Математическое и программное обеспечение для исследования фрикционных автоколебаний релаксационного типа в системах управления с упругими элементами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Михайлова, Виктория Львовна

• Михайлова, Виктория Львовна
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Михайлова, Виктория Львовна

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ И ФОРМУЛИРОВКА ПОДХОДА К ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ РЕЛАКСАЦИОННЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМАХ

С УПРУГОСТЬЮ И ТРЕНИЕМ.

1.1. Существующие модели трения в решении задач о фрикционных автоколебаниях.

1.2. Аналитические методы в задачах о колебаниях систем с трением

1.3. Численные методы решения задач динамики систем с трением . 3 j

1.4. Формулировка подхода к численному моделированию релаксационных автоколебаний в системах с трением.

2. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СКАЧКООБРАЗНЫМ ИЗМЕНЕНИМ ЗНАЧЕНИЙ СИЛ ТРЕНИЯ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ ПОКОЯ К СКОЛЬЖЕНИЮ.

2.1. Основные положения предлагаемой неявной итерационной процедуры численного интегрирования на примере одномассовой системы с трением.

2.2. Обобщение алгоритма на случай систем с произвольным числом степеней свободы и произвольным количеством источников трения.

2.3. Особенности программной реализации.

3. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА К ИССЛЕДОВАНИЮ РЕЛАКСАЦИОННЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ С ТРЕНИЕМ

3.1. Одномассовая система с трением.

3.1.1. Постановка задачи и вычислительная модель.

3.1.2. Результаты численного моделирования релаксационных автоколебаний одномассовой системы в случае постоянной скорости нагружения.

3.1.3. Анализ результатов моделирования релаксационных автоколебаний одномассовой системы при периодическом характере внешнего воздействия.

3.2. Двухмассовая система с двумя источниками трения.

3.2.1. Постановка задачи и вычислительная модель.

3.2.2. Результаты численного моделирования релаксационных автоколебаний двухмассовой системы в случае постоянной скорости нагружения.

3.2.3. Анализ результатов моделирования релаксационных автоколебаний двухмассовой системы при периодическом характере внешнего воздействия.

4. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА К ИССЛЕДОВАНИЮ РЕЖИМОВ ФРИКЦИОННЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ РЕЛАКСАЦИОННОГО ТИПА В СЛЕДЯЩЕМ (РУЛЕВОМ) ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ.

4.1. Характеристики рассматриваемого электропривода и задачи исследования. gy

4.2. Оценка устойчивости рассматриваемого привода на основе частотного анализа.

4.2.1. Программная реализация пошаговой логарифмической процедуры частотного анализа.

4.2.2. Применение разработанной вычислительной процедуры частотного анализа к оценке устойчивости рассматриваемого привода.

4.3. Исследование реакции рассматриваемого электропривода на постоянное входное воздействие.

4.4. Исследование режимов релаксационных автоколебаний в рассматриваемом электроприводе.

4.4.1. Вычислительная модель для исследования динамики рассматриваемого привода с учетом скачкообразного изменения момента трения при переходе от покоя к скольжению.

4.4.2. Результаты численного моделирования режимов фрикционных автоколебаний релаксационного типа в рассматриваемом электроприводе. !q

4.4.2.1. Случай постоянной скорости входного воздействия . Ю

4.4.2.2. Случай переменной скорости входного воздействия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и программное обеспечение для исследования фрикционных автоколебаний релаксационного типа в системах управления с упругими элементами»

Специалистам, занимающимся вопросами проектирования систем управления различного рода объектами (промышленного, транспортного, технологического и другого назначения), приходится уделять большое внимание возможности возникновения в процессе работы таких систем фрикционных автоколебаний, обусловленных трением и упругими свойствами в отдельных устройствах и элементах этих систем. Такие автоколебания способны не только нарушить нормальное функционирование разработанной системы, но и вывести ее из строя. Это указывает на чрезвычайную важность проблемы расчетного прогнозирования подобного рода негативных явлений на начальных этапах проектирования, чтобы иметь возможность заранее вырабатывать меры по предотвращению указанных явлений в предполагаемых условиях эксплуатации каждой конкретной из разрабатываемых систем.

Ситуацию, сложившуюся в области методов расчета и математического моделирования фрикционных автоколебаний, можно кратко охарактеризовать следующим образом.

Фундаментальные экспериментальные и расчетные исследования по изучению закономерностей трения и его влияния на динамическое поведение различного рода систем привели к пониманию основных механизмов возникновения фрикционных автоколебаний [1,2,6,10,11,14,15,19,20,22,31, 33-35,37,39,40,41,44,52-54,59,62,65,66,73,77-79,81-83]. В рамках настоящей диссертационной работы основное внимание предполагается уделить фрикционным автоколебаниям, возникающим вследствие падающего характера зависимости силы трения от скорости. Такая закономерность типична для широкого класса производимых и эксплуатируемых систем и в этом смысле заслуживает особого рассмотрения. Не случайно исследованию этого класса автоколебаний посвящена обширная литература [1,2,6,12,14,15,19,26,27,30, 44,52-55,62,65-67,73,78,80,82,83,88,96,108].

Вместе с тем следует отметить, что большинство расчетных исследований посвящено анализу фрикционных автоколебаний так называемого квазигармонического типа. Подобные автоколебания возникают, когда значения относительных скоростей взаимодействующих поверхностей в узлах трения достаточно высоки, и падающий участок зависимости силы трения от скорости (в окрестности некоторого рабочего значения скорости) оказывается достаточно пологим. Для исследования фрикционных автоколебаний квазигармонического типа разработан широкий круг методов расчета. Здесь нашли применение различные подходы приближенного гармонического анализа нелинейных систем [1,2,5,6,21,22,52-54,58,76,79,82,103]. Для исследования подобного типа автоколебаний могут быть успешно применены и имеющиеся стандартные алгоритмы и программы, основанные на методах численного интегрирования уравнений динамики рассматриваемого класса систем [15,35,64,75].

Гораздо менее исследованными в расчетном плане оказались фрикционные автоколебания так называемого релаксационного типа, при которых движение систем носит прерывистый характер (когда этапы относительного движения взаимодействующих поверхностей в узлах трения сменяются этапами относительного застоя). Подобные автоколебания особенно характерны для следящих систем в ситуациях медленно изменяющихся входных воздействий. В качестве механизма, обуславливающего автоколебания в таких ситуациях, выступает свойство сил трения резко изменяться (практически скачком) при переходе от покоя к скольжению. Трудности использования аналитических подходов здесь связаны с тем, что в процессе построения соответствующего решения приходится всякий раз предполагать путь, по которому будет развиваться исследуемое движение прерывистого типа. Вариантов же возможного развития событий в проблемах такого рода может быть множество, и не все они могут реализоваться. Нужно выбирать лишь устойчивые ветви решения, а в этом зачастую трудно убедиться в рамках громоздкого аналитического подхода. По-видимому, этим и объясняется тот факт, что аналитических решений в классе задач о фрикционных автоколебаниях релаксационного типа (как и вообще по проблеме обусловленных трением прерывистых движений) получено не так много [2,15,19,28,48,103,110].

Трудности имеются и в вопросе применения численных методов к решению указанного класса задач. Дело в том, что в случае обусловленного трением прерывистого движения соответствующая система по сути представляет собой систему с переменной структурой (относительный застой или выход из застоя конкретного узла системы в процессе ее движения означает изменение количества ее степеней свободы и влечет за собой переформулировку соответствующей задачи динамики). Традиционные алгоритмы численного решения задач динамики систем с трением [6,15,24,25,28] строятся на логике, отражающей упомянутую концепцию систем переменной структуры. Сравнительно небольшое количество полученных с помощью указанных алгоритмов (и опубликованных) решений не позволяет с уверенностью говорить о надежности таких алгоритмов в сложных ситуациях (например, в случае нескольких узлов трения в системе). В литературе [15,98] отмечается, что до конца не ясен вопрос, как неточность в (итерационном) определении момента и характера изменения структуры системы может сказаться на достоверности результатов последующего численного решения в случае достаточно сложных систем с трением.

