Математическое моделирование и символьно-численные методы исследования гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации в постньютоновском приближении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Михеев, Сергей Александрович

• Михеев, Сергей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михеев, Сергей Александрович

Введение

1 Уравнение гидростатического равновесия для быст-ровращающейся гравитирующей сверхплотной конфигурации

1 1 Уравнение, описывающее математическую модель быстровращающейся гравитирующей сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок . . 13 1.2 Уравнение равновесия быстровращающейся гравитирующей сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении

2 Математическая модель гравитирующей быстровращающейся сверхплотной несжимаемой конфигурации в первом постньютоновском приближении

2.1 Постановка задачи.

2.2 Вычисление ньютоновского и постньютоновских гравитационных потенциалов на внутреннюю точку

2.3 Расчет параметров модели несжимаемой конфигурации в первом постньютоновском приближении.

2.4 Оценка погрешности решения уравнений, описывающих несжимаемую гравитирующую быстровраща-ющуюся конфигурацию в первом постньютоновском приближении.

2.5 Регуляризованный аналог метода Ньютона и оптимальный итерационный параметр.

3 Математическая модель гравитирующей быстровра-щающейся намагниченной сверхплотной конфигурации в ньютоновском приближении

3.1 Постановка задачи.

3.2 CP-метод решения системы уравнений определяющих конфигурацию.

3.3 ПНП-метод решения системы уравнений определяющих конфигурацию.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и символьно-численные методы исследования гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации в постньютоновском приближении»

Математическое моделирование самогравитирующих систем вещества является в последнее время одним из приоритетных направлений в астрофизике. В первую очередь этому способствовали открытия наблюдательной астрономии таких космических объектов, как квазары, компактные рентгеновские источники (рентгеновские пульсары). Но наибольший интерес в настоящее время вызывают пульсары - вращающиеся намагниченные нейтронные звезды, ось симметрии которых является наклонной к их оси вращения [1, 2, 3, 4, 5].

Пульсары были открыты А. Хъюишом и другими в 1968 году [6]. Проблема фигур равновесия быстровращающейся самогравити-рующей жидкой капли долгое время рассматривалась как чисто математическая задача ньютоновской теории гравитации. Изучением данной проблемы занимались такие выдающиеся математики, как Якоби К.Г., Ляпунов A.M. и многие другие. В конце двадцатого века Чандрасекар С. и другие впервые исследовали постньютоновские поправки и реакцию гравитационного излучения на фигуру равновесия [7, 8].

Открытие пульсаров перевело эту проблему в практическую плоскость. Доминирующими факторами в динамике и эволюции пульсаров являются сильное собственное гравитационное поле, быстрое вращение с частотой, достигающей нескольких сотен оборотов в секунду, а также большое давление в центре, поэтому любая реалистическая модель таких объектов должна основываться на общей теории относительности [9, 10, 11, 12].

Как правило, звезды обладают магнитным полем, динамическое влияние которого относительно невелико. Но оно может быть важным для установления закона вращения, меридиональной циркуляции, химического перемещения, что сильно влияет на эволюцию звезды. Еще более важна роль магнитного поля в различных проявлениях звездной активности: образования хромосферы, короны и звездного ветра, вспышек, нетеплового нагрева, появления мощных ультрафиолетовых избытков в спектрах звезд. Кроме того, для усиления магнитного поля динамомеханизмами роль вращения является определяющей, что указывает на тесную связь магнитного поля с вращением.

Актуальность математического моделирования сверхплотных конфигураций в значительной степени обусловлена проблемой регистрации гравитационных волн, поскольку отклонения фигуры звезды от осевой симметрии, вызываемые, например, магнитным полем в сочетании с эффектами вековой неустойчивости, делают ее перспективным источником монохроматического гравитационного излучения. Интерес к этой проблеме резко возрос после открытия в 80-х и 90-х годах большого числа миллисекундных пульсаров [13, 14, 15, 16], так как интенсивность гравитационного излучения пропорциональна шестой степени частоты вращения. Важным является то, что уверенный прием гравитационных волн от пульсаров будет, пожалуй, первым шагом на пути к созданию гравитационно-волновой астрономии, открывая новый канал получения информации из космоса, наряду с нейтринным и электромагнитным каналами, которые действуют в настоящее время [17, 18].

