Устойчивость и несущая способность пластин и панелей из слоистых композитов при сжатии и сдвиге тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, доктор технических наук Азиков, Николай Сергеевич

• Азиков, Николай Сергеевич
• доктор технических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор технических наук Азиков, Николай Сергеевич

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Введение

1, Обзор исследований по устойчивости и несущей способности

пластин и пологих оболочек

1.1. Дифференциальные уравнения гибких пластин и пологих

оболочек и методы их решения

1.2. Основные результаты исследований по устойчивости и несущей

способности пластин и пологих оболочек

1.3. Постановка задачи

1.4. Основные соотношения

1.5. Естественные граничные условия 46 2. Слоистые ортотропные пластины и панели с симметричной

структурой

2.1. Устойчивость слоистых ортотропных пластин

2.1.1. Сжатие

2.1.2. Сдвиг

2.1.3. Комбинированное нагружение

2.2. Закритическое деформирование пластин. Решение первого

приближения

2.2.1. Сжатие пластин

2.2.2. Сдвиг ортотропной пластины

2.2.3. Комбинированное нагружение

2.3. Уточненное решение. Анализ применимости решения первого

приближения

2.3.1. Осевое сжатие

2.3.2. Сдвиг

2.4. Устойчивость и несущая способность пологих панелей

2.4.1. Устойчивость панелей

2.4.2. Осевое сжатие

2.4.3. Сдвиг

2.4.4. Комбинированное нагружение

2.5. Закритнческое деформирование панелей. Решение первого

приближения

2.6. Уточненное решение. Анализ применимости соотношений

первого приближения 146 3. Слоистые анизотропные пластины и панели с симметричной

структурой

3.1. Устойчивость слоистых анизотропных пластин

3.1.1. Устойчивость при сжатии

3.1.2. Устойчивость анизотропных пластин в условиях сдвига

3.1.3. Комбинированное нагружение

3.1.4. Влияние числа слоев на критические усилия для анизотропной

пластины

3.2. Несущая способность анизотропных пластин. Решение первого

приближения

3.2.1. Продольное сжатие

3.2.2. Сдвиг

3.2.3. Комбинированное нагружение

3.3. Анизотропные пластины. Уточненное решение

3.4. Устойчивость и несущая способность анизотропных панелей

3.4.1. Устойчивость слоистых анизотропных панелей при сжатии,

сдвиге и комбинированном нагружении

3.4.2. Устойчивость анизотропной панели при сжатии

3.4.3. Устойчивость анизотропной панели при сдвиге

3.4.4. Устойчивость панели при комбинированном нагружении

3.5. Анизотропная панель при закритическом деформировании.

Решение первого приближения

3.5.1. Осевое сжатие анизотропной панели

3.5.2. Панель в условиях сдвига

3.5.3. Панель в условиях комбинированного нагружения 242 3.6. Уточненное решение. Анализ применимости соотношений

первого приближения 246 4. Неоднородные и слоистые пластины и панели с несимметричной

структурой

4.1. Слоистые анизотропные и ортотропные пластины

4.2. Деформирование пластин при сжатии, сдвиге в комбинированном нагружении. Линейное решение

4.2.1. Слоистые ортотропные пластины

4.2.2. Слоистые ортотропные пластины при сжатии

4.2.3. Слоистые ортотропные пластины при сдвиге

4.2.4. Слоистые анизотропные пластины

4.3. Нелинейная задача для слоистой пластины. Решение первого

приближения

4.3.1. Слоистые ортотропные пластины

4.3.2. Слоистые анизотропные пластины

4.4. Слоистые пластины при больших прогибах. Уточненное решение

4.5. Слоистые ортотропные и анизотропные панели

4.5.1. Деформирование пластин при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении. Линейное решение

4.5.2. Слоистые панели. Решение первого приближения

4.5.3. Слоистые панели. Уточненное решение 339 Заключение 349 Литература 351 Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и несущая способность пластин и панелей из слоистых композитов при сжатии и сдвиге»

ВВЕДЕНИЕ

Перспективы развития аэр о космической техники, связанные с разработкой летательных аппаратов с высокой эффективностью в значительной степени связаны с использованием в конструкциях высокопрочных и высокомодульных композитных материалов на основе углеродных, борных и других типов волокон, полимерных, металлических, углеродных и керамических матриц. Качественное отличие композитов от традиционных материалов, в частности, их анизотропия и слоистая структура, приводит к необходимости разработки новых методов расчета, проектирования и изготовления силовых конструкций, учитывающих специфические особенности материала

Подкрепленные и неподкрепленные панели, работающие в условиях сжатия, сдвига и комбинированного нагружения, являются наиболее распространенными элементами обшивки летательного аппарата. В последние годы для изготовления этих элементов все шире используются композитные материалы (композиты). Имеющийся ограниченный опыт внедрения композитных панелей в конструкции летательных аппаратов показал, что закритическое поведение панелей при сжатии и сдвиге трудно прогнозировать существующими расчетными методами, а типичные для композитов локальные разрушения в значительной степени ограничивают выигрыш в эксплуатационных характеристиках композитной панели по сравнению с металлической. Поэтому в настоящее время композиты используются в основном в тонкостенных элементах, работающих до потери устойчивости. Отдельные задачи проектирования композитных панелей, работающих в закритической области, решались в большинстве случаев экспериментальными и численными методами.

Повышение эффективности композитов в конструкциях летательных аппаратов связано с актуальной проблемой создания достаточно простых и надежных аналитических методов расчета композитных панелей после потери устойчивости, позволяющих осуществить оценку несущей способности конструкции в процессе проектирования аналогично тому как это делается при проектировании металлических конструкций.

Настоящая диссертация посвящена разработке прикладного метода определения несущей способности однородных и слоистых ортотропных и анизотропных композитных панелей при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении и оценке устойчивости и несущей способности панелей с различной структурой пакета.

Научная новизна работы определяется предложенным методом решения геометрически нелинейных задач, предусматривающим (1) решение задача на собственные значения, (2) построение на основе собственных форм опорного решения для анализа закритического поведения панели и (3) уточнение опорного решения методом возмущений; прикладным методом определения несущей способности однородных и неоднородных слоистых пластин и панелей при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении; проведенным анализом устойчивости и несущей способности композитных панелей с различной структурой.

Практическая значимость результатов работы определяется полученными прикладными соотношениями и программой, позволяющими находить прогиб панели, распределение деформаций, усилий и моментов в сечениях, распределение деформаций и напряжений в слоях и оценивать несущую способность панели.

Диссертация состоит из четырех глав, заключения и приложений. В первой главе проведен обзор исследований по устойчивости и несущей способности пластин и пологих оболочек, нагруженных в своей плоскости сжимающими и сдвигающими усилиями. Он включает основные публикации начиная с работ И.Г.Бубнова по настоящее время и содержит обзор систем дифференциальных уравнений и методов решения геометрически нелинейных задач для металлических и композитных пластин и панелей. В этой же главе сформулирована постановка задачи и приведены основные исходные соотношения. Во второй главе описывается прикладной метод определения несущей способности слоистых ортотропных композитных пластин и панелей с симметричной структурой при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении.

Третья глава посвящена анализу устойчивости и несущей способности слоистых анизотропных пластин и панелей с симметричной структурой и основывается на полученных во втором разделе результатах. Исследуется влияние степени анизотропии на величины критических и разрушающих усилий. В четвертой главе исследуются слоистые ортотропные и анизотропные пластины и панели с несимметричной структурой при разных видах нагружения. Рассматриваются линейное и нелинейное деформирование, а также проблема бифуркации. В заключении сформулированы основные результаты и выводы. Приложения включают программу расчета на языке PASCAL и акт о внедрении результатов работы.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, докладывались на

■ юбилейной научно-технической конференции, посвященной 125-летию рождения К.Э.Циолковского, Москва, МАТИ, 1982 г.;

■ IV Всесоюзном симпозиуме по механике конструкций из композиционных материалов, Новосибирск, 1982 г.;

■ 80-ом заседании семинара Научного Совета по механике конструкций из композиционных материалов под руководством профессоров Н.А.Алфутова, В.В.Васильева, А.В.Кармишина, Москва, МВТУ, 1984 г.;

Я 33-ем Международном симпозиуме SAMPE, США, Калифорния, 1988 г.;

■ 2-ом Международном симпозиуме по композитным материалам, КНР, Beijing, 1992 г.

Основное содержание работы изложено в 12 публикациях и итоговом техническом отчете по исследовательской программе NCCW-73 "Закритическое поведение композитных панелей и общая модель соединений композитных элементов конструкций", выполненной в рамках сотрудничества между HACA (США) и Госкомоборонпромом (РФ) в области аэронавтики.

Огромную признательность и благодарность автор выражает своему учителю и научному консультанту профессору, члену-корреспонденту РАН В.В.Васильеву.

1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО УСТОЙЧИВОСТИ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

Тонкостенные элементы конструкций в виде гладких и подкрепленных пластин и панелей уже в течение нескольких десятилетий являются объектами многочисленных исследований в области механики твердого тела. Постоянный интерес к такого рода конструкциям связан с их широким использованием в

и W 14

авиационнои, ракетнокосмическои технике и в судостроении. В последние годы помимо традиционных металлических материалов при изготовлении подкрепленных и неподкрепленных панелей получили распространение и композиционные материалы, представляющие собой гетерогенные структуры, образованные сочетанием армирующих элементов и изотропного связующего. Эти материалы обладают целым рядом свойств, делающих их привлекательными для применения в тонкостенных конструкциях. Это прежде всего высокая удельная прочность, в 4-5 раз превышающая удельную прочность стали, титановых сплавов и алюминия; высокая коррозионная стойкость и циклическая прочность [42]. Композиты применяются уже достаточно давно в таких несиловых агрегатах самолетов как носовые обтекатели, створки шасси, элементы интерьера пассажирских салонов. Начиная с 70-х годов наметилась практика применения композиционных материалов в ответственных силовых элементах каркаса планера: панелях крыльев, киля, стабилизаторах, элеронах и т.д. Ф.Пармли [59] приводит примеры применения композитов в поворотном стабилизаторе F-111, стабилизаторах F-14 и В-1. B.L.Riley [144] рассмотрел технологию изготовления композитного кессона крыла вертикально взлетающего самолета. По оценкам E.Heitz [96] применение современных композиционных материалов позволяет уменьшить на 20-28% массу агрегатов и на 20% стоимость изготовления по сравнению с металлическими. За счет снижения массы конструкции удается существенно повысить эффективность эксплуатации гражданских самолетов. В результате применения композитов в элеронах самолетов L-1011, DC-10 удалось снизить массу на 45 кг, что позво-

о

лило в последствий получить годовую экономию топлива в 6300 кг [101]. Применение композитов сдерживается, однако, недостаточным объемом информации об их поведении во всем диапазоне действующих на конструкцию нагрузок.

В настоящем обзоре представлены результаты исследований по проблемам устойчивости, закритического деформирования и несущей способности металлических и композиционных пластин и пологих оболочек, выполненные в основном в 70-90 годах. В обзор не включены публикации по трехслойным конструкциям с легким заполнителем и оболочкам.

