Фрикционные автоколебания и вибрационное перемещение в системах с одной и двумя степенями свободы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Платовских, Михаил Юрьевич

• Платовских, Михаил Юрьевич
• кандидат технических наук
• 1995

Оглавление диссертации кандидат технических наук Платовских, Михаил Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I фрикционные автоколебания в системе с одной степенью свободы при различных характеристиках трения.

1. 1 исследование одномассовой системы с характеристикой трения в виде кубической параболы.

1. 2 Исследование колебаний в системе с кусочно- линейной характеристикой трения при помоши точного интегрирования.

1. 3 Исследование автоколебаний в системе с кусочно- линейной характеристикой трения по методу осреднения.

Глава II Торможение врашатёльного движения при наличии автоколебаний тормозного механизма. г. 1 Задача о торможении при действии сил сухого трения со скачкообразной характеристикой.

2. 2 Задача о торможении при действии сил трения с кубической характеристикой.

Глава III фрикционные автоколебания в системах с двумя степенями свободы.

3. 1 Автоколебания в системе тел. связанных силами сухого некулонова трения. з. 2 Фрикционные автоколебания на плоскости.

3. 3 Замечание об автоколебаниях в системах с преобразованным трением.

Глава IV Задача о плоском виброперемещении частицы.

4. 1 случай изменения силы F по гармоническому закону.

4. 2 Случай зависимости внешней силы от времени по закону прямоугольного синуса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фрикционные автоколебания и вибрационное перемещение в системах с одной и двумя степенями свободы»

Среди источников вибрации в машинах и механизмах существенную роль играют Фрикционные автоколебания (ФА), являющиеся одним из наиболее распространенных видов механических автоколебаний и связанные с нестабильностью процесса трения при относительно малых скоростях скольжения. Эти скорости становятся весьма характерными для современной техники, особенно для процессов точного позиционирования, а также пуска и торноже-ния узлов различных устройств. Помимо очевидных негативных следствий этого явления, в некоторых случаях его проявление может оказаться и весьма полезным. Наиболее ярким примером может служить игра на смычковых музыкальных инструментах. Однако в большинстве машин и приборов роль ФА может изменяться от весьма нежелательной до катастрофической.

Фрикционные автоколебания возникают, например, в таких устройствах, как тормоза и механизны Фрикционного сцепления, широко распространенных в автомобилях и на тракторах [5J], Они являются причиной повышенной вибрации во время переходных процессов разгона ведомого звена Фрикционных и центробежно- Фрикционных муФт [2D и редукторов [48], в слаботочных шеточных контактах, а также при фрезеровании, абразивной обработке и бурении скважин. Известно также явление так называемого " туманного горна" на судах [21/]. Причиной его являются ФА, возникающие в подшипниках скольжения валопровода при работе его в условиях недостатка водяной смазки.

Принципиально важное значение ФА имеют в станкостроении, где определяют два важнейших критерия эксплуатационного качества работы станков: равномерность медленных движений и точность установочных перенешений. Неравномерность подачи отмечается в станках почти всех типов: профильно- фрезерных, шлифовальных, тяжелых токарных [3^]. В большинстве случаев она недопустима, особенно в современных станках с ЧПУ.

В связи с этим необходимо детальное изучение фрикционных автоколебаний, выбор путей их устранения или хотя бы снижения их уровня до приемлемого для безопасной работы машины или механизма. Здесь возможно проведение исследований в двух направлениях. Во-первых, в трибологическом аспекте, включающем изучение триботехнических характеристик фрикционного контакта и разработку новых антифрикционных материалов, а во -вторых, в плане исследования динанических систем, содержащих фрикционные элементы. Во втором случае ставится задача определения различных режимов автоколебаний, выяснения вопроса об их устойчивости в зависимости от параметров систены в целом и характеристик фрикционного контакта в частности. Последние при этом считаются заданными. Исследования в этом направлении, как правило, проводятся современными методами теории колебаний, волновой механики и механики сплошных сред.

