общем объёме прочностного анализа тонкостенных конструкций отводится первоочередная роль. Следует также отметить, что в тонкостенных конструкциях жёсткость элементов в тангенциальных направлениях намного выше изгибной жёсткости. В связи с этим тонкостенный элемент может накапливать значительную энергию деформации без существенного изменения формы. В случае нагружения системы при определённых условиях существует возможность перехода энергии тангенциальных деформаций в энергию изгибных де-

у

формаций, что сопровождается значительным изменением формы тонкостенного элемента и полным или частичным выходом его из строя.

Теория однослойных однородных оболочек, заложенная в работах Арона и Лява [5], получила развитие в выдающихся работах отечественных учёных С.П.Тимошенко, Б.Г.Галеркина, П.Ф.Папковича, В.З.Власова,

A.П.Гольденвейзера, И.А.Кильчевского, А.И.Лурье, Х.М.Муштари,

B.В.Новожилова и отражёна в монографиях [13, 14, 15, 16].

Первые теоретические работы по исследованию устойчивости тонких оболочек были выполнены Грасгофом [7], Брессом [8], Брайном [9]. Фундаментальные исследования были проведены Лоренцем [10],

C.П.Тимошенко [11], Саутуэллом [12] в линейной постановке на основе статического критерия Эйлера. Согласно этому критерию критическая нагрузка системы определяется как наименьшая нагрузка, при которой наряду с исходной формой равновесия может существовать смежная бесконечно близкая к ней форма равновесия. С математической точки зрения нахо-

ждение критической нагрузки в соответствии с критерием Эйлера заключается в нахождении собственного значения и собственного вектора линейных дифференциальных уравнений. Найденная таким образом нагрузка называется верхней критической нагрузкой и определяет разветвление форм равновесия. В первых работах использовалась идеализированная модель: оболочка имела идеальные геометрические размеры, изготовлена из идеально упругого материала и исходное состояние считалось безмомент-ным.

Однако, величина верхней критической нагрузки не соответствовала экспериментальным данным - критические нагрузки, полученные экспериментальным путём, были значительно ниже теоретических. Все дальнейшие исследования были направлены на выявление причин расхождения между теоретическими данными и экспериментом.

Доннел в работе [151] обратил внимание на важность учёта нелинейных членов в геометрических соотношениях уравнений устойчивости. Ключевые вопросы геометрически нелинейной теории были заложены

I

Маргером [153] и обсуждались в работах Навье, С.П.Тимошенко и Бицено [152]. Нелинейная трактовка поведения оболочки при деформировании помогла более глубоко понять физику явления потери устойчивости.

Устойчивости упругих систем посвящены многочисленные монографии и журнальные статьи, некоторые наиболее значимые, по мнению автора хотелось выделить в литературном обзоре.

В первой половине прошлого столетия произошло становление нелинейной теории оболочек, пластин и стержней. В монографии [1] В.В.Новожиловым были построены и проанализированы основные уравнения геометрически нелинейной теории упругости при произвольных и малых деформациях и перемещениях. В ней предложено в качестве меры как конечных, так и малых деформаций принимать разность компонент метрического тензора, называемых компонентами тензора деформаций. Для случая малых деформаций, но больших перемещений кинематические соотношения получили название кинематических соотношений в квадратичном

6 '

приближении. В соответствии с ними деформации удлинений и сдвигов в точности равны разности компонент метрического тензора до и после деформации тела. Эту работу следует считать основополагающей в нелинейной механике твёрдого деформируемого тела.

Аэродинамические и гидродинамические нагрузки, действующие на элементы летательных аппаратов, в большинстве представляют собой неконсервативные (следящие) силы. Начало теории устойчивости в механике стержней и тонкостенных конструкций под действием неконсервативных сил было положено В.В.Болотиным [2]. В ней рассмотрены вопросы устойчивости стержней, пластин и цилиндрических оболочек под действием такого рода сил. Показано, что решение задачи устойчивости стержня под действием следящей сжимающей силы возможно получить только динамическим методом, когда рассматриваются колебания стержня вблизи положения равновесия. Получено выражение для определения критической следящей сжимающей силы. Также рассматривается устойчивость стержня под действием следящей сжимающей силы и крутящего момента.

Обобщение и изложение вопросов устойчивости за первую половину двадцатого века проведено в монографии [18] А.С.Вольмиром. В ней изложены вопросы устойчивости сжатых стержней, стрежневых систем, тонкостенных стержней, прямоугольных пластин и оболочек. Монография характеризуется общей направленностью на освещение практических вопросов устойчивости. В ней изложены теоретические и экспериментальные данные, которые могут быть непосредственно использованы в практических расчётах. Данная монография стала своего рода справочником для расчёта на устойчивость стержней, пластин и оболочек. Большой вклад в разработку теоретических и практических вопросов устойчивости упругих конструкций также внесли работы Р.Б.Рикардса и Г.А.Тетерса [19], Э.И.Григолюка и В.В.Кабанова [5], Н.А.Алфутова [6], А.С.Вольмира, Б.А.Куранова и А.Т.Турбаивского [17], А.Н.Гузя [4], Л.Г.Доннела [3] и других учёных. Среди перечисленных работ- следует выделить монографию Э.И.Григолюка и В.В. Кабанова. В ней предельно ясно и понятно из-

7

ложена история развития теории круговых цилиндрических, конических и сферических оболочек, освещены экспериментальные исследования по устойчивости цилиндрических оболочек. Большая часть монографии посвящена задачам устойчивости круговой цилиндрической оболочки, где рассматриваются как линейная, так и нелинейная постановка задачи. Исследуются все различные способы нагружения, включая комбинированное на-гружение, поперечный изгиб, неоднородное распределение нагрузки по длине и по окружности оболочки, а также локальное приложение нагрузок на оболочки.

Монография [6] Н.А.Алфутова освещает вопросы, связанные с формулировкой критериев упругой устойчивости, постановке задач устойчивости стержней, пластин и оболочек, выводу исходных соотношений теории упругой устойчивости и обсуждается предел применимости данных соотношений. Автор даёт ясное описание энергетического метода для исследования задач устойчивости, а также излагает основы метода Рэлея-Ритца и метода Галеркина в задачах устойчивости упругих систем. Согласно Н.А.Алфутову решение задачи устойчивости можно разделить на два этапа. На первом этапе задача поиска параметров докритического напряжённо-деформированного состояния (НДС) строится в геометрически линейном приближении, находятся величины внутренних усилий и моментов, перемещений и углов поворота, которые являются исходными данными для следующего этапа. На втором этапе осуществляется определение точек бифуркации на основе линеаризованных уравнений устойчивости. Данный способ формулировки задач устойчивости в численной постановке приводит к отысканию собственного значения и соответствующего собственного вектора линеаризованных уравнений.

