Математическое моделирование электрического импульса в нервном волокне тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Максименко, Екатерина Васильевна

• Максименко, Екатерина Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Максименко, Екатерина Васильевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Современные методы математического описания электродинамических процессов в нервных волокнах

1.1. Общая характеристика биоэлектрических явлений

1.2. Математические модели электродинамических процессов в безмиелиновых нервных волокнах

1.3. Общая характеристика солитонных процессов

ГЛАВА 2. Математическое моделирование электрического импульса в нервном волокне как солитона

2.1. Теоретические предпосылки к моделированию электри- ^ ческого импульса в нервном волокне как солитона

2.2. Гипотетические модельные нервные волокна

2.3. Солитонная модель трансмембранного потенциала в ^ возбужденном безмиелиновом волокне

2.4. Солитонная модель трансмембранного потенциала в ^ возбужденном миелинизированном волокне

ГЛАВА 3. Разработка алгоритма для вычисления трансмембранного потенциала в нервном волокне

3.1. Алгоритм для вычисления трансмембранного потенциа- ^ ла в безмиелиновом нервном волокне

3.2. Алгоритм для вычисления трансмембранного потенциа- ^ ла в миелинизированном нервном волокне

3.3. Программный комплекс для вычисления трансмембран- ^ ного потенциала в нервном волокне

ГЛАВА 4. Экспериментальное обоснование адекватности со-литонной модели изменения трансмембранного потенциала в возбужденном нервном волокне

4.1. Общая характеристика и методика экспериментального ^ исследования

4.2. Результаты исследования и их обсуждение 112 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 122 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 124 ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование электрического импульса в нервном волокне»

Актуальность исследования. Для современной науки характерно применение точных математических методов в самых различных областях знания, в том числе и в биологии. В науку о живой природе математика входит различными путями: с одной стороны — это использование современной вычислительной техники для быстрой обработки результатов биологического эксперимента, с другой — создание математических моделей, описывающих различные живые системы и происходящие в них процессы. Не менее важна и «обратная связь», возникающая между математикой и биологией: последняя не только служит ареной для применения математических методов, но и становится все более существенным источником новых математических задач [124].

Одной из областей успешного симбиоза математики и биологии следует считать исследование биоэлектрических явлений. Современная электрофизиология не мыслима без широкого использования математического моделирования процессов, протекающих в живых электровозбудимых структурах.

За более чем пятидесятилетний период, начало которому положил фундаментальный труд А. Ходжкина и А. Хаксли [6], создано немало таких моделей. Большинство из них сегодня представляет лишь историческую ценность, другие - не потеряли своей актуальности и находят практическое применение. Однако, как следует из результатов экспериментальных исследований, проведенных в последнее время, традиционные подходы к математическому описанию электрических явлений в живых организмах оказываются явно недостаточными.

В этом смысле особый общетеоретический и практический интерес представляет применение солитонной теории. Солитоны как устойчивые самолокализующиеся сгустки энергии или вещества известны в физике плазмы, жидких и твердых кристаллов, магнитных и иных доменных структур, классических жидкостей, нелинейных решеток и в других областях науки [34,36, 47, 54, 64, 66, 97, 110]. В последние годы многие авторы указывали на фундаментальное значение использования солитонной концепции в качестве базовой для широкого класса моделей биологических процессов [40, 50, 51, 87]. Действительно, живое вещество представляет собой гетерофазный раствор биополимеров с обилием нелинейных решеток в нем в виде полимерных сеток, цитоскелетов и подобных структур, а его жизнедеятельность тесно связана с движением фронтов фазовых перестроек. Применение солитонной теории для этих процессах представляется естественным [98].

В то же время, известно немного удачных примеров применения теории солитонов к описанию биологических явлений. В 70 - 90 годах прошлого века А.С.Давыдов исследовал нелинейные механизмы эффективного транспорта энергии на макроскопическое расстояние в живых клетках и разработал модель молекулярного механизма сокращения мышц на основе представления о солитонах [42, 43, 44]. При помощи солитонных уравнений было описано распространения пульсовой волны в кровеносном сосуде [22, 92, 101]. В 1991 году А.Н.Волобуев с соавторами разработал солитонную модель электрических процессов в биологических возбудимых средах [37, 94]. Эта модель А.Н.Волобуева является единственным примером применения теории солитонов для решения задач электрофизиологии.

