Математическое моделирование и исследование устойчивости сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Никонов, Василий Владимирович

• Никонов, Василий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никонов, Василий Владимирович

Введение

ГЛАВА 1. Общие принципы математического моделирования гравитирующих скалярных конфигураций

1.1 Действие и динамические уравнения.

1.2 Редукция уравнений для сферически-симметричных конфигураций

1.3 Характеристические уравнения и характеристическая функция

1.4 Обратная задача для гравитирующих скалярных конфигураций

1.5 Выбор координат.

1.6 Примеры математических моделей.

1.7 Безмассовое скалярное поле. Классификация решений

ГЛАВА 2. Исследование устойчивости относительно малых радиальных возмущений

2.1 Динамические уравнения для возмущений в линейном приближении

2.2 Выбор калибровочных условий.

2.3 Постановка и редукция задачи устойчивости.

2.4 Устойчивость вакуумных черных дыр относительно флуктуаций скалярного поля.".

ГЛАВА 3. Численное моделирование гравитирующих скалярных конфигураций 72 3.1 Численное моделирование топологического геона

3.2 Аналитическое моделирование в системе символьных вычислений классов точных решений.

3.3 Аналитическое и численное исследование эффективных потенциалов конкретных решений.

3.4 Вычисление параметров математической модели галактического гало по данным наблюдений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и исследование устойчивости сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций»

Вряд ли я погрешу против истины, утверждая, что черные дыры — это самые совершенные макроскопические объекты во Вселенной. Ведь для их построения достаточно понятий о времени и пространстве.

Субраманъян Чандрасекар [1]

Диссертация посвящена математическому моделированию и исследованию устойчивости статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций с минимальной связью в рамках общей теории относительности.

Актуальность работы обусловлена той важнейшей ролью, которую играют скалярные поля в современной физической картине мира. Стандартная Модель физики элементарных частиц, расширенные альтернативные теории физики высоких энергий, космологические теории эволюции ранней Вселенной, а также математические модели некоторых наблюдаемых гравитирующих систем в астрофизике ие в состоянии обойтись без включения на фундаментальном или феноменологическом уровне скалярного поля или мультиилетов скалярных нолей: бозон Хиггса, ннфлатоп, аксион, модель холодной темной материи и т. д. В данной диссертации рассматривается широкий круг вопросов, связанных с потребностью математического моделирования посредством вещественного скалярного поля новой формы материи неизвестной природы, проявляющей себя на галактических масштабах, которая названа темной материей. В настоящее время скалярные поля не обнаружены явно ни в одной из теорий, но если они существуют в природе на фундаментальном уровне, то одним из наиболее перспективных экспериментальных указании на их существование является именно темная материя, присутствие которой во Вселенной надежно установлено [2, 3, 4,' 5]. Взаимодействие темной материи с частицами, составляющими обычное вещество, или отсутствует, или имеет сечение ниже предела точности экспериментов, т. е. частицы или поле, составляющие темную материю, участвуют заметным образом только в гравитационном взаимодействии. Вследствие нейтральности вещественного скалярного поля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом является чисто гравитационным, поэтому вещественное скалярное поле рассматривается как наиболее перспективная основа для описания темной материи [6, 7, 8, 9]. В современной космологии гравитационная фрагментация темной материи объясняет механизмы образования галактик, черных дыр в центрах галактик и, возможно, других гравитирую-щих объектов, в которых масса темной матери существенно больше массы обычного вещества. Поэтому интерпретация наблюдений в галактической и субгалактической астрономии требует построения адекватных математических моделей гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени.

