Релятивистские движения сплошной среды в магнитной гидродинамике и космологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Шикин, Игорь Сергеевич

• Шикин, Игорь Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шикин, Игорь Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РИМАНОВСКИЕ ВОЛНЬ! И СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ.

§ I. Основные уравнения релятивистской МГД

§ 2. Волны Римана.

§ 3. Ударные волны.

ГЛАВА П. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ ПЛАЗМЫ БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ С УЧЕТОМ КОНЕЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ ИОННОГО ЛАШОРОВСКОГО РАДИУСА.

§ 4. Разложения кинетических уравнений по малому параметру.

§ 5. Решения кинетических уравнений.

§ 6. Моменты функции распределения ионов и магнитогидродинамкческие уравнения

§ 7. Тензор моментов 3-го порядка в РМГД КЛР

ГЛАВА Ш. РИМАНОВСКИЕ ВОЛНЫ И СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ ЧУ,ГОЛДЕЕР-ГЕРАДОУ.

§ 8. Основные уравнения ШГД ЧГЛ и анализ соотношений в простых волнах.

§ 9. Соотношения на поверхностях разрыва.

ГЛАВА 1У. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМА МАШТОЩПРОДИНАМИЧЕС-КИХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ КОНЕЧНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ИОННОГО ЛАВЮРОВСКОГО РАДИУСА.

§ 10. Кинетические уравнения и моменты функций распределения

§ II. Тензор моментов 3-го порядка в МГД КЛР.

§ 12. Малые возмущения в МГД КИР при продольном распространении

ПЛАВА У. ИССЛЕДОВАНИЕ ШЛЕЙ ТЯГОТЕНИЯ И ДИНАМИКИ СРЕДЫ В

НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЯХ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.

§ 13. Основные уравнения и типы рассматриваемых метрик.

§ 14. Исследование полей тяготения с плоской, сферической и псевдосферической симметриями для среды с магнитным полем.

§ 15. Точные решения уравнений тяготения в однородной анизотропной космологической модели I типа Бланки для среды с уравнением состояния и для среды с потоками (изотропных) свободных частиц.

§ 16. Динамика среды и газодинамические особенности в однородной анизотропной модели типа У Бианки.

§ 17. Автомодельные поля тяготения в пространстве-времени с плоской симметрией.

ГЛАВА Л. НЬЮТОНОВСКИЕ АНАЛОШ ОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ

МОДЕЛЕЙ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В НЬЮТОНОВСКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ С НЬЮТОНОВСКИМ ГРАВИТАЦИОННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ.

§ 18. Квазиньютоновское приближение для релятивистских однородных анизотропных моделей и их ньютоновские аналоги.

§ 19. Однородные анизотропные модели со сдвигом в ньютоновской космологии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Релятивистские движения сплошной среды в магнитной гидродинамике и космологии»

В данной диссертационной работе рассматриваются вопросы релятивистской магнитной гидродинамики и также релятивистские космологические модели и их ньютоновские аналоги. Первой группе вопросов, связанных с релятивистской магнитной гидродинамикой, посвящены главы I-Ш. Глава 1У содержит новые результаты в нерелятивистской формулировке магнитной гидродинамики для плазмы без столкновений при учете конечного значения ионного ларморовского радиуса, представляйщие собой нерелятивистский предел релятивистски-инвариантных соотношений гл.П. Второй группе воцросов, связанных с космологическими моделями, посвящены главы У и У1.

В механике сплошной среды рассматриваются различные модели. Общий подход к построению таких моделей создан Л.И.Седовым [i, 2]. Релятивистская гидродинамика и релятивистская магнитная гидродинамика являются одной из новых моделей сплошных сред, описывающих движение газа и плазмы в рамках специальной или общей теории относительности.

В специальной теории относительности (СТО) уравнения релятивистской гидродинамики записываются в виде равенства нулю 4-дивергенции тензора энергии-импульсавыражающего законы сохранения импульса и энергии, и равенства нулю 4-дивергенции 4-тока частицвыражающего закон сохранения числа частиц (остаточной массы). Эти уравнения формулируются в четырехмерном пространстве-времени Минковского.

В общей теории относительности (ОТО), являющейся современной физической теорией пространства, времени и тяготения, основными уравнениями являются уравнения тяготения ЭйнштейнаНиже рассматриваются классические (неквантовые) решения уравнений Эйнштейна с равной нулю космологической постоянной Л. Отличная от нуля космологическая постоянная существенна в квантовой гравитации и космологии самых ранних этапов эволюции Вселенной.в правой части которых стоит тензор энергии-импульса вещества и полей, определяющий искривление пространства-времени. При этом уравненият'^о,представляющие собой уравнения релятивистской гидродинамики в рассматриваемом гравитационном поле, являются следствием уравнений тяготения. Задача определения движения и определения гравитационного поля является в ОТО самосогласованной задачей.

Движение проводящих сред в электромагнитных полях, создаваемых движением среды и воздействующих на нее посредством силы Лоренца, описывается уравнениями магнитной гидродинамики (МГД). Наиболее общим методом описания динамики плазмы является, как известно, описание с помощью кинетических уравнений для каждой компоненты, Магнитогидродинамическое описание достаточно плотной плазмы оказывается удовлетворительным при условии CoX^i где 0) - характерная частота, X - время свободного пробега,МГД возникла как синтез гидродинамики, которая в большинстве случаев рассматривается как нерелятивистская теория, и электродинамики, которая по своему существу является лоренц-инвариантной теорией, МГД в целом должна рассматриваться либо в нерелятивистском приближении (в форме, инвариантной по Галилею), либо в релятивистски инвариантной форме, как релятивистская магнитная гидродинамика (ГМГД). Нерелятивистская МГД, возникшая в 50-х годах из задач астрофизики, в настоящее время является хорошо развитой областью физики, результаты которой широко используются для решения задач физики плазмы, в особенности, в проблеме управляемого термоядерного синтеза и в проблеме создания МГД-генераторов* для задач космической физики, геофизики и астрофизики [38-41], Б последние годы получила также развитие РМГД, которая рассматривается как в рамках СТО, так и в общековариантной форме,В данной диссертационной работе в главах I-Ш обсуждаются вопросы РМГД (для плотной и для бесстолкновительной плазмы) в рамках СТО в пространстве-времени Минковского (соотношения на сильных разрывах сохраняют свою силу и для общерелятивистского случая). В главах У и У1 рассматриваются модели в рамках ОТО на основе уравнений тяготения Эйнштейна.

Областью применимости РМГД являются многочисленные задачи космической физики и астрофизики и также задачи физики плазмы в лабораторных условиях. В последние годы возникло новое направление в проблеме управляемого термоядерного синтеза, связанное с использованием релятивистских электронных и ионных пучков, бомбардирующих мишени, для получения термоядерных температур.

Первыми работами по РМГД были работа Х.Гоффмана и Э.Телле-ра [42] по релятивистским МВД ударным волнам и важные работы К.П.Станюковича [43-47], в которых установлено, что уравнения РМГД идеально проводящей среды для одномерных нестационарных движений в случае, когда магнитное поле ортогонально скорости, редуцируются к уравнениям газовой динамики с модифицированным уравнением состояния. В частности, это справедливо для простых и ударных МГД волн при соответствующей геометрии движения.

Малые возмущения в РМГД впервые рассматривались в [48-50], В теории ударных РМГД волн весьма важным было использование понятия условий эволюционности [5l] которое внесло ясность в деление ударных волн на быстрые и медленные. А.Лихнерошч [52, 53, 82] ввел для ковариантного описания в РМГД,вместо тензораI fxiэлектромагнитного поля F^ > 4-векторы k-L = F ^и Gfc-^Filb и произвел ковариантное рассмотрение аюотно-шений на сильных разрывах. Автором [54-5?] были детально рассмотрены в РМГД соотношения в римановских и ударных волнах в общем случае (в особенности, следствия соотношений на разрывах без использования условия нецрерывности потока частиц в случае уравнения состояния вида Ю'-!Ю'(р) ) и обнаружено наличие "сверхбыстрых" волн, представляющих собой чисто релятивистскийэффект. При этом использовались переменные вспомогательного газа, введенные ранее автором в релятивистской газодинамике [l6-I8]. Римановские и ударные волны в РМГД рассматривались также в [58-6l]. В [б2] рассматривался вопрос о структуре релятивистских МГД ударных волн. Разрывы с выделением энергии на фронте (волны детонации и дефлаграции) в РМГД рассматривались в [63, 64]. Различные течения в РМГД рассмотрены в [65-67]. В 1968 г. состоялся международный симпозиум по классической и релятивистской МГД (г.Лилль, Франция) [68], на котором, в частности, были доложены результаты автора [57]. Различные вопросы РМГД также рассматривались в [б9-7б].

При рассмотрении релятивистской гидродинамики и РМГД в рамках ОТО существенным оказывается вопрос о постановке задачи Коши (на некоторой гиперповерхности, которую можно задать уравнением 0 ) {77-84]. Этот вопрос рассматривался Ф.И.Франк-лем [77-79]. Точные математические результаты о единственности решения задачи Коши (с использованием теоремы Лере)для уравнений ОТО вблизи гиперповерхности, не содержащей характеристических элементов, для тензора энергии-импульса идеальной жидкости и идеально проводящей жидкости, получены А.Лихнеровичем [52, 82]. Уравнения Эйнштейна с к-0 оказываются при атом условиями, связывающими данные Коши [52), а уравнения с цЬ = я I, 2, 3 и уравнения РМГД (равенство нулю 4-дивергенции тензора энергии-импульса) служат для определения методом Коши-Ковалевской компонент метрического тензора и тензора энергии-импульса. Характеристическими (в ВДГД) оказываются гиперповерхности с изотропной нормалью Г qьо — 0 » гравитационные волнь^,вмороженные в жидкие частицы и также распространяющиеся по жидким частицам с альфвеновской или с одной из магнитозвуковых скоростей (медленной или быстрой) [52].

Данные Коши на гиперповерхности, не имеющей характеристических элементов, определяют вблизи нее компоненты как аналитические функции своих аргументов. Аналогично гидродинамике и МГД в ньютоновском приближении и в СТО, в ОТО рассматриваются также поверхности разрывов [52, 87]. На гиперповерхности разрыва могут терпеть разрыв производные cj.t второго или более высокого порядка, Если разрыв терпят производные уц. третьего порядка или выше, то поверхность разрыва является характеристикой; на такой поверхности разрыва в силу уравнений тяготения компоненты тензора энергии-импульса (гидродинамические и электродинамические величины) оказываются непрерывными, а терпят разрыв их производные. При этом имеем слабый разрыв. Если на гиперповерхности разрыва могут терпеть разрыв вторые производные метрического тензора, то имеем гиперповерхность сильного разрыва, на которой терпят разрыв гидродинамические и электродинамические величины. Получение условий на поверхностях сильных разрывов в гидродинамике в ньютоновском приближении и в СТО производится из интегральной формы законов сохранения [2] Исследование вывода условий на гиперповерхностях сильных разрывов в ОТО произведено Л.И.Седовым [87]. В работах Л.И.Седова подчеркивается важная роль вариационного принципа при выводе условий на поверхностях разрывов (и получении уравнений состояния) [85-88, 2].

В главе I данной диссертационной работы в § I рассмотрены (в рамках СТО) общие уравнения РМГД для идеальной и идеально проводящей среды и введены соответствующие переменные. В § 2 рассмотрены в общем случае простые волны (волны Римана), а в § 3 изучены в общем случае свойства сильных разрывов в РМГД.

Главы П-1У данной работы посвящены магнитной гидродинамике для плазмы без столкновений. Рассматриваемое здесь магнито-гидродинамичесное описание замагниченной бесстолкновительной плазмы предполагает выполнение неравенства (аГо»! где (о - характерная (ларморовская) частота, т - характерное время. В гл.П произведен в релятивистски-инвариантной форме общий вывод уравнений магнитной гидродинамики для бесстолкновительной плазмы с учетом конечного значения ионного ларморов-ского радиуса ("магнитной вязкости") (РМГД KJEP). Эти уравнения являются новыми в литературе. В гл.Ш рассматривается в рамках СТО релятивистская магнитная гидродинамика Чу-Голдбе^-ера-Лоу для бесстолкновительной плазмы (ГМГД ЧГЛ), изучаются простые волны (§ 8) и сильные разрывы (§ 9). В гл.1У произведен вывод уравнений главы П в нерй/атйвмстском приближении (§§ 10, II), произведено сопоставление с выражениями, полученными другими авторами, и рассмотрены малые возмущения цри распространении волны вдоль магнитного поля (§ 12).

Условие замагниченности означает выполнение неравенства» где ларморовская частота вращения вокруг магнитной силовой линии равна =СН /Не - время между столкновениями [93, 94]. Будем рассматривать бесстолкновительнуго плазму, в которой замагничены как электроны, так и ионы. Физическими объектами, для которых выполняются эти условия, являются высокотемпературная плазма в термоядерных установках с магнитным удержанием, космическая плазма ближнего космоса (шгазма солнечного ветра и плазма ионосферы и магнитосферы Земли и других планет) и также шгазма в магнитосферах пульсаров, которые являются существенно релятивистскими объектами.

Б магнитосферах пульсаров паршетр 6iH может достигать экстремально больших значений ^ I016 I/сек для цротонов при напряженности магнитного поля порядка I012 Э [97].

Замагниченная бесстолкноштельная плазма описывается кинетическими уравнениями Власова для функций распределения ионов jи электронов и уравнениями Максвелла, в которых электрический ток образуется интегралами по пространству хаотических импульсов с функциями распределения | и [98-100, 94, 9б], Эта система уравнений является интегро-дифференциальной. Кинетическое уравнение может также рассматриваться (в нулевом приближении) в форме "дрейфового приближения" или "приближения ведущих центров" [98].Магнитогидродинамическое описание использует систему МГД уравнений, которые являются более простыми дифференциальными уравнениями и для изучения которых в ряде случаев можно использовать развитый математический аппарат [38, 40, I0I-I09].

Для плотной плазмы адекватность МГД описания обосновывается тем обстоятельством, что, поскольку характерные пространственные размеры L велики по сравнению с длинами свободного пробега I благодаря столкновениям в каждом малом элементе плазмы устанавливается термодинамическое равновесие [38, 40, 98]•В случае замагниченной бесстолкновительной плазмы существенным механизмом коллективного взаимодействия является вращение микроскопических частиц вокруг магнитных силовых линий самосогласованного поля по ларморовским окружностям с ларморовс-ким радиусом который значительно меньше характерного размера L [94, 95].

Важным вопросом динамики бесстолкновительной плазмы является вопрос об ударных волнах в плазме без столкновений, механизмах диссипации и структуре таких ударных волн [по]. Основные представления в этом вопросе созданы Р.З.Сагдеевым [111-114, 94J. Важным физическим примером такого рода служит околоземнаяударная волна при обтекании солнечным ветром, представляющим собой плазму без столкновений, магнитного диполя Земли и также других планет ^95, 113, Юэ].

Впервые МГД уравнения для замагниченной бесстолкноштель-ной плазмы были цредложены Дж.Чу, М.Голдбергером'й Ф.Лоу в 1956 г. [iOl] • Эти авторы цроизводили разложение функции распределения ионов по малому параметру, равному обратной величине напряженности магнитного поля, ограничиваясь суммой нулевого и первого приближений. Наряду с уравнениями непрерывности и импульса, ими были рассмотрены два уравнения для третьих моментов, содержащие в общем случае величины (j/jj и ^ имеющие смысл потоков вдоль магнитного поля продольной и поперечной частей энергии хаотического движения. Используя цредположение Ч'н 0 Чу, Голдбергер и Лоу получили (в нерелятивистской форме) замкнутую систему магнитогидродинамических уравнений (МГДЧГЛ).

Отказ от цредположений ЧГЛ и учет конечных значений величин и (^J требует рассмотрения моментов четвертого и, в общем случае, более высокого порядков. Феноменологическая схема получения соответствующих уравнений как моментов кинетического уравнения была цредложена А.Мак-Махоном [lI5]. При этом возникает проблема обрыва цепочки соответствующих уравнений и замыкания МГД системы. Этот вопрос к настоящему времени не получил исчерпывающего разрешения. Имеющиеся в литературе подходы обсуждаются ниже в § II.

Магнитогидродинамические уравнения Чу, Голдберп»р£;Лоу сформулированы также в релятивистски инвариантной форме в специальной теории относительности (РМГД ЧГЛ) [I35-I45J. В [l37, 144] уравнения РМГД ЧГЛ получены из кинетического уравнения для ионов. В работе автора [144]. изучены, в рамках 1М1Д ЧГЛ простые волны и соотношения на сильных разрывах.

После работы Чу ; Голдбергера,Лоу [iOl] в многочисленных работах были предприняты попытки учесть в разложении для функции распределения ионов, наряду с нулевым цриближением с также следующее приближение ^ что физически означает учет в макроскопических уравнениях (для ионной жидкости) конечного значения ионного ларморовского радиуса (КЛР) [146-164, 166-168]. Наиболее последовательная процедура разложения функции распределения ионов по малому параметру £=1/(йнЪ где <JH - лар-моровская частота, X - характерное время изменения функции распределения } была предложена в [150]. С другойстороны, в работе [lI5], как уже отмечалось, была установлена структура макроскопических уравнений для моментов второго, третьего и более высокого порядков, знание которой позволяет феноменологическим путем получать выражения для тензора напряжений, тензора моментов 3-го порядка и т.д. [.159, 166, 167].

Первоначально была выяснена структура тензора напряжений при учете конечного значения ионного ларморовского радиуса; этот тензор по аналогии с гидродинамикой был назван тензором напряжений "магнитной вязкости" [147-149, 151, 163, 164]„В отличие от гидродинамики вязкой жидкости, однако, при наличии "магнитной вязкости" процессы являются обратимыми и имеет место закон сохранения энтропии, т.к. при изменении знака времени коэффициент магнитной вязкости i/(0H изменяет знак (вместе с напряженностью магнитного поля)в отличие от коэффициентов вязкости в гидродинамике вязкой жидкости [151] • В магнитогидродинамических уравнениях, учитывающих конечное значение ионного ларморовского радиуса (МГД КЛР), необходимо также учитывать, как было позднее по-казано,ток Холла в законе Ома и добавочные выражения, имеющие весьма сложную структуру, в тензоре моментов 3-го порядка, в частности, в выражении для плотности потока энергии [159, 167, I65J которые, вообще говоря, существенны в такой же степени, как и тензор напряжений магнитной вязкости. При этом для замыкания системы МГД уравнений необходимо делать допущения о выражении скалярных моментов 4-го порядка. через продольное и поперечное давления и плотность.

