Нелинейный анализ и математическое моделирование в динамике твёрдого тела с трением на плоскости и в теории фрикционных автоколебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Ветюков, Михаил Михайлович

• Ветюков, Михаил Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ветюков, Михаил Михайлович

Введение.

1. Обзор литературы. Состояние вопроса.

2. Краткая характеристика и содержание работы.

Глава 1. ДИНАМИКА ТЕЛА НА ПЛОСКОСТИ С КУЛОНОВЫМ ТРЕНИЕМ.

1.1 Диссипативная функция системы в неподвижных осях. Уравнения движения

1.2 Плоское движение с трением при медленном вращении.

1.3 Движение с быстрым вращением.

1.4 Динамика фрикционного маятника.

1.5 Выводы.

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛЗУНА НА ПЛОСКОСТИ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕКУЛОНОВА СУХОГО ТРЕНИЯ.

2.1 Общие условия асимптотической устойчивости положения равновесия.

2.2 Точка на плоскости.

2.3 Устойчивость тел конечных размеров на плоскости с некулоновым трением.

2.4 Выводы.

Глава 3. АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ

АППРОКСИМАЦИЯХ СИЛЫ ТРЕНИЯ.

3.1 Исследования колебаний в системе с кубической характеристикой трения.

3.2 Фрикционные колебания в системе с кусочно-линейной аппроксимацией силы трения.

3.3 Автоколебания в системе с характеристикой трения, зависящей от времени длительного контакта тел.,

3.4 О динамике фрикционного маятника при некулоновом трении.

Глава 4. ФРИКЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С

ОТНОСИТЕЛЬНЫМ СКОЛЬЖЕНИЕМ ТЕЛ. АВТОКОЛЕБАНИЯ

НА ПЛОСКОСТИ.

4.1 Автоколебания в системе с относительным скольжением тел при некулоновом трении.

4.2 Двумерные автоколебания на плоскости.

4.3 Фрикционные колебания в системе с преобразованным трением.

Глава 5. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ СИСТЕМ С

СУХИМ ТРЕНИЕМ.

5.1 Влияние автоколебаний тормозного механизма на процесс торможения.

5.2 Уменьшение эффективного трения при быстром вращении. Динамика «опоры вращения».

5.3 Эффективное трение при быстрых вибрациях.

5.4 Виброперемещение точки на плоскости при действии медленно вращающейся периодической силы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейный анализ и математическое моделирование в динамике твёрдого тела с трением на плоскости и в теории фрикционных автоколебаний»

1. Обзор литературы. Состояние вопроса.

Изучение сил трения и его возможных динамических проявлений имеет важное значение в различных областях фундаментальной науки — в физике, механике, теории колебаний, а также при разработке и создании новых типов машин и механизмов, в которых эти силы могут определять как количественные, так и качественные характеристики работы. Динамика систем с трением — это сложный, далеко не завершенный раздел механики, граничащий с физикой процессов трения и с некоторыми разделами математики, в частности, с теорией нелинейных дифференциальных уравнений. Проблемы, которые обычно при этом возникают, можно разделить на три группы. Во-первых, это выбор механической модели, так как не всегда, например, модель твердого тела оказывается приемлемой из-за возможности возникновения так называемых парадоксов Пэнлеве [7,106], связанных с неоднозначностью решения задачи. То же можно сказать и о простейшей одномассовой схеме в теории фрикционных автоколебаний, которая имеет свою ограниченную область применения. Во-вторых, это адекватное математическое описание сил трения. Поскольку физическая природа трения весьма сложна и до конца не изучена, а число различных концепций трения составляет уже несколько десятков и продолжает возрастать, в конкретных задачах необходимо выбирать такую модель трения, которая, с одной стороны, охватывала бы соответствующие физико-механические явления, а, с другой, не приводила к чрезмерному усложнению задачи. Третья группа вопросов связана с рациональной записью уравнений движения и математическим или численным исследованием задачи, которое часто сводится 5 к решению сложных нелинейных дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений.

В настоящей работе с помощью методов общей механики и нелинейной теории колебаний рассматриваются динамика и устойчивость твердого тела на плоскости с трением, а также проблемы теории фрикционных автоколебаний. Общим свойством всех предлагаемых задач является то, что нормальная реакция плоскости фактически задана и при определении реакций связей с трением не возникает вопросов, связанных с парадоксами Пэнлеве, а также безотрывный характер движения. Для описания трения используются простые закономерности — закон сухого трения Кулона с постоянным коэффициентом и его модификации, применяемые обычно в задачах о фрикционных колебаниях — кубическая [99] или кусочно-линейная [84,97] зависимость силы трения от относительной скорости тел. В случае автоколебаний с характеристикой трения, зависящей от времени застоя, используется гипотеза трения А.Ю. Ишлинского и И.В. Крагельского [61,75].

Несмотря на кажущуюся простоту законов трения и механических моделей, рассматриваемых в работе, в них может проявляться целая гамма различных, подчас неожиданных динамических эффектов, связанных с трением. Диссертация в значительной своей части посвящена изучению таких эффектов.

