Равновесные осесимметричные конфигурации в ОТО и в теории потенциала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Манько, Владимир Семенович

• Манько, Владимир Семенович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Манько, Владимир Семенович

Введение

1 Основные уравнения и метод генерирования точных решений

1.1 Метрика стационарного осесимметричного гравитационного поля и формализм Эрнста.

1.2 Матричная запись уравнений поля и соответствующая линейная переопределенная система.

1.3 Метод Сибгатуллина построения точных решений уравнений электровакуума.

2 Равновесные состояния в солитонных решениях

2.1 Расширенное 2Лг- солитонное решение электровакуума и осесимметричные конфигурации N черных дыр Керра-Ньюмена

2.2 Решения, симметричные и антисимметричные относительно экваториальной плоскости.

2.3 Вакуумное солитонное решение: канонический вид, мультипольная структура и ее связь с данными на оси симметрии.

2.4 Двойное решение Керра в аналитически расширенном виде и условия равновесия двух керровских частиц.

2.5 ' Общее аналитическое решение задачи равновесия в двойном решении Керра. Комаровские массы и угловые моменты в равновесных конфигурациях.

2.6 Невозможность равновесия двух керровских черных дыр. Общий закон равновесия, связывающий массы и угловые моменты с координатным расстоянием.

3 Примеры равновесных конфигураций

3.1 Частные равновесные состояния в двойном решении Керра.

3.2 Равновесие двух статических заряженных масс.

3.3 Закон взаимодействия двух сферических заряженных масс в ОТО

3.4 Равновесные конфигурации двух вращающихся заряженных масс.

3.5 Равновесие в бинарной системе, имеющей одну экстремальную компоненту.

Н" л <Х^

4 Сравнительный анализ точных и приближенных осесимметричных решений в ОТО

4.1 Трудности сравнения точных и приближенных решений.

Возможные пути их преодоления.

4.2 Построение точного аналога приближенного решения по данным на оси симметрии.

4.3 Генерирование приближенных решений из точных на примере двойного решения Керра.

4.4 Связь параметров приближенных решений с комаровскими величинами

5 Равновесные распределения массы в самогравитирующих галактических дисках

5.1 Задача восстановления распределения поверхностной плотности массы в тонком галактическом диске по известной кривой вращения.

5.2 Самогравитирующие бесконечные диски с черной дырой в центре.

5.3 Самогравитирующие конечные диски и обобщение интегральной формулы Томре.

5.4 О верхнем пределе для массы и радиуса диска и об эффекте накопления вещества во внешней части диска при продолжении плоской кривой вращения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равновесные осесимметричные конфигурации в ОТО и в теории потенциала»

Существенный прогресс в области точных стационарных осесим-метричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, позволивший приступить к анализу сложных многокомпонентных систем и описанию полей реальных астрофизических объектов, связан с развитием в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого столетия различных генерационных методов, основанных на результатах углубленного изучения внутренних симметрий полевых уравнений. Это современное направление точных решений развивалось разными исследовательскими коллективами, разрабатывавшими в основном четыре различных подхода.

Теорико-групповой метод, с помощью которого можно генерировать метрики, содержащие произвольное число параметров, был разработан Киннерсли [125], а затем развит в работах Киннерсли и Читра [128, 129, 130, 131]. Главные достижения этого подхода связаны с отысканием группы преобразований симметрии для уравнения Эрнста [78], известных под названием преобразований Хоэнселарса-Киннерсли-Ксантопулоса (ХКК) [114]; с их помощью был построен ряд асимптотически плоских стационарных вакуумных метрик, не имеющих, правда, шварцшильдовского предела [75, 76, 115, 110, 113, 234], а также одно электростатическое решение [111], переходящее в метрику Шварцшильда при равенстве нулю электрического поля. В работах [204, 205] ц ^

Кеведо и Машхун использовали преобразования ХКК для описания внешнего поля деформированной вращающейся массы, однако полученная ими метрика имеет в общем случае очень громоздкий вид из-за неудачного выбора статического "затравочного" решения (несколько более элегантные решения данного типа даны в [57, 58]).

Второе направление развивалось на пути применения к уравнениям Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла метода обратной задачи рассеяния. В основополагающих работах Белинского и Захарова [5, 6] данным методом было найдено получившее широкую известность статическое jV-солитонное решение, подробный анализ которого выполнен в [4]. Явная детерминантная форма вакуумных солитонных решений была получена Алексеевым [2], который успешно применил солитонную технику также и к уравнениям Эйнштейна-Максвелла, построив, в частности, метрику, описывающую нелинейную суперпозицию N суперэкстремальных источников Керра-Ныомена, расположенных на оси симметрии [1]. Метод обратной задачи рассеяния взят на вооружение представителями различных гравитационных школ [70, 90, 117, 219], а подробно его историю и новейшие достижения можно найти в монографии [36].

Третий подход использует для генерирования точных решений преобразования Бэклунда, существование которых для случая стационарных осесимметричных вакуумных полей было показано Харрисоном [100] и Нойгебауэром [185]. Преобразования Бэклунда, теория которых получила дальнейшее развитие в работах [141, 186, 188], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [187]. Наиболее известный результат, полученный данным методом - решение Крамера-Нойгебауэра [139], описывающее нелинейную суперпозицию двух черных дыр Керра, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено Ямазаки на случай N субэкстремальных керрровских источников [235], который сумел также найти явный вид соответствующих метрических функций, что существенно облегчает анализ возможности равновесных конфигураций. В работах [133, 140, 190] данная техника генерирования была распространена на уравнения Эйнштейна-Максвелла. Особо стоит отметить статью Крамера [134], в которой получен вариант суперпозиции решения Керра [121] с решением, описывающим поле безмассового магнитного диполя; однако, в этом решении невозможен переход к статическому случаю, что существенно ограничивает его физическую значимость. Физически важным результатом, полученным в вакуумном случае Нойгебауэром и Майнелем, является глобальное решение для внутреннего и внешнего гравитационного поля бесконечно тонкого самогравитирующего диска с твердотельным вращением [191, 192, 193].

Важное место в теории и приложениях генерационных методов принадлежит формализму Хаузера и Эрнста, который был развит в ряде работ сначала для случая вакуумных полей [101, 103], а затем и для полей электровакуума [102, 104]. В этом четвертом направлении генерационная техника Киннерсли-Читра была записана на языке теории функций комплексной переменной, а само получение новых решений из старых сведено к решению или линейного матричного интегрального уравнения типа Коши, или эквивалентной ему краевой задачи Римана (в литературе последняя известна также под названием однородной проблемы Гильберта). Несмотря на то, что Хаузеру и Эрнсту с сотрудниками удалось в основном лишь повторить уже известные результаты, полученные другими методами, или построить суперэкстремальные электровакуумные поля [91, 65], очень важным достижением явилось доказательство гипотезы Героча [89] для вакуумного случая [105]. Отметим, что Герочем была обнаружена бесконечнопараметри-ческая группа преобразований симметрии [88] для стационарных осе-симметричных гравитационных полей, и в [89] он высказал гипотезу о возможности получения произвольного асимптотически плоского решения из пространства Минковского путем надлежащего преобразования из группы. Работа Хаузера и Эрнста [105] дала строгое обоснование возможности построения решений с произвольной мультипольной структурой и стимулировала разработку конкретных способов реализации этой возможности.

Взаимозависимость всех четырех вышеперечисленных подходов к генерированию полей вакуума и электровакуума, а также их принципиальная математическая эквивалентность, была установлена и детально проанализирована в работах [66, 67, 68, 133].

Среди решений, представляющих несомненный физический интерес и построенных генерационными методами несколько позднее, когда конкретное приложение методов генерирования наполнилось большим физическим содержанием, можно отметить результаты применения простых суперпозиционных соотношений [93] к описанию асимптотически плоского поля массивного магнитного или электрического диполя, имеющего шварцшильдовский вакуумный предел [92, 94, 97, 10], [147, 150, 28, 11]; некоторые из этих решений были затем обобщены на случай произвольно деформированной осесимметричной намагниченной массы [195, 156]. К безусловным достижениям следует отнести также и построение новых стационарных обобщений решения Шварц-шильда как в чисто вакуумном случае [96, 59, 18, 63, 108], так и в случае электровакуума [95, 12, 13, 213, 73, 61, 17], которые отличаются соответственно от полей Керра [121] и Керра-Ныомена [194]. Элегантные обобщения этих решений, включая метрики Керра и Керра-Ньюмена, на случай бесконечного набора массовых мультипольных моментов были получены в работах [148, 60, 151, 164, 49, 50], благодаря представлению общего статического асимптотически плоского вакуумного решения в виде [149]. Различные аспекты теории черных дыр, включая квантовые, подробно освещены в монографиях [20, 7].