С помощью уравнений МГД КЛР в [149, 164] рассматривался критерий шланговой неустойчивости с учетом стабилизирующего эффекта, создаваемого конечным значением ионного ларморовского радиуса, и рассматривались нелинейные волны вдоль магнитного поля (при этом, однако, были опущены связанные с членыв законе Ома и не были учтены некоторые члены в тензоре напряжений магнитной вязкости, связанные с неравенством нулю произВ реМтивистски-инвариантной форме (в рамках СТО) вывод уравнений релятивистской магнитной гидродинамики для бесстолкновительной замагниченной плазмы при учете конечного значения ионного ларморовского радиуса (ШГД КЛР) произведен впервые влитературе в работе авторавывод изложен в гл.П(§§ 4-7) данной работы. Специфически релятивистской природы оказывается, в частности, вопрос об альтернативном возможном определении макроскопической 4-скорости либо с помощью 4-век-тора тока, либо как времениподобного собственного вектора тензора энергии-импульса; в гл.Д принято второе определение. Аналогичная ситуация имеет место в релятивистской гидродинамике вязкой и теплопроводной жидкости Jl70, 90]. Рассмотрение в гл.Д цроизведено в наиболее общей форме; приведены релятивистски инвариантные выражения для тензора энергии-импульса "магнитной вязкости" и для тензоров моментов 3-го и также 4-го порядков при неравных нулю потоках GlJ и Q^.

Нерелятивистская формулировка процедуры вывода и результатов гл.П приведена в гл.1У. Существенно при этом отметить, что многие моменты этого вывода в нерелятивистской форме являются новыми в литературе. В § 12 гл.1У цриведен уточненный критерий шланговой неустойчивости при распространении волны малой амплитуды вдоль магнитного поля с учетом стабилизации при больших волновых числах, создаваемой конечной величиной ионного лармо-ровского радиуса.

В работе [1071 была получена замкнутая система МГД уравнений для бесстолкновительной плазмы из кинетических уравнений методом Трэда, При этом использовалось шестнадцатшоментное приближение (в отличие от тринадцатимоментного приближения Грэда), использующее представление тензора моментов 3-го порядка через вектор полного теплового потока и вектор теплового потока вдоль магнитного поля. Сопоставление этого представления тензора моментов 3-го порядка с выражением (II.13) в § II дляэтого тензора в МГД КЛР показывает, что такое цредставление не оказывается справедливым при учете членов с i/-QH (вследствие наличия ).

Главы У и У1 данной диссертационной работы касаются круга вопросов, рассматриваемых в рамках общей теории относительности Эйнштейна. В гл.У рассматривается динамика некоторых релятивистских космологических моделей в ОТО, в гл.Я изучаются соответствующие аналоги в ньютоновской космологии.

В настоящее время исследования по гравитации активно развиваются по различным направлениям (классическая гравитация, квантовая гравитация, задачи релятивистской астрофизики и космологии, экспериментальные гравитационные исследования). Наряду с традиционными исследованиями в рамках ОТО, в последнее время были проведены исследования по построению теории тяготения на отличающейся от ОТО основе [194].

В данной работе рассматриваются вопросы классической (неквантовой) гравитации в рамках ОТО на основе уравнений Эйнштейна, связанные с моделями релятивистской космологии. Детально обсуждаются также соответствующие аналоги в рамках ньютоновской гидродинамики с ньютоновским гравитационным потенциалом.

Релятивистская космология цринадлежит к числу важнейших фундаментальных областей науки. Актуальность теоретических исследований в этой области обуславливается сделанными в последнее время важными экспериментальными открытиями, к числу которых в первую очередь принадлежит открытие в 1965 г. трехградусного реликтового излучения. Наблюдательное изучение малой анизотропии по различным направлениям температуры этого излучения,которая с весьма высокой точностью постоянна (дТ/ТС 1(Н [l80, 183]), является тем опытным критерием, который проверяет физическую достоверность теоретических моделей.

Теоретическая космология является синтезом общей теории относительности, физики элементарных частиц и гидродинамики. Для исследования задач "гидродинамики Вселенной" [186, 187] необходимо развитие методов релятивистской гидродинамики в ОТО. Эта область исследований представляется как новое перспективное направление в гидродинамике, имеющее фундаментальное значение.

Среди главных теоретических проблем в космологии выделяются задачи изучения физики горячей Вселенной [l80, 182-185] построение моделей квантовой космологии для описания эволюции Вселенной вблизи сингулярного состояния [l85, 189, I9Q], теория гравитационной неустойчивости и проблема образования галактик' [180, 182, 188] и задача изучения анизотропных космологических моделей [89, 180, 182, I9l] вместе с общей проблемой сингулярности в космологических решениях ОТО [89, 192, 193]. Задачи, рассматриваемые в гл.У, У1 данной диссертационной работы, связаны с этим последним кругом вопросов.

Высокая степень изотропии температуры реликтового излучения и наблюдаемая однородность распределения плотности вещества в масштабах скоплений галактик (при наличии структуры в распределении галактик в меньших масштабах) является экспериментальным обоснованием однородности и изотропии расширяющейся Метагалактики в настоящую эпоху. Теоретические космологические модели, обладающие физической достоверностью, должны обладать этими свойствами во всяком случае для достаточно больших моментов времени (от момента "большого взрыва" - сингулярного состояния).

Вопрос об экстраполяции свойства изотропии на самые ранние этапы эволюции Вселенной, однако, является далеко идущим теоретическим допущением. Более того, имеется широкий класс теоретических однородных (и неоднородных) анизотропных моделей, которые обладают свойством асимптотической изотропизации [ 180 200-204, 155, 188]. Изучение динамики таких моделей является важной задачей теоретической космологии.

В рамках ньютоновской газовой динамики без гравитации свойствами однородности и изотропии. обладают движения с распределением скорости в виде г/t (инервдальный разлет); такое распределение скоростей оказывается асимптотическим состоянием при больших временах для весьма широкого класса сложных движений.

Кроме группового критерия однородности,существует предложенный А.Л.Зельмановым "дифференциальный" критерий однородности космологических моделей [230, 180], подразумевающий обращение в нуль соответствующим образом определенных пространственных производных от соответствующих векторных и тензорных веж-чин, характеризующих гравитационное поле.

Для полей тяготения со сферической симметрией для пылевидной материи хорошо известно решение Толмена [89]; существуют также аналогичные решения с плоской и псевдосферической сим-метриями [251, 255]. Б § 14 обсуждается полученное автором [204] точное решение для полей тяготения с плоской, сферической и псевдосферической симметриями для пылевидной среды и магнитного поля и также условия, при которых это решение (представляющее класс анизотропных и неоднородных космологических моделей) асимптотически изотрОпизуется.

Поля тяготения с группой движений G^ на S^y. ^ для пылевидной материи изучены в [206 211, 252] и для материи с ультрарелятивистским уравнением состояния в [208, 257, 259, 336].

Большой интерес представляют поля тяготения с группой движений Gb на §л S. в случае, когда источником грави Д 1тационного поля служат материя и однородное магнитное поле. Такие поля тяготения описывают космологическую модель с магнитным полем ("магнитную модель Вселенной"). Магнитная модель Вселенной, предложенная Я.Б.Зельдовичем [207] предполагает наличие изначального магнитного поля в соответствии с тем, что наблюдения допускают наличие межгалактического магнитного поля интенсивности 10г [l80]. Точные решения уравнений ОТО в магнитной модели для пылевидной материи были получены А.Г.Доро-шкевичем [208] автором [209] и К.Торном [210]. Для среды с уравнением состояния специальные решения получены в [259] •В космологической модели с магнитным полем при ультрарелятивистском уравнении состояния материи в случае плоской симметрии (принадлежащем также к классу однородных анизотропных моделей I типа Бианки) для анализа уравнений тяготения автором впервые в литературе в.работе [257] был использован метод качественного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений на фазовой плоскости.

Вопросы, связанные с магнитной моделью, рассматриваются в большом числе работ [180, 211, 253, 260-262, 312-319, 321333].

Однородные анизотропные модели Бианки интенсивно изучались как для вакуумного случая (с 7*^=0) так и с тензором энергии-импульса источников гравитационного поля различной природы [222, 89, 214-220, 191].

При изучении динамики анизотропной модели большой интерес представляют вопрос о поведении вблизи сингулярного состояния и вопрос об асимптотической изотропизации. Многие существенные моменты поведения вблизи сингулярности были выяснены при изучении вакуумных моделей I типа Бианки (решение Казнера [89]) и IX типа Бианки. Определяющую роль в понимании сложного осциллирующего поведения в модели IX типа и также характера сингулярности, неизбежной в общем космологическом решении уравнений ОТО [192, 193] сыграли работы В.А.Белинского, Е.М.Дифшица и И.М.Халатникова [402-407, 417, 89]. Общее рассмотрение вопроса об изотропизации произведено в [201-203, 180].

Вопрос о горизонте для изотропных сигналов и частиц для однородных анизотропных моделей рассматривался в [401, 413, 414, 180, 182, 380].

В качестве источника гравитационного поля для моделейБланки в первую очередь рассматривается идеальная жидкость ("материя") с 4-скоростыо ч1 и с уравнением состояния р - давление, £ - плотность внутренней энергии, %. Движение материи характеризуется (согласно кинематическому разбиению U,^ [l8l]) 4-вектором ускорения а^ скаляром расширения 9 симметричным тензором сдвига б"^ с нулевым следом (б"£=0) и антисимметричным тензором вращенияСогласно определению однородности, 4-нормаль к (пространстве нно/подобным) гиперповерхностям транзитивности S3 на которых действует группа движений G-3 направлена вдоль линий времени t. Она может совпадать с 4-скоростью US (модели класса 1) и может не совпадать с ЦЛ (модели класса 2). Для моделей класса 1 синхронная система с линиями времени % является сопутствующей; 4-ускорение СЬ-ь и тензор вращения при этом равны нулю. Модели класса 1 изучены наиболее подробно. Такого типа модели рассматриваются в §§ 14, 15. Для моделей класса 2 сихронная система не является сопутствующей, материя в этой системе движется. При этом отлична от нуля величина 4-ус-корения. Принадлежащая классу 2 модель У типа Бианки с движущейся материей рассматривается в § 16.

Принадлежащая классу 1 модель I типа Бианки с материей хорошо изучена. Точное решение для пыли (р=0Д=х) получено О.Гекманом и Е.Шокингом [222, 335]. Точные решения для материи с р^о Of>i) были получены в [208, 334, 336, 200, 201, 337, 379]. Б модели I типа в качестве источника гравитационного поля, наряду с идеальной жидкостью, рассматриваются также другиефизические поля. Как уже отмечалось, "магнитная модель Вселенной" с плоским 3-пространством отвечает осесимметричной моделиI типа Бианки с материей и однородным магнитным полем. В качестве источника гравитационного поля рассматривались также потоки безмассовых частиц. Представления о необходимом наличии таких частиц на ранних этапах эволюции в анизотропной модели при расширении вдоль двух осей и сжатии вдоль третьей (потоки безмассовых нейтрино и гравитонов) были развиты в работах А.Г.Дорошкеви-ча, Я.Б.Зельдовича и И.Д.Новикова [338-341, 180]. Автором получено [266] точное решение для осесимметричной модели I типа Бланки с ультрарелятивистской материей и потоками свободных частиц. Впоследствии подробное решение было обнаружено в динамике модели УП типа [363-365]. Безмассовые нейтрино в анизотропных моделях рассматривались многими авторами [342-347, 351-353, 355-362].

Уравнения тяготения Эйнштейна для однородных анизотропных моделей сводятся к системе обыкновенных уравнений. Точные решения этих уравнений существуют в небольшом числе случаев. Важным методом исследования этих уравнений является метод качественного анализа обыкновенных уравнений на фазовой плоскости. Этот метод, широко применявшийся в ньютоновской газовой динамике в теории автомодельных движений [240] был впервые использован для однородных анизотропных космологических моделей в работе автора [257] и впоследствии широко использовался в работах автора [266 226 237 238 239] Коллинза [262 264 265 267, 272, 213, 219] и в других работах [268-271, 274, 275]. Эффективность этого метода состоит в том, что он дает возможность качественно исследовать все возможные режимы динамики и получить асимптотическое поведение соответствующих решений. Впоследствиив работах С.П.Новикова и О.И.Богоявленского [276-283, 191] были развиты эффективные математические методы качественного исследования систем обыкновенных уравнений в многомерных пространствах, позволяющие производить качественное исследование динамики в общих случаях для однородных анизотропных космологических моделей и автомодельных решений в ОТО. Э*ги методы также необходимы в ньютоновской газовой динамике и МГД при исследовании автомодельных движений и движений с однородной деформацией [279 284-287, 191].

С гидродинамической точки зрения особенно интересными оказываются принадлежащие классу 2 модели Бианки с движущейся материей, которая при р^ 0 обладает ненулевым 4-ускорением, поскольку при этом существенно проявляются газодинамические эффекты. Модели класса 2 рассматривались в большом числе работ [223227, 254, 280-282, 191, 327, 329, 367-369, 371, 375-378, 41б].

Характерными особенностями таких моделей являются неполно' та синхронной системы, наличие горизонта (и особенности на горизонте, названной "всхлипывающей" [223]) и наличие области, в которой гиперповерхности транзитивности V3 времени^подобны С 15 ) и компоненты метрики зависят от пространственной координаты ( X - область) [223-227, 219, 220]. Эти свойства космологических моделей аналогичны наличию горизонта у черных дыр. Особый интерес представляет модель У типа Бианки, являющаяся анизотропным обобщением открытой модели Фридмана [180, 367-369, 224, 226, 371, 375].

В работе автора [22б] качественное рассмотрение осесиммет-ричной модели У типа с движущейся материей произведенопутем перехода к сопутствующей системе. Показано, что особенность на горизонте в синхронной системе связана с ее неполнотой и имеет нефизический характер. Впервые в литературе автором установлено, что в X -области имеется предельная линия, через которую решение непродолжимо. При этом в области существования решения имеются два типа режимов ("дозвуковой" и "сверхзвуковой" [371] ). Наличие такой предельной линии, аналогичное наличию предельных линий в ньютоновской газовой динамике непрерывных движений, является газодинамическим эффектом и указывает на необходимость введения поверхностей разрывов в космологических решениях ОТО. С точки зрения общей проблемы сингулярности предельная линия является особенностью специфически газодинамического характера.

Автомодельные поля тяготения со сферической симметрией (и сферической ударной волной) рассматривались во многих работах 243-246, 249, I9l]. Их полное исследование требует применения новых методов качественного анализа в пространстве [l9l]. Автомодельные поля тяготения с плоской симметрией рассматривались А.Таубом [247] и в общей форме автором [236-239]. При этом с помощью анализа на фазовой плоскости автором [237-239] произведено полное качественное исследование, изложенное в § 17 данной работы, возможных непрерывных решений и решений с разрывами. Показана возможность сопряжения через плоскую ударную волну плоской модели Фридаана с другими решениями и, в частности, с пространством-временем Минковского.

Гл. У1 данной работы посвящена изучению аналогов в рамках ньютоновской космологии для релятивистских анизотропных моделей Бланки (класса 1). Уравнениями ньютоновской космологии служат нерелятивистские уравнения непрерывности, уравнение импульса с ньютоновским гравитационным потенциалом Ч> и уравнение Пуассона для Ч>. Однородные изотропные модели Фридмана имеют, как было показано Милном и Мак-Кри [383, 384, 180], рациональный аналог в рамках ньютоновской космологии, получаемый путем рассмотрения конечной массы внутри сферы конечного радиуса. Вопрос о ньютоновских аналогах однородных анизотропных моделей рассматривался О.Гекманом и Е.Шюкингом [385-387], А.Л.Зельмановым [230, 388, 389], И.Д.Новиковым [390] Я.Б.Зельдовичем [391, 180] автором [381, 382] и также в работах [392-400]. Такими аналогами в ньютоновской космологии служат движения с однородной деформацией и с гравитационным потенциалом, который является квадратичной функцией координат. При этом уравнения ньютоновской космологии не определяют полностью матрицу зависящих от времени коэффициентов этой квадратичной функции, а определяют только ее след. Остальные компоненты этой матрицы остаются в рамках ньютоновской космологии произвольными; они должны выбираться из соответствующего решения в ОТО. Автором в [382] было произведено общее рассмотрение квазиньютоновского приближения для моделей Бланки (§ 18), а: в [381] для ньютоновских аналогов однородных анизотропных моделей ОТО с расширением и сдвигом указаны те дополнительные соотношения, которые фиксируют тензор сдвига и все движение в целом (§ 19). Рассмотрен также ньютоновский аналог космологической модели с магнитным полем (§ 19).

На защиту выносятся следующие основные результаты автора:1) развита методика исследования задач релятивистской гидродинамики и релятивистской магнитной гидродинамики; автором введены специальные переменные, адекватные теории; выявлены релятивистские эффекты для МГД простых и ударных волн;2) изучены релятивистские эффекты для простых и ударных волн в РМГД ЧГЛ;3) впервые в литературе получены уравнения релятивистской магнитной гидродинамики для замагниченной бесстолкновительной плазмы при учете конечного ларморовского радиуса ионов; сформулирована последовательная процедура вывода соответствующих МГД уравнений в нерелятивистской форме;4) в рамках ОТО впервые получены точные решения с плоской, сферической и псевдосферической симметриями для пылевидной материи с магнитным полем, точное решение в осесимметричноймодели I типа Бианки для ультрарелятивистской материи с потоками свободных частиц и точные решения для автомодельных движений с плоской симметрией;5) автором впервые в литературе ([257]) при анализе уравнений тяготения в осесимметричной модели I типа Бианки с ультрарелятивистской материей и магнитным полем был применен для задач релятивистской космологии метод качественного анализа дифференциальных уравнений на фазовой плоскости. Впоследствии этот метод многократно использовался как автором данной работы при анализе динамики космологических моделей I типа Бианки с материей и потоками свободных частиц, У типа Бианки с движущейся материей и автомодельных решений с плоской симметрией, таки другими авторами. В работах С.П.Новикова и О.И.Богоявленского были впоследствии развиты методы качественного анализа систем обыкновенных дифференциальных уравнений в многомерных пространствах для задач астрофизики и газовой динамики;6) для космологических моделей класса 2 с движущейся материей на примере осесимметричной модели У типа Бианки автором впервые установлено наличие в X -области предельной линии, "дозвукового" и "сверхзвукового" режимов движения и непродолжимости непрерывного решения через цредельную линию. Эта особенность имеет газодинамический характер и указывает на необходимость рассмотрения космологических решений с разрывами;7) построены автомодельные решения с плоской симметрией, сопрягаемые с плоской моделью Фридмана через плоскую ударную волну;8) получено выражение для интервала в квазиньютоновскомприближении для моделей Бианки; для ньютоновских аналогов однородных анизотропных моделей с расширением и сдвигом сформулированы дополнительные соотношения, однозначно определяющие в рамках ньютоновской космологии тензор сдвига и ньютоновский • гравитационный потенциал.