1.1. Дифференциальные уравнения гибких пластин и пологих оболочек

и методы их решения

Впервые система нелинейных дифференциальных уравнений теории гибких пластин, включающая уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций, записанные в смешанной форме, была получена А.Фепплем, который использовал для этого геометрически нелинейные зависимости в форме Кирхгофа [27]. В 1910 г. Т.Карман дал теоретический обзор работ по прочности в машиностроении, в котором дополнил первое из уравнений Феппля членом, содержащим цилиндрическую жесткость, и таким образом придал системе нелинейных дифференциальных уравнений в смешанной форме окончательную форму. Система дифференциальных уравнений для конструктивно анизотропных пластин была получена Г.Г.Ростовцевым [68], а для трехслойных пластин с легким заполнителем - Э.Рейсснером [27]. С.СЫа, М.РгаЬЬакага [86] использовали нелинейную систему дифференциальных уравнений типа Феппля-Кармана при исследовании деформирования слоистых пластин с несимметричной по толщине структурой пакета. Система уравнений была дополнена членами, учитывающими влияние несимметричности пакета и включающими смешанные и изгибно-крутильные жесткости. Наряду с системой нелинейных дифференциальных уравнений, записанных в смешанной

IQ

форме, получила распространение система уравнений, записанная в перемещениях. Систему уравнений в перемещениях использовали M.Uemura, О.Вуоп [174] при анализе изменения числа полуволн в продольном направлении в закритической стадии деформирования сжатых длинных металлических пластин. В работах [4]-[9], [79], [176] также использовались уравнения равновесия и функционал энергии, записанные в перемещениях. Sircar R. [160] при исследовании устойчивости и закритического деформирования анизотропных трапецевидных пластин применил метод Бергера, заключающийся в применении вариационного подхода к специально построенному функционалу энергии и сводящий задачу к решению линейного дифференциального уравнения четвертого порядка в частных производных. Arnold R.R.,Parekt J.C. [78] воспользовались функционалом Рейсснера при изучении устойчивости и несущей способности пологих композитных панелей. Материал панели до потери устойчивости считался линейно упругим, а после потери устойчивости -физически нелинейным. Диаграммы растяжения и сдвига аппроксимировались зависимостями Рамбергера-Осгуда. В статье Dost S. [91] получен смешанный функционал, позволяющий точно удовлетворить уравнения равновесия и совместности деформаций. Соотношения упругости удовлетворяются приближенно на основе регрессионной зависимости.

Большой вклад в разработку теории гибких пологих оболочек внесли С.А.Амбарцумян, В.Й.Феодосьев, А.С.Вольмир, В.В.Новожилов, А.И.Лурье,

A.П.Гольденвейзер, Х.М.Муштари, В.З.Власов, К.З.Галимов, Й.Й.Ворович, К.Маргерр, С.П.Тимошенко, ЛДоннелл и другие.

Л.Доннелл записал для нелинейной теории пологих оболочек уравнение совместности деформаций, являющееся обобщением известного уравнения Максвелла [36]. Система дифференциальных уравнений гибких пологих оболочек типа Феппля-Кармана была получена А.С.Вольмиром [27]. С.А.Амбарцумян [16] на основе уточненной теории анизотропных пластин и оболочек получил уравнения для трехслойных гибких оболочек с легким наполнителем, а

B.Ц.Гнуни [32] - нелинейные уравнения слоистых ортотропных пологих

оболочек. R.S.Srinivasan, W.Bobby [162] при исследовании пологих сферических и цилиндрических оболочек использовали уравнения равновесия в перемещениях В.З.Власова

При решении системы дифференциальных уравнений типа Феппля-Кармана применяются различные приближенные методы: вариационные методы; метод Бубнова-Галеркина; метод возмущений; метод последовательных нагружений; метод динамической релаксации; метод конечных разностей; метод конечных элементов и их сочетание.

Наибольшее распространение при решении задачи о геометрически нелинейном деформировании пластин и пологих оболочек получили вариационные методы. Важным шагом в этих методах является выбор координатных функций. При шарнирном опирании кромок пластины прогиб пластины может быть представлен в виде двойного тригонометрического ряда. Впервые такое представление прогиба с последующим использованием метода Бубнова-Галеркина для решения нелинейной задачи осуществил П.А.Соколов [65]. Решение задачи о закритическом деформировании сжатых металлических пластин было получено при трех членах ряда с индексами чисел полуволн ш, п= 11, 13, 31. А.С.Вольмир [27] использовал одночленную аппроксимацию прогиба и метод Бубнова-Галеркина для определения нелинейного поведения сжатой цилиндрической панели. Г.Г.Ростовцев [68] при исследовании поведения конструктивно ортотропных панелей, подкрепленных по контуру упругими ребрами, удерживал в ряде для прогиба пять членов ряда с индексами 11, 13, 31, 15, 51. С.Леви [27] показал, что члены ряда с индексами 33,15, 51 практически не оказывают сколько-нибудь существенного влияния на результат. Помимо двойного тригонометрического ряда используются и другие виды аппроксимации. M.K.Prabhakara, C.Y.Chia [136] построили решение для функции напряжений в виде балочных функций. M.Stein [165] задавал форму прогибав виде произведения

w = w( у) sin (m тих / b)

(->>

Решение задачи в этом случае сводится к численному решению обыкновенных дифференциальных уравнений. J.T.Katsikadelis, M.S.Narantzaki [110] предложили подход, основанный на концепции метода аналоговых решений. Форма прогиба и функция напряжений находились методом граничных элементов для двух несвязанных задач изгиба пластины под действием фиктивной распределенной нагрузки. А.Г.Юрьев, А.З.Хопдокар [74] задавали прогиб пластины в виде частного решения бигарионического уравнения. Kanaka Raju К.,Ventâteswara Rao G. [105] рассмотрели задачу о закритическом деформировании композитных пластин в условиях температурного воздействия. Решение осуществлялось методом Ритца. Минимизация функционала энергии позволила получить разрешающие уравнения, из которых была найдена критическая температура.

Метод возмущений был использован П.Я.Полубариновой-Кочиной [27] для решения задачи о нелинейном деформировании пластины с искривляющимися в плоскости опорного контура кромками. J.Djubek [90], M.Stein, N.Bains [167] применили метод возмущений при решении задачи о закритическом деформировании металлических и композиционных пластин при сдвиге. С.Ellinas, J.Croll [92] использовали метод возмущений при анализе изгибно-крутильной жесткости стрингеров панели после потери устойчивости обшивки. Система дифференциальных уравнений типа Феппля-Кармана заменялась конечно-разностной путем наложения на панель прямоугольной сетки. Для понижения порядка разрешающей системы уравнений был использован метод свертки (method of contraction). Shen Hui-shen, Zhang Jian-wu [157] воспользовались методом возмущений при изучении закритического поведения шарнир но опертой пластины при сжатии. Прогиб пластины и функция напряжений раскладывались в ряд по степеням малого параметра s включая члены с е4. Luongo A.,Pignataro M. [122] применили метод возмущений для анализа закритического деформирования тонкостенной конструкции, составленной из пластин, теряющих устойчивость одновременно по нескольким формам. В статье Huang Xiaoqing, Liang Jiguang [98] использова-

лось сочетание метода возмущений и метода Бубнова-Галеркина при решении геометрически нелинейной задачи о больших прогибах прямоугольных анизотропных пластин,

A.С.Вольмиром [28] получено решение задачи о закритическом деформировании сжатой пластины методом конечных разностей. М.А.Файзул-лина [72] применила метод конечных разностей для исследования деформирования пластин и пологих панелей со сложным контуром, составленным из прямоугольников, при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении. К методу конечных разностей примыкает метод динамической релаксации (dynamic-relaxation method) [148]-[152]. В соответствии с этим методом, нелинейные уравнения Феппля-Кармана дополняются ускоряющими (acceleration) и затухающими (damping) членами, после чего используется явная конечно-разностная схема решения. С помощью метода динамической релаксации были получены решения для пластин с различными граничными условиями, в том числе и для пластины с точечным опиранием в углах. G.J.Turvey, W.H.Wittrick [172] с помощью этого метода исследовали устойчивость и закритическое поведение сжатых цилиндрических панелей с ломаным контуром по длинной стороне.

B.З.Власов и В.В.Петров [61] сформулировали метод последовательных нагружений и применили его для исследования процесса деформирования пологих оболочек вблизи точки бифуркации и при конечных прогибах. Метод последовательных нагружений использовался в работах В.А.Крысько, В.В.Амельченко [47], В.В.Петрова, В.Н.Филатова [62], В.В.Петрова, Л.С.Яковлевой [63]. Другой вариант шагового метода - метод продолжения решения по параметру - был предложен А.А.Курдюмовым [51]. Обзор шаговых методов можно найти в монографии Э.И.Григолюка, В.И.Шалашилина [34]. Рудяк М.В. [69] предложил метод дробных шагов, предусматривающий введение в уравнения Феппля-Кармана членов, зависящих от времени, с последующим использованием метода прогонки. Вариант метода продолжения по параметру

был использован в статье Shin Yung S., HaftkaR.T. [158] при изучении слоистых пластин.

При исследовании закритического деформирования пластин и пологих оболочек получил распространение метод конечных элементов. T.Osamu, A.Hiroyuki [130] использовали метод конечных элементов при решении задачи о больших прогибах квадратной пластины. L.Schmit, F.Bogner, R.Fox [153] разработали новые плоский и оболочечный элементы для решения задач закритического деформирования панелей. Lanzo A.D., Giovanni G., Casciaro R. [119] использовали метод конечных элементов в сочетании с процедурой асимптотического анализа при исследовании пластин после потери устойчивости при комбинированном нагружении. Было отмечено, что асимптотическая процедура более эффективна по сравнению с шаговой. Rohwer К. [145] применил метод конечных элементов при изучении сжатых пластин. Функция перемещений аппроксимировалась с помощью полиномов Эрмита. Метод конечных элементов реализован в ряде вычислительных программ, таких как СУМРАК-80, FASOR, ABAQUS, NASTRAN. M.Scott, S.Craddock, A.Cheung, R.Martin [154] использовали MSC/NASTRAN для анализа сложного закритического поведения панелей элерона транспортного самолета. Biggers Sherrill В., Srinivasan Sundar [82] применили ABAQUS для определения момента потери устойчивости неоднородных пластин при сжатии.

Kurashige Michio [118] применил аппарат теории инкрементальных деформаций Био для решения задачи устойчивости упругой полосы с наклонными осями симметрии. В статье KamiyaN., Sawaki Y., Nak amura Y. [107] рассмотрены устойчивость и закритическое деформирование пластин, находящихся в температурном поле. Интегральные уравнения решаются с помощью метода граничных элементов. Costa J.A., Brebbia С.А. [88] применили метод граничных элементов к задаче устойчивости сжатой пластины.

1.2. Основные результаты исследований по устойчивости и несущей способности пластин и пологих оболочек

Первые фундаментальные исследования по гибким пластинам при больших прогибах принадлежат известному русскому ученому Й.Г.Бубнову [21]. Им было впервые дано теоретическое обоснование расчетов обшивки судов. Рассматривая панель обшивки как прямоугольную пластину закрепленную по контуру, И.Г.Бубнов пришел к важному выводу о необходимости учитывать деформацию срединной поверхности пластины и дал классификацию пластин по характеру напряженного состояния. Позднее он предложил метод расчета корпуса корабля во втором приближении и ввел понятие редукционного коэффициента как отношение критического напряжения к напряжению в краевых волокнах обшивки, прилегающих к стрингерам.

Большой вклад в решение задачи о нелинейном поведении металлических пластин и пологих оболочек после потери устойчивости внесли И.И.Ааре, С.А.Алексеев, П.М. Варвак, А.С.Вольмир, В.М.Даревский, Х.М.Муштари, Г.А.Олейников, П.Ф.Папкович, В.В.Петров, Г.Г.Ростовцев, Б.Й.Слепов, О.И.Теребушко, С.Леви, КМаргерр и многие другие.

Наиболее важным направлением для практического приложения оказались вопросы определения прогибов и напряжений в панелях, испытывающих большие прогибы под действием поперечных нагрузок, изучение закритического деформирования пластин и пологих оболочек при сжатии и сдвиге. П.А.Соколовым [65] было построено решение задачи о закритическом деформировании прямоугольных пластин с различным отношением сторон (а/И 1; 1,5; 2; 3) и получены зависимости для редукционных коэффициентов ф = сгкр/ сгр - критическое напряжение при сжатии; сгр - напряжение у края пластины). Построенные графики позволяют находить величину редукционных коэффициентов путем последовательных приближений. Результаты П.А.Соколова были обработаны П.Ф.Папковичем, которым была получена простая зависимость для редукционного коэффициента

ф = 0,44 + 0,56 • ст^р / (Тр

К.Маргерром [28 ] найдена приближенная формула

Ф = V 1 °р

широко использовавшаяся при проектировании авиационных конструкций. Б.Уа^агс! [175] исследовал несущую способность пластин при комбинированном нагружении с помощью метода конечных элементов. Были построены поверхности прочности и осуществлено сравнение с экспериментальными данными. По результатам исследований была предложена зависимость для редукционного коэффициента, учитывающая влияние поперечного сжатия и сдвига. П.Я.Полубаринова-Кочина [27] получила зависимость прогиба от усилий для пластины с искривляющимися кромками в виде

Ъ = Ъ +1,808

а ?

