Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Роганова, Наталья Анатольевна

• Роганова, Наталья Анатольевна
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Роганова, Наталья Анатольевна

ВВЕДЕНИЕ.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ.

1.1 Неоднородные упругие материалы.

1.2 О задачах теории упругости неоднородных тел.'.

1.3 Механические характеристики неоднородных материалов.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛАМЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УПРУГОГО МАТЕРИАЛА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДЕЙСТВИЯ АГРЕССИВНОЙ СРЕДЫ НА МАТЕРИАЛ.

2.1 Исследование влияния неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы.

2.2 Об определении характеристик неоднородных материалов.

2.3 Идентификация механических свойств неоднородных материаловЗб

2.4 Влияние неоднородности на компоненты тензора напряжений.

2.5 Применение метода прогонки в случае сжимаемого материала.

ГЛАВА 3. ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ.

3.1 Основные соотношения и постановка задачи.

3.1.1 Плоская деформация.

3.1.2 Плоское напряженное состояние.

3.2 Приближенное решение задачи плоской деформации.

3.2.1 Схема организации приближенного решения.

3.2.2 Сходимость последовательных приближений.

3.3 Применение функций комплексного переменного при реализации последовательных приближений.

3.3.1 Представление компонент тензора напряжений при помощи функций комплексного переменного.

3.3.2 Реализация процедуры последовательных приближений при использовании функций комплексного переменного.

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.

4.1 Неоднородность механических свойств горных пород и грунтов.

4.2 Действие равномерного внутреннего давления на контур круговой цилиндрической полости.

4.2.1 Однородный массив горных пород.

4.2.2 Неоднородный массив.

4.3 Одноосное растяжение неоднородного упругого пространства с круговой цилиндрической полостью.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Решение задачи для однородного тела. Первое приближение.

4.3.3 Второе приближение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации»

Актуальность темы исследования определяется его направленностью на решение одной из важнейших народнохозяйственных проблем — повышение надежности и уровня безопасности эксплуатации различного уровня конструкций и сооружений. В последнее время с целью предотвращения возникновения техногенных катастроф повышаются нормативные требования к эксплуатации многих промышленных объектов. Газопроводы, большое количество которых (разных диаметров и давлений) ежегодно вводится в работу в связи со строительством и развитием городов, поселков, предприятий, нефтепроводы, транспортирующие большие объемы нефти при высоких давлениях, циркуляционные трубопроводы АЭС — вот далеко неполный перечень сооружений, основу которых составляют трубчатые конструкции. Все вышеперечисленные объекты отличаются повышенной сложностью анализа безопасности и рисков, сводящегося, прежде всего, к исследованию их напряженно-деформированного состояния.

Обычно анализ напряженно-деформированного состояния производится в предположении однородности механических, в частности прочностных, свойств материала конструкции или какого-либо изделия или сооружения. Однако некоторые конструкционные, строительные и другие виды материалов являются неоднородными уже вследствие условий их изготовления. Так, неоднородность бетонов, пластмасс и металлов или сплавов возникает в результате неравномерности их созревания, полимеризации или остывания соответственно [5, 50, 63, 80].

Зависимость механических свойств материалов от координат может возникать и в процессе эксплуатации какого-либо изделия или конструкции в агрессивной среде или при наличии радиации, тепла, влажности и в общем случае при различных сочетаниях многофакторных механических, термических, коррозионных, эрозионных и некоторых других процессов [18, 26, 34,

42, 45, 50, 51, 61-63, 70, 81, 91]. В частности, непрерывная неоднородность механических свойств материала возникает в сосудах и трубопроводах АЭС (корпуса реакторов, главные циркуляционные трубопроводы, трубы отвода и коллектора парогенераторов и другие), которые эксплуатируются в течении длительного срока службы (30 лет) под воздействием высокого внутреннего давления в высокотемпературных, коррозионных и радиационных условиях, что приводит к неоднородным механическим свойствам материала по толщине этих конструкций [29, 38, 92,105].

Неоднородность механических свойств материала наблюдается также в окрестности вертикальных и горизонтальных протяженных горных выработок и гидротехнических сооружений произвольного сечения, сооружаемых - с применением буровзрывных работ, искусственным укреплением кольцевой зоны с помощью цементации, созданием ледопородного ограждения и другими способами [10, 12, 22—25, 38, 97].