Таким образом, солитонный подход к биоэлектрическим явлениям позволяет перейти на качественно новую ступень их понимания и обеспечить достаточно уверенную оценку количественных параметров нервных процессов.

Практическая значимость солитонного описания процессоре электровозбудимых живых структурах заключается в создании аналитических обобщенных моделей с относительно простым математическим аппаратом, допускающих непосредственное прикладное их использование при решении разнообразных практических задач.

Целью настоящей работы является создание и исследование математической модели изменения трансмембранного потенциала нервного волокна при распространении по нему возбуждения.

В рамках достижения поставленной цели нами выделены следующие частные задачи исследования:

1. Систематизировать и проанализировать основные применяемые в современной электрофизиологии модели трансмембранного потенциала в возбужденном нервном волокне.

2. Теоретически обосновать возможность описания трансмембранного потенциала возбужденного нервного волокна при помощи солитонной модели.

3. Создать математические модели электродинамических явлений в безмие-линовом и миелинизированном нервных волокнах.

4. На базе предложенных моделей разработать и реализовать в комплексе программ алгоритмы для вычисления трансмембранного потенциала в возбужденном нервном волокне.

5. Провести экспериментальную проверку адекватности предложенных моделей.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:

1. Предложен новый подход к терминологическому описанию нервного импульса и потенциала действия.

2. Впервые для моделирования биоэлектрических явлений в нервном волокне предложена активная резистивно-емкостная цепь (RC-цепь) и применен солитонный подход на базе решения уравнения Кортевега - де Фриза, достаточно точно описывающего свойства трансмембранного потенциала, динамику его изменения в возбужденном нервном волокне, допускающего аналитические и численные исследования.

3. Разработано оригинальное программное обеспечение для вычисления трансмембранного потенциала в возбужденном нервном волокне при помощи солитонной модели, позволяющее использовать полученные математические модели в решении различных прикладных задач.

Практическая ценность диссертационного исследования состоит в том, что его результаты могут быть положены в основу изучения различных случаев распространения возбуждения в биологических системах. В частности, предложенные модели распространения возбуждения в нервных волокнах, соответствующие алгоритмы и программные продукты могут быть использованы в практической медицине, нейробиологии и нейрокибернетике.

Разработанное оригинальное программное обеспечение для вычисления трансмембранного потенциала в возбужденном нервном волокне при помощи солитонной модели позволяют использовать полученные математические модели в решении различных прикладных задач, наблюдать явления, изучение которых в натурном эксперименте невозможно или затруднительно.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоретическое обоснование возможности математического описания изменения трансмембранного потенциала при распространении возбуждения по нервному волокну при помощи солитонной модели.

2. Солитонная модель трансмембранного потенциала в безмиелиновом нервном волокне в форме активной резистивно-емкостной цепи.

3. Математическое описание трансмембранного потенциала в безмиелино-вом и миелинизированном нервных волокнах на основе решения уравнения Кортевега - де Фриза.

4. Алгоритмы и комплекс программ для вычисления трансмембранного потенциала в безмиелиновом и миелинизированном нервных волокнах.

5. Исследование трансмембранного потенциала, регистрируемого в возбужденном изолированном безмиелиновом волокне седалищного нерва Прудовой лягушки, и сопоставление его результатов с теоретическими, полученными при помощи солитонной модели.

Апробация полученных результатов:

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-практических конференциях:

1. Восьмая Всероссийская Научная Конференция Студентов физиков и молодых ученых, Екатеринбург, 29 марта - 4 апреля, 2002 г.

2. X итоговая (межвузовская) научная конференция студентов и молодых ученых, Ставрополь, 22-26 апреля 2002 г.

3. Региональная научная конференция «Теоретические и прикладные проблемы современной физики», Ставрополь, 20-23 сентября, 2002 г.

4. Международный форум по проблемам науки, техники и образования, Москва, 1-5 декабря 2003 г.

5. Региональная научно-методическая конференция преподавателей и студентов «Университетская наука региону», Ставрополь, 4-6 апреля, 2003 г.

6. XI итоговая (межвузовская) научная конференция студентов и молодых ученых, Ставрополь, 21-25 апреля 2003 г.

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, четыре из которых - в центральных рецензируемых журналах «Обозрение прикладной и промышленной математики» и «Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета».