Отметим еще одно важнейшее направление в исследовании пульсаров, имеющее конкретные перспективы технического применения. Речь идет о создании уникального стандарта частоты и шкалы времени между импульсами радиоизлучения пульсаров [19, 20, 21]. Подобные "часы"лишены основного недостатка квантовых часов любого типа, который заключается в непредсказуемом накоплении ошибки при измерении больших промежутков времени, что имеет принципиальное значение для повышения астрономических наблюдений и космической навигации даже в пределах солнечной системы; проект создания пульсарной шкалы времени, предусматривающий, в частности, вывод на орбиту Земли радиолокационной антенны для приема импульсов, начал прорабатываться в нашей стране и ряде других стран в 1989 году, но был отложен по соображениям ненаучного характера на неопределенный срок. Совершенно очевидно, что в научном обосновании этого проекта проблема конфигурации пульсаров играет очень важную роль.

Для расчета и построения математической модели вращающихся конфигураций разработано много методов. Главная трудность заключается в том, что истинная стратификация центрально конденсированной звезды никогда не известна заранее. Ясно, что если отклонение от сферической симметрии невелико, то можно применить метод возмущений и считать, что влияние вращения сводится к небольшому отклонению от известной сферической модели.

Примерами таких методов являются разложение Клеро-Лежандра, разложение Чандрасекара-Милна и метод квазисферической аппроксимации. Последний еще называют методом двойной аппроксимации: 1) во внутреннем ядре, где центробежная сила всегда мала, применяется разложение первого порядка по параметру v 2) пренебрегается влиянием массы внешних слоев, считая, что сила тяготения порождается только веществом слегка сплюснутого ядра. Главное преимущество этого метода состоит в том, что вращение без особых затруднений удается включить в обычные программы расчета эволюции звезд.

Однако если уравнение поверхности сильно отличается от сферы, то понадобятся другие методы. Одним из самых эффективных методов расчета является метод согласованного поля, предложенный Острайкером и его сотрудниками. Кроме того, этот метод позволяет без дополнительных усилий рассматривать дифференциально вращающиеся модели.

Метод заключается в том, что при помощи уравнения: где j-заданная функция от cD, а и- доля массы заключенного в цилиндре, задав подходящее пробное распределение плотности po(u,z), найдем функцию Фо(а),2:).

Исходя из этой функции и учитывая уравнение: можно в свою очередь получить уточненное распределение плотности pi(u,z). Подставляя эту плотность в уравнение (1), получим уточненный потенциал и т.д. Таким образом, попеременно решая уравнения (2) и (1), мы придем к согласованному решению.

Следует отметить, что для уравнения поверхности, сильно отличающейся от сферы, есть и другие подходы - чисто разностная схема, вариационные методы и.д. [22, 23, 24].

В работе [25] была сделана попытка исследовать структуру газовых масс на примере политроп и случая белых карликов численными методами с использованием компьютерных методов в основном (ньютоновском) приближении.

Политропному случаю соответствует уравнение состояния:

Ф = Ф(р;Я

1) р = р{ Ф),

2)

Р = Кр1+*, где п - политропный индекс, К - константа пропорциональности зависит от величины энтропии, приходящей на нуклон, и от химического состава, но не зависит от г и /^(центральная плотность).

