Математическое моделирование избыточных остаточных поровых давлений методом конечных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Салтанова, Татьяна Викторовна

• Салтанова, Татьяна Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Салтанова, Татьяна Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К РАСЧЁТУ ВОДОНАСЫЩЕННОГО ОСНОВАНИЯ.

1.1 Основные модели грунтов.

1.2 Кинематическая модель, учитывающая избыточные остаточные поровые давления.

1.3 Численные методы расчёта деформированного состояния оснований.

1.4 Метод конечных элементов.

1.5 Выводы по главе.

ГЛАВАМ. АДАПТАЦИЯ МКЭ К КИНЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВОДОНАСЫЩЕННОГО ГРУНТА.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Математическое исследование задачи.

2.3 Построение матрицы жёсткости для треугольного элемента.

2.4 Построение матрицы жёсткости для прямоугольного элементабО

2.5 Повышение порядка аппроксимации.

2.6 Выводы по главе. основания.

3.2 Сопоставление численных расчётов с известным решением

3.3 Задача о равновесии откосов из водонасыщенного грунта.

3.4 Экспериментальные исследования водонасыщенных оснований в стабилизированном состоянии.

3.5 Задача о водонасыщенном неоднородном основании.

3.6 Сопоставление с результатами натурного эксперимента.

3.7 Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование избыточных остаточных поровых давлений методом конечных элементов»

Актуальность темы На севере Тюменской области ведётся промышленное освоение нефтяных и газовых месторождений, строительство объектов нефтегазодобывающего комплекса, жилых посёлков, автомобильных и железных дорог на водонасыщенных глинистых и заторфованных грунтах. Одной из задач при проектировании является оценка деформированного состояния оснований из водонасыщенных грунтов в стабилизированном состоянии, независящем от времени.

В моделях теории фильтрационной консолидации по истечении конечного значения времени избыточное остаточное поровое давление обращается в ноль и в стабилизированном состоянии к описанию грунта применяются модели механики деформируемого твёрдого тела. Однако натурные эксперименты (Амарян J1.С., Бугров А.К., Голли A.B., Зехниев Ф.Ф., Каган A.A. и др.) показывают наличие избыточных остаточных поровых давлений при стабилизированном состоянии водонасыщенного грунта.

Модель водонасыщенного грунта описывается системой линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа с постоянными коэффициентами, которые отличаются от известных уравнений Ламе дополнительными слагаемыми, отражающими разгружающий вклад поровой воды за счёт учёта избыточных остаточных поровых давлений. Модель была развита в работах Воронцова В.В., Дёмина В.А., Мальцевой Т.В., Набокова A.B., Трефилиной Е.Р.

В данной работе предложена численная реализация этой модели, учитывающей избыточные остаточные поровые давления, с помощью МКЭ.

Цель работы:

- разработать вариант метода конечных элементов, учитывающие избыточные остаточные поровые давления, применительно к задаче типа Фламана;

Для достижения цели были решены следующие задачи:

- получить новые матрицы жёсткости для треугольных и прямоугольных элементов, учитывающие избыточные остаточные поровые давления;

- исследовать аппроксимацию задачи и сходимость численного решения к обобщённому;

- сопоставить решения, полученные по предложенному варианту МКЭ, с известным (Мальцева Т.В.,) решением задачи о действии полосовой и нагрузки на водонасыщенное основание (задача типа Фламана);

- провести анализ деформированного водонасыщенного основания, один край которого имеет вид откоса;

- исследовать деформированное состояние слоистого водонасыщенного основания.

Методы исследования:

В работе применяются методы функционального анализа, элементы матричного исчисления, численные методы механики деформируемого твёрдого тела.

Количественный анализ изучаемой проблемы осуществляется с использованием математических программных продуктов, в частности системы символьных вычислений Maple 7.0, на основе которых была разработана программа для решения рассматриваемых в работе задач.