В 2003 году исследование было поддержано Фондом некоммерческих программ «Династия» и Международным центром фундаментальной физики в Москве (МЦФФМ).

Результаты диссертационного исследования внедрены в учебный процесс Ставропольского государственного университета в рамках преподавания на кафедре теоретической физики учебного курса «Линейные и нелинейные уравнения физики» и в учебный процесс Ставропольской государственной медицинской академии в рамках преподавания на кафедре медицинской и биологической физики с информатикой и медицинской аппаратурой курса медицинской и биологической физики (приложение 2).

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературных источников, содержащего 122 наименования. Объем рукописи 148 страниц машинописного текста. Диссертация включает 52 рисунка, 13 таблиц и 2 приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Максименко, Екатерина Васильевна

Выводы

В завершении четвертой главы следует отметить, что проведенное экспериментальное исследование подтвердило пригодность предложенных со-литонных моделей для математического описания трансмембранного потенциала в возбужденном нервном волокне.

Аппроксимация нервного импульса куполообразной функцией достаточно точна при условии отсутствия необходимости отражения следовых потенциалов. В случае, когда для исследователя представляет интерес область следового гиперполяризационного потенциала, следует использовать модификацию модели, ориентированную на его отображение. Однако, в силу некоторой громоздкости вычислений в этом случае, расширять показания к применению этой модели не целесообразно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на создание математической модели процесса распространения нервного импульса в нервном волокне. Получены следующие научные и практические результаты:

1. Систематизированы и проанализированы основные применяемые в современной электрофизиологии модели биоэлектрических явлений, имеющих место в нейронах. Предложены новые определения терминов «потенциал действия» и «нервный импульс».

2. Теоретически обоснована возможность описания трансмембранного потенциала возбужденного нервного волокна при помощи солитонной модели.

3. Разработана солитонная модель нервного волокна на основе активной RC-цепи. Выполнен расчет соответствующих параметров.

4. Предложено математическое описание трансмембранного потенциала в возбужденном безмиелиновом нервном волокне на основе решения уравнения Кортевега - де Фриза. Предложены способы нахождения входящих в уравнение параметров и произведена их физическая интерпретация.

5. Разработана модификация солитонной модели нервного импульса в безмиелиновом нервном волокне, позволяющая описывать следовой гиперполяризационный потенциал.

6. Разработана модификация солитонной модели для описания трансмембранного потенциала в возбужденном миелинизированном нервном волокне с учетом сальтаторного характера распространения возбуждения.

7. На базе предложенных моделей и математических описаний разработаны и реализованы в программных продуктах алгоритмы для вычисления трансмембранного потенциала в безмиелиновых и миелинизированных нервных волокнах.

8. Показана адекватность предложенной математической модели экспериментальным результатам. Проведено сравнение вычисленного при помощи солитонной модели потенциала действия с данными, полученными в экспериментах над изолированным из седалищного нерва Прудовой лягушки безмиелиновым нервным волокном.

Таким образом, разработана математическая модель процесса распространения нервного импульса в нервном волокне, точно описывающая его качественные свойства (неизменность с течением времени амплитуды импульса, длительности и скорости распространения) и достаточно удовлетворительно - количественные, допускающая аналитическое исследование и удобная для организации численного эксперимента.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Максименко, Екатерина Васильевна, 2006 год

1. Abbott L. F. and Kepler Т. B. Model neurons: from Hodgkin-Huxley to Hopfield // Statistical Mechanics of Neural Networks, L. Garrido, ed., no. 368 in Lecture notes in Physics, Springer-Verlag, 1990. P.5-18

2. Bressloff P. C. and Coombes S. Physics of the extended neuron // International Journal of Modern Physics. 1997. - №11. - P.2343-2392

3. Deliagina T.G., Orlovsky G.N., Selverston A.I., Arshavsky Y.I. // Journal of Neurophysiology. 1999. - N.82. - P.687-699

4. Dominique Debanne. Information processing in the axon // Nature Reviews Neuroscience. 2004. - V.5. - №4. - P.304-316

5. Frankenhaeuser В., Huxley A. The action potential in the myelinated nerve fibre of Xenopus Laevis as computed on the basis of voltage clamp data // J.Physiol. 1964. - N2. - P.302-315

6. Hodjkin A., Huxley A. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J.Physiol. (London). -1952. N4. - P.500-544

7. Honert van den C., Mortimer J.T. // Ann. Biomed. Eng. 1979. - V.7. - P. 117

8. Huffier S. W., Nicholls J.G. From neuron to brain: A cellular approach to the function of the nervous system. Sinauer Associates, Inc., Publishers, 1976. -325 pp.