Важно отметить, что среди перечисленных выше решений нет ни одного, которое бы содержало три произвольных параметра, описывающих массу, угловой момент вращения и магнитный дипольный момент, обладало псевдоевклидовой асимптотикой и переходило, скажем, в субэкстремальное решение Керра (т2 > а2) при отсутствии магнитного поля (известны магнитные обобщения решений Керра и Керра-Ньюмена [83, 85], но они не являются асимптотически плоскими, а уже упоминавшееся решение Крамера [134] не допускает предельного перехода к случаю черной дыры). Впервые решение такого вида удалось построить только с помощью метода Сибгатуллина, который вполне справедливо можно назвать наиболее эффективным подходом к генерированию полей Эйнштейна-Максвелла.

Этот метод был разработан в статьях [22, 23] и подробно описан в монографии [24]. Н.Р.Сибгатуллин сумел творчески развить идеи

Хаузера и Эрнста и пойти дальше: он нашел общий вид матричной функции, осуществляющей перевод известного решения в любое новое решение полевых уравнений, и сумел связать параметры группового преобразования с произвольными данными на оси симметрии (в форме комплексных потенциалов Эрнста [78, 79]). Взяв в качестве "затравочного" решения метрику Минковского, он свел задачу построения стационарных электровакуумных осесимметричных решений, регулярных на каком-нибудь участке оси симметрии, к решению линейного сингулярного (нематричного) интегрального уравнения, что позволило ему выписать формальное общее решение электровакуума в виде отношения определителей с бесконечным числом строк и столбцов [23].

В силу своей общности и рациональности, интегральный метод Си-бгатуллина позволил получить многочисленные принципиально новые результаты, которые в течение длительного времени не удавалось получить другими генерационными техниками. В первую очередь это касается описания внешнего поля вращающихся намагниченных компактных источников; в работах [179, 177, 178, 180] впервые были построены асимптотически плоские стационарные электровакуумные решения, содержащие произвольные параметры вращательного углового и магнитного дипольного моментов и допускающие предельный переход к метрике Шварцшильда [211]. Решения, включающие дополнительный массовый квадрупольный параметр и поэтому пригодные для описания внешних полей нейтронных звезд, получены в статьях [29, 157, 158, 163, 176]; их физическая интерпретация подтверждена недавними работами, в которых исследуется возможность сшивания внешних и внутренних решений для нейтронных звезд численными методами [27, 217, 37].

Интерес представляют и другие новые решения, например, вакуумная метрика для дифференциально вращающейся массы [109], простейшие асимптотически плоские магнитные обобщения решений Кер-ра и Керра-Ньюмена [152, 153], магнитные обобщения известного стационарного решения Томимацу-Сато с параметром деформации 5 = 2 [224] в рациональных функциях [165, 145, 146], переходящее в отсутствие вращения в метрику Боннора [42], решение для намагниченного вращающегося диска [214]. Некоторые важные аспекты метода Сиб-гатуллина, связанные с построением метрических функций, были развиты в обзорной статье [181], а отличительные особенности метода, особенно в части построения решений в аналитически расширенном виде, обсуждались в [154]. Формальное обобщение метода Сибгатул-лина на случай двух разрезов в плоскости аналитического параметра с целью построения решений для гравитационных и электромагнитных волн, полностью сингулярных на оси симметрии, было приведено Алексеевым [3] (см. также [31, 32]).

Построение с помощью интегральных уравнений Сибгатуллина 2И-солитонного решения в аналитически расширенном виде [208, 209] способствовало разрешению кризиса, имевшему место в области генерационных методов из-за вынужденного получения другими авторами электровакуумных солитонных решений исключительно в суперэкстремальном виде [1, 190]; кроме того, это решение позволило приступить к рассмотрению задачи равновесия в смешанных системах, состоящих из нескольких суб- и суперэкстремальных компонент, которые раньше были в принципе недоступны для анализа из-за ограниченных возможностей "несибгатуллинских" подходов к генерированию полей электровакуума.

Интерес исследователей к точным решениям уравнений Эйнштейна-Максвелла, описывающим системы нескольких тел, наблюдается с самого начала создания ОТО. В известной работе работе Вейля [232] был получен электростатический класс решений, который описывает систему заряженных массивных источников и представляет в частном случае равенства квадратов масс и квадратов зарядов равновесные конфигурации Маджумдара-Папапетру [144, 198], состоящие из экстремальных источников Райсснера-Нордстрема [207, 196]. В статическом вакуумном случае суперпозиция двух решений Шварцшильда была построена Бахом и Вейлем [34], которые в частности обратили внимание на существование подпорки между двумя источниками, компенсирующей силу гравитационного притяжения шварцшильдовских масс. Результат Баха и Вейля был обобщен в работе Израэля и Хана [119] на случай N источников; было показано, что независимо от знака массы две шварцшильдовские частицы не могут находиться в равновесии, а в случае трех частиц, расположенных на оси симметрии, равновесие возможно, когда по крайней мере одна компонента имеет отрицательную массу. Заметим, что решение Израэля-Хана является частным случаем статической солитонной метрики Белинского-Захарова [6]. Статические системы двух частиц Шази-Керзона [64, 69] были рассмотрены в [64], и в них также присутствует подпорка, физические особенности которой проанализированы в работе [118].

Как уже было сказано, в электростатическом вейлевском решении равновесные конфигурации возможны лишь в очень специальном случае, когда заряды по модулю равны массам частиц = Мг-). Вопрос же о существовании более общих условий равновесия заряженных частиц долгое время был доступен исследованию только приближенными методами, причем в трех известных таких работах, посвященных равновесию в бинарных электростатических системах [35, 123, 44], были получены различные условия равновесия: в первых двух работах, в которых применялись, соответственно, пост-ньютоновское и постпост-ньютоновское приближения, в качестве условий равновесия служили в каждом случае классическое условие (М1М2 = (^1(^2) и одно дополнительное соотношение между массами и зарядами, не зависящие от расстояния между частицами; в третьей же работе из рассмотрения уравнения движения пробной заряженной частицы в поле Райсснера-Нордстрема был сделан вывод о том, что условие равновесия, справедливое в классической теории, не является необходимым или достаточным в ОТО, а сами равновесные состояния могут зависеть от расстояния. Точное решенение для двух субэкстремальных заряженных источников было предложено Крамером [136], однако оно не описывает систему черных дыр Райсснера-Нордстрема, и из-за несферичности источников условие равновесия в нем не зависит от расстояния. Равновесные состояния в бинарной системе источников Райсснера-Нордстрема были изучены в работе [201] с помощью решения [62, 160], построенного методом Сибгатуллина, а также более подробно в статье [52], подтвердив правильность результатов Боинора, полученных приближенным методом [44].

Равновесные состояния заряженных вращающихся частиц были получены в случае специального класса конформно-стационарных метрик [200, 120], представляющих собой суперпозицию N источников Керра-Ныомена, у которых заряды по модулю равны массам {М{ = г = 1,.Л0, а угловые моменты параллельны или антипараллель-ны оси симметрии. Для анализа возможности равновесия произвольных масс Керра-Ныомена требуется аналитически расширенное 2Ы-солитонное электровакуумное решение [208, 209]; для двухчастичных систем с осевой симметрией можно использовать различные записи четырехсолитонного решения (двойное решение Керра-Ньюмена) [62, 160, 161], а также более специализированные решения [162, 51]. В работе [51] было доказано, что две антисимметричные частицы Керра-Ньюмена могут находиться в равновесии только в специальном (конформно-стационарном) случае равенства масс и квадратов зарядов источников. Две суперэкстремальные массы Керра-Ньюмена с параллельными угловыми моментами имеют больше возможностей находиться в равновесии, чем с произвольно направленными моментами, при этом соотношения между зарядами и массами источников могут быть произвольными [162]. Равновесные состояния между суб-и суперэкстремальной компонентами Керра-Ныомена впервые были найдены в работе [53]. О возможности равновесия двух черных дыр Керра-Ньюмена с положительными массами было объявлено Бича-ком и Хоэнселарсом [38], хотя эти авторы и сделали оговорку о том, что в таких равновесных конфигурациях присутствует кольцевая особенность. Решение Бичака-Хоэнселарса независимо (и несколько ранее) было получено Томимацу [222], который, в отличие от предыдущих авторов, сделал вывод о невозможности равновесия черных дыр Керра-Ньюмена. Эта конфликтная ситуация была проанализирована в работе [162], результаты которой согласуются с выводом Томимацу, а также указывают на возможную причину ошибки Бичака и Хоэнселар-са. Справедливости ради следует все же отметить, что строгого доказательства отсутствия равновесных конфигураций субэкстремальных источников Керра-Ньюмена до настоящего времени дано еще не было.