Все сказанное дает основание констатировать, что вопросы разработки надежных методов и алгоритмов для исследования фрикционных автоколебаний релаксационного типа, а также вопросы расчетных исследований релаксационных автоколебаний конкретных систем с трением все еще остаются открытыми.

Целью диссертационной работы является разработка метода численного решения задач динамики нелинейных систем при наличии сухого трения со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению и упругих связей.

С применением разработанного метода в работе решены не рассмотренные ранее в литературе задачи о фрикционных автоколебаниях релаксационного типа в нелинейных системах с упругостью и сухим трением при различных законах изменения управляющих воздействий.

Автор выносит на защиту:

1. Метод численного решения задач динамики нелинейных систем со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению, основанный на регуляризации зависимости силы трения от скорости, применении неявной схемы Эйлера для численного интегрирования регуляризованной системы дифференциальных уравнений и итерационном решении задачи на каждом шаге по времени.

2. Программное обеспечение для численного решения задач динамики САУ, представленных системой нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с произвольным количеством обобщенных сил сухого трения.

3. Результаты численного моделирования фрикционных автоколебаний релаксационного типа в конкретных системах с упругостью и трением при различных законах изменения управляющих воздействий с установлением эффектов и закономерностей по влиянию параметров исследуемых систем на характер возбуждаемых в них релаксационных автоколебаний.

Работа состоит из введения, четырех разделов и заключения.

Первый раздел посвящен обзору и анализу существующих представлений о трении, имеющихся постановок задач о фрикционных автоколебаниях, а также методов их решения. Отмечается, что многие явления (в том числе и фрикционные автоколебания) могут быть объяснены и описаны в рамках модели трения Амонтона-Кулона. Фрикционные автоколебания во многих случаях возникают вследствие упругих свойств соответствующей системы и падающего характера зависимости силы трения от скорости. В случае скачкообразного падения значений сил трения в узлах системы при переходе от покоя к скольжению возможно установление в ней фрикционных автоколебаний релаксационного типа (со сменяющими друг друга этапами застоя и движения). Указывается, что подобные явления характерны для широкого класса систем управления в ситуациях медленно изменяющихся входных воздействий. С учетом важности проблемы расчетного прогнозирования подобных явлений рассматриваются имеющиеся результаты в области расчетного моделирования прерывистых движений, обусловленных трением.

Отмечены трудности построения аналитических и численных решений для такого класса задач динамики, связанные с тем, что приходится учитывать переменность структуры системы в процессе интегрирования по времени. Указывается, что все еще сохраняется необходимость в разработке алгоритмических приемов, способных преодолевать отмеченные трудности.

Вместе с тем подчеркивается, что здесь может быть использован опыт, накопленный в области разработок инкрементальных методов решения квазистатических контактных задач пластического формоизменения, где приходится иметь дело с трением и вопросами перехода среды из жесткого состояния в пластическое и где успешно применяются приемы, основанные на сочетании процедур регуляризации, интегрирования по неявной схеме Эйлера и итерационного решения задачи на каждом шаге нагружения.

На основе проведенного литературного обзора сформулирован подход к численному моделированию прерывистых движений систем со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению. Формулировка, в частности, включает регуляризацию исходной разрывной зависимости силы трения от скорости, применение неявной схемы Эйлера при численном интегрировании соответствующей регуляризованной системы дифференциальных уравнений и итерационное решение полученной алгебраической системы на каждом шаге по времени.

Во втором разделе работы на основе сформулированного подхода строится алгоритм численного решения задач динамики со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению.

В первом пункте раздела дается построение алгоритма применительно к задаче о движении массы под действием приложенной нагрузки, а также сил упругости, трения и вязкого сопротивления. Указывается на разрывные особенности используемой модели трения: скачком меняется значение силы трения в момент перехода узла трения от покоя (состояние "1") к скольжению (состояние "2"); имеет место также скачок (разрыв) в момент изменения знака скорости.

При построении регуляризованной версии модели трения предполагается, что сила трения способна сохранять значение, приобретаемое ею в состоянии покоя (непосредственно перед началом движения) и в процессе последующего скольжения с достаточно малыми скоростями, не превышающими заданного порогового значения. Другими словами, считается, что состояние "1" узла трения есть скольжение с малыми скоростями, ограниченными заданным пороговым значением . А состояние "2" есть движение под действием силы трения скольжения (с меньшим по сравнению с состоянием "1" значением). Для каждого из состояний "1" и "2" узла трения строится непрерывная аппроксимация зависимости силы трения от скорости путем введения фиктивного линейного участка в чрезвычайно малой окрестности нулевого значения скорости. Физически это означает включение в модель трения фиктивного участка вязкого сопротивления (при практически нулевых скоростях) с чрезвычайно большим коэффициентом вязкости. Поскольку такая фиктивная вязкость действует в условиях практического отсутствия движения, когда сила трения однозначно определяется из уравнения равновесия (или уравнения движения с нулевым ускорением), регуляризованная модель будет приводить к практически тем же результатам, что и исходная разрывная модель, как в состоянии движения, так и в состоянии "покоя".

Далее регуляризованная задача о движении данной массы сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка (в терминах координат и скоростей) и осуществляется численное интегрирование этой системы (при нулевых начальных условиях) с использованием неявной схемы Эйлера. В процессе такого интегрирования на каждом шаге по времени (при фиксированном состоянии "1" или "2" узла трения) образуется нелинейная система алгебраических уравнений относительно неизвестных значений координаты и скорости в конце данного шага. Строится линеаризующий итерационный процесс с использованием схемы "переменной вязкости" для регуляризованной зависимости силы трения от скорости. Итерации выполняются до достижения заданной точности по определяемым значениям координаты и скорости. После завершения работы указанного итерационного цикла вступает в действие внешний цикл по проверке и изменению состояния узла трения. Если на входе в этот цикл имело место состояние "1" и полученное во внутреннем цикле значение скорости превышает заданное пороговое значение, то узел трения объявляется находящимся в состоянии "2", и снова повторяются вычисления во внутреннем цикле с измененным состоянием узла трения. Аналогичные действия с изменением состояния узла трения выполняются и при контроле перехода из состояния "2" в "1". При этом надежное срабатывание итерационных циклов обеспечивается при условии, что пороговое значение по переходу из состояния "1" в "2" несколько превышает пороговое значение по переходу из состояния "2" в "1".

В последующих двух пунктах раздела дается обобщение описанного алгоритма на случай задачи динамики, сформулированной в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с произвольным количеством обобщенных сил трения, скачкообразно изменяющихся при переходе от покоя к скольжению. Представлена также структура программы, реализующей описанный алгоритм и даны ее краткие характеристики.

В третьем разделе работы дается применение разработанного метода к исследованию релаксационных автоколебаний в одномассовых и двухмассо-вых упругих системах с трением. Отмечается, что во многих случаях движение силовых устройств и исполнительных механизмов систем управления может быть описано в рамках расчетных схем типа "масса на пружине" или "система подпружиненных масс". При определенном сочетании характеристик упругости, трения и внешнего воздействия движение подобного типа систем может осуществляться в форме релаксационных автоколебаний. Несмотря на внимание, которое уделяется указанной проблеме в литературе, приходится констатировать, что все еще не исследованными методами математического моделирования остаются вопросы установления релаксационных автоколебаний в многомассовых (в частности, двухмассовых) системах с более, чем одним источником трения. Недостаточно изучены также и вопросы влияния периодического характера внешнего воздействия на параметры устанавливающихся при этом релаксационных автоколебаний (как в одно-массовых, так и в многомассовых системах). Исследованию этих вопросов и посвящен данный раздел.