9. Keener J and Sneyd J. Mathematical Physiology. Springer, 1998. - 741 pp.

10. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure Appl. Math. 1968. - V.21. - P.467-490

11. Lax P.D. Periodic solutions of the KdV equations // Comm. Pure Appl. Math. -1975. -V.28. -P.141-188

12. Mc Neal D. Analysis of a model for excitation of myelinated nerve // IEEE Trans. On Biomed. Eng. 1983.- V.30. - N4. - P.329-337

13. Mendez С., Мое G.K. // Circul. Res. 1966. - V.19. - P.378

14. Murray J.D. Mathematical Biology. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-N.Y., Biomathematics, 1993. - V.19. - 767 pp.

15. Noble D. A modification of Hodgkin-Huxley equation applicable to purkinje fiber action and pacemaker potential // J. Physiol. (London). 1962. - V.160. -P. 317-352

16. Qian N and Sejnowski T J. An electro-diffusion model for computing membrane potentials and ionic concentrations in branching dendrites, spines and axons. // Biological Cybernetics. 1989. - V.62. - .1. - P. 15

17. Scott A.C. // Rev. Mod. Phys. 1975. - V.47 -N.2. - P.487

18. Silinsky E. M., Redman R. S. // J. Physiol. (London). 1996. - V.492. -P.815—822

19. Smith G.H. Numerical Solution of Partial Differential Educations: 3rd ed. -Clarendon Press, Oxford, 1985. 632 pp.

20. Wilson H.R. and Cowan J.D.//Kybernetik. 1973. - N13.-P.55-80

21. Wit A.L., Hoffman B.F., Cranefield P.F. // Circul. Res. 1972. - V.30. - P.l

22. Yomosa Shigeo // Comm. Pure Appl. Math. 1986. - V.46. - N.l. - P. 107

23. Zipes D.P., Jalife J. Cardiac Electrophysiology. Philadelphia: W.B. Sanders Company, 1990. - 356 pp.

24. Абдулаев Ф.Х. Динамический хаос солитонов. Ташкент: Фан, 1990. -167 с.

25. Абловиц М.Д., Сигур Харви. Солитоны и метод обратной задачи / Пер. с анг. А.В.Михайлова; под ред. В.Е.Захарова. М.: Мир, 1987. - 487 с.

26. Авраменко Р.Ф., Грачев Л.П., Николаев В.И. Проблемы современной электродинамики и биоэнергетика. М, 1991. - 265 с.

27. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Колебания и волны: Лекции. М.: Изд-во Физического факультета МГУ, 2001. - 421 с.

28. Антомонов Ю.Г. Моделирование биологических систем. Киев: Науко-ва думка, 1977. - 260 с.

29. Антонов В.Ф. Биофизика мембран // Соросовский образовательный журнал. 1996. - №6. - С.4-12

30. Асланиди О.В., Морнев О.А. Об отражении бегущих импульсов // Биофизика. 1996. - том 41. - вып.4. - С.953-959

31. Бериташвили И.С. Вопросы физиологии мышц, нейрофизиологии. -Тбилиси: Мецниереба, 1984. 703 с.

32. Беркенблит М.Б., Глаголева Е.Г. Электричество в живых организмах. -М: Наука, 1988. 285 с.

33. Биофизика: Учеб. для студ. ВУЗов / Антонов В.Ф., Черныш A.M., Пасечник В.И. и др.; под ред. В.Ф. Антонова. 1-е изд. - М.: Гуманит. изд. центр "Владос", 2000. - 288 с.

34. Брыскин В.В. Векторные солитоны в динамике ангармонических моноатомных решеток // ЖТФ. 1998. - т.68. - вып. 11. - С. 1-7

35. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.- 240 с.

36. Волков С.Н., Савин А.В. Солитонная динамика локальных переходов в бистабильной одномерной системе // Укр. физ. журн. 1992. - №37(4). -С.498-504

37. Волобуев А.Н., Неганов В.А., Нефедов Е.И. Индуктивно-емкостная модель возбудимой биоткани. Часть 1-4 // Вестник новых медицинских технологий. 1996. - № 3,4. - 1997. - № 1,3

38. Гамалий Е.Г. Волновые процессы в современной физике. М.: Изд-во МАИ.-1990.-91 с.