В более общем плане математическое моделирование самогравитирую-щих скалярно-полевых конфигураций непосредственно связано с вопросом о том, какова роль гравитации среди трех других фундаментальных взаимодействий в микромире. С одной стороны, для решения поставленного вопроса в настоящее время предприняты многочисленные попытки построения самосогласованной квантовой теории гравитации [10], а также попытки радикального расширения общей теории относительности, например, в рамках теории струп, однако эти направления в диссертации не рассматриваются. С другой стороны, может быть более интересна узкая формулировка данного вопроса [11]: до каких масштабов в микромире работает классическая, т. с. не квантовая, общая теория относительности, изначально предназначенная для макроскопического описания пространства-времени. Вещественное скалярное поле допускает естественное классическое описание, поэтому принципиальная проблема трактовки поля как источника гравитации в микромире не возникает. При этом нелинейность как гравитации, так и поля, а также частицеподобный (в частности, солитонный) характер конфигурации, обусловленный именно равновесием притягивающего гравитационного взаимодействия и отталкивающего самодействия скалярного поля, не позволяют сделать заключение о пренебрежимо малом вкладе гравитации в энергию взаимодействия, как это обычно делается в квантовой теории поля. Кроме того, прямая геометрическая интерпретация поля при условии минимальности взаимодействия с гравитацией, приводит к естественной и однозначной математической постановке задач. В последние десятилетия физика элементарных частиц как наука о микромире, и космология как наука о Вселенной, неуклонно сближаются. Различными методами они отвечают на одни и те же вопросы: какой материей наполнена Вселенная сегодня и какие процессы, происходившие между элементарными частицами в ранней Вселенной, привели к современному состоянию. Таким образом, можно надеяться, что математическое моделирование са-могравитирующих конфигураций, построенных из нелинейных скалярных полей, позволит лучше понять пределы применимости современной теории гравитации в микромире, а также осознать совместную роль всех фундаментальных взаимодействий в макроэволюции Вселенной.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций в рамках общей теории относительности, выделение из них классов математических моделей, способных описывать как наблюдаемые, так и предполагаемые гравитирующие объекты галактической и субгалактической астрофизики, а также исследование их устойчивости относительно линеаризованных возмущений. Основное внимание в диссертации уделено асимптотически плоским математическим моделям с нетривиальной геометрией и топологией, которые описывают как скалярные черные дыры и регулярные частицеподобные конфигурации, так и экзотические объекты типа кротовых нор и топологических гсонов.

Основные задачи, которые возникли и были решены в процессе достижения поставленной цели, являются актуальными прикладными задачами современной математической физики. К ним относятся, в частности, развитие новых математических методов исследования гравитирующих конфигураций (в том числе, развитие метода обратной задачи), получение модельных аналитических и численных решений полной системы уравнений Эйнштейна, классификация решений по геометрическим и топологическим типам, редукция линеаризованной самосогласованной задачи устойчивости для гравитирующих скалярно-полевых конфигураций к одному стационарному уравнению Шредингера для квазинормальных мод с приведенным эффективным потенциалом.

Структура и объем диссертации: работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 99 наименований. Диссертация изложена на 106 страницах, включает 39 рисунков и одну таблицу.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Никонов, Василий Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации построены и исследованы математические модели статических, асимптотически плоских, сферически-симметричных самогравити-рующих скалярных конфигураций с минимальной связью в рамках общей теории относительности, а также изучены вопросы их устойчивости относительно радиальных возмущений в линейном приближении.

Получены следующие основные результаты:

1. Получено общее решение в виде квадратурных формул обратной задачи для полной системы статических сферически-симметричных уравнений Эйнштейна для скалярного поля, позволяющее по заданной полевой функции найти метрику и потенциал самодействия. На этой основе проведена классификация возможных типов решений, которые, включают в себя чёрные дыры, кротовые норы, частицеподобные решения с тривиальной топологией, голые сингулярности и топологические геоны.

2. Построен класс математических моделей гравитирующих скалярных конфигураций с положительным па бесконечности потенциалом самодействия скалярного поля.

3. Для реалистического потенциала самодействия нолная система уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля в асимптотически плоском пространстве-времени редуцирована к спектральной краевой задаче на полупрямой для системы обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка с двумя особыми точками регулярного типа. На основе численного решения задачи построен одпопараметрический класс математических моделей скалярных топологических геонов.

4. Исследована устойчивость статических сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций относительно радиальных (монопольных) линеаризованных возмущений соответствующего скалярного поля в рамках самосогласованной задачи, в которой фоновая геометрия не статична и учитываются индуцированные метрические возмущения, вызванные флуктуациями скалярного поля.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никонов, Василий Владимирович, 2011 год

1. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: В 2-х ч. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 276 с.