Детальное изложение содержащихся в диссертации результатов автора приведено в заключении.

Результаты диссертации докладывались автором на Международном коллоквиуме по классической и релятивистской МГД во Франции (г.Лилль, 1969 [68]), были включены в симпозиум по син-гулярносгям на 8-й Международной конференции по гравитации и теории относительности в Канаде (г.Ватерлу, 1977 [371]), докладывались автором на 2-й Международной конференции по теории плазмы в г.Киеве (1974, [143] ), были включены в программу 9-й (1980) и 10-й (1983) Международных конференций по гравитации [238 273] докладывались автором на 3-й (1972), 4-й (1976), 5-й (1981) Советских гравитационных конференциях [255, 227, 236, 375], на 4-м Всесоюзном совещании по МГД в г.Риге (1964, [б]) и на 3-м Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в г.Москве (1968, [5б]). Результаты диссертационной работы опубликованы в работах автора [54-57, 143, 144, 165, 169, 204, 209, 226, 227, 236-239, 255, 257, 266, 273, 288, 334, 371, 375, 381, 382, 399].

ШША I. РИМАНОВСКИЕ ВОЛНЫ И СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МАГНИТНОЙ ГИДЮДЙНАМИКБДвижение цроводящих жидкостей и газов в магнитных полях при наличии лондеромоторной силы, создаваемой электрическими токами, описывается уравнениями магнитной гидродинамики (МГД). Магнитогадродинамическое опиоание плазмы оказывается, как известно, справедливым при выполнении неравенства [38, 40, 4ljгде Со - характерная чаотота, ъ - время пробега. При этом подразумевается выполнение этого неравенства как для ионной, так и для электронной компонент. Это условие хорошо выполняется для достаточно плотной плазмы при не слишком сильных магнитных полях.

Система уравнений МГД образуется из двух групп уравнений: гидродинамических уравнений неразрывности, импульса (с лондеромоторной силой) и энергии и из уравнений Максвелла. Первая группа гидродинамических уравнений обычно рассматривается в нерелятивистской форме, которая инвариантна по Галилею, Вторая группа уравнений Максвелла имеет существенно релятивистскую природу и инвариантна относительно преобразований Лоренца, Суммарная система уравнений МГД должна формулироваться в форме, которая обладает инвариантностью либо по Галилею, либо по Лоренцу.

Б этой главе рассматривается НВД в предположении, что среда не обладает вязкостью и теплоцроводностью и обладает бесконечной (идеально^ электропроводностью. При этом диссипативные процессы в областях непрерывного движения отсутствуют.

В рамках специальной теории относительности (СТО) соотношение (1.1а) является основным.

В случав I система четырех уравнений (1.1а) эквивалентна (1,8) и трем из уравнений (1*7).

В случае П система (1.1а) эквивалентна (I.II) и трем из уравнений (I.I2).

Связь между Q? и (0^ имеет вид (Хб]; в случае IoN (1Л4а)в случае Пр*i- Ы/с/ ' (X.I46)Известно [1б], что уравнения для стационарных движений в релятивистской газодинамике (в СТО) в терминах величин (I.I3) приобретают вид уравнений для стационарных движений в нерелятивистской газодинамике для вспомогательного газа со скоростью К0' » давлением р плотностью р и тепловой функцией J. Для непрерывных движений эта аналогия верна в обоих случаях I и П*, 6 - неБ случае I, используя термодинамическое тождество для релятивистских величинi-Vвспомогательному газу можно также приписать температуру Т и энтропию S по формулам [1б]T-Tur/lMvc,1, <U<T/n. (I.I3B)При этом соотношения на сильных разрывах в релятивистской газодинамике и термодинамический анализ ударной адиабаты в случае I в терминах величин (1,13а), (1,14а), (1.13в) приобретают вид соответствующих соотношений на сильных разрывах в нерелятивистской газодинамике для вспомогательного газа,В случае П с уравнением состояния Ur=Xir(p) однако, имеем d3 = pd(4/J>j по определению (1,136). Поэтому можно трактовать как тепловую функцию вспомогательного газа только для непрерывных движений. При рассмотрении релятивистских условий на разрыве в случае П нужно иметь в виду, что в случае газовой динамики условия сохранения потоков импульса и энергии сами по себе образуют замкнутую систему соотношений. Эти условия, записанные в терминах величин (I.I36), не имеют аналогов в нерелятивистской газодинамике и при этом в них не следует приписывать д смысл тепловой функции, поскольку при переходе через фронт ударной волны энтропия возрастает.

При этом 4-вектор К," является в силу (I.I5) собственным вектором тензора энергии-импульса электромагнитного поля (1.29), имеющим цространственно-подобное направление.

Согласно (I.I9) при условии (1.25) имеемkV-W\ (1.30)•Отметим также, что компоненты (1.29), (1.24) с I = 0, I в обычной форме с помощью ]г и Н записываются в видеТСС Е^Н* т0« inl (I.3I)§ 2. Волны РиманаВ этом параграфе рассмотрение проводится в рамках СТО в пространстве-времени Минковского.

Волной Римана (простой волной) называют одномерное нестационарное движение, в котором все гидродинамические и электродинамические величины зависят (в некоторой инерциальной системе отсчета) от координаты вдоль направления распространения волны и от времени t посредством комбинации . В простой волне, следовательно, все эти величины могут быть выражены в функции одной из них, например, р.

Будем параллельно рассматривать оба случая I и П, отмечая при необходимости различие результатов для этих двух случаев.

Как следует из (2.17)-(2.18), в данном случае простые волны могут быть двух типов в зависимости от величины Если И^-Ё^О что может иметь место только цри Н/=0 (и Ej'-O ), в волне должно выполняться лишь единственное соотношение р ч [[Н]= (следствие (2.16)), а величины Ny Н^. и Vj могут изменяться произвольным образом. Такая простая волна называется тангенциальной.

Рассмотрим теперь простые волны, в которых (2.22) не имеет места. В случае I из (2.21) при этом следует, что энтропия во всей области волны должна быть постоянной, так что р является функцией р.

Согласно (2.17)-(2.20) могут представиться две возможности.

Во-первых, во всей области волны= (2.23)В исходных величинах это соотношение согласно (I.I3) и (2.19) записывается в виде- UA > - 4 • (2.23a)В этом случае во всей области волны согласно (2.16)-(2.18) имеем р = cx>wt H^-ccwi. Уравнения (2.10)и (2.13) приводят к соотношению (V/d^O где У- определено (1.18а). Согласно (I.I6) при (0=0 имели бы = = -|K.]SL'UijJ4' что не может реализоваться в данном случае при Н,]1-Еа'4>0 » так чт0 во всей области волны ct§-=0 и также Цд - cowt.

Согласно (2.15) и (1.18а) во всей области волны имеем также = , что может быть записано, посколькунаправлено вдоль оси гь1 в ковариантном виде какVfi^CoJ:. (2.24)Простые волны рассмотренного типа называются альфвеновскими.

Альфвеновские волны распространяются по жидким частицам без искажения своего профиля. Нештрихованные величины (в исходной системе отсчета) зависят при этом от Vt где V^oowt. Векторы К имеют одинаковые компоненты длявсех фаз Ч> так что штрихованная система отсчета являетсяединой инерциальной системой для всех фаз. Б этой системе фронт альфвеновской волны неподвижен.

Рассмотрим теперь другие системы отсчета, в которых фронт альфвеновской волны неподвижен. Будем называть их ur-системами (значения величин в них будем по-прежнему отмечать штрихом). Эти Таг -системы могут иметь произвольную скорость в плоскости фронта волны (в плоскости (у^) )•Введем 4-вектор= (2.25)Компоненты V1 оогласно (2.25), (1.20) в ur-системе свяf |. у Iзаны с И,, и Ех посредством (V^i)(г.», ■так что" 1 (2.27)IA i дВо всех 'Ur-системах величина Н„' - одинакова. Поскольку в рассматриваемом случае альфвеновской волны 0Усреди го-систем можно выбрать такую, в которой Ех -0 и (вследствие ортогональности ТТ и ТТ ) также Е(|-0 т.е. электрическое поле Е = О.В такой !иг-системе во всей области волны векторы лу' и Н' коллинеарны. Согласно (2.24) и (1.18а) в этом случае во всей области волны )ir'| = 0mt., j И Ориентация же совместного направления постоянныхпо абсолютной величине векторов v' и П оявляется при этом единственным параметром, который может произвольным образом изменяться по длине волны. В этом смысле альфвеновские волны называются также вращательными.

Соотношения в альфвеновской волне могут быть цредставлены в явно ковариантной форме.

Возвращаясь к общему исследованию простых волн, рассмотрим теперь вторую из упомянутых возможностей, когда (2.22) и (2.23) не имеют места. Она соответствует магнитозбуковым простым волнам.

Существенным является то обстоятельство, что в отличие от случая энтропийных, тангенциальных и альфвеновских волн в маг-нитозвуковой волне cij^O так что профиль волны по мере ее распространения искажается. Точки фронтов постоянных фаз ф движутся по закону эе=\/(ч>)*Ь т|(ф) причем в качестве может быть выбрано, например, р. Если волна называется центрированной. В плоскости (pc/t) линии 4>=conit образуют лучок прямых, который имеет огибающую.

Уравнение (2.40) физически выражает тот факт, что точки фронта постоянной фазы распространяются по жидкости со скоростью магнитозвуковой волны малой амплитуды. В плоскости (^i) линии ^ootvit образующие пучок прямых, совпадают с характеристиками соответствующего семейства.

Из условия идеальной проводимости (1,26) следует, что, где § - угол между vx' и Н'±так что для величины -F|( имеемнАЧ'4=н * $> о, (2.42)причем только при Н2 = 0.

Согласно (2.40) имеем ,откуда, вследствие (2.42), вытекают неравенства для скоростей магнитозвуковых волн ( [1д определено (2.23а))(а,4, о*) > аО)(Uf> № иЛ ш ^ ^ 1Ж и*причем знаки равенства имеют место, исключая вырожденный случай Ч-J= 0 только при НЛ-Е^ =0 (т.е. цри Н/=0 ).

Для быстрых магнитозвуковых волн неравенство может быть усилено(2.43)(а;/***(У,^ ЕШт > -T-lv 'ТгП^/ Ч-frVk)4 > JarurJ'(2.43a)Соотношения (2.39) и (2.43) показывают, что величина Н*я при убывании р растет в медленных простых волнах и убывает в быстрых.

Соотношение (2.38) показывает, что существуют решения, когда во всей области волны Е-0. Для решений с величина Е„ с уменьшением р растет в медленных цростых волнах и убывает в быстрых.

Согласно неравенствам (2.43) в медленных магнитозвуковыхИ|а i— j &(( -fc не может быть отрицательной. Она обращается в нуль вместе с тГ^2.

В быстрых магнитозвуковых волнах, однако, Н„ можетбыть отрицательной.

Для выяснения условий, при которых такая ситуация может реализоваться, рассмотрим распространение магнитозвуковой волны малой амплитуды или слабого разрыва со скоростью D по нормали7Т*к фронту по покоящейся среде с полем Н » обозначая опять компоненту \\* вдоль направления распространения посредством С учетом того, что ц.11- С(2,44)из (2,40) получаем„*Л [DtИз (2,45) для скоростей быстрого и медленного слабых разрывов (и также слабых быстрой и медленной магнитозвуковых волн) имеемН 1 3(4Г+И Л2-45а)Аналогично соотношениям (2.43)-(2.43а) имеем неравенства ( Од определено формулой (2.34))К»д), (2.46)причем знак равенства может иметь место только цри (дляРассмотрим распространение слабого разрыва цри фиксированных значениях ту CJ и Н* под различнши углами к направлению Н* (при различных Н* ). Исследование экстремумов величини D^ в зависимости от величины Н* согласно (2.44)-(2,45) цри учете (2,46) показывает, что для обоих типов разрывов величина Н„ - £х принимает максимальное значение цри Н*0 т.е. при распространении вдоль Н* и принимает минимальное значение при Hj=0 т.е. при распространении перпендикулярно полю Н*. Максимальное значение И,,' равно Н*2, минимальное же значение равно нулю для медленного разрыва и равно отрицательной величине - [(ьу^&рО'-г -t-Н*А]быстрого разрыва.

На быстром же слабом разрыве величина положительна согласно (2.44) при и равна нулюили отрицательна приФ^С^/Н**. (2.47)Физический смысл условия (2.47) выясняется при рассмотрении скорости DH* с которой фронт разрыва, распространяющегося под углом к Г перемещается вдоль нацравления Н*. Векторif"0ц* получается из вектора D скорости распространения разрыва по нормали к его фронту добавлением вектора скорости в плоскости фронта так, чтобы суммарный вектор D^ был ориентированвдоль Н* • Условие (2,47) означает, что скорость DH* равна или больше скорости света (скорость же разумеется, всегда меньше с )•Подставляя (2.47) в (2.45), получаем, что ситуация с (2.47) реализуется при1*4ifн*1 ' Н* [f-WiMfur • (2'48)При заданных Н* W и (с условие (2.48) выполняется для достаточно больших значений (М*/Н*)а т.е. при распространении быстрого разрыва под достаточно большим углом к направлению магнитного поля.

Быстрые магнитогидродинамические слабые разрывы (и также быстрые ударные волны), на которых Н^-Ё^0 будем называть сверхбыстрыми.

Для характеристики рассмотренной ситуации в ковариантном виде нужно использовать 4-вектор (2.25) и воспользоваться (2.27). Для медленных волн 4-вектор У1, всегда времениподобен, за исключением переходного случая между медленной и тангенциальной волнами, когда У1 обращается в нуль. Для быстрых же волн Vе может быть как времениподобным, так и изотропным и пространстве нноподобным в случае сверхбыстрых волн.

Следует подчеркнуть, что сверхбыстрые волны представляют собой чисто релятивистский эффект.

Возвращаясь к магнитозвуковым римановским волнам, рассмотрим поведение быстрой простой волны вблизи точек, где 0. Величина при этом согласно (2.43) равна большей из величин а5, и а* : при аЬа* при Если в точке, где Нх' = 0 то из (2.37) и (2.13) еледует, что в этой точке также dH// dp-Q » так что Н/ = 0 во всей области, где выполняется соотношение оЛ ♦ Еслиже в точке, где имеем <2^ что может иметьместо, разумеется, лишь при условии, что Н,[А-Ёх'А>0 то в этой точке согласно (2.37), (2.13) и (2.43) производная. Это неравенство показывает, что разрежение ниже значения jj при котором Н/= 0 привело бы к отрицательным значениям и поэтому невозможно, так что значениеj) при котором поперечное поле выключается полностью, является максимальной степенью разрежения в быстрой магнитозвуковой волне (аналогичный факт имеет место и в нерелятивистском приближении).

В нерелятивистском приближении уравнение (2.49) приводится к cfoUO ol= CoWi ^ и подобный эффект вращения плоскости поляризации исчезает.

В специальном случае с Н^-0 О когда направление магнитного поля ортогонально направлению движения (вдоль оси Эс ), соотношения в магнитогидродинамической простой волне сводятся, как известно, к соотношениям в газодинамической простой волне для модифицированного уравнения состояния' I SjJ гуЭтот важный результат установлен К.П.Станюковичем j43j, который также детально исследовал соотношения в простых и ударных волнах данного типа [43-47].

Рассматривая классификацию типов сильных разрывов, полезно использовать результаты анализа римановских волн. Среди римановских волн энтропийная, тангенциальная и альфвеновские волны обладают, как уже отмечалось, тем свойством, что они распространяются без искажения своего црофиля. В этих волнах некоторые из гидродинамических и электродинамических величин могут изменяться произвольным образом по длине волны, так что в волне имеется свободный параметр, который при заданном состоянии на переднем фронте допускает оцределенный цроизвол в распределении величин внутри волны. В частности, ширина области волны может быть равной нулю, а расцределение величин может быть выбрано в виде скачка. При этом получаем соответственно контактный (соответствующий энтропийной волне), тангенциальный и альФвенов-СЖЁ сильные разрывы.

Для магнитозвуковых римановских волн, распространяющихся с искажением своего профиля, соответствующие сильные разрывы, называемые магнитогидродинамическими ударными волнами, требуют самостоятельного рассмотрения.

Обозначим единичный 4-вектор нормали к гиперповерхности, соответствующей пространственно-временной области, охватываемой фронтом разрыва, посредством h/ • В ъг-системе П>1 направлен по оси зс.

Сторону поверхности разрыва, обращенную к втекающей во фронт разрыва жидкости, будем отмечать индексом I, а противоположную сторону - индексом 2, так что жидкость в иг-системе движется из состояния I в состояние 2. Будем считать, что 4-вектор h/* имеет одинаковое направление с жидкостью в го*-системе, т.е. направлен из стороны I в сторону 2.

Разность значений и величины 3F на обеих сторонах поверхности разрыва будем обозначать посредством .

Согласно интегральному закону сохранения импульса-энергии, где тензоры энергии-импульса для материи и поля определены согласно (1.4), (1.29), и согласно интегральной форме уравнений Максвелла (1.28), в точках поверхности разрыва должны выполняться соотношения [52 ;5?J:Wl'T V=(W-M.)аКч)-Q»- W^V-k,'0-V) (3.1)выражающие непрерывность потоков импульса и энергии по нормали к поверхности разрыва, и|V)=0, (3.2)физический смысл компонент 4-вектора V' в ur-системе определяется формулами (2.25)-(2.27).