Говоря о составных оболочечно-стержневых системах, можно выделить монографию [17] А.С.Вольмира, Б.А.Куранова, А.Т.Турбаивского, которая посвящена анализу сложных структур. В ней широко рассмотрены вопросы, связанные с численным анализом статического деформирования,

колебаний, устойчивостью составных конструкций. Авторы дают описание

8

применения различных численных методов в задачах статики, колебаний и устойчивости: метода конечных разностей, метода коллокаций, метода численного интегрирования дифференциальных уравнений краевых задач, метода граничных элементов. Также особое внимание авторы уделяют методу конечных элементов тонкостенных структур применимо к расчёту пластин и пологих оболочек.

Задачи теории устойчивости стержней можно разделить на два больших класса: консервативные задачи устойчивости и неконсервативные. В первом классе задач нагрузка в процессе докритического деформирования и после потери устойчивости не изменяет своего первоначального направления, во втором - нагрузка изменяет своё направление и всегда совпадает с продольной осью стержня. Значение критической силы и ФПУ в двух случаях совершенно различаются. К консервативным задачам относится задача Эйлера, где хорошо известны и критическая сила и ФПУ стержня. Развитие аэрокосмической отрасли, где все аэродинамические нагрузки являются следящими, т.е. неконсервативными потребовало развития теории устойчивости тонкостенных конструкций под действием следящих сил [2].

Анализируя работы за последние 10 лет по теории устойчивости стержней можно сказать, что большинство статей посвящено задачам в неконсервативной постановке. К ним относятся работы [82, 86, 91-93]. Для консольного стержня со следящей нагрузкой на конце [91, 82] Капитанов Д.В. и др. разработали численно-аналитический алгоритм, предназначенный для изучения зависимости собственных значений от параметров задачи. Вопросы оптимизации проектирования стержней при действии следящей нагрузки хорошо освещены в работах [92, 93], где показано, что оптимизация стержня может привести к значительному увеличению критической нагрузки. Оптимальное проектирование композитного стержня при действии консервативной сжимающей силы освещено в работе [76]. Здесь рассматривается стержень, ядро которого выполнено из однонаправленно-

го композита, обмотанного парой перекрёстных слоёв. Задаче устойчивости стержня при действии консервативной силы посвящена работа [79].

Большое количество работ в классе консервативных задач устойчивости можно охарактеризовать как неклассические, в которых изучается устойчивость стержня с переменной жёсткостью [75, 71, 97, 78, 83, 84], с переменной нагрузкой [77, 71], задачи устойчивости стержня на границе Винклеровских сред [89, 74], устойчивость стержней с разрушающейся заделкой [94, 81], устойчивость стержня с закрученными относительно друг друга поперечными сечениями [80], а также устойчивость вращающегося сжатого стержня [101].

Одним из важных параметров сжатых стержней является гибкость. Если гибкость стержня велика, то критическая нагрузка хорошо согласуется с нагрузкой, найденной из формулы Эйлера, но если гибкость стержня небольшая, то потеря устойчивости может произойти в неупругой зоне, где определение критической силы и ФПУ осуществляется по касательному модулю упругости [73, 100]. Для композитных стержней, выполненных из стеклопластика [90], следует внимательно относится к пределам применимости формулы Эйлера. Для коротких стержней, гибкость которых очень мала, задачу нужно решать обязательно в нелинейной постановке, а также нельзя не учитывать деформацию сдвига и деформацию сжатия оси стержня [99, 102].

Относительно всего количества работ по теории устойчивости стержней мало внимания уделяется уетойчив9Сти стержней с начальными несовершенствами [87], отчасти потому, что они мало влияют на значение критической силы по сравнению с критической нагрузкой в теории устойчивости оболочек. Распространённым объектом исследования теории устойчивости стержней являются криволинейные плоские стержни (арки) под действием распределённой силы [98], где авторы исследуют влияния различных граничных условий на ФПУ.

Анализу и сравнению [47] различных моделей деформирования таких как: модель Кирхгофа-Лява [96], Тимошенко, Колоушека [88] в теории

10

устойчивости стержней исследователи уделяют достаточно много внимания. Наиболее общая модель, которая учитывает деформации изгиба, сдвига, растяжения-сжатия, а на перемещения и повороты не накладывается никаких ограничений [69] предлагается Лалиным В.В. и др. Здесь же авторами приводится сравнение величины критической нагрузки, найденной по формуле Энгессера, с точным аналитическим, решением. Метод конечных элементов, очень широко распространённый в механике твёрдого деформируемого тела, использовался Левяковым C.B. [70] для анализа пространственных стержней при больших упругих перемещениях. Для анализа местной потери устойчивости формы поперечного сечения С-образного профиля [72, 85] Юрченко В.В. использовал обол очечный конечный элемент и вывел аналитические зависимости критической нагрузки от параметров С-образного профиля.

Стержневые системы, состоящие из слоистых стержней, где слои переменной толщины изготовлены из изотропного материала, являются объектом исследования работы [95]. Данная задача решается в физически и геометрически нелинейной постановке.

Современные исследования в области теории устойчивости оболочек можно разделить на три направления: численные исследования устойчивости с помощью широко применяемого метода МКЭ, построение решениий задач аналитическими методами и экспериментальные исследования.

Постановке эксперимента посвящены работы [20, 25, 26, 34, 60], где исследуется устойчивость сферических и цилиндрических оболочек. В большинстве работ авторы стараются сопоставить результаты эксперимента с расчётными данными. Так в [25] проводится конечно-элементное моделирование потери устойчивости сегмента сферической оболочки, расчётные данные сопоставляются с проведённым экспериментом, а также рассматривается явление сеточной анизотропии, которое вносит значительные изменения в картину потери устойчивости. Экспериментальные исследования потери устойчивости оболочек сопоставляются с конечно-элементным решением в [34].

Как хорошо известно, экспериментальные исследования плохо согласуются с теоретическими расчётами из-за наличия у исследуемых оболочек начальных неправильностей, которые значительно снижают значение критической нагрузки. В [26, 29, 31] проведены систематические исследования явления потери устойчивости коротких цилиндрических оболочек с малыми начальными неправильностями под действием внешнего давления и получен диапазон критических давлений, охватывающий практически все экспериментальные значения. Эти исследования позволили подтвердить гипотезу о том, что основной причиной получения заниженных экспериментальных значений являются технологические несовершенства испытуемых моделей.

В работах [24, 27, 28, 41, 46, 44, 39, 108], посвящённых исследованию численных методов в теории оболочек, основной идеей авторов является сравнение численных методик решений краевых задач. В работе [24] внимание уделяется методу конечных элементов в задаче НДС цилиндрической оболочки. Авторами даётся сравнительная оценка решения МКЭ с точными решениями, основанными на теории Кирхгофа-Лява и теории Тимошенко, а также приводятся рекомендации по выбору шага сетки в краевой зоне. Анализ трёх вариантов алгоритмов исследования устойчивости тонких оболочек [28] показывает, что метод Ритца наиболее прост в реализации на ЭВМ, он удобен при расчёте НДС конструкций. Сравнение данных эксперимента и численного расчёта приводится также в [45]. Алгоритм наискорейшего спуска удобен в тех случаях, где требуется знать весь процесс последовательной потери устойчивости оболочки, а алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру, позволяет находить нижние критические нагрузки и точки бифуркации. Также даётся оценка точности трёх исследуемых алгоритмов.