Предлагаемая диссертационная работа прежде всего посвяшена исследованию ФА с точки зрения механики и теории колебаний. В ней рассматривается динамика Фрикционных систем с одной и двумя степенями свободы, в которых возможно возникновение ФА. При помощи аналитических и численных нетодов строятся различные режимы автоколебаний и определяются в пространстве параметров области их существования и устойчивости.

Развитие этого направления теории ФА насчитывает уже более чем полувековую историю. За это время наиболее заметные результаты здесь были получены такими отечественными и зарубежными учеными, как Н. В. Бутенин, И. И. Ветюков, А. Ю. Ишлинский, Н. Л. Кайдановский, Н. з. Коловский, Ле Суан Ань, Р. Ф. Нагаев, я. г. Пановко, в. Ф. Петров, А. Тондл, С. Э. Хайкин и рядом других.

Одна из первых механических моделей ФА, возникшая на материале теории автоколебаний радиоэлектронных систем - груз на движущейся резиновой ленте - была предложена Б. Ван- дер- Полем в 1930 г. [43]. Возникновение автоколебаний им связывалось с нелинейностью, обусловленной сухим трением. Релаксационные ФА, характеризующиеся наличием в процессе колебаний груза интервалов, в течение которых он неподвижен относительно ленты, впервые математически строго описаны Н. Л. Кайдановским и С. Э. Хайкиным в работе [28]. Авторы показали, что все фрикционные системы, в которых возможны автоколебания, должны обладать нелинейностью, причем вполне определенного типа: в некоторых областях характеристика трения -зависимость коэффициента трения от относительной скорости скольжения- должна быть падаюшей. Обнаружена важная особенность ФА- существование критической скорости, соответствующей переходу с падающего участка характеристики трения на возрастающий,выше которой автоколебания невозможны. При этом если изменение силы трения мало, его роль сводится лишь к самовозбуждению автоколебаний. В системе при этон возникают квазигармонические колебания с частотой, близкой к собственной частоте системы, и амплитудой, зависящей от скорости ленты.

Точка зрения о том, что падающая характеристика является причиной ФА, не является единственной.

Многие авторы видят причину возникновения ФА в разности между силами трения покоя и скольжения [26], [2.8].

Согласно теории, выдвинутой в 1944 А. Ю. Ишлинским и И. В. Крагельским, сила трения увеличивается с продолжительностью неподвижного контакта [26]. Именно поэтому в эксперименте первый скачок по амплитуде превышает последующие. Основываясь на этой теории, впоследствии в работах [46], [30 3 были построены модели ФА, в которых обнаружены стохастические режины . Однако Ле Суан Ань, анализируя проведенные им эксперимента, приходит к выводу о независимости силы трогания с места от длительности неподвижного контакта; эта сила, по его мнению определяется скоростью тангенциального нагружения, уменьшаясь с ростом этой скорости [39].

В. А. Кудинов в условиях полужидкостной смазки на Фрикционном контакте связывает возникновение ФА с зависимостью силы трения от контактной деформации в направлении, нормальном к поверхности контакта.

Помимо названных, существует ряд моделей ФА, связанных с реологическими и термодинамическими процессами на Фрикционном контакте [32].

Каждая из перечисленных моделей, по- видимому, имеет свою ограниченную область применения, но все же представление о том, что причиной автоколебаний является нелинейная, с падающим участком, зависимость коэффициента трения от относительной скорости, является наиболее распространенным. При этом характеристика трения может описываться различными способами: в виде скачкообразной [ Ч 3, 1181, [291 > экспоненциальной [6]. кусочно- линейной 1361, [4/1, 1491, или кубической С 2- 3. 13И, 13 3 зависимости.

Аналогичная трактовка природы возникновения Фрикционных автоколебаний используется и в данной работе.

Ввиду необходимости описания динамики Фрикционных систем с помощью нелинейных дифференциальных уравнений исследование ФА в сложных системах, в особенности с несколькими степенями свободы, оказывается сложной и подчас вовсе неразрешимой ( аналитическими методами) задачей. В связи с этим исследование Фрикционных автоколебательных систем целесообразно начать с рассмотрения автоколебаний в однонассовой системе типа груза на движущейся ленте.

