Математическое моделирование процессов электроразведки в слабоградиентных проводящих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Курдюков, Евгений Петрович

• Курдюков, Евгений Петрович
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Курдюков, Евгений Петрович

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДЛЯ СРЕД С НЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬЮ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Стационарные электрические поля в неоднородных средах.

1.2 . Переменные электромагнитные поля в сплошных средах.

1.3. Схема приближенного решения уравнений поля в сплошной среде.

Глава 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ПОСТОЯННЫХ ИСТОЧНИКОВ В СРЕДАХ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ И АКСИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЯМИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ.

2.1. Среды со сферической и цилиндрической симметриями проводимости во внешнем однородном электрическом поле.

2.2. Поле точечного и линейного источников.

2.3. Обратная задача электроразведки для первично однородного электрического поля, полей точечного и линейного заземлений.

Глава 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОСТОЯННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ОДНОМЕРНЫХ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ.

3.1. Точечный и дипольный источники в вертикально неоднородной среде.

3.2. Электрические поля в горизонтально неоднородной среде.

3.3. Зависимость кажущегося сопротивления среды от расстояния между электродами установки Шлюмберже (прямая задача). Постановка обратной задачи ВЭЗ.

3.4. Решение обратной задачи ВЭЗ методом наискорейшего спуска.

Глава 4. МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКОЕ ЗОНДИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВ

НОНЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ.

4.1. Импеданс полупространства с изменяющейся вглубь электропроводностью.

4.2. Исследование амплитудно-фазовых соотношений импеданса. Кажущееся сопротивление.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов электроразведки в слабоградиентных проводящих средах»

Разведочная геофизика как наука, базирующаяся на достижениях естествознания, берет свое начало, в основном, с изучения земного магнетизма и открытия закона всемирного тяготения. По мере возникновения и развития новых физических теорий к целям разведочной геофизики привлекался все более широкий круг как естественных природных явлений, так и искусственных процессов. В настоящее время поиск необходимых для человека ископаемых Земли ведется гравитационными, радиоактивными, а также различными химическими, тепловыми и другими методами.

Область применения средств и методов геологической разведки расширяется: от исходных для ее развития задач поиска полезных ископаемых до изучения крупномасштабной структуры Земли, Луны и планет с одной стороны, до детального исследования геологической обстановки крупного города с многовековой историей или археологического объекта - с другой. Актуальность последних задач связана со стремлением избегать ошибок при выборе строительных площадок или проведении раскопок на территории многократно перестраивавшегося городского района. При этом для сокращения до минимума земляных работ и обеспечения сохранности заглубленных объектов требуется точное оконтуривание фрагментов фундаментов, локальных подземных пустот, труб, кабелей, магистралей и т.п.

Основной, но решаемой весьма редко, задачей разведочной геофизики, является получение информации о типах слагающих верхнюю часть земной коры горных породах по результатам наземных измерений. В связи с этим интерпретация данных полевых измерений основана, как правило, на решении прямых задач разведочной геофизики, постановка которых уже предполагает известными свойства горных пород до требуемых глубин.

Важная информация о структуре и свойствах верхних слоев Земли может быть получена путем определения физических характеристик их геофизических разрезов. В этой связи широкое развитие получили исследования по возбуждению в Земле электромагнитных полей, измерение которых на земной поверхности может дать картину электропроводности среды по различным направлениям.

Прогресс науки и техники позволил обогатить арсенал технических средств геологической разведки. Решению глобальных крупномасштабных задач служат достижения космической техники, обеспечивающие крупномасштабные исследования. Существенно увеличились и инструментальные возможности изучения мелкомасштабных деталей. Так, в частности, в области электромагнитного каротажа значительные успехи достигнуты благодаря применению несинусоидальных волн, с помощью которых удается уточнить глубину залегания вечной мерзлоты и определить положение мелкомасштабных неоднородностей, слабоконтрастных по отношению к основной горной породе - бетонных, глиняных или пластмассовых труб, полостей в известняке и т.п. [63].

Большой интерес для развития прикладной геофизики представляет комплексное использование волновых методов полей различной физической природы. Изучение эффектов взаимодействия сейсмических и электромагнитных волн открывает новые перспективы в области разведки полезных ископаемых [53].