Исследования составных конструкций, таких как подкреплённые шпангоутами цилиндрические оболочки, подкреплённые пластины, состыкованные друг с другом оболочки занимают большую часть в научных публикациях по теории устойчивости тонкостенных конструкций. Интерес

12

для исследования представляют задачи устойчивости подкреплённых оболочек и пластин [40, 42, 49, 57, 52, 53, 59, 104, 110, 115], где исследуется геометрические параметры подкрепляющих элементов. В [36] уделено внимание конструктивной симметрии при решении задачи устойчивости цилиндрической оболочки, подкреплённой шпангоутами, что позволяет уменьшить трудоёмкость реализации расчётного алгоритма. В ряде практических случаев подкрепляющий шпангоут технологически выполнятся в виде соединённых сегментов, соединения которых являются значительными ослаблениями конструкции. Исследованию таких конструкций посвящена работа [64] Андрюшина В.А. и Недбая А.Я, где функции перемещений оболочки и рёбер представляются в виде тригонометрических рядов. Также работа авторов [50] посвящена исследованию устойчивости слоистой оболочки, подкреплённой кольцевыми рёбрами и упругим цилиндром в форме конуса. Формулировка и решение задач устойчивости и колебаний подкреплённых продольными рёбрами оболочек рассматривается в [63, 65, 68], а пластин, подкреплённых сеткой рёбер в [67]. В работе [109] для составных пластин с упругим шарниром, который расположен посередине пластины, разработана методика расчёта на устойчивость.

Работы по исследованию устойчивости пластин и оболочек можно разделить на несколько направлений, среди которых выделить работы, по-свящённые изучению их устойчивости под нагрузкой различного вида. Задача кручения цилиндрической оболочки хорошо изучена в различных постановках, в дополнение к имеющимся публикациям авторы работы [23] предлагают использовать разрешающие соотношения с сохранёнными малыми слагаемыми. Влияние кручения на явление неустойчивости в виде образования шейки [62] изучается на основе'трёхмерных уравнений изотропного несжимаемого тела, которые приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых численным методом. Вопросы устойчивости оболочек в условиях сжатия освещаются в [30, 51]. Задача устойчивость оболочек с вырезом при комплексном нагружении рассматривается в работе [38]. К исследованию устойчивости цилиндриче-

13

ской оболочки в [56] автор применил динамический критерий, что позволило получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. В [111] решена задача о потере устойчивости сжатой бесконечной пластины с учётом её поперечного обжатия при различных граничных условиях.

Работы [103, 112] посвящены исследованию устойчивости пластин на упругом основании, граничные условия на кромках которой не ставятся. Исследованиям устойчивости пластин с вырезом посвящены работы [105-107, 113].

В процессе исследований устойчивости оболочек возникает вопрос учёта физической и геометрической нелинейности, особенно важных при больших перемещениях и деформациях. Учёт физической и геометрической нелинейности в задаче устойчивости пологой квадратной в плане оболочки приводит к явлению «прощёлкивания» [61, 114], а при отбрасывании нелинейностей данный эффект выявить не удается. Также нелинейная задача устойчивости композитной оболочки вращения рассматривается в [66].

Анализ устойчивости нецилиндрических оболочек представляет собой более сложную задачу для параметризации геометрии, поэтому в их исследовании широко применяется метод конечных элементов [48, 55, 45, 22]. Для длинных оболочек с формой образующей срединной поверхности в виде параболической функции [37] получены формула Эйлера и формула Саутвелла-Тимошенко при использовании метода Бубнова-Галеркина. Оболочки с вырезами рассматриваются в аналитической [33] и в численной постановке [35], где используется физически нелинейная модель материала.

Как показывает расчётная практика, закрепление торцов оболочки слабо влияет на величину критической нагрузки [32], а совместное действие внешнего давления и сжимающей осевой силы увеличивает несущую способность оболочки. В работе [54] также численно решается задача устойчивости цилиндрической оболочки под действием внешнего давления

совместно с осевым сжатием, однако в решении реализована возможность

14

задания граничных условий в виде перемещение торца оболочки, как жёсткого целого. Исследования влияния характера внешней неравномерной радиальной нагрузки проводятся в [43], следящей гидростатической нагрузки в [58], оболочек, взаимодействующих с жидкостью в [21].

За последние пятнадцать лет было установлено, что соотношения нелинейной теории упругости, составленные в квадратичном приближении [1] и принимаемые как абсолютно верные и не требующие пересмотра, при решении некоторых задач могут привести к «ложным» бифуркационным решениям. Такая ревизия указанных уравнений была проведена в работах В.Н.Паймушина и В.И.Шалашилина [116, 120]. В работе [120] проводится анализ двух вариантов приближённых соотношений теории деформаций сплошных сред и доказывается, что из них соотношения полного варианта, определяющие деформации удлинений, и соотношения неполного варианта, определяющие сдвиговые деформации, являются некорректными. Указанными авторами построен непротиворечивый вариант кинематических соотношений в квадратичном приближении, представляющий собой комбинацию соотношений полного и неполного вариантов. Рассматривая задачу одноосного растяжения-сжатия (vx=wx=0) стержня использование

л л л

соотношения из [1] Ех& ех = их +1/2{их + vx + wx) при малых деформаци-

л

ях удлинения приводит к формуле Ех да sx = и х +1 / 2их, использование которой в задаче о сжатии стержня приводит к ложному бифуркационному значению P = EF, которое физически не может быть реализовано. Далее использование выражения для углов сдвига из [3] siny^ = иу + у х - u xvx - u yvy + wxwy в задаче о чистом сдвиге приводит к

формуле для углов сдвига sinу = sin у - (cos у -1) sin у « sin у +1 / 2(sin у) ,

использование которой также выявляет ложную точку бифуркации [116]. Таким образом, для лучшей аппроксимации элементарных состояний авторами предлагается использовать смешанный вариант кинематических соотношений в квадратичном приближении, когда деформации удлинений

вычисляются по формулам монографии [3] (по Донеллу), а сдвиговые деформации - по формулам монографии [1] (по Новожилову). Использование данных соотношений позволяет выявить лишь физически реализующиеся формы потери устойчивости. В статье авторами также приводится анализ кинематических соотношений в ортогональных криволинейных координатах и в свете изложенных результатов даётся вывод непротиворечивых кинематических соотношений в квадратичном приближении для случая малых деформаций удлинений и средних сдвиговых деформаций.

