Математическое и программное обеспечение для решения нелинейных задач динамики систем управления с упругостью и сухим трением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Сухомлинов, Георгий Львович

• Сухомлинов, Георгий Львович
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сухомлинов, Георгий Львович

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ И ФОРМУЛИРОВКА ПОДХОДА К ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ С ОСОБЕННОСТЯМИ ТИПА СУХОГО ТРЕНИЯ.

1.1. Аналитические методы в задачах динамики

1.1.1. Методы, основанные на преобразовании Лапласа.

1.1.2. Частотные методы в задачах динамики

1.1.3. Приближенные методы анализа в нелинейных задачах динамики с разрывными особенностями

1.2. Численные методы решения нелинейных задач динамики.

1.2.1. Явные и неявные схемы интегрирования применительно к нелинейным проблемам

1.2.2. Неявные процедуры интегрирования и проблемы нерегулярностей типа сухого трения.

1.3. Формулировка подхода к численному решению нелинейных задач динамики на основе неявной схемы Эйлера с итерациями

2.АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ С ОСОБЕННОСТЯМИ ТИПА СУХОГО ТРЕНИЯ И ОГРАНИЧЕНИЯМИ В ФОРМЕ НЕРАВЕНСТВ.

2.1. Формулировка задачи динамики с трением и ограничениями.

2.2. Неявная итерационная процедура численного решения задач динамики с трением и ограничениями.

2.3. Программная реализация алгоритма численного решения.

3. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННОГО АЛГОРИТМА К ИССЛЕДОВАНИЮ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ С ТРЕНИЕМ.

3.1. Одномассовая модель вынужденных колебаний с трением.

3.2. Двухмассовая модель вынужденных колебаний с трением.

4. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННОГО АЛГОРИТМА К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКОГО РУЛЕВОГО ПРИВОДА С ПЕРЕКОМПЕНСАЦИЕЙ РУЛЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

4.1. Исследование реакции .привода с перекомпенсированной рулевой поверхностью на постоянное входное воздействие

4.1.1. Условия технического задания и основные исходные параметры привода.

4.1.2. Система дифференциальных уравнений динамики электрогидравлического привода и ее алгебраический аналог на малом временном интервале.

4.1.3. Результаты моделирования поведения электрогидравлического привода с перекомпенсированной рулевой поверхностью при постоянном входном воздействии.

4.2. Исследование реакции привода с перекомпенсированной рулевой поверхностью на гармоническое входное воздействие

4.2.1. Формулировка задачи гармонического анализа применительно к нелинейной динамической модели привода.

4.2.2. Результаты моделирования поведения электрогидравлического привода с перекомпенсированной рулевой поверхностью при гармоническом входном воздействии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и программное обеспечение для решения нелинейных задач динамики систем управления с упругостью и сухим трением»

Современное состояние производства характеризуется использованием широчайшего спектра всевозможных систем управления: от сложнейших робототехнических, транспортных, технологических и других промышленных систем до электромеханических систем бытового назначения. Одним из основных требований, предъявляемых к каждому техническому устройству, является его надежная, устойчивая работа при заданных управляющих воздействиях в реальных условиях эксплуатации. Поэтому при проектировании ноеых систем (или модификации старых) одним из этапов разработки является исследование динамики проектируемой (или модифицируемой) системы.

Решению вопросов динамики различного типа устройств, машин, систем управления посвящена обширная литература [12-14,1719,23-29, 35, 44-47, 4 9, 51,52, 55, 57, 58, 62, 64, 65, 67, 68,7 9, 80, 82 и др. ] . Анализ представленных в литературе расчетных методов позволяет констатировать следующее.

Классические методы, основанные на преобразованиях Лапласа и Фурье (частотные методы) [17,32,46,58,67,79 и др,], были и остаются наиболее распространенным аппаратом при оценке динамического поведения. Однако указанные методы допустимо применять лишь в тех случаях, когда поведение системы достаточно хорошо описывается в рамках линейной или линеаризованной динамической модели.

Между тем многие системы содержат элементы, которые обуславливают скачкообразный характер происходящих в этих системах динамических процессов [4,5,7,10,11,16,21,22,30,32-34,3641,48,53,56,63,66,68,69,71,73,81-83,85 и др.]. В качестве таких элементов можно назвать люфты, упоры, реле и т.д. Сухое трение в узлах машин выступает как еще один источник подобной скачкообразности. Задачи динамики с отмеченными особенностями являются существенно нелинейными. Следует также отметить, что нелинейности в формулировках задач динамики могут иметь и гладкий характер. Типичными примерами служат механическая характеристика электродвигателя переменного тока и нагрузочная характеристика гидропривода.

