Квазистатические, динамические и связанные задачи для массивных ограниченных тел в нелинейной теории термовязкоупругости структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Фролов, Николай Николаевич

• Фролов, Николай Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Фролов, Николай Николаевич

Введение

1. Физические соотношения термовязкоупругости структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров

1.1 Обозначения и соотношения термомеханики простых материалов с памятью

1.2 Основные гипотезы. Свободные энергии эластичной матрицы и элементов неоднородности

1.3 Построение функционала удельной свободной энергии структурно-неоднородных эластомеров

1.4 Учет сжимаемости эластомеров

1.5 Построение уравнений состояния '

1.6 Частный случай зависимости механических параметров элементов неоднородности от температуры

1.7 Однокомпонентная модель структурно-неоднородных эластомеров

1.8 Соотношения термовязкоупругости структурно - неоднородных эластомеров при малых деформациях

1.9 Определение структурно-механических параметров

2. Конечные упругие деформации тел из высокоэластичных слабосжимаемых материалов

2.1 Постановка задачи

2.2 Определяющие уравнения

2.3 Применение метода конечных элементов. Особенности чис- 4 ленной реализации

2.4 Сжатие резинового куба между двумя абсолютно жесткими плоскими штампами

2.5 Конечные упругие деформации резинового цилиндра ]

2.6 Кручение куба из гиперупругого слабосжимаемого материа- 138 ла

2.7 Расчет двухслойного резинометаллического параллелепипе- 145 да

2.8 Расчет двухслойного резинометаллического цилиндра в режиме заданных перемещений

2.9 Расчет цилиндрического резинометаллического сейсмоизолятора

2.10 Оценка эффективности сейсмоизоляции с использованием слоистых резинометаллических опор

2.11 Расчет напряженно-деформированного состояния резинового уплотнителя в условиях соприкосновения с системой жестких штампов

3. Вынужденные колебания предварительно деформированных тел при гармоническом догружении

3.1 Вариационная постановка задачи

3.2 Построение приближенного решения по методу усреднения в сочетании с МКЭ

3.3 Вынужденные моногармонические колебания предварительно деформированных вязкоупругих тел

3.4 Колебания тонкослойных резинометаллических опор при кинематическом возбуждении

4. Связанные задачи термовязкоупругости структурнонеоднородных слобосжимаемых эластомеров

4.1 Вариационная постановка задачи и метод решения

4.2 Диссипативный разогрев предварительно деформированного резинового куба при кинематическом догружении

4.3 Расчет теплообразования в резиновом цилиндре при гармоническом нагружении 239 4.4 Расчет температурных полей и напряжений в слоистом резинометаллическом виброизоляторе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазистатические, динамические и связанные задачи для массивных ограниченных тел в нелинейной теории термовязкоупругости структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров»

Промышленные изделия из высокоэластичных полимеров (эластомеров) обладают уникальными механическими и тепловыми характеристиками. Сфера применения и объемы производства резинотехнических изделий в промышлен-но развитых странах постоянно возрастают, эластомеры прочно удерживают и постоянно расширяют занятую ими нишу в производственной и бытовой деятельности человека.

Использование резины как конструкционного материала основано на следующих ее свойствах:

- высокая эластичность, обусловленная природной предрасположенностью к формоизменению;

- малая объемная сжимаемость и соответственно высокая делатационная жесткость;

- технологичность (возможность отливки деталей практически любой пространственной конфигурации с заданными по рецептуре физико-механическими свойствами материала);

- возможность для большинства изделий реализовать на практике режимы близкие к экстремальным при гарантированном ресурсе работоспособности.

При решении практических задач следует учитывать, что резина подвержена старению при воздействии повышенных температур и радиации, кроме того, при циклических нагрузках в резиновых изделиях наблюдается явление саморазогрева, что отрицательно сказывается на долговечности деталей.

При изучении термомеханического поведения резинотехнических изделий приходится решать ряд специфических проблем:

- большинство из выпускаемых промышленностью изделий имеют сложную геометрическую форму и воспринимают пространственно-неоднородные механические воздействия, поэтому формулировать и решать соответствующие краевые задачи необходимо в трехмерной постановке;

- как правило, нагружение резиновых деталей сопровождается большими перемещениями и деформациями, т.е. в изучаемых краевых задачах имеет место геометрическая нелинейность;

- резина, работающая в условиях больших деформаций и стесненности геометрического объема, обладает свойствами физически нелинейной среды, следовательно, связь между деформациями и внутренними усилиями является также нелинейной;

- при гармоническом догружении предварительно деформированных резинотехнических изделий в последних формируется поле избыточной температуры: имеет место так называемое термомеханическое сопряжение, когда поле деформаций определяет распределение температуры, и, в свою очередь, температура влияет на характер распределения деформаций (связанные задачи терм овязкоупругости);

- в большинстве случаев резиновые элементы машин и приборов эксплуатируются в условиях контакта с металлической арматурой, поэтому изучаемое изделие в целом оказывается сильно механически неоднородным: упругие характеристики высокоэластичной и армирующей составляющих отличаются на 2 - 5 порядков;

- в ряде случаев зоны контакта резиновых деталей с элементами арматуры неизвестны и зависят от внешних воздействий, поэтому необходимо формулировать и решать соответствующие контактные задачи, определяющим фактором при изучении которых могут играть силы трения.

Таким образом, создание физико-математической модели деформирования высокоэластичных материалов в температурных полях и технологии решения прикладных задач в общей трехмерной постановке, в том числе и для конструкционно-неоднородных сред на основе эластомеров, представляет собой сложную и актуальную задачу механики деформируемого твердого тела (МДТТ), имеющую важное научно-техническое приложение.

В настоящее время большинство результатов в области расчетов резинотехнических изделий выполнено методами нелинейной теории упругости, предусматривающими использование определяющих уравнений, построенных на основе известных потенциалов для эластомеров - Трелоара, Муни-Ривлина, Бартенева-Хазановича с привлечением гипотезы о механической несжимаемости материала. Конечной жесткостью арматуры, как правило, пренебрегают и прочностные расчеты для нее не проводят. Однако при реализации в высокоэластичных частях резиноармированных конструкций напряжений в несколько десятков МП а, напряжения в армирующих составляющих могут достигать сотен МПа, и разрушение такого изделия может произойти вследствие разрыва арматуры. Поэтому учет деформативности арматуры и делатационной жесткости эластомера при решении таких задач является принципиально необходимым. Однако главным является то, что в большинстве из предлагаемых вариантов уравнений состояния отсутствуют явные теоретические зависимости механических параметров от температуры, что ограничивает применение соответствующих теорий для описания механического поведения резинотехнических изделий в температурных полях.

Предметом исследования в настоящей работе являются высокоэластичные материалы - эластомеры, изучаемые в аспекте построения для них замкнутых соотношений термовязкоупругости с учетом реальной внутренней структуры материала (неоднородности). Особое внимание уделено решению проблемы параметрической идентификации уравнений состояния, т. е. доведению их до числа с последующей возможностью использования при решении краевых задач. Значительные усилия сконцентрированы на решении краевых задач механики и термомеханики эластомеров: квазистатических задач для гиперупругих тел, динамических задач, связанных с изучением моногармонических колебаний в телах из структурно-неоднородных эластомеров, задач, посвященных прогнозированию полей напряжений и избыточной температуры в условиях диссипативного разогрева и др.

Решение поставленной проблемы выполнено на основании современных представлений о внутренней структуре эластомеров с применением классических принципов и положений механики сплошной среды и современных численных методов анализа краевых задач математической физики.

Совокупность результатов, полученных по построению теории определяющих уравнений и разработке технологии решения краевых задач термовяз-коупругости эластомеров, отличается следующим:

1. Дано дальнейшее развитие (обобщение) физико-математической модели структурно-неоднородных эластомеров с учетом объемной сжимаемости материала и зависимостей механических характеристик всех элементов структуры от температуры:

- для общего случая многокомпонентной системы получены функционалы свободной энергии, энтропии, рассеяния, напряжений и «закон сжимаемости»;

- реализованы частные случаи разрабатываемой модели: построены определяющие выражения для однокомпонентной (усредненной по ансамблю свойств элементов структуры) модели, модели с линейной зависимостью механических параметров элементов неоднородности от температуры, приведены основные соотношения структурно-неоднородных эластомеров при малых деформациях. Путем выделения функции типа гидростатического давления получены определяющие уравнения, используемые при численном решении краевых задач термовязкоупругости эластомеров;

- разработана и практически реализована на ЭВМ методика параметрической идентификации уравнений состояния на базе данных макрофизических опытов и последующего решения задачи нелинейного программирования;

2. На основе полученных соотношений термовязкоупругости структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров разработана технология конечно-элементной реализации на ЭВМ трехмерных нелинейных (линеаризованных) задач:

- создано аналитическое и программное обеспечение для расчета конечных деформаций в телах из гиперупругих эластомеров в условиях генерирования высокого уровня нормальных напряжений и совместной работы высокоэластичных составляющих и металлической арматуры, в том числе и применительно к контактным задачам;

- в рамках кинематики наложения малых квазигармонических воздействий на состояние с равновесными конечными деформациями разработана и численно реализована на ЭВМ методика решения трехмерных динамических задач вязкоупругости для механически однородных тел и слоистых резиноме-таллических пакетов;

- в пространственной постановке реализован алгоритм численного решения связанных динамических задач термовязкоупругости с учетом диссипатив-ного саморазогрева;

- в результате проведенных исследований получены решения задач, представляющих определенный теоретический интерес и имеющих непосредственное техническое приложение: кручение гиперупругого куба, расчет слоистого резинометаллического сейсмоизолятора, квазистатический и динамический расчет однородных и слоистых по толщине амортизаторов (виброизоляторов) в форме параллелепипеда и цилиндра при различных направлениях нагружения, анализ температурных напряжений в резинометаллических структурах в условиях диссипативного разогрева.