Результатом работы [116] стала необходимость пересмотра теории устойчивости стержней, оболочек и трёхслойных конструкций с целью выявления неклассических и ранее не исследованных ФПУ. Начало исследования неклассических ФПУ трёхслойных конструкций было положено в работах [117-119, 121, 122]. Вопросам неклассических ФПУ однослойных оболочек посвящены работы [123-129, 131-133], а исследования неклассических ФПУ стержней проведены в [125, 134-137].

Модельными задачами теории устойчивости тонкостенных элементов конструкций, на которых исследуются вопросы точности и пределы применимости уточнённых вариантов теорий, являются простейшие задачи устойчивости стержня-полосы, кругового кольца, цилиндрической оболочки при тех или иных видах нагружения. Такие исследования задач по выявлению и систематизации неклассических и неописанных ранее в научной литературе по механике форм потери устойчивости были проведены В.Н.Паймушиным с соавторами. В работе [122] полученные ранее соотношения непротиворечивого варианта уравнений теории упругости в квадратичном приближении использованы для сведения двумерной нелинейной задачи деформирования полосы в виде стержня к одномерным уравнениям и последующим их использовании для выявления возможных ФПУ при характерных видах нагружения. Выявлена зависимость реализующейся в стержне ФПУ от поведения нагрузки: если нагрузка остаётся нормальной к оси стержня, то потеря устойчивости возможна только по сдвиговой форме, если нагрузка сохраняет своё начальное направление действия («мёрт-

16

вая» нагрузка), то наряду со сдвиговой ФПУ возможна изгибная ФПУ, совпадающая по форме с классической эйлеровой, при которой отсутствуют сдвиги.

На основе указанных выше непротиворечивых уравнений теории упругости, построенных в квадратичном приближении, в работе [123] проведено исследование устойчивости стержня-полосы под действием однородного по длине и поперечному сечению напряжения сжатия. Применение тригонометрической аппроксимации (синуса и косинуса) по поперечной координате позволило редуцировать двумерные уравнения к одномерным. Решением полученных уравнений при шарнирном опирании поперечных кромок является теоретически возможная ФПУ с числом полуволн по поперечной координате больше единицы, которой соответствует меньшая величина критической нагрузки по сравнению с известными в литературе. Результаты работ по исследованию неклассических ФПУ стержня-полосы получили развитие в [129], [130], где автором показано, что если поперечные сжимающие силы на торец стержня являются следящими, то изгибную ФПУ можно выявить только динамическим методом на основе использования для стержня уточнённой сдвиговой модели типа Тимошенко.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Холмогоров, Сергей Андреевич, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.: Гостехиздат, 1948. — 211 с.

2. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз. 1961. 339 с.

3. Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. 568с.

4. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. - Киев: Наукова думка, 1973. -.-270 с.

5. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1978, 360с.

6. Ал футов H.A. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 308 с.

7. Grashof F.W. Fairbairns Versuche über den Widerstand von Röhren gegen Zusammendrückung. VDI-Zeitschrift, 1859, Bd. 3, Nr. 8-9, SS. 234-243

8. Bresse M. Cours de mechanique applique. Р. 1. Paris, Mallet-Bachelier, Imprimeur-Libraire du Bureau des Longitudes, 1859.

9. Brayan G.H. On the stability of elastic system. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1889, vol. 6, pp. 199-210

10. Lorenz R. Die nicht achsensymmtrische Knickung dünnwandiger Hohlzylinder. Physikal. Zeitschrift, 1911, Bd 12, Nr.7, SS. 241-260

11. Тимошенко С.П. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрической оболочки. Вести, о-ва технол., 19146 т. 21, стр. 785-792; Изв. Петрогр. электротехн. ин-та, 1914, т. 11, стр. 267287; Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., «Наука», 1971, стр. 457-472

12. Southwell R. On the collapse of tubes by external pressure. Parts I, II, III. Philos. Mag., Ser. 6, 1913, vol.25, No.149, pp.687-697;

vol.26, No. 153, pp.502-510; 1915, vol. 29, No. 169, pp.67-76.

13. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложение в технике. - М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

14. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболчек. -Киев: Наукова думка, 1963. - 353 с.

15. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.:Судпромгиз, 1962ю - 432 с.

16. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., Гостехиздат, 1953; М., «Наука», 1976.

17. Вольмир A.C., Б.А.Куранов, А.Т.Турбаивский. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровневые методы исследований. - М.: Машиностроение, 1989. - 248 с.

18. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.:1967. 964 с.

19. Рикардс, Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. -Рига: Зинатне, 1974. -310с.

20. Баженов В.Г., Ломунов В.К., Осетров С.Л., Павленкова Е.В. Экспериментально-расчётный метод исследования больших упругопластических деформаций цилиндрических оболочек при растяжении до разрыва и построение диаграмм деформирования при неоднородном напряжённо-деформированном со-стоянии//Прикл. механика и техническая физика.2013.Т54, №1. С.116-124.

21. Танеева М.С., Моисеева В.Е., Скворцова З.В. Нелинейный изгиб и устойчивость тонкостенных элементов конструкций, взаимодействующих с жидкостью//Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики.2012.№11-12. С.93-102.

22. Бойко Д.В., Железнов Л.П., Кабанов- В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при поперечном изгибе// Известия Россий-

ской академии наук. Механика твёрдого тела. 2012. №2. С. 5967

23. Сильченко Л.Г., Сильченко Т.Л. Об устойчивости упругой цилиндрической оболочки при кручении// Механика композиционных материалов и конструкций. 2012. Т18, №1. С.3-15

24. Зайцев В.Н., Рабинский Л.Н., Сибиряков A.B. О некоторых инженерных оценках точности практического конечно-элементного решения задач теории композиционных оболочек// Механика композиционных материалов и конструкций. 2012.Т18, №4. С.475-485.

25. Баженов В.Г., Артемьева A.A., Гоник Е.Г., Кибец А.И., Шо-шин Д.В., Федорова Т.Г. Конечно-элементное моделирование упругопластического выпучивания незамкнутых сферических оболочек при сжатии// Проблемы прочности и пластичности. 2012. №74. С.84-91.

26. Федоров А.П., Парнов K.M., Азовсков A.A. Экспериментально-расчётное исследование устойчивости сферической и цилиндрической оболочек с дефектами формы// Труды ЦНИИ им.акад.А.Н.Крылова. 2012. Т.6. №71. С.53-64.

27. Николаев А.П., Киселёв А.П., Гуреева H.A., Киселёва Р.З., Леонтьева В.В.Определение напряжений в зоне соединения оболочек вращения на основе МКЭ при осесимметричном нагру-жении. Фундаментальные исследования. 2012. № 6-1. С. 150154.

28. Карпов В.В. Анализ алгоритмов исследования устойчивости тонкостенных оболочек. Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. № 1.С. 63-69.

29. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Устойчивость цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами под действием

внешнего давления. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2011. № 2. С. 16-25.

30. Васильев В.В. К задаче устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2011. № 2. С. 5-15.

31. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. О возможности теоретического подтверждения экспериментальных значений внешнего критического давления тонкостенных цилиндрический оболочек. Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. № 5. С. 830842.

32. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Влияние способов закрепления и нагружения цилиндрических оболочек на их устойчивость и закритическое поведение. Проблемы машиностроения и надежности машин. 2011. № 3. С. 117-126.

33. Сафронов B.C. Аналитическая оценка устойчивости конической оболочки с отверстием при комплексном нагружении. Авиакосмическое приборостроение. 2010. № 1. С. 55-62.

34. Баженов В.Г., Кибец А.И., Петров М.В., Федорова Т.Г., Шо-шин Д.В., Артемьева A.A. Проблемы прочности и пластичности. 2010. № 72. С. 80-85.

35. Дружиловский Б.В., Шалаев Д.Ю. Устойчивость цилиндрических оболочек с вырезами при действии всестороннего давления. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова. 2010. № 56. С. 169186.

36. Постнов В.А. Конструктивная симметрия в задаче устойчивости цилиндрической оболочки, подкреплённой кольцевыми рёбрами, при действии гидростатического давления. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2009. № 5. С. 135-143.

37. Кукуджанов С.Н. Об устойчивости длинных оболочек враще-

ния, близких по форму к цилиндрическим. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2009. № 4. с. 5969.

38. Сафронов B.C. Аналитическая оценка устойчивости подкреплённой цилиндрической оболочки с отверстием при комплексном нагружении. Вестник Московского авиационного института. 2009. Т. 16. № 5. С. 33

39. Федоров А.П., Парнов K.M., Либов Ю.А. Исследования устойчивости цилиндрической и цилидроконической оболочек при различных граничных условиях. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова. 2009. № 42. С. 49-58.

40. Греков В.М., Ефремов Г.И. Расчёт устойчивости плоской формы равновесия кольцевых рёбер цилиндрической оболочки. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова. 2009. № 42. С. 49-58.

41. Александров A.B., Бурнашева И.В. Сопоставление результатов компьютерного моделирования устойчивости составных конических и цилиндрических подкреплённых оболочек под действием внешнего давления с применением методов прогонки, конечных элементов и редуцированных элементов. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. 2009. № 42. С. 87-92.

42. Малышева О.М., Филиппов С.Б. Влияние эксцентриситета на устойчивость подкреплённых шпангоутами цилиндрических оболочек под действием внешнего давления. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2009. № 1. С. 89-98.

43. Антоненко Э.В., Шульга Т.Э. Математические модели потери устойчивости неоднородных цилиндрических оболочек от неравномерной радиальной нагрузки. Известия Саратовского университета. Новая серия: Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. № 3. С. 79-83.

44. Михайловский Е.И., Тулубенская E.B. Учёт поперечных сдвигов в задаче об устойчивости цилиндрической оболочки в условиях конструктивной нелинейности. Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2009. № 9. С. 64-77.

45. Железнов Л.П., Кабанов В.В., Бойко Д.В. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении. Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 1. С. 134-138.

46. Кузнецов В.В., Левяков C.B. Метод конечных вариаций в нелинейной механике оболочек. Сибирский журнал вычислительной математики. 2008. Т. 11. № 3. С. 329-340

47. Товстик П.Е. Неклассические модели балок, пластин и оболочек. Известия Саратовского университета. Новая серия: Математика. Механика. Информатика. 2008. Т.8. № 3. С. 72-85.

48. Бойко Д.В., Железнов Л.П., Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости овальных цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении изгибающим и крутящим моментом. Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2007. № 3. С. 3-7.

49. Миткевич А.Б., Каледин В.О., Аникина Ю.В. Влияние жёсткости шпангоутов на устойчивость подкреплённой оболочки из полимерных композиционных материалов. Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. Т. 13. № 2. С. 265-272.

50. Андрюшин В.А., Багдасарьян A.A., Недбай А.Я. Устойчивость слоистой оболочки, подкреплённой кольцевыми рёбрами и цилиндром с переменным каналом. Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. Т. 13. № 3. С. 408-416.

51. Долгих Д.В., Киселёв В.В. Узоры из вмятин на поверхности

продольно сжатой нелинейно-упругой цилиндрической оболочки. Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. № 3. С. 500-525.

52. Постнов В.А., Тумашик Г.А., Москвина И.В. Об устойчивости подкреплённой цилиндрической оболочки. Проблемы прочности и пластичности. 2007. № 69. С. 18-23.

53. Жгутов В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учёте различных свойств материала. Известия Орловского государственного технического университета. Серия: Строительство и транспорт. 2007. № 4-16. С. 23-26.

54. Тарасов В.Н., Холмогоров Д.В. Влияние граничных условий на устойчивость цилиндрической оболочки. Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2007. № 7. С. 109-122. ,

55. Железнов Л.П., Кабанов В.В., Бойко Д.В. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при чисто изгибе с внутренним давлением. Прикладная механика и техническая физика. 2006. № 3. с. 119-125.

56. Колосов Г.И. Устойчивость равновесных состояний сжатой в осевом направлении замкнутой цилиндрической оболочки к малым возмущениям. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2006. № 2. С. 77-83.

57. Попов О.Н. Исследование напряжённо-деформированного состояния подкреплённых пластин при разной жёсткости, разном соотношении сторон, разной гибкости и с учётом эксцентриситета. Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 53-64.

58. Александров A.B. Исследование устойчивости оболочек под действием следящей внешней равномерной гидростатической

нагрузки методом редуцированных элементов. Труды ЦНИИ им. А.Н.Крылова. 2006. № 26. С. 80-87

59. Рябов В.М. Устойчивость конических оболочек при различных граничных условиях и сопряжении двух конических оболочек. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова. 2006. № 26. С. 80-87.

60. Ефремов Г.И., Либов Ю.А., Рябов В.М. Расчётно-экспериментальное исследование устойчивости составных конических оболочек. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова. 2006. №26. С. 88-101.

61. Моисеенко М.О. Исследование нелинейных деформаций и устойчивости пологих оболочек при нагружении равномерно распределённой нагрузкой. Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2006. № 2. С. 115-119.

62. Зубов Л.М., Шейдаков Д.Н. О влиянии кручения на устойчивость упругого цилиндра при растяжении. Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69. № 1. С. 53-60

63. Zarutskii V.A., Sivak V.F. Оп stability analysis of ribbed cylindrical and conical shells under axial compressive forces. International Applied Mechanics. 2002. T. 38. № 3. C. 335-340.

64. Андрюшин B.A., Недбай А.Я. Устойчивость слоистой цилиндрической оболочки, подкреплённой цилиндром и кольцевыми рёбрами с ослаблением. Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т. 8. № 3. с. 335-343.