В литературе по динамике машин и системам управления представлены разнообразные аналитические методы исследования отдельных нелинейных систем [1-4,6-9,11, 14,15,17,18,20,21,32, 39,43,45,46, 51,52,54-57, 59-62,66-69,71,72,8 0-83 и др.]. Однако эти подходы способны дать лишь приближенную оценку динамических свойств. Точность подобной оценки остается при этом под вопросом.

Кроме того, имеющиеся аналитические методы не являются универсальными, пригодными для исследования любых нелинейных динамических систем. При использовании таких методов каждая нелинейная задача динамики требует индивидуального подхода.

В этой ситуации наиболее эффективным путем построения общих подходов к решению нелинейных задач динамики с разрывными особенностями представляется применение методов численного интегрирования [17,27,31,42,45,46,70,79,84,90,94-96,101 и др.], на основе которых можно создавать универсальные алгоритмы решения широких классов динамических проблем. Наибольшее распространение при этом получили явные схемы численного интегрирования (чаще всего явная схема Эйлера), отличающиеся простотой и универсальностью программной реализации.

Между тем известно [45,70,79,84], что явные схемы численного интегрирования являются лишь условно устойчивыми в вычислительном отношении (в смысле нарастания ошибки округления от шага к шагу). Для обеспечения надежного вычислительного процесса исследователь должен указать размер шага по времени, который га6 рантирует вычислительную устойчивость явного алгоритма. Однако оценка величины такого шага представляет собой достаточно сложную задачу, особенно в случае нелинейных дифференциальных уравнений. Исследователи предпочитают обходить эту проблему, надеясь обеспечить устойчивый счет выбором достаточно мелкого шага.

В случае "жестких" систем дифференциальных уравнений [70] к выбору шага по времени предъявляются повышенные требования. В этой ситуации отсутствие априорной оценки размера временного шага существенно снижает надежность явного алгоритма. В литературе отмечается, что алгоритмы, основанные на яеных схемах численного интегрирования, не обладают достаточной надежностью и требуют очень осторожного применения, особенно в случае "жестких" систем. При этом указывается, что надежные (безусловно устойчивые в вычислительном отношении) алгоритмы могут быть построены на пути использования неявных схем. Однако подобные алгоритмы не получили развития применительно к нелинейным задачам динамики с особенностями типа сухого трения и ограничениями по функциональным параметрам. По-видимому, такая ситуация обусловлена трудностями, связанными с необходимостью построения итерационных процедур для решения возникающих на каждом временном шаге нелинейных систем алгебраических уравнений.

Все сказанное дает основание констатировать, что несмотря на достигнутые результаты в области численного моделирования, проблема разработки надежных в вычислительном отношении алгоритмов для исследования динамического поведения систем с учетом характерных для них нелинейностей остается открытой.

Целью диссертационной работы является:

- разработка алгоритма и программного обеспечения для численного решения нелинейных задач динамики с трением и ограничениями по функциональным параметрам на основе неявной схемы Эйлера;

- проведение исследований динамического поведения реальных систем управления с сухим трением, упругостью и ограничениями по функциональным параметрам при различных воздействиях.

Автор выносит на защиту:

1) Алгоритм численного решения нелинейных задач динамики на основе неявной схемы Эйлера, способный учитывать разрывные особенности типа:

- сухого кулоновского трения,

- ограничений в форме неравенств, накладываемых на функциональные параметры динамической системы.

2) Программное обеспечение для численного решения задач динамики, сформулированных в виде систем нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с произвольным количеством нерегулярностей типа сухого трения и ограничениями по любому из определяющих параметров системы.

3)Результаты численного моделирования динамического поведения реальных систем с трением и ограничениями по функциональным параметрам при различных воздействиях с установлением эффектов и закономерностей по влиянию нелинейностей на характер динамических процессов.

Работа состоит из введения, четырех разделов и заключения.

Первый раздел посвящен обзору и критическому анализу существующих методов решения задач динамики. Отмечается, что во многих важных для практики случаях задачи динамики являются существенно нелинейными и характеризуются наличием сухого трения и других разрывных особенностей. Известные аналитические методы способны дать лишь приближенную оценку динамического поведения систем с подобного типа особенностями.