39. Гнатек Ю.Р. Справочник по цифроаналоговым и аналого-цифровым преобразователям. М.: Радио и связь, 1982. - 552 с.

40. Горбачев В.В. Концепция современного естествознания: Учебное пособие. М.: Изд-во МГУП, 2002. - 247 с.

41. Гофман В., Хомоненко A. Delphi 6. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. -1152 с.

42. Давыдов А.С. Биология и квантовая механика. Киев: Наукова думка,1979.-296 с.

43. Давыдов А.С. Солитоны в биоэнергетике. Киев: Наукова думка, 1986.- 159 с.

44. Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наукова думка, 1988.-303 с.

45. Дейч С. Модели нервной системы. / Пер. с англ. С.Д.Бурцевой; под ред. Н.В.Позина-М.: Мир, 1970. 325 с.

46. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

47. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М: Наука, 1998. - 368 с.

48. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов (метод обратной задачи) / Под ред. С.П. Новикова. М.: Наука,1980.-319 с.

49. Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега-де Фриза вполне интегрируемая гамильтонова система // Функц. анализ и его приложения. -1971.-Т.5. -№4.-С.18-27

50. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И. Автоволновые процессы: общие закономерности биологических, химических и физических активных сред // Методологические вопросы теоретической биологии и биофизики. М.: Наука, 1984.-С.275-282

51. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Морнев О.А. Автоволны: новое на перекрестках наук // Кибернетика живого. М., 1984. - С.24-37

52. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978. - 310 с.

53. Ильичев А.Т. Уединенные волны в средах с дисперсией и диссипацией (обзор) // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. - N.2. -С.3-27

54. Каданцев В.Н., Лупичев Л.Н., Савин А.В. Образование солитонных состояний в молекулярной цепочке при квантовом учете тепловых колебаний // Укр. физ. журн. 1988. - №33(8). - С. 1135-1139

55. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.Н. Об устойчивости уединенных волн в слабодиспергирующих средах. // Доклады АН СССР. 1970. - т. 192. -С.753-756

56. Каплан Л.Г. Интегральный подход в теории солитонов // Проблемы физ.-мат. наук.: Мат. XLIV науч.-метод. конф. препод, и студ. «Университетская наука региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 1999. - с. 136

57. Каплан Л.Г. Локальные процессы в сплошной жидкой среде и атмосфере. Ставрополь: Изд-во «АСОК», 1993. - 246 с.

58. Каплан Л.Г., Максименко Е.В., Максименко Д.В. Моделирование нервного импульса как солитона // Теоретические и прикладные проблемысовременной физики: Мат. Региональной науч. конф. Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002, С. 204-210

59. Каплан Л.Г., Максименко Е.В. О биологических электрических локальных процессах // Мат. XLVIII науч.-метод. конф. препод, и студ. «Университетская наука региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003. - С. 46

60. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М: Наука, 1973.-160 с.

61. Карпухин В.А. Биотехнические особенности проектирования усилителей электрофизиологических сигналов. М.: МГТУ, 1994. 54 с.

62. Кац Б. Нерв, мышца и синапс / Пер. с англ.- М.: Мир, 1968. 224 с

63. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны: локализованные сильно неравновесные области в однородных диссипативных системах. М.: Наука, 1991.- 197 с.

64. Ковалевич А.С., Усатенко О.В., Горбач А.А. Движение солитонов в модулированных упругих средах // ФТТ. 2001. - т.43. - вып.9. - С. 16001609

65. Костюк П.Г. Механизмы электрической возбудимости нервной клетки. -М.: Наука. 1981.-204 с.

66. Кудряшов Н.А. Нелинейные волны и солитоны // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. - №2. - С.85-91

67. Лакомкин А.И., Мягков И.Ф. Электрофизиология. М.: Высшая школа, 1977.-305 с.

68. Лаке П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны // Математика. 1969. - №5. - С. 128-150

69. Леони Д., Берте Р. Анатомия и физиология человека в цифрах. М: Крон-Пресс, 1995.-128 с.

70. Магура И.С. Проблемы электрической возбудимости нейрональной мембраны. Киев: Наукова думка, 1981.- 208 с.