2. Salmi V. Dark matter and dark energy // Lect. Notes Phys. 2004. Vol. 653. Pp. 141 180. (arXiv: astro-ph'0403324).

3. Terner M. Dark matter and dark energy: the critical questions // Hubble's Science Legacy: Future Optical/Ultra,violet Astronomy from Space. 2003. Vol. 291. Pp. 253-272. (arXiv: astro-ph 0207297).

4. Bento M.C., Bertolami O., Sen A. A. The revival of the unified dark energy dark matter model // Phys. Rev. D. 2004. Vol. 70. 083519 (arXiv: astro-ph 0407239).

5. Hinshow G. First year WMAP observation: the angular power spectrum // Astrophys. J. Suppl. 2003. no. 148. Pp. 135-152. (arXiv: astro-ph 0302217).

6. Spergel D. N., Steinhardt P. J. Observational Evidence for Self-Interacting Cold Dark Matter // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. Pp. 3760-3763.

7. Matos Т., Urena-Lopez L. A. Quintessence and scalar dark matter in the Universe // Class. Quant. Grav. 2000. Vol. 17. P. L75-L81.

8. Matos Т., Urena-Lopez L. A. Further analysis of a cosmological model with quintessence and scalar dark matter // Phys. Rev. D. 2001. Vol. 63. 063506.

9. Matos Т., Urena-Lopez L. A. On the Nature of Dark Matter // Int. J. Mod. Phys. D. 2004. Vol. 13. P. 2287-2291.

10. Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 160 с.

11. Марков М.А. Может ли гравитационное поле оказаться существенным в теории элементарных частиц // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 468-480.

12. Volkov M.S., Galt'tsov D.V. Gravitating non-Abelian solutions and black holes with Yang-Mills fields // Phys. Rep. 1999. Vol. 319. Pp. 1-83. (arXiv: hep-th 9810070).

13. Tsirulev A.N. Gravitational fields with Yang-Mills curvature // Proc. 15th Int. Conf'. High Energy Physics and Quantum Field Theory. 2001. Pp. 382384.

14. Tsirulev A.N. Curvature decomposition and the Einstein-Yang-Mills egua-tions // Part. Nucl. JINR. 2004. Vol. 1, no. 12(119). Pp. 99-102.

15. Hcrrera L., Santos N.O., Wang A. Shearing Expansion-free Spherical Anisotropic Fluid Evolution // Phys.Rev. D. 2008. Vol. 78. 084026 (arXiv: gr-qc 0810.1083).

16. Bechmann O., Lechtenfeld O. Exact black-hole solution with self-interacting scalar field // Class. Quant. Grav. 1995. Vol. 12. Pp. 14731482. (arXiv: gr-qc 9502011).

17. Dennhardt H., Lechtenfeld O. Scalar deformations of Schwarzschild holes and their stability // Int. J. Mod. Phys. A. 1998. Vol. 13. Pp. 741-764. (arXiv: gr-qc 9612062).

18. Bronnikov K.A., Fabris J.C. Regular fantom black holes // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. 251101 (arXiv: gr-qc 0511109).

19. Bronnikov К.A., Shikin G.N. Spherically symmetric scalar vacuum: no-go theorems, black holes and solitons // Gravitation&Cosmology. 2002. Vol. 8. Pp. 107-116. (arXiv: gr-qc 0109027).

20. Bronnikov K.A., Chernakova M.S. Charge black holes and unusual worm-holes in scalar-tensor gravity // Gravitation&Cosmology. 2007. Vol. 13. Pp. 51-55. (arXiv: gr-qc 0703107).

21. Armendariz-Picon C. On a class of stable, traversable Lorentzian worm-holes in classical general relativity // Phys. Rev. D. 2002. Vol. 65. 104010 (arXiv: gr-qc 0201027).

22. Hochberg D., Visser M. Geometric wormhole throats // Proc. Haifa Workshop «The Internal Structure of Black Holes and Spacetime Singularities», Haifa, Israel. 1997. June 29 - July 3. Pp. 249-295. (arXiv: gr-qc 9710001).