В качестве математического аппарата при анализе уравнений движения в работе широко применяются асимптотические методы в форме метода осреднения как для систем с одной и двумя быстрыми фазами, так и в более общем случае. Эти методы, развитые в известных работах H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [19,91], В.М. Волосова и Б.И. Моргунова [44], H.H. Моисеева [92] и в более поздних [8,51] и др., оказываются весьма эффективными при исследовании динамики быстро 6 вращающегося тела с трением на плоскости, фрикционных автоколебаний в системах с одной и несколькими степенями свободы, для изучения влияния быстрых вибраций на системы с трением и т.д. В отдельных случаях используются также и другие подходы, разработанные в нелинейной механике: метод малого параметра и метод точечных отображений [89,98] при исследовании автоколебаний, а также методы фазовой плоскости и качественного исследования дифференциальных уравнений [4,105].

Из большого количества работ, относящихся к динамике твердого тела на плоскости с трением, можно отметить лишь довольно ограниченное число исследований, в которых изучаются свойства движений с учетом формы и размеров тел. Это связано со сложностью математического описания трения при движении тел конечных размеров. В первую очередь здесь следует назвать известную монографию А.И. Лурье [85], в части, касающейся диссипативной функции для систем с сухим трением, и статью А.Ю. Ишлинского и др. [62]. В них рассматривается динамика тел простой формы (круглого диска, кольца, прямоугольника). Существенным при этом является предположение о равномерном распределении сил давления по площади тела, а также об однородном характере трения, которое описывается простым законом Кулона. В работах [59,87,109] делается попытка учесть упругость основания, по которому скользит тело с трением, а также описать механизм трения на основе анализа процесса микросоударений, возникающих при плоском контакте тел, однако из-за математических трудностей не удается при этом получить ясных количественных оценок динамики тела. Из более поздних следует выделить работы Г.Т. Алдошина и H.H. Дмитриева [1,54], в которых применяется усложненная модель анизотропного трения и устанавливаются условия начала движения, а также численно исследуются 7 движения простых тел. В настоящей диссертации при изучении динамики тела на шероховатой плоскости будем использовать простую «классическую» постановку задачи, как и в [62,85]. Это позволяет при некоторых предположениях записывать уравнения движения для произвольных плоских тел в форме обыкновенных дифференциальных уравнений и с их помощью анализировать различные случаи движения. В частности, для случая быстрого вращения оказывается, что диссипативные силы в уравнениях поступательных координат пропорциональны поступательным же скоростям и обратны по величине большой угловой скорости тела, то есть для этих координат получаем малое вязкое сопротивление. Этот результат, как и ряд других, полученных в работе, является следствием эффекта преобразованного сухого трения. Термин «преобразованное трение» был введен В.В. Андроновым [5,6] для одномерного движения тела на шероховатой плоскости, поступательно движущейся перпендикулярно скорости тела. В случае движения плоскости с достаточно большой постоянной скоростью сила сухого трения тогда переходит в вязкое сопротивление с малым коэффициентом вязкости.

Другой важной проблемой, затрагиваемой в работе, является исследование устойчивости стационарных движений в системах с трением, поскольку потеря устойчивости может приводить к нарушению работы многих узлов и механизмов, в которых трение играет существенную роль — невозможности плавного движения ползуна при плоском контакте с основанием или при движении в направляющих, нарушению равномерного вращения вала в опорах с трением и т.д. Из причин, вызывающих неустойчивость, здесь следует назвать две. Во-первых, позиционную неустойчивость [115], проявляющуюся возникновением позиционных сил с несимметричной матрицей в уравнениях возмущенного движения. Такая ситуация может иметь место в системах с чисто куло8 новым трением, когда нормальные реакции связей в возмущенном движении оказываются переменными. Соответствующие примеры для поступательного и вращательного стационарных движений рассматривались в работах [55, 58,81,112,]. Другой причиной неустойчивости может стать падающая характеристика трения, когда производная силы трения по скорости в стационарном режиме отрицательна. В этом, чаще всего, видят механизм возникновения фрикционных автоколебаний [41,99], поскольку в таком случае положение равновесия в колебательной системе с одной степенью свободы будет неустойчивым. Однако для систем с несколькими степенями свободы это не всегда имеет место. В диссертации рассматривается задача об устойчивости равновесия для материальной точки, а также для упруго закрепленного плоского тела на шероховатой движущейся плоскости с падающей характеристикой. Ранее, насколько известно автору, соответствующие условия устойчивости в общем виде получены не были.