Здесь <у - параметр, определяющий уровень нагружения.

А.С.Вольмиром [28] при решении этой же задачи (форма прогиба задавалась одним членом ряда) был получен результат

сг = <т +1,44 2

р '

Более поздние исследования И.Т.Комозина и Е.К.Ковалева [41] по нелинейному деформированию пластин с искривляющимися кромками показали, что если прогибы пластины в стадии закритического деформирования невелики ( ъу/Ъ < 0,5 ; И - толщина пластины), искривление кромок незначительно сказывается на нормальных напряжениях в крайних волокнах пластины. С увеличением отношения (Тр / сгКр редукционный коэффициент для пластины с искривляющимися кромками становится значительно меньше редукционного

коэффициента для пластины, кромки которой остаются прямолинейными. Аналогичные выводы были получены в статьях [37], [46]. Г.Г.Ростовцев [68] рассмотрел общий случай продольно-поперечного изгиба пластины, подкрепленной по контуру ребрами. Как частные случаи, из этой задачи получались задача о больших прогибах при поперечной нагрузке (решение совпадало с результатами, полученными Б.И.Слеповым [70] и В.М.Даревским [35]) и задача о закритическом деформировании и несущей способности пластины (решение совпало с решением А.П.Соколова). Подробно было исследовано влияние расположенных по контуру ребер на напряженно-деформированное состояние пластины. Было отмечено существенное изменение в распределении продольных напряжений после потери устойчивости пластины. Так для квадратной пластины в сечении Т= х/а = 0,1 напряжения а в случае учета ребер в 1,31 раза выше напряжений, найденных без учета ребер. ИНюдев, 1.Нап?еу [141] исследовали поведение свободно опертых пластин после потери устойчивости, подкрепленных на контуре опорами, жесткости которых меняются от нуля (случай свободно смещающихся кромок) до бесконечности (случай несмещающихся продольных кромок). Л.Г.Бутакова и В.М.Гончаренко [22] рассмотрели совместную работу ортотропной пластины и жесткого на изгиб ребра при продольном сжатии. Было отмечено качественное отличие по напряжениям вблизи кромок таких пластин от пластин, кромки которых могут скользить вдоль подкрепляющих ребер. И.И.Ааре, С.И.Иднурм [1] получили аналогичный результат при сдвиге. В работах [18], [90], [179] рассмотрено влияние геометрических характеристик сечения ребер на закритическое деформирование пластин. ХЭДиЬек [90] отмечает, что определяющей после потери устойчивости на напряженно-деформированное состояние пластины является площадь сечения ребра а не изгибная жесткость, т.к. ребра, по-существу, остаются прямыми. Однако З.¥е188, О.гапкей [179] отмечают существенное влияние момента инерции ребра как на форму прогиба, так и на распределение напряжений в пластине после потери устойчивости. С.ЕШпав, 1Сго11 [92] показали, что если стрингер

теряет устойчивость из плоскости при сравнительно низком уровне нагружения, то влияние его момента инерции резко уменьшается. Это приводит в свою очередь к резкому снижению общей изгибной жесткости панели и уменьшению величины редукционного коэффициента (р. Н.В.Цехмистрова [73] анализировала поведение защемленной квадратной пластины с одним продольным ребром в середине пролета. Защемление краев значительно уменьшает прогиб, поэтому, как отмечает автор, подкрепление ребрами дает эффект лишь для пластин, обладающих высокой гибкостью (b/h>100 для алюминиевой пластины, где b - ширина пластины; h - толщина). А.Й.Маневичем [53] изучалось влияние взаимосвязи между общей формой потери устойчивости панели как широкой стойки по Эйлеру и местной формой потери устойчивости ребра, рассматриваемого как упруго защемленный в пластине стержень прямоугольного сечения. Николаева Е.И. и Теребушко О.И. [56] учли взаимосвязь двух местных форм потери устойчивости (ребра и пластины между ребрами) с общей формой потери устойчивости пластины.

В монографии Н.А.Алфутова [14] систематезированы критерии устойчивости тонкостенных конструкций и разобраны методы решения задач на собственные значения с использованием этих критериев. В статье М.С.Корнишина, В.В.Рогалевича [44] представлен алгоритм исследования проблем устойчивости и закритического деформирования пластин и панелей переменной толщины, основанный на решении уравнений Феппля-Кармана методом коллокаций. Bargmann Heinz W. [81] воспользовался уравнениями Феппля-Кармана для решения задачи устойчивости пластин при температурном воздействии. Температурное поле и функция прогиба задавались в виде тригонометрического ряда. Критические усилия определялись из условия равенства нулю определителя однородной системы линейных алгебраических уравнений, причем смена знака детерминанта устанавливалась с помощью критерия Сильвестра. В статье Замулы Т.Н., Иерусалимского K.M., КарповаГ.С. [38] приведены результаты параметрического анализа устойчивости и термоустойчивости подкрепленных панелей крыла отсека фюзеляжа при

комбинированном нагружении, выполненные с привлечением метода конечных элементов. Карповым В.В., Квасниковым Ю.Е. [39] проведено исследование влияния деформаций поперечного сдвига на устойчивость пологой оболочки, подкрепленной сеткой ребер прямоугольного сечения. Пологая оболочка рассчитывалась на действие поперечной равномерно распределенной нагрузки. Колодяжным А.П., Копорулиным В.Л. [40] предложена модель закритического поведения подкрепленных продольными ребрами сжатых пластин с учетом нелинейного взаимодействия форм выпучивания. Предлагаемая модель основана на уточненной информации об общих и местных формах потери устойчивости. В статье Михайлова Б.К., Кипиани Г.О. [54] рассматривается задача об устойчивости трехслойной сжатой по контуру пластины, несущие слои которой усилены ребрами жесткости. Онановым Г.Г., Данилиным А.Н. [58] исследована устойчивость сжатой стрингерной пластины. С помощью аппарата обобщенных функций подкрепленная пластина трактуется как пластина переменной (сингулярной) жесткости. Harik I.E., Andrade M.G. [95] решили задачу устойчивости сжатой пластины со ступенчато переменной в одном направлении толщиной методом конечных полос. Сжимающая нагрузка приложена на части контура пластины. В статье Kakol W. [104] исследуется устойчивость и закритическое поведение подкрепленных в одном направлении пластин при одноосном сжатии. Для двух моделей подкрепления - балочной и пластинчатой - вариационным способом с использованием инкрементальной процедуры и метода конечных полос выведены нелинейные уравнения и уравнения устойчивости. В статье Sheinman I., Frostig Y. [156] представлено решение задачи о закритическом поведении подкрепленных слоистых криволинейных панелей, нагруженных по кромкам тангенциальными усилиями. Переменные в нелинейных уравнениях разделяются заданием прогибов в продольном направлении в виде рядов по собственным функциям подкрепляющих балок и их аппроксимацией в поперечном направлении конечными разностями. Й.И. Ааре, С.Н.Иднурм[2] рассмотрели закритическое поведение пластины как балки-стенки, нагруженной сдвигающими и

сжимающими усилиями, распределенными по линейному закону. Были построены поверхности устойчивости, а также кривые амплитуд закритического прогиба. Форма поверхности пластины после потери устойчивости, полученная на основе построенного решения, существенным образом зависит от соотношения действующих на контуре усилий. Аналогичная задача рассматривалась \¥.\Уа1сгак, 3.1акиЬо\¥зЫ [178]. Результаты исследований качественно повторяют результаты работы й.й. Ааре и С.И. йднурма. УПпау О. [177] предложил три последовательные модели взаимодействия балки-стенки и контурных ребер при сдвиге: (1) линейное распределение сдвигающих усилий до потери устойчивости; (2) квадратичное распределение сдвигающих усилий и нелинейное взаимодействие пластины и ребер до момента течения материала; (3) модель диагонального поля до разрушения. Предложенная трехуровневая модель была проверена на эксперименте, который показал хорошее совпадение по двум первым моделям и неудовлетворительный результат по третьей модели.

В статьях [161], [173] изучалась возможность создания оптимальных по общей и местной устойчивости панелей. Ь. йрип! [161] разработал процедуру весовой оптимизации подкрепленной пластины, теряющей устойчивость как широкой стойки. Взаимосвязь между локальной разрушающей нагрузкой и Эйлеровыми критическими напряжениями осуществлялась с помощью приближенного параболического уравнения. Разрушающие напряжения определялись в свою очередь на основе модифицированной теории эффективной ширины. Туег§ааг(! [173] при решении аналогичной задачи воспользовался уравнениями Феппля-Кармана для определения возникающих в подкрепленной пластине напряжений. Оптимизация конструкции выполнялась путем распределения материала между обшивкой и стрингерами с целью достижения максимальной несущей способности. Оценивалось влияние начальных несовершенств на оптимальную панель. В статье Крысько В.А., Бочкаревой Т.А. [48] рассматривалась задача весовой оптимизации ребристой пластины, напряженно-деформированное состояние которой определялось с

С L

учетом физической и геометрической нелинейности. Ребра жесткости располагались симметрично относительно срединной плоскости пластины. В статье Peng Mao-hua, Sridharan Srinivasan [133] изложен алгоритм оптимального проектирования сжатых пластин, подкрепленных ребрами прямоугольного сечения. Авторами учитывались ограничения по устойчивости. Локальные и общие формы устойчивости считались взаимосвязанными. Yamazaki Kouetsu, Aoki Akihiro [180] решали задачу максимизации критического усилия сжатия прямоугольной пластины, подкрепленной сеткой ребер. Использовался метод квадратичного программирования и метод конечных элементов. Исследования показали, что такие панели обладают высокой чуствительностью к начальным несовершенствам. Анализ влияния начального прогиба на деформирование панелей при сжатии провели Николаева Е.И., Теребушко О.И. [56], Alaa М. [76], Ellinas С.Р., Croll J.P. [92], Maewal A., Nachbar W. [123]. Результаты исследований можно обобщить следующим образом: (1) чувствительность к начальным несовершенствам зависит от соотношения геометрических параметров панели; (2) наиболее чувствительными являются панели, спроектированные по условию равноустойчивости; (3) панели, подкрепленные ребрами прямоугольного сечения, более чувствительны к начальным неправильностям, чем панели, подкрепленные ребрами двутаврового или швеллерного сечения.

Помимо пластин и пологих оболочек с прямоугольным контуром рассматривались панели более сложной формы. J. Kennedy[lll], J. Kennedy, NgSimon [112], [113], J. Kennedy, M. Prabhakara [114] провели исследования закритического деформирования металлических и композитных трапецивидных пластин при сжатии. В статье [111] было определено влияние угла скоса пластины на амплитуду закритического прогиба и напряженно-деформированное состояние. Отмечено, что при одном и том же уровне нагружения с увеличением угла скоса амплитуда прогиба уменьшается. Максимальные усилия в пластине распределены вдоль длинных сторон и имеют пики у тупого угла. Однако последующие экспериментальные результаты,

полученные на металлических пластинах с углами скоса 55° и 30° и опубликованные в [112], этого не подтвердили. Результаты замеров показали, что усилия у кромок пластины постоянны. Н.В.Недумов [55] исследовал равнобедренные трапецивидные пластины постоянной толщины с защемленными кромками. Было построено решение для пластин с любыми углами скоса. М.А.Файзуллина [72] провела изучение нелинейного поведения пластин и пологих оболочек со сложным контуром, составленным из прямоугольников, при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении. В отличии от прямоугольных панелей в таких тонкостенных конструкциях сразу возникает моментное напряженное состояние и с ростом уровня нагружения возрастает величина прогиба. Определяющим для пластин и пологих оболочек со сложным контуром является направление действия сдвигающих усилий. Оно влияет как на напряженно-деформированное состояние панелей, так и на величину минимального собственного значения и форму волнообразования. М.С.Корнишин и Ф.С.Йсанбаева [44] исследовали большое число панелей такого типа с помощью метода конечных разностей. О.Тигуеу [171] анализировал устойчивость и закритическое деформирование сжатых пологих панелей, контур которых составлен из двух трапеций, соединенных по длинной ( а>0 ) и короткой ( а<0 ) сторонам. При а=0 контур пологой панели становится прямоугольным. Численные результаты, полученные на основе метода динамической релаксации, позволили оценить влияние угла а. При а>0

рр и

критические усилия сжатия Тх меньше критических усилии сжатия прямоугольной панели, а при а<0 - больше. Аналогичная зависимость получена и для амплитуды закритического прогиба панели. А.В.Куйдин [50] исследовал закритическое поведение защемленной по контуру пластины, у которой толщина меняется по экспоненциальному закону. Решение было получено с помощью методов Власова-Канторовича и коллокаций.