71. Максименко Е.В. Аналитическая модель нервного импульса // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. - Т. 10. - вып.З. -С.696-697

72. Максименко Е.В. Использование уравнения Кортевега- де Фриза для моделирования трансмембранного потенциала в нервном волокне // Вестник Северо-Кавказского государственного технического университета, серия «Естественнонаучная». 2004. - №1(7). - С.234-235

73. Максименко Е.В. Исследование распространения нервного импульса как солитона // Сборник тезисов Восьмой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых. Екатеринбург, 2002. -с.594-596

74. Максименко Е.В. Моделирование локальных электрических процессов в биологических возбудимых средах // Материалы XI итоговой научной конференции молодых ученых и студентов. Ставрополь: Изд. СГМА, 2003. - с.93-94

75. Максименко Е.В. Моделирование распространения нервного импульса с использованием ЭВМ // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2004. Т.П. - вып.2. - С.368-369

76. Максименко Е.В. Нервный импульс как локальный электрический процесс // Сборник тезисов Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых. Екатеринбург-Красноярск: Изд. АСФ России, 2003. - Т.2. - с.825-826

77. Максименко Е.В Об использовании математических методов в биологических исследованиях// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - т. 12. - вып.2. - с.431-432

78. Максименко Е.В. Описание нервного импульса как солитона // Материалы X итоговой научной конференции молодых ученых и студентов. -Ставрополь: Изд. СГМА, 2002. с.270-271

79. Максимов А.Г., Сомов А.В. Динамика бегущих импульсов сложной формы в системе Фитц-Хью-Нагумо при модуляции параметров // Известия вузов. Радиофизика. 1998. - Т.41. - С.1586-1592

80. Маркин B.C. Теория возбудимых сред / Маркин B.C., Пастушенко В.Ф., Чизмаджев Ю.А.; Ред. М.В.Волькенштейн; АН СССР. М.: Наука, 1981.-276 с.

81. Маркин B.C., Чизмаджев Ю.А. Физика нервного импульса. М.: Знание, 1977.-63 с.

82. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. / Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 399 с.

83. Математическая теория биологических процессов / А.Б.Медвинский, М.А.Цыганов, И.Б.Кресьева, Г.Р.Иваницкий. Калининград, 1994. -389 с.

84. Мелконян Д.С. Переходные процессы в нейронных системах. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1987. - 407 с.

85. Механико-химические автоволны в живых клетках / Д.П.Николаев, В.А.Теплов, В.П.Божкова, Ю.М.Романовский // Труды семинара «Время, хаос и математические проблемы». М.: Изд-во МГУ, 1999. - С. 181-202

86. Моделирование физиологических функций организма / Под ред. Б.В.Петровского. М, 1971. - 698 с.

87. Молотков И.А., Вакуленко С. А., Бисярин М. А. Нелинейные локализованные волновые процессы. М.: Янус-К, 1999. 176 с.

88. Морнев О.А., Асланиди О.В., Алиев Р.Р., Чайлахян J1.M. Солитонопо-добный режим в уравнениях Фитц-Хью-Нагумо: Отражение сталкивающихся импульсов возбуждения. // Доклады АН. 1996. - Т.347. - №1. - С.123-125

89. Начала физиологии: Учеб. для вузов / А. Д. Ноздрачев, Ю. И. Баженов, И. А. Баранникова и др.; С.-Петерб. гос. ун-т (СПбГУ); Под ред. А.Д.Ноздрачева. 2-е изд., испр. - СПб.: Лань, 2002. - 1088 с.

90. Некоторые особенности нелинейного моделирования пульсовой волны / А.Н.Волобуев, В.И.Кошев, В.П.Пирогов, Е.С.Петров // Биофизика. -1996. -Т.41. вып.2. - С.453-458

91. Нелинейные волны: самоорганизация / Под ред. А.В. Гапона-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука, 1983. - 264 с.

92. Нелинейное моделирование распространения потенциала действия / А.Н.Волобуев, Б.Н.Жуков, Е.Л.Овчинников и др. // Биофизика. 1991. -Т.36. - вып.З. - С.546-551

93. Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // Функц. анализ и его приложения. 1974. - №8. - С.54-66

94. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике / Пер. с англ.; Ред.

95. A.В.Михайлова. Новокузнецк: Изд-во НФМИ, 1998.- 322 с.

96. Петвиашвили В.И., Похотелов О.А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 199 с.