Научная новизна:

- разработан вариант МКЭ, который заключается в построении новых матриц жёсткости, учитывающих избыточные остаточные поровые давления и позволяет записать систему дифференциальных уравнений в виде системы линейных алгебраических уравнений;

- показана сходимость численного решения к обобщённому решению в смешанной задаче;

- предложенный вариант МКЭ применён для решения задач типа Фламана, равновесия откоса, неоднородного основания;

- показана адекватность математической модели водонасыщенного основания натурному эксперименту с применением нового варианта метода МКЭ.

Практическая значимость:

- численная реализация модели приводит к более достоверному прогнозированию осадок и перемещений любой точки водонасыщенного основания за счёт учёта избыточных остаточных поровых давлений;

- новый вариант МКЭ может быть использован при расчёте деформированного состояния неоднородного водонасыщенного основания различной геометрической формы с различными видами нагрузок.

Достоверность результатов обеспечивается:

- использованием классических уравнений механики деформируемого твёрдого тела;

- применением известных математических и численных методов;

- сопоставлением численных результатов с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

- матрицы жёсткости для треугольного конечного элемента в случае линейной аппроксимации перемещений частиц скелета грунта;

- исследование сходимости численного решения к обобщенному решению смешанной задачи;

- матрицы жёсткости для прямоугольного конечного элемента при линейной и квадратичной аппроксимации искомых перемещений;

- результаты расчётов деформированного состояния водонасыщенного основания без учёта откоса и с учётом откосов;

- результаты расчёта деформированного состояния неоднородного водонасыщенного основания, полученного по МКЭ, и их сопоставление с данными натурного эксперимента.

Апробация работы.

Научные семинары кафедры математики и информатики Института математики и компьютерных наукТюмГУ (2005 - 2008г.),

Научные семинары при межкафедральной экспериментальной и научной лаборатории ТюмГАСУ (2005 - 2008 г.),

Международный научно - методический межвузовский семинар «Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке инженерных кадров Республики Беларусь», (Могилёв, 2005 г.),

XIX Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях», (Воронеж, 2006 г.),

Межрегиональная конференция «Современные математические методы и информационные технологии», (Тюмень, 2007 г.),

XX Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях», (Ярославль, 2007 г.),

VII Всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения», (Казань, 2007 г.).

XXI Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях», (Саратов, 2008 г.),

По результатам исследований опубликовано 11 работ, в том числе в журналах, рекомендуемых ВАК РФ -1 работа.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Салтанова, Татьяна Викторовна

3.7 Выводы по главе

В данной главе рассмотрены три виды задач: задача типа Фламана, задача о равновесии откоса, о неоднородном водонасыщенном основании. Эти задачи были решены методом конечных элементов. На задачи типа Фламана решения полученные по МКЭ были сопоставлены с известными аналитическими решениями. Расчёты показали, что численное решение достаточно хорошо согласуется с аналитическим. Максимальное расхождение составило 26 %.

При решении задачи о равновесии откоса необходимо было определить минимальное расстояние от объекта до края откоса.

Рассмотрены два угла откоса 9 = — , 0 = — . Задача решена в двух

4 6 вариантах: с учётом поровой воды и без учёта поровой воды. Показан разгружающий вклад поровой воды на скелет грунта.

Численное решение задачи о неоднородном водонасыщенном основании сопоставлено с экспериментальными данными. Для вертикальных перемещений максимальное расхождение составило 5%, для горизонтальных перемещений - 26 %. Получены графики перемещений скелета грунта и поровой воды для различных вертикальных и горизонтальных сечений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан вариант метода конечных элементов для кинематической модели, учитывающей избыточные остаточные поровые давления. На основе нового варианта МКЭ показана адекватность математической модели водонасыщенного основания натурному эксперименту. Показана сходимость численного решения к обобщённому. Получена новая матрица жёсткости, представляющая собой сумму двух матриц: первая соответствует скелету грунта, вторая - поровой воде. Рассмотрены конечные элементы треугольной и прямоугольной форм в случае линейной, билинейной, и квадратичной аппроксимаций.