При исследовании поведения сжатых тонкостенных элементов было отмечено, что наряду с потерей устойчивости пластин и панелей, когда форма поверхности меняется от начальной к искривленной, при закритическом

деформирований возможно дальнейшее изменение уже искривленной формы в виде увеличения числа полуволн в продольном направлении. Во многих публикациях, например в [125], [168], [174], для характеристики процесса изменения числа полуволн в закритической стадии деформирования используется термин - вторичное выпучивание (secondary buckling, secondary bifurcation). А.С.Вольмир [27] описал процесс вторичного выпучивания сжатой цилиндрической панели в ходе испытаний. Теоретический анализ изменения формы волнообразования впервые выполнил Г.Г.Ростовцев [66], [67]. Он связал увеличение числа полуволн при сжатии пластин с изменением потенциальной энергии системы. Основываясь на аналогичной гипотезе В.И.Петрашень [60] отметил, что при продольной системе подкрепляющих ребер можно получить значительно более высокие значения редукционных коэффициентов, чем при поперечной схеме подкрепления. А.С.Вольмир [27] использовал величину потенциальной энергии сжатой панели для определения устойчивых форм равновесия в цилиндрических панелях. С.А.Алексеев [13] предложил другой подход к определению момента вторичной бифуркации сжатых пластин. Совместив на одном графике две кривые взаимного сближения нагруженных кромок AU^ ( Тд») и AU^ ( Т^ ) (Т^ - сжимающее усилие; 11, 21 - индексы чисел полуволн в продольном и поперечном направлениях), С.А.Алексеев определил, что при Tjc/T^, > 8,58 величина AU^T^) превышает величину AU^ (Тх ). Кривая редукционных коэффициентов, построенная для т,п = 2,1, при определенном уровне нагружения лежит ниже кривой, соответствующей m,n = 1,1. А.А.Евстратов [37] показал близость результатов по величинам взаимного сближения нагруженных кромок, найденным с помощью энергетического, матричного методов и метода последовательных приближений. Он также определил усилия вторичного выпучивания путем сравнения уровней потенциальных энергий двух смежных форм равновесия. В последнем случае Тх^ 3,28 Т^ для пластины с прямыми продольными кромками и Т^ = 6,22 Т^ для пластины с искривляющимися продольными кромками. И.Й.Воровичем [29] показана аналогия в поведении

пластины и стержня, а именно то, что каждому уровню потенциальной энергии пластины после потери устойчивости соответствует конечное число равновесных форм, на которых этот уровень достигается. Продолжением исследований И.Й.Воровича можно считать публикацию В. Maewal, W.Nachbar [123], доказывающую, что для свободно опертой прямоугольной пластины таких равновесных форм девять. Анализ форм выявил четыре устойчивых решения и пять неустойчивых. Еще одно объяснение вторичного выпучивания предложил W.J.Supple [169]. Он использовал анализ сопряженных и несопряженных форм выпучивания и считал, что увеличение числа полуволн в продольном направлении связано с геометрическими размерами пластины и наличием начальных несовершенств. G.Stroebel и W.Warner [168] предложили исследовать процесс закритического деформирования на основе модифицированных уравнений Феппля-Кармана, дополненных инерционным и диссипа-тивным членами. Т. Nakamura, К. Uetani [125], М. Uemura, О. Вуоп [174] использовали при анализе устойчивости равновесных состояний знак второй вариации потенциальной энергии. T.Nakamura и K.Uetani исследовали форму закритической поверхности длинных металлических пластин ( а/Ь»1 ) со свободно смещающимися и несмещающимися продольными кромками. Авторами отмечено, что точки вторичного выпучивания принадлежат классу точек симметричного ветвления. М.Uemura и О.Вуоп определили усилия вторичного выпучивания, однако точки, по которым построены кривые усилий, имеют значительный разброс, зависящий от числа членов в тригонометрическом ряде для прогиба w. Holder Е. J., Schaeffer D. [97] анализировали устойчивость характеристик деформирования пластин после потери устойчивости и вторичного выпучивания основываясь на уравнениях Феппля-Кармана и теории Ляпунова-Шмидта. Было отмечено, что уравнения Феппля-Кармана позволяют предсказывать вторичную бифуркацию только для пластин со смешанными граничными условиями - шарнирное опирание по продольным кромкам и защемление по нагруженным краям.

Как уже отмечалось, применение композиционных материалов в тонкостенных авиационных конструкциях потребовало решения ряда важных для практического использования задач. Одной из основных задач было и остается создание оптимального распределения материала по объему агрегатов планера и получение высокой удельной прочности и жесткости при минимальном использовании материала. В разработку методов проектирования и расчета конструкций из композиционных материалов внесли С.А.Амбарцумян, Н.А.Алфутов, Г.А.Ванин, В.В.Васильев, А.Н.Елпатьевский, В.А.Бунаков, Н.В.Баничук, В.Й.Королев, Я.М.Григоренко, Й.Ф.Образцов, ПАЗиновьев, С.ЕСухинин, В.ДПротасов, Ю.В.Немировский и другие.

С поиском оптимального распределения материала неразрывно связаны проблемы устойчивости и несущей способности композитных пластин и пологих оболочек. В монографиях В.В.Васильева [24], И.Ф.Образцова, В.В.Васильева, В.А.Бунакова [57], ОЬгаг1воу УаэШеу У.У. [129], Н.А.Алфутова, П.А.Зиновьева, Б.Г.Попова [15] сформулированы теоретические основы проектирования оптимальных композитных конструкций, найдены важные для практического приложения оптимальные структуры укладки волокон цилиндрических оболочек, баллонов давления, панелей и других конструкций. Н.В.Баничук, В.В.Кобелев, Р.Б.Рикардс [19] определили оптимальные конструктивные решения для оболочек вращения, подкрепленных спирально-винтовой системой ребер, тороидальных оболочек, образованных намоткой нитей, пластин из материала с текстурой.

А.А.Буштырков [23] исследовал устойчивость и закритическое напряженно-деформированное состояние квадратной пластины из стеклопластика при одноосном сжатии. Теоретические результаты сравнивались с экспериментальными, полученными на основе испытаний стекло пластиковых пластин толщиной Ь = 10 3 т. Одновременно были найдены значения редукционных коэффициентов. С.А.Корзон [43] исследовал влияние жесткостных характеристик на амплитуду закритического прогиба пластины

при сжатии. Аналогичная задача рассмотрена в статье М. Stein [165], где оценивалось влияние двух параметров

на деформации и кривизны. Если для критических усилий определяющим параметром является величина т], то в закритической стадии деформирования пластины влияние параметров (3 и т] на деформации и кривизны становится соизмеримым, а при некоторых структурах пакета и уровнях нагружения влияние параметра |3 становится определяющим. Э.М.Гинесина [31] изучала большие прогибы ортотропных пластин с несмещающимися продольными кромками при поперечном давлении. Задача решалась методом конечных разностей. Было показано, что для сравнительно толстых пластин ( h/b » ОД ) при незначительном нагружении расчет пластин можно производить в геометрически линейной постановке. В статье Васильева В.В., Войткова Н.И. [25] при исследовании проблемы устойчивости композитных пластин показано влияние эффекта несмещающихся продольных кромок на величины критических усилий сжатия. Сжатые в осевом направлении пластины с такими кромками находятся, по-существу, в условиях двухосного сжатия, и этот эффект тем сильнее проявляется, чем выше параметр т]. Prabhakara М.К. [135], Prabhakara М.К., Chía C.Y. [136] исследовали влияние геометрических и жесткостных свойств пластин из стеклопластика, боропластика и углепластика на амплитуду прогиба и изгибные напряжения при различных сочетаниях продольного сжатия и поперечного давления. В более поздней статье [137] была рассмотрена слоистая пластина с ограниченным числом слоев в поперечном пакете ( к<6 ) при двухосном сжатии. Были найдены зависимости w/h = f(T,,,Ty) для анизотропной пластины с углами армирования слоев <р = +45° и ортотропной с углами армирования tp=±45°, показавшие, что критические усилия и закритические прогибы анизотропных пластин хуже аналогичных величин ортотропных пластин. Сравнение безразмерного прогиба w/h при

3>« » ¿ Ъзз

одинаковом уровне нагружения для пластин с <р = 0°, 15°, 30°, 45° позволило сделать вывод о том, что по мере увеличения числа слоев амплитуда прогиба уменьшается. J.Kennedy, M.K.Prabhakara [114], K.Pandalai, V.Sathyamoorthy [131] исследовали закритическое деформирование сжатых ортотропных косоугольных пластин, защемленных по всем сторонам. В статье [114] использовался метод малого параметра, в статье [131] - метод Бубнова-Галеркина при одночленной аппроксимации функции прогиба. Y.Zhang, F.L.Matthews [181] изучали закритическое деформирование однородных анизотропных пластин при сжатии и сдвиге. При анализе сходимости решения по числу членов ряда для прогиба w показано, что учет 25 членов ряда дает приемлемый результат. При действии на пластину сдвигающих усилий найдены зависимости А = ) и А = f(-T,ey) и отмечено: для для анизотропных

пластин не выполняется условие безмоментного опирания ( D15 Ф D25 Ф 0 ) и величина критического усилия сдвига зависит от направления действия сдвигающего усилия. Авторы отмечают, что наилучшими характеристиками обладают пластины, слои которых при сдвиге растягиваются. Li Shu-guang [120] рассмотрел устойчивость ортотропной пластины при двухосном сжатии. Задача решалась при одночленной аппроксимации функции прогиба с неопределенными числами полуволн m,n. Найдены зависимости для чисел полуволн, определяемые через изгибные жесткости пластины. В статье Danielson К.Т., Tielking J.T. [89] методом Релея-Ритца найдено решение для сжатой композитной пластины с несимметричной структурой пакета при разных граничных условий. Установлено значительное влияние последних на прогиб пластины. Й.П.Гетман, Ю.А.Устинов [30] исследовали нелинейное поведение слоистых пластин. Было отмечено, что для таких пластин существует нижняя критическая нагрузка и, в отличии от ортотропных пластин, направление прогиба зависит от структуры поперечного пакета. При равной толщине слоев пластина теряет устойчивость в направлении жесткого слоя с большим модулем упругости. D.Bruno, S.Lato, E.Sasso [83] выполнили анализ потери устойчивости и исследовали геометрически нелинейное поведение