При анализе численных подходов применительно к решению существенно нелинейных задач динамики отмечено, что наиболее распространены подходы, основанные на явных схемах численного интегрирования (чаще всего явной схеме Эйлера). Однако такие схемы являются лишь условно устойчивыми, поэтому их надежность 8 особенно в случае "жестких" систем представляется недостаточно высокой.

Подчеркивается, что надежные вычислительные модели в нелинейных задачах динамики могут быть построены на основе неявной схемы Эйлера. И здесь может быть использован опыт, накопленный в области разработок инкрементальных методов решения контактных задач теории пластичности. Аналогия здесь с задачами динамики с разрывными особенностями состоит в наличии ограничения в виде контактирующего инструмента, трения на контактной поверхности и скачкообразного перехода среды из жесткого состояния в пластическое .

На основе проведенного критического анализа существующих разработок в области численного решения нелинейных проблем с разрывными особенностями сформулирован подход к численному моделированию нелинейных задач динамики. Формулировка, в частности, включает регуляризацию особенностей типа сухого кулонов-ского трения, применение неявной схемы Эйлера к регуляризован-ной задаче динамики с получением нелинейной алгебраической системы на временном шаге и ее последующее решение с использованием итерационных схем Ньютона и "переменной вязкости".

Во втором разделе работы задача динамики формулируется в виде системы, состоящей из нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. По каждому функциональному параметру предполагается наличие ограничения, которое формулируется в виде неравенства. На основе сформулированного в предыдущем разделе подхода представленная система дифференциальных уравнений заменяется путем применения схемы Эйлера соответствующим нелинейным алгебраическим аналогом. Дается описание алгоритма численного решения, основанного на сведении полученной нелинейной системы к последовательности линейных алгебраических систем в рамках итерационных процессов с применением методов Ньютона и "переменной вязкости". Представлено описание программной реализации, учитывающей произвольный порядок системы дифференциальных уравнений динамической модели, произвольное количество особенностей типа сухого кулоновского трения и возможность задания ограничений по каждому из функциональных параметров .

В третьем разделе работы дается приложение разработанного алгоритма к численному моделированию вынужденных колебаний од-номассовых и двухмассовых упругих систем с трением. Расчетные схемы подобного типа широко распространены в практике исследования динамики различных технических устройств. При достаточно больших значениях сил трения движение подобных систем характеризуется прерывистостью с обширными зонами застоя. Возможны ситуации, в которых наблюдаются дополнительные промежуточные торможения и остановы. Как отмечается в литературе, расчетное исследование подобных движений с большим количеством остановов аналитическими методами чрезвычайно затруднено. В случае двух источников трения аналитическое решение для задачи подобного типа с остановами к настоящему времени не получено.

Разработанный в данной работе алгоритм легко справляется со всеми отмеченными трудностями и позволяет получить решение при любых значениях сил трения. В разделе представлены результаты численного моделирования в виде форм вынужденных колебаний и "амплитудно-частотных" характеристик при различных значениях параметров рассматриваемых систем. Продемонстрированы все возможные случаи движения подобного рода систем как с обширными зонами застоя и промежуточными остановами, так и без остановов при достаточно малых значениях сил трения. Дается сравнение полученных результатов с известными численными решениями. О

В четвертом разделе дается приложение разработанного алгоритма к исследованию динамики рулевого электрогидравлического привода летательного аппарата в соответствии с техническим заданием ГНПЦ "Звезда-Стрела". Принципиальная схема функционирования привода выглядит следующим образом.

Управляющий сигнал вызывает перемещение золотника гидрораспределителя. Открытие окон золотникового гидрораспределителя вызывает расход жидкости через гидроцилиндр. Возникающий при этом перепад давления на поршне преобразуется посредством кинематических связей в момент, действующий на рулевую поверхность. Дополнительными силовыми факторами являются момент, возникающий под действием набегающего воздушного потока, а также моменты, вызываемые силами сухого и вязкого трения в узлах привода. Наличие обратной связи по положению руля призвано обеспечить требуемый угол поворота рулевой поверхности в соответствии с величиной управляющего сигнала.