65. Zarutskii V.A. Integrated stability-and-vibration study of structurally inhomogeneous shells. International Applied Mechanics. 2001. T. 37. № 8. C. 998-1022

66. Трушин С.И., Князев A.A., Жаворонок С.И. Решение нелинейной задачи устойчивости многослойной оболочки вращения из композиционного материала с низкой сдвиговой жёсткостью.

Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7. №3. С. 363-373.

67. Zarutskii V.A., Prokopenko N.Ya. Effect of discrete rib arrangement of the stability of rectangular plates reinforced by orthogonal ribs. International Applied Mechanics. 2000. T. 36. № 8. C. 10971102

68. Zarutskii V.A. The theory and methods of the srtress-strain analysis of ribbed shells. International Applied Mechanics. 2000. T. 36. № 10. C. 1259-1283.

69. Лалин B.B., Розин Л.А., Кушова Д.А. Вариационная постановка плоской задачи геометрически нелинейного деформирования и устойчивости упругих стержней. Инженерно-строительных журнал. 2013. № 1. С. 87-96.

70. Левяков С.В. Нелинейный пространственный изгиб криволинейных стержней с учётом поперечного сдвига. Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 2. С. 128-136.

71. Горбачёв В.И., Москаленко О.Б. Устойчивость стержней с переменной жёсткостью при сжатии распределённой нагрузкой. Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2012. № 1. С. 41-47.

72. Юрченко В.В. Разработка аналитических зависимостей для оценки значений критических сил потери местной устойчивости и потери устойчивости формы сечения тонкостенных стержней открытого профиля. Металлические конструкции. 2012. Т. 18. №3. С. 185-196.

73. Суходоева А.А., Тихомирова К.А. .Исследование поведения сжатого стержня за пределами устойчивости. Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Прикладная математика и механика. 2012 № 10. С. 182-193

74. Михайловский Е.И., Тулубенская Е.В. Алгоритм движения по параметру жёсткости в проблеме устойчивости на границе винклеровых сред. Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2011. №3. С. 62-71.

75. Горбачёв В.И., Москаленко О.Б. Устойчивость прямого стержня с переменной жёсткостью. Известия Российской академии наук. Механики твёрдого тела. 2011. № 4. С. 181-192.

76. Григорьев С.Н., Красновский А.Н., Хазиев А.Р. Оптимальное проектирование длинномерных сложноармированных изделий из полимерных композиционных материалов. Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т. 17. № 4. С. 545-554.

77. Ляхович Л.С. Особые свойства форм потери устойчивости стержней минимальной материалоёмкости при ограничении величины критической нагрузки для случаев линейной зависимости моментов инерции сечений и функции цели от варьируемого параметра. Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2011. № 4. С. 106-112.

78. Крутий Ю.С. Задача Эйлера в случае непрерывной поперечной жёсткости (продолжение) Строительная механика и расчёт сооружений. 2011. № 2. С. 27-33.

79. Сливкер В.И. Устойчивость стержня под действием сжимающей силы с фиксированной линией действия. Строительная механика и расчёт сооружений. 2011. № 2. С. 34-36.

80. Цалюк В.З. Численное исследование зависимости критической силы для витого стержня от параметров задачи. Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2010. Т. 11. № 1. С. 153-159.

81. Дорогов Ю.И. Продольный изгиб стержня с разрушающимися заделками. Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 4. С. 575-586.

82. Капитанов Д.В., Овчинников В.Ф., Смирнов JI.B. Неконсервативная устойчивость трубопровода и консольного стержня. Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2010. № 2. С. 117-123.

83. Горбачёв В.И., Москаленко О.Б. Об устойчивости стержней с переменной жёсткостью. Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 201 Р. № 6. С. 65-69.

84. Крутий Ю.С. Задача Эйлера в случае непрерывной поперечной жёсткости. Строительная механика и расчёт сооружений. 2010. № 6. С. 22-29.

85. Белов И.Д., Юрченко В.В. Про проверку устойчивости центрально-сжатых стержней из одиночных тонкостенных холод-ногнутых профилей открытого сечения. Металлические конструкции. 2010 . Т. 16. № 4. С. 239-250.

86. Гузеев Р.Н., Сливкер В.И. Обобщённая задача Тимошенко. Строительная механика и расчёт сооружений. 2009. № 1. С. 12-16.

87. Мануйлов Г.А., Косицын С.Б., Бегичев М.М. Исследования устойчивости круговых двухшарнирных арок с учётом влияния начальных несовершенств. Строительная механика и расчёт сооружений. 2009. № 1. С. 17-23

88. Деревянкин Д.В., Сливкер В.И. О двух моделях стержня с учётом деформаций сдвига в задачах устойчивости равновесия. Строительная механика и расчёт сооружений. 2009. № 5. С 6569.

89. Тулубенская Е.В., Каргин Р.В. Устойчивость стержня переменной жёсткости при односторонних ограничениях на пере-

мещения. Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2008. № 8. С. 141-148.

90. Блазнов А.Н., Савин В.Ф., Волков Ю.П., Тихонов В.Б. Исследование прочности и устойчивости однонаправленных стекло-пластиковых стержней при осевом сжатии. Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. Т. 13. № 3. С. 426-440.

91. Капитанов Д.В., Овчинников В.Ф., Смирнов JI.B. Численно-аналитическое исследование консольно закреплённого стержня со следящей силой на свободном конце. Проблемы прочности и пластичности 2007. № 69. с. 177-184.

92. Темис Ю.М., Фёдоров И.М. Оптимизация формы стержней при неконсервативном нагружении по критерию потери устойчивости. Проблемы прочности и пластичности. 2007. № 69. С. 24-37.

93. Постнов В.А., Тумашик Г.А. Оптимизация по критерию устойчивости консольного стержня, подверженного действию неконсервативной сжимающей силы. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2006. № 2. С. 93-103.

94. Дорогов Ю.И. О потере устойчивости абсолютно жёсткого стержня с разрушающейся опорой. Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 3. С. 300-311.

95. Мищенко A.B., Немировский Ю.В. Нелинейное деформирование и несущая способность слоистых стержневых систем. Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т. 11. №3. с. 427-445.

96. Астапов Н.С. Математическое моделирование выпучивания гибких стержней. Информатика и системы управления. 2005. № 1 (09). С. 16-22.

97. Бондарь Т.А. Численный анализ устойчивости нагруженного стержня переменной жёсткости. Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. № 2. С. 27-35.

98. Шкутин Л.И. Численный анализ разветвлённых форм изгиба арок. Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т. 42. №4. С. 155-160.

99. Сильченко Л.Г. Об устойчивости короткого стержня. Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7. № 2. С. 178-188.

100. Кузнецов В.В., Левяков C.B. Эластика Эйлерова стержня с защемлённым концами. Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41. № 3. С. 184-186. '

101. Бондарь Т.А. Устойчивость вращающегося сжатого стержня. Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т. 41. № 4. С. 190-197.

102. Сильченко Л.Г. Закритическое деформирование стержня с учётом сжимаемость его оси. Механика композиционных материалов и конструкций. 1999. Т. 5. № 1. С. 24-38

103. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. О формах потери устойчивости сжатой пластины на упругом основании. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2012. № 6. С. 30-36.