Сопоставлены два варианта матриц жесткости для прямоугольного конечного элемента. Первый отвечает случаю равноправности вертикальных и горизонтальных перемещений частиц скелета грунта, второй - более детальному описанию вертикальных, по сравнению с горизонтальными, перемещений частиц скелета грунта. Численные расчёты показывают, что точность описания вертикальных ~ перемещений - существенно -- возрастает при — использовании квадратичной аппроксимации. На задаче типа Фламана сопоставлено численное решение, полученное по МКЭ, с известным аналитическим решением (Мальцева Т.В.) Результаты расчётов представлены в виде графиков, которые показывают, что вертикальные перемещения на порядок больше горизонтальных. Численное решение достаточно хорошо согласуется с аналитическим решением. Максимальное расхождение, начиная с глубины два и более метров, составляет 10 % для вертикальных перемещений, для горизонтальных - 15 %.

Осадки (вертикальные перемещения точек дневной поверхности) водонасыщенных грунтов, осуществляются за счёт частичного отжатия поровой воды, так как перемещения за счёт деформативности скелета составляют 10-20 % от суммарной величины осадки.

При решении задачи о загружениии водонасыщенного основания с наличием откоса определены минимальные расстояния от откоса до объекта при которых горизонтальные перемещения в районе откоса практически равны нулю. Были рассмотрены два значения угла п тт п тт откоса: 0 = —, 0 = —.

4 6

Анализ графиков горизонтальных перемещений для ® = показал, что горизонтальные перемещения становятся практически нулевыми при удалении объекта от откоса на 15м.

Вертикальные перемещения, найденные по кинематической модели, учитывающей избыточные остаточные поровые давления, на глубине 2 м от дневной поверхности на 28% меньше соответствующих перемещений, найденных без учёта влияния поровой воды. На глубине 4 м расхождение составляет 60 %.-----

Для угла откоса 9 = минимальное расстояние, на котором можно построить объект, составляет 12 м. На глубине 2 м перемещения, найденные с учётом избыточных остаточных поровых давлений на 12, 5 % меньше, чем без учёта влияния поровой воды. Для сечения 4 м расхождения составляют 23 %.

При решении задачи о водонасыщенном неоднородном основании сопоставлены результаты, полученные экспериментально с данными, полученными по МКЭ. Получены графики вертикальных и горизонтальных перемещений для частиц скелета грунта для различных вертикальных и горизонтальных сечений. При сопоставлении с экспериментальными данными максимальное расхождение для горизонтальных перемещений составило - 26%, для вертикальных, перемещений - 40 %. Поровая вода принимает часть внешней нагрузки. Показано, что математическая модель водонасыщенного основания адекватна натурному эксперименту.

Таким образом, способность поровой воды принимать часть внешней нагрузки необходимо учитывать при проектировании различных сооружений на водонасыщенных основаниях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Салтанова, Татьяна Викторовна, 2008 год

1. Александров A.B. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. - 399 с.

2. Амарян Л.С. Свойства слабых грунтов и методы их изучения. -М.: Недра, 1990.

3. Бай В. Ф. Механические характеристики двухфазного грунта / В. Ф. Бай, Т.В. Мальцева, A.B. Набоков.// Известия вузов. Нефть и газ. 2002, №2-С. 98-106.

4. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и МКЭ. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

5. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа., 1961. - 537 с.

6. Безухов Н.И. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач / Н.И. Безухов, О.В. Лужин. М.: Высшая школа., 1974. -200с.

7. Био М. Теория деформаций пористого вязкоупругого анизотропного твердого тела. //Сб. Механика. Изд. Иностранной-------------литературы. № 1. М:: 1956.-Сг95-111.----- -----------

8. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

9. Власов В.З. Балки, плиты, оболочки на упругом основании / В.З. Власов, H.H. Леонтьев. М.: Госиздат физико-математической литературы, 1960. -492 с.

10. Герсеванов Н.М., Мачерет Я.А. К вопросу о бесконечно длинной балке на упругой почве, нагруженной силой. // Гидротехническое строительство. .№ 10. М.: 1935. С. 15-23.

11. Голованов А. И., Бережной Д.В. МКЭ в механике деформируемых твёрдых тел. Казань: «ДАС», 2001. - 300 с.

12. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир., 1976. -95с.

13. Ерёменко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков, 1991. - 272 с.

14. Зарецкий Ю.К. Вязкопластичность грунтов и расчеты сооружений. М.: Стройиздат, 1988. - 352 с.

15. Зарецкий Ю.К. Напряженно-деформированное состояние грунтового основания под действием жесткого ленточного фундамента / Ю.К. Зарецкий, В.В. Орехов. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №6 М., 1983.- С. 21-24.

16. Зарецкий Ю.К. О несущей способности песчаных оснований фундаментов. / Ю.К. Зарецкий, М.И. Карабаев.// Основания, фундаменты и механика грунтов. №3 М., 2005.- С. 2 - 8.

17. Зарецкий Ю.К. Строительный мониторинг туннеля мелкого заложения в районе Лефортово Москвы./ Ю.К. Зарецкий, М.И. Карабаев, Н.С. Хачатурян. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №2 М., 2004,- С. 9 -13.

18. Зехниев Ф. Ф. Стабилизация оснований с плоскими вертикальными песчаными дренами: дисс. канд. технич. наук. Москва, 1988.

19. Киселев В.А. Плоская задача теории упругости. М.: Высшая школа, 1976. - 152 с.

20. Колдунов В.А. Некоторые численные методы механики деформируемого твёрдого тела / В.А. Колдунов, В.Н. Лейцин, C.B. Пономарёв. Томск, 1987. - 148 с.

21. Костерин А. В. Новые модели и обобщенные решения нелинейных задач механики насыщенных пористых сред // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13. - № 2. -С. 71 -77.

22. Костерин А. В. Численное исследование фильтрационной консолидации / А. В. Костерин, М.Ф. Павлова, Е. В. Шемуранова. // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13. - № 9. -С. 63 -71.

23. Кудрявцев С.А. Численное моделирование процесса промерзания, морозного пучения и оттаивания грунтов. // // Основания, фундаменты и механика грунтов. №5 М., 2004.- С. 21 -26.

24. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука., 1970. - 939с.

25. Мальцев Л. Е. Кинематическая модель грунта и биоматериалов / Л. Е. Мальцев, В. Ф. Бай, Т. В. Мальцева. СПб.: Стройиздат С-Пб., 2002. - 336 с.

26. Мальцев Л.Е. Экспериментальное определение параметров кинематической модели для водонасыщенного образца грунта / Л.Е. Мальцев, Т.В. Мальцева, В.А. Демин.// Известия вузов. Нефть и газ. 2001, №2 С. 96-102.

27. Мальцева Т.В. Введение функционала для решения обобщённой системы уравнений Ляме// вестник Тюменского Государственного Университета. 2003, №5. С. 196-202.

28. Мальцева Т.В. Действие сосредоточенной силы на двухфазное упругое полупространство. // Известия вузов. Нефть и газ. 2001, №1- С. 18-24.

29. Мальцева T.B. Зависимость напряжений от времени при действии равномерной нагрузки на двухфазную полуплоскость Я.В. Мальцева, Е.Р. Трефилина. // Известия вузов. Нефть и газ. -2001. №4. - С. 102-108.

30. Мальцева Т.В. Зависимость напряжений от времени при действии равномерной нагрузки на двухфазную полуплоскость / Т.В. Мальцева, Е.Р. Трефилина. // Известия вузов. Нефть и газ. -2001. №4. - С. 102-108.

31. Мальцева Т.В. Математическое моделирование напряжённо деформированного состояния водонасыщенного грунта с позиций теории вязкоупругости: диссертация доктора, физико,-матем. наук; .

32. Мальцева Т.В. Механические характеристики двухфазного образца / В.Ф. Бай, Т.В. Мальцева, A.B. Набоков.// Известия вузов. Нефть и газ. 2002. - №1. - С.98-106.

33. Мальцева Т.В. Моделирование двухфазного тела с учетом несущей способности жидкой фазы / Т.В. Мальцева, Е.Р. Трефилина.// Математическое моделирование. 2004. Т. 16.11.-^47-60.