Исследованию Фрикционных автоколебаний в систене с одной степенью свободы и посвяшена первая глава диссертации. С решением в том или ином виде данной задачи связано достаточно большое число работ: [ 1 ], [51- [S3- \.39], [<Ж. Ш1, [573, 1601 и др.

Как правило,при исследовании релаксационных колебаний используется скачкообразная характеристика, а в системе с кубической характеристикой рассматриваются лишь квазигармонические автоколебательные режимы. Это связано с тем, что при использовании кубической или иной нелинейной зависимости коэффициента трения от скорости скольжения ( за исключением скачкообразной), в подавляющем большинстве случаев относительная скорость I либо просто скорость скольжения) считается величиной знакоопределенной положительной или отрицательной, что является правомерным лишь при исследовании малых колебаний. Существует крайне небольшое число работ, в которых допускается обращение относительной скорости в ноль. Так, например, в. ф. Петров в упомянутой выше работе 1461 для скачкообразной характеристики с линейным возрастающим участком исследовал как квазигарнонические, так и релаксационные режимы. То же,по существу, проделано Ле Суан Анем в [ЗП для кубической характеристики в совокупности с характеристикой трения наследственного типа ( характеристикой, учитывающей зависимость силы трения от продолжительности неподвижного контакта). Задачи в подобной постановке рассматривались и И. 3. Коловским [2/], [3/]. Общим выводом здесь является тот Факт, что квазигармонические ФА могут реализоваться лишь в узком интервале для скорости протяжки релаксационные автоколебания в скорость, соответствующая минимуму характеристики трения).

А. А. АлиФов и К.В. Фролов в своей работе [2 ], исследуя одномассовую систему с кубической характеристикой трения, наряду с безостановочными и релаксационными режимами, рассматривают также и колебаодномассовой системе возможны при

- 1 и ния с изменением знака относительной скорости, при которых происходит переход на другую ветвь характеристики трения. Однако при этом сделано предположение о малости силы трения, существенно сужающее область применения полученных результатов.

В / i первой главы рассматривается одномассовая система с кубической характеристикой трения, состоящей из двух ветвей, соответствующих интервалам знакопостоянства относительной скорости. Новизна постановки задачи состоит в том , что малой предполагается не сила трения, а ее изменение, происходящее с изменением относительной скорости. Задача решается методом припасовывания в сочетании с методом многих масштабов [353, [42], \HZ ]. Показано, что в рассматриваемой системе возможны все три упомянутые выше периодических режима автоколебаний. Определены в зависимости от параметров условия их существования, а также амплитуды и периоды, соответствующие различным типам колебаний. Полученные результаты подтверждаются данными численных исследований.

В 2 и 3 рассматривается та же одномассовая система, но с кусочно- линейной характеристикой трения. Ее использование позволяет выполнить аналитическое решение задачи с помошью точного интегрирования.

Модель Фрикционной системы с кусочно- линейной характеристикой ранее рассматривалась в работах [36], либо с помошью метода гармонического баланса, либо численно.

Более глубокое аналитическое исследование различных типов колебаний проведено Р.ф. Нагаевым и Г.С. СараФя-ном. Однако основные результаты в работе [И] получены в предположении о малых наклонах характеристики трения. В настоящей работе исследования проводились без последнего ограничения, а для случая малых наклонов решение задачи проведено по методу осреднения. Отмечается хорошее согласование результатов при переходе к малым наклонам СУТЬ

При исследовании ФА в системах с одной степенью свободы скорость поступательного движения ленты, либо колеблющегося тела считается постоянной. Однако, влияние, например, автоколебаний, возникающих в тормозных устройствах, на скорость тормозящегося элемента, и соответственно на тормозящую силу или момент может оказаться существенным. Характер этого влияния определяется во второй главе, в которой рассматривается задача о торможении вращательного движения массивного диска при действии на него сил трения со стороны упругозакрепленной тормозной колодки []. Эта задача, по-видимону, является новой. Сначала задача решается для скачкообразной характеристики с привлечением результатов работы И6]. Исследуется влияние различных релаксационных режимов ФА на тормозящий момент. Аналогичные исследования проведены и для кубической характеристики.