Результаты, касающиеся теории определяющих уравнений и их практического применения в контексте реализации современных численных методов решения краевых задач, опирающихся на вычислительные ресурсы современных ЭВМ, являются основой для изучения широкого спектра практических задач, связанных с прогнозированием работоспособности и долговечности резинотехнических изделий: амортизаторов и уплотнителей различной формы, гибких связей, муфт, тонкостенных конструкций различного назначения, трансплантационных элементов и др., используемых в приборостроении, биоинженерии и других отраслях экономики и жизнедеятельности.

Проведенные в работе исследования базируются на сформулированном A.A. Ильюшиным принципе макроскопической определимости /1/, согласно которому любая термомеханическая макроскопическая величина в заданной точке тела в любой момент времени однозначно определяется историями деформации и температуры в этой же точке, причем напряжения и тепловой поток являются искомыми функционалами памяти этого процесса. Утверждение о локализации термомеханических процессов в макрочастице позволяет находить искомые функционалы из экспериментов с однородным напряженным и деформированным состоянием на образцах конечных размеров. Если сформулировать исходную проблему в классе термомеханически простых материалов, для которых функционал свободной энергии не зависит от градиента температуры, то основная задача построения замкнутых систем уравнений для исследуемого материала состоит в конструировании и конкретизации функционала свободной энергии, на основании которого в последующем строятся уравнения состояния, функционалы энтропии, рассеяния и условие механической сжимаемости.

Проблема формулировки уравнений состояния при конечных деформациях, в том числе и для высокоэластичных материалов, является объектом интенсивных исследований, выполненных в течение последних нескольких десятилетий. Результаты этих исследований приведены в фундаментальных монографиях Ильюшина A.A. /1/, Лурье А.И. /2/, Гольденблатта И.И. /3/, Новожилова В.В. /4/, Гузя А.Н. /5/, Работнова Ю.Н. /6/, Грина и Адкинса /7/, Локетта /8/, Дэя /9/, Трусделла /10/, Хаазе /11/, Кристенсена /12/ и др. Построена общая теория определяющих уравнений вязкоупругих материалов с затухающей памятью. При этом для описания термомеханического состояния вязкоупругих материалов используются две гипотезы. Согласно первой из них состояние системы однозначно определяется функциональными зависимостями от истории движения и температуры. С учетом принципов детерминизма, локального действия и материальной независимости от системы отсчета первой гипотезе отвечают определяющие уравнения функционального типа /1,8-10,12/. Вторая гипотеза сформулирована как гипотеза о параметрах состояния /1,13/, согласно которой состояние системы описывается тензором деформации, температурой, градиентом температуры и конечным или бесконечным множеством внутренних переменных, которые удовлетворяют системам дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений эволюции и являются функционалами истории деформации и температуры. Построенные на основе вышеуказанных гипотез уравнения состояния отличаются максимальной общностью и подлежат дальнейшей поэтапной конкретизации /14/. Ограничения, накладываемые на исходные функционалы и определяющие уравнения, можно условно разделить на две подгруппы. Первую из них будем связывать с ограничениями физического плана, следующими из соответствующих законов термодинамики. Вторая группа содержит ограничения, свойственные каждому типу материалов в отдельности. Установление этой группы ограничений является основным этапом в решении вопроса построения определяющих уравнений для конкретного материала и, как правило, требует проведения большого объема экспериментально-теоретических исследований.

В процессе «индивидуализации» уравнений состояния для сред функционального или интегро-дифференциального типов возникает необходимость во введении дополнительных предположений относительно вида этих уравнений. Примером теорий, построенных на таких предположениях, являются квазилинейная и главная /15,16/, конечная линейная /10,17/ и ряд других теорий.

Для учета зависимости механических свойств материала от температуры используется гипотеза о термореологически простом поведении материала (TBC) /18/. Вопросам применения вышеуказанной гипотезы в общих теориях построения уравнений состояния и их конкретизации посвящено множество работ, из последних отметим монографию /14/, где с использованием соотношений термодинамики необратимых процессов автором построены различные варианты определяющих уравнений для обобщенных термореологически простых сжимаемых и механически несжимаемых материалов. Однако, использование приведенного времени существенно усложняет вид определяющих уравнений, углубляет степень их нелинейности и ограничивает сферу практического применения температурных теорий /19/. Для эластомеров изменение температуры приводит помимо горизонтального к вертикальному сдвигу экспериментальных кривых ползучести и релаксации, величины этих сдвигов различны в различные моменты времени, следовательно, эластомеры следует относить к материалам с термореологически сложным поведением.

В частном случае термоупругих материалов напряжения в любой точке изучаемого тела считаются зависящими только от текущих значений деформации и температуры. Функция свободной энергии является потенциалом для контравариантного тензора Коши. Частным случаем термоупругих материалов являются гиперупругие материалы. Именно этому случаю посвящены многочисленные исследования ученых. В работе /20/ приведен обзор наиболее популярных потенциалов для гиперупругих механически несжимаемых материалов, насчитывающий двадцать четыре потенциала, предложенных с 1940 г. Вопрос о степени применимости того или иного потенциала в каждой конкретной задаче механики эластомеров остается открытым, теме не менее описание механического поведения эластомеров с помощью упругого потенциала общепризнанно, хотя единого мнения о форме его записи, пределах применимости и точности описания не выработано /21/. В ряде случаев полученные на основе упругих потенциалов определяющие выражения для напряжений обобщаются на случай вязкоупругих материалов путем замены соответствующих упругих постоянных интегральными операторами Вольтерра /22-26/.

При расчете резинотехнических изделий, эксплуатируемых в условиях существования высокого уровня нормальных напряжений в резине (тонкослойных резинометаллических элементов, уплотнительных клапанов и др.), гипотеза о механической несжимаемости резины становится математически некорректной и принципиальным является учет малой объемной сжимаемости резины. В решении этой проблемы отмечено два подхода. Первый из них основан на модификации известного потенциала для несжимаемого материала путем введения дополнительных функций, ответственных за изменение объема /27-30/, второй - подразумевает введение новой системы инвариантов Коши-Грина /31,32/ с последующим переходом к потенциалу, содержащему ряд обобщенных модулей упругости, по величине которых можно судить о степени сжимаемости материала.

Альтернативой феноменологическому подходу при построении уравнений состояния является структурный подход, основанный на изучении реальной структуры макрочастицы, ее физических свойств и построении на этой основе математической модели материала. Значительный успех был достигнут в построении нелинейной статистической теории термоупругости, основы которой были заложены в работах Джемса и Гута /33-35/, а в последующем в трудах Куна и Трелоара /36/. Дальнейшее развитие и физико-математическое обоснование статистической теории было дано в работах Флори, Морана, Волькенштейна и Нагаи /37/ и в основном сводилось к уточнению функции распределения цепных молекул. Статистическая теория правильно определяет зависимость механических свойств эластомеров от температуры, однако не в полной мере учитывает особенности внутренней структуры высокоэластичных материалов, ставшими известными лишь благодаря современным достижениям в области химии и технологии эластомеров /38-39/. Эластомеры являются макросетчатыми микронеоднородными полимерами, состоящими из высокомолекулярной структуры (матрицы) и химически связанных с ней областей другой структуры (элементов неоднородности). Элементы неоднородности имеют микрогетерогенную структуру, в них сочетаются прочные химические и слабые межмолекулярные связи. Благодаря наличию гибкоцепной матрицы эластомеры проявляют в широком диапазоне температур (от температуры стеклования до температуры перехода в вязкотекучее состояние) способность к большим, почти обратимым деформациям.

В контексте современных представлений о структуре эластомеров дальнейшее развитие статистической теории структурно-неоднородных эластомеров было дано И.М. Дунаевым /40-53/. Макрочастица эластомера была представлена как совокупность двух подсистем: высокоэластичной матрицы и элементов неоднородности различных типов, причем последние были наделены вязкоуп-ругими свойствами. На основе статистической теории Джемса и Гута для высокоэластичной матрицы, а также феноменологических соотношений термовязко-упругости для элементов неоднородности автором получены определяющие выражения термовязкоупругости для механически несжимаемых эластомеров, явно зависящие от температуры и содержащие ряд параметров, имеющих физический смысл.

