Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных средах со сплайн-аппроксимацией границ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Викторов, Сергей Владимирович

• Викторов, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Викторов, Сергей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ.

Модели прямых задач геоэлектрики.

Сравнительный анализ методов решения прямых задач потенциальных электрических полей.

Модели обратных задач геоэлектрики и методы их решения.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

2.1. Тело вращения в кусочно-однородной среде.

2.1.1. Сплайн-аппроксимация образующей тела вращения.

2.1.2. Поле точечного источника постоянного тока в однородном пространстве и полупространстве в присутствиителавращения.

2.1.3. Электрическое поле точечного источника в горизонтально-слоистом полупространстве в присутствии тела вращения.

2.2. Вычислительный эксперимент.

2.3. Выводы.

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

3.1. Постановка обратной задачи и вариационный метод ее решения

3.2. Вычислительный эксперимент.

3.2.1. Определение геофизических параметров локального включения в однородной среде.

3.2.2. Определение геофизических параметров локального включения в горизонтально-слоистой среде.

3.3. Выводы.

ГЛАВА 4. КОМПЛЕКС ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ

ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СРЕДАХ.

4.1. Функциональное назначение. Описание режимов работы и интерфейса оболочки программ.

4.2. Перечень основных модулей составляющих программу.

4.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных средах со сплайн-аппроксимацией границ»

Актуальность темы. При изучении геологического строения Земной коры основной является задача поиска месторождений полезных ископаемых. Важно не только выявить наличие продуктивных зон, но и определить их границы для оценки мощности запасов. Необходимость в более детальном опоисковании и переоценке уже разведанных месторождений также приводит к задаче уточнения контуров границ залежей, для выяснения экономической рентабельности их дальнейших промышленных разработок.

Таким образом, задача поиска и уточнения границ сред, составляющих геологический разрез земли, обуславливающая увеличение разведанных запасов минерально-сырьевых ресурсов, является актуальной задачей.

В связи с тем, что практически не осталось не обнаруженных приповерхностных месторождений, все более важное для исследователей значение приобретают глубинные поиски. Разведка таких месторождений геологическими методами, основанными на бурении, не рентабельна из-за больших затрат трудовых и материальных ресурсов. Среди большого числа известных геофизических методов исследований в настоящее время отдается предпочтение методам электроразведки потенциальными полями, как наиболее эффективным и экологически безопасным.

Различают прямые и обратные задачи геофизики. Под прямыми задачами понимают определение (расчет) полей по известному распределению свойств среды и источников поля. Под обратными, как правило некорректными, - нахождение распределения свойств среды по известному полю (интерпретация измеренных полевых данных), т.е. восстановление структуры исследуемого района, границ и удельных электрических проводимостей сред его составляющих. На практике исследование реального геологического разреза приводит, как правило, к решению обратной задачи.

Учитывая осадочные отложения пород геоэлектрического разреза, который часто осложнен локальными включениями сложной формы, актуальной задачей является выявление формы границ включений в горизонтальнослоистых средах.

Сложность формы включения обуславливает применимость аппарата сплайн-функций для описания их границ.

Необходимость создания эффективных алгоритмов обработки и интерпретации экспериментальных данных, является причиной развития следующих направлений, исследуемых в работе:

- разработка и программная реализация алгоритмов решения прямых задач для расчета потенциального поля точечного источника постоянного электрического тока в однородной и кусочно-однородной горизонтально-слоистой среде, при наличии в ней локального включения с образующей аппроксимированной сплайном;

- разработка эффективных алгоритмов решения обратных задач геоэлектрики - задач поиска в кусочно-однородной среде границ локальных включений вращения произвольной формы по измеренным электрическим полям.

Ранее в работах В.Т. Иванова и В.Н. Кризского был разработан алгоритм решения прямых квазитрехмерных осесимметричных задач, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений [51 - 56, 67]. Для случая, цилиндрических сред он был реализован в работах Г.Я. Галеевой (Кильдибековой) [28, 63].

В работах П.С. Мартышко предложены алгоритмы решения теоретической обратной задачи (без учета погрешностей) для «звездных» тел, но лишь для случая однородного вмещающего пространства [86 - 89].

И.А. Герасимовым программно реализованы алгоритмы решения обратных задач определения параметров включений в слоистых средах, но лишь в классе простых тел (шар, сфероид) [30].