Для многих реальных динамических систем с трением моделирование их с помощью системы с одной колебательной степенью свободы может оказаться недостаточным и привести к потере важных особенностей движения исследуемого объекта.

Исследованию систем с двумя степенями свободы- двухмассовой системы и автоколебаний материальной точки на плоскости посвяшена третья глава.

Многомассовые системы исследуются в целом ряде работ: ], [■//]. 145 1, [2П, LfS]. В основном в них рассматриваются двухмассовые системы, по крайней мере для таких систем проведен более или менее подробный анализ. Так, например, В. Ф. Петровым в работе [47] рассмотрена система, состоящая из двух свободно вращающихся на параллельных осях дисков, соединенных пружиной и находящихся в контакте с движущейся с постоянной скоростью шероховатой поверхностью. При определенных условиях, вследствие наличия сил сухого трения со скачкообразной характеристикой с возрастающий линейным участком , в системе возникают автоколебательные режимы движения дисков, двухмассовая модель бурильной колонны исследуется С. В. Белокобыльским и р. Ф. Нагаевым в статье ['/3. Рассматриваемая авторами система состоит из двух упругосвязанных дисков, на один из которых действует момент сил сухого трения. Интересные результаты исследований ФА в системах с несколькими степенями свободы, в том числе и на плоскости, полученные в основном посредством моделирования на АВМ, можно найти в работах А. Тондла [5"/ J. [52.3.

Во всех перечисленных работах рассмотрены фрикционные системы, в которых силы трения действуют либо на одно из входящих в систему тел, либо между некоторыми телами и поступательно движущимся основанием, в то время как между самими телами существуют упругие или вязко демпфирующие связи. Кроме того, при исследовании многомассовых систем используются как правило упрошенные характеристики трения. Поэтому представляется важным и интересным исследовать задачу об автоколебаниях в системе двух тел, взаимодействующих посредством сил сухого некулонова трения с кубической характеристикой, которая рассмотрена в третьей главы. Предлагаемая система состоит из двух тел, одно из которых упруго закреплено, а второе перемешается по нему с постоянной скоростью V , сообщаемой через упругий элемент [ ]. Задача решается по методу осреднения в резонансном и нерезонансном случаях.

В этой же главы исследуются ФА на плоскости. В литературе существует совсем немного работ, посвященных вопросам движения материальной точки или твердого тела на плоскости под действием силы трения С41»]. [Я5]. В статье М. М. Ветюкова ПН], являющейся по- видимому единственной работой в этом направлении, исследуется устойчивость упруго закрепленного ползуна с тремя степенями свободы ( а как частный случай и материальной точки) на плоскости. Что касается автоколебаний, то удалось обнаружить лишь численные исследования А. Тондла [5/], носящие по большей части качественный иллюстративный характер.

В данной работе рассматривается задача об автоколебаниях упруго закрепленной точки на горизонтальной плоскости, перемещающейся с постоянной скоростью под углом об к взаимно перпендикулярным осям жесткости. Задача рассматривается в декартовых координатах, совпадающих с осями жесткости. Решение проводится по методу осреднения для нерезонансного случая в предположонии, что трение ( используется кубическая характерис-тикаJ в системе мало.

В процессе решения задачи получены осредненные уравнения первого приближения относительно амплитуд колебаний, определены стационарные режимы автоколебаний и выведены условия их существования и устойчивости, полученные результаты в достаточной степени согласуются с данными исследования исходных уравнений движения численными методами.

Изучен также предельный случай, когда одна из жест-костей стремится к бесконечности - случай преобразованного трения.