При решении краевых задач механики эластомеров перед исследователем возникает проблема выбора и параметрической идентификации определяющих уравнений. Возможность доведения постановочной группы уравнений задачи до числа во многом определяется степенью общности исходных соотношений, их адекватностью по отношению к термомеханическому поведению исследуемого материала. Немаловажную роль играет необходимый объем экспериментальных исследований и наличие программного обеспечения для корректной обработки эмпирических данных. Так в работе /54/ отмечено, что использование определяющих уравнений в виде разложения Грина-Ривлина /55/ затруднено вследствие высокой чувствительности ядер соответствующих крат-ноинтегральных представлений к неточностям экспериментальных данных. В работе /56/ для нахождения модуля упругости и параметров ядра Ржаницына, конкретизирующих уравнения линейной теории вязкоупругости, предложен метод совмещения, основанный на экспериментальных данных по ползучести и релаксации. В работах /57,58/, где для решения этой же задачи использовались методы минимизации, продемонстрирована сильная зависимость полученных решений от начальных приближений, являющаяся следствием экспериментальной неопределенности относительных значений механических потерь. Поэтому в этих работах авторами предложено дополнительно учитывать данные по составляющим комплексного модуля при стационарных гармонических колебаниях. Увеличение объема экспериментальной информации сужает интервалы возможного изменения искомых параметров, однако, не гарантирует единственности решения соответствующей задачи минимизации, поскольку минимизируемые функционалы не являются строго выпуклыми. Сужение области определения варьируемых параметров может быть достигнуто путем постановки ограничений, следующих из физического смысла определяющих уравнений, что, в свою очередь, предъявляет определенные требования физического характера к исходной теории, которую искомые параметры конкретизируют.

Для определения параметров, ответственных за степень сжимаемости эластомера, необходимы дополнительные испытания. Так известны эксперименты при одноосном деформированном состоянии /58,59/, имеются методы определения сжимаемости резин, основанные на измерении длины образцов, подвергающихся воздействию гидростатического давления /60/. В работе /61/ разработан метод, отличающийся более высокой точностью и предусматривающий измерение суммарного объема цилиндрических образцов и инертной жидкости при воздействии гидростатического давления.

В настоящее время получают развитие новые технологии параметрической идентификации определяющих уравнений в МДТТ, основанные на решении обратных коэффициентных задач /62-64/, суть которых заключается в определении параметров материала по результатам серии механических испытаний с заданием внешних воздействий и измерением реакций на поверхности тела. Задача о нахождении распределения по объему упругих модулей в неоднородном линейно-упругом теле сформулирована в работе /64/. Задача - нелинейная, поэтому там же для ее решения предложены итерационные алгоритмы, основанные на идее двойственности, суть которых состоит в том, что для определения коррекции упругих модулей строятся функциональные уравнения, в правых частях которых фигурируют невязки между теоретически прогнозируемыми и экспериментально определяемыми на границе усилиями или смещениями. Заметим, что применительно к средам со сложными свойствами алгоритмы томографии потребуют разработки специальных экспериментальных программ, обоснования существования и единственности и разработки методов решения соответствующих коэффициентных задач.

Важным этапом изучения термомеханических процессов в телах из высокоэластичных материалов является разработка (выбор) и реализация эффективного метода решения соответствующей краевой задачи. Ввиду количественного многообразия типов и постановок краевых задач механики деформируемых тел обратимся лишь к некоторым из них.

Технология исследования статических и динамических задач механики деформируемого твердого тела в геометрически линейной постановке, включая стационарные, нестационарные и контактные задачи для тел неканонической геометрии, структуры и сложными свойствами, разработана в трудах Александрова В.М. с соавторами /65,66/, Бабешко В.А. с соавторами /67,68/, Бреховских Л.М. /69/, Ватульяна А.О. /70/, Воровича И.И. с соавторами /71,72/, Гринченко В.Т. и Мелешко В.В. /73/, Майбороды В.П. /74/, Морозова Н.Ф. с соавторами

75/, Новацкого В. /76, 77/, Партона В.З. и Кудрявцева Б.А. /78/, Пряхиной О.Д. /79/, Слепяна Л.И. /80/, Улитко А.Ф. /81/ и многих других. Из последних результатов в этой области отметим монографию /82/, где систематически изложены последние результаты по изучению динамического взаимодействия массивных тел с полуограниченными слоистыми средами, обладающими сложными физико-механическими свойствами. В механике высокоэластичных материалов, практическое применение которых зачастую эффективно именно в области конечных деформаций, реализация аналитического аппарата линейной теории затруднительна. Этим обстоятельством объясняется резкое сокращение количества решенных в этой области практических задач по сравнению с линейной теорией. Тем не менее, возможности использования существующих идей и методов исследования линейных задач в механике эластомеров далеко не исчерпаны, соответствующий аппарат находит достойное применение в многочисленных примерах линеаризованных задач, связанных с изучением динамики и устойчивости предварительно нагруженных тел 151.

Наибольшее развитие за последнее время получили методы решения краевых задач нелинейной теории упругости и это обстоятельство напрямую связано с появлением и постоянным усовершенствованием парка вычислительных машин. На базе ЭВМ был создан мощный приближенный метод математического анализа - метод конечных элементов, были разработаны и получили многочисленное развитие эффективные методы нелинейного программирования. Методы решения геометрически нелинейных задач разработаны и реализованы в работах Одена /83/, Аргириса с соавторами /84, 85/, Аргириса и Сумео-нидиса /86/ и в других работах. Применительно к механике высокоэластичных материалов соответствующие математические процедуры были развиты в монографиях Одена /83/, ЛавенделаЭ.Э. /87/, в работах Дымникова С.И. с соавторами /19/, Бидермана В.Л. и Жислина А.Я. /88/, Мюракава и Атлури /89/, Харху-рима И .Я. /90/, Гозмана Е.А. с соавторами /91/, Ля Толлека /92/, Гловински и Ля

Толлека /93/, Тумалы с соавторами /94/, Одена и Кикучи /95/, Зубова JIM. с соавторами /96,97/, Медри с соавторами /98/, в ряде других работ, полное перечисление которых выходит за рамки настоящего изложения. Применительно к геометрически нелинейным контактным задачам соответствующие методы были развиты и практически использованы в работах Кравчука A.C. с соавторами/99-102/, Одена и Кикучи /103/, Ля Толлека/104/, Сниегса М.И. /105/, Клоч-кова Ю.В. и Николаева А.П. /106/, где использовался вариационный подход. Многочисленные аспекты реализации вариационного метода в решении задач механики систем с односторонними связями получили обобщение в монографии /107/. Из числа недавно опубликованных отметим работы /108-112/. Общим элементом в предлагаемых исследованиях является переход к конечномерной задаче с последующим решением системы нелинейных уравнений одним из известных методов: последовательных приближений, пошаговой линеаризации, Ньютона-Рафсона или путем их комбинирования /113/. Эффективный метод решения пространственных задач для тел сложной геометрии изложен в работе И.Н. Шардакова с соавторами /114/.

Применительно к геометрически нелинейным статическим и динамическим задачам теории вязкоупругости соответствующие методы были предложены в работах в работах /23-25/, где авторы разыскивали решение в виде линейной комбинации координатных функций с искомыми коэффициентами, зависящими от времени. В работе /115/ для решения геометрически нелинейных задач вязкоупругости использовался метод степенных рядов.

Значительный интерес представляют задачи расчета напряженно-деформированного состояния тонкослойных резиноармированных элементов. Пионерской здесь следует считать работу Бидермана B.JI./116/, касающуюся построения инженерных формул для расчета жесткости тонкослойных амортизаторов и прокладок. Аналитические и численные решения линейных задач, связанных с определением напряженно-деформированного состояния в тонких слоях резины при сжатии и сдвиге в предположении о недеформируемости металлических слоев, были представлены в работах /117-119/. Обобщением такого подхода является учет физически нелинейного поведения резины при значительных уровнях гидростатического давления /120/. Гипотеза о не деформируемости армирующей фазы не позволяет оценить степень неравномерности распределения нагрузки по слоям деформируемого пакета, поэтому получила развитие теория контактирующих антиоболочек/121/, приводящая к необходимости удовлетворения условиям стыковки на многочисленных контактных поверхностях. Все же в наиболее полной постановке соответствующие исследования были проведены в работах/122,123/, где решение нелинейных пространственных задач было получено полуаналитическим МКЭ для тел канонической конфигурации (в форме тел вращения).