Значительная часть диссертации связана с исследованием фрикционных автоколебаний как в одномассовой модели, так и в более сложных системах. Такие колебания могут быть важным источником нежелательных вибраций в различных механизмах и машинах. Их причиной является, вообще говоря, нестабильность силы трения при относительно малых скоростях проскальзывания либо возрастание этой силы с увеличением времени застоя (то есть относительного покоя контактирующих тел). Осознание природы фрикционных автоколебаний и условий их возникновения началось в 1930-е годы параллельно с развитием общей теории нелинейных колебаний в работах Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, A.A. Андронова [90], Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова [78], Б. Ван-дер-Поля [24] и др. Так, одна из первых механических моделей автоколебаний, груз на резиновой движущейся ленте, была предаю9 жена Ван-дер-Полем в 1930 г. [24]. Возбуждение автоколебаний при этом связывалось с нелинейностью сухого трения. В работе Н.Л. Кайдановского и С.Э. Хайкина [66] впервые математически описаны релаксационные автоколебания, характеризующиеся наличием интервалов застоя груза на ленте, причиной которых было уменьшение силы трения движения по сравнению с трением покоя. Другой распространенной моделью для автоколебаний, предложенной тогда же, является маятник Фроуда с падающей характеристикой трения [111]. В дальнейшем исследование автоколебаний, обусловленных трением, развивалось по нескольким направлениям. Одно из них связано с разными физическими концепциями и моделями трения, применяемыми при различных условиях и скоростях проскальзывания. Помимо упоминавшейся теории трения А.Ю. Ишлинского и И.В. Крагельского (1944 г.) следует назвать работы Jle Суан Аня, в которых установлена зависимость силы трогания с места от скорости тангенциального нагружения [82,83], и исследования Д.М. Толстого [113] и В.А. Кудинова [79]. В них возникновение автоколебаний связывается с зависимостью силы трения от контактной деформации в направлении, нормальном к поверхности трущихся тел. Кроме названных, существует еще ряд моделей автоколебательных систем, обусловленных упруго-вязкими [125] и реологическими процессами при трении [76,77]. Другое направление объединяет прикладные исследования фрикционных автоколебаний в различных областях техники: в станкостроении [79,110], где эти колебания определяют такие важные качества работы станков, как равномерность подачи и точность установочных перемещений, в динамике машин, включающих тормозные устройства и механизмы фрикционного сцепления [121]. Такие колебания часто сопровождают работу бурильных колонн [9,11], они также являются причиной вибрации при разгоне ведомых звеньев фрикционных

10 муфт и редукторов [47], при абразивной обработке и шлифовании [86] и т. д. Характерным для таких прикладных работ является использование колебательной модели с одной степенью свободы и простой зависимостью трения от скорости - скачкообразной или кусочно-линейной, а в более сложных ситуациях непосредственное численное решение уравнений динамики [131]. Наконец, третье направление представляют теоретические исследования фрикционных автоколебаний с помощью методов нелинейной механики при разных аппроксимациях трения; к нему можно отнести и соответствующие разделы диссертации (главы 3 и 4). Основное место здесь занимают работы по колебаниям в одномассовой системе. При этом в качестве наиболее распространенной причины автоколебаний подразумевается нелинейная зависимость трения от относительной скорости тел, которая описывается различными способами: скачкообразной [65,66], кусочно-линейной [57,82,95], экспоненциальной или кубической [11,15,71,99] зависимостями. Исследованиям фрикционных колебаний в таких системах посвящено весьма большое количество работ [4,14,15,99,122,130] и др. В случае релаксационных автоколебаний (колебаний с зонами застоя) при этом используется обычно скачкообразная характеристика, а в системе с кубической или иной гладкой характеристикой трения изучаются квазигармонические колебания без остановок груза. Существует лишь небольшое число работ, в которых одновременно изучаются оба этих типа автоколебаний, причем для кусочно-линейных систем [23,97,101]. Для кубической характеристики установлено [45,71], что квазигармонические стационарные колебания без остановок возможны лишь в довольно узком диапазоне скорости протяжки 2/л/5 V* < V < V* (V* — значение скорости в минимуме характеристики), а релаксационные режимы возникают при меньших скоростях,

11

V < 2/л/5 V*. В данной диссертации исследуются различные, в том числе релаксационные и смешанные автоколебания, в системах с кубической зависимостью трения, а также достаточно подробно изучаются квазигармонические колебания без мгновенных остановок для кусочно-линейной зависимости.

Помимо систем со спадающей характеристикой рассматриваются также автоколебания другого типа для характеристики трения А.Ю. Ишлинского и И.В. Крагельского. Здесь наряду с периодическими режимами с чередованием зон застоя и проскальзывания при определенных условиях могут возникать и хаотические колебания. По-видимому, впервые на такую возможность было указано в работе Л.Я. Кащеневского [69], где подобные движения исследовались в предположении линейного закона возрастания силы трения от времени застоя. За последние годы появилось много работ математического и прикладного характера, посвященных хаотическим колебаниям в динамических системах [13,93,126,128] и др., однако в приложении к фрикционным автоколебаниям эта проблема оставалась мало изученной. Данная работа восполняет этот пробел для общего закона возрастания трения на этапе застоя.

Моделирование реальных динамических систем с трением с помощью схемы с одной степенью свободы может оказаться во многих случаях недостаточным и привести к потере важных свойств динамики объекта. Исследованию автоколебаний в многомассовых системах с трением посвящен также ряд работ [3,10,20,80,102,124]. В них рассмотрены фрикционные системы, в которых силы трения действуют на составляющие тела со стороны движущегося основания, а сами тела соединены упругими элементами. При этом используются довольно простые за

12 висимости для силы трения, кусочно-линейная или кубическая с малым параметром [3,80,102], однако и в такой постановке исследовать условия существования и устойчивости стационарных колебаний в полном объеме не удается. Кроме того, здесь могут возникать различные устойчивые стационарные режимы, и представляет интерес определение их областей притяжения. Эта проблема в применении к фрикционным автоколебаниям также до настоящего времени аналитически не изучалась. Помимо названных работ следует отметить исследования автоколебаний в системе с двумя степенями свободы с помощью аналогового моделирования А. Тондла [114], а также численный метод изучения динамики системы тел со спадающей характеристикой трения общего вида [131]. Однако и в этих работах области притяжения автоколебаний не найдены. В диссертации такая задача рассматривается для системы с двумя степенями свободы, отличной от изучавшихся ранее. Исследованы также двумерные фрикционные колебания на плоскости. Из-за сложного вида силы трения, которая здесь содержит нелинейности двух типов, автоколебания в таких системах также до сих пор оставались неизученными.