В отличие от работ других авторов, в данной работе рассматривается построение и исследование процедуры поиска в кусочно-однородной среде параметров границы тела вращения, образующая которого аппроксимирована сплайном по результатам исследований постоянным электрическим током.

Цели и задачи: Целью работы является разработка алгоритмов и комплекса программ компьютерного моделирования прямых и обратных задач геоэлектрики в кусочно-однородных средах, позволяющих вычислять потенциальное поле от источников постоянных токов, интерпретировать результаты полевых электроразведочных измерений, определять границы осесиммет-ричных включений с образующей, аппроксимированной сплайном, исследовать взаимное влияние основных параметров модели методом вычислительного эксперимента.

Для достижения указанной цели в работе были поставлены и решены следующие задачи:

• Разработка численных алгоритмов решения прямых и обратных задач геоэлектроразведки в осесимметричных средах со сплайнаппроксимацией границ:

- применение комбинированных методов интегральных преобразований и интегральных уравнений [54, 55] для решения прямых задач о поле точечного источника с построением функций Грина для горизонтально-слоистых вмещающих пространств в присутствии осе-симметричного локального включения, с аппроксимированной сплайном образующей;

- построение алгоритмов вариационного типа для решения обратных задач определения образующей осесимметричного локального включения как сплайна, аппроксимирующего его границу.

• Разработка комплекса программ, дающего возможность:

- построения компьютерной модели геологического разреза путем задания границ и удельных электрических проводимостей его областей;

- задания параметров зоны исследования, источников и приемников тока;

- выбора метода численного решения;

- расчета потенциала и кажущегося сопротивления в исследуемых средах;

- определения границ тел вращения, заданных параметрически и аппроксимированных сплайнами;

- графического отображения процесса поиска решения, одномерных и двумерных функций (задаваемых или найденных вычислительным экспериментом кривых, поверхностей);

• Проведение вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния параметров математических моделей.

Научная новизна. В настоящей работе впервые исследованы прямые задачи геоэлектрики в кусочио-одпородиых средах, обладающих пространственной осевой симметрией, в присутствии локального включения - тела вращения с аппроксимированной сплайном образующей. Для их решения используется эффективный комбинированный способ, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, формируемых на базе теории потенциала двойного электрического слоя.

На основе метода регуляризации А.Н. Тихонова получено решение обратной задачи поиска границы локального включения сложной геометрии как конечномерного вектора ограниченных параметров, входящего в состав ее параметрического описания сплайн-функциями.

Разработанные алгоритмы реализованы в комплексе оригинальных программ автора. Основное программное средство зарегистрировано в фондах алгоритмов и программ министерства образования и науки Российской Федерации и Всероссийского научно-технического информационного центра (ВНТИЦ).

Практическая ценность. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют эффективно решать задачи геоэлектрики в кусочно-однородных средах, аналитическое решение которых отсутствует.

На основе разработанных алгоритмов и комплекса программ решения прямых задач расчета потенциала электрического тока в кусочно-однородных средах осуществлено решение обратных задач определения границ включений вращения в типичных для практики геофизических средах -однородном, горизонтально-слоистом пространстве и полупространстве.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Численные алгоритмы моделируемых прямых и обратных задач на основе методов интегральных преобразований, интегральных уравнений, сплайн-аппроксимации границ, вариационного метода А.Н.Тихонова.

2. Комплекс компьютерных программ реализации построенных алгоритмов.

3. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния основных геоэлектрических параметров моделируемых сред.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Полный ее объем составляет 106 страниц машинописного текста, включая 29 рисунков, 13 таблиц, библиографию, содержащую 131 название и приложение на 2 страницах, включающее акт внедрения и регистрационную карту программного средства в фонд алгоритмов и программ МОН РФ и ВНТИЦ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Викторов, Сергей Владимирович

Основные результаты работы заключаются в следующем:

• Расширен класс исследуемых включений вращения в кусочно-однородной среде применением сплайн-функций для описания их границ.

• Разработаны алгоритмы решения прямых задач определения потенциальных полей точечных источников постоянного электрического тока в осесимметричных кусочно-однородных средах на основе методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, а так же обратных задач поиска границ включений вращения (аппроксимирующих их сплайнов) на основе вариационного метода А.Н.Тихонова.

• Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные алгоритмы. Показана высокая эффективность численных алгоритмов сравнением с более простыми задачами, полученными ранее другими авторами. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие: построить систему эквивалентных по отклику включений в заданном диапазоне удельных электрических проводимостей, имеющую практическое значение для интерпретационной геофизики; констатировать более точное определение верхней части границы включения по сравнению с нижней в задачах электроразведки; обосновать возрастание точности определения границы включения с ростом коэффициента контрастности среда/включение.

Программное средство зарегистрировано в ОФАП МО РФ и ВНТИЦ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Викторов, Сергей Владимирович, 2005 год

1. Альпин Я.М., Даев Д.С., Каринский А.Д. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике. - М.:Недра,1985. 407 с.

2. Ахметов С.М., Халитов Н. Т. О методе подобластей для интегральных уравнений //Изв. ВУЗов. Математика. 1976.- N 8.- С. 9-15.

3. Байрак В.В., Мельников Ю.А., Титаренко С.А. Численное решение трехмерных граничных задач методом потенциала. Днепропетровск. -1986. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 7.02.86, № 1616 -В.

4. Белоцерковская О.Н., Васильев Ю.П., Золотой О.В. Решение краевой задачи для уравнения Лапласа в сложной области пространства трех измерений // Вычислительные методы и программирование. Саратов, -1984.- N5.- С. 48- 55.

5. Березина С.А. Разработка алгоритмов прямых и обратных задач метода сопротивлений для неоднородных сред: Дисс. канд.физ.-мат. наук. -М., 1993.-99 с.

6. Беспалов Н. С. Электрические зондирования на протяженных телах трапецевидного сечения// Прикладная геофизика. Москва. 1981. -№101.-С. 117-126.

7. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.- 524 с.

8. Будак Б.М., Самарский А.А, Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике.- М.: Наука, 1980.- 688 с.

9. Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации) Киев: Наукова думка, 1973. - 111с.

10. Булах Е.Г., Маркова М.Н. Прямые и обратные задачи гравиметрии в классе тел, заданных горизонтальными пластинами // Геофизический журнал. 1994. -16. - №3. - С.51-60.

11. Булах Е.Г., Маркова М.Н. Решение обратных задач гравиметрии методом подбора // Геофизический журнал. 1992. - 14. - №4 - С.9-19.

12. Булашевич Ю.П. Расчет поля вызванных потенциалов для рудных тел сферической формы // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. 1956.- N 5.-С. 802- 809.

13. Васин В. В., Агеев A. JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург. - Урал, фирма «Наука», 1993. - 263 с.

14. Вахитов Г.Г. Разностные методы решения задач разработки нефтяных месторождений. М.: Недра, 1970.- 248 с.

15. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высш. шк., 2002. - 840 с.

16. Викторов С.В. К решению обратной задачи электроразведки включений с аппроксимированной сплайном границей // Региональная школа конференция по математике и физике: Тез. докл. Уфа: РИО БашГУ, 2003.-С. 116-117.

17. Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции. Казань: Из-во Казанского мат. общества, 2003. - С.90-92.

18. Викторов С.В. Решение обратной задачи поиска параметров сплайна аппроксимирующего образующую тела вращения в горизонтально-слоистой среде // Современные проблемы физики и математики Т.1.: Труды всероссийской конф. - Уфа: Гилем, 2003. - С. 197-201.

19. Вильге Б.И., Цейтлин С.Д. Численное решение задач теории бокового и индукционного каротажа // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1979.- N 9.- С. 69- 76.

20. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. -512 с.

21. Воскобойников Ю.Е. Методы решения некорректных задач параметрической идентификации.- Новосибирск: Изд-во Новосиб-го гос. техн. унта, 1996.-82 с.

22. Воскобойников Г.М. О вычислении стационарных электромагнитных полей в некоторых кусочно-однородных средах // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1973. №9. - С. 73-76.

23. Галеева Г. Я. Методы расчета электрического поля точечного источника в некоторых неоднородных средах с цилиндрическими включениями. Дисс. . канд.физ.-мат. наук.-Уфа, 1991.

24. Галицин А. С. Об одном обобщении метода конечных интегральных преобразований на случай неоднородных краевых задач // Исследования по теории функций комплексного переменного с применением к механике сплошных сред. Киев, 1986. - С. 172-183.

25. Герасимов И.А. Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-однородных средах. Дисс. канд.физ.-мат. наук. Стерлитамак, 2004.

26. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М. - Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 112 с.