Связанные задачи термовязкоупругости составляют особый, сложный класс задач термомеханики деформируемого твердого тела. При наложении малых вибросоставляющих нагрузки на состояние с предварительными конечными деформациями в эластомерах наблюдается саморазогрев, который в условиях низкой теплопроводности материала и недостаточной теплоотдачи на поверхности может привести к разрушению изделия. Изучению общих проблем термомеханического сопряжения и решению конкретных связанных задач термовязкоупругости с учетом физической нелинейности материала посвящены работы Шепери P.A. /124/, Волосевика P.M. и Грача С. /125/, Хуань Н. и Ли Е. /126/, Лавендела и Санкина /127/, Победри Б.Е. с соавторами /128-134/, Горелика Б.М. с соавторами /135/, Коста и Херда /136/, Громова В.Г. и Мирошникова В.П. /137/, Демченко В.П. /138/, ученых украинской школы /139-146/, где при численной реализации связанных задач применялась формула Вильямса-Ланделла-Ферри. Приведенные результаты получили обобщение в монографиях /14,15,147/. В качестве основных методов решения уравнений движения и энергии использовались шаговый метод, метод квазилинеаризации и ВКБ, метод последовательных приближений и их модификации. В работе /147/ отмечается, что шаговый метод является наиболее эффективным инструментом исследования связанных задач, позволяющим проанализировать как докритическое термомеханическое состояние, когда решение выходит на стационарное значение, так и закритическое, когда решение задачи либо вовсе не существует, либо имеет место бифуркация термомеханического состояния. Отличительной особенностью задачи, изучаемой в работе /138/, является использование уравнений состояния с явной зависимостью механических характеристик от температуры. В книге /19/ представлено полученное методом Бубнова-Галеркина решение плоской несвязанной стационарной задачи термовязкоупругости по расчету температурного поля в предварительно деформированном резинометалличе-ском амортизаторе.

Для реализации любой задачи механики деформируемого твердого тела на ЭВМ необходимо осуществить приведение исходных континуальных соотношений к конечномерной задаче (дискретизацию). Из возможных методов дискретизации приоритет в настоящее время принадлежит методу конечных (МКЭ) и методу граничных элементов (МГЭ), последовательное изложение которых можно найти в ряде фундаментальных монографий и работ обзорного характера /83, 148-158/ и в многочисленных других работах. Вопросы, исследуемые в различных приложениях и аспектах реализации этих методов, чрезвычайно разнообразны /159-166/. Применение МГЭ позволяет существенно сократить размерность разрешающей системы, метод обладает более высокой точностью в смысле определения полей напряжений /167/, однако в ряде случаев его реализация затруднительна, как, например, для механически неоднородных тел и физически нелинейных задач. Преимущественными характеристиками МКЭ являются его «нечувствительность» к проблемам механической неоднородности и смешанных граничных условий, наличие исторически накопленных средств программного обеспечения и наработанных процедур дискретизации. Реализующие метод конечных элементов программные комплексы NON SAP, ANSYS, NASTRAN, ASKA, MARS и другие, транслируемые на современных мультипроцессорных системах типа CRAY х, VAX хх/ххх, CYBER ххх и др., ориентированы на решение определенных классов нелинейных задач, однако, вследствие многообразия нелинейного поведения материалов (в том числе и ре-зиноподобных), они не могут быть оценены как универсальные. Громоздкая иерархия программных комплексов зачастую приводит к усложненной процедуре ввода исходных данных и сопряжена с большим объемом подготовительной работы. Кроме того, пользователь не имеет прямого доступа к программным модулям и должен довольствоваться существующими в предлагаемом инструментарии возможностями, что в значительной мере ограничивает творческую инициативу исследователя. Поэтому специализированные коллективы, занимающиеся решением проблемно ориентированных задач, в большинстве случаев склонны к разработке своего программного продукта, в ряде случаев более совершенного и гибкого в эксплуатации. При оценке эксплуатационных характеристик программных систем все большее внимание уделяется сервисному обслуживанию, а именно наличию пред - (описание проблемы, автоматическая генерация модели, ее проверка и корректировка) и постпроцессорных (представление и визуализация результатов) разработок. Отметим, что сравнительная оценка методов конечных и граничных элементов по критерию минимума затрат машинного времени вряд ли будет целесообразной в условиях существования современного рынка ПЭВМ, оснащенных процессорами Intel Pentium III и ОЗУ объемом от 32 до 1024 Мбайт. Комбинирование МКЭ и МГЭ создает огромные возможности в технологии исследования сложнейших задач математической физики, включая и проблемы механики сплошной среды.

В заключение этого обзора приведем несколько работ, посвященных разработке методов решения контактных задач. Как продемонстрировано в работах /168-170/ для решения контактных задач, в том числе с учетом трения и геометрической нелинейности, наиболее перспективным представляется использование итерационных процедур типа Удзавы-Эрроу-Гурвица, основанных на приведении задачи минимизации к задаче разыскания седловой точки функционала. Не исключено, что в каждом конкретном случае эффективными могут быть и другие методы нелинейного программирования: штрафа, релаксационные, скользящего допуска /171/, которые в сочетании с методами дискретизации составляют совокупность алгоритмических методов. По возможности эффективными оказываются подходы, основанные на совместном применении аналитических и численных методов. В качестве примера можно привести подход, реализованный в работе /172/. Из числа сравнительно недавних публикаций, посвященных численному решению конкретных контактных задач, можно представить работы /173-175/.

В процессе исследования трехмерных квазистатических и динамических задач механики эластомеров в настоящей работе особое внимание уделено отработке таких методов и алгоритмов, численная реализация которых технически возможна на общедоступных ПЭВМ стандартной конфигурации, а время численного решения рассматриваемых задач сопоставимо с отрезком рабочего времени инженера-исследователя, владеющего основами численных методов и мкэ.

В объеме представляемой работы рассмотрены и решены следующие задачи.

Первый раздел посвящен построению и исследованию физических соотношений термовязкоупругости высокоэластичных материалов.

В объеме подраздела 1.1 в репере декартовой ортогональной системы координат приведены основные обозначения и определения, сформулированы основные соотношения механики и термодинамики для термомеханически простых материалов с памятью;

В подразделе 1.2 представлены основные гипотезы и допущения, положенные в основу построения определяющих уравнений структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров. В отличие от соотношений, предложенных в работах /41-53/, предлагаемый вариант теории разрабатывается с учетом зависимости механических характеристик элементов неоднородности от температуры и реальной слабой сжимаемости материала. Дана конкретизация термомеханического поведения составляющих фаз макрочастицы: постулировано выражение свободной энергии для высокоэластичной части (матрицы), вычисленной в работе /52/ с учетом эффекта исключенного объема, приходящегося на элементы неоднородности, функционал свободной энергии каждого из типов которых принят в виде квадратичного разложения по линейным функционалам истории деформаций с учетом зависимости механических характеристик элементов структуры от текущего значения абсолютной температуры.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Фролов, Николай Николаевич

Основные результаты и выводы

1. На основании законов термодинамики необратимых процессов, феноменологических соотношений теории термовязкоупру] ости и экспериментально-теоретических исследований в области механической сжимаемости эластомеров в рамках теории термомеханически простых материалов дано дальнейшее развитие нелинейной теории термовязкоупругости высокоэластичных материалов с учетом зависимости физико-механических свойств элементов структуры от температуры:

1.1 Построен функционал свободной энергии структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров в варианте общей многокомпонентной модели, представленной как совокупность двух подсистем - эластичной матрицы и элементов неоднородности различных типов, физико-механические свойства которых зависят от температуры;

1.2 Получены функционалы свободной энергии для частных случаев модели: модель с линейной зависимостью механических характеристик элементов неоднородности от температуры, однокомпонентная модель, модель при инфи-нитезимальных деформациях;

1.3 На основании полученных функционалов найдены определяющие уравнения для напряжений, энтропии и рассеяния в общей нелинейной постановке, отличающиеся явной теоретической зависимостью механических параметров и функций от температуры и структурных характеристик материала;

1.4 На основе теоретически найденных температурных зависимостей в рамках однокомпонентной модели разработана методика ускоренного определения физико-механических параметров материала, основанная на использовании результатов макрофизических опытов при различных видах напряженно-деформированного состояния (измерении релаксации напряжений при одноосном напряженном состоянии и простом сдвиге, механических потерь при стационарных гармонических колебаниях, касательного объемного модуля при гидростатическом сжатии) и последующем решении задачи нелинейного программирования.

2. Для оценки практической применимости предложенной теории разработан программный комплекс по реализации нелинейных и линеаризованных краевых задач термовязкоупругости эластомеров в общей трехмерной постановке, основанный на использовании метода конечных элементов и метода усреднения в сочетании с шаговыми процедурами в различной модификации:

2.1 Создано аналитическое и программное обеспечение для исследования напряженно-деформированного состояния тел из высокоэластичных материалов и резинометаллических структур в предположении нелинейно-упругого поведения резины в условиях генерирования конечных деформаций и высокого уровня нормальных напряжений;

2.2 Отработаны и реализованы методы и алгоритмы для изучения вынужденных моногармонических колебаний механически однородных тел из высокоэластичных вязкоупругих материалов, а также резинометаллических структур в рамках кинематики наложения малых возмущений на состояние с предварительными конечными деформациями;

2.3 На основании теоретически найденных зависимостей механических параметров эластомеров от температуры разработана и практически реализована на ЭВМ технология решения нестационарных связанных динамических задач термовязкоупругости для предварительно деформированных механически однородных и резиноармированных тел при моногармоническом догружении. Применительно к указанному процессу нагружения конкретизированы функционалы скорости изменения энтропии, рассеяния и получено связанное уравнение теплопроводности.