При рассмотрении фрикционных автоколебаний скорость поступательного движущегося основания считается обычно постоянной и обратное влияние колебаний на динамику привода не учитывается. Исключение здесь составляют работы [2,3,72], посвященные автоколебаниям в системах с ограниченным возбуждением. В диссертации рассматривается друг ая задача этого типа — определяется влияние автоколебаний тормозного механизма на динамику торможения. Ранее в работах [22,34] этот вопрос изучался для простейшей скачкообразной характеристикой трения. Здесь он анализируется в случае более сложной кубической зависимости.

13

Идея использования вращательного движения для преобразования сухого трения в вязкое сопротивление применяется в некоторых технических решениях — в схеме подачи станка на вращающихся направляющих, в демпфере вязкого трения В. А. Кудинова [99]. В диссертации анализируются другие практически интересные случаи перехода сухого трения в вязкое — как при вращательном движении с плоским контактом тел («опора вращения»), так и в случае действия высокочастотных вибраций. Динамика систем с сухим трением при действии колебаний достаточно высокой частоты рассматривается в многочисленных теоретических и прикладных исследованиях [16,17,41,48] и др. В теоретических работах из-за сложного описания сухого трения рассматриваются, в основном, одномерные движения. При этом выявляется одно общее свойство — среднее движение тела происходит таким образом, как если бы сухое трение было заменено на нелинейное вязкое. Это может приводить к существенному изменению эквивалентной силы трения и исчезновению фрикционных автоколебаний. Такой эффект, называемый еще вибрационным сглаживанием, может проявляться как в системах с обычным кулоновым трением, так и при более сложных описаниях силы трения [129]. Отметим, что эффект вибрационного сглаживания нели-нейностей известен и в теории автоматического управления [100,104] . Различные проявления этого и других эффектов в системах с трением под действием вибраций описаны в книгах И.И. Блехмана, Г.Ю. Джанелидзе [18], К.В. Фролова [ 117] и в других работах. В диссертации изучается случай «отклоненных вибраций», когда линия колебаний основания отклонена от направления движения и находится в плоскости движения. Ввиду трудностей аналитического исследования дифференциальных уравнений динамики соответствующие задачи исследованы недостаточно. Из близких по тематике можно назвать рабо

14 ты [5,6,68]. В статьях В.В. Андронова [5,6] рассматривается движение точки при действии вибраций, нормальных к направлению движения, а в монографии Р.-М. Канапенаса приводятся результаты численного решения соответствующих задач в приложении к виброопорам. В данной работе анализируется вибрационное сглаживание при различных углах отклонения линии вибраций для одномерных и плоских движений тела. В случае плоского движения при действии «мёртвой» внешней силы, то есть силы постоянного направления, траектория точки в среднем отклоняется от направления этой силы. По аналогии с вибрационным уводом [41,60] этот эффект в работе назван вибрационным отклонением.

Заключительной задачей, представленной в диссертации, является исследование двумерного виброперемещения точки при действии периодической внешней силы, медленно изменяющейся по направлению. Эта проблема рассматривается как возмущённая задача «классической» теории одномерного виброперемещения (без предположения о большой частоте силы). Если различные одномерные режимы вибрационного перемещения к настоящему времени подробно изучены [18,48,96], то теория плоского движения при действии периодических сил мало разработана из-за сложностей математического описания трения на плоскости. Здесь к достаточно хорошо изученным относятся задачи о движении частицы на горизонтальной плоскости с трением, совершающей круговые колебания (задача Н.Е. Жуковского [56,96]), а также о перемещении вдоль наклонной плоскости, совершающей колебания перпендикулярно направлению движения [5,42]. Задача, изучаемая в диссертации, является новой, она возникла в связи с созданием самоходных вибрационных устройств, в частности, виброуплотнителей [43,108] с криволинейной траекторией движения.

15

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Ветюков, Михаил Михайлович

Заключение.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Проведено исследование динамики тела конечных размеров на плоскости с кулоновым трением. Получены дифференциальные уравнения для быстрого и медленного вращения. При медленном вращении момент сил трения по величине обратно пропорционален поступательной скорости, а при движении по инерции центр масс будет двигаться прямолинейно лишь для динамически симметричного тела. В случае плоского движения с быстрым вращением сухое трение в поступательном движении переходит в вязкое сопротивление, обратно пропорциональное большой угловой скорости. Найдены соответствующие коэффициенты сопротивления для выпуклых тел. При движении по инерции с быстрым вращением определены путь, пройденный до остановки, и время движения. Они оказываются пропорциональны большой начальной угловой скорости.

2. Предложена новая простая модель динамики твердого тела с трением — фрикционный маятник, т.е. тело с неподвижной точкой на шероховатой движущейся плоскости, и изучены различные режимы движения. При постоянной скорости плоскости его динамика аналогична динамике обычного маятника: частота малых колебаний равна частоте такого же маятника в поле тяжести, умноженной на д//, а диссипация обратно пропорциональна этой скорости. В случае колебаний плоскости с большой частотой в системе возможно "квазиравновесие" с произвольным , с точностью до малых слагаемых, углом

217 отклонения маятника от направления колебаний. При частоте колебаний плоскости, сравнимой с собственной частотой, могут возникать нерегулярные ротационные движения маятника.