В традиционных конструктивных вариантах центр давления набегающего воздушного потока располагается за точкой шарнирного закрепления или совпадает с ней (случаи недокомпенсированной и скомпенсированной рулевой поверхности). В рассматриваемом техническом задании принят вариант перекомпенсированной рулевой поверхности (центр давления набегающего воздушного потока располагается перед точкой шарнирного закрепления). Принятая конструктивная особенность коренным образом изменяет поведение привода. Если в первом из упомянутых конструктивных вариантов набегающий поток стремится удерживать руль в нейтральном положении, то в рассматриваемом варианте набегающий поток стремится развернуть рулевую поверхность, поэтому этот конструктивный вариант привода заведомо несет в себе опасность неустойчивой работы. Дать оценку работоспособности привода в условиях переи компенсации рулевой поверхности и составило главную цель проведенных в данном разделе расчетных исследований.

Система дифференциальных уравнений привода включает уравнение вращательного движения руля (совместно со связанными с ним элементами) под действием момента от перепада давления на поршне и других упомянутых выше моментов. Изменение перепада давления на поршне описывается дифференциальным уравнением первого порядка, учитывающим упругую сжимаемость рабочей жидкости. Уравнение включает в себя нелинейную нагрузочную характеристику гидропривода, которая в свою очередь содержит разрывную особенность по перемещению золотника. Движение золотника под действием управляющего сигнала и реакции обратной связи описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Дополнительной особенностью является наличие ограничений, а именно: перепад давления ограничен величиной давления питания, а перемещение золотника ограничено максимальным размером его окна. Представленная нелинейная задача динамики с трением и ограничениями относится к типу "жестких", т.к. наряду с достаточно медленным процессом поворота руля в системе происходят быстрые процессы, связанные со сжимаемостью жидкости в гидроцилиндре .

В первой части раздела приведены результаты параметрических исследований поведения привода при постоянном входном воздействии. Здесь показано, что использование линеаризованной модели нагрузочной характеристики (как это часто делается в инженерных расчетах) может приводить к нереалистичным результатам в описании протекания переходного процесса в приводе. Дается оценка влияния сухого и вязкого трения на качество переходного процесса, а также оценка влияния моментов от набегающего пото— 2 ка на работоспособность привода. Все полученные результаты оформлены в виде удобных для анализа графиков и таблиц.

Во второй части раздела приведены результаты численного моделирования поведения привода при гармоническом входном воздействии. Получаемые результаты по выходному параметру не являются гармоническими. Для того, чтобы получить возможность вести анализ в традиционных терминах амплитудно-частотных и фазочастот-ных характеристик, получаемая на выходе периодическая функция времени аппроксимируется первыми гармониками ряда Фурье с частотой входного сигнала. Оценка коэффициентов Фурье в программе осуществлена путем вычисления соответствующих интегралов по периоду методом трапеций.

Здесь в виде функций времени представлены результаты по всем определяющим параметрам модели привода. Отмечается прерывистый характер протекания динамических процессов в элементах привода вследствие сухого трения и ограничений, накладываемых на функциональные параметры. Обращается внимание на высокочастотные пульсации перепада давления. В результате проведенных параметрических исследований построены логарифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики при различных значениях момента сил трения и момента набегающего потока, а также при различных значениях амплитуд входного сигнала. Существенные различия частотных характеристик в области больших значений амплитуд входного сигнала указывает на существенную нелинейность рассматриваемой задачи динамики. При достаточно малых значениях амплитуд входного сигнала и отсутствии трения (когда допустимо использование линейной модели привода) полученные результаты полностью совпадают с результатами классического частотного анализа.

1д

Проведенные на основе нелинейной модели расчеты позволили сделать вывод о том, что динамические свойства данного привода находятся в рамках требований, определяемых техническим заданием.

Результаты всех проведенных исследований в виде графиков и таблиц, а также выработанные рекомендации переданы ГНПЦ "Звезда-Стрела".

В заключении приведены основные результаты и выводы по диссертационной работе.

В приложении представлены копии актов, свидетельствующих о внедрении разработанного программного обеспечения в практику. н

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Сухомлинов, Георгий Львович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В завершение приведем основные результаты и выводы по выполненной работе.

1. Сформулирован подход к численному решению нелинейных задач динамики с особенностями типа сухого трения и ограничениями в форме неравенств, основанный на регуляризации функций в малых окрестностях особых точек, применении неявной схемы Эйлера и итерационном решении нелинейной системы алгебраических уравнений на временном шаге. Использование неявной схемы обеспечивает надежность вычислительного процесса независимо от степени "жесткости" систем дифференциальных уравнений.