Теоретической базой, служащей для интерпретации данных полевых наблюдений, является разработка методов расчета электромагнитных полей, порождаемых различными типами источников как искусственного, так и естественного происхождения в средах с переменной электропроводностью.

Структурными моделями верхних слоев Земли, которые к настоящему времени изучены достаточно подробно, являются среды с кусочно-однородной проводимостью: система горизонтальных и вертикальных слоев, шар и цилиндр, погруженные в полупространство с иной электропроводностью и ряд других (см., например, [13,16]).

Для более адекватного описания геологических разрезов необходимо учитывать, что электрические свойства пород часто непрерывно зависят от пространственных координат. Так, согласно [56], рудные месторождения имеют особенность в геологическом строении, которая состоит в плавном изменении (градиентность) удельной электропроводности и поляризуемости среды и повышении с глубиной ее анизотропии. В работах [45,66] указано на более сложное, чем кусочно-однородное, изменение удельной электрической проводимости с глубиной в многолетнемерзлых грунтах. Одновременно такие геологические процессы как выветривание, высыхание, диффузия, вымерзание приводят к изменению проводимости с глубиной [51], что затрудняет аппроксимацию среды кусочно-однородной п-слойной моделью. В [40] отмечается иная причина градиентного поведения проводимости, состоящая в постепенном повышении солености подземных вод. Названные причины требуют развития методов расчета полей в неоднородных средах с непрерывно изменяющейся электропроводностью.

Одна из основных задач разведочной геофизики заключается в определении кажущегося (эффективного) сопротивления среды. Достаточное распространение для этих целей получил метод электрических сопротивлений [16,64,65,68]. Его применение в предположении о кусочной однородности среды сводится к решению граничной задачи для уравнения Лапласа, которому удовлетворяет потенциал электрического поля постоянных источников. Получающиеся при этом выражения кажущихся сопротивлений даже в ряде случаев достаточно простых структур имеют вид интегралов и рядов, в которые входят электрические и геометрические параметры разрезов.

Если проводимость среды является непрерывной функцией координат, то аналитическое решение уравнения для потенциала поля в общем случае не представляется возможным. В таких ситуациях необходимо прибегать к различным эвристическим методам.

Исследование кажущегося (эффективного) сопротивления среды с непрерывной зависимостью проводимости от вертикальной координаты содержит работа [74]. Представленное в виде определенного интеграла кажущееся сопротивление находится в результате разложения в ряд подинтегральной функции, которая, в свою очередь, является функцией удельной электропроводности среды.

Рядом авторов [5,6,15,46,55,57,70-78] были найдены выражения потенциалов поля постоянного тока в кусочно-градиентных по вертикали моделях слоистых сред, учитывающих различные геологические особенности. При этом выбирались конкретные функции изменения удельной электропроводности в каждом из слоев.

Развитие ЭВТ позволило производить расчеты электрического поля в многослойной горизонтально-слоистой среде [12,13,62]. При этом можно получить кривые зондирования для.непрерывно-неоднородной по глубине среды, приближенно заменяя неоднородное полупространство слоистым разрезом. Однако интерпретация многослойных кривых с небольшим отличием удельных сопротивлений слоев затруднительна.

Исследованию электрического поля в многомерзлых грунтах посвящены работы [24-26], в которых рассмотрен целый ряд законов изменения удельной электропроводности в каждом из слоев п-слойной градиентной среды, допускающих решения в цилиндрических функциях. Аналогичный результат получен в [80], где изучено множество зависимостей удельного сопротивления от глубины, для которых можно найти точные выражения потенциала электрического поля.

В последнее время большое развитие получили полуаналитические комбинированные методы, основанные на сочетании интегрального преобразования с численными или получисленными вычислениями, позволяющие решать более сложные, чем в рассмотренных ранее работах задачи. Так в работах [11, 19-22, 29, 30] приводятся расчеты потенциала поля постоянного тока в средах, удельная электропроводность которых в сферических и цилиндрических координатах может быть представлена в виде произвольной функции одной из них.

Сделаны первые попытки учета горизонтально-градиентной неоднородности среды, сочетающейся с вертикальной неоднородностью. В работах [28,44] рассчитано электрическое поле постоянного тока в пласте с экспоненциальным изменением удельной электропроводности вдоль пласта конечной и предельно малой мощности. В работе [79] впервые рассматривается двумерно-градиентная среда. Функция удельной электрической проводимости зависит от двух координат (г, г) цилиндрической системы (г, ф, т). Однако положение источника на оси ъ делает модель малопригодной для широкого использования в электроразведке, хотя она и решает некоторые частные задачи.