Наряду с теорией ФА, другим важным разделом динамики систем с сухим трением является теория вибрационного перемещения. В ней достаточно подробно изучены различные одномерные режимы виброперемешения [ 40)- задачи о движении материальной точки или шара по плоскости, в обшем случае наклоненной под углом к горизонту, совершающей прямолинейные колебания.

К достаточно хорошо разработанным вопросам двумерного виброперемешения относятся прежде всего задачи о движении частицы по горизонтальной или наклонной плоскости, совершающей круговые или эллиптические колебания.

В четвертой главе предлагаемой диссертационной работы рассматривается новая задача о движении точки по горизонтальной плоскости под действием периодической силы, линия действия которой наклонена к плоскости и медленно поворачивается.

Математически рассмотрение этой модели сводится к решению возмущенных уравнений вибрационного перемещения. При этом определяются две скорости перемешения-основная в направлении линии действия силы или ее проекции на плоскость и дополнительная в перпендикулярном направлении. Эта дополнительная скорость для технически интересных приложений оказывается значительно меньше основной.

Эта задача представляет интерес для вибротехники в связи с созданием самоходных виброуплотнителей [S3], [Л], а результаты^ полученные при ее исследовании,позволяют с достаточной точностью определить основные параметры движения самоходных виброуплотнителей на плоскости.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Платовских, Михаил Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для Фрикционных автоколебательных систем с одной степенью свободы установлено, что при различных идеализация^ зависимости силы сухого некулонова трения от скорости на возрастающем участке последней колебания{ близкие к гармоническим,не реализуются, но возможны ФА релаксационного типа ( с длительными остановками). Показано, что в зависимости от скорости протяжки, величины трения покоя и параметра, характеризующего трение при движении тела, на спадающем участке характеристики трения возможны как квазигармонические, так и релаксационные колебания различного типа,и определены на плоскости параметров области реализации этих режимов.

2. Для тормозных механизмов при возникновении Фрикционных автоколебаний установлено, что абсолютная величина среднего тормозящего момента увеличивается с уменьшением угловой скорости вращения тормозного диска , однако при скачкообразной характеристике силы трения средний тормозящий момент остается постоянным, если сила трения покоя не превосходит трехкратного значения силы трения скольжения.

3. Предложена новая двухмассовая модель Фрикционной пары с относительным скольжением тел. В ней наблюдаются два состояния динамического равновесия: когда одно из контактирующих тел в первом приближении покоится, а другое совершает колебания, и наоборот. Установлены границы областей притяжения обоих автоколебательных движений. Этот результат позволяет выбрать параметры системы таким образом, чтобы устранить нежелательные колебания одного из тел.

4. Учет еше одной степени свободы в поперечном к основному движению направлении (это также новая проблема ФА) дает новые динамические эффекты: тело на плоскости может участвовать ~ как в одномерных колебаниях вдоль одной из осей жесткости, так и совершать сложные двумерные автоколебания.

5. Предложена новая методика расчета вибрационных механизмов на плоскости, получены оценочные результаты для движения таких механизмов, когда действующая внешняя периодическая сила совершает медленный поворот в плоскости движения механизма.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Платовских, Михаил Юрьевич, 1995 год

1. Андронов А. А. . Витт А. А. , Хайкин С. Э. Теория колебаний. Нашгиз. 1957.

2. АлиФов А. А. . Фролов К. В. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии. М.: Наука. 1985, 328 с.

3. Андронов В. В. Механические системы с преобразованным сухим трением. Изв. А1$:ССР. Механика твердого тела. 1988, So 1.

4. Белокобыльский С. В. , Нагаев Р. Ф. Метод частичной гармонической линеаризации в задаче о фрикционных автоколебаниях механических систем с несколькими степенями свободы. Нашиноведение. 1985. Но 5. с. 27-31.

5. Белокобыльский с. В. , Нагаев Р. Ф. фрикционные автоколебания упругой системы с динамической характеристикой момента сопротивления. Управляемые механические системы. Иркутск. 1985, с. 70-76.