2. На основе указанного подхода разработан и программно реализован алгоритм численного решения нелинейных задач динамики, сформулированных в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с произвольным количеством источников сухого трения кулоновского типа. Предусмотрена возможность накладывать ограничения в форме неравенств на любой из функциональных параметров системы. Надежность алгоритма, его способность предсказывать динамическое поведение исследуемых систем в самых сложных случаях, включая ситуации прерывистого движения вследствие сухого трения, подтверждены сравнением с известными решениями.

3. С помощью разработанного алгоритма осуществлено подробное численное моделирование вынужденных колебаний одномассовой и двухмассовой упругих систем с трением в малоизученной области низких частот, где движение имеет прерывистый характер с множеством остановов и торможений (с пульсациями скоростей) на полупериоде. иг

При этом установлен факт крайне немонотонной зависимости размаха ("амплитуды") колебаний, а также длительности застоя на полупериоде от частоты (в области низких частот). В случае двухмассовой модели этот эффект выражается в двух- и трехкратном различии длительности застоя для двух близких частот из указанного диапазона. Переход к одномассовой модели снижает такой эффект почти в два раза. Еще большее снижение этого эффекта зафиксировано при включении вязкости в модель.

Путем сравнительного анализа одномассовой и двухмассовой модели с трением (без вязкости и с вязкостью) установлена закономерность по количеству локальных остановов и торможений на полупериоде в зависимости от частоты вынужденных колебаний. Дана также оценка влияния вязкости на картину пульсаций скоростей на полупериоде в зависимости от частоты.

4. Дано применение разработанного алгоритма к оценке работоспособности рулевого электрогидравлического привода с перекомпенсацией рулевой поверхности, в соответствии с техническим заданием ГНПЦ "Звезда-Стрела". Динамическая модель привода включала дифференциальные уравнения: а) вращательного движения руля (относительно угла поворота) под действием моментов сил от перепада давления на поршне гидроцилиндра, аэродинамического шарнирного момента от нагрузки набегающего потока, а также моментов сил сухого трения и вязкого сопротивления; б) баланса расходов в гидросистеме привода (записанное относительно перепада давления и перемещения золотника) с учетом упругой сжимаемости рабочей жидкости и нелинейности нагрузочной характеристики; в) движения золотника гидрораспределителя под воздействием сигнала рассогласования. Дополнительными нелинейными факторами модели привода являлись из заданные ограничения, накладываемые на перемещение золотника и перепад давления на поршне.

Выполнены подробные параметрические исследования реакции привода на постоянное и гармоническое входное воздействие. Установлено, что традиционная линейная и линеаризованная расчетные схемы приводят к нереалистичным результатам при тех достаточно больших значениях входного сигнала, которые предусмотрены техническим заданием.

Проведенным расчетным анализом подтверждено устойчивое функционирование привода при значениях параметров, соответствующих техническому заданию.

Оформленные в виде таблиц и графиков результаты исследований и вытекающие из них выводы по работоспособности привода переданы организации - проектировщику.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сухомлинов, Георгий Львович, 2002 год

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем //Автоматика и телемеханика. 1974. № 7.- с. 33-47.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем // Автоматика и телемеханика. 1974. № 8.- с.39-61.

3. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М. : Наука, 1981. 568 с.

4. Андрющенко В. А. Следящие системы автоматизированного сборочного оборудования. Л.: Машиностроение, Ленингр. Отд-ние, 1979. 246 с.

5. Арид Ф.Ф., Юнгер И.Б. Разрывное управление в автоматических системах // Изв. Ленингр. Электротехн. Ин-та, 1981.№ 287.- с. 68-73.

6. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. М. : Наука, 1978.- 352 с.

7. Баженов Е.А., Гонуляк Е.А., Гуляев В. И. Устойчивость периодических процессов в нелинейных механических системах. Львов: Вища. шк., 1983. 287 с.

8. Бессонов А. П. Основы динамики механизмов с переменной массой звеньев. М.: Наука, 1967.- 279 с.

9. Бидерман В.Л. Теория Механических колебаний. М. : Высш. шк., 1980. - 408 с.

10. Бурчак О. Т. Разрывные процессы с управляемыми скачками: Теория оптимальных решений. Киев: Техника, 1980. с. 53-59.

11. Валдырев A.C. Ошибка регулирования в двухзонной системе управления скоростью электропривода постоянного тока // Электротехническая промышленность. Сер. Электропривод, 1981.5. с. 4-7.