27. Гласко В. Б., Старостенко В. И. Регуляризирующий алгоритм решения системы нелинейных уравнений в обратных задачах геофизики //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. - №3. - С. 44-53.

28. Гласко В. Б., Старостенко В. И., Оганесян С. М. Алгоритмы подбора в заданных классах, основанных на регуляризации //Гравиразведка: Справочник геофизика. М. - Недра. - 1990. - С. 388 - 402.

29. Гласко В.Б., Старостенко В.К, Оганесян С.М. Алгоритмы подбора в заданных классах, основанные на регуляризации // Гравиразведка: Справочник геофизика. М.: Недра, 1990. - С. 388-402.

30. Гончарский А.В., Леонов А. С., Ягола А.Г. Некоторое обобщение принципа невязки для случая оператора, заданного с ошибкой // ДАН СССР, 1972. 203- №6 - С. 1238-1239.

31. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // ЖВМиМФ, 1973.- 13- №2 С.294-302.

32. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: - JL- Изд-во АН СССР, 1948. - 728 с.

33. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин- М.: Недра, 1981.-344 с.

34. Дегтярева Т.В., Вонсович С.В., Воронко А.И., Меррик Б.Р. Обобщение метода отражений на многослойную среду. М., 1984.-15 С.- Деп. В ВИНИТИ 04.07.84, N 4649-84.

35. Дмитриев В.И. Методы решения обратных задач геофизики.- М.: Изд-во Московс. ун-та, 1990. 36 с.

36. Дмитриев В.И. Обратные задачи электромагнитного зондирования // Физика Земли, 1977. №1. - С. 19-23.

37. Дмитриев В. И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычислительные методы и программирование, 1968. №10. - С.55-65.

38. Дмитриев В.К, Серебренникова Н.Н. Численный расчет электрического поля точечного источника в слоистой среде с осесимметричным включением // Изв. ВУЗ-ов. Геология и разведка, 1987. № 2. - С. 109113.

39. Друскин B.JI. О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей // Физика Земли, 1982. №1. - С.72-75.

40. Жданов М. С. Электроразведка. М.: Недра, 1986. - 316с.

41. Жданов М.С., Спичак В.В. Состояние и перспективы численного моделирования электромагнитных полей в трехмерных средах // Алгоритмы и программы решения прямых и обратных задач электромагнитной индукции в земле. М., 1983.- С. 3-10.

42. Журавлев И.А. О решении трехмерной нелинейной обратной задачи гравиметрии //Геофизический журнал, 1998. Т.20. - № 5. - С.87-95.

43. Заборовский А.И. Электроразведка. М - Гостоптехиздат, 1963. - 423с.

44. Захаров Е.В., Ярмахов И.Г. Численное исследование модели теории бокового каротажа методом конечных разностей // Математические модели задач геофизики. М., 1981. - С. 19-30.

45. Иванов В. Т. О методе решения прямых смешанных краевых задач в многосвязаных областях // Дифф.ур-ия., 1982. № 3. - С. 526-529.

46. Иванов В. Т., Глазов Н.П., Макаров В.А. Математическое моделирование электрохимической защиты //Итоги науки и техники. Сер."Коррозия и защита от коррозии". М.:ВНТИЦ, 1987. - Т.13. - С.117-194.

47. Иванов В. Т., Гусев В.Г., Фокин А.Н. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки. М.: Машиностроение, 1986. - 216с.

48. Иванов В. Т., Кризский В.Н. Решение некоторых задач электроразведки методом граничных интегральных уравнений // Известия ВУЗов, Геология и разведка, 1993. №4. - С. 122-127.

49. Иванов В. Т., Козырин А.К., Кильдибекова Г.Я. Поле точечного источника в среде с цилиндрическими неоднородностями // Физика Земли, 1986. №12. - С.53-61.

50. Иванов В.Т., Масютина М.С. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа. М: Наука, 1983. - 143 с.

51. Игнатова ИД. Электроразведка методом сопротивлений при изучении сложно-построеных сред для подземных и надземных условий. Дисс. канд. техн.наук. Москва, 1995. - 93 с.

52. Изотова Е. Б. Решение прямых и обратных задач электроразведки на постоянном токе для горизонтально слоистых сред: Автореф. Ленинград, 1969.

53. Израильский Ю. Г. Разработка методов и программ решения прямых и обратных задач электроразведки: Автореф Владивосток, 1986.