Б этом параграфе величины в W-системе будут обозначаться символами без штриха. Кроме того, будем обозначать ,= , , так что в ъу-системеГ (з.з)Система соотношений (3.1)-(3.2) в случае П, когда уравнение состояния материи имеет вид ЬХ-Щ^ является замкнутой,"В случае I, когда уравнение состояния имеет вид к (3.1)-(3.2) необходимо щисоединить согласно (1.6) условие нецрерывности потока частиц[n(u>n-)]=0. (3.4)Сильные разрывы с U/% = 0 через которые нет потока вещества, как уже отмечалось и как это следует из (3.1)-(3.2), (3.4), могут быть двух типов.

На тангенциальном сильном разрыве имеемV'-О, , (3.5)kа для скачков величин имеется единственное соотношениеВД=0. (3.5а)Ц JНа контактном сильном разрыве (в случае I)М=о,[р]=о. (з.б)На разрыве могут испытывать скачок все термодинамические величины, крше давления (в частности, энтропия <г/л ), причем величина скачка может быть произвольной.

Проанализируем сейчас соотношения (3.1)-(3.2), не используя условие непрерывности потока частиц (3.4). Б случае П с уравнением состояния ifcwffj) при этом будет цроизведен анализ полной системы соотношений на разрыве. Б случае I к полученным соотношениям нужно будет затем присоединить (3.4).

При этом условия [wi]-0 на разрыве могут быть заменены условиями (3.8а)-(3.9), (З.Ю)-(З.П) и (3.21), выражающими непрерывность компонент IV1,.

При Vb\fL-0 имеем для IV0 представление (3.12) с из (3,17). Легко проверить, что при соотношение(3.19) с Р из (3.20) продолжает иметь место, так что при изотропном V" 4-вектор F1 выражается через (w^V1 и условие (3.21) не дает нового по сравнению с (З.Ю)-(З.П).

Для физической наглядности приведем соответствующие выражения в Ш-системе.

Для магнитогидродинамических ударных волн 4-вектор F* отличен от нуля (исключая лишь случай ударных волн, включающих и выключающих поле).

Нижеследующее рассмотрение будет относиться к МГД ударным волнам.

Соотношение (3.21) показывает, что 4-вектор F1 одинаков для состояний I и 2 и вместе с fx" он определяет инвариантную при переходе через поверхность разрыва гиперплоскость, ортогональную 4-вектору V*.

Разрешая соотношения (3.8а)-(3.9) и (3.31) относительно to'LuMt)* в состояниях I и 2, получаем1 1 ^ ^ М >(3.36)1 ц i It] 'Подставляя (3.36) в (3.14)-(3.15), приходим с учетом (3.30) к выражению\1%(3.37)Соотношение (3.37) связывает термодинамические величины Ъг и р и параметр электромагнитного поля k в состояниях I и 2 по обе стороны разрыва.

В ковариантной форме соотношения (3.38) записываются ввиде:для медленных ударных волн{ЫМдля быстрых ударных волнS.3U)Ц-то^ 6 J &Факт существования медленных и быстрых ударных волн находится в соответствии с наличием двух типов слабых магнитозвуковых волн и также слабых разрывов.

Условия эволюционности (3.38а), в частности, в соответствии с (2.43), предполагают, что ^ для медленной ударной волныдля быстрой ударной волны(3.39)ц 9 I " fty 'Из (3.39) следует, что 4-вектор 1Л для медленных ударных волн всегда времениподобен OVo). Согласно (3.37), (3.36) и (2.25) имеется также предельная возможность, когдаЗнаки равенства в формулах (3.39) соответствуют ударным волнам, выключающим и включающим поперечное магнитное поле.V= 0, = -О, H(i= 0 и при этом имеемпереходное состояние между медленной ударной волной и тангенциальным разрывом с(3.37а)Для быстрых ударных волн, однако, согласно (3.38а), как и для быстрых слабых разрывов, 4-вектор \Л может быть как вре-мениподобным, так и изотропным и пространственно^подобным в случае сверхбыстрых ударных волн. Согласно неравенствам (3.38) и соотношению (2.44) такая ситуация реализуется, в часвности, при распространении ударной волны по покоящейся среде, параметры которой удовлетворяют неравенству (2.48).

Из условий эволюционное™ (3.39) следует, что в air -системе согласно (3.34) поля Нт ж Н^ должны иметь одинаковое направление, а в формуле (3.32) в обеих сторонах равенства под к, можно понимать арифметическое значение корня (со знаком +), что и предполагается в соответствующих формулах в согласии с (3.30a)(^>0,U0).

В случае П, когда уравнение состояния имеет вид Ur=tuv(p), в частности при ультрарелятивистском уравнении состояния соотношение (3.37) при заданной величине V^ заданных значениях и и при заданном значении одной из величин рд и позволяет найти значение другой из этих величин. После этого формула (3.36) определяет и/гц, для состояний i и 2. Эти три скалярных соотношения вместе с условием, выражающим свойство ударной волны быть плоской, исчерпывают систему соотношений (3.1), вытекающих из законов сохранения К эти* соотношениям необходимо добавить выражения (3.2), (2.26), вытекающие из уравнений Максвелла, которые определяют связь поперечных компонент скоростей в состояниях I и 2.

Характер кривой (3.41) при различных значениях параметров состояния 1 для быстрой ударной волны и медленной ударной волны (JT) представлен на рис.1 (для полноты пунктиром отмечены не/физические участки). При VlV- -=0 имеем (3.376) для быстрой ударной волны и (3.37а) для переходного состояния между медленной ударной волной и тангенциальным разрывом. Случай может реализоваться только для сверхбыстрых ударных волн.

Возвращаясь к (3.36), (3.37), отметим, что, рассматривая систему из 3 соотношений (3.8а), (3.9), (3.14), (3.15), (3.31)симальное значение поперечного магнитного поля за быстрой ударной волной (при dk/dр-О) больше 3ks (рис.1) и равнотогда как при VL^ + максимальное определяется (3.42).и исходя из (3.9) и (3.15), приходим после вычислений к выражениям в виде= - if+(нк7 1 f+[юг - Ль + 1н*М1i (з 44)iVtyTciWmlСоотношение (3.31) g (3.44) приводит затем к (3.37). Выражения (3.44) и (3.36) эквивалентны в силу (3.37).

Условия эволюционности <0А) при этом приводят кнеравенствам е,А>ё1 на фронте ударной волны. Дня уравнения состояния в видекоторое часто используется при изучении космологических моделей, термодинамические неравенства (2.54), (2.526) выполнены цри, в частности, цри ультрарелятивистском уравнении состояния ^4-/3.

По смыслу условий эволюционности получаем, что при £=р скорость быстрой ударной волны по покоящемуся газу равна скорости света , %При этом VlVi—ос It; согласно (3.44), (3.47а,б), (3.44а) имеемДля медленной ударной волны при по смыслу условийэволюционноети с учетом (3.36) получаем, о(последнее выражение удовлетворяет (3.37) при .

Наряду с (3.55),на ударной волне имеем также (т.к.> OV^i и (3.556)Соотношения (3.55)-(3.56) показывают характер изменения величин в МГД ударных волнах в средах, удовлетворяющих термодинамическим неравенствам (2.52)-(2.54), (3.54).

Выражение (3.60) для IVй формально совпадает с выражением для wu в релятивистской гидродинамике при отсутствии поля для среды с тепловой функцией иг и давлением р и является кова-риантной формулировкой известного результата К.П.Станюковича [43-47].

ГЛАВА П. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ ПЛАЗМЫ БЕЗ СТОЛКНОВЕНИЙ С УЧЕТОМ КОНЕЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ ИОННОГО ЛАВЮРОВСКОГО РАДИУСАЗамагниченная плазма без столкновений описывается кинетическим уравнением Власова для функций распределения ионов и электронов и уравнениями Максвелла, в которых плотность заряда и плотность тока образованы интегрированием функций распределения ионов и электронов в пространстве импульсов [98] • В данной главе рассматривается вопрос о получении для замагниченной бесстолкно-вительной плазмы магнитогидродинамических уравнений в предположении малости величины параметра £ являющегося обратной величиной произведения ^ларморовской частоты ионов (Он на характерное время 6. Параметр £. имеет также смысл отношения ларморовского радиуса ионов ftb к характерному размеру L. Магнитогидродинамические уравнения выводятся для моментов функции распределения ионов. В нулевом приближении соответствующая система уравнений (в нерелятивистской форме) была получена Чу, Голдбергером и Лоу (ЧГЛ) [iOl]. В магнитной гидродинамике Чу, Голдбергера, Лоу (МГД ЧГЛ) тензор напряжений анизотропен и содержит продольное (вдоль направления магнитного поля) p|f и поперечное р^ давления. Целью данного рассмотрения является изучение следующего (по £ ) приближения и получение системы магнитогидродинамических уравнений с учетом конечного значения ионного ларморовского радиуса (МГД КНР). Эти уравнения формулируются для ионной жидкости в пренебрежении величиной ларморовского радиуса электронов.

Рассмотрение в гл.Д производится в релятивистски-инвариантной четырехмерной форме и цриводит к уравнениям релятивистской магнитной гидродинамики с конечным значением ионного ларморовс-кого радиуса (ШГД КЛР). Эти уравнения являются новыми в литературе. Использование соответствующего четырехмерного аппарата придает компактную форму чрезвычайно громоздким вычислениям. В гл.1У приведена соответствующая нерелятивистская формулировка теории и произведено сопоставление с результатами, имеющимися в литературе.

Содержание гл.П основано на результатах автора, полученных в [165]♦ Рассмотрение производится в наиболее общей форме с использованием моментов третьего и четвертого порядков.

Учет поправок к теории ЧГЛ, связанных с конечной величиной ионного ларморовского радиуса, важен для задач стабилизации МГД-неустойчивостей анизотропной плазмы. Построение рассматриваемой системы МГД уравнений важно также для задач динамики космической плазмы, в частности, динамики солнечного ветра в солнечной системе. Релятивистские эффекты оказываются определяющими для ряда лабораторных и космических явлений, в частности, плазмы пульсаров.

Эффекты, связанные с излучением плазмы [136, 4lJ, ниже не рассматриваются.§ 4. Разложение кинетических уравнений по малому параметруНиже будут рассматриваться соотношения в рамках СТО. Каки в гл.1, используется галилеева метрикаU" - 4-скорость,Электромагнитное поле описывается, согласно (1,15), (I.I6), (1,19) с помощью 4-векторов Е1 и Н1 в виде ( F^ - тензор электромагнитного поля, - единичный антисимметричный псевдотензор,vKКомпоненты (-Г и Ес выражаются через 3-векторы электрической £ и магнитной напряженности Н и 3-скорость 1Г формулами (1.18а,<5).

В этом выражении относительно порядков величин будем предполагать, чтоН1 -jnr\ (4.6а)С учетом (4.6а) получаем для членов уравнения (4.4) соответственно порядки величин в видеHVL:(eH/Mc)jnr, т.е. i/oyi(4.4а)(4.6а) может быть также записано в видеCHyjp«S)*Ae. (4.66)Используя предположениер-х/-р К-Т - Qp/M) tT, (4.6В)где р - характерное давление, Т - характерная температура, и вводя (нерелятишстский) ларморовский радиус ионов HL согласноeb =(itT/h)/aj,получаемRtM^V^sC Т.е. (4.6Г)Выражение (4.6г) позволяет интерпретировать параметр £ как отношение ларморовского радиуса к характерному размеру. Из предположения (4.6в) и (4.6а) вытекает также' Отношение дебаевского радиуса для ионовк ларморовскому радиусу £L равно &J/R*Отношение ленгмюровской частоты ионов сОр = к ларморовск ой частоте GdH равно соp/OiV^-i.

Выбор знака в выражении для Ь- сделан в соответствии с (1.18а), (ЮЛ). При этом получаемЬСо^Чл^мм.

Условия (5.14а), (5.17а), являющиеся следствием уравнений (4.236) и (4.23в), существенно связаны с использованием предположения (4.20а) о порядке малого параметра в кинетическом уравнении для электронов (4.19а).

Возвращаясь к (6.5), с целью вычисления правой части рассмотрим (4.236). Умножая (4.236) на и интегрируя по получаем л fc)Подставляя сюда (4.24), получаемУравнение (6.5) с учетом (6.16) записывается в видеФШ - Щ Р* [JftM - Jptf df] (6.17)Правая часть (6.17) может быть преобразована с помощью (4.28а), что приводит к законам сохранения для тензора энергии-импульса среды и электромагнитного поля в нулевом приближении в виде1 (6.18)где тензор энергии-импульса среды определяется (6.II), а тензор энергии-импульса электромагнитного поля определяется (4.266). Отметим также, что (6.17) с учетом (4.25а) записывается в видеЧ^К = - Щ Уэ»1 (6.17а)в соответствии с (4.27а), (4.25а), (4.5).

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Шикин, Игорь Сергеевич

Основные результаты, содержащиеся в диссертации, могут быть резюмированы следующим образом.

I. Рэзвиты методы исследования в релятивистской магнитной гидродинамике (РМГД) в специальной теории относительности и изучены релятивистские эффекты для волн Римана и МГД ударных волн. При этом рассмотрен самый общий случай распространения волн под произвольным углом к направлению магнитного поля.

Показано, что при анализе соотношений в РМГД необходимо пользоваться введенными автором вспомогательными переменными, вместо обычно используемых 4-скорости И" и термодинамических скалярных функций. Эти вспомогательные переменные в случае, когда уравнение состояния среды задано в виде 1tr^*ur(pJ ri), где W - тепловая функция, р - давление, плотность внутренней энергии р , |г- плотность числа частиц (остаточная плотность массы равна tarv , где Ш- масса частиц среды), определены соотношениями о = ^sLfJSLy.

ЬМ ' Г Ъг > % Wv

В случае, когда уравнение состояния среды задано в виде = например в случае ультрарелятивистского уравнения состояния , имеющего место для фотонного газа и для любого вещества при очень высоких температурах (jcT^'mc*)» вспомогательные переменные определяются в виде

Кроме использования вспомогательных переменных, в РМГД, наряду с обычно используемыми векторами напряженности электрического Е и магнитного И полей, входящими в тензор электромагнитного поля F^. , необходимо пользоваться 4-векторами К' и 2Л , определяемыми с помощью Гц. и 4-скорости среды » u/'U. =1 » в виде

I/

Компоненты этих 4-векторов выражаются через 3-векторы Е и Н и 3-вектор скорости V в виде г = - ^н vl К, - и. (ТТ. f ,

4-векторы и <Ъ1 пространственно'подобны u/i-u/e-O, и в собственной системе элемента жидкости их пространственные компоненты имеют смысл напряженности магнитного и электрического полей.

В изотропной РМГД для идеально проводящей среды имеем

Использование указанных переменных, как показано автором, является адекватным математическим аппаратом для РМГД.

Рассмотрение релятивистских римановых МГД волн справедливо в рамках специальной теории относительности (СТО). Произведенный анализ соотношений для релятивистских МГД ударных волн, однако, справедлив также и при рассмотрении ударных волн в общей теории относительности (ОТО).

Показано, что при анализе релятивистских римановских МГД волн необходимо использовать величины, измеряемые в каждой точке в системе отсчета, в которой фронт постоянной фазы неподвижен. Показано, что в римановской магнитозвуковой волне в релятивистском приближении происходит поворот плоскости поляризации вектора напряженности магнитного поля.

Произведенный анализ соотношений на сильных разрывах показывает, что в релятивистском приближении для быстрых МГД ударных волн возникает новая возможность, отсутствующая в нерелятивистском приближении, которая реализуется при распространении быстрой ударной МГД волны под достаточно большим углом к направлению магнитного поля. Такие волны названы сверхбыстрыми. Для таких волн не существует системы отсчета, в которой векторы скорости и напряженности магнитного поля коллинеарны (а вектор напряженности электрического поля равен нулю), как это всегда имеет место в нерелятивистском приближении. Для сверхбыстрых волн существует связанная с волной система отсчета, в которой

Учет релятивистских эффектов для МГД волн оказывается существенным даже при нерелятивистских температурах и макроскопических скоростях среды при распространении волны по среде с достаточно малой плотностью, интенсивным магнитным полем или при распространении под достаточно большим углом к направлению магнитного поля, поскольку при этих условиях скорости волн могут оказаться сравнимыми со скоростью света.

2. Наряду с рассмотрением изотропной РМГД для плотной плазмы, в диссертационной работе впервые в литературе получены уравнения релятивистской магнитной гидродинамики для замагни-ченной плазмы без столкновений. При этом многие из полученных результатов являются новыми и в нерелятивистском пределе (для нерелятивистской магнитной гидродинамики бесстолкновительной плазмы).

Вывод магнитогидродинамических уравнений для замагничен-ной плазмы без столкновений производится, исходя из кинетических уравнений Власова для функций распределения ионов и электронов, образующих плазму, и уравнений Максвелла. При этом функции распределения и макроскопические величины разлагаются в ряды по малому параметру £=1/(0^ , где С0Н - ларморовская частота ионов, t - характерное время изменения ионной функции распределения. Параметр S имеет также смысл отношения ионного ларморовского радиуса (теплового вращения частиц вокруг магнитных силовых линий) к характерному размеру. Рассмотрение производится в рамках СТО.

Магнитогидродинамические уравнения (для ионной жидкости) образуются путем составления моментов кинетических уравнений для разложения |до £ ионной функции распределения. Получены МГД уравнения для моментов функции -|0 , образующие МГД систему нулевого приближения. Эти уравнения нулевого приближения в специальном случае равенства нулю потоков Qj и Q^ сводятся к релятивистски-инвариантному обобщению магнитогидродинамических уравнений Чу, Голдбергера и Лоу. Получены также МГД уравнения для , учитывающие поправки первого порядка к уравнениям нулевого приближения, связанные с конечной величиной ионного ларморовского радиуса (уравнения РМГД КЛР). Указанные поправки интерпретируются как учет в МГД уравнениях для бесстолкновителъной плазмы магнитной вязкости, наличие которой, однако, не приводит к возрастанию энтропии.