Значительно меньшее число работ посвящено методу магнитотеллурического зондирования непрерывно неоднородных сред. В работе [3] рассмотрен случай экспоненциального изменения сопротивления с глубиной и интерпретация экспериментальных данных для такого типа разреза. Исследованию одномерных сред с удельным сопротивлением, изменяющемся по гиперболическому и экспоненциальному законам, посвящена работ [47].

Математическое обеспечение геологоразведочных работ важнейший фактор сокращения объема натурных изысканий. Известно, что и сама математическая проблема обратных задач получила свое начало из проблем геологической разведки. Реализация методов обратных задач, развитых для нужд геологической разведки, требует проведения больших объемов вычислительных работ с применением ЭВМ высокого класса и привлечением высококвалифицированного персонала. Вместе с тем, в повседневной реальной практике мелкомасштабной георазведки (для обеспечения производственных нужд отдельных предприятий) зачастую нет возможности оперативно применять большие вычислительные мощности. Поэтому существует большая практическая потребность разработки и применения математических методов, позволяющих обеспечить решение производственных задач геологической разведки малыми силами, в компактной форме, при относительно малом объеме вычислительных работ.

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию электромагнитных процессов в средах с непрерывной медленно изменяющейся электропроводностью с целью получения необходимых аналитических зависимостей и разработки достаточно простых алгоритмов, использование которых в условиях проведения полевых измерений занимает достаточно мало времени и не связано с привлечением сложной вычислительной техники. Математическую основу для решения целого ряда возникающих краевых задач уравнений электродинамики составляет метод последовательных приближений.

Материал диссертационной работы изложен в четырех главах.

В первой главе рассматривается уравнение для потенциала постоянного электрического поля в среде с непрерывно неоднородной проводимостью, дается развернутая запись этого уравнения в наиболее распространенных ортогональных системах координат. Показано, что разделение переменных возможно тогда, когда проводимость среды может быть описана аналитической зависимостью, представляющей собой произведение произвольных функций, каждая из которых зависит от одной пространственной координаты.

Анализируются уравнения электродинамики в плане использования их для изучения переменных во времени полей в неоднородных средах. В частности, рассмотрена возможность выбора электродинамических потенциалов электрического и магнитного типов, которые удовлетворяют уравнению Гельмгольца. Указана область частот, в которой допустимо разделение переменных.

Показана возможность применения метода последовательных приближений для решения краевых задач, появление которого связано со слабой градиентностью проводимости среды.

Вторая глава посвящена апробации метода последовательных приближений на ряде прямых и обратных модельных задач по расчету электрического поля в средах с центральной и аксиальной симметриями проводимости. Предполагается, что источниками поля в этих средах служат точечное и линейное заземления, а также источники, создающие первично однородное электрическое поле. Сопоставление полученных приближенных результатов с результатами ряда задач, допускающих точное решение, а также анализ критериев применимости первого приближения позволяет сделать заключение о достаточной эффективности метода и на его основе перейти к изучению адекватных моделей геоэлектрических разрезов.

В третьей главе решены прямая и обратная задачи вертикального электрического зондирования и прямая задача электрического профилирования. Дан анализ результатов для некоторых типов геоэлектрических разрезов, изменение проводимости в которых происходит в вертикальном или горизонтальном направлениях. Показано, что применение данного метода к соответствующим моделям кусочно-однородных сред дает полное качественное согласие с ранее известными результатами. Оценены погрешности, обусловленные использованием приближенного метода решения исходных уравнений.

В последней четвертой главе произведен расчет импеданса плоской монохроматической электромагнитной волны для полупространства, электропроводность которого изменяется с глубиной. С целью интерпретации результатов наземных измерений подробно проанализированы амплитудно-фазовые характеристики импеданса. Указан критерий применимости используемого метода для решения краевых задач такого типа.

В приложения к диссертационной работе вынесены: анализ результатов работы с точки зрения проверки статистических гипотез на основе применения критерия согласия Колмогорова-Смирнова; программы решения прямой и обратной задач ВЭЗ, использование которых позволяет быстро получить значения кажущегося и истинного удельных сопротивлений среды, а также оценки второго и более высоких приближений потенциала электрического поля для некоторых моделей сред. В диссертационной работе защищаются:

1. Метод приближенного решения уравнения для потенциала постоянного электрического поля в слабо неоднородной среде.