97. Петухов С.В. Биосолитоны тайна живого вещества. Основы солитонной биологии. - М.: "ГП Кимрская типография", 1999. - 288 с.

98. Плонси Р., Барр Р. Биоэлектричество: Количественный подход. / Пер. с англ.; под ред. Л.М.Чайлахяна, Л.И.Титомира М: Мир, 1992 - 366 с.

99. Практикум по нормальной физиологии: Учебное пособие / Под ред. Н.А. Агаджаняна. М.: Изд-во РУДН, 1996.- 339 с.

100. Пульсовая волна с точки зрения солитона / А.Н.Волобуев, И.И.Кошев,

101. B.Н.Пирогов, Е.С.Петров // Биофизика. 1991. - Т.36. - вып.З. - С.552-557

102. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1992.-454 с.

103. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. - 304 с.

104. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975.- 342 с.

105. Рубин А.Б. Биофизика. В 2-х кн. Учеб. для биол. спец. вузов. М.: Высш. школа, 1999. - Т. 1.- 448 с.

106. Юб.Рыскин Н. М., Трубецков Д. И. Нелинейные волны: Учеб. пособие. М.: Физматлит. - 2000. - 272 с.

107. Савченко Л.П. Пространственное распределение потенциала на цилиндрической поверхности, имитирующей соматическую мембрану: модельные исследования // Нейрофизиология. — 2000. вып.32. - №5. -С.333-341

108. Самойлов В.О. Медицинская биофизика.- JL: ВМА, 1986.- 490 с.

109. Симонович С., Евсеев Г., Алексеев А. Общая информатика. М.: АСТ-ПРЕСС; Инфорком-Пресс. - 1998. - 592 с.

110. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977. - 368 с.

111. Смолянинов В.В. О скорости проведения возбуждения по волокну и синцитию // Биофизика. 1969. - Т. 14. - вып.2. - С.336-347

112. Ш.Солитоны / Под ред. Буллаф, Ф.Кодри; Пер. с англ. Б.А.Дубровина, И.М.Кричевера, С.В.Манатоны и др.; Под ред. С.П.Новикова. М.: Мир, 1983.-408 с.

113. ПЗ.Солитоны в действии / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова, Л.А.Островского.-М.: Мир, 1981.-312 с.

114. М.Солитоны: Пер. с англ. / Ред. С.П.Новиков. Новокузнецк: Изд-во НФМИ, 1999.-408 с.

115. Съем и обработка биоэлектрических сигналов: Учеб. пособие // К.В.Зайченко, О.О.Жаринов, А.Н.Кулин и др. СПб., 2001. - 140 с.

116. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 320 с.

117. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.-724 с.

118. Федорков Б.В. Микросхемы ЦАП и АЦП: функционирование, параметры, применение. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 320 с.

119. Физиология: Учебник / Под ред. С.А.Георгиевой. 2-е изд.; перераб. и доп. - М.: Медицина, 1986. - 400 с.

120. Физиология: Учеб. для студ. ВУЗов / Под ред. В.М. Покровского. М.: «Медицина», 1998. - Т.1. - 815 с.

121. Физиология человека / Фомин Н.А. -3-е изд. М.: Просвещение, 1995.416 с.

122. Физиология человека: Учеб. для студ. мед. вузов / Н. А. Агаджанян, В. Г. Афанасьев, Н. А. Барбараш и др.; Под ред. В. М. Смирнова. М.: Медицина, 2001.-608 с.

123. Фолкенберри JI. Применения операционных усилителей и линейных ИС. М.:Мир, 1985.-572 с.

124. Фомин С. В., Беркинблит М. Б. Математические проблемы в биологии. -М.: Наука, 1973.-200 с.

125. Ходжкин А. Нервный импульс / Пер. с англ.- М.: Мир, 1965.- 128 с.

126. Ходоров Б.И. Общая физиология возбудимых мембран. М.: Наука, 1975.-406 с.

127. Цветков О.В., Дегтярев Т.М., Смирнова Е.П. Вариант модели Ходжки-на-Хаксли с сокращенным числом параметров // Биофизика. 1998. -т.43. - вып.1. - С.109-114

128. Электрофизиологическая и фотометрическая медицинская техника: Уч. пособие / Е.П. Попечителев, Н.А. Кореневский М.: Высшая школа, 2002.-470 с.