В то время как равновесные состояния заряженных частиц в ОТО можно отнести к разряду явлений ожидаемых, т.к. они имеют аналогии в классической физике, равновесие незаряженных вращающихся источников, возможное из-за неныотоновской силы взаимодействия угловых моментов, которая при определенных условиях способна сбалансировать силу гравитационного притяжения - явление чисто релятивистское. Хотя гравимагнитное отталкивание и исследовалось с помощью приближения пробных частиц Уолдом [229], добиться равновесных состояний впервые удалось только в рамках точных решений. В известной работе Дитца и Хоэнселарса [75] с помощью преобразований ХКК было построено точное решение уравнения Эрнста [78], представляющее собой суперпозицию двух вращающихся источников Шази-Керзона; при определенных значениях параметров достигалось равновесие источников. Этот результат Дитца и Хоэнселарса был впоследствии обобщен на более сложный случай керзоновских частиц [107]. Больший интерес, тем не менее, представляют системы, состоящие из вращающих незаряженных черных дыр, и первое решение подобного типа, известное под названием двойного решения Керра, построили с помощью преобразований Бэклунда Крамер и Нойгебауэр

139]. Поиск равновесных состояний в двойном решении Керра велся многими авторами [197, 122, 223, 228, 220, 112, 77, 135, 159], но первая равновесная конфигурация была получена лишь после того, как Дитц и Хоэнселарс переписали субэкстремальное решение Крамера-Нойгебауэра для случая двух суперэкстремальных частиц с помощью простого математического приема - комплексного продолжения параметров - и перешли таким образом к рассмотрению равновесных суперэкстремальных систем. Высшим достижением Дитца и Хоэнсе-ларса является получение формулы равновесия двух одинаковых суперэкстремальных керровских источников [77], а также выдвижение гипотезы о невозможности равновесия двух черных дыр Керра, обладающих положительными массами [112].

Новый подход к двойному решению Керра стал возможен благодаря использованию метода Сибгатуллина, с помощью которого было построено 2ЛГ-солитонное вакуумное решение, в частном случае N = 2 представляющее собой расширенное двойное решение Керра. Последнее решение применимо к любому набору суб- и суперэкстремальных керровских частиц, что позволило получить универсальные формулы равновесия [175, 168] и дать строгое доказательство гипотезы Хоэнселарса об отсутствии равновесных конфигураций двух черных дыр Керра [167]. Более того, в [169] был установлен общий закон равновесия двух керровских объектов, связывающий массы и угловые моменты источников с расстоянием, на котором достигается равновесие. Несмотря на то, что равновесные конфигурации двух черных дыр Керра не существуют, равновесия пары субэкстремальных источников все-таки можно добиться, помещая между ними суперэкстремальный источник или даже третью черную дыру [174]. Также было установлено [106], что равновесные конфигурации четырех керровских частиц (и, по-видимому, любого другого четного числа компонент) аналогичны равновесным состояниям в двойном решении Керра.

Попытки воспроизвести приближенными методами известные точные результаты, полученные для двойного решения Керра, долгое время оставались безрезультатными. В этом отношении показательна работа Боннора [45], в которой автор, известный английский специалист в области точных и приближенных решений уравнений ОТО, претендует на описание произвольных бинарных систем вращающихся частиц, хотя в его приближенной схеме оказываются невозможными равновесные состояния. Дискуссия с Боннором (см., например, [46, 170, 172]) в конечном итоге привела не только к обнаружению скрытых дефектов работы [45], но и к разработке нового, универсального подхода к сравнению точных и приближенных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, что позволило, в частности, получить корректные приближенные аналоги двойного решения Керра с наличием равновесных конфигураций [171].

Основной целью данной диссертационной работы является построение расширенного многосолитонного электровакуумного решения и его применение для нахождения и описания равновесных конфигураций в стационарных осесимметричных системах двух тел, в частности, получение общего аналитического решения задачи равновесия двух керровских частиц. В небольшой части, отведенной ньютоновской теории потенциала, также ставится задача разработки общих методов восстановления поверхностной плотности в тонких галактических самогравитирующих дисках бесконечного и конечного радиусов. Большинство полученных оригинальных результатов является следствием творческого осмысления и дальнейшего развития интегрального метода Сибгатуллина. Важным составным элементом проводившихся математических выкладок было широкое использование современных компьютерных программ аналитических вычислений, таких как, например, МаЛетаМса 4 [233].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В первой главе в историческом контексте дается обзор развития методов генерации точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, начиная с формализма Эрнста и заканчивая интегральным методом Сибгатуллина построения решений по данным на оси симметрии. Во второй главе методом Сибгатуллина строится расширенная 2ЛГ-солитонная электровакуумная метрика, позволяющая в частности описывать систему N черных дыр Керра-Ньюмена, расположенных на оси симметрии. В случае отсутствия электромагнитного поля дается простая запись солитонного решения, а все входящие в него параметры выражаются через релятивистские мульти-польные моменты. Для бинарной системы керровских частиц находится общее решение равновесной задачи и в простом аналитическом виде выводится общий закон равновесия двух произвольных керровских компонент. Третья глава посвящена частным бинарным равновесным конфигурациям, составленным из керровских частиц, из частиц Райсснера-Нордстрема, из заряженных вращающихся источников Керра-Ныомена, а также из двух керровских частиц, одна из которых является экстремальным объектом. В четвертой главе разраба

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Манько, Владимир Семенович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в данной диссертационной работе:

1. Проведено последовательное рассмотрение метода Сибгатулли-на для случая стационарных осесимметричных полей Эйнштейна-Максвелла в его взаимосвязи с формализмами Эрста, Киннерсли и Хаузера-Эрнста. Обращено внимание на общность преобразования симметрии, используемого для вывода интегральных уравнений в этом подходе, что позволяет строить комплексные потенциалы Эрнста, задавая их вид на оси симметрии и выбирая в качестве параметров точного решения набор произвольных мультипольных моментов. Разработана процедура решения всех трех интегральных уравнений метода Сибгатуллина, что дает возможность в каждом конкретном случае полностью восстанавливать матричный потенциал и строить соответствующую недиагональную компоненту метрического интервала.

2. Впервые построено расширенное 2А^-солитонное электровакуумное решение, содержащее произвольных действительных параметров и имеющее простой аналитический вид в форме определителей. Оно позволяет описывать нелинейную суперпозицию N произвольных коллинеарных черных дыр Керра-Ньюмена и включает в себя как предельные частные случаи все известные классы асимптотически плоских стационарных решений, определяемых на оси симметрии рациональными функциями.

При выводе этого решения удалось существенно расширить возможности метода Сибгатуллина, который, как считалось ранее, был ограничен необходимостью решения алгебраического уравнения 2Ы-го порядка. В диссертации показано, что корни этого уравнения можно использовать как произвольные параметры решения, а само уравнение не решать.

Введено понятие экваториально антисимметричных решений и найдены условия, которым подчиняются потенциалы Эрнста и данные на оси симметрии экваториально симметричных и антисимметричных полей Эйнштейна-Максвелла.

3. Подробно изучена расширенная 27У-солитонная стационарная вакуумная метрика, для которой получено простое аналитическое представление, существенно упрощающее рассмотрение задачи равновесия вращающихся источников, причем последние могут быть произвольными комбинациями черных дыр и суперэкстремальных объектов. Впервые получены формулы, связывающие все параметры многосо-литонного решения с его мультипольными моментами, и дана параметризация выражения потенциала Эрнста на оси симметрии исключительно через произвольные мультипольные моменты.

4. Дано общее решение задачи равновесия в двойном решении Кер-ра, содержащее четыре произвольных действительных параметра. С помощью комаровских интегралов найдены аналитические выражения для массы и углового момента каждой из компонент системы. Доказана теорема о невозможности равновесия двух черных дыр Керра с положительными массами.