12. Вейц В. Л. Динамика машинных агрегатов. Л.: Машиностроение, 1969, - 368 с.т

13. Вейц В . Л., Коловский М.З., Кочура А. Е. Динамика управляемых машинных агрегатов. М. : Наука, 1984. - 332 с.

14. Вейц B.JI., Кочура А.Е., Мартыненко A.M. Динамические расчеты приводов машин.- Л.: Машиностроение, 1971. 352 с.

15. Вейц В.Л., Кочура А.Е., Царев Г.В. Расчет механических систем приводов с зазорами. М. : Машиностроение, 1978. -182 с.

16. Вопросы исследования силовых импульсных систем // Межвуз. Сб. Науч. Тр. Новосибир. Электротехн. ин-т /Под ред. И. В. Радионова. Новосибирск: НЭТИ, 1982. 138 с.

17. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. М.: Энергия, 1974. 320 с.

18. Вульфсон И.И. Динамические расчеты цикловых механизмов. -Л.: Машиностроение, 1976. 281 с

19. Гамынин Н.С. Гидравлический привод систем управления. М.: Машиностроение, 1972.-376 с.

20. Геккер Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения. М.:Машиностроение, 1983.-167 с.

21. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.Я. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М. : Наука, 1978. 400 с.

22. Геращенко Е.И., Геращенко С.М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975. -296 с.

23. Герц Е.В. Динамика пневматических систем машин. М. : Машиностроение, 1985. - 256 с.

24. Герц Е.В. Пневматические приводы. М,: Машиностроение, 1969.- 220 с.

25. Герц Е.В., Крейнин Г.В. Расчет пневмоприводов. М. : Машиностроение, 1976.6

26. Гидравлические и пневматические силовые системы управления./Под ред. Дж. Блекборна. М.: ИЛ, 1962.- 614 с.

27. Гидравлические приводы летательных аппаратов /Н.С. Гамынин, В.И. Карев, A.M. Потапов, A.M. Селиванов; Под общ. ред. В.И. Карева. М.: Машиностроение, 1992. - 368 с.

28. Гийон М. Исследование и расчет гидравлических систем. -М.: Машиностроение, 1964. 387 с.

29. Гликман Б.Ф. Математические модели пневмогидравлических систем. М.: Наука, 1986. - 366 с.

30. Гришин С.А. Доопределение дифференциальных уравнений с разрывной правой частью //Сб. Тр. ВНИИ систем исслед., 1980. № 4. с. 30-39.

31. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1960. - 659 с.

32. Джеймс X., Никольс Н., Филлипс Р. Теория следящих систем: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. Лит., 1953. 464 с.

33. Диденко В.П. Динамические системы с разрывными характеристиками. Киев: Вища шк., 1977. 80 с.

34. Динамика систем: Устойчивость, синхронизация, хаотичность //Межвуз., сб. Горьков гос. ун-та / Под ред. Ю.И. Неймарка. Горький: Изд-во ГГУ, 1983. 205 с.

35. Динамика следящих приводов / Б.И. Петров, В.А. Полковников, Л.В. Рабинович и др.; Под ред. Л.В. Рабиновича. М. : Машиностроение, 1982. - 496 с.

36. Динамические задачи механики сложных систем: Сб. Научн. Тр. АН УССР. Ин-т техн. Механики/ Под ред. B.C. Будника. Киев: Наук. Думка, 1984. 110 с.

37. Доступов Б.Г. Основы моделирования динамических объектов на гибридных вычислительных системах. Учебн. пособие. М.:МАИ, 1984. 54 с.

38. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. 336 с.

39. Жильцов К.К. Приближенные методы расчета систем с переменной структурой. М.: Энергия, 1974. 224 с.

40. Завалишин С.Т., Сесекин А.Н., Дрозденко С.Е. Динамические системы с импульсной структурой. Свердловск: Сред. Урал кн. Изд-во, 1983. 112 с.

41. Изосимов Д.В., Уткин В. И. Об эквивалентности систем с разрывными управлениями // Автоматика и телемеханика, 1981. № 11. с. 189-191.

42. Иларов В.Я., Толстяков Д.Н. Численное исследование вынужденных колебаний одной динамической системы с нелинейностями типа собственного сухого трения // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики, 1977. № 1. -с. 70-84.

43. Кобринский А.Е. Механизмы с упругими связями. М. Наука, 1964. - 390 с.