2. Расчет электрических полей в непрерывно-неоднородных средах, создаваемых различными типами заземлений.

3. Результаты решения ряда задач вертикального электрического зондирования и горизонтального электрического профилирования.

4. Способ и решение обратной задачи разведочной геофизики в методе сопротивлений для вертикально-неоднородной среды.

5. Расчет и анализ амплитудно-фазовых характеристик импеданса непрерывно-неоднородного полупространства.

Основные результаты работы докладывались на семинарах лаборатории геофизических полей Института океанологии АН СССР им. П.П, Ширшова, ВНИИ ядерной геофизики и геохимии, отдела теории физико-механических полей Института прикладных проблем механики и математики АН УССР, Всесоюзном совещании-семинаре "Инженерно-физические проблемы новой техники" (МГТУ им. Н.Э.Баумана) и опубликованы в работах [32-39].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту C.B. Соболеву и доктору

12 физико-математических наук, профессору МГТУ им. Н.Э. Баумана М. И Киселеву за помощь и внимание при выполнении настоящей работы.

13

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Курдюков, Евгений Петрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследованы геоэлектрические модели слабо неоднородных проводящих сред, в которых распределение электропроводности обладает центральной и аксиальной симметриями, а также вертикально и горизонтально неоднородные полупространства. Считалось, что проводимость изменяется по произвольному закону вдоль одной из пространственных координат.

2. Для решения краевых задач электродинамики предложен и реализован метод последовательных приближений. Нулевое приближение соответствует однородной среде. Расчет потенциала электрического поля достаточно подробно проведен для первого приближения, учитывающего непрерывное отклонение электропроводности от некоторого постоянного "фонового" значения.

3. В каждой конкретной модели среды указан критерий, выполнение которого делает возможным применение данного метода. Критерий вытекает из вида обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым приводит разделение переменных в исходном уравнении в частных производных, или из условия малости поправки первого приближения по сравнению с нулевым.

4. В качестве источников поля рассматривались: первично однородное электрическое поле, постоянные поля точечного и линейного заземления, а также внешнее квазистационарное электромагнитное поле.

5. Показано, что сопоставление первого приближения с точными решениями на примерах кусочно однородных разрезов дают вполне удовлетворительные результаты. Такая мера продиктована невозможностью получения точных решений уравнений поля в непрерывно неоднородных средах.

6. Приведены оценки поправок высших приближений для потенциала электрического поля. В результате установлено, что указанные ранее критерии применимости первого приближения являются достаточно жесткими. Использование оценок позволяет расширить область применения первого приближения, указать погрешности этого приближения, что важно в плане практического использования. Аналогичный вывод дает применение критерия согласия Колмогорова-Смирнова.

7. Теоретически получены аналитические зависимости кажущегося сопротивления вертикального непрерывно-неоднородного полупространства от полуразноса четырехточечной симметричной установки (прямая задача вертикального электрического зондирования (ВЭЗ)).

8. Решена обратная задача вертикального электрического зондирования, исходными данными для которой служат результаты наземных измерений. В ее основе лежит прямая задача ВЭЗ, решение которой получено предлагаемым методом. Для численного решения обратной задачи использован метод наискорейшего спуска.

90

9. Приведено решение задачи о нормальном падении плоской монохроматической волны на поверхность вертикально неоднородного полупространства. Рассчитан импеданс полупространства и найдена зависимость кажущегося сопротивления и фазы импеданса среды от длины падающей волны.

10. Разработаны программы для ЭВМ и инструкции к ним для расчета кажущегося сопротивления ВЭЗ и интерпретации наземных наблюдений. Предложенные программы используются в ГЭП "Югозапгеология".

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Курдюков, Евгений Петрович, 2000 год

1. Алытин J1.M., Даев Д.С., Карпинский А.Д. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике.-М.:Недра,1985. - 408 с.

2. Альпин JI.M. Теория дипольных зондирований. М.: Гостоптехиздат, 1950. -208 с.

3. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И., Мерщикова И.А. Исследование градиентных сред при глубоком электромагнитном зондировании//Изв. АН СССР, Физика Земли.-1974.-N6.-C.61-72.

4. Большев А.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.-416 с.