3. С привлечением разработанного программного обеспечения получены новые решения задач, имеющих непосредственное техническое приложение:

3.1 В нелинейно-упругой постановке получены решения следующих задач: сжатие куба и цилиндра, кручение куба, сжатие тонкослойных резиноме-таллических элементов в форме параллелепипеда и цилиндра, сжатие с последующим сдвигом слоистого резинометаллического сейсмоизолятора, монтаж в посадочное гнездо резинового уплотнителя сложной геометрической конфигурации с последующим генерированием избыточного давления (контактная задача);

3.2 В рамках программы по расчету моногармонических колебаний массивных тел конечных размеров изучено динамическое поведение вязкоупругого куба и цилиндра при кинематическом возбуждении торцов. Аналогичные расчеты выполнены для тонкослойных резинометаллических пакетов. Реализованы различные варианты загружений: продольные и сдвиговые колебания с учетом и без учета предварительного нагружения;

3.3 Решены задачи для предварительно деформированных вязкоупругих телах канонической конфигурации (куб, цилиндр) при гармоническом догружении с учетом внутренней диссипации. Исследовано влияние начального нагружения на формирование полей избыточной температуры. Для тела в форме слоистого резинометаллического параллелепипеда произведен расчет дополнительных температурных напряжений, возникающих в слоях различной природы. Установлено, что значения дополнительных температурных напряжений сопоставимы с величинами напряжений от предварительного статического нагружения. Для всех случаев найдены зависимости истории избыточной температуры.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Фролов, Николай Николаевич, 2000 год

1. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. - 287 с.

2. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

3. Гольденблатт И. И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1965.- 336 с.

4. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

5. Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. - 270 с.

6. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.-384 с.

7. Грин А., Адкинс Д. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 455 с.

8. Lockett F. J. Nonlinear viscoelastic solids. London - New-York: Acad. Press, 1972. - 196 p.

9. Дэй У. А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. - 190 с.

10. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.-М.: Мир, 1975.- 592 с.

11. Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов. М. Мир, 1967. - 544 с.

12. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. - 340 с.

13. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1969. т.1. 492 е.; 1970. т.2. 568 с.

14. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев: Наукова думка, 1982.-247 с.

15. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовяз-коупругости. М.: Наука, 1970. - 28 с.

16. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости. В кн.: Упругость и неупругость, вып. 3. Изд=во МГУ, 1973, с. 417-428.

17. Coleman B.D., Noll W. Foundation of linear viscoelasticity. Rew. modern phys., 1961, 33, №2, p. 239-249.

18. Leaderman H. Elastic and Greep Properties of Filamentons Materials and Other Higt Polymers. Washington, 1943, p. 175.

19. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластичных материалов / Дымников С. И., Лавендел Э. Э., Павловские А.-М.-А. и др. Рига: Зи-нанте, 1980.- 238 с.

20. Черных К. Ф., Шубина И. М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов. Науч. тр./Краснодар. политехи, ин-т, 1977, вып. 242, Механика эластомеров, с. 54-64.

21. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий. М.: Машиностроение, 1976.-232 с.

22. Канцанс М.В., Лавендел Э.Э. Запись закона состояния для несжимаемой вязкоупругой среды при конечных деформациях. Вопросы динамики и прочности. Рига, 1981, вып. 38, с. 39-48.

23. Колтунов М. А., Трояновский И. Е. Постановка задачи нелинейной теории вязкоупругости. Механика полимеров, 1975, № 2, с. 234 - 240.

24. Колтунов М. А., Трояновский И. Е. Геометрически нелинейная задача теории вязкоупругости. Науч. тр./ Краснодар, политехи, ин-т, 1977, вып. 242, Механика эластомеров, с. 36 47.

25. Кравчук А. С., Моргунов Б. П., Трояновский И. Е. Вынужденные нелинейные колебания вязкоупругого тела. Механика полимеров, 1974, № 4, с. 689 -694.

26. Адамов A.A. К выбору функционала для описания поведения вязкоупругого материала при конечных деформациях. Науч. тр./Краснодар. политехи. ин-т, 1980, вып. 101, Механика эластомеров, с. 56-59.

27. Sharda S. С., Tschoegl N. W. A strain energy density function for compressible rubberlice materials. Trans. Soc. Rheology, 20:3, 1976, p. 361 372.

28. Черных К. Ф., Шубина И. M. Об учете сжимаемости резины. Науч. тр./ Краснодар, политехи, ин-т, 1978, вып. 268, Механика эластомеров, с. 56 -62.

29. Дымников С. И., Мейерс И. Р., Эрдманис А. Г. Упругие потенциалы для слабосжимаемых эластомерных материалов. // Вопр. динамики и прочности. 1982. - Вып. 40. - с. 98 - 108.

30. Эрдманис А. Г. Расчет нелинейных механических характеристик пакетов тонкослойных эластомерных упругих элементов: Автореф. дис. канд. техн. наук. Рига., 1986. - 20 с.

31. Cescotto S., Fonder С. A finite element approach for large strain of nearly incompressible rubberlice materials// Int. J. Solids and Structures, 1979, v. 15, n. 8, p. 589 605.

32. Роговой А. А. Уравнения состояния и функционал для слабосжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях. Науч. тр./ Краснодар. политехи, ин-т, 1988, вып. 211, Механика эластомеров, с. 72 88.

33. James Н.М. Statistical Properties of Networks of Flexible Chains. J. Chem. Phys., 1947, 15, №9, p. 651-668.

34. James H.M., Guth E. Theoty of the Increase in Rigidity of Rubber during Cure. J. Chem. Phys., 1947, 15, № 9, p. 669-683.

35. James H.M., Guth E. Simple Presentation of Network Theory of Rubber with a Discussion of Other Theories. J. Polymer Sci., 1949, № 4, p. 153-182.

36. Трелоар JI. Физика упругости каучука. M.: Ил., 1953. 240 с.

37. Флори П. Статистическая механика цепных молекул. М.: Мир, 1971. -440 с.

38. Догадкин Б.А. Химия эластомеров. М.: Химия, 1972. - 390 с.

39. Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. Физика и механика полимеров. М.: Высшая школа, 1983. - 390 с.

40. Дунаев И.М. Обобщенный упругий потенциал для расчета конструкций из эластичных полимеров. Изв. Высш. учеб. заведений, Строительство и архитектура, 1975, № 10, с. 30-37.

41. Дунаев И.М. Термовязкоупругость эластомеров I. В кн. Механика эластомеров. Межвузовский сб. - Краснодар, Краснодар, политехи, ин-т,1977, вып. 242, с. 22-35.

42. Дунаев И.М. Определяющие соотношения вязкоупругости эластомеров с учетом элементов структуры. Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1978, №3, с. 184-185.

43. Дунаев И.М. Термовязкоупругость эластомеров II. В кн. Механика эластомеров. Межвузовский сб. - Краснодар, Краснодар, политехи, ин-т,1978, вып. 268, с. 27-46.

44. Дунаев И.М. Определяющие соотношения нелинейной теории термовяз-коупругости эластомеров и термоэластопластов. В кн.: VII Всесоюзная конференция по прочности и пластичности. Тез. докл. - Горький, 1978, с. 50-51.

45. Дунаев И.М. Механика эластомеров с учетом элементов структуры. В кн.: Труды международной конференции по каучуку и резине: Современные проблемы физики и химии каучука и резины. - Киев, Секц. А I, 1978.

46. Дунаев И.М. Вязкоупругость и разрушение структурно-неоднородных эластомеров. В кн.: Актуальные проблемы механики сплошных сред. Межвуз. сб. под ред. В.В. Новожилова. Л.: ЛГУ, 1980, № 13, с. 105-114.

47. Дунаев И.М. Термовязкоупругость эластомеров III. В кн. Механика эластомеров. Межвузовский сб. Краснодар, Краснодар, политехи, ин-т,1980, вып. 101, с. 30-47.

48. Дунаев И.М. Об одном варианте нелинейной теории термовязкоупруго-сти эластомеров. В кн.: Пятый всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Тез докл. - Алма-Ата, Изд-во науки Казахской ССР, 1981, с. 142-143.

49. Дунаев И.М. Разрушение эластомеров I. В кн. Механика эластомеров. Межвузовский сб. Краснодар, Краснодар, политехи, ин-т, 1981, с. 2433.

50. Дунаев И.М. Разрушение эластомеров II. В кн.: Механика эластомеров. Межвузовский сб. Краснодар, Краснодар, политехи, ин-т, 1983, I, с. 921.