44. Кожевников С.Н. Динамика нестационарных процессов в машинах. Киев: Наук. Думка, 1986, - 288 с.

45. Коловский М.З., Слоущ A.B. Основы динамики промышленных роботов. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит.,1988. - 240с.•4 6. Коловский М.З. Динамика машин. JI. : Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1989. - 263 с.

46. Колосов С.П. Элементы авиационных автоматических устройств. М.: Оборонгиз, 1963. 4 62 с.

47. Красносельский М.А., Покровский A.B. Уравнения с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР, 1979. № 5. -с. 1056-1059.ш

48. Крымов Б.Г., Рабинович Л. В., Стеблецов В.Г. Исполнительные устройства систем управления летательными аппаратами// М.: Машиностроение, 1987. 264 с.

49. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. Т.З.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: Высш. шк.,1989.- 352 е.: ил.

50. Кулешов B.C., Лакота H.A. Динамика систем управления мануляторами. М.: Энергия, 1971. 304 с.

51. Лакота H.A., Орлов В.Б. Устойчивость движения систем управления манипуляторами с пассивным отражением усилий // Механика машин. М.: Наука, 1974.Вып. 46. с. 49-52.

52. Лозгачев Г.И. Достаточные условия устойчивости одного класса разрывных систем // Сб. ВНИИ систем. исслед., 1980. №4. с. 21-24.

53. Ломовцев В.Г., Ким Н.В. Устойчивость пневмопривода при наличии сухого трения в уплотнениях силового цилиндра.//В сб. Пневматика и гидравлика. Приводы и системы управления. Вып. 6 Под ред. Е.В. Герц. М. : Машиностроение, 1979. -с. 39-44.

54. Математические методы исследования систем управления // Межвуз. Сб. Ленингр. Ин-та авиац. приборостр./ Под ред. С.А. Понырко. Л.: ЛИАП, 1982. № 159. 198 с.

55. Мещанов A.C. Метод декомпозиции многомерных разрывных систем на независимую разрывную и непрерывную подсистемы //Устойчивость и управление. Казань: КАИ, 1981.- с. 43-49.

56. Нелинейные задачи динамики и прочности машин / Под ред. В.А. Вейца. Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1983. - 336 с.

57. Основы автоматического управления / Под ред. B.C. Пугачева. М.: Наука, 1974. - 720 с.

58. Основы проектирования следящих систем /Под ред. H.A. Лакоты, Е.П. Попова. М.: Машиностроение, 1978,- 319 с.1. U9

59. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. -М.: Наука, 1971. 340 с.

60. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматгиз, 1960. - 193 с.

61. Петров В.В., Гордиев A.A. Нелинейные сервоприводы. М. : Машиностроение, 197 9. 217 с.

62. Покровский A.B. Об одном классе разрывных систем // Автоматика и телемеханика, 1981. № 8. с. 15-18.

63. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидропневмосистем. -М.: Машиностроение, 1987. 463 с.

64. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах М.: Наука, 1973.- 583 с.

65. Применение постоянных магнитов в электромеханических системах // Межвуз. тематич. Сб./ Под ред. В.А. Балагурова. М.:МЭИ, 1983. № 9. 134 с.

66. Проектирование следящих систем / Под ред. JI.B. Рабиновича. М.: Машиностроение, 1969. 500 с.

67. Проектирование следящих систем двустороннего действия /Под ред. B.C. Кулешова. М.: Машиностроение, 1980.-299 с.

68. Рабинович JI.B. Методы фазовой плоскости в теории и практике релейных следящих систем. М.: Энергия, 1965. 152 с.

69. Ракитский Ю.В.,' Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.- 208 с.

70. Редькин Б.Н. Колебания нелинейных систем с трением под действием периодических импульсов // Тр. ЦАГИ, 1979. № 1. -с. 132-136.

71. Силаев A.A. Колебания механических систем: Учебн. пособие. М.: МАИ, 1976. 82 с.30

72. Стеблецов В.Г. Нелинейные системы с разрывными координатными связями: Теория и практика. М. : Машиностроение, 1992. -256 с.

73. Сухомлинов Г.Л. Вычислительная модель для исследования вынужденных колебаний упругих систем при больших значениях сил трения //Известия вузов. Машиностроение.- 2002. №4.- с.7-14.