6. Белокобыльский с. В. , Прокопов В. К. Анализ фрикционных автоколебаний бурильной колонны при экспоненциальном законе сопротивления. Прикладная механика. 1982.1. Т. 18. Но 12. С 32-39.

7. Белостоцкий Б.А. Самоходная вибропрессовая уплотняющая машина. Л. : Труды ЛКВВИА им. А. Ф. Можайского. 1959, 38с.

8. Бессараб Н. Ф. фрикционные автоколебания. ХТФ. 1956. т. 26, вып. 1. с. 102-108.

9. Бидерман В. Л. Теория механических колебании. М. : Высш. гак. , 1980. 408с.

10. Блехман И.И., Джанелидзе Г. Ю. Вибрационное перемещение. М. : Наука, 1964. 410с.

11. Бутенин Н. В. Приложение метода Ван- дер-Поля к механическим автоколебательным системам с двумя степенями свободы. Изв. Вузов. Машиностроение. '.963, No 4, с. 32-46.

12. Р. Бутенин Н. В. . Неймарк Ю. И. . фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М. : Наука, 1987, 382с.

13. Ван-дер Ноль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М. : Связьтехиздат, 19 35. 42с.

14. Ветюков М. М. Устойчивость ползуна на плоскости при действии сил сухого некулонова трения. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1992. No 3. с.40- 44.

15. Ветюков М. М. Нагаев Р. Ф. , Платовских И. К. Автоколебания в системе тел, связанных силами сухого трения. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1993. -■ Hoi.

16. Ветюков М. М. , Доброславский С.В., Нагаев Р. Ф. Автоколебания в системе с характеристикой сухого трения наследственного типа. Изв. АНСССР. Механика твердого тела. 1990. -N01.

17. Ветюков Н. М. , Нагаев Р. Ф. , Платовских М. Ю. Сравнительное исследование квазигармонических автоколебании точным методом и методом осреднения. Деп. ВИНИТИ. 1993.

18. Ветюков М. М. , Платовских М. К. Влияние релаксационных автоколебаний тормозной колодки на процесс торможения. Записки Ленинградского горного института им. Г. В. Плеханова. 1988. Т. 117.

19. Ветюков М. М., Платовских М.Ю. Задача о плоском переметении частицы. Вибрационные машины и технологии. Курск. 1993.

20. Волосов В. И. . Моргунов б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М. :Изд- во МГУ, 1971. 50с.

21. ВульФсон и. и. , Коловский М. 3. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение, 1968, 284с.

22. Геккер Ф. Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения. 1983.

23. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М. : Наука. Гл. ред. Физ. -мат. лит. . 1986. 25бс.

24. Ден-Гартог Дж. П. механические колебания. Н. :. Физматгиз, I960.

25. Ишлинский А. Ю. Движение плоских тел при наличии сил сухого трения. Изв. АНСССР. Механика твердого тела. 1981, Но 4.

26. Ишлинский А. ю. , Крагельский и. в. о скачках при трении. ГГФ. 1944. Т. 14, вып. 45, С. 276-282.

27. Кабельков А. Н. , Воронцов Г. В. Исследование Фрикционных автоколебательных систем с двумя степеняни свободы. Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. шк. Техн. науки . 1984. Но 1. С. 55-59.

28. Кайдановский Н. л. . Хайкин с. в. Механические релаксационные колебания. ЖТФ. 1933. т. 3, вып. 1,С. 91-107.

29. Кайдановский Н. Л. Природа механических автоколебаний, возникающих при сухом трении. ХТФ. 1949. т. 19, вып. 9,с. 985-996.

30. Кашеневский Л. Я. стахостические автоколебания при сухом трении. Инж. Физ. журнал. 1984. т. 41. Но 1.

31. Коловский Н. 3. Нелинейная теория виброзашитных систем.1. М. : Наука, 1966, 298с.

32. Крагельский И. В. Трение и износ в вакууме. М. : Машиностроение, 1973, 216с.