54. Израильский Ю. Г., Шкабарня Н.Г. Алгоритм расчета кажущихся сопротивлений и поляризуемостей для среды с неоднородностью в виде сфероида // Прикладная геофизика. М, 1984. - №110. - С. 89-98.

55. Канторович Л.В.Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

56. Квасов Д.Е., Сергеев ЯД. Многомерный алгоритм глобальной оптимизации на основе адаптивных диагональных кривых //ЖВМиМФ, 2003. -т.43. №1. - С.42-59.

57. Кильдибекова Г.Я. Расчет поля точечного источника в целом пространстве в присутствии бесконечного кругового цилиндра // Алгоритмы и программы: Инф. Бюлл.- 1987.- N 3.- С. 16.

58. Кобрунов А.И. О методе оптимизации при решении обратной задачи гравиразведки // Физика Земли, 1978. №8. - С. 73-78.

59. Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложно построенных сред // Киев, 1989. 100с.

60. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. - 304 с.

61. Крнзский В.Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей. Дисс. . докт. физ-мат. наук. Стерлитамак, 2004.

62. Кризский В.Н., Викторов С.В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном пространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном // Компьютерные учебные программы и инновации. 2003. - № 4. - С. 23.

63. Кризский В.Н., Викторов С.В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном полупространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном. М: ВНТИЦ, 2002, № 50200200499.

64. Кризский В.Н., Викторов С.В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном полупространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном. М: ОФАП МО РФ, 2002, №2115.

65. Кризский В.Н., Викторов С.В. Определение границы тела вращения, образующая которого аппроксимирована кубическим сплайном // ЭВТ в обучении и моделировании: Сб.научн.тр.: в 2-х ч. 4.1. - Бирск: Бирск. гос. пед. ин-т, 2001. - С. 86-92.

66. Кризский В.Н., Иванов В.Т., Герасимов И.А., Викторов С.В. Определение границы тела вращения в горизонтально-слоистых кусочно-однородных средах методами геоэлектроразведки //Физика Земли, 2003. №9- С. 86-94.

67. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

68. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа М.: Наука, 1980. - 287 с.

69. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 702 с.

70. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка.- M.-JL: Гостехиздат, 1950.- 178 с.

71. Липилин А.В. Принципы и технологии обработки и интерпретации потенциальных полей при изучении глубинного строения земной коры. Дисс. канд.тех.наук., Москва, 1999.

72. Майе Р. Математические основания электрической разведки постоянным током. М: ГОНТИ, 1935. -111 с.

73. Мартышко П.С. О решении обратной задачи метода заряда // Физика Земли, 1993.-№5.

74. Мартышко П.С. О решении обратной задачи электроразведки на постоянном токе для произвольных классов потенциалов // Физика Земли, 1986. №1. - С.87-92.

75. Мартышко П.С. О решении прямой и обратной трехмерных задач метода искусственного подмагничивания в параметрических классах // Физика Земли, 1983. №3. - С.52-57.

76. Мартышко П.С., Пруткин ИЛ. О решении прямой и обратной задач магниторазведки// Геофизический журнал, 1982. Т.4. - №6. - С. 39-49.

77. Матусевич А.В. Объемное моделирование геологических объектов на ЭВМ. -М.: Недра, 1968. 184 с.

78. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. - 232 с.

79. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач // Вычислительные методы и программирование, 2003.-Т.4.-С. 130-141.

80. Морозов В.А. О приближенном решении операторных уравнений методом сплайнов // ДАН СССР, 1971. Т.200.- №1. - С.35-38.

81. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач М.: Наука, 1987, 240 с.

82. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченного оператора //ЖВМиМФ, 1971. т.11. - №3. -С.545.

83. Московская Л. Ф. Построение моделей локальных рудных объектов по данным потенциальных и квазистационарных методов электроразведки. Дисс. к.ф.-м.н., С.-Петербург, 1995. 131с.

84. Оганесян С.М. Теория и численные методы решения трехмерных задач гравиметрии. Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. Киев, 1987. - 36 с.

85. Оганесян С.М., Старостенко В.И Двойственный метод решения линейных задач гравиметрии//Гравиразведка: Справочник геофизика. М.: Недра, 1990. - С.428-433.

86. Овчинников В.К. Теория поля. М.:Недра,1979. 352с.