74. Сухомлинов Л.Г., Сухомлинов Г.Л. Неявная пошаговая процедура численного решения задач динамики машин с нелинейностями типа кулоновского трения и ограничениями в форме .неравенств // Вестник машиностроения. 1998. № 8.- с. 3-6.

75. Сухомлинов Л.Г., Сухомлинов Г.Л. Оценка работоспособности электрогидравлического рулевого привода с большим моментом перекомпенсации //Приводная техника, 1997.№ б.- с.14-17.

76. Теория автоматического управления: в 2-х ч. 4.1. Теория линейных систем автоматического управления / H.A. Бабаков,ш

77. А.А. Воронов, А.А. Воронова и др. Под ред. А.А. Воронова. -2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 198 6.- 367 с.

78. Теория автоматического управления: в 2-х ч. 4.2. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления / А. А. Воронов, Д. П. Ким, В.М. Лохин и др; Под ред. А. А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. -504 с.

79. Тилляходжаев М.М., Самсонов В. Д. Нелинейные системы автоматического регулирования частотно-управляемых электромагнитных виброприводов // Электротехническая промышленность. Сер. Электропривод, 1980. №7. с. 5-7.

80. Тэлер Дж., Пестель М. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления: Пер. С англ. М.;Л.: Энергия, 1964. 488 с.

81. Харкевич А.А. Автоколебания. М. : Гостехтеориздат, 1953 -172 с.

82. Chen С.С., Kobayashi S. Rigid-plastic finite element analysis of ring compression // Applications of Numerical Method of Forming Processes, ASME,AMD. 1978. - v.28. -pp.163-174.

83. Cheng J.H., Kikuchi N. An incremental constitutive relation of unilateral contact friction for large deformation analysis // J.Appl. Mech. Trans. ASME. 1985. -v.52. - N.3. -pp. 639-648.

84. Den Hartog J.T. Forced Vibrations with Combined Coulomb and Viscous Friction // Trans ASME. 1931. - Paper APM-53-9. pp.107-115.

85. Dowell E.H. The Behavior of a Linear, Damped Modal System with a Nonlinear Spring-Mass-Dry Friction Damper System Attached // J. Of Sound and Vibration.- Vol. 89 NM- 1983.- pp. 65-84.

86. Hunt D., Adams W., and Bock T. Dynamic Analysis of Structures with Friction Forces at Sliding Junctures// J. Spacecraft Vol. 21- № 21 - 1984.- pp. 175-179.

87. Jezequel L. Structural Damping by Slip in Jonts // ASME Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design Vol. 105- № 4- 1983.- pp. 497-504.

88. Oden J.T., Pires E.B. Nonlocal and nonlinear friction laws and variational principles for contact problems in elasticity //Trans.ASME:J.Appl.Mech. 1983. - v.50. - N.l. - pp. 67-76.

89. Pierre C.,Ferri A.A., Dowel E.H. Multi-harmonic analysis of dry friction damped systems using an incremental harmonic balance method// ASME Journal of Applied Mechanics. December 1985.- Vol 52. - pp. 958-964.

90. Pratt T.K. and Williams R. Non-Linear Analysis of Stick/Slip Motion // J. Sound and Vibration Vol.74- № 41981.- pp. 531-542.

91. Shearer J.L. Digital Simulation of a Coulomb-Damped Hydraulic Servosystem // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control Vol. 105 - № 4.- 1983.-pp. 215-221.

92. Sinha, A. and Griffin J.H. Effects of Static Friction on the Forced Response of Frictionally Damped Turbine Blades // ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power Vol. 106 - № 1.- 1984.- pp. 65-69.

93. Sinha A. and Griffin J.H. Friction Damping of Flutter in Gas Turbine Engine Airfoils // AIAA J. Aircraft- Vol. 20- № 4.1983.- pp. 372-376.

94. Yeh G.C.K. Forced Vibrations of a Two-Degree-of-Freedom System with Combined Coulomb and Viscous Damping// J.Acoustical Soc. Of America Vol. 39 - 1966.- pp. 14-24.

95. Zienkiewicz O.C., Godbole P.N. Flow of plastic and viscoplastic solids with special reference to extrusion and forming processes // Int.J.Num.Meth.Engng. 1974. - 8.- N.l. -pp.3-16.

96. Zmitrowicz A. A Vibration Analysis of a Turbine Blade System Damped by Dry Friction Forces// Int. J.Mech. Sci.- Vol. 23.- № 12.- 1981.- pp. 741-761.