3. Исследована устойчивость положения равновесия упруго закрепленного тела, контактирующего с подвижной плоскостью, при неку-лоновом трении. Для материальной точки устойчивость нарушается, если производная коэффициента трения по скорости отрицательна и по модулю достаточно велика, а также для направлений скорости плоскости, близких к главным осям жесткости, в случае тела конечных размеров и диагональной матрицы жесткости добавляется дополнительное условие устойчивости, связанное с формой тела. Это условие нарушается для продолговатых тел, если большая сторона составляет со скоростью плоскости угол, близкий к /г/2. Показано, что введение дополнительного упругого элемента, приводящего матрицу жесткости к недиагональному виду, может стабилизировать неустойчивое равновесие, что не противоречит известным теоремам о неустойчивости положения равновесия.

4. Для фрикционных автоколебаний систем с одной степенью свободы получены следующие результаты:

- в случае кубической характеристики трениия построены области существования стационарных колебаний различных типов - квазигармонического, релаксационного и смешанного, установлено, что они существуют лишь на спадающем участке характеристики, а амплитуда колебаний достигает максимума вблизи скорости протяжки, соответствующей границе безостановочных колебаний;

218

- для фрикционного маятника с кубической зависимостью силы трения показано, что наряду с устойчивым положением равновесия возможны стационарные движения ротационного типа;

- в случае кусочно-линейной характеристики трения определены квазигармонические колебания без остановок, которые также существуют на спадающем участке, а их амплитуда и период существенно зависят от наклонов линейных участков; в отличие от кубической характеристики на возрастающем участке при этом возможны стационарные релаксационные колебания.

5. Изучены автоколебания в системе с характеристикой трения, зависящей от длительности контакта тел. Построена функция доследования, определяющая различные типы движений с несколькими переменами знака скорости, найдены также области существования колебаний хаотического типа, когда длительности интервалов застоя меняются случайным образом. Такие колебания здесь возникают непосредственно при переходе через субпериодическую границу области устойчивости без бифуракций типа удвоения периода.

6. Развита теория фрикционных колебаний в системах с двумя степенями свободы:

- предложена новая двухмассовая модель, в которой тела непосредственно взаимодействуют силами некулонова трения, при этом возможен эффект гашения автоколебаний, когда одно из тел совершает немалые колебания, а другое, в первом приближении покоится; с использованием метода определения для нерезонансного случая построены области притяжения таких режимов; для основного резонанса показано, что из-за уменьшения частотной расстройки устой

219 чивое стационарное движение может стать неустойчивым вследствие влияния малой диссипации в упругих элементах, при этом система перейдет в стационарный режим с колебаниями другой массы;

- исследованы автоколебания тела на шероховатой плоскости в двух измерениях и выделены два случая - одномерных колебаний, возникающих вдоль одной из осей жесткости несмотря на отклонение скорости плоскости от этой оси, а также двумерных колебаний; построены оьласти существования и устойчивости этих режимов; рассмотрены, как частный случай колебаний на плоскости, автоколебания в системе с преобразованным трением и определены граничные значения скорости плоскости, начиная с которых появляются стационарные режимы колебаний, при меньших скоростях эффективное вязкое трение, как результат преобразованного, подавляет автоколебания.

7. С помощью асимптотического упрощения уравнений решены некоторые прикладные задачи динамики систем с трением:

- рассмотрена связанная задача о торможении вращательного движения с учетом возникающих колебаний тормозной колодки и показано, что для кубической характеристики трения эти колебания увеличивают средний тормозящий момент, в начале торможения это может приводить к резкому падению угловой скорости;

- исследована динамика опоры вращения, в которой быстрое вращение маховиков, скользящих по шероховатой поверхности, используется для многократного уменьшения эффективной силы трения при поступательном движении;

220

- изучено влияние быстрых вибраций на уменьшение эффективной силы трения при различных направлениях линии вибраций для одномерного движения; в случае плоского движения, при одномерной внешней силе показано, что траектория точки в среднем отклоняется от направления силы, если линия вибраций с ней не совпадает, и определена величина этого отклонения.

8. Исследовано виброперемещение тела на плоскости при медленном повороте внешней периодической силы. Эта модель может служить для описания динамики самоходных вибрационных машин. С помощью асимптотического анализа а также численного решения уравнений задачи показано, что траекторией тела в среднем будет разворачивающаяся спираль, найден ее начальный радиус и получена оценка изменения радиуса спирали.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ветюков, Михаил Михайлович, 2000 год

1. Алдошин Г.Т., Дмитриев H.H. К вопросу о влиянии анизотропного трения на движение тела по плоскости. Международная научно-техническая конференция

2. Износостойкость машин». Тезисы докладов (часть 1). Брянск. 1994. С. 41-42.

3. Алифов A.A. Об автоколебаниях в системе с ограниченным возбуждением. АН СССР. Машиноведение. 1979. №1. С.8-14. Алифов A.A., Фролов К.В. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии. М.: Наука. 1985. 327 с.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959. 905 с.