В самом общем случае электронное давление ре в белом карлике зависит от плотности р, температуры Т и химического состава. Однако электронный газ в основном объеме белого карлика столь сильно вырожден, что даже при довольно высоких температурах (скажем, Т « 107 К) в большинстве случаев прекрасным приближением является полное вырождение (Т = О К) по крайней мере в том, что касается глобального внутреннего строения звезды. Другими словами, в первом приближении белый карлик можно рассматривать как баротропу, следовательно:

P = af(x), *=(£)', где f(x) = х{2х3 - 3){х2 + 1)1 + 3sinh^x, Ь = 9 • 10V, а /V молекулярный вес электрона. Необходимо отметить, что холодный полностью вырожденный белый карлик можно рассматривать как политропную конфигурацию в предельных случаях низкой плотности (п = 1.5) и высокой (п = 3) [22, 23, 24, 25, 26].

Структура конфигурации в [25] определяется теоремой Гаусса:

II o^+ii. г2 дг \ дг J г2 дц

1 . ,92Ф , „ вместе с уравнениями гидростатического равновесия:

ЭР № 2 /-, 2ч дР <9Ф 22 dH = %~puJrfi дРд Ф здесь Ф-гравитационный потенциал, ^-расстояние от центра масс конфигурации. То есть, чтобы найти строение звезды около центра, плотность р и гравитационный потенциал Ф разлагаются в степенные ряды по радиальной переменной. Коэффициенты в этих разложениях в свою очередь разлагаются по многочленам Лежандра Pi(cosd). Аналитическое продолжение, а затем пошаговое интегрирование описывают строение внешних областей. Физические параметры твердотельно вращающихся политроп найдены в диапазоне О < п < 3. При п > 3 метод Джеймса принципиально не применим [22, 23, 24, 25], т.к. при п > 3 становится все труднее хоть с какой-нибудь разумной степенью точности определить внешнюю границу.

Джеймс показал, при п < 0.808 на каждой последовательности осесимметричных твердотельно вращающихся политроп имеется точка бифуркации, в которой ответвляется неосесимметрич-ные фигуры равновесия. Если п > 0.808, то на последовательности твердотельно вращающихся политроп бифуркации нет. Реальные конфигурации имеют реалистические уравнения состояния: Бете-Джонсона, Рейда.

Уравнения состояния ядерной материи называются реалистическими, если они учитывают сильные межнуклонные взаимодействия частиц ядерной материи. Реалистические уравнения состояния удобно рассматривать для двух областей.

Первая область pdnp < р < рпис ы 2.8 ■ Ю14^? сравнительно хорошо изучена. Равновесная материя состоит из обогащенных нейтронами ядер, образующих кулоновскую решетку, электронов и свободных нейтронов. При возрастании плотности свободные нейтроны обеспечивают все большую долю полного давления. При р ~ рпис начинается деформация и разрушение ядер, т.е. ядра начинают распадаться и сливаться.

При более высоких плотностях, р > рпис, давление определяется, главным образом, нуклонами (преимущественно нейтронами), вступающими в сильные взаимодействия. Помимо нейтронов и небольшого числа протонов и электронов возможно появление других элементарных частиц.

При сверхвысоких плотностях, р > Ю12^- в материи появляется заметное количество гиперонов, и взаимодействие между нуклонами должно рассматриваться с учетом релятивистских эффектов. Надо отметить, что уравнения состояния, полученные до настоящего времени, содержат множество неопределенностей.

В данной работе будут использованы следующие реалистические уравнения состояния:

1.Уравнение состояния Бете-Джонсона(В<1) описывает состояния конденсированного вещества при 1.7-10ир < 3.2-1016, т.е. при сверхвысоких плотностях. Предполагается, что материя содержит нейтроны, протоны и гипероны с массами, не превышающими массу А-резонанса, взаимодействие между которыми описывается модифицированным потенциалом Рейда.

2.Уравнение состояния Рейда(R) описывает состояния конденсированного вещества при р > 7 • 1014. Причем основной компонент вещества - нейтроны, взаимодействие между которыми описывается потенциалом Рейда с мягким кором, приспособленным к ядерной материи.