Моменты первого и второго порядка кинетических уравнений приводят к уравнению непрерывности и к уравнениям импульса и энергии. При этом в рамках релятивистски-инвариантного рассмотрения возникают две альтернативные возможности в определении 4-скорости либо с помощью 4-вектора тока частиц, либо как вре-мени-подобного собственного вектора тензора энергии-импульса. Такая ситуация возникает в РМГД КЛР и также для уравнений нулевого приближения в общем случае при неравных нулю величинах О,,' и QJ . В работе выбрано второе определение.

Для получения замкнутой системы уравнений МГД КЛР (для ионной жидкости) существенно используется предположение о том, что соответствующий малый параметр для электронов 6=1/и)нТс имеет порядок не ниже . При таком допущении в макроскопических уравнениях нулевого приближения и также в уравнениях с учетом членов первого порядка сила Лоренца, действующая на ионную компоненту, совпадает с силой Лоренца, действующей на ионно-электронную смесь в целом (и аналогично для работы силы Лоренца). Физически это соответствует учету в макроскопических уравнениях конечного значения ларморовского радиуса ионов при пренебрежении величиной ларморовского радиуса для электронов.

Получены также выражения для тензоров моментов третьего и четвертого порядков, имеющие сложную структуру, и соответствующие макроскопические уравнения, содержащие величины из этих тензоров. Вместе с уравнениями непрерывности и импульса-энергии эти уравнения образуют цепочку, которая требует замыкания (как в РМГД КЛР, так и в системе нулевого приближения даже при нерелятивистских температурах при неравных нулю Q,", и Q^ ). Такое замыкание оказывается возможным, если установлены выражения для скаляров 4-го порядка через плотность числа частиц и продольное и поперечное давления (типа "уравнений состояния").

Получено выражение для "закона Ома" в РМГД КЛР. Для уравнений нулевого приближения электрический 4-вектор В1 равен нулю, и имеет место вмороженность магнитного поля в жидкие частицы. При учете конечного значения ионного ларморовского радиуса 4-вектор с" имеет ненулевое значение порядка £ , и вмороженность магнитного поля в ионную жидкость нарушается.

Из кинетических уравнений для первого и второго ^ приближений ионной функции распределения вследствие условия периодичности по угловой переменной ^ перпендикулярного хаотического импульса получены уравнения для нулевого приближения ионной функции распределения и также для соответствующего добавка % первого порядка. При условии справедливости используемого неравенства б3 коэффициенты указанного уравнения для , содержащего в качестве независимых переменных координаты, время, продольный и поперечный хаотический импульсы, содержат только макроскопические величины нулевого приближения. По физическому смыслу это уравнение соответствует приближению "ведущих центров".

3. В рамках релятивистской магнитной гидродинамики Чу,

Голдбергера, Лоу (РМГД ЧГЛ), которая является анизотропной магнитной гидродинамикой с продольным и поперечным давлениями, изучены римановские волны и сильные разрывы. С использованием введеных вспомогательных переменных произведена классификация римановских волн. Для магнитозвуковых волн произведен анализ характера опрокидывания профиля волны вблизи границы нормальной и аномальной областей. Этот анализ показывает, что в аномальной области медленная магнитозвуковая простая волна опрокидывается на участке разрежения. Произведено рассмотрение соотношений на сильных разрывах в РМГД ЧГЛ. Различаются области "псевдо-МГД" и "реверс-МГД". Рассмотрены условия эволю-ционности и дана классификация возможных типов магнитогидро-динамических ударных волн. Указывается, что при некоторых условиях в области реверс-МГД оказываются возможными ударные волны разрежения для медленных волн в соответствии с возможным опрокидыванием медленной простой волны на участке разрежения.

В работе произведен также в нерелятивистской форме вывод МГД уравнений для замагниченной плазмы без столкновений при учете конечного значения ионного ларморовского радиуса (МГД КЛР), воспроизводящий процедуру вывода уравнений РМГД КЛР. Многие моменты этого вывода в нерелятивистской форме являются новыми по сравнению с имеющимися в литературе схемами вывода соответствующих нерелятивистских МГД уравнений. Такими моментами являются следующие. Вводится малый параметр (с характерными величинами для ионов); по этому параметру производится разложение для функций распределения как ионов, так и электронов и также для макроскопических величин ur , Н , р . , которые выражаются интегралами, от функций распределения (по определению и согласно уравнениям Максвелла). В уравнении Власова для электронов фигурирует малый параметр Jfro где (i}jj - ларморовская частота электронов; относительно величины этого параметра используется допущение <!Ue3 , которое физически означает, что в уравнениях МГД КЛР пренебрегается величиной ларморовского радиуса электронов при учете конечного значения ионного ларморовского радиуса. Для нулевого приближения ионной функции распределения (из уравнения для ^ вследствие условия периодичности по угловой переменной) получено кинетическое уравнение, содержащее макроскопические величины нулевого приближения. В "законе Ома" присутствует ток Холла и вследствие используемого допущения о порядке 8 отсутствует градиент электронного давления.

На основе полученных уравнений МГД КЛР рассмотрен вопрос о малых возмущениях при распространении волны вдоль магнитного поля и получен уточненный критерий шланговой неустойчивости с учетом стабилизирующего эффекта, создаваемого конечным значением ионного ларморовского радиуса, при больших волновых числах.

5. В диссертационной работе рассматривается также круг вопросов в рамках общей теории относительности (ОТО), связанных с изучением полей тяготения и динамики среды для представляющих в настоящее время большой физический интерес космологических моделей.

Основными уравнениями при этом являются уравнения тяготения Эйнштейна filt i р Д fork

Стоящий б правой части этих уравнений тензор энергии-импульса Tjt наряду с гидродинамической частью

TU = С^р) > рЧН)е, Um может также содержать часть TjJ , связанную с возможным наличием других полей (электромагнитного или безмассового нейтринного).

Изучены поля тяготения с метриками, допускающими трехпа-раметрические группы ^вижений^,действующие на двумерных пространстве нно^-подобных инвариантных многообразиях S0 (поля тяготения со сферической, псевдосферической и плоской симметриями). Алгебры Ли генераторов группы G3 могут быть расширены до алгебр групп G^ и G6 , что соответствует специализации зависимости компонент метрики от временной и пространственной координат. При этом расширение до &6 соответствует переходу к однородным и изотропным моделям Фридмана. Показано, что возможно центральное расширение G, (на S. ) до Q. (на S ). Moэ Д " SL дели с такими метриками подробно изучены. Показано также, что в случае плоской симметрии возможно нецентральное расширение G3 до G^ , что приводит к однородной анизотропной модели V типа Бианки.

Для полей тяготения со сферической, псевдосферической и плоской симметриями (с группами движений G3 на ) получено точное решение уравнений Эйнштейна для пылевидной материи с магнитным полем. Это решение может быть использовано для описания коллапса пылевидной среды с магнитным полем и также может рассматриваться как анизотропная неоднородная космологическая модель с магнитным полем. Выяснены условия, при которых это решение асимптотически (при больших временах) изотро-пизуется и становится решением Фридмана (в соответствии с наблюдаемой в настоящее время высокой степенью однородности и изотропии Метагалактики).' Также изучены поля тяготения с G3 на £ Для случая, когда источником гравитационного поля является пылевидная материя, обладающая электрическим зарядом.

Получены точные решения для полей тяготения с метриками, допускающими группы движений G^ на ^^ , для случая, когда источником гравитационного поля служат пылевидная материя и магнитное поле ("магнитная модель Вселенной"), и также для случая, когда источником гравитационного поля служит материя с ультрарелятивистским уравнением состояния. В случае плоской симметрии изучена магнитная модель Вселенной для материи с ультрарелятивистским уравнением состояния. При этом автором впервые в литературе были использованы для космологических задач ОТО методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений при анализе соответствующего поля интегральных кривых на фазовой плоскости. Впоследствии эти методы нашли широкое применение при анализе динамики космологических моделей и были разработаны эффективные методы качественного анализа обыкновенных уравнений в многомерных пространствах для задач астрофизики и газовой динамики.

Большой интерес представляют однородные анизотропные космологические модели, метрики которых допускают группу движений

G , действующую транзитивно на трехмерных пространственно-подобных многообразиях . В работе изучены однородные анизотропные модели типов I и У по Бианки, представляющие анизотропное обобщение плоской и открытой моделей Фридмана. Для модели I типа Бианки получено точное решение в предположении, что источником гравитационного поля является материя с уравнением состояния 4/3,51. Получено также точное решение для осесимметричной модели I типа Бианки (с группой G4 ) для случая, когда источником гравитационного поля служат материя с ультрарелятивистским уравнением состояния и потоки свободных частиц, движущихся со скоростью света в противоположных направлениях (потоки безмассовых нейтрино). Это решение описывает динамику Вселенной на ранней стадии эволюции в присутствии потоков свободных безмассовых нейтрино или гравитонов, которые перестали взаимодействовать с остальной средой.

Анизотропная космологическая модель I типа Бианки принадлежит к классу однородных анизотропных моделей, для которых синхронная система с линиями времени, ортогональными однородным пространствам £3 , является сопутствующей. При этом материя движется по геодезическим (с нулевым 4-ускорением) с изотропным расширением и сдвигом без вращения.

Изучены особенности динамики однородной анизотропной модели У типа Бианки на примере осесимметричного случая (с группой движений C/j), допускающего качественное исследование на двумерной фазовой плоскости. Эта модель принадлежит к другому классу однородных анизотропных моделей, для которых упомянутая выше синхронная система не является сопутствующей. При этом материя движется с ненулевым 4-ускорением, изотропным расширением и сдвигом без вращения, и динамика рассматриваемой модели, как впервые показано автором, обнаруживает специфические особенности, имеющие газодинамическую природу.

Для исследования динамики модели У типа Бианки используется сопутствующая система, в которой условие однородности не выполняется. Показано, что синхронная система покрывает только часть пространственно-временного многообразия, называемую Т -областью. Т -область отделена поверхностью горизонта от X-области, в которой может быть введена полугео'дезическая статическая неоднородная система и в которой скорость материи зависит только от пространственной координаты. Пересечение мировой линией среды поверхности горизонта, вообще говоря, не сопровождается обращением плотности энергии в бесконечность и возникновением сингулярности. Автором впервые показано, что в X -области решение, вообще говоря, оказывается непродолжимым для всех значений независимой переменной и оказывается двузначным в области существования ("дозвуковым" или "сверхзвуковым"). Данная ситуация аналогична наличию предельной линии в стационарных течениях в классической газовой динамике. Она указывает на необходимость рассмотрения космологических решений, содержащих поверхности разрыва.

Решения с поверхностями разрывов изучены для автомодельных решений в пространстве-времени с плоской симметрией. Автомодельная переменная может быть времени/подобной (в "t -области) и прострэнственно/подобной (в S-области). Получен класс точных решений и произведен качественный анализ на двумерной фазовой плоскости. Рассмотрены решения со слабыми разрывами и с сильными разрывами (тангенциальным разрывом и ударными волнами). Показана возможность сопряжения пространст-ва-врембни Минковского и плоской модели Фридмана через плоскую ударную волну предельной интенсивности. б. Изучен в общей форме вопрос об аналогах однородных анизотропных моделей ОТО в ньютоновской космологии, основными уравнениями которой являются нерелятивистские уравнения непрерывности, импульса и уравнение Пуассона для ньютоновского гравитационного потенциала Ч> . С помощью приближения слабого поля в уравнениях ОТО показано, что соответствующие аналоги представляют собой движения с однородной деформацией с зависимостью прямоугольных декартовых эйлеровых координат а* от лагранжевых и времени t в виде и с плотностью и давлением, зависящими только от времени.Гравитационный потенциал Ч> при этом является квадратичной функj цией Зс .

В случае сферической симметрии при f> Уравнения ньютоновской космологии полностью определяют функцию и соответствующее решение является известным ньютоновским аналогом однородных изотропных моделей Фридмана. В общем случае, соответствующем анизотропным моделям, при произвольной матрице М^ (/t) уравнения ньютоновской космологии не определяют однозначно компонент этой матрицы. Это обстоятельство связано со спецификой ньютоновского рассмотрения в бесконечном пространстве при отказе от требования ограниченности значения гравитационного потенциала на пространственной бесконечности и является проявлением ньютоновского гравитационного пав рамках ньютоновской космологии необходимо использовать дополнительные соотношения, которые должны быть взяты из соответствующих решений в ОТО. Конкретный вид таких соотношений приведен для ньютоновских аналогов космологической модели I типа Бианки и специального случая модели У типа, когда сопутствующая система является синхронной. Рассмотрен также ньютоновский аналог магнитной модели Вселенной в рамках ньютоновских уравнений магнитной гидродинамики с ньютоновским гравитационным потенциалом.

Приближение ньютоновской космологии описывает динамику космологической модели в малой окрестности фиксированной лаг-ранжевой частицы для релятивистских космологических моделей, у которых синхронная система, в которой выполняется условие однородности, является сопутствующей. радокса. В общем случае для определения компонент

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шикин, Игорь Сергеевич, 1984 год

1. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. УМН, 1965, 20, 121.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды, 4-е изд., т.т.1,2. М.: Наука, 1983.

3. Ландау Л.Д. О множественном образовании частиц при столкновениях быстрых частиц. Изв.АН СССР, серия физическая, 1953, 17, 51.

4. Халатников И.М. Некоторые вопросы релятивистской гидродинамики, ЕЗТФ, 1954, 27, 529.

5. ТаиЪ А*Н-. Relativistic Rankine-Hugoniot equations. Phys. Rev., 1948, 328.6. -ТаиЪ АеНъ Isentropic hydrodynamics in plane symmetric spacetimes. Phys. Rev., 1956, 10£, 454.

6. Франкль Ф.И. Изэнтропические релятивистские течения газа, ЖЭТФ, 1956, 31, 490.

7. Франкль Ф.И. Потенциальные релятивистские течения. ДАН, 1958, 123, 47.

8. Станюкович К.П. К вопросу о происхождении космических лучей и мезонов в космических лучах. Б кн.:Труды 3-го совещания по вопросам космогонии. М. :Изд-во АН СССР, 1954, 279.

9. Станюкович К.П. Некоторые стационарные релятивистские течения. ДАН, 1958, 119, 251.

10. Станюкович К.П. Автомодельные релятивистские движения в случае точечной симметрии. ДАН, 1961, 140, 77.

11. Станюкович К.П. Адиабатические одномерные движения ультрарелятивистского газа. ЖЭТФ, 1962, 43, 199.

12. Прокофьев Б.А. Уравнения релятивистской радиационной гидродинамики. ДАН, 1961, 140, 1033.

13. Скрипкин В.А. Алгебраические интегралы для автомодельных движении идеальной среды ь релятивистском случае. ДАИ^ 1953,ШДП;

14. Ос одном классе автомодельных движений Ультрарелятивистского п

15. Скрипкин В.А. Разрывные центршносиммегрчческие движения штргрг

16. Мтиьистского гаи в, ОТО."ПМТ*,19ЬО,М,3; Астроном. 2361,31,192.

17. Шикин И.С. К общей теории стационарных движений в релятивистской гидродинамике. ДАН, 1962, 142, 296.

18. Шикин И.С. Об интерпретации нестационарной релятивистской гидродинамики в пространстве Минковского. ДАН, 1962, 142, 564.

19. Шикин И.С. Некоторые вопросы релятивистской гидродинамики и релятивистской магнитной гидродинамики. Канд.дисс. М.: МГУ, 1963.

20. Ефимов З.Ф. Одномерные изэнтропические неустановившиеся релятивистские течения газа. Ученый записки физ.-мат.фак. (Киргиз.ун-т), 1957, в.4, 4.2, 85.

21. Ефимов З.Ф. Методы исследования и решения основных задач релятивистской гидродинамики. Автореф.докт.дисс., М.,1971.

22. Арынов А. Установившиеся релятивистские течения газа с осевой симметрией (вихревой случай). ДАН, 1959, 125, 512.

23. Половин Р.В. Теорема Цеыплена в релятивистской гидродинамике. ЖЭТФ, 1959, 36, 956.

24. Chernigov N.A* Microscopic foundation of the relativistic hydrodynamics. Acta Ehys* Polon., 1965, 27, 465*

25. Чернин А.Д., Эйдельман Е.Д. Взаимодействие вихревых и потенциальных движений в релятивистской гидродинамике. I.

26. Астрофизика, 1969, 5, 654.

27. Чернин А.Д. П. Астрофизика, 1969, 5, 656.

28. Тиунов Е.А., Чернин А.Д. Ш. Астрофизика, 1971, 7, 161.

29. Чернин А.Д., Эйдельман А,Д. 1У. Астрофизика, 1971, 7,314.

30. Сибгатуллин Н.Р. Нелинейные релятивистские волны в сверхсжатом газе. ДАН, 1969, 187, 531.

31. Cantoni V, Some plane solutions of relativistic Navier-Stoke3 equations. Meccanica, 1971, 6, 75*

32. Johnson М.Н», ЫсКее С.P. Relativistic hydrodynamics in one dimension. Phys. Rev., 1971, £0, 858.

33. Eli^roth P.G. Nonplanar relativistic flow. Phys. Fluids, 1972, 2140»

34. Горский В.Б. Безвихревые релятивистские течения газа.ДАН, 1972, 207, 309.

35. Chiu Н*Н. Relativistic gasdynamics. Phys. Fluids, 1973,16,825

36. Thorne K,S« Relativistic shocksr the Taub adiabat. Astroph.1. J., 1973, 122» 897.i3j. Gopalakrishna A.V» The jump in vorticity across a shock wave in relativistic hydrodynamics• Comnmn» Math.Phys».1975.44.39»

37. Wiita P.F. On the flow of special relativistic fluids through/

38. Очелков Ю.П., Прилуцкий О.Ф., Розенталъ Ш.Л., Усов В.В. Релятивистская кинетика и гидродинамика. М.: Атомиздат, 1979.

39. Konigl A. Relativistic gasdynamics in two dimensions» Phys. Fluids, 1980, £3, 1980.

40. Борзов В.Б., Гуцунаев Ц.И. Об одном точном решении релятивистской газодинамики. ПММ, 1980, 44, 760.

41. Имшенник B.C., Морозов Ю.И. Радиационная релятивистская газодинамика высокотемпературных явлений. М.: Атомиздат, 1981.