сжатой бимодульной слоистой композитной пластины. Для решения задачи использовались теория согласованных малых деформаций и умеренных вращений для пластин Миндлина. В статье Carrera Erasmo [84] изучалось нелинейное поведение слоистых пластин с несимметричной структурой пакета при сжатии. Qiao Zong-chun [140] использовал для решения уравнений Феппля-Кармана итерационную процедуру. Были найдены характеристики нелинейного закритического деформирования с восходящими равновесными ветвями для квадратных пластин при двухосном сжатии. В статье M.S.Qatu, A.W.Leissa [139] с помощью метода конечных элементов оценивалось влияние несимметрии поперечного пакета на поведение слоистых пластин при сжатии и сдвиге. Были определены области существования бифуркационной потери устойчивости и отмечено, что для таких пластин потеря устойчивости не всегда реализуется из-за связи мембранных и изгибных деформаций. Engelstad S.P., Reddy J.N., Knight N.F. [93] исследовали закритическое поведение углепластиковых пластин при осевом сжатии. Задача решалась с помощью метода конечных элементов и метода Ньютона-Рафсона. Нагруженные кромки пластины считались защемленными, а продольные - шарнирно опертыми. Были определены критические усилия и формы потерявшей устойчивость пластины. Напряженно-деформированное состояние и несущая способность после потери устойчивости углепластиковой панели при сдвиге определялись в статье Taki Toshimi, KitagawaToraohiro [170]. При решении использовался метод конечных полос. Singh S.B. и Kumar Ashwini [159] исследовали несущую способность слоистой композитной пластины при сжатии и сдвиге. В качестве критерия прочности слоев в закритической стадии деформирования использовался критерий Тзан-Хилла и Хашина. В статье Chian Le-Chung, Wu Teng-Yuan [87] оценивалось влияние межслоевого сдвига на устойчивость и закритическое деформирование слоистых пластин. Задача решалась с помощью метода конечных элементов. Johnson E.R., HaftkaR.T. [102] применили метод Койтера и метод возмущений для исследования деформирования сжатых слоистых пластин с несимметричной структурой пакета вблизи точки бифуркации. Для

углепластиков ой пластины построена характеристика деформирования с неустойчивой равновесной ветвью в закритической стадии. Arnold R.R., Mayers I. [77] изучали устойчивость и закритическое поведение слоистых композитных пластин. Материал считался физически нелинейным и описывался с помощью модели Рамберга-Осгурна. Для оценки несущей способности пластины был использован критерий максимальных деформаций. В статье Hui D. [99] рассмотрена задача устойчивости слоистых пластин с несимметричной структурой поперечного пакета при сдвиге. Были изучены симметричная и кососим-метричная формы потери устойчивости и в рамках теории Койтера исследована начальная закритика. Joshi S.P., Iyengar N.G.R. [103] искали оптимальную структуру укладки слоев в сжатой композитной пластине. Углы армирования и толщины слоев, обеспечивающие максимальное значение критического усилия, находились с помощью метода штрафных функций. В статье Nakagiri Shigeru, Takabatake Hideyuki [142] аналогичная задача решалась путем использования матрицы Гесса и метода конечных элементов.

Теоретические исследования по нелинейному деформированию пластин и пологих панелей нуждаются в экспериментальном подтверждении в отношении напряженного состояния и несущей способности. А.С.Вольмиром [27] проведены испытания прямоугольных алюминиевых панелей с отношением сторон = 2. В ходе экспериментов было подтверждено теоретически найденное распределение напряжений. P.Sharman, J.Humpherson [155] определяли прогибы прямоугольных свободно опертых пластин при сжатии и равномерном давлении. В статье Lind N.C., Ravindra M.К., Sehorn G. [121] на основе обработки большого количества испытаний стальных пластин предложена эмпирическая зависимость для оценки несущей способности металлических панелей. J.Rhodes, J.Harvey, W.Fok [143] провели большую серию испытаний пластин с начальными несовершенствами со свободно опертыми и защемленными краями. Были определены прогибы и найдены редукционные коэффициенты в зависимости от уровня начального прогиба. L.Ivanov, S.Rousev [100] при обработке экспериментальных значений

редукционных коэффициентов использовали статистический метод. Karnikova I., Skaloud М., Janus К. [108] провели экспериментальные исследования устойчивости стальных подкрепленных продольными ребрами пластин при действии кусочно-распределенной краевой сжимающей нагрузки. Установлено, что наибольшее влияние продольных ребер на несущую способность пластин имеет место в случае их постановки вблизи областей нагружения. Эксперименты по определению несущей способности подкрепленных пластин были также выполнены KishidaM., Fujieda Y., Fujii К. [115] и Kitada Т., Nakai Е, FurutaT. [ 116].

N.Popescu-Castellin [134] использовал пластиковую модель для определения формы поверхности и амплитуды прогиба пластины при сжатии. Приспособление имитировало шарнирное опирание с несмещающимися продольными кромками. В статье Agarwai В. [75] показано экспериментальное распределение напряжений по высоте композитной балки-стенки после потери устойчивости от сдвига и изгиба. W.Banks, J.Harvey [80] провели испытания ортотропных прямоугольных пластин при осевом сжатии. Было выполнено сравнение теоретических и экспериментальных результатов по кривым взаимного сближения нагруженных кромок, величинам максимального прогиба и эпюрам мембранных и изгибных напряжений. В статье Chai G.B., Banks W.M., Rhodes J. [85] представлены результаты испытаний углепластиковых пластин. Были получены величины критических усилий и найдено распределение усилий после потери устойчивости при отсутствии расслоений и при их наличии. Rouse М. [147] провел испытания углепластиковых пластин при сдвиге. Были определены критические усилия сдвига, а также проанализировано деформирование пластин после потери устойчивости. D.R. Fowler, D.A. Newton [94] провели исследования трехфазных композитных пластин с несимметричным пакетом. В статье G.Romeo [146] представлены результаты испытаний подкрепленных композитных панелей при сжатии и изгибе. Общая устойчивость панели определялась на основе устойчивости стрингеров, а местная - на основе обшивки. J.H.Starnes, М.Rouse [163] испытывали

квадратные пластины из углепластика при осевом сжатии. Поперечный пакет включал 16 и 24 слоя. Приспособление имитировало защемление по нагруженным краям и шарнирное опирание по продольным краям. Были найдены критические и разрушающие усилия. S.P.Engelstad, J.N.Reddy, N.F.Knight [93] обработали результаты, представленные в статье [163], с целью определить наиболее адекватный критерий прочности. В качестве возможных рассматривались критерий максимальных напряжений и критерий Цая-Ву. В результате сравнения с экспериментальными данными было установлено, что критерий максимальных напряжений дает верхнюю оценку несущей способности, а критерий Цая-Ву - нижнюю оценку. Теоретические и экспериментальные результаты по углепластиковым пластинам представлены в статье А.К. Noor, J.H. Starnes, W.A. Water [128]. При решении поставленной задачи использовалась конечно-элементная модель. Теоретические значения критических усилий отличались от экспериментальных в пределах 10%. Разрушающие усилия составляли величину Тх = (2,11 - 5,0) Т* .В статье представлены фотографии поверхностей пластин после потери устойчивости. B.E.Kaminski, J.E.Ashton [106] провели испытания бороэпоксидных пластин при сдвиге. Были найдены критические и разрушающие усилия для пластин со

u w и и ТЧ

структурой пакета, соответствующей однородной анизотропной. В ходе экспериментов получены результаты, подтверждающие влияние направления действия сдвигающих усилий на величины критических усилий сдвига анизотропных пластин. В статье Shahrokh Parhizgar [132] исследовалась слоистая полоска со структурой пакета 0°/90°. Было отмечено, что традиционный подход к снятию жесткостных параметров может привести к существенному искажению конечных результатов. Форма поверхности полоски после формования значительно отличается от плоской, и попытка растяжения полоски сопровождается возникновением изгибающего момента у нагруженных краев.

1.3. Постановка задачи

Диссертационная работа посвящена разработке прикладного метода определения несущей способности однородных и неоднородных слоистых ортотропных и анизотропных композитных пластин и панелей при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении.

В общем случае задача ставится следующим образом:

- для заданных размеров панели, структуры пакета обшивки, материалов слоев и нагрузки определяется величина критического усилия;

- если нагрузка превышает величину критического усилия, определяется амплитуда прогиба, деформации и напряжения пакета и деформации и напряжения каждого элементарного слоя;

- уровень действующих напряжений сравнивается с уровнем разрушающих напряжений в соответствии с заданным критерием прочности для каждого слоя во всех сечениях и выделяется наиболее нагруженный слой;

- устанавливается величина разрушающей нагрузки.

Предлагаемый прикладной метод анализа закритической деформации предусматривает решение задачи в три этапа. На первом этапе прогиб пластины (панели) задается в форме двойного тригонометрического ряда и осуществляется решение задачи на собственные значения, в результате которого находится спектр собственных значений и соответствующих им собственных форм. Минимальное собственное значение определяет критическое усилие, а соответствующая форма используется на втором этапе расчета для аппроксимации закритической формы прогиба пластины (панели). Прогиб представляется в виде произведения неизвестной амплитуды и собственной формы. Уравнение относительно неизвестной амплитуды прогиба следует из принципа минимума полной энергии. В результате задача сводится к решению алгебраического уравнения второй степени (для однородных пластин) или третьей степени (для неоднородных пластин). По построенной зависимости "усилие-амплитуда прогиба" определяется напряженное состояние в каждом слое для всех сечений и устанавливается наиболее нагруженный элементарный

слой. Интенсивность действующих напряжений сравнивается с уровнем разрушающих напряжений в соответствии с критерием прочности слоя. Отметим, что анализ закритического деформирования пластины (панели) на этом этапе учитывает возможную перестройку системы волн деформированной поверхности (вторичную бифуркацию). Полученное приближенное решение сопоставляется с экспериментальными результатами. На третьем этапе расчета строится уточненное решение, основанное на методе возмущений. При этом в качестве опорного принимается приближенное решение, полученное на втором этапе. Дополнительные перемещения, задаваемые в форме двойных тригонометрических рядов, считаются малыми, что позволяет осуществить линеаризацию исходных соотношений. В результате задача сводится к решению связанной системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд дополнительного перемещения. Уточненное решение находится в результате суперпозиции основного и дополнительного состояний.

1.4. Основные соотношения

Рассмотрим прямоугольную композитную панель свободно опертую по контуру на ребра и нагруженную в своей плоскости усилиями Тх, Ту , Тху (рис.1.1). Ребра обладают конечной жесткостью на сжатие или растяжение и бесконечной жесткостью при изгибе из плоскости панели. Панель может быть плоской или пологой, причем коэффициенты первой квадратичной формы координатной поверхности пологой панели совпадают с коэффициентами плоскости, а главные кривизны к = 1/Р , к = 1/й будем считать постоянными. Координатную по-

113 2

верхность расположим по середине толщины панели (рис.1.2).

Запишем геометрически нелинейные соотношения между деформациями панели ех, е , е и перемещениями координатной поверхности и, v, уч

е

ЭИ V? - + —

И.

эх

+

ЗЭД ^ 2

1

2

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Азиков, Николай Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные результаты и выводы.

1. Построен приближенный метод исследования нелинейного поведения слоистых ортотропных и анизотропных пластин и панелей, нагруженных сжимающими и касательными усилиями.

2. Получены прикладные соотношения, определяющие прогиб пластины и панели, распределение деформаций, усилий и моментов, а также напряжений по толщине пакета в зависимости от структурных параметров композиционного материала и нагрузки, учитывающие возможную вторичную бифуркацию и удовлетворительно согласующиеся с опубликованными экспериментальными результатами по металлическим и однородным ортотропным пластинам.

3. Установлено, что сжатые в одном направлении однородные композитные пластины и панели, поперечные деформации которых стеснены подкрепляющим набором или смежными панелями, вследствие эффекта Пуассона, существенного для ряда композитных структур, теряют устойчивость и деформируются в закритической области в условиях двухосного сжатия.

4. Выполнен структурный анализ влияния числа слоев с углами армирования +ф и -ф на критические усилия сжатия и сдвига и установлены параметры, при которых структуру пакета можно считать однородной анизотропной или однородной ортотропной.

5. Исследовано влияние угла армирования слоев на критические и разрушающие усилия однородных ортотропных и анизотропных пластин и панелей. Отмечено, что тонкостенные элементы, структура материала которых выбрана из условия максимума критического усилия, не являются оптимальными в и ** и» отношении несущей способности, т.е. проектирование композитных панелей целесообразно осуществлять на основе анализа их закритического поведения.