5. Боровинский Б.А. К теории вопроса применения ВЭЗ на. (jмноголетнемерзлых горных породах//ГеофиЗические методы изучения многолетнемерзлых горных пород, снега и льда. М., 1964. - С.56-77.

6. Бурсдорф В.В. Расчет заземлений в неоднородных грунтах //Электричество. 1954.-N1. - С. 15-25.

7. Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке. JL: Недра, 1972. - 368 с.

8. ВаньянЛ.Л. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра, 1965. -109 с.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. -528 с.

10. Ю.Воронцов Ю.И. Теория и методы макроскопических измерений. М.:

11. Наука, 1989. 280 с. П.Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод решения задач электродинамики неоднородных сред//Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1970. -N6. - С. 1453-1464.

12. Дмитриев В.И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде//Вычислительные методы и программирование. 1968. - N10. - С. 5565.

13. З.Дмитриев В.И. Электромагнитные поля в неоднородных средах. -М.: Рт. ВЦ МГУ, 1969.-132 с.

14. М.Ермохин К.М., Комаров В.А. Электрическое поле с непрерывным измерением удельного сопротивления//Вестник ЛГУ.-1983. N12. - С.92-95.

15. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

16. Иванов В.Т. Решение методом прямых некоторых задач для уравнений эллиптического типа//Дифференциальные уравнения. 1967.-N6.-C.1002-1008.

17. Иванов В.Т., Комаров В.А., Подлипчук Л.Н. Решение задач теории электрометрии скважин дифференциально-разностным методом//Изв. ВУЗов. Геология и разведка.-1971.-N1.-С. 106-112.

18. Иванов В.Т. О методе прямых для решения смешанных краевых задач в многосвязных областях//Дифференциальные уравнения. 1982.-N3. -С.150-153.

19. Иванов В.Т., Масютина М.С. Методы решения некоторых прямых и обратных задач электрокаротажа. -М.:Наука,1983. -144с23 .Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.-576 с.

20. Козыренко В.Е., Альтшулер Э.Б., Шинаев А.Г. О расчете полей сосредоточенных заземлителей в условиях многолетнемерзлых грунтов//Электричество.-1979.-N12.-С. 16-20.

21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978. - 832 с.

22. Королюк Т.И. Поле точечного источника, помещенного в пласте, сопротивление которого изменяется по показательному закону//Математ. записки Урал. гос. ун-та (Свердловск).- 1967. -Т.6, тетрадь 2.-С.55-56.

23. Костянев С.Г. Исследование поля постоянного тока в горизонтально-градиентных средах//Изв. ВУЗов. Геология и разведка.-1979.-N9.-C. 108112.

24. Костянев С.Г. Поле постоянного тока в градиентных средах// Вычисл. методы и программирование (M.).- 1975.-N24. -С. 156-160.

25. Костянев С.Г. Расчет поля тока в цилиндрической градиентной среде//Численные методы в геофизике.-М.,1979.-С.81-86.

26. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Влияние неоднородности проводимости на распределение потенциала постоянных электрических полей// Изв. АН СССР. Физика Земли.-1983.-КЗ.-С.108-110.

27. Курдюков Е.П., Соболев C.B. К теории линейного и точечного заземлений в среде с неоднородной электропроводностью//Изв. АН СССР. Физика Земли.-1984.N5 .-С. 101 -104.

28. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Распределение потенциала постоянного электрического поля точечного источника на плоской поверхности неоднородного полупространства //Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. 1985. -N1.-C.61-65.

29. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Расчет электрического потенциала точечного заземления для неоднородной среды (электропроводность изменяется по горизонтали)//Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985. -N5.-С.91-94.

30. Курдюков Е.П., Соболев C.B. К теории магнитотеллурического зондирования неоднородного полупространства//Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. 1986.-N6. -С.112-116.

31. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Обратная задача вертикального электрического зондирования методом сопротивление/Инженерно-физические проблема новой техники: Тезисы докладов всесоюзного совещания-семинара. -M.- 1990.-С.175-176.

32. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Обратная задача метода сопротивлений для некоторых слабонеоднородных сред//Изв. ВУЗов. Геол. и разведка.-1992.-N3.-C.119-123.

33. Курдюков Е.П., Соболев C.B. Обратная задача вертикального электрического зондирования методом сопротивлений//Изв. РАН. Физика Земли. -1992. -NI 1.-С. 18-22.