42. Granxk A. Rarefaction wave in relativietic gasdynamics.1. Phye. Fluids, 1982, 1165.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц ЁЛ;1. Электродинамика сплошных сред. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1982.

44. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика, М.: ИЛ, 1959.

45. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика.М.: Физматгиз, 1962.41. "Электродинамика плазмы". Под ред.А.И.Ахиезера. М.: Физматгиз, 1974, гл.П.

46. Hoffman F., Teller Б# Magnetobydrоdynamic shocka. Phys« Rev., 1950, 80, 692 (перевод в сб. "Проблемы современной физики",1954, & 2, стр.47).

47. Станюкович К.П. Элементы релятивистской магнитогазодинамики. Изв. АН СССР, серия физич., 1955, 19, 639.

48. Станюкович К.П. Некоторые результаты в области релятивистской магнитогазодинамики. ДАН, 1955, 103, 73.

49. Станюкович К.П. Ударные волны в проводящем ультрарелятивистском газе. ЗКЭТФ, 1958, 35, 520.

50. Станюкович К.П. Некоторые стационарные релятивистские движения газа в проводящей среде. ЖЭТФ, 1958, 35, 762.

51. Баум Ф.А., Каплан С.А., Станюкович К.П. Введение в космическую газодинамику. М.: Физматгиз, 1958.

52. Халатников И.М. О магнитогидродинамических волнах и магнитных тангенциальных разрывах в релятивистской гидродинамике. ЖЭТФ, 1957, 32, 1102.

53. Zumino В. Some questions in relativistic hydrodynamics. Phys. Rev., 1957, 108»

54. Harris E.G. Relativistic magnetohydrоdynamics. Phys. Rev.,1957, 108, 1357.

55. Ахиезер Й.А., Половин P.В. К теории релятивистских магнитогидродинамических волн. ЖЭТФ, 1959, 36, 1845.

56. Lichnerowicz A. Relativistic Hydrodynamics and Magnetohy-drodynamics. N.Y.: Benjamin, 1967.

57. Lichnerowicz A. Ondes de choc et hypotheses de compresslbi-lite en magnetohydrodynamique relativiste. Comrnun. Math. Phys., 1969, 12, 145.

58. Шикин I/I.С. Римановские волны в релятивистской магнитной гидродинамике. ДАН, 1964, 159, 1240.

59. Гогосов В.В., Шикин И.О. Некоторые вопросы релятивистской, магнитной гидродинамики. Сб."Вопросы магнитной гидродинамики", Рига, 1964, т.4, 5.

60. Шикин И.С. Релятивистские эффекты для МГД-ударных волн. Тезисы докл. на Ш Всесоюзном съезде по теорет.и прикл. механике. М., 1968, 321.

61. Shikin I.S. Relativistic effects for magnetohydrоdynamic waves. Ann. Inst. Henri PoincarS, 1969, АЯ» 343«

62. Жумартбаев M.T. Об устойчивости магнитных тангенциальных разрывов в релятивистской гидродинамике. ЖЭТФ, 1961,40, 1434.

63. Pham Mau Quan. Magnetohydrodynamique relativiste. Ann, Inst. Henri Poincare, 19б5, А2» 151.

64. Perrin H. Ondes Simple en magnetohydrodynamique Relativiste. Сотр. Rend. Acad. Sc. Paris, 1968, 267. 53.

65. Lukacevic I. Chocs et ondes rotataires de la magnetohydrodynamique relativiste. Ann. Inst.H.Poincare, 1971, A1ft,219»

66. Дойч P.В. К теории ударных волн в релятивистской магнитной гидродинамике. ПМТФ, 1963, № I, 38.

67. Cissoko М. Ondes de detonation en magnetohydrodynamique relativiste. Ann. Inst. Henri Poincare, 1972, АГ£, 43.

68. Coll B. Front de combustion en magnetohydrodynamique relativiste. Ann. Inst. Henri Poincare, 1976, A2£, 1976.

69. Салтанов H.B., Ткалич B.C. 0 нестационарной магнитогазо-динамической задаче. Анализ волны Римана. ДАН, 1964, 156, 529.

70. Ткалич B.C. Об обтекании профилей в релятивистской магнитной гидродинамике. Магн.гидродин., 1967, №2, II.

71. Choquet-Bruhat Y. Fluides relativistes de conductivite infime. Astron. Acta, 1960, 6, 359.- 334

72. Choquet-Bruhat Y. Etude des equation d'un fluide relativiste conducteur de chaleur. Ann. Inst. Henri Poincare, 1971, A14. 113.

73. Mahjoub B. Systeme d'evolution d'un fluide relativiste conducteur de chaleur. Ann. Inst. Henri Poincare, 1971, А14.113»72. "Relativistic Fluid Dynamics". Cremonese, Rome, 1971.

74. Yodzis P. Some general relations in relativistic magneto-hydrodynamics. Phys. Rev., 1971, D3, 2941.

75. Saini G.L. Some basic results on relativistic fluid mechanics and shock waves. J. Math. Anal, and Appl., 1976,£6,711.

76. Ciubotariu C.D. The relativistic magnetohydrоdynamics of an accelerating plasma. J. Math. Anal. Appl., 1976, £5, 272.

77. Орлов Л.П. Движение вязкой проводящей релятивистской жидкости в однородном магнитном поле. Сб."Гравитация и теория относительности". Изд-во Казанского Унив., 1980,в.16, стр.103.

78. Франкль Ф.И. 0 сильных гравитационных волнах и о движении газов в сильных, переменных гравитационных полях. ДАН, 1952, 84, 51.

79. Франкль Ф.И. Некоторые замечания о принципах в общей теории относительности. УФН, 1953, 8, 55.

80. Франкль Ф.И. 0 корректной постановке проблемы Коши и свойствах гармонических координат в общей теории относительности. УФН, 1956, II, 69.

81. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. 3-е изд., М.: Физматгиз, 1961.

82. Фок В.А. Замечания по поводу статьи Ф.И.Франкля "0 корректной постановке проблемы Коши и свойствах гармонических координат в общей теории относительности". УФН, 1956,П,197.

83. Лихнерович А. Теория относительности и математическая физика. В кн."Астрофизика, кванты и теория относительности", М.: Мир, 1982, стр.129.

84. Синг Да. Общая теория относительности. М.:ИЛ, 1963.

85. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.:Наука, 1966.

86. Седов Л.И. О тензоре энергии-импульса и о макроскопических внутренних взаимодействиях в гравитационном поле и материальных средах. ДАН, 1965, 164, 519.

87. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. ПММ, 1968, 32, 771.

88. Седов Л.И. Об условиях на сильных разрывах в теории гравитации. ПММ, 1972, 36, 3.

89. Седов Л.И. Об описании динамических свойств гравитационного поля в вакууме. В кн."Проблемы физики: классика и современность". М.:Мир, 1982, стр.170.

90. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, 6-е изд. М.:Наука, 1973.

91. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: ГИТТЛ, 1954.

92. Зельдович Я.Б. Уравнения состояния при сверхвысокой плотности и релятивистские ограничения. 1ЭТФ, 1961, 41, 1609.

93. Tabensky R., Taub А.Н. Plane symmetric self-gravitatingfluids wi'livpressune eoualto energy, density. ,61}

94. Tiufe A.H.(general ггийvisile 4 skccL ыт k fluUs for wkick pressure equiU елепэд density. Соития. Mktkik^s., да, 29,7Э.

95. Арцимович Л.А. Что каждый физик должен знать о плазме.1. М.: Атомиздат, 1977.

96. Арцимович JI.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат, 1979.

97. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М.: Мир, 1975.

98. Barnes A. Hydromagnetic waves and turbulence in the solar wind. In: "Solar System Plasma Physics", ed. by E.K.Parker, C.F.Kennel, L.J.Lanzerotti. N. Holland Publ. Сотр., 1979, v.1, p.249.

99. Michel P.O. Theory of pulsar magnetоspheres. Rev. Mod. Phys.,, 1982, 1.

100. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

101. Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. М.: Госатомиздат, 1961.

102. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.:Нэука, 1976.

103. Chew G.F., Goldberger M.L., Low P.L. The Boltzmann equation and the one-fluid hydromagnetic equations in the absence of particle collisions. Proc. Roy. Soc., 1956, A236, 112. Перевод: "Проблемы современной физики",1957, $ 7,1939.

104. Рудаков Л.И., Сагдеев Р.З. 0 квазигидродинамическом описании разреженной плазмы, находящейся в магнитном поле. Сб."Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций", М.: Изд-во АН СССР, т.З, 1958, стр.268.

105. Кадомцев Б.Б. 0 динамике плазмы в сильном Магнитном поле. Сб. "Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций", М.:Изд-во АН СССР, т.4-, 1958, стр.370.

106. Grad H. Microscopic and macroscopic models in plasma physics. Proc. Symp. Electromagnet, and Fluid Dynamics of Gaseous Plasma. Polytech. Inst. Brooklyn. 1961•

107. Волков Т.Ф. Гидродинамическое описание сильно разреженной плазмы. Сб."Вопросы теории плазмы". М.: Атомиздат, 1964, в.4, стр.3.

108. Коган Е.Я., Моисеев С.С., Ораевский В.Н. Гидродинамические модели в применении к условию устойчивости замагниченной плазмы. ПМТФ, 1965, № 6, 41.

109. Oraevskii V., Chodura R., Feneberg W. Hydrodynamic equations for plasmas in strong magnetic fields. I. Collision-less approximation. Plasma Phys., 1968, JO, 819.

110. Жданов С.К., Трубников Б.А. Магнитная гидродинамика бесстолкновительной плазмы. ЖЭТФ, 1977, 72, 488.

111. Баранов Б.Б., Краснобаев К.Б. Гидродинамическая теория космической плазмы. М.: Физматгиз, 1977.

112. НО» Tidman D., Krall N. Shock Waves in Collisionless Plasmas.

113. Kennel C.F., Sagdeev R.Z. Collisionless shock waves in high- p plasmas. I. J. Geophys. Res., 1967, 22, 3303; II. J. Gepphys. Res., 1967, 22, 3327.

114. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. Модель ударной волны в плазме солнечного ветра. ЖЭТФ, 57, 1047, 1969.

115. MacMahon A. Finite gyro-radius corrections to the hydro-magnetic equations for a Vlasov plasma. Phys. Fluids,1965, 8, 1840.

116. Ахиезер И.А., Половин P.В., Цинцадзе H.A. Простые волны в приближении Чу, ГолДбергера и Jloy. ЖЭТФ, 1959, 37,756.

117. Kato Y., Tajiri М.» Taniuti Т. Propagation of hydromagne-tic waves in collisionless plasma. I. J. Phys. Soc. Japan,1966, 21, 765.

118. Tajiri M. Propagation of hydromagnetic waves in collision-less plasma. II. Kinetic approach. J. Phys. Soc. Japan,1967, 22, 1482.

119. Abraham-Shrauner B.J. Propagation of hydromagnetic waves through an anisotropic plasma. J. Plasma Phys., 1967, 1» 361.

120. Abraham-Shrauner B.J. Shock jump conditions for an anisotropic plasma. J. Plasma Phys., 1967, 1., 379.

121. Половин P.В. Выступление по докладу С.А.Каплана, А.А. Логвиненко, В.В.Порфирьева. Сб."Вопросы магнитной гидродинамики и динамики плазмы". Рига, 1962, т.2, стр.37. Lynn УД Discontinuities in ah anisotropic pUsina JhysJbids^Hip,^*

122. Abraham-Shrauner B. Double-aa&abatic hydromagnetic equations for electrons with pressure gradients. Phys. Fluids, 1968, .Л, 2768.

123. Morioka S., Spreiter J.R. Evolutionary conditions for shock waves in collisionless plasma and stability of the associated flow. J. Plasma Phys., 1968, 2, 449.

124. Heubauer P.M. Jump relations for shocks in an anisotropic magnetized plasma. Z. Phys., 1970, 237» 205.

125. Баранов В.Б. Исследование простых волн в плазме с анизотропным давлением. Изв.АН СССР, МЖГ, 1970, № 2, б.

126. Баранов В.Б., Картэлев М.Д. Магнитная гидродинамика плоских течений в плазме с анизотропным давлением. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № б, 3.

127. Карталев М.Д. Стационарные простые волны в плазме с анизотропным давлением. Изв.АН СССР, МЖГ, 1971, И» 2, 12.

128. Баранов В.Б., Карталев М.Д. Об эволюционности ударных волн в приближении Чу, Голдбергера и Лоу. Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, Ш 6, 177.

129. Карталев М.Д. О теореме Цемплена для ударных волн в плазме с анизотропным давлением. ДАН, 1972, 205, 1316.

130. Morioka S.f Matsumoto J. Discontinuities in a collision-less plasma flow having a strong magnetic field. J. Phys. Soc. Japan, 1972, j32, 1627.

131. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей, 2-е изд.,. т.т. I, 2, М.: Атомиздат, 1977.

132. Веденов А.А., Сагдеев Р.З. О некоторых свойствах плазмыс анизотропным распределением скоростей ионов в магнитном поле. Сб."Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций". М.: Изд-во АН СССР, т.З, 1958, стр.278.

133. Шапиро В.Д., Шевченко В.И. Квазилинейная теория неустойчивости плазмы с анизотропным распределением ионов по скоростям. ЖЭТФ, 1963, 45, 1612.

134. Куликовский А.Г. О волнах Римана в магнитной гидродинамике. ДАН, 1958, 121, 987.

135. Заславский Г.М., Моисеев С.С. О поведении некоторых состояний плазмы с анизотропным распределением скоростей в магнитном поле. ПМТФ, 1961, № б, 24.

136. Заславский Г.М., Моисеев С.С. О состояниях с анизотропной функцией распределения в разреженном релятивистском газе. ПМТФ, 1962, № I, 20.

137. Заславский Г.М. О релятивистской гидродинамике плазмы в магнитном поле. ПМТФ, 1962, № 5, 42.

138. Bertotti В. Relativistic plasma in a strong magnetic field. In: "La Magnetohydrodynamique Classique et Rela-tiviste", Paris, CURS, 1970, p.251.

139. Cissoki M. Ondes et discontinuites en magnetohydrodyna-mique anisotrope relativiste. Ann. Inst. Henri Poincare,1975, A22, 1.

140. Шикин И.С. К теории волн в релятивистской магнитной гидродинамике. Тезисы докладов П Международн.конфер.по теории плазмы. Киев, 1974, стр.151.

141. Шикин И.С. К теории волн в релятивистской магнитной гидродинамике Чу-Голдбергера-Лоу. Физика плазмы,1976,2,24.

142. Granik A. Propagation of hydromagnetic waves in a rela-tivistic plasma. J. Plasma Phys., 1982, 27, 121.

143. Thompson W»B. The dynamics of high temperature plasmas. Reports on Progr. in Physics, 1961, 24, 363»

144. Rosenbluth M.N., Krall N.A., Rostoker N. Finite Larmor radius stabilization of "weakly" unstable confined plasma. Nuclear Fusion Suppl., 19b2, 1., 143.

145. Roberts K.V., Taylor J.B. Magnetohydrodynamic equations for finite Larmor radius. Phys. Rev. Lett., 1962, 8, 197.

146. Заславский Г.М., Моисеев С.С. О влиянии магнитной вязкости на устойчивость плазмы с анизотропным давлением. ПМТФ, 1962, № 6, 119.

147. Frieman Е., Davidson R., Langdon В. Higher-order correct ■tions to the Chew-Goldberger-Low theory. Phys.Fluids,1966, 9, 1475.

148. Yajima N. The effect of finite Larmor radius on the propagation of magnetoacoustic waves. Progr. Theor. Phys., 1966, 1.

149. Simon A., Thompson V/.В. Hydromagnetic equations with viscosity for a collisionless plasma. J. Nuclear Energy, 1966, C8, 373.

150. Kennel C.F., Greene F.M. Finite Larmor radius hydromag-netics. Ann. Phys», 1966, ^8, 63.

151. Emmert G., Schmidt G« Guiding-center treatment of finite gyroradius fluid equations. Phys. Fluids, 1968, JM, 1379.

152. Березин Ю.А., Сагдеев Р.З. Одномерная нелинейная модель неустойчивости анизотропной плазмы. ДАН,1969,184,570.

153. Sisson A.E., Yu С.P. Normal modes of oscillation in a high-order Chew-Goldberger-Low plasma. J. Plasma Phys., 1969, 2> 691.

154. Fedele J •B. On the structure of collisionless waves. J. Plasma Phys., 1969, 2, 673.

155. Milantiev V.P. On the viscosity of a collisionless plasma in a magnetic field. Plasma Phys., 1969, 1J., 145.

156. Morioka S., Spreiter J.R. The effect of finite Larmor radius on the perturbation flow mixing of collisionless plasma. J. Plasma Phys., 1970, 403.

157. Morioka S., Spreiter J.R. Effect of dissipation due to firehose instability on perturbation half-jet flow of a collisionless plasma. J. Plasma Phys., 1970, 629.

158. Morioka S., Tanaka K. Finite Larmor radius hydromagnetic flow past an obstacle. J. Phys. Soc. Japan, 1971, J30, 549.

159. Bowers E. Finite-Larmor-radius equations for collisionless plasmas in general magnetic fields. J. Plasma Phys.,1971,6,6

160. Березин Ю.А. Нелинейные движения в анизотропной плазме. НЭТФ, 1971, 61, 1877.

161. Березин Ю.А. Численное исследование нелинейных волн в разреженной плазме. Новосибирск: Наука, 1977.

162. Шикин И.С. Вывод уравнений магнитной гидродинамики для плазмы без столкновений с учетом поправок к теории Чу-Голдбергера-Лоу, связанных с конечной величиной ионного ларморовского радиуса. Отчет № 2012 Ин-та механики МГУ. Изд-во МГУ, 1978, 60 стр.

163. Хбб. Chhajlani R.K., Bhand S.C. Derivation of CGL theory with finite Larmor radius corrections. J. Plasma Phys., 1980, 22, 205.

164. X67. Namikawa T., Hamabata H. Propagation of hydromagnetic waves through a collisionless, heat-conducting plasma. J. Plasma Phys., 1981, 26, 95.

165. Khanna M., Rajaram R. Evolution of nonlinear Alfven waves propagating along the magnetic field in a collisionless plasma. J. Plasma Phys., 1982, 28, 459.