5. Андронов В.В. Движение тела по шероховатой наклонной плоскости, совершающей поступательные поперечные колебания в своей плоскости. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1972. №3. С.7-14.

6. Андронов В.В. Механические системы с преобразованным сухим трением. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1988. №1. С.40-49.

7. Аппель П. Теоретическая механика. Т.2. М.: ГИФМЛ. 1960. 487 с. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука. 1985. 320 с.

8. Белокобыльский C.B., Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф. О фрикционных автоколебаниях бурильной колонны. АН СССР. Машиноведение. 1982. №2. С. 15-20.222

9. Белокобыльский C.B., Нагаев Р.Ф. Метод частичной гармонической линеаризации в задаче о фрикционных автоколебаниях механических систем с несколькими степенями свободы. АН СССР. Машиноведение. 1985. №5. С.27-31.

10. Белокобыльский C.B., Прокопов В.К. Анализ фрикционных автоколебаний бурильной колонны при экспоненциальном законе сопротивления. Прикладная механика. 1982. Т18. №12. С.98-101.

11. Белякова Г.В., Беляков Л.А. Область хаотических движений в модели маятника с вертикально колеблющейся осью. Тр. IV Всерос. научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1996. С.20.

12. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминированном подходе к турбулентности. М.: Мир. 1991. 366 с.

13. Бессараб Н.Ф. Фрикционные автоколебания. Журнал теоретической физики. 1956. Т.26. Вып.1. С.102-108.

14. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. школа. 1980. 408 с.

15. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука. 1994. 394 с.

16. Блехман И.И. Что может вибрация. М.: Наука. 1988. 208 с.

17. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. М.: Наука. 1964. 410 с.

18. Боголюбов Н.Н, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 504 с.

19. Бутенин Н.В. Приложение метода Ван-дер-Поля к механическим автоколебательным системам с двумя степенями свободы. Изв. вузов. Машиностроение. М.: 1963. №4. С.32-46.223

20. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. 1987. 382 с.

21. Валуев А.П. Фрикционные автоколебания релаксационного и квазигармонического типа. Автореферат канд. диссертации. С.-Пб. 1988.

22. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связь-издат. 1935. 91 с.

23. Ветюков М.М. Динамика систем с сухим трением на плоскости и теория динамического гасителя фрикционных автоколебаний. Тр. IV Всерос. научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1996. С.ЗЗ.

24. Ветюков М.М. Исследование движения тела на плоскости с трением с помощью диссипативной функции. Труды СПбГТУ. Механика и процессы управления. №467. С.-Петербург. 1997. С.22-25.

25. Ветюков М.М. Нелинейные задачи динамики тела на плоскости с трением при медленном и быстром вращении. Теория фрикционного маятника. Труды XXIV школы-семинара «Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем». С.-Петербург. 1997. С.298-312.

26. Ветюков М.М. Устойчивость ползуна на плоскости при действии сил сухого некулонова трения. РАН. Проблемы машиностроения и надёжности машин. 1992. №3. С.40-44.224

27. Ветюков M.M., Доброславский C.B., Нагаев Р.Ф. Автоколебания в системе с характеристикой сухого трения наследственного типа. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1990. №1. С.23-27.

28. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф. Автоколебания в двухмассовой системе с относительным скольжением тел. Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 1998. №5. С.34-40.

29. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю. Автоколебания в системе тел, связанных силами сухого трения. РАН. Проблемы машиностроения и надёжность машин. 1993. №1. С.37-41.

30. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю. Сравнительное исследование фрикционных автоколебаний точным методом и методом осреднения. Деп. в ВИНИТИ 12.05.93 (per. № 1249-В93).

31. Ветюков М.М., Нагаев Р.Ф., Платовских М.Ю. Фрикционные автоколебания двухмассовых тормозных устройств. Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова. 1991. Т. 126. С.79-85.

32. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Влияние релаксационных автоколебаний тормозной колодки на процесс торможения. Записки ЛГИ им. Г.В. Плеханова. 1988. ТЛ17. С.110-114.

33. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Двумерные фрикционные автоколебания. Машиностроение и автоматизация производства. Межвузовский сборник. С.-Петербург. Изд СЗПИ. 1999. Вып. 16. С.64-71.225

34. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Задача о плоском виброперемещении частицы. Вибрационные машины и технологии. Сб. научн. трудов. Курск. Изд-во Курского политехнического института. 1993. С.79-89.

35. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Фрикционные автоколебания в системе с одной степенью свободы при действии сил трения с кубической характеристикой. Испытания материалов и конструкций. Сб. научн. трудов. Нижний Новгород. Нф ИМАШ РАН. 1996. С.151-156.

36. Ветюков М.М., Платовских М.Ю. Фрикционные автоколебания на плоскости и в системах с преобразованным сухим трением. Тр.У Международной научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1999. С.46-47.

37. Ветюков М.М., Ходжаев К.Ш. Уравнения медленных движений систем с квазициклическими координатами и электромеханических систем. Динамика систем. Межвузовский сборник. Горький. Изд-во Горьковского университета. 1976. Вып.9. С.92-106.

38. Ветюков М.М. Нелинейные модели и задачи динамики твёрдого тела с трением на плоскости. С.-Петербург. Изд. СПГГИ. 2000. 131 с.