6. Отмечено, что для анизотропных пластин и панелей помимо жесткостных параметров пакета существенное влияние на минимальные собственные значения и разрушающие усилия оказывает направление действия касательных усилий. Наивысшими характеристиками обладают пластины и панели, в которых волокна находятся в условиях растяжения.

7. Сравнение пластин и панелей с симметричной и несимметричной структурами расположения слоев показало преимущество первых как по минимальным собственным значениям, так и по несущей способности.

8. Установлено, что в пластинах и панелях с несимметричным пакетом напряженное состояние носит моментный характер и эффект потери устойчивости если и имеет место, то при нагрузках, отличных от минимальных собственных значений. Расчеты такого рода тонкостенных элементов вблизи точек бифуркации целесообразно проводить на основе нелинейных соотношений.

9. На основе полученного приближенного решения и метода возмущений построен уточненный метод анализа нелинейного деформирования слоистых пластин и панелей при сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении, согласно которому задача сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений относительно амплитудных значений дополнительных перемещений. Реализация метода на ЭВМ позволила численно оценить его сходимость и рекомендовать для практического использования приближенные соотношения напряженно-деформированного состояния слоистых панелей.

10. Полученные результаты использованы для расчета перспективной конструкции летательного аппарата из композиционных материалов. зы

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Азиков, Николай Сергеевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1 Ааре И.М. Исследование работы опертой панели тонкостенной металлической балки в послекритической стадии.-Таллинн:Тр.Тал-линск.Политехи.ин-та, 1968,А,N259,-с.29-38.

2 Ааре И.И.,Иднурм С.И. Расчет пластинок,нагруженных сдвигом, изгибом и сжатием в послекритической стадии.-Таллинн:Тр.Таллинск. политехи.ин-та,1968,А,N269,с.19-31.

3 Азиков Н.С. Расчет односторонне подкрепленных пластин на устойчивость.В сб."Создан.летат.апп-тов и их двигателей".- М:МАИ, 1980,-с.45-47.

4 Азиков Н.С. Исследование устойчивости и закритического поведения анизотропных пластин при сдвиге. -Механика тв.тела,1992, Мб,-с.66-71.

5 Азиков Н.С. Закритическое деформирование композитных пластин при сдвиге. Механика армированных пластиков.-Рига:Рижский техн. уни-т,1991,-с.б9-78.

6 Азиков Н.С. Определение несущей способности композитных панелей при сжатии. -Рига:Механика композитных материалов, 1991, N5, с.831-838.

7 Азиков Н.С.»Васильев В.В. О редукционном коэффициенте для сжатых ортотропных прямоугольных пластин.- В кн.: Механика композитных материалов. -Рига:Рижск.политехи.ин-т, 1882,вып.5,-с.75-82.

8 Азиков Н.С.»Васильев В.В. Исследование закритического деформирования и несущей способности сжатых пластин из композиционных материалов. Сб.трудов IV симпозиума по механике конструкций из композиционных материалов.- Новосибирск,1984,-с.110-114.

9 Азиков Н.С.,Васильев В.В. Устойчивость и закритическое поведение сжатых композитных панелей. -Механика твердого тела,N5,1986, с. 152-158.

10 Азиков Н.С.,Васильев В.В.,Патерекас А.Д. Устойчивость композитных панелей при сжатии и сдвиге.-Рига:Механика композитных материалов,1990, N2, -с.351-353.

11 Азиков Н.С.»Васильев В.В. Сжатие слоистых ортотропных пластин с несимметричной структурой. -М.¡Механика твердого тела, 1992, N4, -с.157-162.

12 Азиков Н.С. Устойчивость и прочность слоистых композитных пологих оболочек при сдвиге. -В сб."Новые материалы и технологии машиностроения (,-М. :МАТИ, 1992, -с.45.

13 Алексеев С.А. Послекритическая работа гибких упругих пластинок. -Прикладная математика и механика, 1956,20,Мб,с.673-679.

14 Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1991.- 336с.

15 Алфутов H.A.,Зиновьев П.А.,Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов.-М.¡Машиностроение, 1984.-44бс.

16 Амбарцумян С.А. К терии изгиба анизотропных пластинок и пологих оболочек.-ПММ,1960,т.24,вып.2,-е.350-360.

17 Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.:Наука, 1974.-446с.

18 Бабицкий Э.Т. 0 закритическом равновесии панели двухтавровой балки при изгибе. -М.гТр.МДДИ, 1976, вып.124,-с.118-126.

19 Баничук Н.В.,Кобелев В.В.,Рикардс Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов.-М.¡Машиностроение, 1988.-224с.

20 Болотин В.В..Новиков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980.-375 с.

21 Бубнов М.Г. Труды по теории пластин. -М.:Гос.изд.техн.-теор. лит.,1953.-428 с.

22 Вутакова Л.Г.,Гончаренко В.М. О закритическом деформировании прямоугольных и круглых ортотропных пластин. -Вильнюс:Сб.Всесоюзн. конф.по пробл. устойч.в строит.механике, 1967.¡Тезисы докл., 1967, -с.53.

23 Буштырков A.A. Закритическое напряженно-деформированное состояние квадратной ортотропной пластины из стеклопластика. -Механика полимеров, 1967, N3,-с.544-552.

24 Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов . -М.: Машиностроение,1988,-270с.

25 Васильев В.В.,Войтков Н.И. Устойчивость слоистых ортотропных пластин, сжатых в одном и двух направленияхх.-РТМ: Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционыых материалов, -вып.VIII, ЦАГИ, -1981, -с.28-34.

26 Воеводин В.В.,Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М.¡Наука, 1984.-320с.

27 Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. -М.¡Гос.изд.техн. -теор.лит.,1956.-419с.

28 Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем.- М.¡Наука, 1967.-983с.

29 Ворович И.М. О поведении пластин произвольной формы после потери устойчивости. -Ленинград.* Сб.Проблемы механики твердого деформ. тела. Судостроение, 1970, -с.113-119.

30 Гетман И.П.,Устинов Ю.А. Устойчивость и закритическое поведение слоистых пластин. -Прикладная механика, 1979, т.15,-N10, -с.89-96.

31 Гинесина Э.М. Расчет прямоугольных пластин из стеклопластика при поперечном изгибе с учетом геометрической нелинейности при несмещающихся кромках. -Изв.высших учебн.завед. Строительство и архитектура, 1966, N3, -с.74-78.

32 Гнуни В.Ц. Об устойчивости несимметрично собранных слоистых анизотропных гибких оболочек.-Изв.АН Арм.ССР. Серия физ.-матем. наук, 1962,т. 15,Ю,-с.29-Зб.

33 Гольденблат И.И.Допнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. - М.:Машинстроение, 1968.-190с.

34 Григолюк Э.И.,Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. ~М.:Наука,1988.-232с.

35 Даревский В.М. Изгиб прямоугольной пластины средней толщины. -М.:Труды ЦАГИ, N297, 1936.

36 Доннелл Л.Г. Балки,пластины и оболочки: Пер.с англ.-М.: Наука, 1982.-568с.

37 Евстратов A.A. Об исследовании работы гибких пластинок методом конечных разностей. -Изв.высших учебн.завед. Строительство и архитектура, 1977,N5,с.39-44.

38 Замула Г.Н., Иерусалимский K.M., Карпова Г.С. Исследование устойчивости и термоустойчивости сложных подкрепленных конструкций.- Уч. зап. ЦАГИ, 1989, т.20, N4, -с.84-97.

39 Карпов В.В., Квасников D.E. Влияние деформаций поперечного

сдвига на устойчивость ребристых оболочек. - Исслед. по мех. строит, конструкций и матер. -Л., 1989. С. 10-12.

40 Колодяжный А.П., Копорулин В.Л. Уточненная модель закритичес-

кого поведения продольно подкрепленных пластин с учетом нелинейного взаимодействия форм выпучивания.- Гидроаэромех. и теория упругости. Мат. методы в теории упругости и гидроаэромех. - Днепропетровск, 1988. С. 88-96.

41 Комозин И.Т.,Ковалев Е.К. Закритические деформации шарнирно опертой пластины с кромками, искривляющимися в плоскости опорного контура. -Изв.высших учебн.завед.Строительство и архитектура,

1975» N8, -с.31-33.

42 Композициошые материалы: Спр-к под общей ред.Васильева В.В., Тарнопольского Ю.М. -М.: Машиностроение, 1990.-512с.

43 Корзон O.A. Послекритическое поведение анизотропных пластин. Сб.трудов Ленингр.инж.-строит.ин-та, 1975, вып.7, -с.54-62.

44 Корнишин М.С.,Мсанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. -М.: Наука, 1968.-260с.

45 Корнишин М.С.,Рогалевич В.В. Об устойчивости и закритическом поведении прямоугольных пластин и цилиндрических панелей переменной толщины.-Изв.ВУЗов.Стр-во и архит.,1985,N8,-с.39-43 -

46 Кривошеин И.В. Исследование несимметричных форм потери устойчивости гибких пологих панелей и пластин.-Саратов:Сб.Прикл. теория упругости, вып.1,1977, с.3-9.

47 Крысько В.А.,Амельченко В.В. Расчет гибких ортотропных пластинок методом Власова-Канторовича на ЭВМ.-Техн.терегги угрунда. За техн.прогресс, 1967, N1,с.9-11.

48 Крысько В.А., Вочкарева Т.А. Оптимальное проектирование ребристых прямоугольных пластин с учетом физической и геометрической нелинейностей. - Температур, задачи и устойчивость пластин и оболочек. - Саратов, 1988. С. 119-122.

49 Кун П. Расчет на прочность оболочек в самолетостроении. -М.: Оборонгиз, -1961. -306с.

50 Куйдин A.B. Закритическое поведение защемленной по контуру прямоугольной пластины переменной толщины. -Чита: Читин.политехи. ин-т,-1986,9с.(деп. в ВИНИТИ No.1908-В.Деп.от 20.03.86).

51 Курдюмов A.A. К теории физически и геометрически нелинейных задач изгиба и устойчивости пластин и оболочек.-Ленинград: Тр.Ленингр.кораблестроит.ин-та,1961,вып.34,-с.55-62.

52 Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.-М.:Гостехиздат,1957.463с.

53 Маневич A.M. Связанные формы потери устойчивости подкрепленной тонкой панели. -Днепропетровск:Сб.Гидромеханика и теория упругости, ДГУ, 1976, вып.20.

54 Михайлов Б.К.,Кипиани Г.О. Устойчивость трехслойных прямоугольных пластинок, подкрепленных ребрами. - Изв.ВУЗов. Строит, и архитект., 1990. N 2,-с.26-28.

55 Недумов Н.В. Большие прогибы трапециевидных пластинок с заделанными краями.Сб.Прочность и устойчивость элементов тонкостенных конструкций.. -М.¡Машиностроение,1967,N2,с.330-356.

56 Николаева 1.И.,Теребушко О.И. Связанные формы потери устойчивости сжатой панели, подкрепленной продольными ребрами. -М.: МХТИ, 1980, деп. N1128-81.

57 Образцов И.Ф.,Васильев В.В.,Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. -М.Машиностроение, 1977.-144с.

58 Онанов Г.Г., Данилин А.Н. Устойчивость дискретно-континуальной системы типа тонкостенной стрингерной панели. - М.: Моск. авиац. ин-т., 1989. - 154 с.

59 Пармли Ф.А. Военные самолеты.-В кн.:Композиционные материалы, т.З/Пер. с англ.-М.Машиностроение,-1978,-с.130-173.

60 Петрашень В.И. Расчет стальных конструкций с плоской обшивкой. М.: Стройиздат,-1948.-201с.

61 Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах. -Научн.докл.высшей школы.Строительство.-1959,N1,-с.27-35.

62 Петров В.В.,Филатов В.Н. Расчет гибких пластин вариационным методом В.З.Власова.-Изв.высш.учебн.завед.Строит.и архитектура 1970, N2,-0.46-49.