Установлен общий закон равновесия двух произвольных керровский частиц, который для любых произвольно задаваемых значений масс и угловых моментов частиц указывает координатное расстояние, на котором наступает равновесие из-за равенства силы гравитационного притяжения и отталкивающей силы взаимодействия угловых моментов.

5. Впервые получены и проанализированы конкретные физически значимые состояния равновесия между субэкстремальной и суперэкстремальной керровскими компонентами, между двумя неодинаковыми суперэкстремальными керровскими частицами, а также между субэкстремальным и суперэкстремальным заряженными вращающимися источниками. В электростатическом случае получены аналитические формулы, позволяющие вести поиск равновесных конфигураций произвольного числа коллинеарных источников Райсснера-Нордстрема; с их помощью найдены конкретные примеры равновесия между субэкстремальной и суперэкстремальной компонентами бинарной системы данного вида. Получена простая аналитическая формула для силы взаимодействия двух произвольных сферических заряженных масс в ОТО.

Построено точное решение для описания бинарной системы керров-ских частиц, из которых одна частица является экстремальной. Это решение позволило впервые продемонстрировать возможность равновесия экстремальной и неэкстремальной компонент, при этом физически допустимые равновесные состояния возможны только между экстремальной и суперэкстремальной компонентами, а в равновесных конфигурациях экстремальной и субэкстремальной компонент обязательно присутствует по меньшей мере одна отрицательная масса. Из рассмотрения бинарных систем с одной экстремальной компонентой сделано заключение о том, что известное равенство 1= М2, связывающее угловой момент и массу изолированной экстремальной черной дыры Керра, в присутствии других вращающихся источников не выполняется.

6. Разработан эффективный подход к сравнению точных и приближенных стационарных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, в основе которого лежит сравнительный анализ соответствующих потенциалов Эрнста на оси симметрии. Этот подход позволяет, с одной стороны, идентифицировать точное решение, являющееся аналогом конкретного приближенного решения, а с другой - генерировать приближенные решения из известных точных путем разложения по малым параметрам. В рамках разработанного формализма дана правильная интерпретация известного приближенного решения Боннора для двух вращающихся масс как описывающего очень специальную четырехкомпонентную систему вращающихся источников, а кроме того, получены приближенные аналоги двойного решения Керра, которые допускают равновесные конфигурации кер-ровских частиц.

7. В рамках ньютоновской теории потенциала развит метод восстановления поверхностной плотности в тонком самогравитирующем бесконечном диске с изолированной точечной массой в центре по известному распределению скорости вращения в диске. В этом методе плотность как функция радиуса находится с помощью двух последовательных квадратур, а массы диска и центрального тела - с помощью простых формул, требующих только однократного интегрирования. В качестве иллюстрации применения общих формул получены функции плотности для широкого класса кривых вращения, имеющих кепле-ровскую асимптотику. Показано существование верхнего предела для массы галактического диска при заданной массе черной дыры, причем масса диска существенным образом зависит от выбора кривой вращения и в принципе может превышать массу черной дыры во много раз.

8. Предложен новый метод решения задачи реконструкции распределения плотности в самогравитирующем диске конечного радиуса для произвольного гладкого распределения угловой скорости в диске. Общее решение проблемы представлено в виде двух простых квадратур, а для выражения полной массы диска дана компактная формула. Переход от двукратного интегрирования к однократному в общем решении позволил впервые получить интегральную формулу для поверхностной плотности, обобщающую известную формулу Томре для бесконечных дисков. С ее помощью в явном аналитическом виде найдено распределение плотности для новой кривой вращения, представляющей собой ломаную линию и таким образом включающей в себя два типа известных дисков Местеля.

Обнаружен новый физический феномен существования верхнего предела массы диска при конечном значении радиуса, который имеет место для широкого класса кривых вращения, аналитически продолженных в невидимую внешнюю область диска. Это позволяет в ряде случаев давать оценки верхнего предела галактической массы и внешнего радиуса галактики.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Манько, Владимир Семенович, 2008 год

1. Алексеев Г.А. iV-солитонные решения уравнений Эйштейна-Максвелла // Письма в ЖЭТФ.- 1980.- Т.32.- С.301-303.

2. Алексеев Г.А. О солитонных решениях уравнений Эйштейна в вакууме // ДАН СССР.- 1981,- Т.256 С.827-830.

3. Алексеев Г.А. Метод обратной задачи рассеяния и сингулярные интегральные уравнения для взаимодействующих безмассовых полей // ДАН СССР.- 1985.- Т.283.- С.577-582.

4. Алексеев Г.А., Белинский В.А. Статические гравитационные со-литоны // ЖЭТФ.- 1980.- Т.78 С.1297-1313.

5. Белинский В.А., Захаров В.Е. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений // ЖЭТФ.- 1978.- Т.75.- С.1953-1971.

6. Белинский В.А., Захаров В.Е. Стационарные гравитационные со-литоны с аксиальной симметрией // ЖЭТФ 1979 - Т.77.- С.З-19.

7. Гальцов Д.В. // Частицы и поля в окрестности черных дыр М.: Изд-во МГУ, 1986 - 288 с.

8. Гантмахер Ф.Р. // Теория матриц.- М.: Наука, 1967.- 576 с.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. // Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: Наука, 1971- 1108 с.

10. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C. Электровакуумное решение уравнений ОТО, имеющее шварцшильдовский предел // ЖЭТФ.-1989.- Т.95.- С. 1537-1540.

11. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Точное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для поля массивного магнитного диполя // Изв. вузов СССР, Физика- 1991- №1- С.120.

12. Денисова Т.Е., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Стационарное электровакуумное обобщение решения Шварцшильда, отличное от метрики Керра-Ныомена // Письма в ЖЭТФ.- 1991.- Т. 53-С.54-56.

13. Денисова Т.Е., Манько B.C., Шорохов С.Г. Об одном обобщении решения Керра-Ньюмена // Изв. вузов СССР, Физика.- 1991.-№11- С.119-120.

14. Кузмин Г.Г. Модель стационарной галактики, допускающая трехосное распределение скоростей // АЖ.- 1956 Т.ЗЗ.- С.27-45.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Теория поля.- М.: Наука, 1973504 с.

16. Манжиров A.B., Полянин А.Д. // Справочник по интегральным уравнениям.- М.: Факториал Пресс, 2000 384 с.

17. Манько B.C., Сибгатуллин Н.Р. Новое точное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для внешнего поля заряженной вращающейся массы // Вестник МГУ, сер. мат. мех.- 1995.- №5.-С.58-62.

18. Манько B.C., Хакимов Ш.А. Новое точное решение уравнений Эйнштейна для гравитационного поля стационарной осесиммет-ричной массы // Письма в ЖЭТФ- 1990 Т.51 - С.493-495.

19. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. // Гравитация. Т. 2 М.: Мир, 1977.- 525 с.

20. Новиков И.Д., Фролов В.П. // Физика черных дыр.- М.: Наука, 1986.- 328 с.

21. Поляченко B.JL, Фридман A.M. // Равновесие и устойчивость гравитирующих систем.- М.: Наука, 1976.- С.214.

22. Сибгатуллин Н.Р. Доказательство гипотезы Героча для электромагнитных и нейтринных полей в ОТО // ДАН СССР.- 1983.-Т.271, т.- С.603-607.

23. Сибгатуллин Н.Р. Построение общего решения системы уравнений Эйнштейна-Максвелла для стационарного осесимметрично-го случая // ДАН СССР.- 1984.- Т.278, №.- С.1098-1102.

24. Сибгатуллин Н.Р. // Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях М.: Наука, 1984 - 352 с.

25. Сибгатуллин Н.Р., Гарсия A.A., Манько B.C. О распределении плотности в массивных галактических дисках с черной дырой в центре // Письма в АЖ 2003.- Т.29 - С.88-94.

26. Сибгатуллин Н.Р., Гарсия А.А., Манько B.C. Кривые вращения и распределения массы в плоских самогравитирующих дисках // Письма в АЖ.- 2003.- Т.29 С.927-933.

27. Сибгатуллин Н.Р., Сюняев Р.А. Дисковая аккреция в гравитационном поле быстро вращающейся нейтронной звезды с враща-тельно индуцированным квадрупольным распределением массы // Письма в АЖ.- 1998,- Т.24 С.894-909.