34. Куфуд О. Зондирование методом сопротивлений. -М.: Недра, 1984.- 272 с.

35. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. -286с.

36. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Квантовая механика.-М.: Наука, 1989.-768с.95 .

37. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. -624 с.

38. Майер A.A. Потенциал точечного источника на бесконечной неоднородной плоскости//Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. -N1. -С.98-101.

39. Меньшов Б.Г., Альтшулер Э.Б., Шинаев А.Г. Определение параметров градиентной структуры многолетней мерзлоты при расчете заземляющих устройств//Изв. ВУЗов. Энергетика.-1981. -N2.-C.24-29.

40. Мейер A.A. Потенциал точечного источника постоянного тока в полупространстве с линейно-изменяющейся проводимостью (сопротивлением)//Изв. АН СССР. Сер.геофиз.-1962.-N9. -С. 1158-1162.

41. Овчинников И.К. Электроразведка рудных объектов под поверхностным слоем земной коры. -М.: Недра, 1975.-88с.

42. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1982.-331с.

43. Потапов O.A., Лизун С.А., Кондрат В.Ф. Основы сейсморазведки. -М.: Недра, 1995.-268 с.

44. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.:Наука,1981. -800с.

45. Редозубов A.A., Сысков С.С. Картирование зон рассланцевания электроразведкой//Вопросы рудной геофизики. -Свердловск, 1973.-С.33-55.

46. Редозубов A.A. Теория и практика электрической разведки рудоносных зон (на примере поисков медноколчедановых месторождений Урала): Диссертация на соискание ученой степени доктора геолого-минералогических наук. -Свердловск, 1978. -465с.

47. Рудерман E.H. Поле точечного источника в трехслойной среде с промежуточным градиентным слоем//Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. -1971.-N11.-С.124-127.

48. Светов Б.С., Губатенко В.П. Аналитические методы решения электродинамических задач. М.: Наука, 1988. -344с.

49. Телфорд В.М. Прикладная геофизика. М.: Недра, 1980. -502 с.

50. Тихонов А.Н., Арсенин В .Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.-286 с.

51. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972. -736с.

52. Тихонов А.Н., Шахсуваров Д.Н. Метод расчета электромагнитных полей в слоистых средах//Изв. АН СССР. Сер.геофиз.-1956. -N3. -С.245-251.

53. Хармут X. Основы секвентного анализа. Основы и применения. -М.: Мир., 1980.-576с.

54. Хмелевской В.К. Основной курс электроразведки. -М.: Изд-во МГУ,1970.-4.1.-245 с.

55. Электроразведка. Справочник геофизика.-М.: Недра, 1980.-518 с.

56. Якубовский Ю.В. Электроразведка. -М: Недра, 1980. -384 с.

57. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. -М.: Наука, 1977. -342 с.

58. Banerjee В., Sengupta B.J., Pal В.Р. Apparent resestivity of a multilayered Farth with a layer having expanentiality conductivity//Geophys.prospect.-1980.• V.28, N3.-P.435-452.

59. Jain S.C. Resistivity sounding an a three-layer transitional model//Geophys.prospect.-1972.-V.20, N2.-P.283-292.

60. Koefed O. Resistivity sounding on an earth model containing transition layers with linear change of resistivity with depth//Geophys. prospect.-1979.-V.27, N4.-P.862-868.

61. Lai T. Apparant resistivity over a three layer on inhomogenions iterstretum//Pageop.-1970.-V.82, N5.-P. 269-862.

62. Langer R.E. An inversee problem in differential equations //Am. Math. Soc.Bul.-1933.-V.39.- P.814-820.

63. Mallick R., Jain S.C. Resistivity sounding on a layered transitional earth/ZGeophys. prospect.- 1977.-V.27, N4.-P. 869-875.

64. Patella D. Resistivity sounding on a multy-layred earth. Thteory//Geophys. prospect.- 1977.-V.25, N4.-P.699-729.

65. Prosad Pal Barun, Dasgupta S.P. Electrical potential due inhomogeneous anisotropic earth//Geophys.prospect.-1984.-V.32, N5.-P.943-952.

66. Raghuwanshi S.S., Singh Bijendra. A class of resistivitydepth functions amenable to exact solutions of geoelectric potential//Indian J.Earth Sci.-1977.-V.10, N1.-P.75-81.99