63 Петров В.В.»Яковлева Л.С. К вопросу выбора аппроксимирующих функций при расчете гибких пластинок вариационными методами.

-Саратов:"Научн.труды Сарат.полит.ин-та",1970,выл,49.-е.57-63.

64 Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.:Наука, -1979.-7440.

65 Резницкий Л.Я. Строительная механика корабля.-Л.:ВМА им.Крылова, -1952.-720с.

66 Ростовцев Г.Г. Расчет тонкой плоской обшивки, подкрепленной ребрами.-Труды ЛИИ ГВФ, 1940, N20.

67 Ростовцев Г.Г. К расчету тонких пластин на сложный изгиб.-Сборник трудов ЛВВА, -1942, N2.

68 Ростовцев Г.Г. Продольно-поперечный изгиб гибкой прямоугольной пластины, соединенной на контуре с ребрами.-Инжен.сборник, N8, -1950, -с.83-104.

69 Рудяк М.В. Решение нелинейных задач теории пластин методом дробных шагов.-Вычисл.и прикл.математика.Межвуз.научн.сборник, -1970, вып.12, -с.87-98.

70 Слепов Б.И. Применение теории Кармана к изгибу прямоугольных пластин. -Сб.Труды ЦНИИ НКСП,Оборонгиз,-1934,-с.155-196.

71 Тимошенко С.П.,Войновский~Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.:Физматгиз, -1963.-636с.

72 Файзуллина М.А. Исследование устойчивости и закритического поведения шарнирно опертых пластин и цилиндрических панелей со сложным сочетанием контура. -Казань:Статика и динамика оболочек, 1979, вып.12,с.103-112.

73 Цехмистрова Н.В. Исследование закритической деформации защемленной прямоугольной пластины, подкрепленной ребрами. -М.: Тр.МАИ, -1975, вып.321, -с.83-87.

74 Юрьев А.Г.Допдокар А.З. Критическое состояние и закритическая стадия деформирования прямоугольной пластинки.-Изв.ВУЗов.Стр-во, -1993.-N5-6, -с.15-18.

75 Agarwal B.L. Postbuckling behavior of composite shear webs. AIAA Journal,1981,v.19,No.7,p.933-939.

76 Alaa M. Post-buckling behavior of stiffened plates with small initial curvature under combined loads. -Ins.Shipbuild.Progr., 1971,-v.18, No.202, -c.217-240.

77 Arnold R.R.,Mayers J. Buckling, postbuckling and crippling of materially nonlinear laminated composite plates.-Int.J.Solid and Struct.,-1984,-20,No.9-10,-c.863-880.

78 Arnold R.R.,Parekh J.C. Buckling, postbuckling and failure of flat and shallow-curved, edce-stiffened composite plates subjected to combined axial compression and shear loads.-AIM/ ASME/ASCE/AHS 27th Struct. .Struct .Byn.and Mater.Oonf. ,San An-tonio,Tex.,May 19-21,1986. Collect.Techn.Pap. Pt1, New York, N.Y.,s.a.,-c.769-782.

79 Azikov N.S.,Vasiliev Y.V. Buckling and strength of composite plates under in-plane loading. -The 2nd Intern.Symp.on Composite Materials and Struct. ,-1992,China,August 1992,-Beijing,China.

80 Banks W.M.,Harvey J.M. Experimental study of stability problems in composite materials. -Stab.Probl.Eng.Struct.and Component s,Cardiff,1978, -London,-1979, c.1-22.

81 Bargmann H.W. Thermal buckling of elastic plates.-J.Therm. Stresses,-1985,-8,No.1,-0.71-98.

82 Biggers Sherrill B.,Srinivasan Sundar. Oompression buckling response of tailored rectangular composite plates.-AJAA Jou-nal, -1993.-31, N3,-c.590-596.

83 Bruno B.,Lato S.,Sacco E. Nonlinear analysis of bimodular composite plates under compression.-Oomput.Mech., -1994,-14, N1, c.28-37.

84 Oarrera Erasmo. Nonlinear response of asymmetrically lamina-

ted plates in cylindrical bending.-AJAA Journal.-1993,-31,N7, -c.1353-1357.

85 Ohai G.B.,Banks W.M.»Rhodes J. Experimental study on the buckling and postbuckling of carbon fibre composite panels with and without interply disbouds.-Proc.Inst.Mech.Eng.:Conf. "Design Compos.Mater.".London,7-8 March,1989.-London,1989,c.69-85.

86 Chia C.Y. .Prabhakara M.K. Postbuckling behavior of unsymmetri-cally layeres anisotropic rectangular plates. -Journal of Appl. Mech., 1974,Wo.41,-0.155-167.

87 Ohian Le~Chung, Wu Teng-Yuan. Application of the finite element method to postbuckling analysis of laminated plates.-AJAA Journal, 1995,-33,W12,-c.2379-2385.

88 Costa J.A.,Brebbia O.A. Elastic buckling of plates using the boundary element method.-Boundary Elements. 7 Proc. 7th Int. Oonf.,Lake Oomo,Sept.,1985,-1.-Berlin e.a.,1985, 4/29-4/42.

89 Danielson K.T.„Tielking J.T. Membrane boundary condition effects on uQsymmetric laminates. -J.Engineer.Mechan., -1988, v.114,No.12, -c.2158-2172.

90 Djubek J. Deformation of rectangular slender web plates with boundary members flexible in the webplate plane. -Aeronaut.Quart, -1966,vol.17,No.4,-c.371-394.

91 Dost S. A mixed variational formulation for large deformation analysis of plates.-Appl.Math.and Mech.1989,10,No.7,c.585-595.

92 Ellinas C.P.,Croll J.G.A. Post-critical analysis of torsional-ly buckled siffener plates. -Int.J.Solid Struct.,1980,vol.17, No.1,-c.11~27.

93 Engelstad S.P.,Reddy J.N.,Knight N.F. Postbuckling response and failure prediction of graphite-epoxy plates loaded in compression .-AIAA Journal,-1992,-v.30,No.8,-c.2106-2113.

94 fowler B.R.,Newton B.A. The large deflection, post-buckling behaviour of three-phase composite rectangular plates. -Fibre Scince and Technology,-1973,-v.6,No.3,-c.223-248.

95 Harric Issam E., Andrade Miguel G. Stability of plates with step variation in thickness. - Comput. and Struct.,-1989,-33, N 1,-o. 257-263.

96 Heits E. Verbundstrukturn in flugzeubau. -Kunstst.J. ,-1978, v.12,No.6,-c.5-11.

97 Holder E.J.,Schaeffer D. Boundary conditions and mode jumping in the von Karman equations.-SIAM Journal Math.Anal., -1984, -15,No.3,-c.446-458.

98 Huang Xiaoqing,Liang Jiguang. The bending of anisotropic laminated rectangular plates at large deflection.-Guti lisue suebao,Acta Mech.Sosid.Sin.,-1985,-No.1,-c.19-28.

99 Hui Bavid. Shear buckling of anti-symmetric cross ply rectangular plates.-fibre Sci.and Technol.,-1984,21,No.4,c.327-340.

100 Ivanov L.D.,Rousev S.G. Statistical estimation of reduction coefficient of ship's hull plates with initial deflection.-Nav. Archit.,1979,No.4,-0.158-160.

101 James A.M.,Vaugh R.L. Besign of an advanced composite aileron for commercial aircraft. -Composites,1976,vol.7,No.2,-c.73-80.

102 Johnson E.R.,Haftka R.T. Initial postbuckling responce of anisotropic laminated rectangular plates.-33rd AIAA/ASME/ASCE/AHS /ASO Struct..Struct.Dyn. and Mater.Conf.,Ballas.,Tex.,Apr.13-15,1992: Collect. Techn. Pap. Pt1.- Washington (B.C.), -1992, -c.241-263.

103 Joshi S.P.,Iyengar N.G.R. Optimal design of lamimated composite plates under axial compression.-Trans.Can.Soc. Mech. Eng., -1985,-9,No.1,-c.45-60.

104 Kakol Witold. Stability analysis of stiffened plates by finite streps. - Thin-Walled Struct.,-1990,-10, N4,-0.277-297.

105 Kanaka Raju K. ,Ventateswara Rao G. Thermal post-buckling of thin simply supported orthotropic square plates.-Compos.Struct. -1989,-12,No.2,-c.149-154.

106 Kaminski B.E.,Ashton J.E. Diagonal tension behavior of Boron-Epoxy shear panels. -J.Composite Materials,1971,v.5(0ctober), -c.553-558.

107 Kamiya N. ,Sawaki Y. ,Nakamura Y. Postbuckling analysis by the boundary element method.-Eng.Anal.,-1984,-1,No.1,-c.40-44.

108 Karnikova Irena, Skaloud Miroslav, JanuS Karel. Effect of longitudinal stiifening on the ultimate strength of thin webs under patch loading. - Stabil. Steel Struct. 2nd Reg. Oollog., Tihany, Sept. 25-26, -1986. Mem Otto Halass. Vol.2. -Budapest,-1988, -c.695-701.

109 Kasuys Hira Kazu,Minobe Atsuyoshi.Nomoto Keiichi. Buckling strength of composite laminated plates under compressive loa-ad.-Nihon kikai gakkai ronbunshu A.=Trans.Jap.Soc.Mech.Eng.A. -1992,-58,No.553,-0.1544-1549.

110 Katsikadelis J.T.,Neratzaki M.S. Non-linear analysis of plates by the analog equation method.-Comp.Mech.-1994,-vol.14,No.2, -c.154-164.

111 Kennedy J.B. Influence of Poisson's ratio on maximum stress in thin parallelogrammic panels. -Canad.Aeronaut.and Space Journal, -1967,-vol.13,No.7,-c.315-317.

112 Kennedy J.B.,NgSimon. Linear and nonlinear analysis of skewed plates. -Trans.ASME,-1967,-E34,No.2,-c.271 •-277.

113 Kennedy J.B. ,NgSimon. Analysis of skewed plate structures with clamped edges. -Trans.Eng.Inst.Canada,-1965,-v.8,No.A9.

, r- .

114 Kennedy J.B.,Prabhakara M.K. Postbuokling of orthotropic skew plate structures. -J.Struck.Div.Proc.ASCE,-1980,-v. 106,7,0.1497-1513.

115 Kishida Mitsuhiro, Pujieda Youji Pujii Katashi. Experiments on axial compressive strength of stiffened plate with a hole.

- Bull. Pac. Eng. Hirosima Univ. -1991. 39. N 2, -0.141-149.

116 Kitada T., Nakai H., Puruta T. Experimental study on ultimate strength of stiffened plates subjected to longitudinal tension and transverse compression. - Stab. Steel Struct. Int. Oonf., Budapest, Apr. 25-27, 1990. Vol.1.

- Budapest, 1991, -c.409-416.

117 Klöppel K.»Bilstein W.,Under B. Eine näherungs weise Untersuchung des überkritischen Tragverhaltens von dreiseiting moment enfrei gelagerten, am freien Rand unversteiften Platten einschließlich Vorverformung. -Stahlbau,-1973,-42,No.10,-0.289-298.

118 Kurashige Michio. Bifurcation of an elastic slab having inclined anisotropy-axes under axial loads.-Bull.JSME,-1983,-26, No.216,-0.954-957.

119 Lanzo A.B.»Giovanni G.,Casciaro R. Asymptotic post-buckling analysis of rectangular plates by HC finite elements.-Intern. Journal Numeric.Mech.Eng.-1995,-38,N14,-o.2325-2345.

120 Li Shu-guang. Determination of buckling mode and explicit expression of critical load for simply supported rectangular ortho-tropic plates under biaxial compression.-Applied Mathematics and Mechanics (Engl.edition),-1988,-9,No.9,-o.907-913.

121 Lind N.O.,Ravindra M.K.,Sehorn G. Empirical effective width formula.-J.Struct.Biv.Proc.ASCE,1976,-102,No.9,-0.1741-1757.