В ряде случаев, например, при развитии упруго-пластических или высокоэластических деформаций механические свойства деформируемого материала при неоднородном напряженно-деформированном состоянии могут существенно зависеть от координат [7, 8, 70, 104, 111]. В многочисленных исследованиях установлено, что в таких состояниях деформируемый материал практически несжимаем; при этом коэффициент Пуассона принимают равным 0,5.

Таким образом, актуальность темы работы определяется в первую очередь широким применением в инженерной практике конструкций и сооружений из материалов, обладающими неоднородными механическими характеристиками, и необходимостью разработки современных методов определения их напряженно-деформированного состояния, учитывающих эту неоднородность.

Другой аспект актуальности темы исследования напрямую связан с имеющей важное научное и практическое значение проблемой идентификации механических свойств неоднородных деформируемых материалов. Особую значимость, с практической точки зрения, эта проблема приобретает при изучении воздействия агрессивных сред и радиации на конструкционные материалы, что связано, в первую очередь, с обеспечением безопасности химических производств, атомных энергетических установок, трубопроводов различного назначения. В частности, после завершения срока службы натурных элементов трубопроводов АЭС проводят испытания с целью определения механических свойств до разрушения при повышенных статических давлениях [28, 29]. Анализ результатов испытаний, согласно федеральным нормам и правилам, необходим для обоснования продления назначенного срока эксплуатации объектов атомной энергетики. В этой связи большое значение приобретает разработка оперативных методов контроля напряженно-деформированного состояния и оценки прочностных характеристик материала конструкции.

Разработка методов идентификации механических свойств деформируемых материалов актуальна как в научных исследованиях, так и при получении исходных данных, используемых в прочностных расчетах.

Вместе с тем отметим, что математическое моделирование процессов деформирования неоднородных тел было начато лишь несколько десятилетий назад, в силу чего большое число проблем еще требует своего разрешения.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей, алгоритмов и программного обеспечения для исследования напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации, в том числе:

• формулировка модельных задач определения компонент тензоров напряжения и деформации;

• разработка алгоритмов решения плоских задач при статической нагрузке; получение приближенного аналитического решения;

• разработка математического обеспечения для определения основных характеристик неоднородного упругого тела.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие основные задачи:

• построение математической модели толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, характеризующегося переменным модулем сдвига при постоянном коэффициенте Пуассона;

• разработка алгоритмов и программного комплекса для численного решения задач определения напряженно-деформированного состояния в трубе из неоднородного упругого материала;

• разработка метода идентификации упругих характеристик неоднородных несжимаемых материалов;

• разработка математической модели и приближенного аналитического метода для определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации;

• разработка алгоритмов и пакета программ, предназначенного для реализации приближенного метода, проведение тестовых расчетов и сравнение полученных результатов с точным аналитическим решением;

• проведение серии вычислительных экспериментов для определения напряженно-деформированного состояния и исследования влияния на него параметров модели неоднородного тела.

Объектом исследования является напряженно-деформированное состояние в элементах конструкций, изделиях, сооружениях и т.п., выполненных из неоднородного упругого материала, в качестве которых выбраны толстостенные трубы, распространенные во многих отраслях промышленности и неоднородные области с цилиндрической полостью (окрестности шахт, горных выработок, ледопородные ограждения шахтных стволов).

Методы исследования. В диссертационной работе применялись методы математического и компьютерного моделирования. При разработке модели и получении решения использованы метод последовательных приближений, метод прогонки, метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, метод интегралов типа Кошй и некоторые другие положения теории функций комплексного переменного.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии приближенных аналитических методов решения плоских задач теории упругости неоднородных тел.

Практическая значимость. Решение задачи Ламе для неоднородного материала и разработанная методика определения его упругих характеристик позволяют использовать полученную информацию при расчетах и эксплуатации конструкций из неоднородного материала. На этой же основе может быть разработана система оперативного контроля напряженно-деформированного состояния трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала. Разработанный комплекс компьютерных программ позволяет по заданным характеристикам неоднородного упругого тела, находящегося в условиях плоской деформации, определять его напряженно-деформированное состояние.

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность полученных результатов базируется на использовании общих уравнений механики деформируемого твердого тела, общепринятых граничных условий и апробированных форм определяющих соотношений связи между напряжениями и деформациями; выполнением интегральных условий равновесия в задачах деформирования трубы.