166. Шикин И.С. Магнитогидродинамические уравнения для плазмы без столкновений с учетом магнитной вязкости. Сб. "Проблемы современной механики", поев.60-летию акад. Г.Г.Черного. Под ред.акад. Л.И.Седова. М.:Изд-во МГУ, 1983, ч.2, стр.98.

167. С.де Гроот, В.ван Леувен, Х.ван Верт. Релятивистская кинетическая теория. М.: Мир, 1983.

168. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика,т.I, М.: Наука, 1976.

169. Шкаровский И., Джонстон Т., Бачинский М. Кинетика частиц плазмы. М.: Атомиздат, 1969.

170. Нордтроп Т. Адиабатическая теория движения заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1967.

171. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц. М.: Атомиздат,1967.

172. Любимов Г.А. О форме закона Ома в магнитной гидродинамике. ПММ, 1961, 25, 611.

173. Баранов В.Б., Любимов Г.А. О форме обобщенного закона Ома в полностью ионизованном газе. ПММ, 1961,25,468.

174. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидроди-намические течения в каналах. М.: Наука, 1970.

175. Whang Y.C. Higher moments equations and the distributionfunction of the solar-wind plasma. J» Geophys. Res., 1971, 76, 7503.

176. Баранов В.Б., Рудерман М.С. Волны в плазме с холловской дисперсией. Изв. АН СССР, МЕГ, 1974, Ш 3, 108.

177. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.

178. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Релятивистская астрофизика. М.: Физматгиз, 1967.

179. Крамер Д., Штешани X., Хертль Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. Под ред. Э.Шмутцера: Пер.с англ.- М.: Энергоиздат, 1982.

180. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. Т.т.1-3.- М.: Мир, 1977.

181. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975. Вейнберг С. Первые три минуты. М.: Энергоиздат, 1981.

182. Пиблс П. Физическая космология. М.: Мир, 1975.

183. Общая теория относительности. Под ред. С.Хокинга, В.Из-раэля. М.: Мир, 1983.

184. Чернин А.Д. Гидродинамика Вселенной. Природа, 1976, № 6, 108.

185. Zeldovich Ya.B. Hydrodynamics of Universe. Ann. Rev. Fluid Mech., 1977, 9, 215.

186. Гуревич Л.Э., Чернин А.Д. Введение в космогонию. М.: Наука, 1978.

187. Зельдович Я.Б. Теория вакуума, быть может, решает загадку космологии. УФН, 1981, 133, 479.

188. Коюмэн А.А., Сахни В., Старобинский А.А. Анизотропная космологическая модель, создаваемая квантовой поляризацией вакуума. ЖЭТФ, 1983, 85, 1876.

189. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980.

190. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: Мир,1972.

191. Хокинг С., Эллис Дк. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.

192. Денисов В.1/1., Логунов А.А., Мествиришвили М.А. Полевая теория гравитации и новые представления о пространстве и времени. ЭЧАЯ, 1981, 12, 5.

193. Taub А.Н. Empty space-times admitting a three parameter group of motions. Ann. Math., 1951, 472.

194. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

195. Raychaudhuri A. Relativistic cosmology, I. Phys. Rev., 1955, 98, 1123.

196. Estabrook F.B., Wahlquist H.D., Behr C.G. Dyadic analysis of spatially homogeneous world models. J. Math. Phys., 1968, 2, 497.

197. Ellis G.F.R., MacCallum M.A.H. A class of homogeneous cos mological models. Commun. Math. Phys., 1969, .12, Ю8.

198. MacCallum M.A.H. A class of homogeneous cosmological models. I. Asymptotic behaviour. Commun. Math. Phys., 1971,20, 57.

199. Новиков С.П. 0 некоторых свойствах космологических моделей. ЖЭТФ, 1972, 62, 1977.

200. Дорошкевич А.Г., Лукаш В.А., Новиков И.Д. Изотропизация однородных космологических моделей. ЖЭТФ, 1973, 64,1457.

201. Goenner H., Stachel J. Einstein tensor and 3-parameter groups of isometries with 2-dimensional orbits. J. Math.1. Phys., 1970, 12, 3358.

202. Компанеец А.С., Чернов A.E. Решение уравнений гравитациив однородной анизотропной модели. ЖЭТФ, 1964,47, 1939.

203. Зельдович Я.Б. Магнитная модель Вселенной. ЖЗТФ, 1965, 48, 986.

204. Дорошкевич А.Г. Модель Вселенной с однородным магнитным полем. Астрофизика, 1965, I, 255.

205. Шикин И.О. Однородная анизотропная космологическая модель с магнитным полем. ДАН, 1966, 171, 73.

206. Thorne K.S. Primordial element formation, primordial magnetic fields and the isotropy of the universe. Astrophys. J., 1967, 148, 51.

207. Kantowsky R., Sachs R.K. Some spatially homogeneous anisotropic relativistic cosmological models. J. Math. Phys., 1966, 2, 443.

208. Vajk J.P., Eltgroth P.G. Spatially homogeneous anisotropic cosmological models containing relativistic fluid and magnetic field. J. Math. Phys., 1970, 11, 2212.

209. Collins C.B. Global structure of the "Kantowski-Sachs" cosmological models. J. Math. Phys., 1977, 28, 2116.

210. Ryan M.P., Shepley L.C. Homogeneous Relativistic Cosmologies. Princeton, Princeton University Press, 1975.

211. Ellis G.P.R. Relativistic cosmology. In: Proc. of the 1971 Cargese Summer School, ed. by E.Schatzman, U.Y., Gordon and Breach, 1973, p.1.

212. MacCallum M.A.H. Cosmological models from a geometric point of view. In: Cargese Lectures in Physics, JMS, ed. by E.Schatzman, N.Y., Gordon and Breach, 1973, p.61.

213. MaGCallum M.A.H. Mathematics of anisotropic spatially-homogeneous cosmologies. Lect. Notes in Phys., 1979,109,1.

214. MacCallum M.A.H. Anisotropic and inhomogeneous relativistic cosmologies. In: General Relativity. An Einstein Centenary Survey. Cambridge University Press, 1979.

215. Collins C.B., Ellis G.P.R. Singularities in Bianchi cosmologies. Phys. Rep., 1979, £6, 67.

216. Tipler P.J., Clarke C.J.S., Ellis G.F.R. Singularities and horizons. In: General Relativity and Gravitation. One hundred years after the birth of Albert Einstein. Ed. by A.Held. Plenum, N.Y., L., 1980, v.2, p.97.

217. Эйзенхарт JI.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947.

218. Heckmann 0., Schiicking E. Relativistic Cosmology. In: Gravitation: an Introduction to Current Research, ed. by L.Witten, И.У., Wiley, 1962, Ch.11.

219. King A.R., Ellis G.F.R. Tilted homogeneous cosmologicalmodels. Commun. Math. Phys., 1973, 21»

220. Ellis G.F.R., King A.R. Was the big bang a whimper?

221. Commun. Math. Phys., 1974, ^8, 119.

222. Collins C.B. Tilting at cosmological singularities. Commun. Math. Phys., 1974, 22» 131.

223. King A.R. Instability of intermediate singularities in General Relativity. Phys. Rev., 1975, ВЦ, 763.

224. Шикин И.О. Анизотропная космологическая модель типа У Бианки в общем (осесимметричном) случае с движущейся материей. ШЕФ, 1975, 68, 1583.

225. Ellis G.F.R. Dynamics of pressure-free matter in general relativity. J. Math. Phys., 1967, 8 , 1171.

226. Stewart J.M., Ellis G.F.R. Solutions of Einstein's equations for a fluid which exhibit local rotational symmetry. J. Math. Phys., 1968, 9, Ю72.

227. Зельмэнов A.JI. К релятивистской теории анизотропной неоднородной Вселенной. "Внегалактическая астрономия икосмология". Труды б Совещания по вопросам космологии.М.: ¥1зд—во АН СССР, 1959, стр.144.

228. Грищук Л.П. Критерии пространственной однородности и космологические модели. Астроном.журн., 1967, 44,1097.

229. Грищук Л.П. О пространственно-однородных полях тяготения. ДАН, 1970, 190, 1066.

230. Агаков В.Г. Физически однородные пространства с вращением. Вестник Моск.ун-та, сер.З. Физика, Астрономия, 1979, 34, № 4, 73.

231. MacCallum М.А.Н., Spero A., Szafron D.A. On the geometry of the Zel'manov-Grishchuck cosmologieal homogeneity criterion. Phys. Lett., 1982, 87A, 157.

232. Cahill M.E., Taub A.H. Spherically symmetric similarity solutions of the Eimstein field equations for a perfect fluid. Commim. Math. Phys., 1971, 21,, 1.

233. Шикин И.С. Поля тяготения с конформной группой в общей теории относительности. Тезисы докладов 4-й Советской грэвит.конф. Минск, 1976, стр.171.

234. Shikin I.S. Evolution of plane-symmetric self-similar space-times containing perfect fluid. Gen.Rel. and Grav.,1979, 11, 433.

235. Shikin I.S. Plane- symmetric self-similar space-times containg surfaces of discontinuities. Abstracts of the 9th Intern. Conf.on Gravitation and Relativity, Jena,1980, p.69.

236. Шикин И.С. Исследование автомодельных полей тяготения в пространстве-времени с плоской симметрией.ЖЭТФ,1981,81,801.

237. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. 9-е изд. М.: Наука, 1981.

238. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматгиз, 1966.

239. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971.

240. Станюкович К.П.,Шаршекеев 0., Гурович В.Ц. Автомодельные движения релятивистского газа в общей теории относительности в случае точечной симметрии. ДАН, 1965, 165, 510.

241. Станюкович К.П. Автомодельные движения в ОТО для сферически-симметричной системы отсчета в специальных координатах. ЖЭТФ, 1974, 66, 826.

242. Станюкович К.П., Мельников В.Н. Гидродинамика, поля и константы в теории гравитации. М.: Энергоатомиздат,1983.

243. Сибгэтуллин Н.Р., Динариев О.Ю. Автомодельные движения фотонного газа и модель Фридмана. ЖЭТФ, 1977, 73, 1599.

244. Богоявленский О.И. Автомодельные решения со сферической ударной волной в общей теории относительности. ЖЭТФ,1977, 73, 1201.

245. Taub А.Н. Plane-symmetric similarity solutions for self-gravitating fluids. In: General Relativity (Papers in Honour of J*L.Synge), ed. by b.O'Raifeartaigh, Oxford, Clarendon Press, 1972, p.133.

246. Eeardley D.M. Self-similar spacetimes: geometry and dynamics. Commun. Math. Phys., 1974, 21* 2Q7*

247. Bogoyavlensky O.I., Moschetti G« The investigation of some self-similar solutions of Einstein's equations. J. Math. Phys., 1982, 22, 1353.

248. Голубятников A.H. О сферически-симметричном движении релятивистского гравитирующего газа при наличии сильнойударной волны. ДАН, 1977, 233, 318. . .

249. Eardley D., Liang Е., Sachs R. Velocity-dominated singularities in irrotational dust cosmologies. J. Math. Phys., 1972, 12, 99.

250. Рубан В.А. Сферически-симметричные T -модели в общей теории относительности. ЖЭТФ, 1969, 56, 1914; Т -модели шара в общей теории относительности (П). ЖЭТФ, 1983, 85, 801.

251. Hughston L.P., Jacobs К.С. Homogeneous electromagnetic and massive-vector-meson fields in Bianchi cosmologies. Astroph. J., 1970,Д60, 147.

252. Parnsworth D.L. Some new general relativistic dust metrics possessing isometries. J. Math. Phys., 1967, 8, 2315.

253. Шикин И.С. Поля тяготения с группами движений на двумерных гиперповерхностях транзитивности и проблема изотро-пизации неоднородных моделей. Тезисы докл. 3-й Советскойгравит.конф., г.Ереван, 1972, стр.178.

254. Hoyle P. The steady state theory. In: "La Structure etl'Evolution de l'Universe", 11 Conseil de

255. Physique Solvay, Bruxelles, 1958, p.53»

256. Шикин И.С. Однородная осесимметричная космологическая модель в ультрарелятивистском случае. ДАН, 1967, I?6, 1048.

257. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д., Старобинский А.А. Квантовые эффекты в белых дырах. ЖЭТФ, 1974, 66, 1897.

258. Jacobs К.С. Cosmologies of Bianchi type I with a uniform magnetic field. Astroph. J,, 1969, 15£, 379.

259. Зельдович Я.Б. Гипотеза магнитной космологической неоднородности. Астроном, ж., 1969, 46, 775.

260. Сибгатуллин Н.Р. Линейная магнитогидродинамическая теорияразвития иеоднородностей в осесимметрнчных Ьоде/яд. Вселенной с Космолеги-уеским иагнитаым долей. А АН, 1970,195,12В.

261. Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях. М.: Наука, 1984.

262. Collins С.В. Qualitative magnetic cosmology. Commun.

263. Math. Phys,, 1972, 27, 37.

264. Rosen G. Symmetries of the Einstein-Maxwell equations. J. Math. Phys., 1962, J3, 313.

265. Spatially homogeneous solutions to the Einstein-Maxwell equations. Phys. Rev., 1964, 1J36, B297.

266. Collins C.B., Stewart J.M. Qualitative cosmology. Mon. Hot. Roy. Astr. Sec., 1971, .Ш, 419.

267. Collins C.B. More qualitative cosmology. Commun. Math. Phys., 1971, 22, 137.

268. Шикин И.С. Исследование полей тяготения в анизотропной модели с материей и нейтрино. ЖЭТФ, 1972, 63, 1529.

269. Collins C.B. Tilting at cosmological singularities. Commun. Math. Phys., 1974, J39, 13U.

270. Белинский В.А., Халатников И.М. О влиянии вязкости на характер космологической эволюции. ЖЭТФ, 1975, 69, 401.

271. Белинский В.А., Халатников И.М. Эффекты вязкости в изотропной космологии. ЖЭТФ, 1977, 72, 3.

272. Никомаров Е.С. Халатников И.М. Качественная изотропная космология с космологической постоянной при учете диссипации. ЖЭТФ, 1978, 75, 1176.

273. Белинский В.А., Никомаров Е.С., Халатников И.М. Исследование космологической эволюции вязкоупругой материи с каузальной термодинамикой. ЖЭТФ, 1979, 77, 417.

274. Novello M., d'Olival J.B.S. Nonlinear viscous cosmology. Acta Phys. Polon., 1980, ВЦ, 3.

275. Novello M., Araujo R.A. Qualitative analysis of homogeneous universes. Phys. Rev., 1980, D22, 260.

276. Богоявленский О.И., Новиков С.П. Особенности космологической модели Бьянки IX с точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений. КЭТФ, 1973, 64, 1475.

277. Богоявленский О.И., Новиков С.П. Качественная теория однородных космологических моделей. Труды Семинара им. И.Г. Петровского, 1975, вЛ,7.

278. Богоявленский О.И. Качественная теория однородных космологических моделей П. Труды Семинара им. И.Г.Петровского, 1976, в.2,67.

279. Богоявленский О.И., Новиков С.П. Однородные модели в общей теории относительности и газовой динамике. УМН, 1976, 31, в.5, 33.

280. Богоявленский О.И. О некоторых свойствах космологической модели IX типа с движением вещества. ЖЭТФ, 1976, 70, 361.

281. Пересецкий А.А. Анизотропная однородная космологическая модель УП типа Бьянки с движением вещества. УМН, 1976, 31» 251.

282. Пересецкий А.А. Качественная теория открытых однородных космологических моделей с движением вещества. Труды Семинара им. И.Г.Петровского, 1979, 5, 137.

283. Григорян С.Д. Особенности однородной анизотропной модели IX типа с космологической постоянной. Матем.заметки,1979, 26, 235.

284. Богоявленский О.И. Колебательный режим расширения газового облака в вакуум. Препринт Инст.Теор.Физ. им.Л.Д. Ландау АН СССР, 1975.

285. Богоявленский О.И., Новиков С.П. Конечномерные колебательные модели в общей теории относительности и газовой динамике. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1979, 84, 7.

286. Богоявленский О.И. Динамика гравитирующего газового эллипсоида. ПММ, 1976, 40, 270.

287. Богоявленский О.И. Автомодельные движения самогравитиру-ющего газа в звездах. Труды семинара им. И.Г.Петровского,1980, в.6, 3.

288. Шикин И.С. Исследование класса полей тяготения для заряженной пылевидной среды. ЖЭТФ, 1974, 67, 433.

289. Lyttleton R.A., Bondi H. On the physical consequences of a general excess of charge. Proc. Roy. Soc., 1959, A252, 313.

290. Bonnor W. The mass of a static charged sphere. Z. Phys. , i960, 160, 59.

291. Bonnor W. The equilibrium of a charge sphere. Mon. Hot* Roy. Astr. Soc., 1965, 122, 443.

292. Новиков И.Д. Смена релятивистского гравитационного сжатия расширением и физические особенности при сжатии. Астроном, журнал, 1966, 43, 911.

293. Shah Y.P., Vaidya P.O. Gravitational contraction of charged fluid spheres. Ann. Inst. Henri Poincare, 1967, Аб, 219.294.

294. Hamoui A. Deux nouvelles classes de solution non—statiques a symetrie spherique des equations d1Einstein-Maxwell. Ann. Inst. Henri Poincare, 1969, А10» 195«295. pauikes M.C. Charged spheres in general relativity. Canad.1. J. Phys., 1969, 12, 1989.

295. Новиков К.Д. Эволюция заряженного шара после коллапсапод сферу Шварцшильда. ЖЭТФ, 1970, 59, 262.

296. Raychaudhuri А.К., De U.K. Oharge-dust distribution ingeneral relativity. J.Phys., 1970, A£, 263.

297. Марков M.A., Фролов В.П. Метрика закрытого мира Фридмана, возмущенная электрическим зарядом (к теории электромагнитных "фридмонов"). Теор.и матем.физ., 1970, 3, 3.

298. De U.K. Collapse of a charged dust distribution. Progr. Theor. Phys., 1973, 1546.

299. Vickers P.A. Charged dust spheres in general relativity. Ann. Inst. Henri Poincare, 1973, А18» 137.

300. Raychaudhuri A.K. Spherically symmetric charged dust distributions in general relativity. Ann. Inst. Henri Poincare, 1975, A22, 229.