39. Вибрации в технике. Справочник. Т.2 / Под редакцией И.И.Блехмана. М.: Машиностроение. 1979. 351 с.

40. Вибрации в технике. Справочник. Т.4 / Под редакцией Э.Э. Лавендела. М.: Машиностроение. 1981. 509 с.

41. Вибрационные машины в строительстве и производстве строительных материалов. Справочник. / Под редакцией В. А. Баумана и др. М.: Машиностроение. 1970. 548 с.226

42. Волосов В.M., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ. 1971. 507 с.

43. Вульфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение. 1968. 284 с.

44. Ганиев Р Ф., Кононенко В.О. Колебания твёрдых тел. М.: Наука. 1976. 431 с.

45. Геккер Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения. М.: Машиностроение. 1983. 247 с.

46. Гончаревич И.В. Динамика вибрационного транспортирования. М.: Наука. 1972. 244 с.

47. Горюнов В.Н., Дондошанская A.B., Метрикин B.C., Нагаев Р.Ф. Периодические движения тела над плоскостью, колеблющейся по негармоническому закону. Прикладная механика. Киев. 1974. Т.10. Вып.9. С.41-50.

48. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз. 1962. 882 с.

49. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука. 1986. 256 с.

50. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.2. 4.2. М., Л.: Гостехиздат. 1933. 287 с.

51. Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. М.: Физматгиз. 1960. 580 с.

52. Дмитриев H.H. Влияние анизотропного трения на движение твёрдых тел. Автореферат канд. диссертации. С.-Пб. 1996.

53. Доброславский C.B. Исследование устойчивости движения ползуна на упругих опорах по направляющим с сухим трением. АН СССР. Машиноведение. 1984. № 4. С. 14-20.227

54. Жуковский Н.Е. Заметка о плоском рассеве. Собрание сочинений. М.: ГТТИ. 1949. Т.З. С.515-522.

55. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука. 1988. 326 с.

56. Журавлёв В.Ф., Фуфаев H.A. Механика систем с неудерживающими связями. М.: Наука. 1993. 240 с.

57. Иванов А. П. Метод определения реакций при плоском контакте твёрдых тел. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1988. № 3. С, 22-26.

58. Иориш Ю.И. Односторонний увод и вращение стрелок измерительных приборов, возникающие при вибрации. М.: Приборостроение. 1956. №4. С.15-32.

59. Ишлинский А.Ю., Крагельский И.В. О скачках при трении. Ж. техн. физики. 1944. Т. 14. Вып.4/5. С.276 282.

60. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии трения. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1981. № 4. С. 17 28.

61. Кажаев В В. Сдвиговые автоколебания в круглой шайбе. Испытания материалов и конструкций. Сб. научн. трудов. Нижний Новгород. Нф ИМАШ РАН. 1996. С. 157-165.

62. Кажаев В.В., Потапов А.И. Крутильные автоколебания упругого стержня. Динамика систем. Динамика и управление. Межвузовский сборник. Горький. Изд-во Горьковского университета. 1986. С.43-54.

63. Кайдановский Н.Л. Природа механических автоколебаний, возникающих при сухом трении. Журнал теоретической физики. 1949. Т19. Вып.9. С.985-996.228

64. Кайдановский H.Л., Хайкин C.B. Механические релаксационные колебания. Журнал теоретической физики. 1933. Т.З.Вып.1. С.91-107.

65. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1971. 576 с.

66. Канапенас Р.-М. Виброопоры. Вильнюс. «Мокслас». 1984. 208 с.

67. Кащеневский Л.Я. Стохастические автоколебания при сухом трении. Инж. физ. журнал. 1984. Т.47. №1. С.143-147.

68. Кивелева К.Г., Фрайман Л.А. Регулярные и хаотические движения в неавтономной среде маятникового типа. Тр. IV Всерос. научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Аннот. докл. Нижний Новгород. 1996. С.73.

69. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Наука. 1966. 298 с.

70. Кононенко В.О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. М.: Наука. 1964. 236 с.

71. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и её учёт в теории волчка. Проблемы гироскопии. М.; Мир. 1967. С. 60-72.

72. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.; Наука. 1968. 720 с.

73. Костерин Ю.И. Механические автоколебания при сухом трении. М.: Изд-во АН СССР. 1960. 76 с.

74. Крагельский И.В. Трение и износ в вакууме. М.: Машиностроение. 1973. 216 с.

75. Крагельский И.В., Гитис Н.В. Фрикционные автоколебания. М.: Наука. 1987. 181 с.229

76. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев. Изд. АН УССР. 1937. 363 с.

77. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение. 1967. 359 с.

78. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.; Наука. 1980. 359 с.

79. Ле Суан Ань. Влияние механических систем штабелера на плавность его хода. Изв. вузов. Машиностроение. 1987. № 12. С.91 97.

80. Ле Суан Ань. Механичские релаксационные автоколебания. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1973. №2. С.47-50.

81. Ле Суан Ань. Экспериментальное исследование механических автоколебаний при трении. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1972. №3. С. 62-70.

82. Левин А.И. Приближённый расчёт фрикционных автоколебаний. Машиноведение. 1981. № 2. С. 37^4.

83. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Наука. 1961. 824 с.