Для сравнения будет рассмотрено уравнение состояния Оппенге-ймер-Волкова (OV), описывающее состояния конденсированного вещества при 0 < р < оо, причем основной компонент вещества - нейтроны в этом случае не взаимодействуют между собой, т.е. представляют идеальный невырожденный ферми газ. Кроме того, будут рассмотрены политропные конфигурации для различных значений показателя п.

Как известно, уравнение состояния ядерного вещества связывает давление Р, плотность, температуру Т и химический состав звезды. Символически это можно записать следующим образом:

Р = Р(р,Т,Л1,Л2,.).

Однако в случае холодных белых карликов или нейтронных звезд температура фактически всюду равна нулю и, следовательно, всюду s = 0. В силу этого уравнение состояния можно взять в виде

Р = Р(р).

Необходимо отметить, что реалистические уравнения состояния представлены в литературе в виде численных данных или графиков зависимости давления от плотности.

Точные решения уравнения Эйнштейна в настоящее время получены лишь для малого количества частных случаев. Для реальных систем, какими являются релятивистские гравитирующие быстро-вращающиеся звезды, получить точные решения, по-видимому, не представляется возможным. Поэтому на данный момент лишь математическое моделирование этих систем с тонким анализом допускаемых упрощений и приближений является основой для связи между наблюдательной астрономией и теорией.

Для пульсаров (пока единственных наблюдаемых нейтронных звезд) естественным приближением является постньютоновское приближение, общая схема которого хорошо изучена [27,28,29,30].

В этой работе метод постньютоновских разложений применяется к нейтронным звездам: сделан конкретный выбор параметров разложения и постньютоновских потенциалов, учтено магнитное поле, постньютоновские уравнения для рассматриваемой системы выписаны явно [31, 32], составлен комплекс программ символьно-численных вычислений для решения этих уравнений, и проведено их решение для несжимаемой конфигурации при различных значениях отношения центрального давления к плотности энергии в центре этой конфигурации. Альтернативная схема постньютоновских разложений для релятивистских самогравитирующих звезд развита Чандрасекаром [33], однако без учета магнитного поля.

Ввиду чрезвычайной сложности как аналитических, так и численных расчетов возникает необходимость использования компьютерных методов [34, 35, 36, 37, 38, 39]. Мы воспользовались пакетом символьной и численной математики MAPLE.

Система компьютерной математики MAPLE была выбрана не случайно. В рамках этой системы можно быстро и эффективно выполнять не только символьные, но и численные расчеты, причем это сочетается с превосходным средством графической визуализации и подготовки электронных документов. MAPLE является одним из лидеров среди подобных себе систем. Ядро MAPLE используется в ряде других математических систем, например, MATLAB и Mathcard, для реализации в них символьных вычислений [40, 41, 42, 43].

MAPLE - типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

-мощный язык программирования -редактор для подготовки и редактирования программ -ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений

-численный и символьный процессор -систему диагностики

-библиотеки встроенных и дополнительных функций -пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Необходимо отметить, что последние реализации MAPLE являются одними из самых надежных систем компьютерной математики. Надежных прежде всего в смысле высокой достоверности получения правильных результатов при сложных символьных вычислениях. Это первая система компьютерной математики, успешно прошедшая тестирование на задачах повышенной сложности, предлагаемых для оценки качества подобных систем.

Целью исследования данной диссертации является построение с использованием символьно-численных методов математической модели гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации в несжимаемом случае с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении, а также использование полиномов наилучшего приближения в пространстве квадратично интегрируемых функций для математического моделирования гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния Бете-Джонсона (BJ) и Рейда (R), уравнением состояния Оппенгеймер-Волкова (OV), уравнениями состояния в виде политроп с наиболее интересующими нас значениями их показателя п [22, 44].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Михеев, Сергей Александрович

Заключение

В диссертационной работе построена и исследована математическая модель гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении в случае несжимаемого уравнения состояния ядерной материи этой конфигурации для различных значений параметра 7. Также построена и исследована математическая модель гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с использованием уравнений состояния в виде политроп и реалистических уравнений состояния Бете-Джонсона, Оппенгеймер-Волкова, Рейда в ньютоновском приближении на основе аппроксимации аналитических функций, входящих в уравнение гидростатического равновесия, полиномом наилучшего приближения в Ь2.