В первой части раздела рассматривается одномассовая система с упругостью, трением и вязким сопротивлением, находящаяся под действием нагрузки, изменяющейся во времени по заданному закону. Соответствующая задача динамики формулируется в безразмерном виде. Излагаются этапы построения вычислительной модели и вопросы настройки программы расчета применительно к рассматриваемому случаю одномассовой системы. При изложении результатов исследования специальный пункт посвящен анализу релаксационных автоколебаний в случае постоянной скорости изменения внешнего воздействия. Этот случай достаточно полно представлен в литературе и рассматривается здесь для демонстрации надежности и возможностей разработанного алгоритма, а также в целях последующего сравнения с другими случаями нагружения. Проиллюстрировано полное совпадение результатов численного решения и известного аналитического решения как по кинематическим, так и силовым параметрам. Результаты выполненных численных исследований оформлены в виде таблиц, демонстрирующих зависимость характеристик устанавливающихся релаксационных автоколебаний от безразмерных параметров, характеризующих трение и вязкость в системе. Представлена также таблица, в которой при каждом фиксированном значении параметра вязкости указывается диапазон значений параметра трения, обеспечивающих установление режима релаксационных автоколебаний в одномассовой системе в случае постоянной скорости нагружения. Этот диапазон сужается по мере увеличения параметра вязкости. Зафиксировано значение параметра вязкости, обеспечивающее полное гашение автоколебаний при любом значении параметра трения.

В пункте, посвященном случаям нагружения периодического типа, рассматриваются кусочно-линейный периодический закон нагружения и его гармонический аналог. Медленный характер изменения внешнего воздействия обеспечивается выбором низких значений параметра частоты приложенной нагрузки. Поскольку кусочно-линейный периодический закон нагруженил на каждом полупериоде соответствует ситуации постоянной скорости нагружения, результаты предыдущего пункта могут быть полностью перенесены на этот случай. Представленные далее (и оформленные в виде таблиц) результаты численных исследований, относящиеся к случаю нагружения гармонического типа, позволяют оценить влияние непостоянства скорости нагружения на картину установления фрикционных автоколебаний релаксационного типа в одномассовой системе. Эффект непостоянства скорости нагружения проявляется в неоднородности картины устанавливающихся релаксационных автоколебаний. В отличие от случая кусочно-линейного закона нагружения здесь релаксационные автоколебания могут иметь место лишь на части полупериода изменения нагрузки (тогда как на другой его части имеют место затухающие собственные колебания). Диапазон значений параметра трения, обеспечивающих такой (смешанный) режим автоколебаний существенно зависит от параметра частоты изменения приложенной нагрузки, о чем свидетельствуют результаты, представленные в одной из таблиц. При этом смешанный режим автоколебаний может устанавливаться при значениях параметра трения, в несколько раз меньших, чем это имеет место в случае постоянной скорости нагружения. И, наоборот, ситуация, когда релаксационные автоколебания распространяются по всему полупериоду изменения нагрузки, реализуется при существенно больших значениях параметра трения. Результаты, представленные в другой таблице, демонстрируют эффект подавления смешанного режима автоколебаний при выборе определенного (зависящего от частоты изменения нагрузки) значения параметра вязкости.

Во второй части раздела аналогичные исследования выполняются применительно к двухмассовой упругой системе с двумя источниками трения и вязкого сопротивления. Отдельный пункт посвящен постановке задачи в безразмерной форме и изложению этапов построения соответствующей вычислительной модели. Поскольку собственные колебания рассматриваемой двухмассовой системы характеризуются двумя частотами, картина устанавливающихся здесь релаксационных автоколебаний многообразнее, чем в случае одномассовой системы. Это сразу обнаруживают результаты исследований, относящиеся к случаю постоянной скорости нагружения, где зафиксировано не менее четырех различных типов форм релаксационных автоколебаний. Указанные результаты оформлены в виде таблицы, где указаны диапазоны значений безразмерного параметра трения, обеспечивающих реализацию соответствующей формы автоколебаний, в зависимости от параметра вязкости, а также указаны значения параметров, обеспечивающие гашение автоколебаний. При достаточно малых значениях параметров трения и вязкости имеют возможность реализоваться формы автоколебаний, основной вклад в которые вносит низкочастотная составляющая собственных колебаний системы. С ростом параметра вязкости в первую очередь гасятся автоколебания с формами, основанными на низкочастотной составляющей собственных колебаний. Зафиксировано значение параметра вязкости, обеспечивающее полное гашение автоколебаний в системе.

В пункте, посвященном анализу релаксационных автоколебаний двухмассовой системы под действием нагрузки периодического типа, отмечается, что результаты, полученные для случая постоянной скорости нагружения могут быть непосредственно перенесены на случай кусочно-линейного периодического закона нагружения (при достаточно малом значении параметра частоты приложенной нагрузки). При переходе к гармоническому аналогу кусочно-линейного периодического закона нагружения обнаруживается эффект, подобный тому, что наблюдался в случае одномассовой системы. Указанный эффект выражается в реализации в условиях гармонического нагружения с заданным (достаточно малым) значением параметра частоты при определенных значениях параметров вязкости и трения двух типов смешанных режимов автоколебаний. В формирование одного из них основной вклад вносит низкочастотная составляющая собственных колебаний, в формирование другого - высокочастотная составляющая. Приводятся полученные численным моделированием и оформленные в виде таблиц результаты, демонстрирующие диапазоны значений параметра трения, обеспечивающих реализацию соответствующих форм автоколебаний, в зависимости от параметра вязкости при различных значениях параметра частоты изменения нагрузки. Указанные таблицы позволяют проследить, как с ростом параметра вязкости сужается диапазон значений параметров трения, способных обеспечить установление релаксационных автоколебаний той или иной формы. Отмечается существенная зависимость указанных диапазонов по трению от параметра частоты изменения нагрузки.

В четвертом разделе работы в качестве объекта исследования рассматривается следящий (рулевой) электропривод летательного аппарата. (Исследование осуществлялось в соответствии с техническим заданием ГНПЦ "Звезда-Стрела"). Несмотря на то, что различным вопросам динамики электроприводных систем посвящена обширная литература, расчетные исследования по проблеме оценки релаксационных автоколебаний подобных систем все еще не получили развития, удовлетворяющего запросам практики. Отмечается, что перед разработчиком конкретного варианта следящего электропривода стоит в определенном смысле оптимизационная задача. Необходимо подобрать такие значения параметров проектируемого привода, которые обеспечили бы не только необходимые запасы устойчивости и требуемую характеристику переходного процесса, но и одновременно обеспечили бы подавление обусловленных трением релаксационных автоколебаний в предполагаемых условиях эксплуатации привода. В такой постановке задача расчетного моделирования фрикционных автоколебаний релаксационного типа в следящем электроприводе не была рассмотрена в литературе.

Раздел состоит из четырех частей, в которых приводится описание характеристик исследуемого привода, дается оценка его устойчивости (на основе частотного анализа) с выбором наиболее благоприятных значений настроечных параметров, исследуются характеристики переходного процесса и осуществляется численное моделирование режимов релаксационных автоколебаний в приводе при указанных значениях его настроечных параметров.

Краткое описание схемы привода выглядит следующим образом. Поступающий на вход привода сигнал трансформируется управляемым преобразователем (включающим корректирующее устройство) в напряжение, прикладываемое к якорной цепи двигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Развиваемый при этом на валу двигателя момент трансформируется посредством редуктора в момент на выходном валу, вызывающий поворот руля. Дополнительными силовыми факторами при этом являются момент сопротивления со стороны набегающего воздушного потока (пропорциональный углу поворота руля), а также моменты сил вязкого сопротивления и трения. Наличие отрицательной обратной связи по положению руля призвано обеспечить требуемый угол поворота руля в соответствии с величиной входного сигнала. В схеме привода предусмотрена также положительная обратная связь по моменту на валу двигателя (или току в его якорной цепи). Формулировка задачи о поведении привода включает: дифференциальное уравнение, описывающее связь функциональных параметров на входе и выходе управляемого преобразователя; дифференциальное уравнение механической характеристики двигателя, связывающее напряжение, приложенное к якорной цепи двигателя, с моментом на его валу и углом поворота вала; дифференциальное уравнение движения механической части привода под действием перечисленных выше моментов.