84. Лурье Г.Б. Автоколебания при шлифовании. Сб. «Абразивы». ЦБТИ. 1960. Вып.27. С.88.

85. Мак-Миллан В. Д. Динамика твёрдого тела. М.: ИЛ. 1951. 464 с.

86. Малкин И Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1952. 452 с.

87. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. 1956. 492 с.

88. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Андронов A.A. и др. Новые исследования в области нелинейных колебаний. М.: ОНТИ. 1936. 96 с.230

89. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка. 1971. 440 с.

90. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. 1981.400 с.

91. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир. 1990. 311 с.

92. Мурашкин Л.С. К вопросу о возбуждении автоколебаний на металлорежущих станках. Труды ЛПИ. Машиностроение. 1957. №191. С. 54-62.

93. Нагаев Р.Ф. Квазиконсервативные синхронизирующиеся системы. С.-Пб.: Наука. 1996. 251 с.

94. Нагаев Р.Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. М.: Наука. 1978. 160 с.

95. Нагаев Р.Ф., Сарафян Г.С. Фрикционные автоколебания в системе с кусочно-линейной характеристикой трения. Прикладная механика. 1990. № 10. С. 84-90.

96. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1972. 471 с.

97. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука. 1964. 336 с.

98. Первозванский A.A. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.: Физматгиз. 1962. 352 с.

99. Петров В.Ф. О механических автоколебаниях при сухом трении в системах с одной степенью свободы. Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. №2. С.86-92.

100. Петров В.Ф. О механических автоколебаниях, возбуждаемых силами сухого трения в системах с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1968. №1. С.39-45.231

101. Платовских М.Ю. Фрикционные автоколебания и вибрационное перемещение в системах с одной и двумя степенями свободы. Автореферет канд. диссертации. С.-Пб. 1995.

102. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближённые методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз. 1960. 792 с.

103. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Классики естествознания. M.-JI. Гостехиздат. 1974.392 с.

104. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: ГИТТЛ. 1954. 316 с.

105. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука. 1994. 285 с.

106. Савинов O.A., Лавринович Е.В. Вибрационная техника уплотнения и формования бетонных смесей. Л.: Стройиздат. Ленингр. отделение. 1986. 182 с.

107. Самсонов В.А. О трении при скольжении и верчении тела. Вестник МГУ. Сер.1. 1981. № 2. С. 76-78.

108. Санкин Ю.Н. Устойчивость фрезерных станков при резании. М.: Вестник машиностроения. 1984. №4. С.59-62.

109. Ш.Стрелков С.П. Теория автоколебаний маятника Фроуда. Журнал теоретической физики, 1933. Т.З. Вып.4. С.563-572.

110. Сумбатов A.C. Об устойчивости стационарных вращений несимметричного вала в опорах с сухим трением. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1989. № 1. С.44-47.

111. Толстой Д.М. Колебания ползуна, зависящие от контактной жёсткости, и их влияние на трение. Докл. АН СССР. 1963. Т.153. №4. С.820-823.

112. Тондл А. Автоколебания. М.: Мир. 1979. 398 с.232

113. Тхай В.H. Об устойчивости механических систем под действием позиционных сил. Прикладная математика и механика. 1980. Т.44. Вып.1. С.40-48.

114. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука. 1994. 285 с.

115. Фролов К.В. Вибрация — друг или враг? М.: Наука. 1984. 144 с.

116. Хархута Н.Я. Машины для уплотнения грунтов, Л.: Машиностроение. 1973. 356 с.

117. Черноусько Ф.Л. Условия равновесия тела на шероховатой плоскости. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1988. №6. С.6-17.

118. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат. 1955. 207 с. 121.Чичинадзе A.B. Расчёт и исследование внешнего трения приторможении. М.: Наука. 1967. 216 с.

119. Яковлев В.М. Об автоколебаниях груза на движущейся транспортёрной ленте. Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1966. №2. С. 175-178.

120. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука. 1968. 344 с.

121. Bengisu M.Т., Akay A. Stability of friction-inducted vibration in multi-degree-of-freedom systems. Journ. of Sound and Vibr. 1994. №4. P.557-570.

122. Canudas de Wit С., Olsson H., Astrom K.J., Lishinsky P.A. New Model For Control of Systems with Friction. IEEE Trans. AC-40. 1995. №3. P.419-425.

123. Feigenbaum M.J. Universal Behavior in Nonlinear Systems. Los Alamos Sei. (Summer). 1980. P.4-27.233

124. Glocker Ch., Pfeiffer F. Stick-slip phenomena and application. Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics. IUTAM Symposium. UCL. 1993. New York. P.103-113.

125. Ott E. Strange Attractors and Chaotic Motions of Dynamical Systems. Rev. Mod. Phys. 1981. №53(4), Part 1. P.655-671.

126. Pervozvanski A, Canudas de Wit C. Vibrations smoothing in systems with Dynamic Friction. Proc. NOL COS. 1998. P. 181-190.

127. Ta Kano Eisuke, Zhang Xiang Yong. Frictional vibrations 1,2. Res. Rept. Fac. NiigataUniv. 1986. №35. P.l-9, 11-18.

128. Wosle M., Pfeiffer F. Dynamics of Multibody Systems Containing Dependent Unilateral Constraints with Friction. Journ. of Vibr. and Control. 1996. №2. P.161-192.