Построенная математическая модель пульсаров позволяет исследовать их эволюцию и гравитационное излучение. Наибольший интерес представляет возможность изучения гравитационного излучения вбдизи точек бифуркации. Основной целью диссертационной работы было численное доказательство существования критических точек по параметрам е и £ решений уравнения гидростатического равновесия рассматриваемой конфигурации в случае р = const с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении, а также без учета релятивистских поправок в случае реалистических уравнений состояния и политроп. В результате проведенных исследований были получены следующие результаты

1. Разработан и реализован комплекс программ в системе символьной математики MAPLE для аналитического представления постньютоновских гравитационных потенциалов в случае неоднородной и в частности однородной возмущенной эллипсоидальной конфигурации на внутреннюю точку в виде полинома координат для заданных значений степеней полиномов, аппроксимирующих распределение давления, плотности и функцию, представляющую возмущение эллипсоидальной поверхности конфигурации.

2. Разработан и реализован комплекс программ в системе MAPLE для решения уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную однородную конфигурацию, свободная поверхность которой близка к эллипсоиду, с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении, методом разложения по степеням малого параметра, характеризующего асимметрию распределения давления относительно оси вращения конфигурации, в линейном по этому параметру приближении вдали от точки бифуркации и с точностью до кубичных членов параметра асимметрии вблизи критической точки.

3. Доказано существование точек бифуркации по параметрам е или е решений уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную однородную конфигурацию с учетом релятивистских поправок в первом постньютоновском приближении при различных значениях постньютоновского параметра 7, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения давления конфигурации и резкое увеличение значения параметра асимметрии по сравнению с его значением вдали от точки бифуркации.

4. Разработан и реализован комплекс программ в системе MAPLE для решения уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную неоднородную конфигурацию в ньютоновском приближении, свободная поверхность которой близка к эллипсоиду, методом разложения по степеням малого параметра, характеризующего асимметрию распределения плотности относительно оси вращения конфигурации, в линейном по этому параметру приближении вдали от точки бифуркации и с точностью до кубичных членов параметра асимметрии вблизи критической точки.

5. Доказано существование точек бифуркации по параметрам е или е решений уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную неоднородную конфигурацию в ньютоновском приближении для реалистических уравнений состояния Бете-Джонсона и Рейда, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения плотности конфигурации и резкое увеличение значения параметра асимметрии по сравнению с его значением вдали от точки бифуркации.

6. Доказано существование точек бифуркации по параметрам е или е решений уравнения гидростатического равновесия, описывающего гравитирующую быстровращающуюся сверхплотную намагниченную неоднородную конфигурацию в ньютоновском приближении для уравнений состояния, заданных в виде политроп, в которых происходит ответвление асимметричных решений относительно оси вращения для распределения плотности конфигурации и резкое увеличение значения параметра асимметрии по сравнению с его значением вдали от точки бифуркации. Доказано существование и проведена оценка для политропных конфигураций в ньютоновском приближении критического значения такого, что при значениях показателя политропы меньше критического политропные конфигурации будут иметь точки бифуркации, а при значениях больше критического нет.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михеев, Сергей Александрович, 2006 год

1. Пайнс Д. Пульсары, компактные рентгеновские источники: лаборатория для изучения нейтронных звезд и андронного вещества. УФН, 1980, т.131,с.479-487.

2. Смит Ф.Г. Пульсары. Мир, М., 1979

3. Ostriker J.P., Gunn J.E. On the nature of pulsar. I.Theory// Astrophus.J., 1969, v 57, p.1395-1417.

4. Малов В.Ф. Пульсары. Труды ФИАН (под ред. А.Д. Кузьмина), 1989, т.199,с.83.