51. И. М. Дунаев Об одном варианте нелинейной теории термовязкоупруго-сти эластомеров // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1985. - Т. 1.-С. 110-117.

52. Dunaev I.M. A continuum model of microheterogeneous elastomers // Cont. Mod. and Disc. Sys. / Edited by G.A.Maugin New York: Longman Scientific & Technical, 1991 - V.2. - P. 30-37.

53. Дунаев И. M. Статистическая теория термовязкоупругости структурно -неоднородных эластомеров.: Автореф. дисс. докт. физ,- мат. наук. М., МИЭМ, 1985. -36 с.

54. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. О точности представления Грина-Ривлина в теории вязкоупругости. // Докл. АН СССР, серия матем. и мех. 1978.-№ 6.-с. 1314-1317.

55. Green А.Е., Rivlin R.S. The Mechanics of Non-Linear Materials with Memory. I. Arch. Rat. Mech. Anal., 1,1,1957.

56. Колтунов M.A. Ползучесть и релаксация. M.: Высшая школа, 1976. -277 с.

57. Уржумцев Ю.С., Янсон Ю.О. О паспортизации вязкоупругих характеристик полимерных материалов // Механика композиционных материалов. 1979. -№ 5.-с. 900-906.

58. Адамов A.A. Описание вязкоупругого поведения несжимаемых и слабо-сжимаемых материалов при конечных деформациях. // Автореф. дис. канд. физ. мат. наук. - М.: 1979. - 21 с.

59. СтроцциА. Об объемной сжимаемости резиноподобных материалов// В кн. Международ, конф. по каучуку и резине. М.: 1984. - с.25.

60. Капоровский В.М., Азарх М.З., Юрцев H.H. Сжимаемость эластомеров при гидростатическом давлении до 40 МПа // Высокомолекулярные соединения. 1985. - Т. 27. - № 10. - С. 2308-2309.

61. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994, 206 с.

62. Горюнов A.A., Сасковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989, 151 с.

63. Кравчук A.C. Алгоритмы томографии в теории упругости. Прикладная математика и механика, 1999, № 63, вып. 3, с. 509 - 512.

64. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

65. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

66. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

67. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.В. Динамика нерднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

68. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 338 с.

69. Ватульян А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости. //ПММ. 1996. Т. 60, вып. 2, с. 309 312.

70. Ворович H.H., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

71. Ворович H.H., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

72. Гринченко В.Т. и Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова Думка, 1981. 284 с.

73. Майборода В.П., Колтунов М.А. Условия проектирования амортизирующих и виброзащитных систем. -Механика полимеров, 1972, № 6, С. 1029-1034.

74. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин A.A. К расчету предельной интенсивности импульсных динамических нагрузок // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №5.

75. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Гостройиздат, 1968. 376 с.

76. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. Механика. М.: Мир. 1986.- 160 с.

77. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.

78. Пряхина О.Д. Динамика массивных тел, взаимодействующих с многослойными полуограниченными средами со сложными физико-механическими свойствами: Автореф. дисс. докт. физ,- мат. наук. Ростов-на-Дону., РГУ, 1997. - 36 с.

79. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. -371 с.

80. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1979. 261с.

81. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999 -246 с.

82. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

83. Argyris J. Н., Dunne Р. С., Haase М., Orkisz J. Higher-order simplex elements for large strain analysis- natural approach.- Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1978, 16, №3, p. 369-403.

84. Argyris J. H., Dunne P. C., Argelopoulos Т., Bichat B. Large natural strains and some special difficulties du to non-linearity and incompressibility. Сотр. Meth. In Appl. Mech. and Eng., 1974, 4, №2, p. 153-157.

85. Argyris J. H.,Sumeonidis Sp. Nonlinear finite element analysis systems under nonconservative loading natural firmulation. Part 1. Quasistatic problems. -Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1981, 26, № 1, p. 75-123.

86. Лавендел Э.Э. Методы и алгоритмы решения прикладных задач связанной теории вязкоупругости для высокоэластичного материала (резины) // Механика эластомеров.: Сб. науч. тр. / Краснодар, политехи, ин-т, 1977. с. 65-74.

87. Бидерман В. Л., Жислин А. Я. Числовой расчет нелинейных упругих характеристик резино-металлических упругих элементов. В кн.: Между-нар. конгр. по каучуку и резине: тез. докл., Киев, 1978, с. 38-46.

88. Murakawa H.,Atlury S. N. Finite element elasticity solutions using hybrid finite elemets based on complement-tary energy principle. Part 2. Incompressible materials. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1979, 46, № 1, p. 71-77.

89. Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в нелинейной механике эластомеров. Науч. тр./ Краснодар, политехи, ин-т, 1980, вып. 101, Механикаэластомеров, с. 13-23.

90. Гозман Е. А., Дружинин В. А., Дымников С. И. Применение метода конечных элементов к расчету РТИ при больших деформациях. Вопр. динамики и прочности, Рига, 1980, вып. 36, с. 147-156.

91. Le Tallec P. Compatibility condition and existend results in discrete finite incompressible elalasticity. Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng., 1981, 27, №2, p. 239-259.

92. Glowjnski R., Le Tallec P. Numerical solution of problems in incompressible finite elalasticity by angmented Lagrangian methods. 1. Twodimensial and axi-symmetric problems. SIAM J. Appl. Math., 1982, 42, № 2, p. 400-429.

93. Tuomala M., Owen D. R. J., Zienkiewicz О. C. Penalty function finite element methods in nonlinear elasticity. Numer. Meth. Coupl. Propl. Int. Conf., Swansea, 7-11 Sept., 1981. Swansea, 1981, p. 466-477.

94. Oden J. T., Kikuchi N. Finite element methods for constrained problems in elasticity. Int. J. Numer. Meth. Eng., 1982, 18, №5, p. 701-725.

95. Зубов JI.M. Принцип двойственности в нелинейной теории упруго ели. // Труды IV межд. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды»: Тез. докл.- Ростов-на-Дону, т. 1, 1998. С. 168-172.

96. Зубов JI.M., Никитин Е.С., Филиппова Л.М. Сопряженные решения в статике нелинейно-упругих тел с моментными напряжениями. // Труды IV межд. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды»: Тез. докл.- Ростов-на-Дону, т. 1, 1998. С. 173-176.

97. Medri G., Molari P.G., Strozzi A. Numerical and experimental stress-strain analysis on rubber-like seals in large elastic deformations under unilateral contact. « 8 th Int. Conf. Fluig Seal Dupham, 1978, v.l». Granfield,1978,F/2-19-F/2-30.

98. Кравчук А. С., Сурсяков В. А. Численное решение геометрически нелинейных контактных задач. Докл. АН СССР, 1981, 259, № 6, с. 1327

99. Кравчук А. С., Сурсяков В. А. Численное решение геометрически не-лтнейных контактных задач. Науч. тр./ Краснодар, политехи, ин-т, 1983. Механика эластомеров, т. 1, с. 27-32.

100. Кравчук А.С. Вариационный метод решения контактных задач: Автореф. дисс. докт. физ,- мат. наук. М., МГУ, 1980. - 24 с.

101. Сурсяков В. А. Расчет усилий контактого взаимодействия при внедрении жесткого штампа в полиуретановый блок. В кн.: Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций. Свердловск, 1982, с. 66-70.

102. Oden J. T., Kikuchi N. Use varitional methods for the analysis of contact problems in solid mechanies. Var. Meth. Mech. Solids. Proc. IUTAM, î 11., 1978, Oxford e. a.,1980, p. 260-264.

103. Le Tallec P. Contact between largely deformed incompressible hyperelastic solids and ridig bodies. Nimier. Meth. Coupl. Probl. Proc. Int. Conf., Swansea, 7-11 Sept.,1981, Swansea, 1981, p. 478 - 489.

104. Сниегс М.И., Дымников С.И. Расчет резиновых элементов уплотнителей методом конечных элементов. // Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов. Рига: Риж. политехи, ин-т, 1983. - с. 154-155.

105. Клочков Ю.В., Николаев А.П. О модификации принципа возможных перемещений в итерационном методе расчета нелинейных конструкций на основе МКЭ // Изв. вузов. Стр-во. 1995. - №3. - С.33-36.

106. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997. 340 с.

107. Гурелидзе М.Г. Решение геометрически нелинейной двумерной задачи теории упругости методом конечных элементов / Казан, ун-т. Казань, 1995. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.06.95, № 1949 - В95.

108. Zhao Yu-xiang, Gu Xiang-zhen, Song Xi-tai. Large deformation symmetrical elasticity problems solved by the variational method // Yingyong shuxue he lixue. Appl. Math, and Mech. 1993. - 14, № 8 - P. 679-685.

109. Cheng Y.M., Tsui Y. Limitations to the large strain theory // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1992. - 33, № 1, - P. 101-114.