28. Abramyan S.M., Gutsunaev Ts.I. A class of asymptotically flat solutions of the static Einstein-Maxwell equations // Phys. Lett. A.- 1990.- V.144 P.437-439.

29. Aguirregabiria J.M., Chamorro A., Manko V.S., Sibgatullin N.R. Exterior gravitational field of a magnetized spinning source possessing an arbitrary mass-quadrupole moment // Phys. Rev. D.-1993.- V.48 P.622-627.

30. Alekseev G.A., Belinski V.A. Equilibrium configurations of two charged masses in general relativity / / Phys. Rev. D- 2007.- V.76-P.021501(R).

31. Alekseev G.A., Garcia A.A. Schwarzschild black hole immersed in a inhomogeneous electromagnetic field // Phys. Rev. D.-1996.—V.53.-P. 1853-1867.

32. Alekseev G.A., Griffiths J.B. Infinite hierarchies of exact solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell equations for interacting waves and inhomogeneous cosmologies // Phys. Rev. Lett.- 2000.— V-84 — P.5247-5250.

33. Babcock H.W. The rotation of the Andromeda nebula // Lick Obs. Bull.- 1939.- V.498 P.41-51.

34. Bach R., Weyl H. Neue Lôsungen der Einsteinschen Gravitation-sdleichungen // Math. Z.- 1922.-V.13.- P.134-145.

35. Barker B.M., O'Connell R.F. Conditions for static balance for post-Newtonian two-body problem with electric charge in general relativity // Phys. Lett. A 1977.- V.61- P.297-298.

36. Belinskii V.A., Verdaguer E. // Gravitational Solitons Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001.

37. Berti E., Stergioulas N., Approximate matching of analytic and numerical solutions for rapidly rotating neutron stars // M.N.R.A.S.- 2004,- V.350.- P.1416-1430.

38. Bicâk J., Hoenselaers C. Two equal Kerr-Newman sources in stationary equilibrium // Phys. Rev. D 1985.- V.31 - P.2476-2479.

39. Binney J., Tremaine S. // Galactic Dynamics.- Princeton: Princeton Univ. Press, 1987.

40. Bonnor W.B. Static magnetic fields in general relativity // Proc. Phys. Soc. Lond. A.- 1954,- V.67 P.225-232.

41. Bonnor W.B. Exact solutions of the Einstein-Maxwell equations // Z. Phys.- 1961.- V.161- P.439-444.

42. Bonnor W.B. An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a magnetic dipole // Z. Phys.- 1966 V.190.- P.444-445.

43. Bonnor W.B. Dragging of inertial frames by a charged magnetic dipole // Phys. Lett. A.- 1991.- V.158 P.23-26.

44. Bonnor W.B. The equilibrium of a charged test particle in the field of a spherical charged mass in general relativity // Class. Quantum Grav.- 1993.- V.10.- P.2077-2082.

45. Bonnor W.B. The interactions between two classical spinning particles // Class. Quantum Grav.- 2001.- V.18 P.1381-1388.

46. Bonnor W.B. Comment on 'A remark on the mass-angular-momentum relation in the double-Kerr solution' // Class. Quantum Grav.- 2003.- V.20.- P. 1411-1412.

47. Brandt J.C. On the distribution of mass in galaxies. I. The large-scale structure of ordinary spirals with applications to M31 // Astrophys. J.- I960,- V.131.- P.293-303.

48. Brandt J.C., Belton M.J.S. On the distribution of mass in galaxies. III. Surface densities // Astrophys. J.- 1962.- V.136 P.352-358.

49. Bretón N., Denisova T.E., Manko V.S. A Kerr black hole in the external gravitational field // Phys. Lett. A 1997 - V.230 - P.7-11.

50. Bretón N., García A.A., Manko V.S., Denisova T.E. Arbitrarily deformed Kerr-Newman black hole in an external gravitational field // Phys. Rev. D 1998.- V.57.- P.3382-3388.

51. Bretón N., Manko V.S. A binary system of 'antisymmetric' Kerr-Newman masses // Class. Quantum Grav- 1995- V.12 P.1969-1975.

52. Breton N., Manko V.S., Aguilar-Sânchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: the electrostatic case // Class. Quantum Grav.- 1998.- V.15 P.3071-3083.

53. Breton N., Manko V.S., Aguilar-Sânchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: II. The stationary electrovacuum case // Class. Quantum Grav.- 1999.- V.16- P.3725-3734.

54. Burbidge E.M., Burbidge G.R., Prendergast K.H. The rotation, mass distribution, and mass of NGC 5055 // Astrophys. J.- I960 -V.131-P. 282-292.

55. Burbidge E.M., Burbidge G.R. The masses of galaxies // In: Stars and Stellar Systems IX: Galaxies and the Universe (ed. by A. Sandage, M. Sandage and J. Kristian).- Univ. of Chicago Press, 1975.- P.81.

56. Burstein D., Rubin V.C. The distribution of mass in spiral galaxies // Astrophys. J.- 1985.- V.297 P.423-435.

57. Castejôn-Amenedo J., Manko V.S. On a stationary mass with an arbitrary multipole structure // Class. Quantum Grav.- 1990 V.7.— P.779-785.

58. Castejôn-Amenedo J., Manko V.S. Superposition of the Kerr metric with the generalized Erez-Rosen solution // Phys. Rev. D.- 1990.— V.41- P.2018-2020.

59. Castejôn-Amenedo J., MacCallum M.A.H., Manko V.S. On an axisymmetric solution of the vacuum Einstein equations for astationary rotating mass // Class. Quantum Grav.- 1989.- V.6.-P.L211-L215.

60. Chamorro A., Manko V.S., Denisova T.E. New exact solution for the exterior gravitational field of a charged spinning mass // Phys. Rev. D.- 1991.- V.44 P.3147-3151.

61. Chamorro A., Manko V.S., Denisova T.E. Exterior gravitational field of a charged magnetized axisymmetric mass // Nuovo Cim. B-1993.- V.108 P.905-909.

62. Chamorro A., Manko V.S., Sibgatullin N.R. The superposition of two Kerr-Newman solutions // Lecture Notes Phys 1993.-V.423.-P. 119-122.

63. Chamorro A., Manko V.S., Suinaga J. New exact solution of the Einstein equations for a spinning mass // Nuovo Cim. B 1993.-V.108 - P.717-719.

64. Chazy J. Sur le champ de gravitation de deux mass // Bull. Soc. Math. Prance.- 1924.- V.52.- P. 17-38.

65. Chen Y., Guo D.S., Ernst F.J. Charged spinning mass field involving rational functions //J. Math. Phys.- 1983,- V.24.- P. 1564-1567.

66. Cosgrove C.M. Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions // J. Math. Phys 1980 - V.21- P.2417-2447.

67. Cosgrove C.M. Backlund transformations in the Hauser-Ernst formalism for stationary axisymmetric spacetimes //J. Math. Phys.1981.- V.22 P.2624-2639.

68. Cosgrove C.M. Relationship between the inverse scattering techniques of Belinskii-Zakharov and Hauser-Ernst in general relativity // J. Math. Phys.- 1980.- V.22.- P.615-633.

69. Curzon H.E.J. Cylindrical solutions of Einstein's gravitational equations // Proc. Lond. Math. Soc 1924.- V.23 - P.477-480.

70. Das K.S. Odd-soliton solutions of the Einstein's equations in a vacuum // Phys. Rev. D 1985.- V.31- P.927-928.

71. De Vaucouleurs G. General physical properties of external galaxies // Handbuch der Physik.- 1959.- V.53 P.311.

72. De Vaucouleurs G., Freeman K.C. Structure and dynamics of barred spiral galaxies, in particular of the Magellanic type // Vistas in Astronomy.- 1972,- V.14 P. 163-294.

73. Denisova T.E., Manko V.S. Exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a charged spinning mass // Class. Quantum Grav.- 1992.- V.9.- P.L57-L60.

74. Dietz W.New representations of the HKX transformations by means of determinants // Gen. Relativ. Grav.- 1983.- V.14 P.911-918.

75. Dietz W., Hoenselaers C. Stationary system of two masses kept apart by their gravitational spin-spin interaction // Phys. Rev. Lett.—1982.- V.48 P.778-780.

76. Dietz W., Hoenselaers C. A new class of bipolar vacuum gravitational fields // Proc. Roy. Soc. Lond. A.- 1982.- V.382 P.221-229.

77. Dietz W., Hoenselaers C. Two mass solutions of Einstein's vacuum equations: The double Kerr solution // Ann. Phys. (NY)- 1989-V.30 P.2252-2257.

78. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem // Phys. Rev.- 1968.- V.167.- P. 1175-1178.

79. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II. // Phys. Rev.- 1968.- V.168 P. 1145-1417.

80. Ernst F.J. Determining parameters of the Neugebauer family of vacuum spacetimes in terms of data specified on the symmetry axis // Phys. Rev. D 1994.- V.50 - P.4993-4999.

81. Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes // Class. Quantum Grav.- 2006,- V.23.-P.4945-4952.

82. Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes: II // Class. Quantum Grav.- 2007,- V.24.-P.2193-2203.

83. Ernst F.J., Wild W.J. Kerr black holes in a magnetic universe //J. Math. Phys.- 1976.- V.17 P. 182-184.

84. Fodor D., Hoenselaers C., Perjes Z. Multipole moments of axisymmetric systems in relativity //J. Math. Phys.- 1989.- V.30-P.2252-2257.

85. Garcia A.A. Magnetic generalization of the Kerr-Newman metric // J. Math. Phys.- 1985,- V.26 P.155-156.

86. Garcia A.A., Manko V.S., Sibgatullin N.R. New formulation of the theory of finite galactic disks // Gen. Relativ. Grav.- 2005.- V.37.-P.837-845.

87. Geroch R. Multipole moments. II. Curved space //J. Math. Phys.-1970.- V.U.- P.2580-2588.

88. Geroch R. A method for generating solutions of Einstein's equations //J. Math. Phys.- 1971,- V.12 P.918-924.

89. Geroch R. A method for generating solutions of Einstein's equations. II // J. Math. Phys.- 1972.- V.13 P.394-404.

90. Gleiser R.J. On the physical interpretation of some simple soliton solutions of Einstein's equations // Gen. Relativ. Grav- 1984.-V.16.- P. 1077-1094.

91. Guo D.S., Ernst F.J. Electrovac generalization of Neugebauer's N = 2 solution of the Einstein vacuum field equations //J. Math. Phys.— 1982.- V.23- P. 1359-1369.

92. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On the gravitational field of a mass possessing a magnetic dipole moment // Phys. Lett. A- 1987.— V.123 P.215-216.

93. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a family of solutions of the EinsteinMaxwell equations // Gen. Relativ. Grav.- 1988.- V.20 P.327-335.

94. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New static solutions of the EinsteinMaxwell equations // Phys. Lett. A 1988 - V.132 - P.85-87.

95. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New stationary electrovacuum generalizations of the Schwarzschild solution // Phys. Rev. D.-1989.- V.40.- P.2140-2141.

96. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a stationary generalization of the Schwarzschild solution // Class. Quantum Grav 1989 - V.6.-P.L137-L139.

97. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S., Elsgolts S.L. New exact solutions of the static Einstein-Maxwell equations // Class. Quantum Grav.-1989.- V.6.- P.L41-L44.

98. Hansen R.O. Multipole moments of stationary space-times // J. Math. Phys.- 1974.- V.15.- P.46-52.

99. Harrison B.K. New solutions from the Einstein-Maxwell equations from old // J. Math. Phys.- 1968.- V.9.- P.1744-1752.

100. Harrison B.K. Backlund transformation for the Ernst equation of general relativity // Phys. Rev. Lett.- 1978.- V.41- P. 1197-1200.

101. Hauser I., Ernst F.J. Integral equation method for effecting Kinnersley-Chitre transformations // Phys. Rev. D 1979 - V.20-P.362-369.

102. Hauser I., Ernst F.J. Integral equation method for effecting Kinnersley-Chitre transformations. II // Phys. Rev. D- 1979-V.20 P. 1783-1790.

103. Hauser I., Ernst F.J. A homogeneous Hilbert problem for the Kinnersley-Chitre transformations // J. Math. Phys- 1980-V.21-P. 1126-1140.

104. Hauser I., Ernst F.J. A homogeneous Hilbert problem for the Kinnersley-Chitre transformations of electrovac spacetimes //J. Math. Phys.- 1980.- V.21 P. 1418-1422.

105. Hauser I., Ernst F.J. Proof of a Geroch conjecture //J. Math. Phys.-1981.- V.22 P.1051-1063.

106. Hernández-Pastora J.L., Manko O.V., Manko V.S., Martín J., Ruiz. E. Equilibrium states in the quadruple-Kerr solution // Gen. Relativ. Grav.- 2004.- V.36 P.781-797.

107. Hernández-Pastora J.L., Manko V.S., Martín J. Some asymptotically flat generalizations of the Curzon metric //J. Math. Phys.- 1993-V.34 P.4760-4774.

108. Hernández-Pastora J.L., Manko V.S., Martín J., Ruiz E. A note on the factor structure of some non-rational vacuum metrics // Gen. Relativ. Grav.- 2000,- V.32 P.2131-2139.

109. Herrera L., Manko V.S. Stationary solution of the Einstein equations possessing zero total angular momentum // Phys. Lett. A.- 1992-V.167- P.238-242.

110. Hoenselaers C. On a new solution of Einstein's equations //J. Math. Phys.- 1980.- V.21.- P.2241-2245.

111. Hoenselaers C. A static solution of the Einstein-Maxwell equations // Prog. Theor. Phys.- 1982.- V.67 P.697-698.

112. Hoenselaers C. Remarks on the double-Kerr solution // Prog. Theor. Phys.- 1984.- V.72 P.761-767.

113. Hoenselaers C., Dietz W. The rank N HKX transformations: new stationary axisymmetric gravitational fields // Gen. Relativ. Grav-1984.- V.16.- P.71-78.

114. Hoenselaers C., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Generation of asymptotically flat, stationary space-times with any number of parameters // Phys. Rev. Lett.- 1979.- V.42 P.481-482.

115. Hoenselaers C., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. VI. Transformations which generate asymptotically flat spacetimes with arbitrary multipole moments // J. Math. Phys.- 1979.- V.20 P.2530-2536.

116. Hunter J.H., Ball R., Gottesman S.T. Exact solutions for a generalized Mestel disc, and for truncated Toomre discs // M.N.R.A.S.- 1984.- V.208 P. 1-14.

117. Ibânez J., Verdaguer E. Multisoliton solutions to Einstein's equations // Phys. Rev. D.- 1985,- V.31- P.251-257.

118. Israel W. Line sources in general relativity // Phys. Rev. D 1977.— V.15 - P.935-941.

119. Israel W., Khan K.A. Collinear particles and Bondi dipoles in general relativity // Nuovo Cim.- 1964.- V.33.- P.3611-3624.

120. Israel W., Wilson G.A. A class of stationary electromagnetic vacuum fields // J. Math. Phys.- 1972.- V.13 P.865-867.

121. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics // Phys. Rev. Lett.- 1963- V.ll.-P.237-238.

122. Kihara M., Tomimatsu A. Some properties of the symmetry axis in a superposition of two Kerr solutions // Prog. Theor. Phys.- 1982.-V.67 P.349-352.

123. Kimura T., Ohta T. On the conditions for static balance in the post-post-Newtonian approximation // Phys. Lett. A 1977.- V.63.-P. 193-195.

124. Kinnersley W. Generation of stationary Einstein-Maxwell fields // J. Math. Phys.- 1973.- V.14.- P.651-653.

125. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. I. // J. Math. Phys.- 1977,-V.18.- P.1529-1537.

126. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. VII. Charging transformations //J. Math. Phys.- 1980.-V.21- P.2231-2235.

127. Kinnersley W. Symmetries of the stationary axisymmetric vacuum Einstein which preserve asymptotic flatness // Class. Quantum Grav.- 1991.- V.8.- P.1011-1022. .

128. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell field equations. II. //J. Math. Phys.- 1977.- V.18.- P.1438-1542.

129. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell field equations. III. //J. Math. Phys- 1978.- V.19-P. 1926-1931.

130. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell field equations. IV. Transformations which preserve asymptotic flatness //J. Math. Phys.- 1978,- V.19.- P.2037-2042.

131. Kinnersley W., Chitre D.M. Group transformation that generates the Kerr and Tomimatsu-Sato metrics // Phys. Rev. Lett.- 1978.-V.40- P. 1608-1610.

132. Komar A. Covariant conservation laws in general relativity // Phys. Rev.- 1959.- V.113.- P.934-936.

133. Kramer D. Equivalence of various pseudopotential approaches for Einstein-Maxwell fields // J. Phys. A: Math. Gen.- 1982 V.15.-P.2201-2207.