Достоверность полученных результатов обеспечивается сопоставлением их с точным решением задачи Ламе об осесимметричной плоской деформации полого цилиндра из неоднородного материала; проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения при реализации итерационного процесса; сравнением результатов расчетов, полученными другими методами. Для рассмотренных в диссертации случаев результаты различаются не более чем на 1,5%.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, подвергнутой действию внутреннего давления и продольному растяжению.

2. Методика определения механических характеристик толстостенной трубы из неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации.

3. Приближенный аналитический метод для решения задач в случаях плоской деформации и обобщенного плосконапряженного состояния тел из неоднородных упругих материалов.

4. Результаты приближенного решения задач плоской деформации неоднородного пространства с круговой цилиндрической полостью бесконечной протяженности, полученные с помощью данного метода.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Разработаны математическая модель, методики и алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе при различных соотношениях толщин слоев с неоднородными и однородными механическими характеристиками.

2. Разработана методика определения некоторых механических характеристик неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации на внешней поверхности трубы.

3. Разработаны математическая модель и приближенный аналитический метод решения задач плоской деформации неоднородных тел.

4. Получены новые приближенные аналитические и численные решения задач плоской деформации в телах из неоднородного упругого материала (для случаев сжимаемого и несжимаемого материалов). Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались

• на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в МГУ им. М.В. Ломоносова (в 2009 г. и в 2010 г.);

• на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством акад. РАН И.Г. Горячевой;

• на заседании секции научного совета НИИ механики МГУ;

• на заседании кафедры высшей математики МГИУ.

Ряд положений диссертации был использован в учебных курсах «Математические модели в естествознании» и «Уравнения математической физики» и нашел применение в учебном процессе МГИУ.

Основное содержание работы отражено в 5 печатных трудах, которые включены в список литературных источников [82-84, 113,114].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 130 наименований и 2 приложений. Работа изложена на 122 страницах машинописного текста и содержит 35 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Роганова, Наталья Анатольевна

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Проведен анализ литературы, показавший широкое распространение в технике конструкционных материалов, либо изначально неоднородных (в силу природных причин, за счет неоднородных условий синтеза материала или его обработки), либо приобретающие такие свойства в процессе эксплуатации (например, при действии радиации или агрессивных сред) или деформирования (например, в упруго-пластичной или высокоэластичной областях), и вместе с тем недостаточную проработку многих проблем, связанных с неоднородностью материалов, что естественным образом объясняется относительно небольшим сроком развития этой дисциплины.

2. Разработаны математическая модель, алгоритмы и комплекс программ для исследования напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе под действием внутреннего давления и продольного растяжения. Труба предполагается неоднородной с различным соотношением толщины внешнего однородного и внутреннего неоднородного слоев. Получены данные, характеризующие влияние неоднородности на напряженно-деформированное состояние в зависимости от положения границы слоев, разработан метод идентификации механических свойств несжимаемых неоднородных материалов, предложен способ оперативного контроля за напряженно-деформированным состоянием трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала трубы.

3. Разработана математическая модель для исследования напряженно-деформированного состояния в случае плоской деформации неоднородных тел.

4. Разработан итерационный метод, позволяющий при помощи теории функций комплексного переменного получить приближенные решения в аналитическом виде, и реализующий эти приближения программный комплекс, примененный, в частности, для расчета напряженно-деформированного состояния шахтных стволов, сооружаемых либо с помощью буровзрывного метода, либо с помощью метода ледопородных ограждений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Роганова, Наталья Анатольевна, 2010 год

1. Александрович А.И. Плоская неоднородная задача теории упругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1973. №1. С. 52—59.

2. Алексеенко H.H., Амаев А.Д., Николаев В.А., Горынин. И.В. Радиационное повреждение стали корпусов водо-водяных реакторов. М.: Энергоиздат, 1981. 191 с.

3. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978, 230 с.

4. Амбарцумян С.А., Хачатрян A.A. Основные уравнения теории упругости для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Инж. журнал. МТТ. 1966. №2. С 44-53.

5. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: Изд-во АСВ, 2002. 288с.

6. Андреев В.И., Потехин И.А. О способе создания оптимальных конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел // Вестн. Отд-ния строит, наук. Рос. акад. архит. и строит, наук. 2007. №11. С.48-52.