23. Hochberg D., Visser M. The null energy condition in dynamic wormholcs // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. Pp. 746-749. (arXiv: gr-qc 9802048).

24. Волобуев И.В., Малышенко В.О. Точные решения типа кротовых пор в системах Эйнштейна-Янга-Миллса с дополнительными измерениями пространства-времени // Фунд. прикл. матем. 1998. Т. 1. С. 233 -244.

25. Morris M.S., Torn K.S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, and the weak energy condition // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. Pp. 1446-1449.

26. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 402 с.

27. Friedman J.L., Schleich К., Witt D.M. Topological censorship // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. Pp. 1486-1489. (arXiv: gr-qc 9305017).

28. Louko J. Single-exterior black holes // Lect. Notes Phys. 2000. Vol. 541. Pp. 188-202. (arXiv: gr-qc 9906031).

29. Louko J., Marolf D. Inextendible Schwarschild black hole with a single exterior: How thermal is the Hawking radiation // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 58. 024007 (arXiv: gr-qc 9802068).

30. Louko J., Whiting B.F. Hamiltonian thermodynamics of the Schwarschild black hole // Phys. Rev. D. 1995. Vol. 51. Pp. 5583-5599. (arXiv: gr-qc 9411017).

31. Louko J., Mann R.B., Marolf D. Geons with spin and charge // Class. Quant. Grav. 2005. Vol. 22. Pp. 1451-1468. (arXiv: gr-qc 0412012).

32. Morris M.S., Torn K.S. Wormholes in space-time and their use for interstellar travels // Am. J. Phys. 1988. Vol. 56. Pp. 395-402.

33. Frolov V.P., Novikov I.D. Physical effects in wormholes and time machine // Phys. Rev. D. 1990. Vol. 42. Pp. 1057-1065.

34. Krasnikov S. Evaporation induced traversability of the Einstein-Rosen wormhole // Phys. Rev. D. 2006. Vol. 73. 084006 (arXiv: gr-qc 0507079).'

35. Хуснутдинов H.P. Квазиклассические кротовые норы с гладкой горловиной // ТМФ. 2004. Т. 138. С. 297-318.

36. Wheeler J.A. Geons // Phys. Rev. 1955. Vol. 97. Pp. 511-536.

37. Wheeler J.A. Geometrodynamics. New York: Academic Press, 1962.

38. Ernst Jr. F.J. Variational calculations in geon theory // Phys. Rev. 1957. Vol. 105. Pp. 1662-1664.

39. Ernst Jr. F.J. Linear and toroidal geons // Phys. Rev. 1957. Vol. 105. Pp. 1665-1670.

40. Brill D.R., Hartle J.B. Method of the self-consistent field in general relativity and its application to the gravitational geon // Phys. Rev. 1964. Vol. 135. Pp. B271-B278.

41. Misner C.W., Wheeler J.A. Classical physics as geometry // Ann. Phys. 1957. Vol. 2. Pp. 525-603.

42. Fuller R.W., Wheeler J.A. Causality and multiply connected space-time // Phys. Rev. 1962. Vol. 128. Pp. 919-929.

43. Sorkin R.D. Introduction to topological geons // Proc. NATO Adv. Study Inst, on Topological Properties and Global Structure of Space-Time, Erice, Italy. 1985.-May 12-22. Pp. 249-270.

44. Regge T., Wheeler J.A. Stability of a Schwarzschild singularity // Phys. Rev. 1957. Vol. 108. Pp. 1063-1069.

45. Zerilli F.J. Gravitational field of a particle falling in a Schwarzschild geometry analysed in tensor harmonics // Phys. Rev. D. 1970. Vol. 2. Pp. 2141-2160.

46. Chandrasekhar S. On the equations governing the perturbations of the Schwarzschild black hole // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1975. no. 343. Pp. 289-298.

47. Persides S. On the radial wave equation in Schwarzschild space-time //J. Math. Phys. 1973. no. 14. Pp. 1017-1021.

48. Nollert H.P., Price R.H. Quantifying excitations of quasinorrnal mode systems // J. Math. Phys. 1999. no. 40. Pp. 980-1010. (arXiv: gr-qc 9810074).