34. Мальцева Т.В. Моделирование с помощью уравнений эллиптического типа процесса консолидации двухфазного тела. /Т.В. Мальцева. // Саранск, Средневолжское матем. общество, 2004 г. препринт №62. 24 с.

35. Мальцева Т.В. Фундаментальное решение задачи Фламана для двухфазной вязкоупругой полуплоскости. // Известия вузов. Нефть и газ. 2000. - №2. - С. 72-78.

36. Маций С.И. Взаимодействие оползневого грунта со сваями с учётом конфигурации удерживающей сооружения./ С.И. Маций, Ф.Н. Деревенец. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №2-М., 2007.-С. 8-12.

37. Маций С.И. Применение метода конечных элементов для исследования взаимодействия грунтов оползнями со сваями./ С.И. Маций, Ф.Н. Деревенец. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №4 М., 2005,- С. 8 -12.

38. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: Мир., 1981. -216 с.

39. Николаи Е.Л. Теоретическая механика. В 3 т. Т. 1. М.: ГОНТИ Главная редакция технико - теоретической литературы, 1938. -259с.

40. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир., 1976. -464 с.

41. Пантелеев H.H. Применение вариационного метода В.З. Власова к расчету составных фундаментов с гибкими плитами и жесткими плитами, взаимодействующих с деформируемым основанием. // Известия вузов. Строительство. Новосибирск, 1999. - №6-С. 21-25.

42. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости ипластичностиг М- Изд.-МГУН 995. - 366 с.----

43. Прогноз скорости осадок оснований сооружений / H.A. Цытович, Ю.К. Зарецкий, М.В. Малышев и др.- М.: Стройиздат, 1967.-238 с.

44. Прогноз скорости осадок оснований сооружений / H.A. Цытович, Ю.К. Зарецкий, М.В. Малышев и др.- М.: Стройиздат, 1967.-238 с.

45. Сахаров A.C. и др. Метод конечных элементов в механике твёрдых тел. Киев: Вища школа, 1982. 480 с.

46. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -393с.

47. Сызранцев В.Н. Расчёт напряжённо деформированного состояния деталей методами конечных и граничных элементов / В.Н. Сызранцев, К.В. Сызранцева. - Курган, 2005. - 110 с.

48. Телес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат., 1987. - 160 с.

49. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. -408 с.

50. Тер-Мартиросян З.Г. Реологические параметры грунтов и расчеты оснований сооружений. М.: Стройиздат, 1990. - 200 с.

51. Терцаги К. Теория механики грунтов. М.:Стройиздат,1962.-400 с.

52. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука., 1979. - 560 с.

53. Угодчиков А.Г. Метод граничных элементов в механике деформируемого твёрдого тела / А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский. -Казанский Университет, 1986. 295 с.

54. Ухов С.Б. Механика грунтов, основания и фундаменты / С.Б. Ухов, В.В. Семёнов, В.В. Знаменский, З.Г. Тер Мартиросян,

55. С.Н. Чернышёв,- М.: Высшая школа., 2004. ^ 566 с.

56. Флорин В. А. Основы механики грунтов. В 2 т. Т. 1. М.: Госиздат по строительству и архитектуре, 1959. - 357 с.

57. Флорин В.А. Основы механики грунтов: В 2 т. Т. 2. М.: Госиздат по строительству и архитектуре, 1959. - 542 с.

58. Хазифов P.M. Напряжённо деформированное состояние мёрзлого грунтового основания под жёстким штампом.// Основания, фундаменты и механика грунтов. №1 - М., 2006.- С. 2-10.

59. Холмянский M.J1. Напряжённое состояние грунта при действии периодической системы полосовых нагрузок. //

60. Основания, фундаменты и механика грунтов. №2 М., 2005.- С. 2-6.

61. Цытович H.A. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1983. -288 с.

62. Шапиро Д.М. Упругопластический анализ несущей способности оснований реконструируемых объектов методом конечных элементов./ Д.В. Шапиро, H.H. Мельничук. // Основания, фундаменты и механика грунтов. №2 М., 2007.- С. 18-21.