Частотный анализ линеаризованной модели рассматриваемого следящего привода осуществлен на основе специально разработанной и программно реализованной пошаговой логарифмической процедуры, которая позволяет в автоматическом режиме проводить расчеты с варьированием любой из физико-механических характеристик привода. Указанная процедура строится в предположении, что задача о поведении исследуемой системы может быть сформулирована в виде дифференциального уравнения, связывающего параметры входа и выхода. Отклик системы на заданное гармоническое входное воздействие ищется как частное решение указанного уравнения с заданной правой частью гармонического типа. Для предотвращения ситуаций переполнения порядка при вычислении высоких степеней параметра частоты используются вычислительные операции на основе процедур логарифмирования и нормирования. Фазовое запаздывание определяется на основе процедуры накапливания суммы в цикле с малым шагом по частоте. Достоверность получаемых при этом результатов подтверждена сравнением с результатами, полученными путем численного решения задачи о реакции привода на гармоническое входное воздействие с применением разработанного алгоритма. Частотный анализ, выполненный с варьированием значений параметров привода, позволил выбрать два варианта настройки привода, обеспечивающих хорошее сочетание запасов устойчивости по фазе и амплитуде. Для одного из этих вариантов характерно отсутствие обратной связи по моменту двигателя. Для другого варианта (более благоприятного по запасам устойчивости) характерно трехкратное увеличение коэффициента усиления и наличие обратной связи (с подобранным коэффициентом) по моменту двигателя.

Выполненное далее исследование реакции рассматриваемого привода на постоянное входное воздействие показало, что качество переходного процесса установления положения руля при принятии двух указанных вариантов настройки привода отвечает требованиям, предъявляемым к подобного типа рулевым приводам.

Заключительная часть раздела посвящена исследованию режимов фрикционных автоколебаний релаксационного типа в рассматриваемом приводе. Задача о поведении привода (с учетом трения) при заданном законе изменения входного воздействия формулируется в виде системы, состоящей из шести дифференциальных уравнений первого порядка. Осуществляется построение соответствующей вычислительной модели. При выполнении численных исследований рассматриваются два варианта закона изменения входного воздействия: кусочно-линейный периодический закон и его гармонический аналог. Медленный характер изменения входного воздействия обеспечивается выбором достаточного малого значения его частоты. Первый вариант закона управления соответствует случаю постоянной скорости входного воздействия, второй - случаю переменной скорости входного воздействия. В качестве характеристики скорости входного воздействия во втором случае принимается средняя скорость на полупериоде. При численном моделировании фиксировалось "критическое" значение скорости входного воздействия, при котором в системе привода устанавливаются релаксационные автоколебания.

Результаты исследований для случая постоянной скорости входного воздействия оформлены в виде двух таблиц (в соответствии с двумя вариантами настройки привода), в которых указаны критическое значение скорости входного воздействия, а также скоростные и временные характеристики устанавливающихся релаксационных автоколебаний в зависимости от значений характеристик трения в приводе. Отмечается практически линейный характер зависимости критического значения скорости входного воздействия, а также пикового значения скорости выходного параметра в процессе автоколебаний от параметров трения. Указывается на эффект семикратного снижения критического значения скорости входного воздействия при выборе варианта привода с обратной связью по моменту двигателя.

Аналогичные таблицы представлены и для случая переменной скорости входного воздействия. В отличие от предыдущего случая здесь указаны "верхнее" и "нижнее" критические значения средней скорости входного воздействия. Верхнее критическое значение соответствует ситуации, когда автоколебания устанавливаются на части полупериода изменения входного воздействия, нижнее - ситуации установления автоколебаний на всем полупериоде. Отмечается эффект подавления автоколебаний с частичным распространением по полупериоду при определенных значениях параметров настройки привода и характеристик трения. Сравнительный анализ приводит к окончательному выводу о том, что вариант привода с обратной связью по моменту двигателя многократно снижает риск установления фрикционных автоколебаний релаксационного типа в предполагаемых условиях эксплуатации привода.

В заключении приведены основные результаты и выводы по диссертационной работе.

В приложении представлена копия акта, свидетельствующего о внедрении разработанного программного обеспечения в практику.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Михайлова, Виктория Львовна

Основные результаты проведенных исследований изложены в статьях [71,72].

4.1. Характеристики рассматриваемого электропривода и задачи исследования

Будем рассматривать следящий (рулевой) электропривод летательного аппарата [22,43,51,58,66,97], функциональная схема которого представлена на рис. 4.1. В условиях эксплуатации рассматриваемый привод должен обеспечивать поворот руля на угол (рй в соответствии с заданной величиной фъ управляющего воздействия.

При подаче на вход сигнала срц управляемый преобразователь (УП), включающий корректирующее устройство, вырабатывает соответствующее напряжение ид, прикладываемое к якорной цепи двигателя постоянного тока (Д) с независимым возбуждением. Развиваемый при этом на валу двигателя момент Мд трансформируется посредством редуктора (с передаточным числом /) в момент М= /Мд, действующий на выходном валу привода. Происходящий при этом поворот вала двигателя на угол сра вызывает поворот выходного вала привода (и соответственно руля) на угол (рй=срАИ. При реализации указанного поворота момент М должен преодолевать сопротивление инерционных факторов (характеризуемых моментами инерции J руля и Уд вала двигателя), сопротивление со стороны сил вязкости и трения (характеризуемых моментами Мв и Mjp), а также сопротивление со стороны сил аэродинамического давления на рулевую поверхность (характеризуемых шарнирным моментом Мш, пропорциональным углу поворота срс руля). Вместо момента Мш на рис. 4.1 указана эквивалентная упругая связь с жесткостью (коэффициентом шарнирного момента) сш. Отрицательная обратная связь (с коэффициентом К0(р =1) призвана обеспечивать баланс входного и выходного сигналов в соответствии с требуемым значением угла поворота руля. В схеме данного привода предусмотрена также положительная обратная связь (с коэффициентом Ком) по моменту Мл на валу двигателя (или по току /я в его якорной цепи). Оценка эффективности такой обратной связи является одной из целей проводимого исследования.

Формулировка задачи о поведении рассматриваемого привода включает следующие уравнения: а) уравнение, описывающее связь функциональных параметров на входе и выходе блока "УП"

Ку{Тр +1)2(<рв - К0<р(рс + КоиМд) = (Т}р +1)2 ия, (4.1) где к у - коэффициент усиления, Т и Тх - постоянные времени корректирующего устройства, р - оператор дифференцирования по времени такой, что dk pi=Hs ■ с-2) б) уравнение механической характеристики двигателя [13,74,85 ]

4.3) где се - коэффициент противо-ЭДС двигателя, см - коэффициент момента двигателя (такой, что Мд = см/я), RH и Тя - сопротивление и электромагнитная постоянная времени якорной цепи двигателя; в) уравнение движения механической части привода под действием вращающего момента М- гМд, шарнирного момента Мш = сю<рс, моментов вязкого сопротивления Мв = квр(рс и трения М^

Jp2(pc = iMa -сшсрс - кър<рс - М^, (4.4) где кв - коэффициент вязкости, J = i2Ja+J - приведенный момент инерции механической части привода.

Расчетные исследования предполагается осуществить для привода со сле-" дующими значениями характеристик: cg = 1,29 В • с, см = 1,3 Н • м/А, Яя = 4,5 Ом , Тя = 0,025 с, 0,00239 кг ■ м2, i = 6,J = 0,032 кг • м1, сш = 800 Н • м ,kB = 0,9 Н • м • с.

Параметры Т, Ти ку, к ои относятся к числу настраиваемых. Их значения подбираются таким образом, чтобы обеспечивались наиболее благоприятные условия функционирования привода в режимах эксплуатации.

Устройство привода предполагает, что напряжение С/д не может превышать заданное значение U *, а именно:

Рд\*и*, (4.5) где U *=220В.

Предполагается скачкообразное изменение момента трения М' при переходе от покоя к скольжению. При этом принимаем, что момент трения покоя f Mm превышает момент трения скольжения Мт так, что

Мтп=(1 + /т1)Мт, (4.6) где параметр /т1 характеризует степень такого превышения.

Предполагается, что характеристики трения Мт и /т1 у данного привода не превышают 15Н • м и 0,15, соответственно.

В последующих пунктах данного раздела представлен комплекс исследований, включающий:

- исследование реакции рассматриваемого привода на гармоническое входное воздействие (гармонический анализ);

- исследование реакции рассматриваемого привода на постоянное входное воздействие (анализ переходного процесса);

- исследование режимов фрикционных автоколебаний релаксационного типа в рассматриваемом приводе.