5. Дайсон Ф., Тер Хаар Д. Нейтронные звезды и пульсары. М.: Мир, 1973.

6. Hewish A., Bell S.J., Pilkington J.D., Scott P.F., Collins R.A. -Nature,1968,у.217,р.709;УФН,1968,n.95,c.705.

7. Chandrasekhar S. The post-Newtonian effects of general relativity on the equilibrium of uniformly rotating bodies. I.The Maclaurin spheroids and the virial theorem// Astrophys.J., 1965, v.142, p.1513-1518.

8. Chandrasekhar S. The post-Newtonian effects of general relativity on the equilibrium of uniformly rotating bodies. II.The deformedfigures of the Maclaurin spheroids// Astrophys.J., 1966, v.147, p.334-352.

9. Glendenning N. Compact stars . Springer, N.Y., 1997.

10. Зельдович Я В., Новиков И Д. Строение и эволюция звезд.

11. Паули В. Теория относительности. М.: Наука Гл. ред. физ -мат. лит., 1991.

12. Гинзбург B.JI. О теории относительности. М.: Наука, 1979.

13. Backer D.C., Kulkarn S.R., Heiles С. et al.A millisecond pulsar // Nature, 1982 v. 300, p. 615-618.

14. Ray D.S., Thovsett S.E., Jenet F.A., et al. A survay for millisecond pulsars.//Astroph.J, 1996, v. 470, p 1103-1110.

15. J.H.Taylor, R.N.Manchester, and A G.Lyne. Catalog of 558 pulsars// The Astrophisical Journal Supplement Series,88:529-568, 1993 October.

16. Manchester R.N., Taylor J.H. Pulsars. San Francisco: Freeman, 1997.

17. Гинзбург B.JI. О некоторых успехах физики и астрономии за последние три года//УФН, 2002, т.172, с.213-219.

18. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

19. Ильин В.Т., Ильясов Ю.П., Иванов Ю.Д. и др. Способ создания и хранения временных интервалов: Авт. свидет. № 915062 // Бюлл. изобр., 1983, №5.

20. Пульсары. Труды ФИАН, 1989, т.199,с.83.

21. Beskin V.S., Gurevich A.V., Istomin Ya.N. Phusics of Pulsar Magnetosphere. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

22. С. Шапиро, С. Тюкольский. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды. 4.1-2, М.: Мир, 1985.

23. Тассуль Ж.Л. Теория вращающихся звезд. Мир, М., 1982

24. Антонов В.А. Фигуры равновесия. В кн. Итоги науки и техники. Сер. Астрономия, т. 10, 1975.

25. R.A. James, The strukture and stability of ritating gas masses.

26. Зельдович Я.В., Блинников С.И., Шакура Н.И. Физические основы строения и эволюции звезд. М.: Изд-во Моск. ун-та 1981.

27. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. В 4-х томах. Наука, т.1., М., 1965.

28. Вейнберг С. Гравитация и космология. Мир, М., 1975.

29. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. Физмат-гиз, М., 1961.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. Наука, М., 1973.

31. Цветков В.П. Излучение гравитационных волн гравитиру-ющими системами в постньютоновском приближении// Аст-рон.журн.,1984, вып.4, т.61, с.673-676.

32. Цветков В.П., Цирулёв А.Н. Релятивистские поправки к гравитационному излучению быстровращающихся намагниченных нейтронных звезд// Астроном.ж., 1987, т.64, с.1117-1120.

33. Chandrasekhar S. The post-Newtonian equations of hydrodynamics in general relativity// Astrophys.J., 1965, v.142, p.1488-1512.

34. Голоскоков Д.П. "Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. С-Пб: Питер, 2004.

35. Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2003.

36. Тарасевич Ю. Информационные технологии в математике. М: СОЛОН-Пресс, 2003.