301. Хлестков Ю.А. Три типа решений уравнений Эйнштейна-Максвелла. КЭТФ, 1975, 68, 387.

302. Horsky J. The gravitational field of a homogeneous plate with a non-zero cosmological constant. Czech. J. Phys., 1975, B2£, 1081.

303. Авакян P.M., Горский Я. Гравитационное поле однородного плоского диска. Астрофизика, 1975, П, 689.

304. Павлов Н.В. Заряженные пылевые шары в общей теории относительности. Изв.вузов. Физика, 1976, Ш 4, 107.

305. Horsky J., Ъогепс P., Uovotny J. A non-static source ofithe Taub solution of Einstein's gravitational equations. Phys. Lett., 1977, i^A, 79.

306. Bronnikov K.A. Static fluid cylinders and plane layers in general relativity. J. Phys., 1979, A12. 201»

307. Бронников K.A. Вывернутые черные дыры и анизотропный коллапс. Изв. вузов. Физика, 1979, № 6, 32.

308. Бронников К.А., Ковальчук М.А. Безизлучательный несферический коллапс. Сб. "Проблемы теории гравитации и элементарных частиц", М.: Атомиздат, 1980, в.II, стр.131;

309. К задаче о безизлучательном коллапсе. Сб. "Проблемы теории гравитации и элементарных частиц", в.13, 1982, стр.176.

310. Amundsen P.A., Grtfn 0. General static plane-symmetric solutions of the Einstein-Maxwell equations. Phys. Rev.,1983, £22» 1731.

311. Broimikov K.A., Kovalchuk M.A. Some exact models for non-spherical collapse. I. Gen. Rel. and Grav., 1983., Ijb 809. Bronnikov K.A. Some exact models for nonspherical collapse. II. Gen. Rel. and Grav., 1983, 823.

312. Гинзбург В.Л. 0 магнитных полях коллапсирующих масс и природе сверхзвезд. ДАН, 1964, 156, 43.

313. Гинзбург В.Л., Озерной Л.М. 0 гравитационном коллапсе магнитной звезды. ЖЭТФ, 1964, 47, 1030.

314. Халатников И.М. Некоторые замечания об особенностях космологических решений уравнений гравитации. ЖЭТФ, 1965, 48, 261.

315. Халатников И.М. Магнитная Вселенная с материей. Письма ЖЭТФ, 1967, 5, 195.

316. Рубан В.А. Несингулярные метрики типа Тауба-Ньюмена-Ун-ти-Тамбурино с электромагнитным полем. ДАН, 1972, 204, 1086.

317. Коркина М.П., Мартыненко В.Г. Однородная осесимметричная модель с предельно жестким уравнением состояния. УФЖ, 1976, 21, II91;

318. Т -шары" с однородными магнитным и электрическим полями. УФЖ, 1977, 22, 853.

319. Kuchowicz В. Some cosmological models with spin and torsion. II. Axially symmetric models with a uniform magnetic field. Astroph. Space Sci., 1976, 40, 167.

320. Богоявленский О.И. Гамильтонов формализм однородной космологической модели IX типа с электромагнитным полем. ТМФ, 1976, 27, 184.

321. Ftaclas С., Cohen J.M. Locally rotationally symmetric cosmological model containing a nonrotationally symmetric electromagnetic field. Phys. Rev., 1978, D18, 4737.

322. Barnes A. Cosmology of a Charged Universe. Astrophys. J., 1979, 227, p.I, 13.

323. Charach Ch. Electromagnetic Gowdy Universe. Phye. Rev., 1979, D19, 3516.

324. Dunn K.A., Tupper B.O.J. Type I, II and III spatially homogeneous cosmologies with electromagnetic field. Astro-phys. J., 1980, 2^5, p.I, 307.

325. Pennelly A.J. Some effects of magnetic fields in spatially homogeneous universes with conductivity. Phys. Rev., 1980, D21, 2107.

326. Pennelly A.J., Evans C.R. Magnetohydrodynamic perturbations of Robertson-Walker universes and of anisotropic Bianchi type-I universes. Nuovo Cim., 1980, ВбО, 1.

327. Lorenz D. Exact Bianchi type-VIII and type-IX cosmological models with matter and electromagnetic fields. Phys. Rev., 1980, D22, 1848.

328. Spokoiny B.L. The singularity of homogeneous models with electromagnetic fields. Phys. Lett., 1981, A81, 493?

329. The effect of the electromagnetic fields on the evolutionof homogeneous cosmological models near the singularity. Gen, Rel. and Grav., 1982, 14» 270,

330. Lorenz D. Tilted electromagnetic Bianchi type I and type II cosmologies. Phys. Lett., 1981, A8^, 155.

331. Carmeli M«, Charach Ch., Malin S« Survey of cosmological models with gravitational, scalar and elecromagnetic waves. Phys. Rep., 1981, 76, 79.

332. Lorenz D. An exact Bianchi type-V tilted cosmological model with matter and an electromagnetic field. Gen. Rel. and Grav., 1981, 12, 795.

333. Ryan M.P., Jr., Waller S.M., Shepiy L.C. Bianchi type electromagnetic cosmology type I hamiltonian. Astroph. J., 1982, 2J5jb p.I, 425.

334. Lorenz D. Einstein-Cartan-Maxwell-Bianchi type V cosmological models. Gen. Rel, and Grav., 1982, 691»

335. Рубан В.А. Динамическая роль электромагнитного "первичного поля в космологических однородных моделях "диагональных" I-IX типов Бианки. Астроном.ж., 1982, 59,1044.

336. Шикин И.О. Решение уравнений тяготения в однородной,полностью анизотропной модели. ДАН, 1968, 179, 817.

337. Schucking Е., Heckmann 0. World models. In: "La Structureet L'Evolution de L'Universe", 11 Conseil de Physique Solvay, Bruxelles, 1958, p.149.

338. Jacobs K.C. Spatially homogeneous and Euclidean cosmological models with shear. Astrophys. J., 1968, 153. 661.

339. Рубан В.А. О динамике анизотропных однородных обобщенийкосмологических моделей Фридмана. ЖЭТФ, 1977, 72, 1201.

340. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Нейтрино и гравитоны в анизотропной модели Вселенной. Письма ЖЭТФ, 1967, 5, 119.

341. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Слабовзаимог. действующие частицы в анизотропной космологической модели. ЖЭТФ, 1967, 53, 644.

342. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Кинематическая теория нейтрино в анизотропных космологических моделях. Астрофизика, 1969, 5, 539.

343. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Нейтрино в анизотропных космологических решениях. Письма ЖЭТФ,1969, 8, 95.

344. Misner C.W. The isotropy of the Universe. Astrophys. J., 1968, 1J51, 431.

345. Stewart J.M. ITon-equilibrium processes in the early Universe. Ifion. Not. Roy. Astr. Soc., 1969, 347.

346. MacCallum M.A.H., Stewart J.M., Schmidt B.G. Anisotropic stresses in homogeneous cosmologies. Commun. Math. Phys.,1970, 17» 343.- V

347. Берестецкий Б.Б., Лифшиц E.M., Питаевский I.П. Релятивист-свая квантовая теория, ч.1. М.: Наука, 1967.

348. Pock V., Iwanenko D. Zur Quantengeometrie. Phys. Zs.,1929, 20, 648.

349. Pock V., Iwanenko D. Geometrie quantique lineaire et de-placement parallele. Compt. Rend. Acad. Sci., 1929, 188. 1470.

350. Vock V.A. Geometrisierung des Diracshen theorie des electrons. Zs. Phys., 1929, 52, 261.

351. Дд.Уидер. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: ЕМ, 1962.

352. Brill D.R., Wheeler J.A. Interaction of neutrinos and gravitational fields. Rev. Mat. Phys., 1957, 2£, 465.Перевод: "Новейшие проблемы гравитации". М.: ШЛ, 1957, стр.465.

353. Brill D.R., Cohen J.M. Cartan frames and the general relativistic Dirac equation. J. Math. Phys., 1966, 2t 238.

354. Мицкевич H.B. Физические поля в общей теории относительности. М.: Наука, 1969.

355. Голубятников А.Н. Модель нейтрино в ОТО с группами движений на V% . ДАН, 1970, 192, 55.

356. Audretech J., Graf W. Neutrino radiation in gravitational fields. Commun. Math. Phys., 1970, 315.

357. Griffiths J.B. Some physical properties of neitrino-gravi-tational fields. Int. J. Theor. Phys., 1971, 5, 141.358* Wainwright J. Geometric properties of neutrino fields in curved space-time. J. Math, Phys., 1971» 12., 828.

358. Kuchowicz B. Neutrinos in general relativity: four levels of approach. Gen. Relat. and Gravit., 1974, 201.

359. Michalik Т.Н., Melvin M.A. Spatially homogeneous neutrino cosmologies ♦ J. Math. Phys., 1980, 2Л, 1952.

360. Henneaux M. Universe de Bianchi et champ spinoriels. Ann. Inst. Henri Poincare, 1981, АЗД, 329.

361. Dhurandhar S.V., Vishveshwara C.V., Cohen J.M; Neutrinosin perfect fluid spacetimes with local rotational symmetry. Phys. Rev., 1982, D26, 2598.

362. Лукаш B.H. Некоторые особенности эволюции однородных анизотропных космологических моделей. Астроном, ж., 1974, 51, 281.

363. Лукаш В.Н., Старобинский А.А. Изотропизация космологического расширения за счет эффекта рождения частиц. ЖЭТФ, 1974, 66, 1515.

364. Лукаш В.Н. Гравитационные волны, сохраняющие однородность пространства. ЖЭТФ, 1974, 67, 1594.

365. Грищук Л.П., Дорошкевич А.Г., Новиков И.Д. Анизотропия ранних стадий космологического расширения и реликтового излучения. ЖЭТФ, 1968, 55, 2281.

366. Shepley L.C. A cosmological model in v/hich "singularity" does not require a matter singularity. Phys. Lett., 1969, A28, 695.

367. Matzner R.A. The evolution of anisotropy in nonrotating Bianchi V cosmologies. Astroph. J., 1969, 157, 1085.

368. Рузмайкина Т.Б., Рузмайкин А.А. Эволюция космологической модели с вращением. ЯЭТФ, 1969, 56, 1742.

369. Курант P., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: ИЛЛ, 1950.

370. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч.2. М.: Физматгиз, 1963.

371. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: WUL, 1961.

372. Шикин И.С. Особенности динамики космологической модели У типа Бианки с движущейся материей. Тезисы докл.5.й Советской гравит. конф., Москва, 1981, стр.235.

373. Ozsvath I. Spatially homogeneous rotating world models. J. Math. Phys., 1971, 12, Ю78.

374. Demianski M., Grishchuk L. Homogeneous rotating universes with flat space. Commun. Math. Phys., 1972, J55, 2333.

375. Pennelly A.J. Expanding shearfree spatially homogeneous universes with a nonsynchronous time coordinate and ani-sotropy of the universe. J. Math. Phys., 1978, 19, 158.

376. Чернин А.Д. Гидродинамические движения и вакуумная стадия в анизотропной космологии. ДАН, 1972, 206, 62.

377. Рубан Б.А., Ушаков А.Ю., Чернин А.Д. Размыкание причинного горизонта частиц в анизотропных космологических сингу-лярностях. ЖЭТФ, 1981, 80, 816.

378. Шикин И.О. Однородные анизотропные модели со сдвигом в ньютоновской космологии. 1ЭТФ, 1970, 59, 182.

379. Шикин И.О. Аналоги однородных анизотропных моделей общей теории относительности в ньютоновской космологии. ЖЭТФ, 1971, 61, 445.

380. Milne Е.А. A newtonian expanding universe. Quart. J. Math. Oxford, 1934, 64.

381. MoCrea W.H., Milne E.A. Newtonian universes and the curvature of space. Quart. J. Math. Oxford, 1934, 73384. Bondi H. Cosmology. 2d ed. Cambridge, 1960.

382. Heckmann 0., Schucking E. Wewtonsche und Einsteinsche Kos-mologie. Handbuch der Physik, 1959, £3, 489. Перевод: Строение звездных систем. ИЛ, 1962, стр.600.

383. Heckmann О., Schucking Е. Bemerkungen zur Newtonschen Kos-mologie. I. Zs. Astrophysik, 1955, ^8, 95; II. 2s. Astro-physik, 1956, 40, 81.

384. Schucking E.L. Cosmology. In: Relativity Theory and Astrophysics. Lectures in Applied Mathematics. Amer. Math. Soc., 1967, 8, 218.

385. Зельманов А.Л. Нерелятивистский гравитационный парадокс и общая теория относительности. Научн. докл. высшей школы. Физ.-мат. науки, 1958, В 2, 124.

386. Зельманов А.Л. К постановке вопроса о бесконечности пространства в ОТО. ДАН, 1959, 134, 1030.

387. Новиков И.Д. Свойства кривизны сопутствующего пространства некоторых космологических моделей,рассматриваемых в квазиньютоновом приближении. Астроном, ж., 1961, 38, 961.

388. Зельдович Я.Б. Ньютоновское и эйнштейновское движения однородного вещества. Астроном, ж., 1964, 41, 873.

389. Zagar P. Modelli anisotropi nella cosmologia newtoniana. Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. CI. Sci. fie., mat. e natur., 1955, 18, 452.

390. Davidson V/., Evans A.B. Newtonian universes with shear. Commun. R. Soc. Edinburg, 1977, 10, 123.

391. Evans A.B. Correlation of Newtonian and relativistic cosmology. Mon. Not. Roy. Astr. Soc., 1978, 18^, 727.

392. Kubo M. Perfect fluid expanding with both vorticity and shear. Publ. Astron. Soc. Japan, 1978, Д0, 327.

393. Шикин И.С. 0 специфике задачи движения с однородной деформацией в ньютоновском самосогласованном гравитационном поле. Тезисы докл. научн. конф. Института механики МГУ, Изд-во МГУ, 1970, стр.69.

394. Raychaudhuri A. Relativistic and Newtonian cosmology. Zs. Astrophysik, 1957, £2, 161♦

395. Misner C.W. Mixjmaster universe. Phys. Rev. Lett., 1969, 22, 1071;

396. Quantum cosmology. I. Phys. Rev., 1969, 186, 1319.

397. Бежнский Б.А., Халатников И.М. К вопросу о характере особенностей в общих решениях уравнений гравитации. ЖЭТФ, 1969, 56, 1700.

398. Белинский Б.А., Халатников И.М. Общее решение уравнений гравитации с физической особенностью. ЖЭТФ, 1969, 57, 2163.

399. Лифшиц Е.М., Лифшиц И.М., Халатников И.М. Асимптотический анализ колебательного режима приближения к особой точкев однородных космологических моделях. ЖЭТФ, 1970, 59, 322.

400. Белинский В.А., Лифшиц Е.М., ХалатникоЕ И.М. Колебательный режима приближения к особой точке в релятивистской космологии. УФН, 1970, 102, 463.

401. Белинский Б.А., Лифшиц Е.М., Халатников И.М. Колебательный режим приближения к особой точке в однородных космологических моделях с вращением осей. ЖЭТФ, 1971, 60, 1969.

402. Бежнский В.А., Лифшиц Е.М., Халатников И.М. 0 построении общего космологического решения уравнений Эйнштейна с особенностью по времени. ЖЭТФ, 1972, 62, 1606.

403. Ryan М.Р., Jr. General form of the Einstein equations fora Bianchi type IX universe. J. Math. Phys., 1969, 10, 1724.

404. Matzner R.A. Rotation in closed perfect-fluid cosmologies. J. Math. Phys., 1970, 1J» 2432.

405. Matzner R.A., Shepley L.C., Warren J.B. Dynamics of S0(3,R>-homogeneous cosmologies. Ann. Phys., 1970, J57, 401*

406. Matzner R.A. Collisionless radiation in closed cosmologies. Commim. Math. Phys., 1971, 20, 1.

407. Дорошкевич А.Г., Новиков И.Д. Модель перемешанного мира и космологическая проблема. Астроном, ж., 1970, 47, 948.

408. Дорошкевич А.Г., Лукаш Б.Н., Новиков И.Д. О невозможности перемешивания в космологической модели IX типа Бианки. ЖЭТФ, 1971, 60, 1201.

409. Грищук Л.П., Дорошкевич А.Г., Лукаш Б.Н. Модель "перемешанного мира" с произвольно движущимся веществом. ЖЭТФ, 1971, 61, 3.

410. Barrow J.D. Chaotic behaviour in general relativity. Phys. Rep., 1982, 85, 1.

411. Chernoff D.F., Barrow J.D. Chaos in the mixmaster universe. Phys. Rev. Lett., 1983, £0, 134.

412. Лифшиц Е.М., Халатников И.М., Синай Я.Г., Ханин К.М., Щур А.Н. О стохастических свойствах релятивистских космологических моделей вблизи особой точки. Письма ЖЭТФ, 1983, 38, 79.- т

413. Рис Л. Кривая зависимости давления р от поперечного магнитного поля к, за фронтом МГД ударной волны при ультрарелятивистском уравнении состояния е—"5р. быстрая ударная волна, Sмедленная ударная волна.

414. Рис.2. Поля интегральных кривых уравнения (14.44) на плоскости • а) 0 ; б) 5^0 ,выражения (14.47).

415. Рис.3, Поля интегральных кривых уравнения для ty'/to (15.526), (15.52а). а) Значения l^V+bjb , б) Значения

416. Рис.4. Картина интегральных кривых уравнения (16.21) для пылевидной среды

417. Рис.5. Картина интегральных кривых уравнения (16.21) для среды с ультрарелятивистским уравнением состояния (}(=4.|з).мv \1. V А1. Ш1. Jiy-l г-11. Л/Лi

418. Рис.7. Поле интегральных кривых уравнения (17.10) при 1,- ж

419. Рис.8. Поле интегральных кривых уравнения (17.10) при ультрарелятивистском уравнении состояния У-4/5. Показана прямая АС (17.31).

420. Рис.9. Поле интегральных кривых уравнения (17.10) при . При имеемпри ? Z-0 при Ц)о>0.

421. Рис.10. Поля интегральных кривых уравнения (17.10) при различных & в интервале Индекс I относится к интервалу UY+ индекс 2 к интервалу б/^Г^/з , индекс 3 -к интервалу .Имеем j) - D ~ - ЬУ/А,1. Б точках ^ = имеем 0, .