49. Berti E., Cardoso V., Starinets A.O. Quasinorrnal modes of black holes and black branes // Class. Quant. Grav. 2009. no. 26. 163001 (arXiv: gr-qc 0905.2975).

50. Kokkotas K.D., Schmidt B.G. Quasi-Normal Modes of Stars and Black Holes // Living Rev. Relativity. 1999. no. 2. Pp. 1-72. (www.livingreviews.org).

51. Cardoso V., Lemos J.P.S., S. Yoshida. Quasinormal modes of Schwarzschild black holes in four and higher dimensions // Phys. Rev. D. 2004. Vol. 69. 044004 (arXiv: gr-qc 0309112).

52. Zhidenko A. Quasi-normal modes of Schwarzschild-de Sitter black holes // Class. Quant. Grav. 2004. no. 21. Pp. 273-280. (arXiv: gr-qc 0307012).

53. Barack L. Late time dynamics of scalar perturbations outside black holes. II. Schwarzschild geometry // Phys. Rev. D. 1999. Vol. 59. 044017 (arXiv: gr-qc 9811028).

54. Cho H.T. Black hole quasinormal modes using the asymptotic iteration method // Class. Quant. Grav. 2010. no. 27. 155004 (arXiv: gr-qc 0912.2740).

55. Никонов В.В., Цирулев А.Н., Чемарина Ю.В. Спектральная краевая задача для гравитирующего скалярного поля в пространстве-времени с топологией R х R#RP3 // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2006. № 4(21). С. 106-113.

56. Никонов В.В., Цирулев А.Н., Чемарина Ю.В. Асимптотически-плоские решения уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2007. № 5(33). С. 11-20.

57. Nikonov V.V., Tchemarina Ju.V., Tsirulev A.N. A two-parameter family of exact asymptotically flat solutions to the Einstein-scalar field equations //' Class. Quant. Grav. 2008. Vol. 25. 138001.

58. Никонов В.В., Цирулев А.Н. Квазинормальные моды и устойчивость сферически-симметричных гравитирующих скалярных конфигураций // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2010. № 28. С. 103-115.

59. Никонов B.B. Символьные и численные методы исследования гра-витирующих полей // Третьи Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции. 2007. С. 185-188.

60. Никонов В.В. Устойчивость сферически-симметричных гравитирую-щих скалярных конфигураций // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании. Вторая Росийская школа-конфернция для молодых ученых: Тезисы докладов. 2010. С. 44.

61. Дьяконов В.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: Солон-Пресс, 2004. 688 с.

62. Аладьев В.З. Системы компьютерной алгебры. Maple. Искусство программирования. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2006. 792 с.

63. Артёмов И.Л. Fortran. Основы прораммнрования. М.: Диалог-МИФИ, 2007. 304 с.

64. Немнюгин С., Стесик О. Фортран в задачах и примерах. СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 320 с.

65. Kardashev N.S., Novikov I.D., Shatskiy A.A. Astrophysics of Worm-holes // Int. Jour, of Modern Phys. D. 2007. Vol. 16. Pp. 909-926. (arXiv: astro-ph 0610441v2).

66. Новиков И.Д., Кардашев Н.С., Шацкий А.А. Многокомпонентная Вселенная и астрофизика кротовых нор /'/ Успехи физических наук. 2007. Т. 177. С. 1017-1023.

67. Проект «РадиоАстрон». URL: http://www.asc.rssi.ru/radioastron.

68. Проект «Миллиметрон». URL: http: //www. asc. rssi . ru/millimetron.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. М.: Наука, 1988.

70. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности. М.: Наука, 1969.

71. Wyman М. Static spherically symmetric scalar field in general relativity // Phys. Rev. D. 1981. Vol. 24. Pp. 839-841.

72. Фролов В.П., Новиков И.Д. Физика черных дыр. М.: Наука, 1991.

73. Торн К.С., Прайс Р.Х., МакДональд Д.А. Чёрные дыры: мембранный подход. М.: Мир, 1988.

74. Новиков И.Д., Фролов В.П. Чёрные дыры во Вселенной // УФН. 2001. Т. 171, № 3. С. 307-324.