37. Тарасевич Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. М.: Едиториал-УРСС, 2001.

38. Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX.C-Пб: Питер. 2001.

39. Дьяконов В. Компьютерная математика. Теория и практика. Нолидж. 2000.

40. Дж. Макгрегор, Д. Сайке. Тестирование объектно-ориентированного программного обеспечения, Москва-Санкт-Петербург-Киев:, изд. Dia soft 2002.

41. Потемкин В.Г. MATLAB: Справочное пособие. М.: Диалог-МИФИ, 1997.

42. Heals К.М., Hansen L.M., Rickard К.М., Maple 6. Learning Guide. Waterloo Maple Inc., 2000.

43. Monogan M.B., Geddes K.O., HealK.M., Labahn G., Vorkotter S.M., Maple 6 Programming Guide. Waterloo Maple Inc., 2000.

44. Г. Репке, А. Григо, К. Сумевши, X. Шен. Уравнение состояния ядерной материи с учетом легких кластеров// Письма в ЭЧАЯДЪм 2, №5(128). ст.25-36.

45. Цветков В.П. Релятивистские эффекты в теории гравитирутощих быстровращающихся сверхплотных конфигураций// Письма в ЭЧАЯ в печати, препринт Р2-2006-132, 2006.

46. Чандрасекар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1982.

47. Беспалъко Е.В., Михеев СЛ., Пузынин И.В., Цветков В.П. Гравитирующая быстровращающаяся сверхплотная конфигурация с реалистическими уравнениями состояния. Мат. моделирование, 2006, т. 118, №3, с. 103-119.

48. Каулигин Т. Магнитная гидродинамика. Атомиздат, М., 1978.

49. Седракян Д.М. Магнитное поле пульсаров// Астрофизика, 1982,т.18,с. 417-422.

50. Мкртчан Г.С., Седракян Д.М. Магнитное поле пульсара аналог поля намагниченного сверхпроводящего шара// Астрофизика, 1983, т.19, с.135-138.

51. Цирулев А.Н. Математические модели самогравитирующих конфигураций быстровращающихся нейтронных звезд и полей Янга-Миллса//Диссертация, Тверь 2002.

52. Цветков В.П. Влияние магнитного поля на фигуру равновесия и гравитационное излучение быстровращающейся капли однородной гравитирующей жидкости с учетом эффектов ОТО в постньютоновском приближении//Астрон. журн., 1983, т. 60, с. 114-121.

53. Паркер Е. Космические магнитные поля. В 2-х томах. Мир, т1, М., 1982.

54. Цветков В.П., Масюков В.В. Нелинейная модель малых асимметричных возмущений равновесного распределения плотности быстровращающихся намагниченных политроп// Мат. моделирование, 1995, т.7, №9,с. 55-64.

55. Цветков В.П., Цирулев А.Н. Конфигурации быстровращающейся гравитирующей намагниченной капли однородной жидкости с учетом нелинейных эффектов// Астрон.ж., 1988, т.65, с. 501-506.

56. Поляченко В.Л., Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гра-витирующих систем. Наука, М., 1976.

57. Уиттекер Э.Р., Ватсон Дж. H. Курс современного анализа. Т.1. М.:Физматгиз, 1962.

58. Цветков В.П. Масюков В. В. Метод рядов Бурмана-Лагранжа в задаче об аналитическом представлении ньютоновского потенциала возмущенных эллипсоидальных конфигураций.// ДАН СССР, 1990, Т. 313, №5, с. 1099-1102.

59. Masjukov V.V., Tsvetkov V.P. Nonlinear Effects in Theory of Equilibrium Gravitating, Rapidly Rotating, Magnetized Barotropic Configurations and the Gravitational Radiation from Pulsars. Astron. and Astrophys. Transactions, 1993, v.4, p. 41-42.

60. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков B.H. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа,2003.

61. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2000.

62. Ильин В.А., Садовничий В.А., Бл. X. Сендов. Математический анализ. М.: Наука, 1979.