7. Андреев В.И. Упругое и упруго-пластическое равновесие толстостенных цилиндрических и сферических непрерывно-неоднородных тел: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук (далее: Дис. . докт. техн. наук). М., 1986. 427 с.

8. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983. 238 с.

9. Артемьев А. В. Инженерно-геологическое изучение естественных пластических и разрывных деформаций горных пород. М.: Наука, 1964.

10. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механика горных пород. М.: Недра, 1975. 271 с.

11. Баклашов И.В., Руппенейт K.B. Прочность незакрепленных горных выработок. М.: Недра, 1970. 139 с.

12. Басарыгин Ю.М., Булатов А.И., Проселков Ю.М. Осложнения и аварии при бурении нефтяных и газовых скважин. М.: Недра-Бизнесцентр, 2000. 679 с.

13. Бескоровайный Н.М. Конструкционные материалы ядерных реакторов: Учеб. для студентов вузов ядерных спец. / Н.М. Бескоровайный, Б.А. Калин, П.А. Платонов и др. М.: Энергоатомиздат, 1995. 704 с.

14. Бовт А.Н., Ловецкий Е.Е., Селяков В.И. Механическое действие камуфлетного взрыва. М.: Недра, 1990. 184 с.

15. Бовт А.Н., Михайлов A.A., Николаевский В.Н, Шурыгин EJI. Камуфлетный взрыв в малопористой твердой среде. / Журнал прикладной механики и теоретической физики, 1986, № 1, с. 147—151.

16. Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. Днепропетровск: Пороги, 2008. 196 с.

17. Борисовец В.А. Неоднородности волнового характера в породах вблизи выработок, сооружаемых буровзрывным способом // Шахтное строительство. 1972. № 9. С. 7-11.

18. Булатов А. И., Дейкин В. В. Упругопластическое напряженное состояние цементного кольца при изменении внешнего и внутреннего давления на крепь скважины / В кн.: Совершенствование техники и технологии крепления скважин. Тр. ВНИИКРнефть, 1984, С. 3—10.

19. Булатов Г.С., Гедговд К.Н., Любимов Д.Ю. Диффузионные процессы высокотемпературного взаимодействия карбонитрида урана с тугоплавкими металлами // Материаловедение. 2007. № 11. С. 7-12.

20. Буренин A.A. К моделированию деформирования материалов, по разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. A.A. Буренин, В.М.

21. Ярушина // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных по/род. Сб. статей к 75-летию Е.И.Шемякина. М.: Физматлит. 2006. С. 100-106.

22. Ватульян А.О. Проблемы идентификации неоднородных свойств твердых тел // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. №4(54). С.93-103.

23. Вечная мерзлота и освоение нефтегазоносных районов. Под ред. Мельникова. М.: ГЕОС, 2002. 402 с.

24. Воларович М.П., Баюк Е.И. Влияние всестороннего давлениялдо 4000 кгс/см на упругие свойства образцов горных пород // Докл. АН СССР. 1960, т. 135, № 1. С. 65-68.

25. Вялов С. С. Реологические свойства и несущая способность мерзлых грунтов. М.: Изд. АН СССР, 1959.

26. Вялов С. С., Зарецкий Ю.К. Прочность и ползучесть мерзлых грунтов и расчеты ледогрунтовых ограждений. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 254 с.

27. Герасимов В.В. Коррозия реакторных материалов. М.: Атомиз-дат, 1980. 256 с.

28. Герасимов В.В., МонаховА.С. Материалы ядерной техники. М.: Энергоиздат, 1982. 287 с.

29. Гетман А.Ф. Концепция безопасности «течь перед разрушением» для сосудов и трубопроводов давления АЭС. М.: Энергоатомиздат, 1999. 258 с.

30. Гетман А.Ф., Козин Ю.Н. Неразрушающий контроль и безопасность эксплуатации сосудов и трубопроводов высокого давления. М.: Энергоатомиздат, 1997. 288 с.

31. Голыдтейн М.Н. Механические свойства грунтов. М.: Стройиз-дат, 1971. 367с.

32. Гольдштейн М. Н., Бабицкая С. С, Мизюмский В. А. Методика испытания грунтов на ползучесть и длительную прочность // Вопросы геотехники. № 5. Днепропетровск: ДИИТ, 1962. 120 с.

33. Григолюк Э.И., Филыптинский Л.А. Периодические кусочно-однородные упругие структуры. М.: Наука, 1992. 288 с.

34. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1987. 368 с.

35. Дине Дж., Винйард Дж. Радиационные эффекты в твердых телах. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. 243 с.

36. Ду Цин-хуа. Плоская задача теории упругости неоднородной изотропной среды // Проблемы механики сплошной среды. К семидесятилетию академика Н.И. Мусхелишвили. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 152-156.

37. Жуков A.M. О коэффициенте Пуассона в пластической области // Известия АН СССР. Отд. техн. наук. 1954, № 12. С. 86-91.

38. Зарецкий Ю.К., Чумичев Б.Д., Щеболев А.Г. Вязкопластич-ность льда и мерзлых грунтов. Новосибирск: Наука, 1986. 184 с.

39. Захаров А.И. Влияние облучения на физические свойства и структуру твердых тел // Успехи физ. наук, 1955. № 4. С 57.

40. Игнатьков Д.А. Остаточные напряжения в неоднородных деталях. Кишинев: Штиинца, 1992. 302 с.

41. Ильюшин A.A. Пластичность. M.-JL: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. 376с.

42. Ильюшин A.A., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 371 с.

43. Исследования прочности и деформирования горных пород. А.И. Берон, Е.С. Ватонин, М.И. Койфман и др. М.: Наука, 1973. 208 с.

44. Кацауров И.Н. Механика горных пород. Вып. 1 / В кн. Физико-механические свойства горных пород. М.: Изд. МГИ, 1966. 126 с.

45. Келли Б. Радиационные повреждения твердых тел. М.: Атомиз-дат, 1970. 236 с.

46. Койфман М.И. Классификация механических свойств твердых тел и вопросы классификации горных пород / В кн. Современные проблемы механики горных пород. JL: Наука, 1972. С. 252-267.

47. Коган Б.М. Напряжения и деформации.в покрытиях с непрерывно меняющимся модулем упругости // Сб. «Труды Харьковского автодорожного ин-та». 1957. Вып. 19.

48. Колосов Г.В. Влияние коэффициентов упругости на распределение напряжений в плоской задаче теории упругости // Изв. Электротехн. ин-та, вып. 17. Л., 1931. С. 85-88.

49. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. Кишинев: Штиинца, 1977. 119 с.

50. Колчин Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. Кишинев: Изд-во «Картя Молдовеняскэ», 1971. 172 с.

51. Конобеевский С.Т. Действие облучения на материалы. Введение в радиационное материаловедение / Радиационное материаловедение. Д.М. Скоров, Ю.Ф. Бычков, А.И. Дошковский, В.В. Чепкунов. М.: Атомиздат, 1967. 401 с.

52. Коханенко Ю.В., Фесенко СВ. Влияние модулей Юнга компонентов слоистого композита с периодической системой трещин на характер краевых эффектов // Прикл. механика. 2003. Т.39. №1. С. 116-121.

53. Круглицкий Н. Н. Физико-математические основы регулирования свойств дисперсий глинистых минералов. Киев: Наукова думка, 1968.

54. Кузнецов А.И. Плоская деформация неоднородных пластических тел // Вестник Ленинградского университета. 1958. №13. С. 112-131.

55. Кузнецов Г.Н. Механические свойства горных пород. М.: Угле-техиздат, 1947. 179 с.

56. Кукуджанов В.Н. Разностные методы решения задач механики деформируемых тел. Учебн. пособие. М.: МФТИ, 1992. 123с.

57. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958. 678 с.

58. Лехницкий С.Г. Радиальное распределение напряжений в клине и полуплоскости с переменным модулем упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. вып 1. С. 146-151.

59. Лехницкий С.Г. Об одном частном случае осесимметричной деформации цилиндра с модулем упругости, меняющимся по длине // Сб. «Исследования по упругости и пластичности», изд. ЛГУ. 1968. № 7.

60. Линьков А. М. Плоские задачи о статическом нагружении кусочно-однородной линейно упругой среды // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. вып. 4. С. 644-651.

61. Локощенко A.M. Ползучесть и длительная прочность металлов в агрессивных средах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. 178 с.

62. Локощенко A.M. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности металлов. М.: МГИУ, 2007. 264 с.

63. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во1. Моск. ун-та, 1976. 367 с.

64. Методы исследования напряжений в конструкциях / Под ред. Н.И. Пригоровского. М.: Наука, 1976. 131 с.