110. Шешенин С.В., Кузь И.С., Савельев И.А. О методе пошаговой линеаризации в задачах нелинейной теории упругости // Упругость и неупругость: Сб. науч. тр. / МГУ, Мех.-мат. фак. М.,1993. - 4.1. - С. 88-94.

111. Noguchi Hirohisa, Hisada Toshiaki. Integrated FEM formulation for total/updated Lagrangian method in geometrically nonlinear problems // JSME Int. J. A. - 1995. - 38, №1. - P. 23-29.

112. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., Мир, 1975. 558 с.

113. Бадалов Ф.Б. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной теории вязкоупругости. Ташкент: Фан., 1980, 221 с.

114. Бидерман В. Л. О сжатии резиновых амортизаторов и прокладок. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1962, № 3, с. 154-158.

115. Карнаухов В. Г., Сенченков И. К. Расчет жесткостных характеристик цилиндрических и призматических амортизаторов при сжатии и сдвиге. -Машиноведение, 1976. № 3, с. 74 77.

116. Милякова Л. В. Общая линейная теория статики тонкослойных резино-металлических элементов. // Автореф. дис. канд. физ. мат. наук. - Л.: 1984.- 14 с.

117. Малый В. И. Асимптотическое решение задачи о сжатии слоя слабосжимаемого материала. Научи, тр./ Краснодар, политехи, ин-т, 1981, вып. 104, механмка эластомеров, с. 38-44.

118. Дымников С. И. Вариант модели физически нелинейной среды для статических расчетов тонкослойных резинометаллических элементов. // Каучук и резина. -1981. № 4. - с. 46 - 50.

119. Мальков В. М., Круглякова В. И., Титаренко И. Г. Теория и методы расчета многослойных резиноармированных конструкций. // Тез докл. Все-союзн. конф. по нелинейной теории упругости (1989, Сыктывкар). -Сыктывкар, 1989 с. 115- 117.

120. Дымников С.И., Эрдманис А.Г. Статический расчет тонкослойных эла-стомерных упругих элементов МКЭ // Всесоюз. науч. техн. конф. по методам расчета изделий из высокоэластич. материалов. Рига, 1986. - с. 75-76.

121. Эрдманис А.Г. Расчет нелинейных механических характеристик пакетов тонкослойных эластомерных упругих элементов // Автореф. дис. канд. техн. наук. Рига.: 1986. - 20 с.

122. Шепери P.A. Термомеханическое поведение вязкоупругих сред с переменными свойствами при циклическом нагружении. / Тр. амер. общ-ва инженеров-механиков. Сер. Е. Прикл. механика, 1965, т.32, № 3, с. 150161.

123. Волосевик P.M., Грач С. Нестационарные колебания вязкоупругого материала с термомеханическими связями и со свойствами, зависящими от температуры. / Тр. амер. общ-ва инженеров-механиков. Прикл. механика, 1965, т. 32, №3, с. 162-165.

124. Хуань Н., Ли Е. Термомеханическое взаимосвязанное поведение вязко-упругих стержней при циклическом нагружении. / Тр. амер. общ-ва инженеров-механиков. Прикл. механика, 1967, т. 34, № 3, с. 57-62.

125. Лавендел Э.Э., Санкин В.А. Расчет температурного поля при кинематическом возбуждении амортизатора. Вопр. динамики и прочности, 1969, № 19, с. 259-275.

126. Победря Б.Е. Связанные задачи термовязкоупругости. Механика полимеров, 1969, №3, с. 415-421.

127. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости. В кн.: Упругость и неупругость. М., 1973, вып. 3, с. 95-173.

128. Победря Б.Е. О связанных задачах механики сплошной среды. В кн.: Упругость и неупругость. М., 1971, вып. 2, с. 224-253.

129. Победря Б.Е. О решении задач термовязкоупругости с неоднородным полем температур. В кн.: Упругость и неупругость. М., 1971, вып. 2, с. 172-201.

130. Победря Б.Е. Численный метод решения связанных задач термовязкоупругости. Механика твердого тела, 1974, № 3, с. 88-94.

131. Мешкова М.М., Победря Б.Е. Колебания бесконечной вязкоупругой платины. В кн.: Упругость и неупругость. М., 1971, вып. 2, с. 172-201.

132. Победря Б.Е. О методах решения связанных задач термовязкоупругости // Сб. науч. тр. Механика эластомеров / Краснодар, политехи, ин-т. -1983.-вып. 1. — с. 45-49.

133. Горелик Б.М., Гончаров Л.П., Карнаухов В.Г. и др. Экспериментально-теоретическое исследование теплообразования в коротком вязкоупругом цилиндре при циклическом сжатии. Проблемы прочности, 1977, № 1, с. 68-70.

134. Cost T.L., Heard M. Finite-element analysis of coupled thermoviscoelastic structures undergoing sustained periodic vibrations. AIAA Journal, 1978, 16, № 8, p. 795-799.

135. Громов В.Г., Мирошников В.П. Об одном точном решении динамической связанной задачи термовязкоупругости. Прикл. механика, 1977, 13, № 6, с. 86-89.

136. Демченко В.П. Приближенный метод расчета температурных полей в ре-зинометаллических амортизаторах // Сб. науч. тр. Механика эластомеров / Краснодар, политехи, ин-т. 1980. - вып. З.-с. 116-119.

137. Потураев В.Н., Дырда В.И., Карнаухов В.Г. и др. Исследование вибрационного разогрева прямоугольной вязкоупругой призмы при циклическом сдвиге. -Прикл. механика, 1976, 12, № 11, с. 57-61.

138. Гринченко В.Т., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Напряженно-деформированное состояние и разогрев вязкоупругого цилиндра с ограничениями по торцам. Прикл. механика, 1975, 11, № 4, с. 27-36.

139. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Приближенный метод расчета критических тепловых состояний. Прикл. механика, 1976, 12, № 4, с. 18-25.

140. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Термомеханическое поведение прямоугольной вязкоупругой призмы при циклическом растяжении-сжатии. -Журн. прикл. механики и техн. физики, 1976, № 1, с. 149-156.

141. Дырда В.И., Карнаухоа В.Г., Мазнецова A.B. и др. Расчет теплообразования в цилиндрическом амортизаторе при циклическом нагружении. -Каучук и резина, 1976, № 10, с. 40-42.

142. Гуменюк Б.П., Карнаухов В.Г. О тепловой неустойчивости в связанных динамических задачах термовязкоупругости. Докл. АН УССР. Сер. А, 1978, №7, с. 609-613.

143. Сенченков И.К., Гуменюк Б.П. Термомеханическое поведение вязкоупругой пружины-стержня с амплитудно-зависимым комплексным модулем. -Прикл. механика, 1980, 16, № 5, с. 107-112.

144. Сенченков И.К., Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. О влиянии вибрационного разогрева на механическую устойчивость вязкоупругого стержня. -Динамика и прочность машин, 1981, № 34, с. 109-113.

145. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К., Гуменюк Б.П. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении. Киев: Hay148149150151152153154155156157158159160кова думка, 1985. 288 с.

146. Зенкевич О. Метод конечных конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

147. Brebbia, С. A. and Walker, S. (1980). The Boundary Element Techniques in Engineering. Newes Butterworths, London.

148. Д. К. Ф. Теллес. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат, 1987. 160 с.

149. А.Г. Сегерлинд. Прикладной конечноэлементный анализ. 2-е изд., пере-раб. и дополн., Willey, New York, 1984. 427 с.

150. R.D. Cook. Концепции и приложения конечноэлементного анализа. Willey, New York, 1981,- 537 с.

151. Бате К.Ю. Численные методы анализа. Метод конечных элементов. 2-е изд., перераб. и дополн., 1982, 735 с.

152. G.F. Carey, J.T. Oden. Конечные элементы: вычислительные аспекты. Том 3. Prentice Hall, Engleword. Cliffs, NJ, 1984.

153. Хьюз Т. Дж. К. Метод конечных элементов: Линейный статический и динамический анализ. 1987, 803 с.

154. Chen Wanji. The generalized hybrid method for nonlinear finite element analysis // Lixue xuebao. = Acta mech. sin. 1995. - 27, №4. - P. 459-469.

155. Li Raun-fang. Optimal discretization in finite element analysis // Lixue jinzhan. = Adv. Mech. 1993. - 23, №3. P. 336-347.

156. Yuge Kohei, Iwai Nobuhira. Nonlinear finite element analysis by progressive mech refinement // Nihon Kikai gakkai ronburshu. A. = Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1993. - 59, № 568. - P. 2893-2900.

157. Подлеснов Ю.П. Использование математической модели деформирования твердого тела для ускорения сходимости итерационных процессов в МКЭ // Динам, и прочн. трансп. машин: Сб. науч. тр. / Брян. ин-т трансп. машиностр. Брянск, 1994. - С. 43-46.

158. Sun Huancun, Yarg Haitian, Wu Jigning, Yarg Hexian. Virtual boudary element method: Application and strategies for solution // Yingyong lixue xuebao. = Chin. J. Appl. Mech. 1994. - 11, №1. - P. 28-36.