122 Luongo A.,Pignataro M. Multiple interaction and localization phenomena in the postbuokling of compressed thin-walled mem-

bers.-A JAA Journal,-1988,-26,No.11,-c.1395-1402.

123 Maewal A.,Nachbar W. A perturbation analysis of mode interaction in postbuckling behavior and imperfection sensitivity. Int.J.Solids Struct.,-1977,-vol.13,No.10,-c.937-946.

124 Nakagiri Shigeru,Takabatake Hideyuki. Optimum design of FRP laminated plates under axial compression by use of the Hessian matrix.-Nihon kikay gakkay rombunsu, Trans.Jap.Soc.Meoh. Eng.,-1986,-A52,No.474,-0.481-485.

125 Nakamura T..Uetani K. The secondary buckling and post-secondary buckling behaviour of rectangular plates. -Int.J.lech.Science, -1979,-No.21,-c.265-286.

126 Nemeth M.P. Buckling of symmetrically laminated plates with compression, shear and in-plane bending.-AJAA Journal,-1992, -30,N12,-0.2959-2965.

127 Neut A. The interaction of local buckling and column failure of thin-walled compression members. -Proc.of 12th Int.Congress Appl.Mech.,-1969,-c.389-399.

128 Noor A.K.,Stames J.H.,Waters W.A. Numerical and experimental simulations of the postbuckling response of laminated anisotropic panels.-AIAA Paper 90-0964-0P,-1990,-c.848-861.

129 Obraztsov J.E.,Vasiliev V.V. Mechanics of composites. -Mir publishers,Moscow,-1982.-280c.

130 Osamu T.,Hiroyuki A. Partially loaded rectangular plates with large deflection. -Proc.13th Japan Nat.Oongr.Appl.Mech.,Tokyo, -1963,1965,-Tokyo,-c.29-36.

131 Pandalai K.A.,Sathyamoorthy V. Postbuckling behavior of ortho-tropic skew plates. -AIAA Journal,-1973,v.11,No.5,-c.731-733.

132 Parhizgar Shahrokh. Verification of laminated plate theory for unsymmetrical laminates.-Journal of Compos.Mater., -1991,

-25,Wo.5,-0.578-592.

133 Peng Mao - Hua, Sridharan Srivrivasan. Optimized design of stiffened panels subject to interactive buckling / AIM / ASME / ASOE / AHS / ASC / 3 1st Struct., Struct. Dyn. and Mater. Conf., Long Beach, Calif., Apr. 1-4, 1990. Collect. Techn. Pap. Pt.2. - Washington ( D.O.), -1990, -c.1279-1288.

134 Popescy-Castellin N. Use of chromoplastic models for the study of the behaviour of rectangular plates after buckling. -Aircraft Eng., -1973,-No.1,-c.4-7.

135 Prabhakara M.K. Post-buckling behaviour of simply-supported crossply rectangular plates. -Aeronaut.Quart.,-1976,-vol.27,

-No.4, -c.309-316.

136 Prabhakara M.K. ,Chia O.Y. Large deflection of rectangular or-thotropic plates under combined transverse and in-plane loads. J.Mech.Eng.Science,-1973,-v.15,No.5, -c.346-350.

137 Prabhakara M.K. ,Chia C.Y. Postbuckling of angle-ply and anisotropic plates. -Int.Arch.Bd.,-1976,-v.45,No.H2,-c.131-139.

138 Prabhakara M.K.,Chia C.Y. Nonlinear analysis of laminated cross-ply plates. -J.Ehg.Meeh.Div.Proc.ASCE,-1977,-vol.103, -No.4, -c.749-753.

139 Qatu M.S.,Leissa A.W. Buckling of transverse deflections of unsymmetrically laminated plates subjected to in-plane loads .-AJM Journal,-1993,-31,N1,-o.189-194.

140 Qiao Zong-chun. An iteration algorithm for solving postbuckling equilibrium path of simply supported rectangular plates under biaxial compression.-Appl.Math.and Mech.,-1993,-14,N6, -c.489-497.

141 Rhodes J.,Harvey J.M. The post-buckling behavior of thin flat plates in compression with the unloaded edges elastically

restrained against rotation. -J.lech.Eng.Science,-1971,vol.13, No.2,-0.82-91.

142 Rhodes J.,Harvey J.M. Examination of plate post-buckling behavior. -J.Eng.Mech.Div.Proc.ASCE,1977,v.103,No.3,-c.461-478.

143 Rhodes J.,Harvey J.M.,Pok W.C. The load-carrying capacity of initially imperfect eccentrically loaded plates.-Int.Journal Mech.Sci.,-1975,-v.17,-0.161-175.

144 Riley B.L. Composite wing technology on the AB-8B advanced aircraft.-J. of American Helicopter Soc.,-1979,-27,-c.29-36.

145 Rohwer K. Nachbeulverhalten von Flatten und Schalenfeldern aus Paserverbundwerkstoff.-Z.Elugwiss.und Weltraumforsch., -1986,-10,No.4,-c.228-235.

146 Romeo G. Experimental investigation on advanced composite stiffened structures under uniaxial compression and bending. -J.Eng.Mech.Div.Proc.ASCE,-1989,~v.115,N2,-c.684-692.

147 Rouse Marshall. Postbuckling of flat unstiffened graphite-epoxy plates loaded in shear.-26th Struct.,Struct.Dyn. and Mater.Oonf.,Orlando,P1a,Apr.15-17,-1985,Pt 1.Coll.Techn.Pap.-New York,N.Y.,-1985,-0.605-616.

148 Rushton K.R. Large deflection of variable-thickness plates. -Int.J.Mech.Science,-1968,-vol.10,No.9,-0.723-735.

149 Rushton K.R. Large deflection of plates with initial curvature. -Int.J.Mech.Science,-1970,-vol.12,No.12,-c.1037-1051.

150 Rushton K.R. Postbuckling of tapered plates. -Int.J.Mech.Sci. -1969,-v.11,No.5,-c.461-480.

151 Rushton K.R. Post-buckling of rectangular plates with various boundary conditions. -Aeronaut.Quart,-1970,v.21,N2,-c.163-181.

152 Rushton K.R. Large deflection of plates with unsupported edges. -J.Strain Anal.,-1972,-vol.7,No.1,-c.44-53.

153 Schmit L.A.,Bogner F.K.,Fox R.I. Finite deflection structural analysis using plates and shell discrete elements.-AIM Journal, -1968,-v.6,No.5,-c.781-791.

154 Scott M.L.,0raddock S.B.,0heung A.K.H.,Martin R.A. Disign and analysis of a postbuckling co-cured composite control surface. -2nd Pacif.Int.Conf.AeroSpace Sci. and Teohnol. and 6th Austral.Aeronaut.Oonf.(Picast2-MC6), Melbourne,20-23 March, -1995: Proc.vol.2.-Melbourne,-1995,-o.689-696.

155 Sharman P.W.,Humpherson J. An experimental and theoretical investigation of simply-supported thin plates subjected to lateral loaded and uniaxial compression. -Aeronaut.Quart,-1968,-vol.72, No.689,-c.431-436.

156 Sheinman Izhak, Frostig Yeoshua. Post - buckling analysis of stiffened laminated curved panels. - Journal Eng.Mech.-1990, -116. N 10,-0.2223-2236.

157 Shen Hui-shen, Zhang Jian-wu Perturbation analyses for the postbuckling of simply supported rectangular plates under uniaxi al compression.- Applied Mathematics and Mechanics (English edition),-1988,-v.9,No.8,-c.793-804.

158 Shin Yung S. ,Haftka R.T.,Watson L.T.,Plaut R.H. Disign of laminated plates for maximum buckling load.-J.Compos.Mater., -1989,-23,No.4,-c.348-369.

159 Singh S.B.,Kumar Ashwini. Postbuckling strength of symmetrically laminated plates.-19th Int.Oongr.Theor.and Appl.Mech., Kyoto,Aug.25-31,-1996.-Abstr.-Kyoto,1996,-c.634.

160 Sircar R. Stability of an anisotropic trapezoidal plate due to large deflections.-Z.Andew.Math.and Mech.,-1984,-64,No.1, -c.64-66.

161 Spunt L. Weight optimization of the post-buckling integrally

stiffened wide column.-J.Aircraft,-1970,v.7,No.4,-c.330-333.

162 Srinivasan R.S., Bobby W. Buckling and post buckling behavior of shallow shells. -AIM Journal,-1976,-v.14,No.3,-0.289-290.

163 Starnes J.H.,Rouse M. Postbuckling and failure characteristics of selected flat rectangular graphite-epoxy plates loaded in compression.-AJAA Journal,-1981,-22nd SDM, part 1,

-c.423-434.

164 Stein E.,Lammering R.,Wagner W. Stability problems in continuum mechanics and their numerical computation. -Ing.-Aroh., -1989,-v.59,No.2,-o.89-105.

165 Stein M. Postbuckling of orthotropic composite plates loaded in compression. -AIAA Journal,-1983,v.21,Wo.12,-c.1729-1735.

166 Stein M. Effects of transverse shearing flexibility on postbuckling of plates in shear.-AIAA Journal,-1989, v.27, No.5, c.652-655-

167 Stein M.,Bains N.J.O. Postbuckling behavior of longitudinally compressed orthotropic plates with transverse shearing flexibility. -AIAA Journal,-1990,-v.28,No.5,-0.892-895.

168 Stroebel G.J.,Warner W.H. Stability and secondary bifurcation for von Karman plates. -Journal Elast., -1973, -v.3,No.3,~ c.185-202.

169 Supple W.J. Changes of wave-form of plates in the post-buckling range. -Int.J.Solids Struct.,-1970,No.6,-o.1243-1258.

170 Taki Toshimi, Kitagawa Tomohiro. Postbuckling strength of composite stiffened panel under shear load.-Kawasaki juko gi-ko = Kawasaki Teohn.Rev.-1996,-N130, -c.50-55.

171 Turvey G.J. large deflection of tapered annular plates by dynamic relaxation.-Proc.ASCE, Journal Eng.Mech.Div. ,-104,EM2, -1978,-c.351-366.

172 Tiirvey G.J.,Wittrick W.H. The large deflection and poet-buckling behaviour of some laminated plates. -Aeronaut.Quarterly, -1973 s-Wo.26,-c.77.

173 Tvergaard V. Influence of post-buckling behavior of optimum design of stiffened panels.-Rept.Dan.Center Appl.Math.and Meoh. ,-1972,-No.35.-26c.

174 Uemura M.,Byon 0. Secondary buckling of a flat plate under uniaxial compression.Part I. Theoretical analysis of simply supported flat plate. -Int.J.Won-Linear Mech.,-1977, -v.12, No.6K,-c.355-370.

175 Valsgard S. Numerical design prediction of the capacity of plates in biaxial in-plane compression. -Comp.and Struct., -1980,-v.12,-0.729-739.

176 Vasiliev V.Y.,Azikov N.S.,Salov Y.A. Thin-walled composite panels-applied theory, Experiments. 33rd International SAMPE symposium and Exhibition, 7-10 March 1988, Anaheim, California.

177 Yilnay 0. The behaviour of a web plate loaded in shear.-Thin-Walled Structures,-1990,-No.10, -c.161-174.

178 Walczak W.,Jakubouski S. The stability and post-buckling state of a rectangular disk under unidirectional bending and simultaneous shear. -Rozpr.inzynisc.Eng.Thans., -1979, -v.24, No.4, -c.633-649.

179 Weiß S.,Zänkert 0. Über das Nachbewlverhalten einachsinh gedruckten einfact ausgesteiften Rechtebcplatten und ihre sseansp-ruchung bei Anfangsausbeigangen. -Schiff and Hafen,-1975,v.27,

No.1,-c.37-47.

180 Yamazaki Kouetsu, Aoki Akihiro. Optimal stiffener shape of thin plate structure against buckling. - Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A.,-1991,-vol.57, No.534, -c.412-416.

181 Zhang Y..Matthews f.I. Postbuckling behavior of anisotropic laminated plates under pure shear and shear combined with compressive loading. -AIAA Journal,-1984,-v.22, No.2, -c.281-286.