63. Сретинский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М.: Госте-хиздат, 1946, с.316 .

64. Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида. М.: Атомиздат, 1976.

65. Антонов В.А., Тимошкина В.И., Холшевников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988.

66. Цветков В.П., Цирулев А.Н. Расчет кулоновского (ньютоновского) потенциала на внутреннюю точку возмущенных эллипсоидальных конфигураций с учетом высших приближений// Теория квантовых систем с сильным взаимодействием, КГУ, Калинин, 1986, с.83-87.

67. Цирулев А.Н., Цветков В.П. Вращающиеся постньютоновские конфигурации однородной намагниченной жидкости, близкие к эллипсоидам. 1,11. Астроном, ж., 1982. Т.59, с. 476-482, 666675.

68. Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука, 1971.

69. Гончаров B.JI. Теория функций комплексного переменного. М.: Учпедгиз, 1955.

70. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Метод теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987, с.688.

71. Градштейн, И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962.

72. Беспалько Е.В. Символьные и численные методы в математическом моделировании гравитирующей быстровращающейся сверхплотной конфигурации с реалистическими уравнениями состояния//Диссертация, Тверь 2005.

73. Ермаков В.В., Калиткин Е.Н. Оптимальный шаг и регуляризация метода ньютона. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981, Т.21, №2, с. 419-497.

74. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1. М.: Наука, 1976, с. 496-513.

75. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

76. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993

77. Винокуров В.А. Интегральные оценки погрешности IV//ЖВМ и МФ,1976,16,№3.

78. Воеводин В.В. О методе регуляризации. -ЖВМ и МФ, 1969,2, №3.

79. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации. ЖВМ и МФ,1966,6,№1.

80. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов. Изв. вузов. Математика, 1958, т. 5(6), с. 18-31.

81. Жидков Е.П. Пузынин И.В. Об одном методе введения параметра при решении краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Ж. вы-числ. матем. физ.,1967, т. 7, № 5, с. 1086-1095.

82. Гареев Ф.А. и др. Численное решение задач на собственные значения для интегро-дифференциальных уравнений в теории ядра. Ж. вычисл. матем. физ., 1977, т. 17, № 2, с.407-419.

83. Пономарев Л.И., Пузынин И.В., Пузынина Т.П Вычисление уровней энергии мезомолекул с помощью непрерывного аналога метода Ньютона//Препринт ОИЯИ Р4-6256Д972.

84. Жидков Е.П., Макаренко Г.И., Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики//ЭЧАЯ, 1973,т.4,в.1, с. 123-158.

85. Boyadjiev T.L., Zhanlav Т. and Puzynin I.V. Numerical investigation of an eigenvalue problem in the theory of soliton stability//Comm. JINR, P 5-89-423.

86. Gold. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред.Дж.Холл, Дж.Уатт. "МИР", М., 1979.

87. Дымарский А.С. и др. Справочник программиста, т.1, Судпром ГИЗ, Л., 1963.

88. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

89. Винокуров В.А. Два замечания о выборе параметра регуляризации.

90. Александров JL Регуляризованные вычислительные процессы Ньютона Канторовича. Ж. вычисл. матем. физ.,1971, т. 11, №1, с. 36-43.

91. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Наука, т.5, М., 1965.

92. Г.С. Саакян. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс. М., Наука. 1972.

93. Крат В.А. Фигуры равновесия небесных тел. Изд. АН СССР, М.-Л., 1950.

94. Лихтенштейн Л. Фигура равновесия вращающейся жидкости. Наука, М., 1965.

95. Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям. М : Физико-математическая литература, 2003.

96. Забрейко П.П., Кошелев А.И. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

97. Tsvetkov V.P., Bespalko E.V. The analytical Representation of solutions of the integral equation for the spinor amplitude in the curved space-time with help the computer system Maple. V International congress on mathematical modelling, Dubna, 2002.