65. Михайлов Н. Н. Изменение физических свойств горных пород в околоскважинных зонах. М.: Недра, 1987. 152 с.

66. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости // Труды Сейсмологического института АН СССР. № 65. 1935.

67. Мишику М., Теодосиу К. Решение при помощи теории функций комплексного переменного статической плоской задачи теории упругости для неоднородных изотропных тел // Прикладная математика и механика. 1966. Т.30. вып.2. С. 379-387.

68. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

69. Огибалов П.М. Расчет толстостенных труб в пределах и за пределами упругости при малых и больших деформациях // Изв. Артил. инж. акад. им Ф.Э. Дзержинского, 1958. Т. 109.

70. Олыпак В., Рыхлевский Я., Урбановский.В. Теория пластичности неоднородных тел. М.: Мир, 1964. 156 с.

71. О напряженном состоянии сцементированной среды при ка-муфлетном взрыве / А.Н. Бовт, В.И. Кобец, A.M. Масленников и др. /Журнал прикладной механики и теоретической физики, 1980, № 3, с. 137—142.

72. Перри К.К., Лисснер Г.Р. Основы тензометрирования. М.: Изд-во иностр. Лит, 1957. 324 с.

73. Плевако В.П. К теории упругости неоднородных сред // Прикладная математика и механика. 1971. Т. 35. вып. 5. С 853-860.

74. Плотников М.М. О влиянии коэффициента Пуассона на поле напряжений неоднородного анизотропного цилиндра // Известия вузов. Сер. Машиностроение. 1968. № 3. С.55-58.

75. Победря Б.Е. Численные методы теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. 344с.

76. Прейсс А.К. Определение напряжений в объеме детали по данным измерений на поверхности. М.: Наука, 1979. 128 с.

77. Пригоровский Н.И. Методы и средства определения полей деформаций и напряжений: Справочник. М.: Машиностроение, 1983. 248 с.

78. Пуро А.Э. О построении общих решений теории упругости неоднородных тел // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. вып. 6. С. 1039-1045.

79. Рац M.B. Неоднородность горных пород и их физических свойств. М.: Наука, 1968.

80. Рахманкулов М. М. Металлургия стратегических металлов и сплавов. М.: Теплотехник, 2008. 504 с.

81. Ремнев Ю.И. О влиянии облучения на напряжения и малые деформации в твердом теле // Докл. АН СССР. 124. № 3. 1959. С. 540-541.

82. Роганова H.A., Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного в задачах плоской деформации неоднородных тел // Известия МГИУ. 2008. №1 (10). С. 75-84.

83. Роганова H.A., Шарафутдинов Г.З. Приближенный метод решения плоских задач теории упругости неоднородных тел // Машиностроение и инженерное образование. 2009. №3 (20). С. 63-71.

84. Роганова H.A., Шарафутдинов Г.З. Моделирование процесса деформирования толстостенной трубы из неоднородного материала // Вестник БГТУ. 2009. №3 (23). С. 104-109.

85. Руппенейт К.В. Некоторые вопросы механики горных пород. М.: Углетехиздат, 1952, 384 с.

86. Руппенейт К.В., Либерман Ю.М. Введение в механику горных пород. М.: Госгортехтздат, 1960, 356 с.

87. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968. 888 с.

88. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982. 264 с.

89. Скоров Д.М. Реакторное материаловедение. / Д.М. Скоров, Ю.Ф. Бычков, А.И. Дашковский; Под ред. Д.М. Скорова. М.: Атомиздат, 1979. 344 с.

90. Смирнов В.И. Сооружение подземных емкостей камуфлетными взрывами и выбор методов их закрепления // Шахтное строительство. 1973. № 12. С. 14-17.

91. Снеддон И.И., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физматлит, 1961. 220 с.

92. Спивак A.A. Поведение среды при подземном взрыве. / Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1980, №4, с. 48-55.

93. Справочник по конструкционным материалам: Справочник / Б.Н. Арзамасов, Т.В. Соловьева, С.А. Герасимов и др.; Под ред. Б.Н. Арзама-сова, Т.В. Соловьевой. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2005. 640 с.

94. Справочник по креплению нефтяных и газовых скважин / А. И. Булатов, Л. Б. Измайлов, В. И. Крылов и др. М.: Недра, 1981. 240 с.

95. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. М.: Недра, 1985. 271 с.