75. Фишер И.З. Поле скалярного мезона с учетом гравитационных эффектов // ЖЭТФ. 1948. Т. 18. С. 636-640. (arXiv: gr-qc 9911008).

76. Bronnikov К.A. Scalar-tensor theory and scalar charge // Acta Phys. Pol. 1973. Vol. 4. Pp. 251-266.

77. Ching E.S.C. Wave propagation in gravitational systems: Completeness of quasinormal modes // Phys. Rev. D. 1996. Vol. 54. Pp. 3778-3791. (arXiv: gr-qc 9507034).

78. Gleiser R.J., Dotti G. Instability of the negative mass Schwarzschild naked singularity // Class. Quant. Grav. 2006. no. 23. Pp. 5063-5078. (arXiv: gr-qc 0604021).

79. Bilic N. Tupper G.B., Viollier R.D. Unification of dark matter and dark energy: the inhomogeneous Chaplygin gas // Phys. Lett. B. 2002. Vol. 535. Pp. 17-21. (arXiv: astro-ph 0111325).

80. Sushkov S. Wormholes supported by a phantom energy /,/ Phys. Rev. D. 2005. Vol. 70. 043520 (arXiv: gr-qc 0502084).

81. Visser M. Lorentzian wormholes: from Einstein to Hawking // AIP Press. 1995.

82. Barcelo C., Visser M. Scalar fields, energy conditions and transversable wormholes // Class. Quant. Grav. 2000. Vol. 17. Pp. 3843-3864. (arXiv: gr-qc 0003025).

83. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Мир, 1989.

84. Liddle A.R., Lyth D.H. Cosmological inflation and large-scale structure // Camb.Univ.Press. 2000.

85. Bertacca D., Matarrese S., Pietroni M. Unifed dark matter in scalar field cosmologies // Mod. Phys. Lett. A. 2007. Vol. 22. Pp. 2893-2907. (arXiv: astro-ph 0703259).

86. Bertacca D., Bartolo N., Diaferio A., Matarrese S. How the scalar field of unified dark matter models can cluster // JCAP. 2008. (arXiv: astro-ph 0807.1020).

87. Dowker F., Surya S. Topology change and causal continuity // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 58. 124019 (arXiv: gr-qc 9711070).

88. Lemos J.P.S. Three dimensional black holes and cylindrical general relativity // Phys. Lett. B. 1995. Vol. 353. Pp. 46-51. (arXiv: gr-qc 9404041).

89. Smith W.L., Mann R.B. Formation of topological black holes from gravitational collapse // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 56. Pp. 4942-4947. (arXiv: gr-qc 9703007).

90. Vanzo L. Black holes with unusual topology // Phys. Rev. D. 1997. Vol. 56. Pp. 6475-6483. (arXiv: gr-qc 9705004).

91. Birmingham D. Topological black holes in anti-de Sitter space // Class. Quant. Grav. 1999. Vol. 16. Pp. 1197-1205. (arXiv: hep-th 9808032).

92. Klemm D., Moretti V., Vanzo L. Rotating topological black holes // Phys. Rev. D. 1998. Vol. 57. Pp. 6127-6137. (arXiv: gr-qc 9710123).

93. Einasto J. Dark Matter. 2009. (arXiv: astro-ph 0901.0632).

94. Roberts M.S., Whitehurst R.N. The rotation curve and geometry of M31 at large galactocentric distances // Astroph. J. 1975. Vol. 201. Pp. 327-336.

95. Gilmore G., Wilkinson M.I., Wyse R.F.G. The observed properties of dark matter on small spatial scales // Astroph. J. 2007. Vol. 663. Pp. 948-959. (arXiv: astro-ph 0703308).

96. Costa S.S. Relations between the modified Chaplygin gas and a scalar field. (arXiv: gr-qc 0802.4448).

97. Matos T., Guzman F.S. On the Space Time of a Galaxy // Class. Quant. Grav. 2001. Vol. 18. Pp. 5055-5064. (arXiv: gr-qc 0108027).

98. Matos T., Vazquez A., Magana J. 4>2 as dark matter // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2009. Vol. 393. Pp. 1359-1369. (arXiv: astro-ph 0806.0683).