33. Крагельский И. В. , Гитис Н. В. фрикционные автоколебания. М. : Наука.1987.181с.

34. Кудинов В.А. Динамика станков. Н. : Машиностроение. 1967. 359с.

35. Ладыгина Л. А. , Маневич В. Н. Свободные колебания нелинейной кубической системы с двумя степенями свободы при близких собственных частотах. Прикладная математика и механика ( Москва). 1993. Но 2.

36. Левин А. И. Приближенный расчет фрикционных автоколебаний. Машиноведение. 1981. Но 2.

37. Ле Суан Ань. Автоколебания при трении. Машиноведение. 1973. Но 2.

38. Ле Суан Ань. Механические релаксационные автоколебания. Изв. АНСССР. Механика твердого тела. 1973. Но 2.

39. Ле Суан Ань. Экспериментальное исследование механических автоколебаний при трении. Изв. АНСССР. Механика твердого тела. 1972. Но 3.

40. Нагаев Р. Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. М- : Наука, 1978, 160с.

41. Нагаев Р.Ф. , СараФян Г. С. Фрикционные автоколебания в системе кусочно линейной характеристики трения. Прикладная механика. 1990. Но 10. с. 84-90.

42. НайФэ А. Введение в методы возмущений. М. : Мир, 1984, 482 с.

43. НайФэ А. Методы возмущений. И. : Мир, 1976, 367с.

44. Пановко Я. Г. , Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М. : Наука, 1964, 336 с.

45. Пановко я.г. особенности движения твердого тела вдоль вибрирующей плоскости при сухом некулоновом трении. Машиностроение. 1983. Но 3.

46. Петров В. Ф. о механических автоколебаниях при сухом трении в системах с одной степенью свободы. Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика,механика. 1967. Но 2.С.86-92.

47. Петров В.Ф. О механических автоколебаниях, возбуждаемых силами сухого трения в системе с двумя степенями свободы. Механика твердого тела. 1968. Но 1. С.39-45.

48. Платовских М.Ю. фрикционные автоколебания в валопрово-де судна ледового плавания "Тюлень". Тезисы докладов на всесоюзн. науч. техн. конФ. " Проблемы повышения надежности судовых валопроводов". л. 1988.

49. Сальникова Н.Д. К вопросу о Фрикционных автоколебаниях в системах с конечным числом степеней свободы. Изв. Вузов. Машиностроение. 1968. No 6. С. 54-59.

50. Стрелков С.П. Теория автоколебаний маятника Фроуда. ГГФ. 1933. т. 3. вып. 4. С. 563-572.

51. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем, м. : МИР, 1973, 334С.

52. Тондл А. Автоколебания. М. : Мир, 1979, 398с.53. форсблад Л. И. Вибрационное уплотнение грунтов оснований. М. : Транспорт. 1987. 67с.

53. Хархута Н. Я. Машины для уплотнения грунтов. Л. : Машиностроение. 1973, 356с.

54. Чичинадзе А. В. Расчет и исследование внешнего трения при торможении. м. : Наука, 1967, 216 с.

55. ЖтейнвольФ Л.И. Исследование автоколебаний в механических передачах транспортных машин. Изв. вузов. Машиностроение. 1966. Но 3. С. 75-80.

56. Яковлев В. И. Об автоколебаниях груза на движущейся транспортерной ленте. Механика твердого тела. 1966. No 2. С. 175-178.

57. Benglsu н. т. , AKay a. stability of friction-inducted vibrations in roulty-degree-of-freedom systems. Jorn. of Sound and Vi.br. 1994. -171, Ho 4, p. 557-570.

58. Та Капо EisuKe,Zhang Xiang Yong. Frictional vibrations 1. , Res. RePt. Fac. Hiigata Univ. ,1986, Ho 35, p. 1-9.

59. Та Капо EisuKe, Zhang Xiang Yong, Нага Toshia Ki, Hiya-jima Masahiro. Frictional vibrations 2. , Res. Rept, Fac. Hiigata Univ. , 1986, Ho 35, p. 11-18.