96. Теория упругости неоднородных тел / Библ. указ. отеч. и иностр. лит-ры / Сост. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Кишинев: Штиинца, 1972. 246 с.

97. Теория упругости неоднородных тел / Библ. указатель работ за 1974-1977 гг. / Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Кишинев: «Картя Молдавеня-скэ», 1977. 197 с.

98. Тер-Мкртичьян JI.H. Некоторые задачи теории упругости неоднородных упругих сред // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25. вып. 6. С. 1120-1125.

99. Тихонов C.B. Об упругопластическом состоянии толстостенной трубы из неоднородного материала под действием внутреннего давления // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. N6 (56). С. 13-20.

100. Торлин В.Н. Прямая и обратная задачи теории упругости для неоднородного тела // Прикладная механика. 1976. Т. 12. № 3.

101. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Изд-во иностр. лит., 1953.240 с.

102. Улыбин С.А. Теплоносители энергетических реакторов. М.-Л.: Энергия, 1966. 272 с.

103. Финк К., Рорбах X. Измерение напряжений и деформаций. М.: Машгиз, 1961. 535 с.

104. Фомин А.В, Определение напряженного состояния в объеме детали по известным перемещениям или напряжениям на части ее поверхности // Машиноведение. 1982. № 4. С. 67-73.

105. Хан X. Теория упругости. М.: Мир, 1988. 343 с.

106. Цитович H.A. Механика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа, 1973. 446 с.

107. Шарафутдинов Г.З. Некоторые осесимметричные задачи для-упругой неоднородной толстостенной трубы // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2008. №2. С. 34-39.

108. Шарафутдинов Г.З. Осесимметричная деформация толстостенной трубы из высокоэластичного материала // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2009. №2. С. 108-120.

109. Шарафутдинов Г.З. О постоянных Ламе и определяющих соотношениях механики деформируемых тел // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2004. №1. С. 55-58.

110. Шарафутдинов Г.З., Роганова H.A. Об одном применении функций комплексного переменного в задачах теории упругости неоднородных тел // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения». Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 155.

111. Шевченко Ю.Н. Общее решение задачи теории упругости при переменном модуле упругости // Доклады АН УССР. 1958. №10. С. 356-359.

112. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.

113. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М.: Наука, 1980.728 с.

114. Шумский П.А. Механизм деформирования и перекристализа-ции льда / Исследования по физике и механике мерзлых грунтов. Сб. 4. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 129-136.

115. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. М.: Мир, 1985.421 с.

116. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений. Под ред. Б.С. Касаткина. Киев: Наукова думка, 1981. 583 с.

117. Яремийчук Р. С., Семок Г. Г. Обеспечение надежности и качества стволов глубоких скважин. М.: Недра, 1982. 264 с.

118. Chitkara N.R., Aleem A. Extrusion of axi-symmetric bi-metallic tubes: some experiments using hollow billets and the application of a generalised slab method of analysis // Int. J. Mech. Sei. 2001. V. 43. P .2857-2882.

119. Conway H.D. A general solution for plain stress in polar coodinates with varying modulus of elasticity // Rev. roumaine sei. Ser. Mech. Appl. 1965. №10.

120. Mbanefo U., Westmann R.A. Axisymmetric stress analysis of a broken, debonded fiber // J. Appl. Mech. 1990. V. 57. P. 654-660.

121. Rizzo F. J., Shippy D. J. A formulation and solution procedure for the general non-homogeneous elastic inclusion problem // Int. J. Solids and Structures. 1968. № 4. P. 1161-1179.

122. Sadd M.H. Elasticity. Theory, Applications and Numerics. Aster-dam: Elsevier, 2005. 461 p.

123. Sanger F.J., Sayles F.H. Thermal and reological computations for artificially frozen ground construction / Engineering Geology, 1979, v. 13, P. 311337.

124. Torquato S. Random heterogeneous media: Microstructure and improved bounds on the effective properties // Appl. Mech. Rev. 1991. V. 44. P. 3776.

125. Torquato S. Random Heterogeneous Materials. Microstructure and Macroscopic Properties. New York: Springer, 2002. 701 p.

126. Woods W.K., Bupp L.P., Fletcher J.F. Irradiation damage to artificial graphite // Proceedings of the International Conferenceon the Peaceful Uses of Atomic Energy. 1957. № 7. P. 455.