134. Kramer D. Kerr solution endowed with magnetic dipole moment // Class. Quantum Grav.- 1984.- V.I.- P.L45-L50.

135. Kramer D. Two Kerr-NUT constituents in equilibrium // Gen. Relativ. Grav.- 1986,- V.18 P.497-509.

136. Kramer D. Two charged masses in equilibrium // Class. Quantum Grav.- 1988,- V.5.- P. 1435-1442.

137. Kramer D., Neugebauer G. Zu axialsymmetrischenstationaren Losungen der Einsteinschen Feldgleichungen fur das Vakuum // Commun. Math. Phys.- 1968.- V.10 P. 132-139.

138. Kramer D., Neugebauer G. Eine exakte Stationare Lösung der Einstein-Maxwell-Gleichungen // Ann. Physik- 1969- V.24-P. 59-61.

139. Kramer D., Neugebauer G. The superposition of two Kerr solutions // Phys. Lett. A.- 1980,- V.75.- P.259-261.

140. Kramer D., Neugebauer G. Prolongation structure and linear eigenvalue equations for Einstein-Maxwell fields //J. Phys. A: Math. Gen.- 1981.- V.14.- P.L333-L338.

141. Kramer D., Neugebauer G. Backlund transformations in general relativity // Lect. Notes Phys.- 1984 V.205.- P. 1-25.

142. Lemos J.P.S., Letelier P.S. Exact general relativistic thin disks around black holes // Phys. Rev. D.- 1994.- V.49.- P.5135-5143.

143. Lynden-Bell D. Galactic nuclei as collapsed old quasars // Nature.-1969.- V.223 P.690-694.

144. Majumdar S.D. A class of exact solutions of Einstein's field equations // Phys. Rev.- 1947.- V.72 P.390-398.

145. Manko O.V., Manko V.S., Sanabria-Gömez J.D. Charged, magnetized Tomimatsu-Sato Ö = 2 solution // Prog. Theor. Phys.-1998.- V.100- P.671-673.

146. Manko O.V., Manko V.S., Sanabria-Gömez J.D. Remarks on the charged, magnetized Tomimatsu-Sato 0 = 2 solution // Gen. Relativ. Grav.- 1999.- V.31.- P. 1539-1548.

147. Manko V.S. On a new static solution of the Einstein-Maxwell equations for a massive magnetic dipole // Phys. Lett. A.- 1989-V.141- P.249-250.

148. Manko V.S. New exact solution for the exterior field of a spinning mass // Phys. Rev. Lett.- 1990.- V.64 P.1625-1627.

149. Manko V.S. On the description of the external field of a static deformed mass // Class. Quantum Grav.- 1990 V.7.- P.L209-L211.

150. Manko V.S. New axially symmetric solutions of the EinsteinMaxwell equations // Gen. Relativ. Grav.- 1990 -V.22 P.799-809.

151. Manko V.S. The exterior field of a static and stationary mass with an arbitrary set of multipole moments // Gen. Relativ. Grav.- 1992-V.24 P.35-45.

152. Manko V.S. On the simplest magnetic generalization of the Kerr-Newman metric // Phys. Lett. A.- 1993.- V.181.- P.349-352.

153. Manko V.S. New generalization of the Kerr metric referring to a magnetized spinning mass // Class. Quantum Grav 1993.- V.10-P.L239-L242.

154. Manko V.S. Generating techniques and analytically extended solutions of the Einstein-Maxwell equations // Gen. Relativ. Grav-1999.- V.31- P.673-679.

155. Manko V.S. Double-Reissner-Nordstrom solution and the interaction force between two spherical charged masses in general relativity // Phys. Rev. D 2007,- V.76 - P.124032-1-6.

156. Manko V.S., Khakimov Sh.A. On the gravitational field of an arbitrary axisymmetric mass possessing a magnetic dipole moment // Phys. Lett. A.- 1991.- V.154 P.96-98.

157. Manko V.S., Martin J., Ruiz E., Sibgatullin N.R., Zaripov M.N. Metric of a rotating, charged, magnetized, deformed mass // Phys. Rev. D 1994.- V.49 - P.5144-5149.

158. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Metric of a rotating, charged, magnetized, deformed mass. II // Phys. Rev. D- 1994.- V.49-P.5150-5152.

159. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. On the simplest binary system of stationary black holes // Phys. Lett. A.- 1994,- V.196.- P.23-28.

160. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Metric of two arbitrary Kerr-Newman sources located on the symmetry axis //J. Math. Phys-1994,- V.35- P.6644-6657.

161. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Extended family of the electrovac two-soliton solutions for the Einstein-Maxwell equations // Phys. Rev. D 1995.- V.51.- P.4187-4191.

162. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Six-parameter solution of the Einstein-Maxwell equations possessing equatorial symmetry // J. Math. Phys.- 1995.- V.36 P.3063-3073.

163. Manko V.S., Mielke E.W., Sanabria-Gomez J.D. Exact solution for the exterior field of a rotating neutron star // Phys. Rev. D 2000.-V.61- P.08501-1-5(R).

164. Manko V.S., Novikov I.D. Generalizations of the Kerr and Kerr-Newman metrics possessing an arbitrary set of mass-multipole moments // Class. Quantum Grav.- 1992.- V.9 P.2477-2487.

165. Manko V.S., Ruiz E. Stationary generalization of the Bonnor magnetic dipole solution // Gen. Relativ. Grav.- 1997.- V.29-P.991-996.

166. Manko V.S., Ruiz E. Extended multi-soliton solutions of the Einstein field equations // Class. Quantum Grav.- 1998.- V.15.- P.2007-2016.

167. Manko V.S., Ruiz E. Exact solution of the double-Kerr equilibrium problem // Class. Quantum Grav.- 2001- V.18.- P.L11-L15.

168. Manko V.S., Ruiz E. Solving equilibrium problem for the double-Kerr spacetime // In: "Exact solutions and Scalar Fields in Gravity". New York: Kluwer Academic, 2001- P.63-68.

169. Manko V.S., Ruiz E. A remark on the mass-angular-momentum relation in the double-Kerr solution // Class. Quantum Grav.2002,- V.19 P.3077-3081.

170. Manko V.S., Ruiz E. On the discrepancy between two approaches to the equilibrium problem for spinning particles // Gravit. Cosmol.2003,- V.9.- P. 183-185.

171. Manko V.S., Ruiz E. How can exact and approximate solutions of Einstein's field equations be compared? // Class. Quantum Grav.2004,- V.21- P.5849-5869.

172. Manko V.S., Ruiz E. Comment on 'The double-Kerr solution' // Class. Quantum Grav.- 2005.- V.22.- P.635-637.

173. Manko V.S., Ruiz E. Physical interpretation of the NUT family of solutions // Class. Quantum Grav.- 2005.- V.22.- P.3555-3560.

174. Manko V.S., Ruiz E., Manko O.V. Is equilibrium of aligned Kerr black holes possible? // Phys. Rev. Lett.- 2000.- V.85.- P.5504-5506.

175. Manko V.S., Ruiz E., Sanabria-Gomez J.D. Extended multi-soliton solutions of the Einstein field equation: II. Two comments on the existence of equilibrium states // Class. Quantum Grav- 2000.-V.17 P.3881-3898.

176. Manko V.S., Sanabria-Gomez J.D., Manko O.V. Nine-parameter electrovac metric involving rational functions // Phys. Rev. D.-2000.- V.62.- P.044048-1-10.

177. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Kerr metric endowed with magnetic dipole moment // Class. Quantum Grav.- 1992.- V.9.- P.L87-L92.

178. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Metric of a rotating, charged, magnetized mass // Phys. Lett. A.- 1992.- V.168.- P.343-347.

179. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Exact solution of the Einstein-Maxwell equations for the exterior gravitational field of a magnetized rotating mass // Phys. Rev. D.- 1992.- V.46.- R4122-R4124.

180. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Kerr-Newman metric endowed with magnetic dipole moment // J. Math. Phys.- 1993.- V.34.- P. 170177.

181. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Construction of exact solutions of the Einstein-Maxwell equations corresponding to a given behaviour ofthe Ernst potentials on the symmetry axis // Class. Quantum Grav.-1993.- V.10 P. 1383-1404.

182. Martin A.W., Pritchett P.L. Asymptotic gravitational field of the "electron" //J. Math. Phys.- 1968.- V.9.- P.593-597.