Цель указанного комплекса исследований состоит в подборе таких значе-- ний настроечных параметров рассматриваемого привода, которые обеспечивали бы необходимые запасы устойчивости, требуемое качество переходного процесса и подавление релаксационных автоколебаний в реальных условиях эксплуатации привода.

4.2. Оценка устойчивости рассматриваемого привода на основе частотного анализа

Приступая к оценке устойчивости рассматриваемого привода на основе частотного анализа, отметим, что в литературе [8,21,22,29,43,46,50, 51,58,63,64,75,76] описаны различные (ориентированные на ручной и машинный счет) процедуры построения логарифмических амплитудно-частотных (J1A4X) и фазочастотных (ЛФЧХ) характеристик, на основе которых делается вывод о запасах устойчивости соответствующих систем. Применительно к целям настоящего исследования целесообразна такая реализация процедуры частотного анализа, которая позволяла бы автоматически вычислять соответствующие JIA4X и ЛФЧХ для любого варианта задания физико-механических характеристик рассматриваемого следящего привода. Такая реализация была осуществлена и излагается ниже в целях демонстрации надежности получаемых с помощью нее результатов, а также возможностей ее применения к частотному анализу следящих систем различной структуры.

4.2.1. Программная реализация пошаговой логарифмической процедуры частотного анализа

В литературе [64,75] отмечается, что вычислительные процедуры частотного анализа линейных моделей систем управления в ряде случаев целесообразно строить, считая заданным дифференциальное уравнение, описывающее поведение исследуемой системы. При этом отклик системы на гармоническое входное воздействие заданной частоты со определяется как частное решение указанного уравнения с правой частью гармонического типа. При реализации такого подхода на ЭВМ приходится преодолевать трудности, связанные с возможным переполнением порядка в памяти ЭВМ в процессе вычислений и значений полиномов типа Yjak6)k при достаточно больших и малых 0 значениях параметра со. Излагаемая ниже процедура демонстрирует один из возможных способов преодоления указанных трудностей.

Пусть y(t) - отклик рассматриваемой системы на заданное управляющее воздействие x{t). Будем исходить из того, что поведение системы описывается линейным дифференциальным уравнением порядка Na с постоянными коэффициентами вида о + 1,акРк)У =(*o +N£bkph)x, (Na > Nb). (4.7)

Здесь использована операторная форма записи, в которой рк есть оператор / дифференцирования по времени в соответствии с (4.2).

При последующей алгоритмизации удобно считать, что значения N а и Nь в (4.7) кратны четырем, а именно:

Na=4na, Nb = Апь . (4.8)

Такую ситуацию можно в любом случае обеспечить, формально добавляя необходимое количество слагаемых типа акрк и Ькрк с нулевыми значениями коэффициентов ак и Ък в левую и правую части уравнения (4.7).

В соответствии с выбранным подходом, управляющее воздействие задаем в виде х = sin cot. (4.9)

Отклик системы на указанное воздействие ищем в виде у = A sin cot + В cos cot. (4.10)

Подставляя (4.9) и (4.10) в уравнение (4.7), приходим к равенству

Na Nb aQ + YsakP sino)t + ficoscot) =(b0 + Y<bkp )sma>t, (4.11) k=\ k=i из которого путем приравнивания суммарных коэффициентов при одноименных гармониках можно получить уравнения для определения постоянных А и В. Коэффициенты при А и В в этих уравнениях определяются на основе подсчета сумм, выделенных круглыми скобками в равенствах (4.7) и (4.11), где факторы рк заменяются степенями частоты сок с учетом знака соответствующей производной от sin cot или cos cot.

Из записи (4.11) следует, что значения искомых постоянных А и В не изменятся, если предварительно разделить каждое из слагаемых ак(ок (к= 0, 1,2,.,Л/"а ) и Ъксок (к= 0,1,2,.,Nb) в упомянутых суммах на наибольшее по модулю значение аксок (к = 0, 1,2,.,Na ) . Подобную операцию нормирования, также как и другие вычисления будем выполнять с использованием процедуры логарифмирования (подвергая такой обработке лишь члены с ненулевыми коэффициентами ак и Ък ). Тем самым в значительной мере снижается риск получения ситуации переполнения порядка.

Последовательность действий при этом такова. Вместо непосредственного вычисления произведений типа аксок и Ъксок вычисляем логарифмы их модулей

1а<о,к = = 1п|аЛ| +к\псо, (k=Q,\,2,.,Na), lbaJt = 1п\ьксок\ = ы\Ък\ + к In а», (^=0,1,2,.,^) . (4Л2)

Далее определяем максимальный элемент (обозначаемый как т, ) последовательности lae>tk (k=Q,\,2,.,Na), который соответствует наибольшему по модулю значению аксок (к = 0, 1,2,.,Na ) . Упомянутая выше операция нормирования выполняется в логарифмах по схеме вычитания вида laco,k = lao>,k ~ml > 0=0,1,2,.,7VJ, (4лз)

Остается теперь восстановить нормированные значения факторов аксок и Ьксок (обозначаемые, как аак и Ь^ ) по схеме (sign ak)exp(7aa)Jc ), (*=0,l,2,.,JVa), ЪаЛ = (sign ЬА)ехр( ) , (£=0,1,2.Nb) . (4Л4)

Нулевым ак и Ьк соответствуют нулевые значения аюк и Ь^ ). Используя нормированную версию равенства (4.11), получаем систему алгебраических уравнений для определения искомых постоянных А и В вида

CUA+ СпВ = d, где

С21А + С22В = g, (4Л5)

11 ~ ао),0 Hlaw,j+ 2 + С22 ~ С11> i=1 /=1

4.16)

Сц = 1 + ^aco,j+3> Ql =

1 (=1 d = ~ X ba,j+2 + Л Vy+4' /=1 i=l л t £- X j=4(/ -1). i=\ i=1

Из (4.15) с учетом (4.16) следует, что A = (Cnd-Cug)/ А,

5 = (Cng + C12</)/A, А = С121+С122. (4Л7>

Зависимость (4.10) для выходного параметра у исследуемой системы управления преобразуем к виду у - Asm(cot + у/), (4.18) где А - амплитуда выходного параметра, а у/ — фазовое запаздывание, определяемые формулами

А = у/А2 +В2, cos у/ = А!А, sin у/= В/ А. (4.19)

Предполагаем, что система управления такова, что ее амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики являются непрерывными. Кроме того, предполагаем, что в уравнении (4.7) а0 ф 0 и ь0 ф 0 (как, например, в случае следящих систем). В таком случае при малых значениях частоты со, когда динамические эффекты настолько малы, что можно положить р = 0 в уравнении (4.7), получаем ситуацию, когда отклик системы практически пропорционален входному воздействию (фазовое запаздывание практически отсутствует). Это дает основание при построении фазочастотной характеристики системы полагать, что у/ = 0 при со = 0.

С учетом сказанного, расчет амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик исследуемой системы осуществляем в цикле по со от нуля до заданного максимального значения сотах с достаточно малым шагом А со . При каждом новом значении параметра цикла со + Асо используем описанную выше вычислительную процедуру. Непрерывность рассчитываемой фазочастотной характеристики дает основание полагать, что при изменении частоты от значения со до со + Асо запаздывание изменяется на малую величину 6 так, что у/(со + Асо) = у/(со) + 8. (4.20)

Подставляя (4.20) в тригонометрические равенства (4.19) и осуществляя их линеаризацию с учетом малости параметра 8, получаем cosy(<w)- 8 sin у/{со) = А / А, (4.21) sin у/{со) + 8cosy/(co) = В/ А. (4.22)

В предлагаемом пошаговом алгоритме параметр 8 определяется с использованием соотношения (4.21), если |siny(<y)| > |cos^(a>)| , или с использова

9S~ нием соотношения (4.22) в противном случае. Найденное 5 используется затем для вычисления текущего значения фазового запаздывания по схеме (4.20).

Получение дифференциального уравнения типа (4.7), соответствующего линеаризованной модели рассматриваемого привода, осуществляем следующим образом. Подставляем в (4.1) выражение для С/д, определяемое из (4.3).