87. Пантелеев А.В., Jlemoea Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М. Высшая школа, 2002. 544с.

88. Пантюхин В.А., Юматов А.Ю. Решение прямой задачи электрокаротажа в средах с осевой симметрией методом конечных элементов. Калинин, 1983. - 13 С.- Деп. в ВИНИТИ 24.08.83, N 4607-83.

89. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики. //Фундаментальные основы математического моделирования М.гНаука, 1997. - С.5-97.

90. Самостюк Г.П., Вешев А.В. Поле точечного источника тока в присутствии сферы // Уч. записки ЛГУ. Сер. физич. и геол. наук, 1960. - Вып. 12.- №286. -С. 3-12.

91. Сапожников В.М. Приближенное решение задачи о возмущении электрического поля точечного источника шаром // Геофизические методы поисков и разведки рудных и нерудных месторождений. Свердловск, 1981.-С. 69-77.

92. СветовБ.С. Электродинамические основы квазистационарной геоэлектрики. М.- ИЗМИРАН., 1984. - 183 с.

93. Старостенко В.И. Вопросы теории и методики интерпретации гравиметрических наблюдений устойчивыми численными методами. Дисс. д.ф.-м.н., Киев, 1976. 406 с.

94. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их приближенное решение методом регуляризации А.Н.Тихонова//Геофизический журнал, 2001. т.23. - № 6. - С.3-20.

95. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Устойчивые операторные процессы и их применение в задачах геофизики //Изв. АН СССР. Физика Земли, 1977.-№5.-С. 61-74.

96. Страхов В.Н., Страхов А.В. Универсальные алгоритмы регуляризации систем линейных алгебраических уравнений с аддитивной помехой в правой части, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии //Физика Земли, 2000. №10. - С.3-28.

97. Титов КВ. О возможности обобщения метода электростатических изображений на задачи о полях в областях, содержащих границу произвольной конфигурации. //Зап.Ленингр.горн.ин-та, 1987. №13. - С. 135136.

98. Тихонов А.Н. О единственности решения задач электроразведки. //ДАН СССР, 1949. т.69. - №6. - С. 797-800.

99. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. //ДАН СССР, 1963. т.153. - №1. - С. 49-52.

100. Тихонов А.Н. Об электрозондировании над наклонным пластом // Труды ин-та теор. геофизики.- М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1946.- Т.1.- СЛ 16136.

101. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.:Наука, 1986.-288с.

102. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.:Наука,1986. 288с.

103. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач М.: Наука, 1990. - 230 с.

104. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризи-рующие алгоритмы и априорная информация М.:Наука, 1983. - 200 с.

105. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи М.: Наука, 1995. - 311 с.

106. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

107. Троян В.Н. Применение сплайн-функций для аппроксимации геофизической информации. // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. 1981, Вып.20.

108. Филатов В.А., ХогоевЕ.А. Расчет поля точечного источника постоянного электрического тока в слоистой среде. Новосибирск, 1987. — 13с. — Деп. в ВИНИТИ 29.01.87, N Ю65-В87.

109. Халфин JI. А. Поле точечного источника в присутствии сжатого и вытянутого сфероидов// Известия АН СССР. Серия геофизическая-1956.-№6.-с. 657-668.

110. Хмелевский В. К. Основной курс электроразведки. 4.1. М.: МГУ, 1971.-245 с.

111. Шкабарня Н.Г., Шак В.Г., Бунин В.М. Анализ возможности использования разностных методов при расчете на ЭВМ кажущихся сопротивлений //Прикладная геофизика. М.: Недра, 1980, N 98, С. 97-109.

112. Щукина В.Е. Приближенное решение обратных задач гравитационной и магнитной разведок. Дисс. к.ф.-м.н., Пенза, 1990, 120 с.

113. Юдин М.Н. О расчете магнитотеллурического поля в трехмерной среде методом сеток // Геомагнитные исследования.- М.: Радио и связь, 1982.-N 29.- С. 84-90.

114. Яновская Т.Е., Порохова JI.H. Обратные задачи геофизики. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983, 211 с.

115. Krizskii V.N., Ivanov V.T., Gerasimov I.A., Viktorov S.V. Localization of a Body of Revolution in a Horizontally Layered Medium by Geoelectric Survey Methods // Izvestiya, Physics of the Solid Earth, Vol.40, No.9, 2004, pp.777785.1. Электронные