183. Meinel R., Neugebauer G. Asymptotically flat solutions to the Ernst equation with reflection symmetry / / Class. Quantum Grav.- 1995-V.12 P.2045-2050.

184. Mestel L. On the galactic law of rotation // M.N.R.A.S.- 1963-V.126 P.553-575.

185. Neugebauer G. Backlund transformations of axially symmetric stationary gravitational fields //J. Phys. A: Math. Gen.- 1979-V.12 P.L67-L70.

186. Neugebauer G. A general integral of the axially symmetric stationary Einstein equations //J. Phys. A: Math. Gen.- 1980.- V.13- P.L19-L21.

187. Neugebauer G. Recursive calculation of axially symmetric stationary Einstein fields //J. Phys. A: Math. Gen.- 1980.- V.13 P.1737-1740.

188. Neugebauer G. Relativistic gravitational fields of rotating bodies // Phys. Lett. A.- 1981.- V.86 P.91-93.

189. Neugebauer G., Kramer D. Eine Methode zur Konstruktion stationärer Einstein-Maxwell-Felder // Ann. Physik.- 1969.- V.24-P.62-71.

190. Neugebauer G., Kramer D. Einstein-Maxwell solitons // J. Phys. A: Math. Gen.- 1983.- V.16 P. 1927-1936.

191. Neugebauer G., Meinel R. The Einsteinian gravitational field of the rigidly rotating disk of dust // Astrophys. J 1993 - V.414 - P.L97-L99.

192. Neugebauer G., Meinel R. General relativistic gravitational field of a rigidly rotating disk of dust: axis potential, disk metric, and surface mass density // Phys. Rev. Lett.- 1994 V.73.- P.2166-2168.

193. Neugebauer G., Meinel R. General relativistic gravitational field of a rigidly rotating disk of dust: solution in terms of ultraelliptic functions // Phys. Rev. Lett.- 1995.- V.75.- P.3046-3047.

194. Newman E.T., Couch E., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., Torrence R. Metric of a rotating charged mass // J. Math. Phys.-1965.- V.6.- P.918-919.

195. Novikov I.D., Manko V.S. On the gravitational field of an arbitrary axisymmetric mass endowed with magnetic dipole moment // In: "Gravitation and Modern Cosmology" (ed. by A.Zichichi et al.)- New York: Plenum Press, 1991.- P.121-128.

196. Nordstrom G. On the energy of the gravitational field in Einstein's theory // Proc. Kon. Ned. Akad. Wet.- 1918.- V.20 P.1238-1245.

197. Oohara K., Sato H. Structure of superposed two Kerr metrics // Prog. Theor. Phys.- 1981.- V.65.- P.1891-1900.

198. Papapetrou A. A static solution of the equations of the gravitational field for an arbitrary charge distribution // Proc. Roy. Irish Acad. A.- 1947.- V.51 P. 191-204.

199. Papapetrou A. Eine rotationssymetrische Losung in der Allgemeinen Relativitatstheorie // Ann. Physik.- 1953 V.12- P.309-315.

200. Perjes Z. Solutions of the coupled Einstein-Maxwell equations representing the fields of spinning sources // Phys. Rev. Lett 1971-V.27- P. 1668-1670.

201. Perry G.P., Cooperstock F.I. Electrostatic equilibrium of two spherical charged masses in general relativity // Class. Quantum Grav.- 1997.- V.14.- P. 1329-1345.

202. Persic M., Salucci P. Dark and visible matter in spiral galaxies // M.N.R.A.S.- 1988,- V.234.- P. 131-154.

203. Quevedo H. Multipole moments in general relativity. Static and stationary vacuum solutions // Fortschr. Phys 1990 - V.38 - P.733-840.

204. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a rotating deformed mass // Phys. Lett. A.- 1985.- V.109 P. 13-18.

205. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a charged rotating mass with arbitrary quadrupole moment // Phys. Lett. A-1990.- V.148 P. 149-153.

206. Rees M.J. // Black Holes and Relativistic Stars Chicago: University of Chicago Press, 1998.- P.79.

207. Reissner H. Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie // Ann. Physik 1916.- V.50 - P. 106-120.

208. Ruiz E., Manko V.S., Martin J. Extended 6N-parameter family of exact solutions of the Einstein-Maxwell field equations // Phys. Lett. A.- 1995,- V.200- P.77-81.

209. Ruiz E., Manko V.S., Martin J. Extended N-soliton solution of the Einstein-Maxwell equations // Phys. Rev. D 1995,- V.51- P.4192-4197.

210. Schmidt M. The distribution of mass in M 31 // Bull. Astron. Inst. Neth 1957.- V.14 - P. 17-19.

211. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.-1916.- V.7.- P. 189-196.

212. Shakura N.I., Sunyaev R.A. Black holes in binary systems. Observational appearance // Astron. Astrophys- 1973- V.24-P.337-355.

213. Sibgatullin N.R., Manko V.S. New exact three-parameter solution of the Einstein-Maxwell equations for a charged spinning mass // Phys. Lett. A.- 1992,- V.163- P.364-366.

214. Sibgatullin N.R., Manko V.S., Zaripov M.N. Exterior field of a magnetized, rotating disk: exact formulation as a linear problem // Gravit. Cosmol 1996.- V.2.- P.231-234.

215. Smarr L. Mass formula for Kerr black holes // Phys. Rev. Lett.-1973.- V.30 P.71-73.

216. Sofue Y., Rubin V.C. Rotation curves of spiral galaxies // Ann. Rev. Astron. Astroph.- 2001.- V.39.- R137-174.

217. Stute M., Camenzind M. Towards a self-consistent relativistic model of the exterior gravitational field of rapidly rotating neutron stars // M.N.R.A.S.- 2002.- V.336 R831-840.

218. Tassoul J.L. // Theory of Rotating Stars- Princeton: Princeton Univ. Press, 1978.

219. Tomimatsu A. Distorted rotating black holes // Phys. Lett. A1984.- V.103 P.374-376.

220. Tomimatsu A. On gravitational mass and angular momentum of two black holes in equilibrium / / Prog. Theor. Phys 1983.- V.70-P.385-393.

221. Tomimatsu A. Condition for equilibrium of two Reissner-I^ordstrom black holes // Prog. Theor. Phys.- 1984.- V.71- P.409-412.

222. Tomimatsu A. Equilibrium of two rotating charged black holes and the Dirac string // Prog. Theor. Phys.- 1984.- V.72 P.73-82.

223. Tomimatsu A., Kihara M. Conditions for regularity on the symmetry axis in a superposition of two Kerr-NUT solutions // Prog. Theor. Phys.- 1982.- V.67 P.1406-1414.

224. Tomimatsu A., Sato H. New exact solution for the gravitational field of a spinning mass // Phys. Rev. Lett 1972 - V.29 - P. 1344-1345.

225. Toomre A. On the distribution of matter within highly flattened galaxies // Astrophys. J.- 1963.- V.138 P.385-392.

226. Van der Kruit P.C., Allen R.J. The kinematics of spiral and irregular galaxies // Ann. Rev. Astron. Astroph- 1978 V.16 - P. 103-139.

227. Varzugin G.G., Chistyakov A.S. // Class. Quantum Grav 2002-V.19 - P.4553-4564.

228. Veselov A.P. Structure of axisymmetric soliton solutions of Einstein's equations // Theor. Math. Phys.- 1983.- V.54 P. 155-160.

229. Wald R. Gravitational spin interaction // Phys. Rev. D.- 1972-V.6.- P.406-413.

230. Waylen P.C. The general axially symmetric static solution of Einstein's vacuum equations // Proc. Roy. Soc. Lond. A.- 1982-V.382 P.467-470.

231. Weinstein G. On rotating black holes in equilibrium in general relativity // Comm. Pure Appl. Math.- 1990.- V.43 P.903-948.

232. Weyl H. Zur Gravitationstheorie // Ann. Physik.- 1917.- V.54.-P. 117-145.

233. Wolfram S. // The Mathematica Book (4th Edn.)- Cambridge: Wolfram Media, Cambridge Univ. Press, 1999.

234. Yamazaki M. On the Hoenselaers-Kinnersley-Xanthopoulos spinning mass fields // J. Math. Phys.- 1981.- V.22 P.133-135.

235. Yamazaki M. Stationary line of N Kerr masses kept apart by spinspin interaction // Phys. Rev. Lett 1983 - V.50 - P. 1027-1030.