Затем, подставляем в полученное уравнение выражение для Мл, определяемое из (4.4) с учетом М^ = 0. В результате получаем искомое линейное дифференциальное уравнение, устанавливающее связь между управляющим воздействием (рв и выходным параметром срс. Настройку процедуры частотного анализа (оформленной в виде программы с использованием языка Турбо Паскаль) на рассматриваемый случай следящего электропривода осуществляем путем включения в программу операторов присваивания, позволяющих вычислять значения коэффициентов ак и Ък в (4.7) по формулам с использованием указанных выше физико-механических характеристик привода. Настроенная таким образом программа осуществляет автоматическое вычисление частотных характеристик исследуемой приводной системы для каждого конкретного варианта задания ее параметров. Программа снабжена возможностями последующей визуализации полученных результатов в виде графиков.

4.2.2. Применение разработанной вычислительной процедуры частотного анализа к оценке устойчивости рассматриваемого привода

Проведенные с помощью изложенной выше методики расчеты с варьированием параметров позволили установить, что значения Т =0,005 с, 7\ =0,0002 с, ку =1,11 • Ю5, ком = 6,25-10"6 В/Н-м наилучшим образом удовлетворяют критерию устойчивости. Для иллюстрации этого факта на рис. 4.2 представлены логарифмические амплитудно-частотные (JIA4X) и фазочастотные (ЛФЧХ) характеристики разомкнутой схемы привода {К0(р = 0) при различных значениях его параметров. Здесь ав и ас - амплитуды входного и выходного параметров (ръ и (pQ. Указанные ЛАЧХ и ЛФЧХ отмечены номерами 1 - 7 в соответствии с вариантами 1-7 значений варьируемых параметров, которые сведены в таблицу 4.1. Здесь же для удобства сравнительного анализа приведены оцененные с помощью построенных ЛАЧХ и ЛФЧХ значения таких параметров, как логарифм частоты среза lg <у*, запасы устойчивости по фазе Д^ и амплитуде AL для каждого из упомянутых вариантов.

Как видно, выбор значений настраиваемых параметров привода в соответствии с вариантом 1 приводит к наилучшему сочетанию значений запасов устойчивости по фазе и амплитуде (при добротности порядка 300). Существенную роль в такой оптимизирующей настройке играет выбор значения коэффициента обратной связи по моменту двигателя в виде к ом = 6,25 • 10"6 В/Н • м. Уменьшение значения этого коэффициента до нуля (исключение обратной связи по моменту двигателя) также, как и пятидесятипроцентное его увеличение (до значения ком = 9,37* 10"6 В/Н • м) заметно ухудшают показатели по запасам устойчивости (см. варианты 3 и 2). Аналогичная ситуация наблюдается и в случае, когда при отсутствии обратной связи по моменту двигателя = о) осуществляется трехкратное уменьшение коэффициента к у до значения к у 3,7 • 104 (вариант 4). Следует при этом отметить, что ЛФЧХ вариантов 3 и 4 практически совпадают.

Варианты 5 и 6 включены в рассмотрение, чтобы продемонстрировать существенное ухудшение ситуации с запасами устойчивости привода при отклонении значений параметров корректирующего устройства т, т\ в большую или меньшую сторону от оптимальных значений т = 0,005 с, т\ = 0,0002 с. И, наконец, вариант 7 дает возможность проиллюстрировать важность учета реального значения параметра тя. Как видно из рис. 4.2 и таблицы 4.1, пренебреже

И.

ЛФЧХ

Рис. 4.3. Частотные характеристики рассматриваемого привода при различных значениях его параметров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Н6

1. Сформулирован подход к численному моделированию прерывистых движений систем со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению, который включает регуляризацию исходной разрывной зависимости силы трения от скорости, применение неявной схемы Эйлера при численном интегрировании соответствующей регуляризованной системы дифференциальных уравнений и итерационное решение полученной алгебраической системы на каждом шаге по времени.

2. На основе указанного подхода разработан метод численного решения задач динамики со скачкообразным изменением значений сил трения при переходе от покоя к скольжению, сформулированных в виде систем нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с произвольным количеством обобщенных сил трения.

3. С помощью разработанного метода выполнено исследование фрикционных автоколебаний релаксационного типа в одномассовой и двухмассовой упругих системах применительно к малоизученному случаю периодически изменяющегося внешнего воздействия. Сравнительный анализ случаев нагружения с постоянной и переменной скоростью осуществлен с использованием кусочно-линейного периодического закона нагружения и его гармонического аналога. При исследовании одномассовой системы установлено, что эффект непостоянства скорости нагружения проявляется в том, что релаксационные автоколебания могут иметь место лишь на части полупериода изменения приложенной нагрузки (при этом на другой его части имеют место затухающие собственные колебания). Такой "смешанный" режим автоколебаний может устанавливаться при значениях параметра трения, в несколько раз меньших, чем это имеет место в случае постоянной скорости нагружения. Продемонстрирован эффект подавления такого смешанного режима автоколебаний при выборе определенного (зависящего от частоты изменения нагрузки) значения параметра вязкости.

При исследовании двухмассовой системы с двумя источниками трения и вязкого сопротивления в случае постоянной скорости нагружения зафиксировано не менее четырех различных типов форм релаксационных автоколебаний, что объясняется различным вкладом низкочастотной и высокочастотной составляющей собственных колебаний системы в формирование картины релаксационных автоколебаний в ней при различных значениях параметра трения. Зафиксировано также значение параметра вязкости, обеспечивающее полное гашение автоколебаний в системе. В случае переменной скорости нагружения (гармонический закон нагружения) установлена возможность реализации (при определенных значениях параметра частоты приложенной нагрузки, параметров вязкости и трения) двух типов смешанных режимов автоколебаний. В формирование одного из них основной вклад вносит низкочастотная составляющая собственных колебаний, в формирование другого - высокочастотная составляющая. Результаты исследований представлены в виде таблиц, которые позволяют проследить, как с ростом параметра вязкости сужается диапазон значений параметра трения, способных обеспечить установление релаксационных автоколебаний той или иной формы. Отмечена существенная зависимость этих диапазонов от параметра частоты изменения нагрузки.

4. С применением разработанного метода выполнено комплексное исследование следящего (рулевого) электропривода летательного аппарата (ГНПЦ "Звезда-Стрела"), имеющее цель подбора таких значений параметров привода, при которых наилучшим образом удовлетворяются требования по запасам устойчивости, качеству переходного процесса и сопротивляемости возникновению фрикционных автоколебаний релаксационного типа в режимах медленно изменяющихся управляющих воздействий. т

Принципиальная схема исследуемого привода включает: управляемый преобразователь с корректирующим устройством, преобразующий сигнал на входе в напряжение питания двигателя; двигатель постоянного тока (с редуктором), вырабатывающий момент (подаваемый на руль) в соответствии с приложенным к его якорной цепи напряжением. Дополнительными силовыми факторами, действующими на руль, являются момент сопротивления со стороны набегающего воздушного потока (пропорциональный углу поворота руля), а также моменты вязкого сопротивления и трения. Имеется отрицательная обратная связь по положению руля. Предусмотрена также положительная обратная связь по моменту двигателя (или току в его якорной цепи).

На основе численных исследований осуществлен выбор значений коэффициентов усиления прямой цепи и цепи обратной связи по моменту двигателя, при которых многократно снижается риск возникновения релаксационных автоколебаний в предполагаемых условиях эксплуатации привода (при этом обеспечивается выполнение требований как по запасам устойчивости, так и по качеству переходного процесса). Установлен факт практически линейной зависимости критического значения скорости входного воздействия (при котором возникают релаксационные автоколебания в приводе) от характеристик трения. Дана оценка эффекта влияния непостоянства скорости входного воздействия на картину установления релаксационных автоколебаний в приводе. Результаты исследований и вытекающие из них выводы по работоспособности привода переданы организации-проектировщику.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Михайлова, Виктория Львовна, 2004 год

1. Алифов А.А., Фролов К.В. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 328 с.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-568 с.

3. Андронов В. В. Фрикционные автоколебания с отрывом тела от плоскости скольжения // Науч. тр. Моск. гос. ун-т леса. 2002. - N 316. - с. 94-104.

4. Арид Ф.Ф., Юнгер И.Б. Разрывное управление в автоматических системах // Изв. Ленингр. Электротехн. Ин-та.- 1981.- № 287,- с. 68-73.

5. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 504 с.

6. Бидерман B.JT. Теория механических колебаний. М.: Высш. шк., 1980. -408 с.

7. Бурчак О.Т. Разрывные процессы с управляемыми скачками: Теория оптимальных решений. Киев: Техника, 1980. - с. 53-59.

8. Вавилов А.А., Имаев Д.Х. Машинные методы расчета систем управления. -Л.:Изд-во ЛГУ, 1981.

9. Валдырев А.С. Ошибка регулирования в двухзонной системе управления скоростью электропривода постоянного тока// Электротехническая промышленность. Сер. Электропривод.- 1981. № 5. - с. 4-7.

10. Вейц В.Л., Коловский М.З., Кочура А.Е. Динамика управляемых машинных агрегатов. М.: Наука, 1984. - 332 с.

11. И. Вейц В.Л., Кочура А.Е., Мартыненко A.M. Динамические расчеты приводов машин.- Л.: Машиностроение, 1971. 352 с.

12. Вешеневский С.Н. Характеристики двигателей в электроприводе.- М.: Энергия, 1977.-432 с.

13. ВульфсонИ. И. К вопросу о возбуждении колебаний силами трения в направляющих массивных исполнительных органов машин// Пробл. машиностр. и надеж, машин. 2000.- N 2. - с. 42-48.

14. Геккер Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения.- М. Машиностроение, 1983. -167 с.

15. Геращенко Е.И., Геращенко С.М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975. - 296 с.

16. Гришин С.А. Доопределение дифференциальных уравнений с разрывной правой частью //Сб. Тр. ВНИИ систем, исслед. 1980. - № 4. - с. 30-39.

17. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1960. - 659 с.

18. Ден Гартог. Механические колебания. - М.: Физматгиз, 1963. - 720 с.

19. Дерягин Б.В., Пуш В.Э., Толстой Д.М. Теория скольжения твердых тел с периодическими остановками (фрикционные колебания 1-го рода). ЖТФ, т. XXVI, вып. 6, 1956.

20. Джеймс X., Никольс Н., Филлипс Р. Теория следящих систем: Пер. с англ.-М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 464 с.

21. Динамика следящих приводов / Б.И. Петров, В.А. Полковников, Л.В. Рабинович и др.; Под ред. Л.В. Рабиновича. М.: Машиностроение, 1982. - 496 с.

22. Доступов Б.Г. Основы моделирования динамических объектов на гибридных вычислительных системах. Учебн. пособие.- М.:МАИ, 1984. -54 с.

23. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. - 336 с.

24. Жильцов К.К. Приближенные методы расчета систем с переменной структурой. М.: Энергия, 1974. - 224 с.

25. Жирнов Б.М. Квазигармонические колебания двухмассовой фрикционной автоколебательной системы с учетом энергетических потерь в условиях внешнего периодического возмущения// Пробл. прочн.- 1999. N 4. - с. 10 - 19.

26. Жирнов Б. М. Одночастотные квазигармонические колебания фрикционно запаздывающей механической автоколебательной системы с N степенями свободы// Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2001. - N 6.- с. 91-99.

27. Журавлев Е. А. Реализация алгоритма метода припасовывания для динамических задач с сухим трением// Тр. Map. гос. техн. ун-та. 1996. -N2,4.1.-с. 117-118.

28. Загальский Л.Н., Зильберблат Н.Э. Частотный анализ систем автоматизированного электропривода. М.: Энергия, 1968. - 112 с.

29. Израилович М. Я. Управляемое гашение фрикционных автоколебаний двухмассовой системы с относительным скольжением тел // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. -2001. N 6. - с. 70-76.

30. Ишлинский А.Ю., Крагельский И.В. О скачках при трении. ЖТФ, т. 14, вып. 4-5, 1944.

31. Кажаев В. В. Фрикционные автоколебания упругого слоя, скользящего по жесткому основанию. Прикладная механика и технологии машиностроения: Сб. науч. тр. 4.2. Нижегор. фил. ин-та машиновед. Н. Новгород: Интелсервис, 1997. - с. 102-111.

32. Кайдановский Н.Л., Хайкин С.Э. Механические релаксационные колебания. ЖТФ, т. III, вып. I, 1933.

33. Кайдановский H.Jl. Природа механических автоколебаний, возникающих при сухом трении. ЖТФ, т. XIX, вып. 9, 1949.

34. Коловский М.З., Слоущ А.В. Основы динамики промышленных роботов. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 240 с.

35. Кононенко В.О. Взаимодействие релаксационных автоколебаний с гармоническими колебаниями в механических системах// Вопросы прочности конструкций и динамики машин.- Киев: Изд-во АН УССР,1954.

36. Кононенко В.О. Автоколебания при трении, близкие к гармоническим// Вопросы прочности конструкций и динамики машин. Киев: Изд-во АН УССР, 1954.

37. Кононенко В.О., Ковальчук П.С. Воздействие внешней гармонической силы на автоколебательную систему с изменяющимся параметром// Прикладная механика. 1971, т. 7, № 10. - с. 3-12.

38. Костерин Ю.И. Механические автоколебания при сухом трении. М.: Изд-во АН СССР, 1960.-76 с.

39. Крагельский И.В., Виноградова И.Э. Коэффициенты трения. М.: Машгиз,1955.

40. Крагельский И.В. Трение и износ. М.: Машгиз, 1962.

41. Красносельский М.А., Покровский А.В. Уравнения с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1979. -№ 5. - с. 1056-1059.

42. Крымов Б.Г., Рабинович JI.B., Стеблецов В.Г. Исполнительные устройства систем управления летательными аппаратами// М.: Машиностроение, 1987. 264 с.

43. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. - 357 с.

44. Лившиц Г.Л., Фролов К.В. Моделирование переходных процессов в параметрических и автоколебательных фрикционных системах. В кн.:аз

45. Нелинейные колебания и переходные процессы в машинах. М.: Наука, 1972.-с. 103-110.

46. Математические методы исследования систем управления // Межвуз. сб. Ленингр. ин-та авиац. приборостр./ Под ред. С.А. Понырко. Л.: ЛИАП. -1982.-№ 159.- 198 с.

47. Матросов В. М., Финогенко И. А. Аналитическая динамика систем твердых тел с трением. Нелинейная механика: Сборник статей. М.: Физматлит; М.: Наука/Интерпериодика, 2001. - с. 39-61.

48. Михайлова В.Л. Вычислительная модель для исследования релаксационных автоколебаний в двухмассовых упругих системах с двумя источниками трения //Известия вузов. Машиностроение. 2003. - №10.-с. 16-25.

49. Основы автоматического управления / Под ред. B.C. Пугачева. М.: Наука, 1974. - 720 с.

50. Основы проектирования следящих систем /Под ред. Н.А. Лакоты, Е.П. Попова. М.: Машиностроение, 1978.- 319 с.

51. Основы теории колебаний/ Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Под ред. В.В. Мигулина. М.: Наука, 1978.- 391 с.

52. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1971.-340 с.

53. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматгиз, 1960. - 193 с.4Ж

54. Плахтиенко H.J1. Об оценке параметров автоколебаний двухмассовой системы при наличии сухого трения// Прикл. мех. (Киев). -1996. т. 32. -N 8. - с. 87-94.

55. Плахтиенко Н.П. О формах движения параметрически возбуждаемой автоколебательной системы// Докл. АН УССР. Сер. А. 1977. - №8. - с. 724 - 729.

56. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах М.: Наука, 1973.- 583 с.

57. Проектирование следящих систем/ Под ред. J1.B. Рабиновича. М.: Машиностроение, 1969. 500 с.

58. Пуш В.Э. Малые перемещения в станках. М.: Машгиз, 1961.

59. Рабинович JI.B. Методы фазовой плоскости в теории и практике релейных следящих систем. М.: Энергия, 1965. - 152 с.

60. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.- 208 с.

61. Силаев А.А. Колебания механических систем: Учебн. пособие. М.: МАИ, 1976.-82 с.

62. Сиротин А.А. Автоматическое управление электроприводами. М.: Энергия, 1969.-560 с.