159. Аксененко O.B., Цвелих A.B. Применение гибридного метода КЭ для анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из несжимаемых материалов // Расчеты на прочн. 1993. - №33. - С. 59-70.

160. Кравчук А.С. О двойственности в контактных задачах. Прикл. математика и механика, 1979, 43, № 5, с. 887-892.

161. Кравчук А.С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения. Прикл. математика м механика, 1980, т.44, № 1, с. 122-129.

162. Кравчук A.C. Метод матрицы A.A. Ильюшина в контактных задачах. -Вопр. вычислительной и прикл. матем., Ташкент, 1981, № 63, с. 57-68.

163. Князев A.A., Лежнева A.A. Применение методов нелинейного программирования к контактным задачам раздувания плоских резиновых мембран. В кн.: Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций. Свердловск, 1982, с. 71-74.

164. Кравчук A.C. Решение некоторых пространственных контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения. Трение и износ, 1981, №4, с. 589-595.

165. Klarbring Anders, Bjorkman Gunnar. Solution of large displacement contact problems with friction using Newton's method for generalized equations // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1992. - 34, № 1. - C. 249-269.

166. Александров B.M. Контактные задачи, связанные с проблемой герметичности деформируемых стыков // Изв. АН. Мех. тверд, тела. 1995. -№4. -С. 63-69.

167. Janowsky V., Prochazka P. Contact problem of two elastic bodies. Parts 1,2. // Apl. mat. 1980. - 25, № 2. - P. 87-136.

168. Колтунов M.A., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела: Учебное пособие для студентов ВУЗов. -М.: Высш. школа, 1983. 349 с.

169. Фролов H.H., Лозовой С.Б. Моделирование термовязкоупругого поведения эластомеров с использованием регулярных и нерегулярных функций влияния. Научн. тр. / Краснодар, политехи, ин-т, 1987, вып. 51, Механика эластомеров, с. 93-114.

170. Фролов H.H., Демченко В.П. Влияние жесткости измерительного устройства на поведение релаксационных кривых нелинейно-вязкоупругих элементов. // Краснодар, политехи, ин-т. М., 1985. - Библиогр.: 3 назв. -Деп. в ВИНИТИ 06.06.85 № 12315.

171. Фролов H.H., Дунаев И.М., Трояновский И.Е. Геометрически нелинейная теория деформирования тонкослойных резинометаллических композитов. // Тез докл. Всесоюзн. конф. по нелинейной теории упругости (1989, Сыктывкар). Сыктывкар, 1989, с. 118.

172. Расчет напряженно-деформированного состояния двухслойного резино-металлического параллелепипеда в нелинейной постановке. Фролов Н.

173. H., Михайленко E. В. Сб. «Проблемы физико-математического моделирования». Кубан. гос. технол. ун-т, 1997 с. 131-134.

174. Фролов H.H., Михайленко Е.В. Применение метода конечных элементов к решению нелинейных краевых задач механики тонкослойных резино-металлических структур. / Труды Краснодарского юридического института МВД России. Часть 2, вып. 2, 1997, с. 139-151.

175. Фролов H.H., Михайленко Е.В. Кручение куба из высокоэластичного слабосжимаемого материала (конечные деформации). В. Сб. «Проблемы физико-математического моделирования». Кубан. гос. технол. ун-т, 1997, №1, с. 31-36.

176. Дунаев И.М., Фролов H.H. Геометрически нелинейная теория термовяз-коупругости ограниченных многослойных сред. // Труды III межд. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, т.1. 1998.-С. 121-124.

177. Расчет двухслойного резинометаллического цилиндра в нелинейной постановке. / Фролов H. Н., Михайленко Е. В.; Кубан. гос. технол. ун-т,-Краснодар, 1998. 11 е.: ил. 4. Библиогр.: 5 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 05.02.98, № 346 -В98.

178. Нелинейная теория термовязкоупругости структурно-неоднородных сла-босжимаемых эластомеров. / Фролов H.H., Дунаев И. М.; Кубан. гос. технол. ун-т. Краснодар, 1998. - 24 е.: ил. - 3. Библиогр.: 11 назв. - Рус. -Деп. в ВИНИТИ 16.11.98, № 3340 - В98.

179. Фролов H.H., Дунаев И.М. Нелинейная теория термовязкоупругости структурно неоднородных слабосжимаемых эластомеров. // Изв. вузов. Сев. - Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. Вып. 1. С. 57-61.

180. Фролов H.H. Вынужденные колебания предварительно деформированных вязкоупругих тел при гармоническом догружении. В. Сб. «Проблемы физико-математического моделирования». Кубан. гос. технол. ун-т, 1998, №2, с. 51-55.

181. Пространственные задачи теории колебаний предварительно нагруженных тонкослойных резинометаллических элементов. / Фролов H.H.,

182. Молдаванов С.Ю.; Кубан. гос. технол. ун-т. Краснодар, 1999. - 24 е.: ил. - 13. Библиогр.: 9 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 09.04.99, № 1097 - В99.

183. Фролов H.H. Трехмерные задачи теории колебаний для предварительно деформированных вязкоупругих тел из высокоэластичных материалов. // Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. Вып. 3. С. 36-41.

184. Расчет теплообразования в резиновом цилиндре при гармоническом на-гружении. / Фролов H.H.; Кубан. гос. технол. ун-т. Краснодар, 1999. -15 е.: ил. - 5. Библиогр.: 7 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 22.07.99, № 2383 -В99.

185. Фролов H.H. Прогнозирование теплообразования в резинотехнических изделиях. В. Сб. «Проблемы физико-математического моделирования». Кубан. гос. технол. ун-т, 1999; № 1, с. 65-70.

186. Фролов H.H. Вынужденные колебания предварительно деформированных вязкоупругих тел при моногармоническом догружении. // Труды IV межд. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, т. 2, 1999. С. 200-203.

187. Дунаев И.М., Фролов H.H., Алексеев В.Г. Оценка эффективности сейс-моизоляции на основе слоистых резинометаллических опор // Труды III Российск. конф. по сейсмостойкому строительству и сейсмическому районированию: Тез. докл. Сочи, 1999. - С. 94.

188. Коваленко А.Д. Термоупругость. Киев.: «Вища школа», 1975. - 216 с.

189. Геррманн JI.P. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов. // Ракетная техника и космонавтика, 1965. № 10. - с. 139-144.

190. Key S.W. A variational principle for incompressible anisotropic elastisity // Int. J. Solids and Structurs, 1969, n. 5, p. 951-954.

191. Уржумцев Ю.С., Максимов P.Д. Прогностика деформативности полимерных материалов. Рига.: Зинанте, 1975.-416с.

192. Трояновский И.Е. Квазистатическое деформирование и установившиеся колебания вязкоупругих тел. Автореф. дис. д-ра. техн. наук. -М.: 1980. -24 с.

193. Химмельблау Дж. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-534 с.

194. Победря Б.Е. Вычислительная механика деформируемого твердого тела // Труды III межд. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 1996. с. 125-128.

195. Постнов В. А. Метод суперэлемента в расчетах инженерных сооружений. -Л.: Судостроение, 1979. 288 с.

196. Зеленин А. А., Лурье М. М. Об особенности в решении нелинейных краевых задач теории упругости в окрестности угловых точек. // Труды III межд. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, 1996,- С. 58-62.

197. Колтунов М. А., Матвеенко В. П., Трояновский И. Е. Оптимизационный, квазистатический и динамический расчет вязкоупругого осесимметрич-ного тела. Механика эластомеров.: Сб. Научн. тр./ Краснодар, политехи, ин-т, 1980, т. 3, с. 5-12.

198. Christesen R. М. On obtaining Solutions in nonlinear Viscoelasticity. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1968, p. 129-133.

199. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

200. А. Н. Muhr. Mechanical properties of elastomeric base isolators. 10 th European Conference of Earthquake Engineering, Duma (ed) Balkema, Rotterdam, ISBN 905410528.3.

201. Izumi M. 1988. Base Isolation and Passive Seismic Response Control-State of the Art Report. Proc. 9th WCEE, Vol. Tokyo-Kyoto, Japan.

202. D. Jurukovski & Z. Rakicevic. Vibration base isolation development and application. 10 th. European Conference on Earthquake Engineering, Duma (ed.) 1995, Balkema, Rotterdam, ISBN 905410583.3.

203. Килимник Л.Ш., Захаров B.K. Рекомендации по применению резиноме-таллических сейсмоизолирующих скользящих опор при строительстве и реконструкции в сейсмоопасных зонах России // Строительство и архитектура. Серия: сейсмостойкое строительство. М., 1994.

204. Филатов А.Н. Метод усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент: ФАН, 1971, 277 с.

205. Новицкий Л.А., Кожевников И.Г. Теплофизические свойства материалов при низких температурах. М.: Изд-во «Машиностроение», 1975, 216 с.

206. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975, 228 с.