104. Сафрнов B.C. Чан Ба Тан. Аналитическая оценка устойчивости подкреплённой плоской пластинки с отверстием при сжатии. Авиакосмическое приборостроение. 2010. № 2. С. 31-36.

105. Кондратьев Р.В., Преображенский И.Н. Устойчивость прямоугольной изотропной пластинки с подкреплённым вырезом. Проблемы машиностроения и автоматизации. 2009. № 1. С. 7879.

106. Лебедев A.B. Влияние вырезов на устойчивость прямоугольных упругих пластин при осевом 'сжатии. Вестник Санкт-

Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2009. № 4. С. 77-83.

107. Лебедев A.B. Устойчивость пластин, ослабленных отверстиями. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2009. № 2. С. 94-99

108. Мелехин Н.М. Сравнение численного решения задачи устойчивости пластин с результатами испытаний. Строительная механика и расчёт сооружений. 2009. № 6. С. 12-15.

109. Белова О.Ю., Сысоев Ю.Г. Устойчивость составных пластин с упругими шарнирами. Известия высших учебных заведений. Нефть и газ. 2006. № 2. С. 58-64.

110. Рыжкин А.Е. Устойчивость пластин из полимерных композиционных материалов с учётом жёсткости на кручение опорного контура. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова. 2006. № 27. С. 99-113.

111. Алексеев А.Е. О влиянии поперечного давления на устойчивость пластины. Прикладная механика и техническая физика. 2005. №2. С. 170-178.

112. Товстик П.Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом основании. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2005. № 1. С. 147-160.

113. Сафронов B.C., Туркин И.К., Чан Ба Тан. Об устойчивости неоднородной прямоугольной пластины при осевом сжатии. Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2003. №4. С. 15-19.

114. Каюмов. P.A., Тазюков Б.Ф. Устойчивость изогнутой тонкой упругой пластины, нагруженной поперечной силой. Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2001. № 4. С. 12-15.

115. Андронов В.А. Термоупругая задача устойчивости композит-

ных континуально-дискретных пластин и оболочек. Механика композиционных материалов и конструкций. 1999. Т 5. № 3. С. 3-27.

116. Паймушин В.Н., Иванов В.А. Формы потери устойчивости однородных и трехслойных пластин при чистом сдвиге в тангенциальных направлениях// - Механика композитных материалов. 2000. Т.36. №2. С. 215-228.

117. Паймушин В.Н. Классические и неклассические задачи динамики трёхслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем// Механика композитных материалов. 2001. Т.37. №3. С. 289-306.

118. Паймушин В.Н. Сдвиговая форма потери устойчивости трёхслойного кругового кольца при равномерном давлении//Докл. РАН. 2001. Т.378. №1. С. 58-60.

119. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Уточнённые уравнения среднего изгиба трёхслойных оболочек и сдвиговые формы потери устойчивости//Докл. РАН. 2003. Т. 392. №2. С. 195-200.

120. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Непротиворечивый вариант теории деформаций сплошных сред в квадратичном приближении. Докл. РАН. 2004. Т.396. №4. С. 492-495.

121. Иванов В.А., Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия нетонких трёхслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем и смежные вопросы нелинейной теории упругости//Изв. РАН. МТТ. 2005 №6. С. 113-129.

122. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. О соотношениях теории деформаций в квадратичном приближении и проблемы построения уточнённых вариантов геометрически нелинейной теории слоистых элементов конструкций//ПММ. 2005. Т.69. Вып.5. С. 861-881.

123. Паймушин В.Н., Полякова Т.В. О точных и приближённых решениях задачи устойчивости стержня-полосы с малой сдвиговой жёсткостью при равномерном осевом сжатии. Проблемы прочности и пластичности. 2006. № 68. С. 107-125

124. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. О геометрически нелинейных уравнениях теории безмоментных оболочек с приложениями к задачам о неклассических формах потери устойчивости цилиндра. Прикладная математика и механика. 2006. Т.70. № 1.С. 100-110.

125. Паймушин В.Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и стержней с прямолинейной осью. Прикладная математика и механика. 2007. Т.71. №5. С. 855-893.

126. Паймушин В.Н. Крутильные, изгибные и изгибно-крутильные формы потери устойчивости цилиндрической оболочки при комбинированных видах нагружения. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2007. №3. С. 125-136.

127. Паймушин В.Н. Об уравнениях геометрически нелинейной теории упругости и безмоментных оболочек при произвольных перемещениях. Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. №5. С. 822-841.

128. Паймушин В.Н. Статические и динамические балочные формы потери устойчивости длинной ортотропной цилиндрической оболочки при внешнем давлении. Прикладная математика и механика. 2008. Т.72. №6. С. 1014-1027.

129. Паймушин В.Н. О формах статической и динамической потери устойчивости стержня-полосы при нагружении следящими силами. Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2008. №4. С. 95-106.

130. Паймушин В.Н., Полякова Т.В. Точные и приближённые уравнения статики и динамики стержня-полосы и обобщённые классические модели. Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т.Н. № 1. С. 126-156.

131. Паймушин В.Н., Полякова Т.В. Точные решения задач об из-гибных и поперечно-сдвиговых формах потери устойчивости и свободных колебаний прямоугольной ортотропной пластины с незакреплёнными краями. Учёные записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 2010. Т. 152. №1. С. 181-198.

132. Паймушин В.Н. Теория тонких оболочек при конечных перемещениях и деформациях, основанная на модифицированной модели Кирхгофа-Лява. Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. №5. С. 813-829.

133. Акишев Н.И, Закиров И.И., Иванов В.А., Паймушин В.Н., Шишов М.А. О приближённых аналитических решениях задач устойчивости косоугольных пластин при комбинированных видах нагружения. Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2011. №2. С. 3-7.

134. Паймушин В.Н., Полякова Н.В. Непротиворечивые уравнения теории плоских криволинейных стержней при конечных перемещениях и линеаризованные задачи устойчивости. Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. № 2. С. 303-324.

135. Паймушин В.Н., Гюнал И.Ш., Луканкин С.А. Исследование качества нелинейных уравнений теории упругости на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры (постановка задачи). Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2010. №2. С. 34-37.

136. Паймушин В.Н., Гюнал И.Ш., Луканкин С.А., Фирсов В.А. Исследование качества нелинейных уравнений теории упруго-

сти на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры (алгоритм и результаты численного исследования). Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2010. №3. С. 16-19.

137. Паймушин В.Н., Полякова Н.В. Об устойчивости кольца под действием постоянного по периметру погонного крутящего момента. Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. №6. С. 983-994.

138. Паймушин В.Н., Иванов В.А.; Луканкин С.А., Полякова Н.В., Фирсов В.А., Холмогоров С.А.. Точные аналитические и численные решения задач устойчивости прямого композитного стержня при осевом сжатии с кручением. Механика композитных материалов. 2009. Т.45, № 2. С. 167-200.