63. Сольницев Р.И. Автоматизация проектирования систем автоматического управления: Учеб. Для вузов по спец. "Автоматика и управление в технических системах". М.: Высшая шк., 1991. - 335 с.

64. Старикова М.В. Автоколебания и скользящий режим в системах автоматического регулирования. М.: Машгиз, 1962. - 194 с.

65. Стеблецов В.Г. Нелинейные системы с разрывными координатными связями: Теория и практика. М.: Машиностроение, 1992. - 256 с.

66. Сумбатов А. С., Юнин Е. К. Очерки о трении. М.: Изд-во ВЦ РАН, 2000. - 141 с.1. ZS"

67. Сухомлинов Г.Л., Михайлова В.Л. Итерационная процедура численного решения задач динамики, учитывающая скачкообразное изменение значений сил трения при переходе от покоя к скольжению //Известия вузов. Машиностроение. 2003. - №3.- с.15-22.

68. Сухомлинов Г.Л., Михайлова В.Л. Вычислительная модель дляисследования фрикционных автоколебаний релаксационного типа в упругих элементах приборов и систем управления//Авиакосмическое приборостроение. 2003. - №11.- с.26-33.

69. Сухомлинов Г.Л., Михайлова В.Л. Пошаговая логарифмическая процедура / вычисления частотных характеристик линейных моделей следящихсистем//Известия вузов. Машиностроение. 2004. - № 3.- с. 9-17.

70. Сухомлинов Г.Л., Михайлова В.Л. Численное моделирования фрикционных автоколебаний релаксационного типа в следящем электроприводе.//Известия вузов. Машиностроение. 2004. - № 6.- с. 2028.

71. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. М.; Л.: Гостехиздат, 1952.- 244 с.

72. Теория автоматизированного электропривода / М.Г. Чиликин, В.И. Ключев, А.С. Сандлер. М.: Энергия, 1979. - 616 с.

73. Теория автоматического управления: в 2-х ч. 4.1. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др. Под ред. А.А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986.- 367 с.

74. Теория автоматического управления: в 2-х ч. 4.2. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления / А.А. Воронов, Д.П. Ким, В.М. Лохин и др; Под ред. А.А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1986. - 504 с.

75. Толстой Д.М., Пань Бинь-Яао. О скачке силы трения при остановке// Доклады АН СССР.- 1957. т. 114. - вып. 6.

76. Тондл А. Автоколебания механических систем. М.: Мир, 1979. - 429 с.

77. Тэлер Дж., Пестель М. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления: Пер. с англ. М.; Л.: Энергия, 1964. 488 с.

78. Фролов К.В. Об автоколебаниях механических систем с изменяющимися во времени параметрами в случае источника энергии ограниченной мощности// В кн.: III Всесоюзн. съезд по теорет. и прикл. механ.: Тезисы докладов. Изд-во АН СССР, 1968.

79. Хайкин С.Э., Лисовский Л.П., Саломонович А.Е. О "скачкообразном характере" силы трения// Труды Всесоюзной конференции по трению и износу в машинах. М.: Изд-во АН СССР, 1933, т. I.

80. Харкевич А.А. Автоколебания. М.: Гостехтеориздат, 1953 - 172 с.

81. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. — М.: Мир, 1968. 432 с.

82. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979 - 312 с.

83. Цехнович Л.И. О динамике электропривода постоянного тока с упругой связью// Электричество. 1968. - 6. - с. 28 - 31.

84. Baumberger Т., Caroli С. Dry friction dynamics at low velocities // Comments condens. matter phys. 1995. - 17. - N 5. - pp. 307-324.

85. Blajer W., Markiewicz A. The effect of friction on multibody dynamics// Eur. J.Mech. A. 1995.- v. 14. - N 5. - pp. 807-825.г?

86. Bogacz R., Ryczek В. Dry friction self-excited vibrations analysis and experiment// Eng. Trans.- 1997. -v. 45. N 3-4. - pp. 487-504.

87. Bonsignore A., Ferretti G., Magnani G. Coulomb friction limit cycles in elastic positioning systems// Trans. ASME. J. Dyn. Syst., Meas. and Contr. 1999. -v. 121.-N2.-pp. 298-301.

88. Chen C.C., Kobayashi S. Rigid-plastic finite element analysis of ring compression // Applications of Numerical Method of Forming Processes, ASME, AMD. 1978. - v.28. - pp. 163-174.

89. Chen Q., Tomlinson G. R. Parametric identification of systems with dry friction and nonlinear stiffness using a time series model// Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust. 1996. -v. 118.- N 2. pp. 252-263.

90. Cheng Gong, Zu Jean W. Two-frequency oscillation with combined Coulomb and viscous frictions // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust. 2002. - v. 124. - N 4. - pp. 537-544.

91. Cheng J.H., Kikuchi N. An incremental constitutive relation of unilateral contact friction for large deformation analysis // J.Appl. Mech. Trans. ASME. -1985. -v.52. — N 3. pp. 639-648.

92. Dowell E.H. The behavior of a linear, damped modal system with a nonlinear spring-mass-dry friction damper system attached // J. Sound and Vibration.-Vol. 89. -N 1. 1983. - pp. 65-84.

93. Elmer Franz-Josef. Nonlinear dynamics of dry friction// J. Phys. A. 1997. v. 30.-N17.-pp. 6057-6063.

94. Fidlin Alexander, Thomsen Jon Juel. Predicting vibration-induced displacement for a resonant friction slider //Eur. J. Mech. A. 2001. - v. 20. - N 1. - pp. 155166.

95. Gawronski Wodek, Parvin Ben. Radiotelescope low-rate tracking using dither// J. Guid., Contr., and Dyn. 1998. - v. 21. - N 2. - pp. 349 - 351.

96. Klepp H. J. Influence of the integration steps on the results of numerical simulations for a system with friction // Z. angew. Math, und Mech. 1995. -v. 75.-N 1.-pp. 61-68.

97. Klepp H. J. Letter to the editor. Trial-and-error based method for the investigation of multi-body systems with friction // J. Sound and Vibr. -1996. -v. 197.-N 5.-pp. 629-637.

98. Liang J.-W., Feeny B. F. Dynamical friction behavior in a forced oscillator with a compliant contact// Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1998. - v. 65. - N 1. - pp. 250-257.

99. Oden J.T., Pires E.B. Nonlocal and nonlinear friction laws and variational principles for contact problems in elasticity //Trans. ASME: J.Appl.Mech. -1983.-v.50.-N.l.-pp. 67-76.

100. Pierre C., Ferri A.A., Dowel E.H. Multi-harmonic analysis of dry friction damped systems using an incremental harmonic balance method// ASME Journal of Applied Mechanics. December 1985. - Vol 52. - pp. 958-964.

101. Pratt Т.К. and Williams R. Non-linear analysis of stick/slip motion // J. Sound and Vibration Vol.74. -N 4. - 1981.- pp. 531-542.

102. Richard Thomas, Detournay Emmanuel. Stick-slip motion in a friction oscillator with normal and tangential mode coupling// C. r. Acad. sci. Ser. 2. Fasc. b. 2000. - v. 328. - N 9. - pp. 671-678.

103. Shapiro Alex M. Self-induced oscillations of friction process parameters// Wear. 2000. - v. 237. - N 2. - pp. 223-230.

104. Shin Kihong, Oh Jae-Eung, Brennan Michael J. Nonlinear analysis of friction induced vibrations of a two-degree-of-freedom model for disc brake squeal noise //JSME Int. J. C. 2002. - v. 45. - N 2. - pp. 426-432.

105. Tan X., Rogers R. J. Equivalent viscous damping models of Coulomb friction in multi-degree-of-freedom vibration systems// J. Sound and Vibr. -1995. v. 185.-N l.-pp. 33-50.

106. Yeh G.C.K. Forced vibrations of a two-degree-of-freedom system with combined Coulomb and viscous damping// J.Acoustical Soc. Of America . -1966.-Vol.39. pp. 14-24.

107. Zienkiewicz O.C., Godbole P.N. Flow of plastic and viscoplastic solids with special reference to extrusion and forming processes // Int.J.Num.Meth.Engng. -1974.- 8.- N1. pp. 3-16.