139. Луканкин С.А., Полякова Н.В., Холмогоров С.А. Численное исследование неклассических форм потери устойчивости прямых и криволинейных стержней при различных видах их на-гружения и закрепления торцевых сечений. Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек, 2008, С.88-89

140. Булашов Д.А., Луканкин С.А., Холмогоров С.А. Классификация математических моделей многослойных оболочек по геометрическим параметрам. Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева.-Казань, Изд-во Казанск. гос. ун-та, №1, 2008. С.44-48

141. Луканкин С.А., Полякова Н.В., Холмогоров С.А. Численные решения неклассических задач о потери устойчивости плоских криволинейных стержней при различных видах их нагружения и закрепления торцевых сечений. Материалы XV международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред им.А.Г.Горшкова. Т.1, М.: 2009. С. 108-109

142. Карпиков Ю.А., Луканкин С.А., Холмогоров С.А. Численные исследования классических и неклассических форм потери устойчивости прямоугольной пластины, имеющей на одной из кромок подкрепление в виде прямолинейного стержня. Проблемы нелинейной механики твёрдого деформируемого тела: Труды Второй международной конференции. Казань: Ка-зан.гос.ун-т, 2009. С. 254-256

143. Луканкин С.А., Холмогоров С.А. Численные исследование неклассической изгибно-крутильной формы потери устойчивости в композитных плоских криволинейных стержнях. Проблемы нелинейной механики твёрдого деформируемого тела: Труды Второй международной конференции. Казань: Ка-зан.гос.ун-т, 2009. С. 256-258

144. Карпиков Ю.А, Луканкин С.А., Полякова Н.В., Холмогоров С.А. Численное решение задач об устойчивости пластины и шарнирно соединённого с ней прямолинейного стержня. Материалы XVI международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им.А.Г.Горшкова. Т.2. - Ч.: ГУП «ИПК «Чувашия»», 2010. С. 264.

145. Газизуллин Р.К., Карпиков Ю.А., Холмогоров С.А. Численное исследование форм потери устойчивости конструкции пластина-стержень алгоритмами высокого порядка точности. Материалы VII Школы-семинара молодых учёных и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова. Казань: Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН, 2010.- С.350.

146. Газизуллин Р.К., Карпиков Ю.А., Холмогоров С.А. Численное исследование неклассических форм потери устойчивости композитных плоских криволинейных стержней с учётом докри-тических деформаций и углов поворота. Материалы VII Шко-

лы-семинара молодых учёных и специалистов академика РАН

B.Е.Алемасова. Казань: Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН, 2010.- С.369-370.

147. Газизуллин Р.К., Карпиков Ю.А., Холмогоров С.А. Высокоточный алгоритм численного исследования неклассических форм потери устойчивости плоских криволинейных стержней. Материалы VII Школы-семинара молодых учёных и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова. Казань: Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН, 2010.- С.371-372.

148. Луканкин С.А., Карпиков Ю.А., Полякова Н.В., Холмогоров

C.А. Метод интегрирующих матриц в задачах устойчивости плоских криволинейных стержней. Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Т.1. - М.: ООО «ТР-принт», 2011. С.132-133.

149. Луканкин С.А., Паймушин В.Н., Холмогоров С.А. Численное исследование устойчивости тонких оболочек вращения, сопряжённых через кольцевой шпангоут Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Т.1. - М.: ООО «ТР-принт», 2011. С. 157-159.

150. Луканкин С.А., Паймушин В.Н., Холмогоров С.А. Неклассические формы потери устойчивости при растяжении двух со-осных цилиндрических оболочек, соединяемых через шпангоут. Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред им. А.Г.Горшкова., - М: ООО «ТР-принт», 2012 т.2. С. 64-67.

151. Donnel L.H.A. New theory for the buckling of thin cylinders under

axial compression and bending. Trans. ASME, Ser. E, 1934, vol. 56, pp. 795-806.

152. Григолюк Э.И., Кабанов B.B. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек. Итоги науки. Механ. тверд, деформ. тел. 1967. М., ВИНИТИ, 1969.

153. Marguerre К/ Theorie der gekrümmten Platte grosser Formänderung. Jahrb. 1939 deutsch. Lugtfahrforchung. Bd. 1.Berlin, Adlershof Bücherei, 1939, SS. 413-426; Proc. 5th Internat. Congr. Appl. Mech. Cambridge, Mass., 1938. New York, J. Willey and Son, 1939, pp. 93-101/

154. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы - аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Изв. вузов. Авиац. техника. - 1966. - №3. - С. 50-61.

155. Даутов Р.З., Паймушин В.Н. О методе интегрирующих матриц решения краевых задач для обыкновенных уравнений четвёртого порядка // Изв. вузов. Математика. - 1996. - №10. - С. 1325.

156. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Оболочки из стекла. Расчёт напряжённо-деформированного состояния. - М.: Машиностроение, 1993. - 208 с.

157. Паймушин.В.Н. Контактная постановка задач механики оболочек, соединённых по торцевым сечениям плоским криволинейным стержнем. Прикладная математика и механика. 2014. Т.78. Вып. 1. Раздел 3. С.125-143.

158. Иванов В.А., Коноплев Ю.Г., Луканкин С.А., Паймушин В.Н., Саченков A.A., Фирсов В.А., Холмогоров С.А. О численных и точных аналитических решениях задач устойчивости прямого стержня при осевом сжатии с кручением. Материалы XIV международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред

им.А.Г.Горшкова. T.l, М.: 2008. С.100-103

159. Холмогоров С.А., Карликов Ю.А. Численное исследование устойчивости композитной конструкции, состоящей из тонких оболочек вращения, сопряжённых через кольцевой шпангоут. Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011), 25-31 мая 2011г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. С. 432-433.

160. Закиров И.И., Закиров И.М., Луканкин С.А., Паймушин В.Н., Холмогоров С.А. Осреднённые упругие и прочностные характеристики сотового заполнителя теоретико-экспериментальный метод их' определения. Механика композитных материалов. 2012. Т.48. Вып.5. С.511-524.

161. Луканкин С.А., Паймушин В.Н., Холмогоров С.А. О неклассических формах потери устойчивости соединённых шпангоутом цилиндрических оболочек при некоторых видах нагружения. Прикладная математика и механика. 2014. Т.78. Вып.4. С.557-575.

162. Паймушин В.Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике деформируемых твёрдых тел. Труды международной конференции китайско-российской аэрокосмической техники. Northwestern Polytechnical University Press, 2006, С. 20-42.

163. Бадриев И.Б., Паймушин В.Н., Холмогоров С.А. Определение критических нагрузок и форм потери устойчивости составных оболочечно-стержневых конструкций при произвольных видах нагружения // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ: РОСПАТЕНТ, 2014, № 2014619079 от 08.09.2014.